MATEMÁTICAS ESPECIALES I PRÁCTICA 8 - CLASE 1 Sucesiones y series de funciones. x n, si 0 x 1 1, si x 1. 0, si 0 x < 1

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MATEM ´ATICAS ESPECIALES I PR ´ACTICA 8 - CLASE 1 Sucesiones y series de funciones.

1. Considere la sucesi´on de funciones reales ϕn(x) =

(

xn, si 0≤x≤1

1, si x≥1 , n≥1.

(a) Demostrar que converge puntualmente a ϕ(x) =

(

0, si 0≤x <1 1, si x≥1 .

(b) Probar que la convergencia es uniforme en el intervalo [0, x0],∀x0<1. (c) Converge uniformemente en [0,1]?

2. Considere la sucesi´on de funciones reales ϕn(x) =

(

14n2x2+nx, si 0≤x≤ n4

0, si n4 ≤x≤4 , n≥1.

Demuestre que la funci´on converge puntualmente a la funci´on ϕ(x) = 0 para 0 x 4 pero que la convergencia no es uniforme cerca del cero. (Este ejemplo muestra que una sucesi´on de funciones continuas puede converger a una funci´on l´ımite continua aunque la sucesi´on no converja uniformemente).

3. Dada la sucesi´on de funciones reales ϕn(x) = x

1 +nx2, demostrar que converge uniformemente

a ϕ(x) = 0 en IR pero que lim n→∞ϕ

0

n(x)6=ϕ0(x).

4. Considere la sucesi´on ϕn(x) =nx(1−x2)n para 0≤x≤1. (a) Probar que ϕn→0 en [0,1].

(b) Calcular que lim n→∞

Z 1

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|z| ≤1?

(c) Comprobar que su suma es discontinua en z= 1. 8. Demostrar que las series

(a) X n≥1 zn n√n+ 1 (b) X n≥2 1 n2+z2

son absoluta y uniformemente convergentes en|z| ≤1. 9. Demostrar que la serie X

n≥1

(1)n

n+|z|2 es uniformemente convergente para todo z pero no es

absolutamente convergente para ning´un valor dez.

10. Calcule el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias y estudiar el comportamiento en el borde del disco de convergencia.

(a) X n≥1 (1 + 2i)n nn zn (b) X n≥1 (1)n n z n(n+1) (c) X n≥1 (z+ 2)n 4n(n+ 1)3

11. Considere la serie dada por 1 +az+a2z2+a3z3+· · ·

(a) Para qu´e valores de z converge puntualmente?

(b) Cu´al es su suma? Converge uniformemente a su suma? (c) Esta suma, define una funci´on anal´ıtica?

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MATEM ´ATICAS ESPECIALES I PR ´ACTICA 8 - CLASE 2

Desarrollo en series de Taylor. Ceros de funciones anal´ıticas

1. Dadas las siguientes funciones, hallar su desarrollo en series de potencias positivas alrededor del punto z0= 0 y determinar su regi´on de convergencia en cada caso.

(a) f(z) = sinhz (b) f(z) = cosz

(c) f(z) = 1

az+b, b6= 0 (d) f(z) =ze2z

2. Desarrollar sinhz en series de Taylor alrededor del puntoz0 =iπ.

3. Desarrollar coszen series de Taylor alrededor del puntoz0 =π/2.

4. Probar que si c es una constante compleja y f(z) = (

ecz1

z , z 6= 0

c, z= 0 entonces,f es entera. 5. Si se elige la rama de la funci´on f(z) =1 +z3 de manera tal quef(0) = 1, mostrar que

1 1 +z3 = 1 1 2z 3+1.3 2.4z 61.3.5 2.4.6z 9+· · ·, |z|<1.

6. Sea f(z) = ln(1 +z) y considere la rama para la cualf(0) = 0.

(a) Encontrar el desarrollo en series de Taylor def(z) alrededor dez0 = 0. (b) Determinar la regi´on de convergencia para la serie hallada.

(c) Encontrar el desarrollo en series de Taylor para la funci´on g(z) = ln µ 1 +z 1−z ¶ alrededor de z0 = 0.

Sugerencia: integrar la serie de Mclaurin para 1

1 +s a lo largo de un contorno interior al c´ırculo de convergencia desde s= 0 hasta s=z.

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cong(z0)6= 0. Pruebe que: lim z→z0 f(z) g(z) = f0(z 0) g0(z 0)

10. Desarrollar en series de potencias de zlas siguientes funciones: (a) f(z) =ezln(1 +z)

(b) f(z) = cosz 1 +z (c) f(z) = (ln(1 +z))2

Sugerencia: emplear la multiplicaci´on de series. 11. Halle el orden del ceroz0 = 0 para las funciones:

(a) f(z) =z2(ez2

1)

(b) f(z) = 6 sinz2+z2(z416) (c) f(z) =z3ez2

+ 1

12. El punto z0 es un cero de ordenkpara la funci´on f(z) y un cero de orden l≤kpara la funci´on

g(z). De qu´e orden es z0 cero de las funciones que siguen a continuaci´on?

(a) h(z) =f(z)g(z) (b) h(z) =f(z) +g(z)

(c) h(z) =f(z) g(z)

13. Hallar el orden de todos los ceros de las funciones dadas. (a) f(z) =z2(cosz1) (b) f(z) = (eπz−1)2(z4i) (c) f(z) = (2z9π)2(eiz i) cosz (d) f(z) =z2(1coshz) sinz (e) f(z) = 1cosz z (f) f(z) = (z2π2)2+ sinz

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MATEM ´ATICAS ESPECIALES I PR ´ACTICA 8 - CLASE 3

Propiedades locales de las funciones anal´ıticas

1. Sea f : ΩIC yz0 Ω. Demostrar que sif es continua en z0 yf(z0)6= 0, entonces existe una

vecindad dez0 para la cualf(z)6= 0.

2. Sea f : Ω IC yz0 Ω. Demostrar que sif es anal´ıtica en Ω yf(z0)6= 0, entonces existe una vecindad dez0 para la cualg(z) = f(z)1 es anal´ıtica.

3. Sea f : ΩIC y z0 Ω. Demostrar que si f es anal´ıtica enz0 yz0 es un cero de orden finito,

existe una vecindad de z0 en la cual no existen otros ceros de f(z).

4. Sea f : ΩIC yz0Ω. Demostrar que sif es anal´ıtica enz0 yz0 es un cero de orden infinito,

entoncesf(z) es id´enticamente nula en cualquier entorno dez0.

5. Seaf : ΩIC una funci´on anal´ıtica en Ω tal quef(z) = 0 para todos los puntoszque pertenecen a un arco contenido en Ω. Demostrar que f(z) es id´enticamente nula en Ω.

6. Utilizar el ejercicio anterior para obtener cada una de las siguientes identidades para todo z en IC a partir de las identidades correspondientes cuando z es real.

(a) sinhz+ coshz= ez (b) sin 2z= 2 sinzcosz

7. Consid´erense dos funciones f yg, anal´ıticas enD={z∈IC :2< Im(z)<2}. Sup´ongase que f(z) =g(z) para todos losz tal que|z|<0.001. Probar quef(z) =g(z) en todo el conjuntoD. 8. Ejemplificar el Principio del M´odulo M´aximo (y M´ınimo) cuando:

(a) f(z) = (1 +z)2 y Ω es la regi´on triangular con v´ertices en los puntos z= 0, z= 2 yz=i.

(b) f(z) =z23z+ 2 y Ω es el disco|z| ≤1.

Hacer esto encontrando puntos en Ω donde |f(z)|toma valores m´aximos y m´ınimos. 9. Hallar el valor m´aximo que|ez1|toma en Ω :{z=x+iy,0x1,0yπ/2}.

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