2.- Determine la validez del siguiente razonamiento: p v q (2,5 puntos) p ~ r q v ~ r B. TEORÍA DE CONJUNTOS

A

Curso : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Profesor : Ing. Oscar Reyes Almora

Ciclo : I

Fecha : JUEVES 6 DE NOVIEMBRE

Usted sólo deberá resolver cuatro (04) de las cinco (05) áreas: A. LÓGICA PROPOSICIONAL

1.- Si la proposición ~ [ ( p → _{q ) v ( r ^ p ) ] es} verdadera, halle el valor de verdad de la siguiente proposición: ~ [ ( q

↔

r ) → _{~ p ) ]} (2,5 puntos) 2.- Determine la validez del siguiente razonamiento: pvq (2,5 puntos)

p → ~r ∴ qv~ r B. TEORÍA DE CONJUNTOS

3.- Sean los conjuntos: A = {{1}, 2 }, B = { 1, 2 } y C = {∅ }. Responda V o F: (1,0 punto) a. ∅⊂ B___ b. {∅}∈ C___ c. B ∈ {2, 1, 3}___ d. A ≡ B___ e. {1}⊄P(A)___ f. 2⊂A ___ 4.- Sean los conjuntos: A = {4, 6, 5, 1, 3}, B = {2, 4, 1, 3, 5}, C = {3, 4, 1}, D = {3, 1}, E = {5, 4, 3, 1}

a. Determine las relaciones simples y cadenas de inclusión. (1,0 punto)

b. Elabore el Diagrama Lineal. (1,0 punto)

5.- En una convención asisten 100 estudiantes universitarios. Se sabe que 40 estudian Derecho, 55 proceden de universidad estatal y 50 son hombres. Además, 25 son estudiantes de Derecho de universidad estatal, 15 son estudiantes hombres de universidad estatal y 10 son hombres que estudian Derecho. Si no hay estudiantes mujeres de universidad no estatal que no estudien Derecho, se pide: (2,0 puntos)

a. ¿Cuántas estudiantes hombres de derecho proceden de universidad estatal?

b. ¿Cuántos estudiantes de Derecho son mujeres que proceden de universidad no estatal? C. RELACIONES BINARIAS (CONJUNTOS FINITOS)

6.- Sean los conjuntos: B = { 0, 2, 3 } y C = { 0, 1, 4 } y la relación: R={(x,y)∈BxC/ x ≥ y+1} Determine: a. Represente R gráficamente. (1,0 punto)

b. Rpor extensión. (1,0 punto) c. Dominio e imagen de R. (0,5 puntos)

7.- Proponga un ejemplo de relación en E = { 4, 5, 6 } para cada caso: (2,5 puntos) Caso Reflexiva Simétrica Transitiva

a no no Si b si si No

D. RELACIONES BINARIAS EN R2

8.- Represente gráficamente las siguientes relaciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Posteriormente determine el dominio e imagen de cada una: (5,0 puntos)

a. R₁ = { (x, y) ∈R2 _{/ 3x + 6y – 12 = 0 }}

b. R₂ = { (x, y) ∈R2 _{/ y = (x – 3)}2 _{+ 2 }}

c. R₃ = { (x, y)∈ R2_{/ (x + 3)}2 _{+ (y – 4)}2 _{< 9 }}

d. R₄ = { (x, y) ∈ R2_{/ 4x}2 _{+ y}2 _{+ 24x + 4y + 36 ≥ 0 }}

E. FUNCIONES

9.- Sea la función f definida de C = {0, 2, 3} en D = {2, 4, 5} siendo f(x) = x + 2. Además, sea la función g definida de A = {-1, 0, 1} en C, siendo g(x) = 2 – x.

Se pide: a. Represente gráficamente f o g. (1,0 punto) b. Determine el dominio e imagen de la función f o g. (0,5 puntos)

c. Halle la regla de correspondencia de la función f o g. (1,0 punto) 10.- Considerando la funciónf definida porf(x) = x2 y la funcióngdefinida por g(x) = 2x – 1:

a. Halle(g o f)(x) y (f o g)(x). (1,3 puntos)

b. Calcule: (g o f)(0), (g o f)(1), (f o g)(2) y (f o g)(-2). (1,2 puntos)

La letra que representa el área que no debe corregir es:

B

Curso : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Profesor : Ing. Oscar Reyes Almora

Ciclo : I

Fecha : JUEVES 6 DE NOVIEMBRE

Usted sólo deberá resolver cuatro (04) de las cinco (05) áreas: A. LÓGICA PROPOSICIONAL

1.- _{Si la proposición ~ ( p ^ ~ q) v ( r} → ~ p ) ] es falsa, halle el valor de verdad de la siguiente proposición: ~ [ (~ q → ~ r )

↔

_{p ]} (2,5 puntos)

2.- Determine la validez del siguiente razonamiento: qvr (2,5 puntos) p ↔ ~r

∴ ~ p B. TEORÍA DE CONJUNTOS

3.- Sean los conjuntos: A = {{1}, 2 }, B = { 1, 2 } y C = {∅ }. Responda V o F: (1,0 punto) a. ∅⊄ A___ b.∅∈ C___ c. B ∈ {2, 1, 0}___ d. {} ≡ C___ e. {1}⊂P(B)___ f. 1⊂B ___ 4.- Sean los conjuntos: A = {4, 1, 3}, B = {2, 4, 1, 3}, C = {4, 1}, D = {3, 1}, E = {5, 4, 3, 1}

a. Determine las relaciones simples y cadenas de inclusión. (1,0 punto)

b. Elabore el Diagrama Lineal. (1,0 punto)

5.- En una convención asisten 90 estudiantes universitarios. Se sabe que 50 estudian Derecho, 40 proceden de universidad estatal y 45 son mujeres. Además, 20 son estudiantes de Derecho de universidad estatal, 15 son estudiantes mujeres de universidad estatal y 15 son mujeres que estudian Derecho. Si no hay estudiantes hombres de universidad no estatal que no estudien Derecho, se pide: (2,0 puntos)

a. ¿Cuántas estudiantes mujeres de universidad estatal estudian Derecho?

b. ¿Cuántos estudiantes hombres que proceden de universidad estatal no estudian Derecho? C. RELACIONES BINARIAS (CONJUNTOS FINITOS)

6.- Sean los conjuntos: A = { 1, 3, 5 } y C = { 0, 2, 4 } y la relación: R={(x,y)∈AxC/ x – 1 > y} Determine: a. Represente R gráficamente. (1,0 punto)

b. R por extensión. (1,0 punto) c. Dominio e imagen de R. (0,5 puntos)

7.- Proponga un ejemplo de relación en G = { 5, 6, 7 } para cada caso: (2,5 puntos) Caso Reflexiva Simétrica Transitiva

a si no no b no si si

D. RELACIONES BINARIAS EN R2

8.- Represente gráficamente las siguientes relaciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Posteriormente determine el dominio e imagen de cada una: (5,0 puntos)

a. R₁ = { (x, y) ∈R2 _{/ (x + 3)}2 _{+ (y – 4)}2 _{= 9 }}

b. R₂ = { (x, y) ∈R2 _{/ y = (x – 2)}2 _{+ 3 }}

c. R₃ = { (x, y)∈ R2_{/ 3x + 6y + 12} ≤ _{0 }}

d. R₄ = { (x, y) ∈ R2_{/ x}2 _{+ 4y}2 _{– 4x + 8y – 8} > _{0 }}

E. FUNCIONES

9.- Sea la función f definida de B = {0, 2, 3} en C = {2, 3, 4} siendo f(x) = 4 – x. Además, sea la función g definida de A = {-1, 0, 2} en B, siendo g(x) = x + 1.

Se pide: a. Represente gráficamente f o g. (1,0 punto) b. Determine el dominio e imagen de la función f o g. (0,5 puntos)

c. Halle la regla de correspondencia de la función f o g. (1,0 punto) 10.- Considerando la funciónf definida porf(x) = x2 y la funcióngdefinida por g(x) = x – 2:

a. Halle(g o f)(x) y (f o g)(x). (1,3 puntos)

b. Calcule: (g o f)(1), (g o f)(2), (f o g)(-1) y (f o g)(3). (1,2 puntos)

La letra que representa el área que no debe corregir es:

C

Curso : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Profesor : Ing. Oscar Reyes Almora

Ciclo : I

Fecha : VIERNES 7 DE NOVIEMBRE

Usted sólo deberá resolver cuatro (04) de las cinco (05) áreas: A. LÓGICA PROPOSICIONAL

1.- Si la proposición ~ [ ( p → _{q ) v ( r ^ p ) ] es} verdadera, halle el valor de verdad de la siguiente proposición: ~ [ ( q

↔

r ) → _{~ p ) ]} (2,5 puntos) 2.- Determine la validez del siguiente razonamiento: pvq (2,5 puntos)

p → ~r ∴ qv~ r B. TEORÍA DE CONJUNTOS

3.- Sean los conjuntos: A = {{1}, 2 }, B = { 1, 2 } y C = {∅ }. Responda V o F: (1,0 punto) a. ∅⊂ B___ b. {∅}∈ C___ c. B ∈ {2, 1, 3}___ d. A ≡ B___ e. {1}⊄P(A)___ f. 2⊂A ___ 4.- Sean los conjuntos: A = {4, 6, 5, 1, 3}, B = {2, 4, 1, 3, 5}, C = {3, 4, 1}, D = {3, 1}, E = {5, 4, 3, 1}

a. Determine las relaciones simples y cadenas de inclusión. (1,0 punto)

b. Elabore el Diagrama Lineal. (1,0 punto)

5.- En una convención asisten 100 estudiantes universitarios. Se sabe que 40 estudian Derecho, 55 proceden de universidad estatal y 50 son hombres. Además, 25 son estudiantes de Derecho de universidad estatal, 15 son estudiantes hombres de universidad estatal y 10 son hombres que estudian Derecho. Si no hay estudiantes mujeres de universidad no estatal que no estudien Derecho, se pide: (2,0 puntos)

a. ¿Cuántas estudiantes hombres de derecho proceden de universidad estatal?

b. ¿Cuántos estudiantes de Derecho son mujeres que proceden de universidad no estatal? C. RELACIONES BINARIAS (CONJUNTOS FINITOS)

6.- Sean los conjuntos: B = { 0, 2, 3 } y C = { 0, 1, 4 } y la relación: R={(x,y)∈BxC/ x ≥ y+1} Determine: a. Represente R gráficamente. (1,0 punto)

b. Rpor extensión. (1,0 punto) c. Dominio e imagen de R. (0,5 puntos)

7.- Proponga un ejemplo de relación en E = { 4, 5, 6 } para cada caso: (2,5 puntos) Caso Reflexiva Simétrica Transitiva

a no no Si b si si No

D. RELACIONES BINARIAS EN R2

8.- Represente gráficamente las siguientes relaciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Posteriormente determine el dominio e imagen de cada una: (5,0 puntos)

e. R₁ = { (x, y) ∈R2 _{/ 3x + 6y – 12 = 0 }}

f. R₂ = { (x, y) ∈R2 _{/ y = (x – 3)}2 _{+ 2 }}

g. R₃ = { (x, y)∈ R2_{/ (x + 3)}2 _{+ (y – 4)}2 _{< 9 }}

h. R₄ = { (x, y) ∈ R2_{/ 4x}2 _{+ y}2 _{+ 24x + 4y + 36 ≥ 0 }}

E. FUNCIONES

9.- Sea la función f definida de C = {0, 2, 3} en D = {2, 4, 5} siendo f(x) = x + 2. Además, sea la función g definida de A = {-1, 0, 1} en C, siendo g(x) = 2 – x.

Se pide: a. Represente gráficamente f o g. (1,0 punto) b. Determine el dominio e imagen de la función f o g. (0,5 puntos)

c. Halle la regla de correspondencia de la función f o g. (1,0 punto) 10.- Considerando la funciónf definida porf(x) = x2 y la funcióngdefinida por g(x) = 2x – 1:

c. Halle(g o f)(x) y (f o g)(x). (1,3 puntos)

d. Calcule: (g o f)(0), (g o f)(1), (f o g)(2) y (f o g)(-2). (1,2 puntos)

La letra que representa el área que no debe corregir es:

D

Curso : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Profesor : Ing. Oscar Reyes Almora

Ciclo : I

Fecha : VIERNES 7 DE NOVIEMBRE

Usted sólo deberá resolver cuatro (04) de las cinco (05) áreas: A. LÓGICA PROPOSICIONAL

1.- _{Si la proposición ~ ( p ^ ~ q) v ( r} → ~ p ) ] es falsa, halle el valor de verdad de la siguiente proposición: ~ [ (~ q → ~ r )

↔

_{p ]} (2,5 puntos)

2.- Determine la validez del siguiente razonamiento: qvr (2,5 puntos) p ↔ ~r

∴ ~ p B. TEORÍA DE CONJUNTOS

3.- Sean los conjuntos: A = {{1}, 2 }, B = { 1, 2 } y C = {∅ }. Responda V o F: (1,0 punto) a. ∅⊄ A___ b.∅∈ C___ c. B ∈ {2, 1, 0}___ d. {} ≡ C___ e. {1}⊂P(B)___ f. 1⊂B ___ 4.- Sean los conjuntos: A = {4, 1, 3}, B = {2, 4, 1, 3}, C = {4, 1}, D = {3, 1}, E = {5, 4, 3, 1}

a. Determine las relaciones simples y cadenas de inclusión. (1,0 punto)

b. Elabore el Diagrama Lineal. (1,0 punto)

5.- En una convención asisten 90 estudiantes universitarios. Se sabe que 50 estudian Derecho, 40 proceden de universidad estatal y 45 son mujeres. Además, 20 son estudiantes de Derecho de universidad estatal, 15 son estudiantes mujeres de universidad estatal y 15 son mujeres que estudian Derecho. Si no hay estudiantes hombres de universidad no estatal que no estudien Derecho, se pide: (2,0 puntos)

a. ¿Cuántas estudiantes mujeres de universidad estatal estudian Derecho?

b. ¿Cuántos estudiantes hombres que proceden de universidad estatal no estudian Derecho? C. RELACIONES BINARIAS (CONJUNTOS FINITOS)

6.- Sean los conjuntos: A = { 1, 3, 5 } y C = { 0, 2, 4 } y la relación: R={(x,y)∈AxC/ x – 1 > y} Determine: a. Represente R gráficamente. (1,0 punto)

b. R por extensión. (1,0 punto) c. Dominio e imagen de R. (0,5 puntos)

7.- Proponga un ejemplo de relación en G = { 5, 6, 7 } para cada caso: (2,5 puntos) Caso Reflexiva Simétrica Transitiva

a si no no b no si si

D. RELACIONES BINARIAS EN R2

8.- Represente gráficamente las siguientes relaciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Posteriormente determine el dominio e imagen de cada una: (5,0 puntos)

e. R₁ = { (x, y) ∈R2 _{/ (x + 3)}2 _{+ (y – 4)}2 _{= 9 }}

f. R₂ = { (x, y) ∈R2 _{/ y = (x – 2)}2 _{+ 3 }}

g. R₃ = { (x, y)∈ R2_{/ 3x + 6y + 12} ≤ _{0 }}

h. R₄ = { (x, y) ∈ R2_{/ x}2 _{+ 4y}2 _{– 4x + 8y – 8} > _{0 }}

E. FUNCIONES

9.- Sea la función f definida de B = {0, 2, 3} en C = {2, 3, 4} siendo f(x) = 4 – x. Además, sea la función g definida de A = {-1, 0, 2} en B, siendo g(x) = x + 1.

Se pide: a. Represente gráficamente f o g. (1,0 punto) b. Determine el dominio e imagen de la función f o g. (0,5 puntos)

c. Halle la regla de correspondencia de la función f o g. (1,0 punto) 10.- Considerando la funciónf definida porf(x) = x2 y la funcióngdefinida por g(x) = x – 2:

c. Halle(g o f)(x) y (f o g)(x). (1,3 puntos)

d. Calcule: (g o f)(1), (g o f)(2), (f o g)(-1) y (f o g)(3). (1,2 puntos)

La letra que representa el área que no debe corregir es: