Tema 3: Las fracciones

(1)

Tema 3: Las fracciones

3.1 Fracciones equivalentes

Ejemplo

1. Escribe tres fracciones equivalentes a las dadas: a) 2 5 2 2 5 2 4 10 2 4 5 4 208 2 10 5 10 20 50

Hemos multiplicado el numerador y el denominador por el mismo número. b) 7 3 7 3 3 3 21 9 7 6 3 6 4218 7 12 3 12 84 36

Hemos multiplicado el numerador y el denominador por el mismo número.

2 Simplifica las siguientes fracciones hasta hallar la fracción irreducible: a) 36 60 36 2 60 2 18 30 18 2 30 2 9 15 9 3 15 3 3

5 es la fracción irreducible puesmax. c. d 3, 5 1

b) 100 75 100 5 75 5 20 15 20 5 15 5 4

3 es la fracción irreducible puesmax. c. d 3, 4 1

En ambos ejemplos hemos dividido el numerador y el denominador por el mismo número.

3 Encuentra los valores de x para que estas fracciones sean equivalentes. a) 5 7 35x 5 7 5 5 7 5 25 35 Entoncesx 25 x 35 7 5 5 5 25

Esto se basa en que producto de extremos es igual a producto de medios:

a b

c

d a d b c

Los extremos son a y d; y los medios son b y c.

Es decir, nuestro ejercicio se haría de la manera siguiente:

5 7 x 35 5 35 7 x x 35 5 7 175 7 25 b) 12 50 18x 12 x 18 50 x 18 5012 90012 75

Tareas 07-11-12: todos los ejercicios de la página 64.

3.2 Reducción de fracciones a común denominador

Ejemplo

Ordena de menor a mayor los siguientes conjuntos de fracciones: a) 2

7 67 47

2

7 47 67

Dado que el denominador (divisor) es siempre el mismo, será más grande una fracción cuanto mayor sea el numerador (dividendo) b) 3 4 5 6 7 9

Lo primero es encontrar otras tres fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador para asi comparar los numeradores:

(2)

min. c. m 4, 6, 9 22 ₃2 _{4 9} ₃₆

Hemos de descomponerlos en factores primos

4 22

6 2 3

9 32

factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

3 4 36 4 3 36 9 336 2736 5 6 36 6 5 36 6 536 3036 7 9 36 9 7 36 4 7 36 28 36 Nos quedará: 27 36 28 36 30 36 Es decir; 3 4 7 9 5 6

Tareas 8-11-12; todos los ejercicios de la página 65

3.3 Suma y resta de fracciones

Ejemplo

Realiza las siguientes sumas y restas con fracciones: a) 2 7 3 7 5 7 2 3 5 7 0 7 0 b) 3 4 7 9 5 6 27 36 28 36 30 36 27 28 30 36 31 36 31 36 31 36

Hemos de calcular elmin. c. m. 4, 6, 9 36. Es decir, hacemos lo que habíamos hecho en el ejericio anterior. c) 1 2 1 3 4 2 5 3 1 2 1 1 3 4 2 5 3 1

Hemos de calcular elmin. c. m. 2, 1, 4, 5 22 ₅ ₂₀ Hemos de descomponerlos en factores primos

2 2

4 22

1 1

5 5

factores comunes y no comunes con el mayor exponente

10 20 20 20 15 20 8 20 60 20 30 20 23 60 20 30 20 37 20 30 20 37 20 67 20

Tareas 08-11-12: todas las actividades de la página 67.

3.4 Multiplicación y división

Ejemplo

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones: a) 1 2 4 3 1 4 2 3 4 6 4 2 6 2 2 3 fracción irreducible b) 5 6 109 4560 129 34 fracción irreducible c) 22 15 25 33 22 25 15 33 simplifico entre 5 22 5 3 33 simplifico entre 11 2 5 3 3 10 9 d) 36 35 21 20 36 21 35 20 simplifico entre 7 36 3 5 20 simplifico entre 4 9 3 5 5 27 25 e) 3 5 4 3 5 4 1 12 5

(3)

f)7 8 3 563 g)7 8 3 3 7 8 21 8 h) 3 5 4 203 i) 6 7 214 6 21 4 7 126 28 simplifico entre 2 63 14 simplifico entre 7 9 2 j) 20

21 2549 20 4921 25 simplifico entre 5 4 4921 5 simplifico entre 7 4 73 5 28

15

Ejemplo

Calcula la inversa de las siguientes fracciones: a) 1 2 su inversa 2 1 2 b) 3 4 su inversa 4 3 c)5 su inversa 1 5 d) 11 9 su inversa 9 11

Ejemplo

Calcula la opuesta de las siguientes fracciones: a) 1 2 su opuesta 12 b) 3 4 su opuesta 3 4 c)5 su opuesta 5 d) 11 9 su opuesta 11 9

Ejemplo

Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 4 3 2 5 56 3 2 8 15 10 18 8 15 5 9 24 45 25 45 1 45 calcularmim. c. m. 15, 9 32 ₅ ₄₅ b) 1 2 3 53 72 145 33 32 53 3528 13 53 54 4 12 20 12 15 12 9 12 3 4 Calcularmim. c. m. 3, 4 12

Tareas 12-11-12: todos los ejercicios de la página 69:

3.5 Problemas aritméticos con números fraccionarios

Ejemplo

Actividades página 73

1. Roberto ha necesitado 100 pasos para avanzar 80 metros. ¿Qué fracción de metro recorre en cada paso? 80 100 simplificando entre 10 8 10 4 5 Recorre 4 5mrn cada paso. Tareas 12-11-12: 2,3,4

5 Una familia dedica dos tercios de sus ingresos a cubrir gastos de funcionamiento, ahorra la cuarta del total y gasta el resto en ocio. ¿Qué fracción de los ingresos invierte en ocio? El total será 1.

Los "consumos" que tenemos son:

2

3 en funcionamiento 1

4 en ahorro

Entonces el total de "consumos" será: 2

3 1 4 8 12 3 12 11 12

(4)

Ahora me quedará calcular el resto:

1 11

12 1212 1112 121

Me queda para ocio 1

12

Tareas 12-11-12: 6,7,8,9

10 Roberto avanza 4 metros en 5 pasos. ¿Qué fracción de metro avanza en cada paso? ¿Y en 100 pasos? Roberto avanza 4 5men cada paso. En 100 pasos avanzará100 4 5 400 5 80m

12 ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se llenan con un depósito de 1800 litros? Una botella tiene 3

4lde capacidad Calculamos1800 3 4 1800 4 3 600 4 2400 Llenaremos 2400 botellas. Tareas 12-11-12: 11,13,14,15

16 Un embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3

7 de su contenido, y en agosto, 34

de lo que quedaba. ¿Qué fracción conserva aún a principios de septiembre? Primero se perdieron 3

7

Nos quedan 7

7 37 47

Ponemos 7

7 pues es la unidad, es decir, el total.

En agosto perdimos más a partir de lo que quedaba, es decir, perdimos 3

4 de 4 7 : 3 4 de 4 7 3 4 4 7 3 4 4 7 3 7 es lo perdido en agosto

Ahora a lo que teníamos, habrá que quitarle lo que hemos perdido:

4

7 37 17 es lo que queda en el depósito.

Otra forma de calcular lo que queda en el depósito

Hemos perdido agua dos veces: una en julio y otra en agosto. El total de agua perdido es:

3 7 3 7 6 7

Lo que nos quedará en el depósito será el total menos la pérdida:

1 6

7 77 67 17 es lo que queda en el depósito.

Tareas 14-11-12: los ejercicios 17,18,19 de la página 73

3.6 Potencias y fracciones

Potencia de una fracción

Ejemplo

Expresa en forma de potencia las siguientes expresiones matemáticas: a) 3 4 3 4 1 b) 3 4 3 4 3 4 2 c)3 4 34 34 34 34 4 d) 3 4 34 34 34 34 34 43 34 34 34 34 34 34 12

Ejemplo

Calcula las siguientes potencias de fracciones: a) 2 5 1 2 5 b) 2 5 2 2 5 25 254

(5)

c) 2 5 3 2 5 25 25 1258 d) 3 2 4 3 2 3 2 3 2 3 2 81 16

Potencia de un producto de fracciones

Ejemplo

Aplica la propiedad de la potencia de producto de fracciones: a) 3 4 5 11 7 5 3 4 117 5 b) 2 9 7 11 5 7 2 9 115 7 c) 4 7 56 2 4 7 2 5 6 2 d) 5 2 11 13 31 5 2 31 11 13 31

Potencia de un cociente de fracciones

Ejemplo

Aplica la propiedad de la potencia de cociente de fracciones: a) 3 4 12 11 7 12 3 4 11 7 12 b) 2 9 4 11 5 4 2 9 11 5 4 c) 4 7 56 3 4 7 3 5 6 3 d) 5 2 11 13 8 5 2 8 11 13 8

Producto de potencias de la misma base

Ejemplo

Aplica la propiedad del producto de potencias de la misma base a) 3 4 2 3 4 3 4 2 3 4 1 3 4 2 1 3 4 3 b) 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 5 2 3 4 5 1 5 2 13 c) 11 13 2 13 11 2

se queda asi pues las bases son diferentes. Cociente de potencias de la misma base

Ejemplo

Aplica la propiedad del cociente de potencias de la misma base a) 3 4 2 3 4 3 4 2 1 3 4 b) 5 2 3 5 2 4 5 2 3 4 5 2 1 c) 11 13 6 11 13 2 11 13 6 2 11 13 4

Potencias de exponente cero

Ejemplo

Calcula las potencias siguientes: a) 11 13 0 1 b) 5 2 0 1 c) 3 4 0 1

Potencias de exponente negativo

(6)

Convierte los siguientes exponentes en positivos: a) 5 2 1 2 5 1 b) 3 4 3 4 3 3 c) 1 5 3 5 1 3 53 d)6 5 1 6 5

Potencia de una potencia.

Ejemplo

Aplica la propiedad de potencia de una potencia. a) 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 6 b) 3 2 6 7 3 2 6 7 3 2 42

Tareas 15-11-12: todos los ejercicios de la página 76:

Ejemplo

Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones: a) 11 13 2 13 11 2 11 13 2 11 13 2 11 13 2 2 11 13 0 1 b) 4 5 4 4 5 3 4 5 5 4 5 4 3 5 4 5 2 c) 4 5 4 4 5 3 4 5 4 3 4 5 4 3 4 5 7 d) 3 2 3 3 2 4 5 3 2 3 4 5 3 2 1 5 3 2 1 5 3 2 5 2 3 5

Ejemplo

Descompón en forma polinómica los siguientes números:

a)34. 6789 30 4 0. 6 0. 07 0. 008 0. 0009

3 101 _{4 10}0 _{6 10} 1 _{7 10} 2 _{8 10} 3 _{9 10} 4

b)3045. 00811 3 103 _{4 10}1 _{5 10}0 _{8 10} 3 _{1 10} 4 _{1 10} 5

Ejemplo

Expresa en notación científica los números siguientes:

a)14500000000000000000000000 145 1023 _{1. 45 10}25 b)895670000000000 8. 9567 1014 c)604550000000 6. 0455 1011 d)0. 00000001125 1. 125 10 8 e)0. 00000000000050897 5. 0897 10 13 f)0. 00000420099 4. 20099 10 6 INCLUIR EN EL RESUMEN

Un número está expresado en notación científica cuando es el producto de un número decimal con una sola cifra delante de la coma por una potencia de 10 con exponente positivo o negativo.

3.7 Fracciones y números decimales

Ejemplo

Convierte en decimal las siguientes fracciones: a) 4

5 0. 8es un número decimal exacto

(7)

4 5 0 0. 8 4 0 4 0 0 b) 8

3 2. 6666666. . . es un número decimal periódico puro

Hemos de dividir: 8 3 6 2. 66666666. . . . 2 0 1 8 2 c) 7

15 0. 466666. . . es un número decimal periódico mixto

Hemos de dividir: 7 15 0 0. 4666666. . . . 7 0 6 0 1 0 0 9 0 1 0

Ejemplo

Convierte en fracción los siguientes números decimales: a)0. 8 8 10 4 5 b)0. 012 12 1000 6 500 3 250 c)2. 666666. . . .

Como nuestro periodo sólo tiene una cifra multiplicamos nuestro número por 10:

10 2. 6666666. . . 26. 66666. . . .

Si resto estos dos número me desaparecerá el periodo:

10N 26. 666666. . . . N 2. 666666. . . .

9N 24

hemos restado en columna

EntoncesN 24 9 8 3 2. 666 6. . . . La fracción pedida es 8 3 d)1. 232323. . . .

Como nuestro periodo tiene dos cifras multiplicamos nuestro número por 100:

123. 232323. . . .

(8)

100N 123. 232323. . . .

N 1. 232323. . . .

99N 122

EntoncesN 122

99 1. 232 323. . . .

La fracción pedida es 122

99

e)3. 4555555. . . .

Como tenemos una cifra de anteperiodo y una cifra de periodo, una vez multiplicamos por 10 y otra por cien, para obtener dos números decimales periódicos puros:

34. 55555. . . . 345. 55555. . . .

Si resto estos dos números me desaparece el periodo:

100N 345. 555555. . . . 10N 34. 555555. . . .

90N 311

EntoncesN 311

90 3. 455 555555. . . .

90

f)6. 7922222. . . .

Como tenemos dos cifra de anteperiodo y una cifra de periodo, una vez multiplicamos por 100 y otra por 1000, para obtener dos números decimales periódicos puros:

679. 22222. . . . 6792. 2222. . . .

Si resto estos dos números me desaparece el periodo:

1000N 6792. 222222. . . . 100N 679. 222222. . . .

900N 6113

EntoncesN 6113

900 6. 792 2222. . . .

900

Ejercicios finales del tema

1. El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar el cubo grande, recubrimos el anterior con dados rojos.

¿Qué fracción de los dados del cubo grande son rojos?¿Y amarillos?

El cubo amarillo tiene 3 de izquierda a derecha, tres de lado a lado y tres de arriba a abajo. Entonces son

3 3 3 33 ₂₇_{dados amarillos}

Una pared roja tiene cinco de lado a lado, cinco de arriba a abajo y uno de profundidad. Entonces tiene

5 5 1 52 ₂₅

Hay seis paredes rojas. Entonces6 25 150dados rojos

El cubo grande tiene150 27 177cubos. Recuerda como está formado el cubo: cubo amarillo recubierto de seis paredes rojas.

Tenemos que la fracción de dados rojos del cubo es 150

177 5059

Tenemos que la fracción de dados amarillos del cubo es 27

177 9 59

Tareas 22-11-12: 2

(9)

f) 3

5 de100 100 5 3 20 3 60

Tareas 22-11-12: todos los ejercicios que faltan del 3

4 ¿Cuántos gramos son? c) 7

20 de kilo 207 de 1000g 1000 20 7 50 7 350g

Tareas 22-11-12: todos los ejercicios que faltan del 4 Tareas 22-11-12:5

6 ¿Qué fracción de hora son? c) 360 segundos 1 hora 3600 segundos 360 3600 1 10 de hora

7 Expresa en forma decimal f) 5

11 5 11 0. 45454545. . . número decimal periódico puro

5 11 0 0. 45 5 0 4 4 6 0 5 5 5

8 Pasa a forma fraccionaria

c)0. 008número decimal exacto

0. 008 8 1000 4 500 2 250 1 125 fracción generatriz

f)2. 8888888. . . .número decimal periódico puro Tenemos lo siguiente:

10N 28. 888888. . . . N 2. 888888. . . .

9N 26

EntoncesN 26

9 fracción generatriz

Hemos multiplicado por 10 pues tenemos sólo una cifra de periodo i)0. 1333333. . . .número decimal periódico mixto

Como tenemos una cifra de anteperiodo y otra de periodo multiplicamos una vez por 10 y otra por 100.

100N 13. 333333. . . . 10N 1. 333333. . . .

90N 12

EntoncesN 12 90

2

15 fracción generatriz

9 Escribe

c) Una fracción equivalente a 35

45 y tenga por numerador 91 35 45 91 x 35 x 91 45 x 91 45 35 117 La fracción sería 91 117

(10)

¿Cuál de los dos tiene una porción mayor de verde? Izquierda 3 5 159 derecha 2 3 10 15 min. c. m 3, 5 15 Tenemos más verde en 2 3 1015 159 35

Explica la transformación que propone este gráfico para resolver el problema:

Lo que han hecho es multiplicar la primera por 3 y la segunda por 5. Asi conseguimos que las dos figuras tenga 15 trozos del mismo tamaño y sea más fácil comparar las áreas verdes.

11 Calcula x en cada caso: d) x 78 91 169 x 91 78 169 42

Se aplica producto de medios es igual a producto de extremos

9 1 x 7 8 7 2 8 6 3 7 7 0 9 8 7 0 9 8 169 6 7 6 42 0 3 3 8 3 3 8

Tareas 26-11-12: todos los ejercicios que faltan del 11 Tareas 26-11-12:12

13 Reduce a común denominador: b) 1 3, 15, 16, 215 min. c. m 3, 5, 6, 15 30 1 3 30 3 1 30 10 30 1 5 30 5 1 30 306 1 6 30 6 1 30 5 30 2 15 30 15 2 30 4 30

14 Ordena de menor a mayor: a) 9

10, 0. 6, 32, 75, 1. 1111111. . . .

0. 6 6

10 3

5 pues se trata de un número decimal exacto.

1. 111111. . . . es un número decimal periódico puro con una cifra de periodo, por lo que sólo multiplicamos por 10.

10N 11. 111111. . . . 1N 1. 111111. . . .

9N 10

EntoncesN 10 9 fracción generatriz min. c. m 10, 5, 2, 9 90 9 10 81 90 0. 6 3 5 5490 3 2 135 90

(11)

7 5 12690 1. 1111. . . 10 9 100 90 54 90 8190 10090 12690 13590

16 Calcula mentalmente: f) 1 4 1 8 2 8 1 8 3 8

Tareas 26-11-12: todos los ejercicios que faltan del 16 a)1 1 10 10 1 10 9 10 17 Calcula y simplifica: d) 4 3 2 32 56 86 126 86 56 16 min. c. m 3, 2, 6, 1 6

18 Calcula y simplifica: f) 23 78 265 2378 11725 4678 2526 11725 2339 2526 11725 min. c. m. 39, 26, 117 2 32 ₁₃ ₂₃₄ 39 3 13 26 2 13 117 32 ₁₃ 234 39 23 234 234 26 25 234 234 117 25 234 6 23 234 9 25 234 2 25 234 138 234 225 234 50 234 137 234

19 Opera d) 3 1 3 3 4 3 5 1 10 7 20 9 1 3 15 12 20 2 7 20 8 3 3 20 5 20 8 3 8 20 8 3 2 5 4015 6 15 34 15 h) 7 12 13 20 1 5 8 15 17 30 1 2 23 30 7 12 13 20 3 15 8 15 17 30 15 30 23 30 7 12 13 20 11 15 17 30 8 30 7 12 3960 4460 309 7 12 5 60 9 30 35 60 5 60 18 60 22 60 11 30

20 Calcula y simplifica: e) 2 3 9 20 2 9 3 20 18 60 3 10 fracción irreducible i) 3 8 289 3 9 8 28 22427 fracción irreducible

22 Calcula y reduce: a) 1 1 6 1 1 6 6 1 1 6

23 Opera y reduce. d) 7 20 1415 49 20 147 15 49 105280 49 2156 49 50484 25242 12621 7 42 1 6 fracción irreducible

(12)

24 Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados. a) 1 2 4 3 1 6 3 4 4 6 3 24 16 24 3 24 13 24 fracción irreducible b) 1 2 4 3 1 6 3 4 1 2 8 6 1 6 3 4 1 2 7 6 3 4 21 48 7 16 fracción irreducible

Los resultados son distintos

25 Opera y reduce. d) 3 5 12 1 4 2 5 106 5 10 5 20 8 20 1 10 13 20 20 130 2 13 fracción irreducible

26 Opera y reduce. d) 1 4 1 3 3 4 2 5 107 3 12 4 12 15 20 8 20 7 10 1 12 7 20 7 10 1 12 7 10 20 7 1 12 1 2 1 12 6 12 5 12 fracción irreducible 30 Calcula a)2 2 1 22 1 4 Otra forma:2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 h) 1 2 3 2 3 2 2 2 8

31 Expresa sin usar potencia negativa. a)x 2 1 x2 Otra formax 2 1 x 2 f) 1 x 4 x 4

32 Reduce a una potencia única. d)x 2 _x5 _x 2 5 _x3 l) x 1 x2 _x 4 x 1 x2 4 x 1 x 2 x 1 _x 2 _x 1 2 _x 1 2 _x1 _x

33 Simplifica b)x3 1 x5 x 3 _x 5 _x3 5 _x3 5 _x8 e) a2 3 1 a 7 a2 3 _a 7 _a6 _a 7 _a6 7 _a 1 1 a

34 Escribe con todas sus cifras estas cantidades.

a)37 107 _370000000

f)2. 3 10 8 _{0. 000000023}

35 Expresa en forma abreviada

a)8400000 84 105

d)0. 00000025 25 10 8

38 Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1700 millas. ¿cuántas millas le faltan todavía por recorrer?

Primera forma Calculamos 3

10 de 1700 1700 10 3 170 3 510

(13)

1700 510 1190millas faltan por recorrer. Segunda forma

Calculamos primero la fracción de recorrido sin hacer:

1 3 10 10 10 3 10 7 10 Calculamos 7 10 de 1700 1700 10 7 170 7 1190

millas faltan por recorrer. Tareas 03-12-12: 39, 40

41 Amelia ha gastado 3

8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvil que le ha costado 90

euros. ¿Cuánto dinero le queda todavía? Sabemos que 3

8 son 90 euros, por lo que 18 serán90 3 30 euros.

Los ahorros serán 8

8, es decir8 30 240euros

Le quedarán240 90 150euros. Tareas 03-12-12: 42

43 El muelle de un resorte alcanza estirado, 5

3 de su longitud inicial. Si estirado mide 4.5cm,

¿Cuánto mide su longitud? Sabemos que 5

3 son4. 5cm, por lo que 1

3 será4. 5 5 0. 9

Luego el muelle en reposo será 3

3 que son3 0. 9 2. 7cm

44 La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y 2

5 africanos. El resto

son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión? Calculamos1 3 de 240 240 3 1 80 1 80europeos Calculamos 2 5 de 240 240 5 2 48 2 96africanos 240 80 96 240 176 64 americanos Tareas 03-12-12: 45,46

47 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1

20 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar

con un bidón que contiene tres litros y medio?

3. 5 1

20

3. 5 20

1 70. 0 frascos se pueden llenar

Tareas 03-12-12: 48

49 La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llenado seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?

dos kilos y un cuarto son2 1 4 8 1 4 9 4 9 4 6 9 6 4 9 24 3

8 de kilo van en cada frasco