Introducción al lenguaje Octave: aplicaciones a problemas de matemática

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1004 INTRODUCCIÓNALLENGUAJEOCTAVE:APLICACIONESAPROBLEMASDEMATEMÁTICA MaríaE.Ascheri,RubénA.Pizarro

FacultaddeCienciasExactasyNaturales,UniversidadNacionaldeLa Pampa

Argentina mavacheri@exactas.unlpam.edu.ar

Campodeinvestigación: Tecnologíaavanzada Nivel: Superior

Resumen.Losavancestecnológicosyladisponibilidadderecursosinformáticossehan convertido enherramientas deapoyoalproceso deenseñanzaͲaprendizajeenmuchas disciplinas.Esporelloquenospropusimosintroducirnuevasestrategiasmetodológicaspara facilitarlaenseñanzayelaprendizajedetemasdeCálculoNuméricoutilizandounsoftware matemáticolibreydecódigoabiertocomoOctave.Paralograresteobjetivo,proponemosel dictadodeuncursoͲtallersobreOctaveconaplicacionesaproblemasdematemáticapara aquellosalumnosquedebancursarlaasignaturaCálculoNuméricoytambiénparaalumnos deMatemáticaengeneral.Luego,seimplementasuusoeneldictadodedichaasignatura. EnestetrabajopresentamoslascaracterísticasdelcursoͲtaller,unabrevedescripcióndel Octave,algunosejemplos,actividadespropuestasytrabajosfinalesdelosparticipantes. Palabrasclave:softwareOctave,problemasdematemática,propuestadecursoͲtaller

Introducción

Noajenosalosavancestecnológicosyaladisponibilidadderecursosinformáticoscomo herramientasdeapoyoalprocesodeenseñanza–aprendizajeenunaampliavariedadde disciplinas,nospropusimosdictaruncursoͲtallerintroductoriosobreelusodellenguaje Octave,especialmentedirigidoaaquellosalumnosquetenganensuPlandeEstudiosla asignatura Cálculo Numérico y también a alumnos relacionados con el área de Matemática.Unavezconcretadaestapropuesta,seimplementasuusoeneldesarrollode dichaasignaturaconlafinalidaddequeayudealosalumnosarealizarlacomponente numéricadelosproblemasquedebanresolverenellaboratorio.ParalaenseñanzaͲ aprendizajedetemasdeCálculoNumérico,sesiguiólasiguientemetodología:

1. Desarrollodecontenidosteóricos:Parasistematizarlosconocimientoscurricularesy delsoftwarematemáticoutilizadoenlaasignatura.

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

1005 3. Resolucióndeactividades:Paraprofundizaryconsolidarlateoría.

Desarrollo

CaracterísticasdelcursoͲtaller

El cursoͲtaller se denominó “Introducción al software libre Octave: aplicaciones a problemasdeMatemática”yfuellevadoacaboenlaFacultaddeCienciasExactasy NaturalesdelaUniversidadNacionaldeLaPampa,SantaRosa,LaPampa,Argentina.Los integrantesdelaCátedradeCálculoNuméricofueronlosdocentesacargodeldictadodel mismo,yestuvodirigidoespecialmentealosalumnosquedebancursarlaasignatura CálculoNuméricoytambiénaalumnosrelacionadosconeláreadeMatemática.

LosobjetivosdelcursoͲtallerfueronlossiguientes:

x Aportarunaherramientaadecuadaalosavancestecnológicosyaladisponibilidadde recursosinformáticos.

x Iniciar,capacitarymotivaralosparticipantesenelusodellenguajeOctave.

x Mostrarsuutilidadenlaresolucióndeproblemasmatemáticos.

x Capacitaralosparticipantespararealizartrabajosacordesasusáreasdeestudio.

x Proporcionarunabasesólidasobreelusodeestelenguajeparaelestudioposteriorde problemasquerequierandelaprogramacióndemétodosnuméricosparasusolución. Sedetallaacontinuación,elprogramadecontenidosmínimosdesarrollado:

x Introducción

x SintaxisdeOctave

x Archivosdefuncionesydescripts

x Polinomios

x Sistemasdeecuacioneslineales

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1006 x Gráficas x Funcionesdeentrada/salida x Otrasfuncionesdeinterés

SerequirióunmanejobásicodePCporpartedelosparticipantes.Lasclasesfueronde carácterteóricoͲpráctico.LametodologíautilizadaduranteelcursoͲtallerconsistióenla resolucióndeactividadesprácticasporpartedelosparticipantes,constituyendogrupos formalesdeaprendizajecooperativo(Johnson,Johnson&Holubec,1999).Previamente, enuna breve exposición teórica,sedieron las herramientas necesarias parapoder resolverdichasactividades.Conestasherramientasylabúsquedapormediodelcomando help,losgruposresolvieronunaseriedeactividadescomplementarias.

ElcursoͲtallertuvounaduracióndediezencuentrosdedoshorasdeduracióncadauno, enunadelassalasdecomputacióndelaFacultad.Lacargahorariatotalfuedecuarenta horasreloj,distribuidasenhorasdeaulayhorasdetrabajodelparticipante,conuncupo dehasta20participantes(unoporcomputadora).

ParaaprobarelcursoͲtallereracondiciónnecesariaasistiral80%delosencuentros, presentarenformaindividualy/ogrupal(nomásdedosparticipantesporgrupo)un disqueteconlaresolucióndelasactividades,presentarydefenderindividualmenteun trabajointegradordeloscontenidosdesarrolladosyacordealasáreasdecadauno. Seemitieroncertificadosdeaprobaciónporuntotaldecuarentahorasrelojparalos participantesquecumplieronlascondicionespautadas,ydeasistenciaporuntotalde cuarentahorasrelojparaaquellosparticipantesquesóloasistieronalosencuentros.

¿Quéesoctave?

Octaveentraenlacategoríadesoftwarelibreyesunlenguajedealtoniveldiseñado originalmentepararealizarcálculosnuméricosenlacomputadora.Tieneunainterfasede líneadecomandopararesolverproblemaslinealesynolineales,yunlenguajede

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1007 programaciónsimilarasucontrapartecomercialMATLAB,conelqueesprácticamente

compatible.Octavepermiteabordarproblemasdelascienciasylaingeniería.

Enestapropuestautilizamoslaversión2.1.50deOctave.Loscontenidosquemostramos formanpartedeunmanualqueelaboramosparaeldictadodelcursoͲtaller(Ascheri, PizarroyCulla,2006).ElmanualdereferenciamásrecomendableydifundidodeOctave enInterneteseldesucreadorJohnW.Eaton(1997),ytantoallícomoenloselaborados porGarcíaRojo(2003)yHamiltonCastro(2004)puedenencontrarsemayoresdetalles.

EjecutandoOctave

ExistenvariasversionesdeOctave,todasdisponiblesenformagratuitaenInternet.La páginaprincipaldeOctaveeshttp://www.octave.org.

UnadelaspáginasdesdedondesepuedeobtenerladistribuciónparaWindowses: http://prdownloads.sourceforge.net/octave/octaveͲ2.1.50Ͳinst.exe

Unavezobtenidoelinstalador,sedebeejecutarelmismoyseiniciaráelprocesode instalacióndeOctave.Paraejecutarelprograma,simplementesedebehacerdobleclick eneliconocorrespondiente.Octavemuestraunmensajeinicialyunpromptindicando queestáesperandoórdenesdelusuario.

ParapoderobtenerinformacióndeOctaveesnecesarioconocerelnombredelaorden quesequiereusar.Estenombrenotieneporquéserobvio.Unbuensitioparaempezar estipeandohelpyluegopresionandoENTER.Siyaseconoceelnombredelcomando, simplementehayquepasarlocomoparámetro.

Paraeditarlosprogramasseutilizaelblocdenotas.Losarchivoscreadosdebenser guardadosconextensiónmenC:\Archivosdeprograma\GNUOctave2.1.50\octave_files parapoderserinvocadosluegodesdeOctave.

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1008 Algunasaplicacionesaproblemasdematemática

SinentrarendetallessobrelasintaxisdeOctave(tiposdedatos,variables,operadores, funciones,expresionesdecontroldeflujo)yotrascuestionesespecíficasdeestelenguaje, acontinuaciónpresentamosalgunosdelosejemplosdadosenelcursoͲtalleryquese encuentrandesarrolladosenelmanualdeAscherietal(2006),loscualespermitenilustrar lasprincipalescaracterísticasdeestelenguajeysuutilidadenlaresolucióndeproblemas matemáticos.Tantoparalaseleccióndeéstoscomodelas actividades propuestas, algunasdelascualessemuestranenestetrabajo,setuvoenconsideraciónhaciaquién estabadirigidalapropuesta. Ejemplo1.Parahallarlasolucióndelsiguientesistemalineal sepuedehacerdevariasmaneras:

>>A=[1Ͳ23;41Ͳ2;2Ͳ14];%IntroducimoslamatrizdecoeficientesA >>b=[1;Ͳ1;2];%Introducimoslamatrizdetérminosindependientesb >>x=A\b%VectorsoluciónsegúnelmétododeeliminacióndeGauss x=

Ͳ0.04167

0.41667

0.62500

>>x=rref([Ab])%VectorsoluciónsegúnelmétododeGaussͲJordan x=

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1009 0.000001.000000.000000.41667 0.000000.000001.000000.62500

>>x=inv(A)*b%Vectorsoluciónsegúnelmétododelainversa x=

Ͳ0.04167

0.41667

0.62500

Ejemplo2.Siaunagráficaqueremosagregarlealgunasetiquetas,paraquesevisualicen estasmodificacionesdebemosingresarcadavezlafunciónreplot.

>>fplot('sin(x.^(Ͳ1))',[Ͳ6.286.28])%Dibujalafunciónsin(1/x)en[Ͳ6.28,6.28] >>title('Gráficadelafunciónsin(1/x)')%Colocatítuloalagráfica

>>replot %Agregaloscambios

>>xlabel('x') %Colocauncartelenelejex >>ylabel('y') %Colocauncartelenelejey >>replot %Agregaloscambios

>>text(2,Ͳ0.5,'Graficaconetiquetas')%Colocaeltextoenelpunto(2,Ͳ0.5) >>replot %Agregaloscambios

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1010 Algunasdelasactividadespropuestas

MostramosaquídosdelasactividadespropuestasenelcursoͲtaller(Ascheriycols., 2006).

1.Resuelvaelsiguientesistemadeecuacioneslinealesdetresformasdistintasutilizando eloperador\,lafunciónrrefylafuncióninv():

°¯ ° ® 0 7 6 7 6 5 3 z y x z y x z y x 2.Realicelossiguientesprogramasquepermitan: a)Ingresarunnúmeronaturalyluegomostrartodoslosnúmerosparesmenoresqueél. b)Calcularelvalordelahipotenusadeuntriánguloingresandolosvaloresdesuscatetos. c)Ingresarunamatrizymostrarelmayoryelmenordesuselementos.

Algunosdelostrabajosfinaleselaboradosporlosparticipantes

AlfinalizarelcursoͲtaller,losparticipantespresentarondiferentespropuestasutilizandoel software Octave. La mayoría eran alumnos del Profesorado en Matemática. Éstos presentaronactividadesparaserimplementadasenlasclasesdeNivelPolimodal.Porotro lado, los demás participantes, alumnos de la Licenciatura en Física, presentaron actividadestendientesa analizargráficamentediferentesfenómenosdesu área de estudio.

TrabajofinalI.Orientadoaalumnosde2°añodeNivelPolimodal.

UnafunciónexponencialesunafuncióndelaformaF(x)=kax,dondekesunnúmeroreal nonuloysedenominacoeficientedelafunción,yaeslabasedelafunciónsiendoun númerorealpositivoydistintode1.

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1011 Grafiquenenunmismosistemadeejescartesianoslassiguientesfuncionesutilizandolas

sentenciasholdonyholdoff:

a)Y=2xY=(1/2)xb)Y=3xY=(1/3)x Ahorarealicenelanálisisqueseindicaacontinuación: Ͳ Valordondelasgráficascortanalejedelasordenadas. Ͳ Valordondelasgráficascortanalejedelasabscisas. Ͳ Dominiodelasfunciones. Ͳ Imagendelasfunciones. Ͳ Silabaseesmayorque1lafunciónes. Ͳ Silabaseesmenorque1lafunciónes. Ͳ Lasgráficasquecorrespondenafuncionesdebasesrecíprocasresultan. 2.ͲVamosaanalizarlasfuncionesdelaformay=kax+b. Grafiquenenunmismosistemadeejescartesianoslassiguientesfunciones: a) Y=2.3x+1Y=2.3xͲ1Y=2.3xb)Y=1.2x+2Y=1.2xͲ2Y=1.2x Ahorarealicenelsiguienteanálisis: Ͳ Sib>0lagráficasedesplaza. Ͳ Sib<0lagráficasedesplaza. Ͳ Escribanlaimagendelasprimerasfuncionesquegraficaron. Ͳ Elvalordebdetermina.

TrabajofinalII.Movimientodeunproyectilsujetoalefectodelaresistenciadelaire,en unmediodondelafuerzaderetardoesproporcionalalavelocidad.Realizaelprograma quemuestrelastrayectoriascuandoelusuarioingresalavelocidadinicialyelángulo inicialconlahorizontal,comparándolasconelmovimientoidealizadoqueescuandola resistenciadelmedioesdespreciada(k=0).

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1012 Hicimoselprogramayloejecutamosparav0=600m/s,D=60q.Obtuvimoselsiguiente

gráficoyconcluimosqueamayorcoeficientederesistenciaesmásverticallacaída:

Experienciasyconclusiones

Enelprimersemestredelaño2006dictamosestecursoͲtaller,conunbuenregistrode inscripciones.Comoelcupomáximo(20)fuesuperado,debimoshacerunaselecciónde aspirantes.Deltotal,sólounonorecibióelcertificadodeaprobaciónperosídeasistencia. Lapresentaciónydefensadeestostrabajosfuemuyenriquecedoraparatodoelgrupo,ya que cada participante presentó una posible implementación de una situación problemáticarelacionadaconsusdiferentesperfiles,estoes,acordeconlascarrerasde cadauno.

La mayoría de los participantes, futuros profesores de matemática, propusieron actividadesenlasquesusalumnosdeberíanutilizarlacomputadoraparafacilitarlos cálculosylarealizacióndegráficos,arribandoluegoaconclusiones.Deaquí,observamos queestosparticipantesnopropusieronutilizarelsoftwarecomounaherramientade apoyoparafacilitarlacomprensióndelosconceptosaestudiar,oparamodificareltipode actividadeshabitualesarealizar.Simplemente,proponíanrealizarlasmismasactividades queenunaclasetradicional,ampliandosóloelnúmerodeejercicios.Distintafuela situación que se presentó con los alumnos del área de Física. Estos presentaron

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1013 actividadesconvistasaapoyarlastareasdeenseñanzadelosdiferentesconceptos,

extrayendoconclusiones.

Luego de dictar este cursoͲtaller, hemos experimentado su implementación en el desarrollodealgunoscontenidostemáticosdelaasignaturaCálculoNumérico(Mathewsy Fink,2000)enlosaños2006y2007,conlafinalidadderealizarunseguimientoy evaluacióndelasrepercusionesdelcursoͲtallerenlamateria.Paraello,combinamosla enseñanzatradicionaldesarrolladaenelaulaconelaprendizajecooperativopormediode gruposformales(Johnsonycols.,1999),herramientadidácticaempleadaenlasalade cómputospararesolversituacionesproblemáticasutilizandoelsoftwareOctave(Ascheriy Pizarro,2006).Enunaprimerainstancia,podemosafirmarquelosresultadosobtenidos fueron positivos ya que pudimos alcanzar uno de los objetivos propuestos en la asignatura:quelosalumnostuvieranaccesoaunsoftwarelibreydecódigoabiertopara poderdesarrollarsuspropiosprogramassindemasiadadificultad.Además,elusode OctaveenCálculoNuméricoredujolapreocupaciónporlastécnicasdecálculoypermitió a los alumnos concentrarse en las ideas centrales de los conceptos matemáticos, favoreciendo a su formación académica. También, se logró que trabajaran más activamentequeenañosanterioresenlasactividadesquedebíanrealizarenlasalade computaciónyusaransusprogramasenlasevaluacionesparcialesdelamateria.Elhaber llevadoacaboestecursoͲtallerantesdecomenzarconeldesarrollodeCálculoNumérico haresultadodeapoyoparaelprocesodeenseñanzaydeaprendizaje,lográndoseaplicar losmétodosnuméricosasituacionesproblemáticasreales. Sinembargo,hayquetenerpresentequeeleducadordebesiempreactuarcomoguíadel aprendizaje,definiendounpuntodeequilibrioentreelempleocombinadodelasnuevas tecnologíasydelosmétodostradicionales,eincentivandoalestudianteparaqueéste realice siempre el esfuerzo de analizar la coherencia de los resultados que está obteniendo,ydecomprenderlosfundamentosteóricosenlosquesebasandichos resultados.

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 1014 Referenciasbibliográficas Ascheri,M.E.,Pizarro,R.A.(2006).Aplicacióndelaprendizajecooperativoeneltema: solucióndesistemasdeecuacioneslineales.J.E.Sagula(Presidente),MemoriasdelVIII SeminariodeEducaciónMatemática.(pp.1Ͳ19).BuenosAires,Argentina:UNLu. Ascheri,M.E.,Pizarro,R.A.,Culla,M.E.(2006).AplicacionesdellenguajeOctavea problemasdematemática.Manuscritonopublicado,FacultaddeCienciasExactasy Naturales,UniversidadNacionaldeLaPampa,SantaRosa,Argentina.

Eaton,J.W.(1997).Octave:(octave).Interactivelanguagefornumericalcomputations. (Versión 2.1.x) [Software y manual de cómputo]. Recuperado de http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/index.html

GarcíaRojo,J.J.(2003).HerramientasenGNU/Linuxparaestudiantesuniversitarios. GNU/Octave:CálculoNuméricoporordenador.Boston,USA:FreeSoftwareFoundation. HamiltonCastro,A.(2004). Introducción alOctave. [Manualde cómputo].Grupo de ComputadorasyControl,Dpto.deFísica,ElectrónicaySistemas,ULL,España.Recuperado dehttp://cyc.dfis.ull.es/asignaturas/Curso20042005/octave/ApuntesOctave/

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Johnson,D.W.,Johnson,R.T.yHolubec,E.J.(1999).Elaprendizajecooperativoenel aula.BuenosAires:PaidósSAICF.

Mathews,J.yFink,K.(2000).MétodosNuméricosconMATLAB.España:PrenticeHall.