Modelo mecánico acoplado para la simulación 2D del tránsito peatonal por estructuras esbeltas

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

Modelo

mecánico

acoplado

para

la

simulación

2D

del

tránsito

peatonal

por

estructuras

esbeltas

M.

Cacho-Pérez

∗,1

_y

_A.

_Lorenzana

2

EscueladeIngenieríasIndustriales,UniversidaddeValladolid,PaseodelCauce59,47011,Valladolid,Spain

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo:

Recibidoel12deenerode2015 Aceptadoel19denoviembrede2015 On-lineelxxx Palabrasclave: Interaccióndinámica Fuerzasdecontacto Marchaandando Vibracionesverticales

r

e

s

u

m

e

n

Estetrabajosecentraenevaluarlainteraccióndelmovimientoverticalentreunpeatónylaestructuratipo vigaporlaquecamina.Paralocual,elpeatónsehamodeladomedianteunsimplesistemadinámicoque consisteensumasaconcentradaalaalturadelcentrodegravedadsoportadapordosmuellesquesimulan larigidezdelaspiernas.Eléxitodeestemodelobípedoconsisteenquelasfuerzasdecontactoresultantes seajustanalasobservadasexperimentalmenteparalamarchaandando,loquejuntoconelefectodela masamóvilhacequelasimulaciónsearealista.Larespuestadinámicadelavigaseobtienemediantela técnicadesuperposiciónmodalalaqueseacoplanlasecuacionesdebidasalamasapuntuala ˜nadida, siendolaexcitacióndelconjuntoladadaporlasfuerzasqueinduceelmodelodepeatónenlospuntos decontactoencadainstanteconsiderado.Elconjuntodeecuacionesdiferencialesresultanteseresuelve numéricamentemediantemétodosdeRunge-Kutta.Sepresentanlosresultadoscorrespondientesados casosparadiferenterelaciónentreelpesodelavigaydelpeatónparadiferentescadenciasdepaso.

©2016CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.Esteesun artículoOpenAccessbajolalicenciaCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

Mechanical

model

for

the

2D

simulation

of

pedestrian

traffic

by

slender

structures

Keywords:

Dynamicinteraction Humangait Groundreactionforce Verticalvibrations

a

b

s

t

r

a

c

t

Thisworkfocusesonevaluatingtheverticalmovementsthatappearwhenapedestrianiswalkingona slenderbeam-likestructure.Forthat,thepedestrianismodelledbyadynamicsystemconsistingona concentratedmass,locatedinitscenterofmasses,supportedbytwospringswhichsimulatethestiffness ofthelegs.Thesuccessofthissimplemechanicalmodelisthattheresultingcontactforcesarewell adjustedtothoseobservedexperimentallyforhumangait.Inthisway,thestructureisundergoingthe movingmassandisloadedwithrealisticforces,resultinginaproperassemblytostudyinteractioneffects. Thedynamicresponseofthebeamisobtainedatanycoordinatebythemodalsuperpositionmethod, consideringafinitenumberofmodes.Differentialequationsoftheresultingcoupledproblemaresolved usingpropernumericaltechniques.Solutionsobtainedfordifferentscenarios(dependingonthemassof thepedestrianwithrespecttothemassofthebeamandonthepace)arepresented.

©2016CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublishedbyElsevierEspaña,S.L.U.Thisisan openaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

∗ Autorparacorrespondencia.

Correoselectrónicos:cacho@eii.uva.es(M.Cacho-Pérez),ali@eii.uva.es

(A.Lorenzana).

1_{DoctorIngenieroIndustrial,ProfesorAyudanteDoctor.} 2_{DoctorIngenieroIndustrial,ProfesorTitular.}

1. Introducción

Lainteracción persona-estructuraesun temaimportanteen eldise ˜nodeestructurasesbeltasocupadasyexcitadas dinámica-menteporpersonasyaquepodríacondicionarelestadolímitede servicio respectoavibraciones. A pesardeelloes untemaque desdeelpuntodevistacomputacionalnohasidoabordadoconla

http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.11.003

0213-1315/©2016CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.EsteesunartículoOpenAccessbajolalicenciaCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

rigurosidadadecuada.Enmuchasocasiones,inclusoapropuesta dealgunasnormativas,sehacenformulacionessimplistasde fuer-zasarmónicasenlasquesedesprecianosóloelefectodelamasa móvilsinotambiénlacorrectavariacióntemporal dela excita-ción.

Enestetrabajo,lamecánicabásicadelalocomociónhumana seasociaaunmodelobípedomasa-muelleysecompruebaqueel considerarlaspiernasflexiblesylafasededoblesoporte(ambas piernasapoyadas)esesencialparaobtenerlosmecanismos bási-cosdelmovimientodelcaminarhumano. Elmodeloexplicalos cambiosdelasenergías cinéticaypotencial queseobservan al andar.

Estemodelo,introducidoporWhittington[9],mejoralos mode-lospreviosbasadosenelsimplepénduloinvertido[2,3]ypermite tenerencuentalasdosfasesdeapoyo(simpleydoble) locual generanosólamenteunasfuerzasverticalesdecontactorealistas, similaresalasregristradasenunaplacadefuerza,sinotambiénuna adecuadacinemáticadelcentrodemasasdurantetodoelciclodela marcha.Aunqueexistenotrosmodelosmáscomplejosdepeatón, incluyendomúltiples masas,efectos deamortiguamiento [3,7,8] oinclusomodelosrealistasmultisegmentoconmasasdistribuidas [6]sehaconsideradoqueanivelconceptualelmodelobípedo adop-tadoessuficientementeprecisoparaestudiarelproblemaacoplado objetodeestetrabajo.

Aunquelaformulacióndedichomodelo,sinamortiguamiento alguno,“caminando” sobreunsuelorígidonoprecisaaportede energía, cuando se acopla a una estructura flexible, principal esfuerzorealizadoenestetrabajo,es necesario introducir fuer-zasadicionalesparamantenerlacadenciadepaso.Elloesdebido aquelaestructura,ensumovimiento,adquiereenergíacinética (porvibración)yelástica(porflexión),ademásdelaque disipa porelamortiguamientoestructuralconsiderado[1,4].Porelloel modeloaplicaencadainstantealpeatónuna fuerzadecontrol para compensarla energíaque ésteaporta a lavibración de la vigaypara regularel ciclo decaminardelpeatón.Los resulta-dosdesimulaciónmuestranquelainteraccióndinámicaaumenta conunmayorniveldevibracióndelaestructuray,porlotanto, requiere mayor aporte de energía para mantener el paso. Por otrolado,tambiénse compruebacómose ve afectadoel fenó-menoderesonanciadelavigadebidoalainteraccióndinámica [7,8].

Laestructuraqueseconsideraenestetrabajoconsisteenuna vigasimplementeapoyadasolicitadaaflexiónenelplanovertical porelefectodelcaminardeunpeatón(peatónactivo)atravésdelas fuerzasquesedesarrollanenlospuntosdecontactodelpeatónal andarpordichaviga.Enestascondicioneslaestructuraconstituye unsistemalinealsometidoaunaexcitaciónforzadacuyarespuesta espacio-temporalsepuedeobtenermedianteelmétodode super-posiciónmodal[5].Noobstante, alestaracopladoelmodelode peatón,elconjunto,porelefectodelamasamóvil,resultanolineal ysuresoluciónrequieretécnicasespeciales.

Eltrabajosehaorganizadodelamanerasiguiente:enprimer lugar,trasestaintroducción,sepresentalametodologíaempleada. Acontinuación,sedisertasobrelosresultadosobtenidos.Yenel últimoapartadosepresentanlasprincipalesconclusionesquese deducendeestetrabajo.

2. Sistemadinámicopeatón-estructura

Elpeatónsesimulaconunmodelobípedocondosgradosde libertadcomosemuestraenlafigura1.Elpeatónsemodelacomo unamasaconcentradamhenelcentrodemasa(COM)ylasdos

piernassedescribencomodosmuellesderigidezconstanteklegsin

masaylongitudinicialsintensiónL0[3].

mh L0 θt kleg Lt θl Ll

Figura1.Modelopeatón.

θ0 θ0 θ0 Doble apoyo Apoyo simple Doble apoyo Apoyo simple

Figura2. Esquemabiomecánicodelmodelodecaminarhumano.

z u xt xl yl yt

Figura3.Modelomatemáticodeanálisisdinámicodelapasarelapeatonal.

Unpasocompletosedivideendosperíodos:fasedeapoyo sim-pleyfasededobleapoyo.Enlafigura2semuestracómolafase dedobleapoyocomienzaconelapoyodelapiernaguíaytermina conlapérdidadecontactodelapiernadearrastre,instanteenque seinicialafasedeapoyosimple. Entonces,conformeseavanza lapiernadearrastresevuelveasituarpordelantedelCOMconun ángulodeataquedeterminado0yseconvierteenlapiernaguíade

lasiguientefase.Cuandodichapiernacontactaconelsuelo,lafase deapoyosimplesehacompletado.Nótesequeconestas considera-cionesnoesnecesariodistinguirentrepiernaizquierdaoderecha yunpasocompletosecomponededossucesionesdelasfasesde apoyosimpleydoble.

Porsimplicidad,perosinpérdidadegeneralidad,seha consi-deradoquelaestructuraesunavigabiapoyadaenlosextremos deseccióntransversalconstante,cuyocomportamientoaflexión vienegobernadoporlasecuacionesdeNavier-Bernoulli.

2.1. Ecuacionesdelmovimiento

Considéreselaestructurasometidaalefectodeunpeatón cami-nando,comosemuestraenlafigura3.Seasumequeelpeatónse mantieneencontactoconlasuperficiedelavigaentodomomento. Lasecuacionesdemovimientoquegobiernanlavibraciónse derivandelaecuacióndeLagrange.LaenergíacinéticaTylaenergía potencialVdelsistemadinámicopeatón-estructuraenlafasede dobleapoyosepuedenobtenercomo:

T=1 2mhz˙ 2₊1 2mhu˙ 2₊1 2

L 0 my˙(x,t)2dx (1a)

V= 1 2kleg(Ll−L0) 2₊1 2kleg(Lt−L0) 2_+m hgz +1₂

L 0 EI

y(x,t)

2dx (1b)

ElmovimientodelCOMsedescribeporlascoordenadas gene-ralizadas(z,u),dondezyuindicanlosdesplazamientosverticaly horizontal,respectivamente;y(x,t)eseldesplazamientodelaviga;

EymsonelmódulodeYoungdelmaterialylamasaporunidad delongituddelaviga;geslaaceleracióndelagravedad;LlyLtson

lalongituddedospiernas,respectivamente,lossubíndices“l”y“t” indicanlaspiernasguíaydearrastre,respectivamente;y(x,t)es lacurvaturadelaviga.

Porelmétododesuperposiciónmodal,eldesplazamiento ver-ticaldelavigasepuedeexpresarcomo

y(x,t)= n

i=1

i(x)Yi(t) (2)

dondei(x)sonlosnprimerosmodosdevibraciónconsideradose Yi(t)sonlascoordenadasmodales.

Lalongitudde lapiernaguía ydela piernadearrastreson, respectivamente:

Ll=

(xl−u)2+(z−yl)2 (3a)

Lt=

(u−xt)2+(z−yt)2 (3b)

dondeylyytsoneldesplazamientoverticaldelavigaenlospuntos

decontactodelaspiernas;xlyxtsonlaposiciónhorizontaldela

piernaguíaylapiernadearrastre,respectivamente.

LasecuacionesdeLagrangedelsistemapeatón-estructura vie-nendadasentoncespor

d dt

∂

T

∂

Y˙i +

∂

V

∂

Yi =Qi (i=1,2,...,n) (4a) d dt

∂

T

∂

z˙ +

∂

V

∂

z =Qn+1 (4b) d dt

∂

T

∂

u˙ +

∂

V

∂

u =Qn+2 (4c)

Sustituyendo(1)en(4)dacomoresultadolaecuacióndinámicadel sistemaenformamatricialcomo(5):

MU¨+CU˙ +KU=F(t) (5)

dondeM,C,K,U, ˙U, ¨UyF(t)sonlasmatricesdemasa, amorti-guamientoyrigidez,ylosvectoresdedesplazamiento,velocidad, aceleraciónyfuerza,respectivamente.Paraelcasodeinterés,las matricesdemasa,amortiguamientoyrigidezyelvectordefuerza sepuedenexpresarcomo

M =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

M1 0 ··· 0 0 0 0 M2 ··· 0 0 0 . . . . . . . .. ... . . . . . . 0 0 ··· Mn 0 0 0 0 ··· 0 mh 0 0 0 ··· 0 0 mh

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

(n+2)×(n+2) C =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

21ω1M1 0 ··· 0 0 0 0 22ω2M2 ··· 0 0 0 . . . . . . . .. ... . . . . . . 0 0 ··· 2nωnMn 0 0 0 0 ··· 0 0 0 0 0 ··· 0 0 0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

(n+2)×(n+2) K =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

ω2 1M1 0 ··· 0 −kt,v1(xt)−kl,v1(xl) 0 0 ω2 2M2 ··· 0 −kt,v2(xt)−kl,v2(xl) 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . 0 0 ··· ω2 nMn −kt,vn(xt)−kl,vn(xl) 0 0 0 ··· 0 kt,v+kl,v 0 0 0 ··· 0 0 kt,h−kl,h

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

(n+2)×(n+2) F(t) =

0 0 ··· 0 −mhg 0

T (n+2) U =

Y1 Y2 ··· Yn z u

T

(n+2) (6) donde kl,v=kleg

1−L0 Ll

_y l z −1

kt,v=kleg

1−L0 Lt

1−yt z

kl,h=kleg

1−L0 Ll

_x l u−1

kt,h=kleg

1−L0 Lt

1−xt_u

i(x)=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

0 x<0 sin

_ix L

0≤x≤L 0 x>L (7)

Seobservaquelamatrizderigidezesvariableenel tiempo. Sepuedecomprobarapartirde(7)que(kl,v,kt,v)y(kl,h,kt,h)son

larigidezverticalyhorizontalefectiva,respectivamente.La rigi-dezverticalefectivasedeterminadaapartirdeunacombinación delarigidezdelapierna(kleg),eldesplazamientodelCOM(u,z)y

eldesplazamientodelaestructura(y).Porlotanto,lasecuaciones delmovimientodelsistemapeatón-estructuraseacoplanen tér-minosdelafuerzadeinteracciónenelpuntodecontacto.Conel movimientodelpeatón,lafuerzadeinteracciónentreelpeatóny laestructuracambia.Aunquelarigidezdelapierna(kleg)es

cons-tantedurantelamarcha,larigidezefectivadelapiernaesnolineal ylospuntosdecontactotambiénvarían,haciendoqueelproblema dinámicoseanolineal.

Todoelanálisisanteriorsebasaenlafasededobleapoyo.El procesodeanálisisdelafasedeapoyosimpleessimilaraladela fasededobleapoyohaciendotodosloscoeficientesrelativosala piernadearrastreigualesaceroendichafase.

2.2. Aporteenergéticoalsistema

Elmodelodepeatónempleadoescapazdereproducirla mar-chadelcaminarhumanoperorequiereunaportedeenergíapara mantenerelcicloyaquesecedeenergíaalavigaqueademás par-cialmentesedisipaporamortiguamiento[9].Unaposibleforma deproporcionarestaenergíaesaplicarunafuerzadecontrolde maneradirectaalpeatón[3].Estafuerzaseevalúaapartirdel requi-sitodequeeltrabajoexternoaportadodebecompensarlaenergía perdida,resultando:

Fctrl(t)=

E0−E(t)

u(t) (8)

Estafuerzadebeserconsideradaen(6)delaforma,

F(t)=

0 0 ··· 0 −mhg Fctrl(t)

T

(n+2) (9)

EnlasexpresionesanterioresFctrl(t),E0,E(t)yu(t)sonlafuerza

horizontaldecontrol,laenergíainicialdelpeatón,laenergíadel peatónyelincrementodedesplazamientohorizontaldelCOMen elinstante“t”,respectivamente.

LaenergíatotaldelpeatónE(t),incluyendolaenergíapotencial ylaenergíacinéticaestádadapor

E(t)= 1₂mhz˙2+ 1 2mhu˙ 2₊1 2kleg(L0−Ll) 2 +1 2kleg(L0−Lt) 2 +mhgz (10) 2.3. Análisismodal

Comoesbiensabidoparaaplicarelmétododesuperposición modaldeberealizarse unanálisismodalprevio, conelobjetivo dedeterminarlasfrecuenciaspropiasdelaestructuraobjetode análisisysusmodospropiosasociadosconvenientemente escala-dos.Todoello,paraelcasodelavigabiapoyadaestáperfectamente documentadoyrespondeaexpresionesanalíticascerradasy sim-ples,véaseporejemplo[5].

2.4. Procesodeanálisis

Larespuestadinámicadelsistemaacopladoencada pasode tiempo“t”sepuedeobtenerenlossiguientespasos:

1.Entradadelosparámetrosgeométricosyfísicostantodelmodelo depeatóncomodelaviga.

2.Realizarunanálisis modalpara obtenerlasfrecuenciasy los modosdevibración delavigaaisladaydefinirelnúmerode modosaconsiderar.

3.Definirlascondicionesinicialesdelaviga(enreposo general-mente)ydelpeatón(desplazamientoinicialyvelocidaddelCOM, posiciónysituacióndepartidadelapiernaguía).

4.Construirlasmatricesdemasa,rigidezyamortiguamientoenel instanteinicial.

5.Definirelincrementodetiempoyotrosparámetrosdelproceso deintegración.

6.Paracadapasodetiempo:

a)Determinarsiestáenlafasededobleapoyoosimple. b)Determinarlaposicióndelospiesylospuntosdecontactocon

lavigadeformada.

c)Calcularlosacortamientosdelaspiernasysurigidezefectiva. d)Ensamblar la matriz de masa, amortiguamiento y rigidez (dependientedeltiempo)yelvectordefuerzadelsistema, incluyendolafuerzadecontrol.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ×10–4 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 y ( m ) t (s)

Figura4.Desplazamientodelpuntomediodelaviga.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –0,06 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 0,06 ¨ y ( m/s 2) t (s)

Figura5.Aceleracióndelpuntomediodelaviga.

e)Aplicarunmétodoadecuado(Runge-Kuttadecuartoorden) paraobtenerlarespuestadelsistemaalfinaldecada incre-mentodetiempo.

f)Repetirhastacompletareltiempobajoestudio.

Lascondiciones inicialesdeesta fasedeben sertalesque se reproduzcaelciclodelcaminarhumanosegúnseestableceenla refencia[9].

3. Resultadosnuméricos

Parailustrarlascapacidadesdelmodelopropuesto,seanalizan dosejemplosdeinteracciónpeatón-estructura.

3.1. Ejemplo1-Vigarígida

SeconsideraunavigabiapoyadadelongitudL=11.0m,las pro-piedades dela vigason:rigidez EI=1.64·108_Nm2_{,la masa por}

unidaddelongitudm=1.364·103_kgm−1 _{ysesuponequelos}

fac-tores de amortiguamiento de todos los modos son iguales de valori=0.3%[7].Laspropiedadesdelpeatónson:mh=80kg,

rigi-dezdeambaspiernaskleg=20kN/m,ángulodeataque0=69◦,y

velocidadmedia

v

m=1.2m/squepara los parámetroselegidos

correspondeaunacadenciadefp=2.0Hz.Seconsideranlosdos

primerosmodosenel análisisdelaviga,dondelasfrecuencias naturalesson:f1=4.501Hzyf2=18.006Hzylasmasasmodales

sonM1=M2=7502kg.

Lasfiguras4y5muestranlarespuestadinámicaenlasección centraldelaviga,desplazamientoyaceleración,respectivamente.Y paraestecasosecomprueba,comoparecelógico,quelarespuesta

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Fz ( N ) t (s)

Figura6.Fuerzadecontactopeatón-viga.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 z ( m ) t (s)

Figura7.Desplazamientoverticaldelcentrodemasa(COM).

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 ¨ z ( m/s 2) t (s)

Figura8.Aceleraciónverticaldelcentrodemasa(COM).

eslamismaconsiderandointeraccióndinámicaquesin conside-rarla.

Enlasiguientefigura,lafigura6,seindicalafuerzaqueelpeatón transmitealaviga.Paraestecasodepeatóncaminandosobreviga rígidasecompruebaqueestaexcitaciónsecorrespondeconlaque semideenunaplacadefuerza.

Enlasfiguras7y8serepresentagráficamenteeldesplazamiento verticalylaaceleracióntambiénverticaldelcentrodemasadel peatón(COM).Lacurvaquedescribelaprimeragráficaeslacicloide queeseltipodecurvaqueseesperadescribalatrayectoria del COM,ylosnivelesdedesplazamientosondelordendeunos5cm

queconcuerdaconlosvaloresqueseobservanexperimentalmente.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ×10–3 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 y ( m ) t (s)

Figura9. Desplazamientodelpuntomediodelaviga(fp=2.25Hz).

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ¨ y ( m/s 2) t (s)

Figura10.Aceleracióndelpuntomediodelaviga(fp=2.25Hz).

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –0,015 –0,01 –0,005 0 0,005 0,01 y ( m ) t (s)

Figura11.Desplazamientodelpuntomediodelaviga.

Acontinuación,sevaasimularelpeatóncaminandosobrela mismavigaperoaunafrecuenciaalgomayor,concretamenteala frecuenciadepasofp=2.25Hz.Delarespuestadelavigaen

despla-zamientosoaceleraciones(figuras9y10),secompruebaquetiene lugarelfenómenoderesonancia,amplificacióndelarespuestapor coincidenciadealgúnarmónicodelaexcitaciónconalgunadelas frecuenciasnaturalesopropiasdelaestructura.

3.2. Ejemplo2-Vigaflexible

A continuaciónseconsidera unavigabiapoyada delongitud

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 ¨ y ( m/s 2) t (s)

Figura12.Aceleracióndelpuntomediodelaviga.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 Fz ( N ) t (s)

Figura13.Fuerzadecontactopeatón-viga.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1 z ( m ) t (s)

Figura14. Desplazamientoverticaldelcentrodemasa(COM).

materialdelavigasondensidad =2400kg/m3_{ymódulodeYoung} E=3·1010_{Pa.Lafrecuenciafundamentaldelavigaes2.375Hz.Los}

datosdelpeatónsonexactamentelosmismosdelprimerejemplo. Igual que antes, de nuevo, en primer lugar se muestra la respuestadinámicadelavigaensuseccióncentral,figura11, des-plazamientoyfigura12,aceleración.Seobservaqueaunqueesta vigapudierasuponersesuficientementerígida(desdeelpuntode vistadelaResistenciadeMateriales),empiezaahaberdiferencia entreconsiderarlarespuestadelsistemateniendoencuentala inte-raccióndinámicapeatón-estructuraosintenerloencuenta,existe diferenciaapreciable,setratadeunavigaflexible(desdeelpunto devistadelpresentetrabajo).

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 ¨ z ( m/s 2) t (s)

Figura15.Aceleraciónverticaldelcentrodemasa(COM).

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –0,025 –0,02 –0,015 –0,01 –0,005 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 y ( m ) t (s)

Figura16.Desplazamientodelpuntomediodelaviga(fp=2.4Hz).

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 ¨ y ( m/s 2) t (s)

Figura17. Aceleracióndelpuntomediodelaviga(fp=2.4Hz).

Lafigura13presentalaevoluciónalolargodeltiempodela fuerzaverticaldecontactodecadaunodelospiesdelpeatóncon laestructura.Aunquetodavíaseparecemuchoalomedidoconuna placadefuerzasepuedeobservarciertadiferenciasobretodoenla partecentral,cuandoelpeatóntransitaporelcentrodelvanodela viga.

Se representa gráficamente el desplazamiento vertical (figura 14) y la aceleración vertical del COM (figura 15). En cuantoaldesplazamientosecompruebaque describeunacurva deltipoesperadoaunqueyanoesexactamenteunacicloideylos valoresmáximossiguensiendodeaproximadamente5cm mien-trasquelasaceleracionesasciendenanivelesdeaproximadamente

12m/s2_{,valoressuperioresalosqueexperimentalaseccióncentral}

delaviga.

Yporúltimo,sevaasimularelpeatóncaminandosobrelamisma vigaperoaunafrecuenciaalgomayor,concretamenteauna fre-cuenciadepasofp=2.4Hz.Delarespuestadinámicadelavigaen

desplazamientosoaceleraciones(figuras16y17),secomprueba quetienelugarelfenómenoderesonancia.Enestecasolarespuesta essimilaralcasoanteriordefp=2.0Hz,loquehacepensarenun

rangodefrecuenciaspróximoalafrecuenciafundamentaldelaviga paralasqueseobservaelfenómenoderesonancia.

4. Conclusiones

Laprimeraconclusiónqueseextraedelpresentetrabajoesla constatacióndequeunpeatónalcaminarporunaestructura flexi-bleinteractúadeformadinámicaconelsistemasobreelquecircula ydichainteracciónafectaaambossistemas,peatónyestructura, comopuedecomprobarseenlavariacióndelasfuerzasdecontacto (GRFs)amedidaquelaestructurapasadesuficientementerígidaa flexible.

Unaobservaciónimportanteeselhechodequelaestructura presentaunvalorderespuestaimportante(esdecir,valores ele-vadosde desplazamientos,velocidades yaceleraciones)nosólo cuando el peatón circula a velocidad que corresponde con la frecuenciaderesonanciadelaestructurasinoparavalores rela-tivamentecercanosadichafrecuencia.Porlotanto,esdeesperar queparavalorespróximosalafrecuenciaderesonanciayaseestén superandolosvaloresdeaceleracionesrecomendadosporla mayo-ríadenormativasyguíastécnicas.

Además,otraapreciaciónimportanteeselhechodequeenla prácticasecompruebaelestadoúltimodeserviciodevibraciones

midiendolamáximarespuestaenaceleracionesdelaestructura. Sinembargo,enestetrabajoseverificaquelasaceleracionesque experimentaelpeatónsonsiempremayores,conlocualalaplicar loscriteriosrecomendadospodemosnoasegurarelconfortdelos peatonesusuariosdelaestructura.

Agradecimentos

Estetrabajohasidorealizadoenparteconlafinanciación apor-tadaalproyectodeinvestigaciónBIA2011-28493-C02-02porel programadeapoyoaProyectosdeInvestigaciónFundamentalNo OrientadadelMinisteriodeCienciaeInnovación.

Bibliografía

[1]M.Cacho-Pérez,A.Lorenzana,Cálculodirectodelacargacríticadepandeode pórticos.ParteII,Rev.Int.Mét.Num.Cálc.Dise.Ing.26(2010)31–38.

[2]H.Geyer,A.Seyfarth,R.Blickhan,Compliantlegbehaviourexplainsbasic dyna-micsofwalkingandrunning,ProceedingsoftheRoyalSocietyB:Biological Sciences273(1603)(2006)2861–2867.

[3]S.Kim,S.Park,Legstiffnessincreaseswithspeedtomodulategaitfrequencyand propulsionenergy,JournalofBiomechanics44(2011)1253–1258.

[4]A.Lorenzana,M.Cacho-Pérez,Cálculodirectodelacargacríticadepandeode pórticos.ParteI,Rev.Int.Mét.Num.Cálc.Dise.Ing.25(3)(2009)247–258.

[5]L.Meirovitch,Elementsofvibrationanalysis,2nded.,MacGraw-Hill,NewYork, 1986.

[6]M.Pandy,Simpleandcomplexmodelsforstudyingmusclefunctioninwalking, Phil.Trans.R.Soc.B358(2003)1501–1509.

[7]J.W.Qin,S.S.Law,Q.S.Yang,N.Yang,Pedestrian-bridgedynamicinteraction, includinghumanparticipation, JournalofSoundandVibration332(2013) 1107–1124.

[8]J.W.Qin,S.S.Law,Q.S.Yang,N.Yang,Finiteelementanalysisofpedestrian-bridge dynamicinteraction,JournalofAppliedMechanics81(2014)041001–041015.

[9]B.R.Whittington,D.G.Thelen,Asimplemass-springmodelwithrollerfeetcan inducethegroundreactionsobservedinhumanwalking,Journalof Biomecha-nicalEngineering131(011013)(2009)1–8.