Métodos avanzados multiescala núcleo-celdas en geometrías tridimensionales y multigrupos para el cálculo de Reactores de Agua Ligera

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES. Métodos avanzados multiescala núcleo-celdas en geometrías tridimensionales y multigrupos para el cálculo de Reactores de Agua Ligera TESIS DOCTORAL. José Javier Herrero Carrascosa Ingeniero Industrial por la Universidad Politécnica de Madrid. 2012.

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(3) UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA NUCLEAR. Métodos avanzados multiescala núcleo-celdas en geometrías tridimensionales y multigrupos para el cálculo de Reactores de Agua Ligera TESIS DOCTORAL José Javier Herrero Carrascosa Ingeniero Industrial por la Universidad Politécnica de Madrid. Directora de Tesis: Dña. María Carolina Ahnert Iglesias Catedrática de Ingeniería Nuclear Universidad Politécnica de Madrid. 2012.

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(5) Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid, el día 23 de Noviembre de 2012. Presidente: Vocal: Vocal: Vocal: Secretario: Suplente: Suplente:. D. Emilio Mínguez Torres D. Víctor Hugo Sánchez Espinoza D. Francisco Martín-Fuertes Hernández-Sonseca D. Rafael Miró Herrero D. Óscar Luis Cabellos de Francisco D. José María Izquierdo Rocha D. Roberto Herrero Santos. Opta a la mención de “Doctor Internacional” Evaluadores de organizaciones internacionales: Dr. Kostadin Ivanov, Pennsylvania State University (EE.UU.) Dr. Richard Sánchez, Commissariat à l’Energie Atomique (Francia). Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día 13 de Diciembre de 2012 en la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Madrid.. CALIFICACIÓN:. EL PRESIDENTE. LOS VOCALES. EL SECRETARIO.

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(7) Este trabajo de tesis doctoral ha sido parcialmente financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación a través del programa de becas FPU con la beca número AP2005-0667. Y por la Unión Europea bajo los proyectos integrados NURESIM “European Platform for Nuclear Reactor SIMulations” del 6º Programa Marco, con número de contrato 516560 (FI6O) y NURISP “Nuclear Reactor Integrated Simulation Project” del 7º Programa Marco, con número de contrato 232124. El autor con agradecimiento reconoce los recursos informáticos, conocimientos técnicos y asistencia proporcionada por el Centro de Supercomputación y Visualización de Madrid (CeSViMa) y la Red Española de Supercomputación. Asimismo agradece el acceso a la utilización de los recursos del supercomputador Finis Terrae del Centro de Supercomputación de Galicia (CESGA) por medio del Subprograma de diseño, viabilidad, acceso y mejora de Instalaciones Científicas y Técnicas Singulares (ICTS) del Ministerio de Ciencia e Innovación con la ayuda de referencia ICTS-2009-40..

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(9) Agradecimientos En estas líneas seguramente no estén todos los que son, pero más seguro aún es que son todos los que están y reciben un sincero agradecimiento a continuación. En primer lugar quiero agradecer al Departamento de Ingeniería Nuclear y al Instituto de Fusión Nuclear, y a sus directores, Eduardo Gallego y José Manuel Perlado, el haber puesto a mi disposición todos los medios necesarios para la realización de esta tesis. Agradezco a mi directora Carolina Ahnert su apoyo y colaboración durante todo este largo tiempo para poder realizar este trabajo de tesis. También deseo agradecerle a Nuria García su colaboración en algunas partes de este trabajo y su amable revisión del texto final de la tesis. Le agradezco a todos los compañeros de estas dos instituciones su fenomenal trato y relación en todo momento. Bien porque cuando comencé la tesis erais relativamente pocos, bien porque ya he visto pasar casi dos generaciones de doctorandos, no encuentro sitio para mencionaros a todos. Gracias de nuevo. Sin embargo, me veo en el deber y el placer de tener que mencionar a Javier Jiménez y Juan Andrés Lozano (tanto monta, monta tanto), que han sido muy buenos compañeros en un auténtico trabajo de grupo muy interesante, a veces entretenido y en ocasiones muy pesado. Si ya no son compañeros, seguirán siendo amigos y les deseo mucho éxito. También les agradezco a Alain Flores, Carlos García y Eduardo Oliva su buena amistad que dura ya bastantes años desde que comenzásemos nuestras tesis. Una especial mención merece José María Aragonés que me ofreció realizar esta tesis y siempre estuvo dispuesto a enseñarnos, dirigirnos, y apoyarnos cada día, con un trato inmejorable. Le dedico esta tesis. Por último, les dedico esta tesis a mi familia y a mis amigos, que me hacen creer en las personas.. 1.

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(11) Resumen La importancia de la seguridad en la aplicación de la tecnología nuclear impregna todas las tareas asociadas a la utilización de esta fuente de energía, comenzando por la fase de diseño, explotación y posterior desmantelamiento o gestión de residuos. En todos estos pasos, las herramientas de simulación computacional juegan un papel esencial como guía para el diseño, apoyo durante la operación o predicción de la evolución isotópica de los materiales del reactor. Las constantes mejoras en cuanto a recursos computacionales desde mediados del siglo XX hasta este momento así como los avances en los métodos de cálculo utilizados, permiten tratar la complejidad de estas situaciones con un detalle cada vez mayor, que en ocasiones anteriores fue simplemente descartado por falta de capacidad de cálculo o herramientas adecuadas. El presente trabajo se centra en el desarrollo de un método de cálculo neutrónico para reactores de agua ligera basado en teoría de difusión corregida con un nivel de detalle hasta la barra de combustible, considerando un número de grupos de energía mayor que los tradicionales rápido y térmico, y modelando la geometría tridimensional del núcleo del reactor. La capacidad de simular tanto situaciones estacionarias con posible búsqueda de criticidad, como la evolución durante transitorios del flujo neutrónico ha sido incluida, junto con un algoritmo de cálculo de paso de tiempo adaptativo para mejorar el rendimiento de las simulaciones. Se ha llevado a cabo un estudio de optimización de los métodos de cálculo utilizados para resolver la ecuación de difusión, tanto en el lazo de iteración de fuente como en los métodos de resolución de sistemas lineales empleados en las iteraciones internas. Por otra parte, la cantidad de memoria y tiempo de computación necesarios para resolver problemas de núcleo completo en malla fina obliga a introducir un método de paralelización en el cálculo; habiéndose aplicado una descomposición en subdominios basada en el método alternante de Schwarz acompañada de una aceleración nodal. La aproximación de difusión debe ser corregida si se desea reproducir los valores con una precisión cercana a la obtenida con la ecuación de transporte. Los factores de discontinuidad de la interfase utilizados para esta corrección no pueden en la práctica ser calculados y almacenados para cada posible configuración de una barra de combustible de composición determinada en el interior del reactor. Por esta razón, se ha estudiado una parametrización del factor de discontinuidad según la vecindad que permitiría tratar este factor como una sección eficaz más, parametrizada en función de valores significativos del entorno de la barra de material. Por otro lado, también se ha contemplado el acoplamiento con códigos termohidráulicos, lo que permite realizar simulaciones multifísica y producir resultados más realistas. 3.

(12) Teniendo en cuenta la demanda creciente de la industria nuclear para que los resultados realistas sean suministrados junto con sus márgenes de confianza, se ha desarrollado la posibilidad de obtener las sensibilidades de los resultados mediante el cálculo del flujo adjunto, para posteriormente propagar las incertidumbres de las secciones eficaces a los cálculos de núcleo completo. Todo este trabajo se ha integrado en el código COBAYA3 que forma parte de la plataforma de códigos desarrollada en el proyecto europeo NURESIM del 6º Programa Marco. Los desarrollos efectuados han sido verificados en cuanto a su capacidad para modelar el problema a tratar; y la implementación realizada en el código ha sido validada numéricamente frente a los datos del benchmark de transitorio accidental en un reactor PWR con combustible UO2/MOX de la Agencia de Energía Nuclear de la OCDE, así como frente a otros benchmarks de LWR definidos en los proyectos europeos NURESIM y NURISP.. 4.

(13) Abstract Advanced multi-scale pin-by-pin/core methods in three-dimensional geometries and multigroups for Light Water Reactors calculations The relevance of safety in the use of nuclear technology impregnates all the tasks associated to the use of this energy source, beginning with the design phase, exploitation and subsequent dismantling or waste management. In all these steps, computational simulation tools play an essential role as a guide for design, operation supporting or prediction of the reactor materials isotopic evolution. Constant improvements in computational resources from the middle of the 20th century to this moment as well as the developments in the calculation methods employed, allow tackling the complexity of these situations with greater detail, when this was simply discarded before because of a lack of computational capacity or adequate tools. Present work is centered in the development of a neutronics calculation method for light water reactors based on corrected diffusion theory with a detail to the level of the fuel pin, considering a number of energy groups higher than the traditional fast and thermal groups, and modeling the three-dimensional geometry of the reactor core. The capability to simulate steady state situations with a possible criticality search, as well as the neutronic flux evolution during transients, have been included; together with an adaptive time step calculation algorithm to improve simulations performance. An optimization study of the calculation methods utilized to solve the diffusion equation has been performed, for the source iteration loop and for the linear system solution methods employed in the inner iterations. Moreover, the amount of memory and computational time needed to solve such problems commit to introduce a parallelized calculation method; a domain decomposition based on the Schwarz alternating method has been applied accompanied by a nodal acceleration. Diffusion approximation must be corrected if reproduction of the values near to the ones obtained with the transport equation is desired. In practice, interface discontinuity factors used for this correction cannot be computed and stored for each possible configuration of the fuel pin of a determined material composition inside the reactor. Thus, an interface discontinuity factor parameterization depending on the neighborhood has been studied, which would permit to treat this factor as another cross section, as it is parameterized by a function of the significant environment values of the pin. On the other hand, also the coupling with thermal-hydraulics codes has been contemplated, which allows to perform multiphysics simulations and to produce more realistic results. 5.

(14) Taking into account the growing demand from the nuclear industry to produce more realistic results provided together with their confidence intervals, the possibility to obtain sensitivities of the results by adjoint flux calculations has been developed, to later propagate cross section uncertainties to full core calculations. All this work has been integrated in the code COBAYA3 which is part of the codes platform developed in the NURESIM European project of the 6th Framework Programme. The developments have been verified regarding their capability to model the problems considered, and the implementation has been numerically validated with data from the PWR MOX/UO2 benchmark transient from the OECD / Nuclear Energy Agency, and with computations for other LWR benchmarks defined in the European projects NURESIM and NURISP.. 6.

(15) Índice de contenidos 1. Introducción ............................................................................................................ 15 1.1. Antecedentes de la tesis .................................................................................... 15 1.2. Objetivos y contribuciones originales ............................................................... 17 1.3. Estructura de la tesis ......................................................................................... 20 2. Bases teóricas y revisión de métodos ....................................................................... 21 2.1. Métodos neutrónicos para cálculos de núcleo ................................................... 22 2.1.1. Método de Monte Carlo ............................................................................. 24 2.1.2. Métodos de transporte deterministas .......................................................... 25 2.1.3. Métodos pin-by-pin ................................................................................... 25 2.1.4. Métodos nodales ........................................................................................ 26 2.1.5. La aproximación de multigrupos ................................................................ 27 2.2. La aproximación de difusión en estado estacionario ......................................... 28 2.2.1. Discretización de la ecuación ..................................................................... 30 2.2.2. Condiciones de frontera ............................................................................. 33 2.2.3. Uso de albedos frente a relaciones J/ϕ ........................................................ 35 2.2.4. Efecto rod cusping ..................................................................................... 37 2.3. Iteración de fuente ............................................................................................ 38 2.3.1. Aceleración de Wielandt ............................................................................ 39 2.3.2. Aceleración de un grupo de energía ........................................................... 40 2.4. Resolución del sistema lineal ............................................................................ 42 2.5. Control de la convergencia ............................................................................... 42 2.6. Factores de discontinuidad en las interfases ...................................................... 43 2.6.1. Teoría General de Equivalencia ................................................................. 44 2.6.2. Método de super-homogeneización ............................................................ 46 2.6.3. Método de equivalencia de Selengut .......................................................... 46 2.6.4. El efecto de vecindad sobre los factores de discontinuidad ......................... 47 2.7. Ecuaciones de cinética neutrónica..................................................................... 48 2.7.1. Estabilidad de los métodos numéricos ........................................................ 49 2.7.2. Método de Euler ........................................................................................ 50 2.7.3. Método de Crank-Nicolson ........................................................................ 50 2.7.4. Métodos de Runge-Kutta y Rosenbrock ..................................................... 51 2.7.5. Método de factorización sintética ............................................................... 51 2.7.6. Métodos cuasiestáticos .............................................................................. 53 7.

(16) 2.7.7. Paso de tiempo adaptativo.......................................................................... 53 2.7.8. Cálculo de la reactividad durante el transitorio ........................................... 56 2.8. Técnicas de descomposición en subdominios.................................................... 58 2.8.1. Métodos alternantes para resolución de EDP.............................................. 58 2.8.2. Métodos alternantes en problemas de autovalor ......................................... 60 2.9. Aceleración nodal............................................................................................. 64 2.9.1. El método nodal ACMFD .......................................................................... 64 2.10. Acoplamiento con códigos termohidráulicos................................................... 65 2.10.1. Modelos termohidráulicos empleados ...................................................... 66 2.11. Análisis de sensibilidad y propagación de incertidumbres ............................... 68 2.11.1. Propagación de incertidumbres a los resultados........................................ 69 2.11.2. El procedimiento de análisis de sensibilidad por adjuntos ........................ 70 2.11.3. Ecuación de difusión adjunta ................................................................... 73 2.11.4. Cálculo numérico de sensibilidades adjuntas ............................................ 75 2.12. Computación de alto rendimiento (HPC) ........................................................ 76 2.12.1. La ley de Amdahl .................................................................................... 76 2.12.2. Memoria distribuida................................................................................. 78 2.12.3. Memoria compartida ................................................................................ 79 3. Desarrollos teóricos................................................................................................. 81 3.1. Ecuación de difusión neutrónica ....................................................................... 82 3.1.1. Discretización de la ecuación estacionaria.................................................. 82 3.1.2. Expresiones para las condiciones de frontera ............................................. 85 3.1.3. Tratamiento del efecto rod cusping ............................................................ 86 3.1.4. Renormalización de los flujos .................................................................... 91 3.2. Optimización de la aceleración de fuente .......................................................... 91 3.2.1. Aceleración de Wielandt ............................................................................ 91 3.2.2. Aceleración en un grupo de energía ........................................................... 93 3.2.3. Combinación de los métodos de aceleración .............................................. 93 3.3. Resolución del sistema lineal ............................................................................ 95 3.3.1. Acoplamiento de grupos de energía ........................................................... 96 3.3.2. Ajuste de los métodos de Krylov ............................................................... 97 3.4. Control de la convergencia ............................................................................... 98 3.5. Factores de discontinuidad en la interfase ....................................................... 102 3.5.1. Especificaciones utilizadas ...................................................................... 102 3.5.2. Análisis del comportamiento de los factores de discontinuidad de las interfases ........................................................................................................... 104 8.

(17) 3.5.3. Parametrización del efecto de vecindad.................................................... 106 3.5.4. Interpretación física de la parametrización ............................................... 108 3.5.5. Resultados del ajuste por mínimos cuadrados........................................... 109 3.5.6. Ventajas de incluir un factor de discontinuidad parametrizado en una librería pin-by-pin ......................................................................................................... 112 3.5.7. Cálculo de los factores de discontinuidad parametrizados en el código COBAYA3 ....................................................................................................... 112 3.6. Ecuaciones de cinética neutrónica................................................................... 113 3.6.1. Discretización de la ecuación cinética ...................................................... 114 3.6.2. Discusión sobre el uso de la factorización sintética .................................. 118 3.6.3. Normalización de los flujos para cinética de núcleo completo .................. 119 3.6.4. Adaptación automática del paso de tiempo............................................... 120 3.7. Descomposición en subdominios con disecciones alternadas .......................... 120 3.7.1. Formación de los subdominios ................................................................. 123 3.7.2. Combinación con la iteración de fuente ................................................... 125 3.7.3. Resolución de subdominios sin fuente de fisión ....................................... 126 3.8. Aceleración nodal........................................................................................... 128 3.8.1. Factores de heterogeneidad ...................................................................... 131 3.8.2. Número de grupos de energía................................................................... 131 3.8.3. Generación de secciones eficaces ............................................................. 132 3.8.4. Método de interpolación de valores nodales ............................................. 135 3.8.5. Aceleración nodal en problemas cinéticos ................................................ 140 3.9. Acoplamiento con códigos termohidráulicos .................................................. 141 3.10. Aplicación del ASAP a la ecuación de difusión ............................................ 142 3.10.1. Caso de un grupo de energía en estado estacionario ............................... 143 3.10.2. Caso multigrupos en estado estacionario ................................................ 149 3.10.3. Caso de un grupo de energía en las ecuaciones cinéticas ........................ 154 3.10.4. Caso multigrupos en las ecuaciones cinéticas ......................................... 158 3.11. Paralelización del método ............................................................................. 160 3.11.1. Análisis del rendimiento de la paralelización ......................................... 161 3.11.2. Balance de carga de los procesadores ..................................................... 162 4. Verificación .......................................................................................................... 165 4.1. Descripción del benchmark PWR MOX/UO2 ................................................. 165 4.2. Estacionarios benchmark PWR MOX/UO2 ..................................................... 167 4.3. Transitorio de movimiento de banco de control con paso de tiempo adaptativo ............................................................................................................................. 170 9.

(18) 4.4. Verificación de COBAYA3 en el proyecto NURISP ...................................... 172 4.5. Factores de discontinuidad con efecto de vecindad ......................................... 172 4.6. Aplicación del ASAP ..................................................................................... 177 4.6.1. Placa infinita con fuente externa .............................................................. 178 4.6.2. Material homogéneo con fuente de fisión ................................................. 180 4.6.3. Elemento combustible.............................................................................. 181 5. Conclusiones y desarrollos futuros ........................................................................ 185 5.1. Conclusiones .................................................................................................. 185 5.2. Desarrollos futuros ......................................................................................... 187 6. Conclusions and future work ................................................................................. 191 6.1. Conclusions .................................................................................................... 191 6.2. Future work .................................................................................................... 193 Siglas y acrónimos .................................................................................................... 197 Tecnológicos ......................................................................................................... 197 Institucionales ....................................................................................................... 198 Bibliografía ............................................................................................................... 199. 10.

(19) Índice de figuras Figura 2-1. Dimensiones para la discretización en geometría cartesiana ...................... 32 Figura 2-2. Relación entre J/ϕ y albedo ....................................................................... 36 Figura 2-3. División en dos subdominios con solapamiento......................................... 59 Figura 2-4. División en 2 subdominios sin solapamiento ............................................. 59 Figura 2-5. Speedup para distintas fracciones de código paralelizable ......................... 78 Figura 3-1. Geometrías tratables con COBAYA3 ........................................................ 85 Figura 3-2. Error en reactividad por tratamiento del rod cusping, banco de control insertado a 8.7 pasos ................................................................................................... 90 Figura 3-3. Error en reactividad por tratamiento del rod cusping, banco de control insertado a 70 pasos .................................................................................................... 90 Figura 3-4. Velocidad de resolución de la iteración de fuente para distintos métodos de aceleración (desplazamiento de Wielandt [WIE] o resolución en un grupo de energía [1G], aplicados a la solución en multigrupos inicialmente sin aceleración [MG]) ........ 94 Figura 3-5. Convergencia de la fuente de fisión con distintos métodos iterativos de resolución para las iteraciones internas ........................................................................ 96 Figura 3-6. Adaptación de los criterios de convergencia en el esquema de disecciones alternadas .................................................................................................................. 100 Figura 3-7. Ejemplo de una agrupación 3x3 indicando las interfases que aportan información para estudiar la celda de UOX ............................................................... 104 Figura 3-8. Factores de discontinuidad GET por grupo de energía ............................. 105 Figura 3-9. Diferencias en el factor de discontinuidad GET entre el caso de malla infinita y un caso perturbado ..................................................................................... 105 Figura 3-10. Factor tipo GET frente a la corriente de interfase dividida del flujo homogéneo en la interfase ......................................................................................... 110 Figura 3-11. IDF tipo GET frente a la fuga transversal dividida por el flujo homogéneo en la interfase ............................................................................................................ 111 Figura 3-12. IDF tipo GET frente al cambio en el buckling respecto del valor de la celda en malla infinita ........................................................................................................ 111 Figura 3-13. Zonas de oscilación en la convergencia de las condiciones de frontera .. 121 Figura 3-14. Posibles particiones de un núcleo PWR ................................................. 122 Figura 3-15. Diferentes tipos de disecciones para geometría cartesiana ..................... 122 Figura 3-16. Ejemplo de subdominios generalizados ................................................. 128 Figura 3-17. Convergencia de la fuente de fisión con/sin aceleración nodal............... 130 Figura 3-18. COBAYA3 speedup vs. número de procesadores .................................. 161 Figura 4-1. Mapa de recarga en un cuarto del núcleo ................................................. 166 Figura 4-2. Evolución de la potencia ......................................................................... 171 11.

(20) Figura 4-3. Evolución de la reactividad ..................................................................... 171 Figura 4-4. Agrupaciones definidas para comprobar la metodología .......................... 173 Figura 4-5. Flujo directo para la placa unidimensional .............................................. 179 Figura 4-6. Flujo adjunto para la placa unidimensional con fuente externa ................ 179 Figura 4-7. Sensibilidad de la keff al coeficiente de difusión del reflector axial en el grupo de energía 1 de 8 ..................................................................................... 182 Figura 4-8. Sensibilidad de la keff al coeficiente de difusión de las barras de UOX en el grupo de energía 7 de 8 ..................................................................................... 183 Figura 4-9. Sensibilidad de la keff a la absorción de las celdas de UOX en el grupo de energía 7 de 8 ..................................................................................... 183 Figura 4-10. Sensibilidad de la keff al coeficiente de difusión de las celdas IFBA en el grupo de energía 5 de 8 ..................................................................................... 184 Figura 4-11. Sensibilidad de la keff a la absorción de las celdas IFBA en el grupo de energía 5 de 8 ..................................................................................... 184. 12.

(21) Índice de tablas Tabla 2-I. Métodos de cálculo para el transporte de neutrones ..................................... 22 Tabla 2-II. Códigos de cálculo deterministas ............................................................... 23 Tabla 2-III. Códigos de cálculo estocásticos ................................................................ 24 Tabla 3-I. Contribuciones y mejoras en COBAYA3 .................................................... 81 Tabla 3-II Valores de parámetros empleados en ILUT................................................. 98 Tabla 3-III. Estructuras de grupos de energía utilizadas ............................................. 103 Tabla 3-IV. Tiempos de ejecución según el número de procesadores ......................... 162 Tabla 4-I. Comparación para 3D HZP control insertado y parada extraída ................. 168 Tabla 4-II. Errores relativos (%) de potencia por elemento para el caso 3D HZP control insertado y parada extraída ........................................................................................ 168 Tabla 4-III. Comparación para 3D HZP ARO-1 ........................................................ 169 Tabla 4-IV. Errores relativos (%) de potencia por elemento para el caso 3D HZP control insertado y parada extraída ........................................................................................ 169 Tabla 4-V. Desviaciones de keff sin IDF .................................................................... 174 Tabla 4-VI. Máximo error en potencia por barrita sin IDF ......................................... 175 Tabla 4-VII. Desviaciones de la keff con SC-IDF ....................................................... 175 Tabla 4-VIII. Máximo error en potencia por barrita con SC-IDF ............................... 175 Tabla 4-IX. Desviaciones de la keff usando unos OP-IDF .......................................... 176 Tabla 4-X. Máximo error en potencia por barrita con OP-IDF................................... 176 Tabla 4-XI. Desviación máxima de los IDF parametrizados de los valores de referencia ................................................................................................................................. 177 Tabla 4-XII. Propiedades del problema de placa infinita ........................................... 178 Tabla 4-XIII Sensibilidades absolutas para un detector puntual en la placa ................ 180 Tabla 4-XIV. Descripción del problema de autovalor para la placa ........................... 180 Tabla 4-XV. Sensibilidades relativas del autovalor k ................................................. 181. 13.

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(23) Introducción. 1. Introducción 1.1. Antecedentes de la tesis En la explotación de la energía nuclear con reactores de agua ligera, una de las principales partes de la instalación es el núcleo en el que se fisiona el material combustible generando calor que debe ser extraído de manera continua por un refrigerante. La Física de Reactores analiza la evolución del estado del núcleo durante la operación para predecir en cada momento las distribuciones de flujo y potencia, variables termohidráulicas y composición isotópica de los materiales. El estado del núcleo es de vital interés, ya que es necesario vigilar la evolución de los parámetros anteriores tanto en operación nominal, como en transitorios operacionales o accidentales. El conocimiento de esas distribuciones permite optimizar la operación del reactor nuclear, en términos de extracción de energía del combustible. Y es necesario para garantizar que los valores se encuentran dentro de los límites fijados por el diseño y regulados por la autoridad de seguridad correspondiente. En ambos sentidos, los valores que se manejan actualmente en diseño y explotación vienen afectados de coeficientes de seguridad que pretenden mantener los resultados como conservativos al no disponer de una evaluación exacta de las incertidumbres de los modelos, los parámetros de entrada y las tolerancias de fabricación. Típicamente, los cálculos de núcleo se realizan con métodos neutrónicos nodales acoplados con códigos termohidráulicos de canales y/o códigos de planta, donde se introducen un gran número de simplificaciones y promediados. Una de las direcciones hacia la reducción de las incertidumbres en los cálculos es utilizar modelos del núcleo más detallados. En ese sentido se han desarrollado métodos que homogeneizan la descripción de los elementos combustibles al nivel de las barras que los forman, incluyendo huelgo, vaina y refrigerante asociados; y realizan la solución termohidráulica con una descripción por subcanales (Tada, Fujita et al. 2011). O aún con más detalle se han acoplado códigos de transporte tanto deterministas como estocásticos con soluciones termohidráulicas que incluyen distinto nivel de detalle, desde los subcanales a los métodos de fluido-dinámica computacional (Weber, Sofu et al. 2007). Los métodos más detallados implican lógicamente una reducción de las incertidumbres en los resultados, pero también tienen un mayor coste computacional. Son aplicables al cálculo de estados estacionarios, pero se vuelven prohibitivos para transitorios o seguimiento de la evolución isotópica realista del reactor ciclo a ciclo; incluso para estacionarios donde la configuración del núcleo sea suficientemente compleja, la tasa de convergencia de los cálculos acoplados también puede ser muy reducida. Para mejorar esta desventaja se combinan los métodos más detallados con 15.

(24) otros de menor precisión pero rápida convergencia que pueden acercar los cálculos hacia la solución final más rápidamente. El grupo de Ciencia y Tecnología de Sistemas Avanzados de Fisión Nuclear del Departamento de Ingeniería Nuclear ha venido desarrollando durante las últimas décadas una labor de investigación dirigida a desarrollar códigos de cálculo destinados al análisis y diseño de núcleos PWR (Ahnert 1985, Aragones and Ahnert 1986), como son la casi totalidad de los españoles y la mayoría de los comerciales en el mundo. Los requisitos para dichos códigos son la fiabilidad, de manera que los resultados obtenidos tengan un margen de error idealmente menor del 5%; y capacidad para ejecutarse en estaciones de trabajo estándar en tiempos reducidos, permitiendo el funcionamiento en línea con el reactor real en la propia central nuclear. El desarrollo de dichos códigos dio lugar al SEANAP (Sistema Español de Análisis de Núcleos de Agua a Presión) implantado en varias centrales nucleares del país (Ascó I y II, y Vandellós II) (Ahnert, Aragonés et al. 1988, Aragonés, Ahnert et al. 1996), y ha hecho posible que el equipo investigador forme parte destacada del trabajo a realizar dentro de las actividades del EURATOM dentro de los Programas Marco de la Unión Europea. En la primera parte de la cadena de cálculo, el código WIMS resuelve la ecuación de transporte para la generación de secciones eficaces con un cálculo de probabilidades de colisión para cada celda de combustible en el elemento en 69 grupos de energía; pasando después a una configuración cilíndrica equivalente del elemento (ring smearing) donde se realizaba un cálculo en 24 grupos con corriente neta nula en la frontera. Los archivos de entrada generados son procesados con WIMS-D4 (UKAEA) que fue modificado por la JEN en la versión WIMS-D4-TRACA. Los resultados son post-procesados por el código POSWIM dando lugar al sistema MARIA para la generación de librerías. La simulaciones de núcleo completo se calculaban con FLARE (GE) que es un método nodal clásico, y que fue adaptado y mejorado dando lugar al sistema SIMULA. En este caso se resuelve la ecuación de difusión en un grupo y medio con k∞ y M 2 como parámetros. Entre los cálculos de núcleo y la resolución de transporte típicos de la aproximación estándar, se incluyó además un nuevo código llamado COBAYA que resolvía la ecuación de difusión corregida mediante factores de discontinuidad a nivel de la barra de combustible en 2 grupos de energía y 2D. Se conseguía así calcular la distribución del flujo en 2 grupos dependiente de la heterogeneidad material y del acoplamiento espectral característicos del núcleo del reactor para obtener parámetros nodales más precisos, que mejoraban los resultados de SIMULA considerablemente.. 16.

(25) Introducción. Además COBAYA incluía el método de disecciones alternadas aplicado a estos cálculos de núcleo completo y que se explicará más adelante. Otra de las características de COBAYA fue la inclusión de una aceleración de la convergencia del método mediante la incorporación de soluciones nodales intermedias en el proceso iterativo de disecciones alternadas. Este esquema mostró un gran potencial para una futura computación en paralelo, como ya se mencionaba en la tesis asociada a dicho desarrollo: “Y encontrándose además que dada la regularidad existente en el comportamiento de los factores de discontinuidad utilizados, es posible el desarrollo futuro del método local-global en 3D con cálculo en línea o en diferido de dichos factores, así como la incorporación del método de tratamiento de las heterogeneidades operacionales desarrollado en este trabajo y que podrían ser tratadas localmente a nivel de barrita de combustible en el cálculo local, contándose entonces con una capacidad óptima de cálculo de quemado del núcleo” (Ahnert 1985). Siguiendo esta línea de desarrollos y apoyándose en esta última idea se inició este trabajo de investigación.. 1.2. Objetivos y contribuciones originales La UPM formó parte del proyecto europeo NURESIM (Nuclear Reactor Simulations) del 6º Programa Marco de la Unión Europea (Cacuci, Aragonés et al. 2006). El trabajo a realizar para el proyecto NURESIM comprendió un gran número de tareas; en concreto dentro del paquete de trabajo WP1.2, del subproyecto SP1 de Física del Núcleo, denominado “Métodos avanzados de transporte y difusión deterministas” y coordinado por el Departamento de Ingeniería Nuclear de la UPM, se encuadró la labor a realizar en esta tesis y más concretamente en los “Métodos Avanzados Núcleo-Celda” que corresponden a la tarea T.1.2.3. El aumento de las prestaciones de los nuevos ordenadores, unido a la búsqueda de una mejora e integración de los métodos existentes, impulsaron la extensión del método de resolución de la ecuación de difusión para núcleos a tres dimensiones y varios grupos de energía. Además se consideró la inclusión de una aceleración de la convergencia mediante un método nodal; y la utilización de factores de discontinuidad de las interfases para introducir las correcciones necesarias para que la solución de difusión se aproxime a los resultados de transporte. Por otro lado, la gran importancia del acoplamiento entre la neutrónica y la termohidráulica para un cálculo correcto de la distribución de flujo neutrónico dentro del núcleo del reactor, justifica el desarrollo de códigos que incluyan este acoplamiento mediante parámetros adecuados de manera que se mejore la resolución de los cálculos localmente en zonas donde el tratamiento neutrónico, y sobretodo el termohidráulico 17.

(26) deben desarrollarse en detalle al presentar una gran heterogeneidad o elevados gradientes de las variables. Finalmente, una parte importante en el desarrollo de códigos realistas es la posibilidad de estimar las incertidumbres asociadas a los resultados (Avramova and Ivanov 2010), concepto que también ha sido contemplado en este trabajo. El objetivo central de la tesis consiste en extender el método de cálculo local-global o celdas-núcleo de las dos dimensiones y dos grupos de energía inicialmente disponible en COBAYA, a tres dimensiones y varios grupos de energía. Adicionalmente se incorporan otros desarrollos demandados en la actualidad y que amplían el rango de aplicación y capacidades anteriores, buscando obtener una reducción en el margen de error de los cálculos en tiempos de computación aceptables, además de tratar correctamente las crecientes heterogeneidades presentes en los combustibles de los reactores de agua ligera. Dando lugar a una serie de contribuciones en las que: •. •. •. •. •. •. Se ha ampliado la formulación de la ecuación de difusión y los factores de discontinuidad para tratar la dimensión axial y una cantidad arbitraria de grupos energéticos. El algoritmo de cálculo por disecciones alternadas ya utilizado en dos dimensiones se ha generalizado y perfeccionado; y se han aplicado métodos numéricos de resolución adecuados a las características del problema (Saad 1992, Saad 2003). Se ha introducido el cálculo del flujo adjunto para obtener sensibilidades de los resultados (Cacuci 2003, Cacuci and Ionescu-Bujor 2004) y poder estimar su incertidumbre debida a las librerías de datos neutrónicos utilizadas. Además se ha programado un esquema paralelizado donde se solucionan iterativamente las dos escalas consideradas, nodal y pin-by-pin, utilizando un algoritmo adecuado al método de resolución. Pieza clave de la convergencia en este esquema es la escala de las heterogeneidades en el núcleo y la velocidad de convergencia de las iteraciones hacia la solución de malla detallada. La capacidad inicial de cálculos en estados estacionarios ha sido ampliada a la simulación de transitorios utilizando la misma metodología de disecciones alternadas, y estudiando una primera aproximación a los métodos de integración temporal disponibles junto con el uso de un paso de tiempo adaptativo. Los resultados podrán considerarse de mejor estimación cuando se asemejen a los producidos por cálculos de transporte de mayor orden. Ello ha sido comprobado y validado mediante los benchmarks disponibles con el objetivo final de obtener un método fiable y preciso.. Los desarrollos anteriores se han implementado en el código COBAYA3 que pasó a formar parte de la paquete de herramientas de cálculo NURESIM (Chauliac, Aragonés et al. 2011) que engloba códigos de distintas disciplinas, algunos de ellos integrados en una plataforma de software llamada SALOME (Ribes and Caremoli 2007), en la que COBAYA3 se encuentra incluido. 18.

(27) Introducción. Al finalizar dicho proyecto una continuación del mismo en el proyecto NURISP fue aceptada dentro del 7º Programa Marco para extender las capacidades de los códigos incluidos en la plataforma NURESIM. En un código de cálculo tan importante es la implementación y optimización de los métodos adecuados como la generación de los parámetros necesarios para la resolución de las ecuaciones. El principal esfuerzo dentro de este proyecto se concentró en este aspecto. En concreto UPM fue responsable del paquete de trabajo WP1.3 dedicado a la “generación de librerías de secciones eficaces avanzadas en pocos grupos de energía”, donde el objetivo principal fue el desarrollo de las herramientas para la generación de librerías de secciones eficaces usadas en los cálculos de núcleo y comprobadas en el paquete dedicado a benchmarking WP1.4. Asociadas a este proyecto y como continuación de las anteriores enumeramos dos contribuciones principales: •. •. Se ha definido a la escala de la barra de combustible una formulación de los factores de discontinuidad de las interfases original que permite su parametrización en función de la vecindad de la celda (Herrero, Garcia-Herranz et al. 2012). Dentro de las tareas de benchmarking, el método pin-by-pin ha sido verificado tanto en problemas PWR (Zheleva, Ivanov et al. 2012), como BWR (Herrero, Dufek et al. 2012) y VVER (Todorova, Zheleva et al. 2012), generando resultados satisfactorios en todos los casos.. Como reflexión final, un cambio de una solución típicamente nodal/canales a otra del tipo pin-by-pin/subcanales y un ligero aumento del número de grupos, implican de cualquier modo una mejora en la precisión de los resultados, y por tanto una solución best-estimate. Los resultados se verán modificados de manera más o menos notable, y el interés sobre esta modificación estriba en que los nuevos valores obtenidos pueden ir en dos direcciones desde el punto de vista de la explotación de las centrales: •. •. Si se obtienen picos de potencia más elevados (Fq) o mayores temperaturas pico en vaina (PCT) que con los métodos anteriores para situaciones principalmente accidentales, habría que prestar atención a un posible compromiso de la seguridad, y sería necesario programar o llevar a cabo las acciones necesarias, mejorando la seguridad de la operación. Si los factores de pico se ven, en cambio, reducidos, esto quiere decir que los métodos anteriores eran excesivamente conservadores, y por tanto estaremos ante un campo de posible relajación de las condiciones de diseño de cara a la seguridad o una posibilidad de aumento de la potencia o rendimiento del reactor sin comprometer su operación segura, con el consiguiente beneficio de explotación.. En este concepto básico debe encuadrarse la realización de este trabajo de investigación (NSC-NEA 2004).. 19.

(28) 1.3. Estructura de la tesis Esta primera parte de introducción encuadra los contenidos de la tesis dentro de la situación actual y menciona los desarrollos anteriores conducentes a la proposición de esta tesis. Además se establecen los objetivos y desarrollos de este trabajo. La segunda parte analiza el estado del arte en los métodos de cálculo de núcleo completo y presenta una visión de las posibilidades y opciones que se encuentran en cada uno de los aspectos trabajados en esta tesis. La tercera parte describe en detalle las mejoras y contribuciones originales de este trabajo de tesis en cada uno de los apartados analizados en el estado del arte. La cuarta parte contiene resultados numéricos como parte de la verificación y validación del método de cálculo desarrollado. Por último se incluye una última sección a modo de conclusión sobre el trabajo realizado, y a continuación se presentan las futuras líneas de mejora y ampliación del método desarrollado en distintas direcciones.. 20.

(29) Bases teóricas y revisión de métodos. 2. Bases teóricas y revisión de métodos El presente capítulo tiene por objeto introducir los conceptos necesarios para la comprensión del trabajo realizado junto con referencias a otros trabajos que demuestran su interés y actualidad. Más adelante estos conceptos serán utilizados en la parte de desarrollos teóricos. Se abre con una breve presentación de métodos de cálculo que podrían ser o que son aplicados para simulaciones englobando todo el núcleo del reactor. En nuestro caso hemos empleado la aproximación de difusión para conocer la distribución neutrónica en el reactor, así que realizamos una introducción de la misma más en detalle a continuación. Los cálculos de estados estacionarios del reactor pasan por la preparación de un método de cálculo que proporcione el autovalor keff del sistema por lo que se han revisado los métodos de cálculo de autovalor disponibles, centrándonos en el tradicional método de la potencia, junto con técnicas de aceleración típicas asociadas. En última instancia el cálculo requiere la resolución de un sistema lineal de determinadas características y se citan estudios de referencia sobre métodos de resolución aplicados a este tipo de problemas. También se introducen a continuación los conceptos básicos de control del error en la convergencia de los métodos. La ecuación de difusión se ha corregido con factores de discontinuidad, se revisarán otro tipo de correcciones existentes, examinando los conceptos que utilizan cada una de ellas y que las hacen diferentes entre sí. Seguidamente se abordará la problemática asociada a las ecuaciones cinéticas con neutrones diferidos, los métodos de integración numérica disponibles y la posible aplicación de un paso de tiempo adaptativo. Una vez se encuentran enmarcados los conceptos más clásicos relacionados con la resolución de la ecuación de difusión, pasamos a analizar las posibles técnicas de descomposición en subdominios. A esta solución en malla fina paralelizada se le aplicará una aceleración mediante un método nodal desarrollado en otra tesis, tal y como mencionaremos. También se dedica un pequeño apartado a los códigos termohidráulicos que han sido acoplados con la solución neutrónica en otro trabajo de tesis. Otro punto que requiere una revisión del método utilizado es el cálculo de sensibilidades mediante flujos adjuntos y su uso para propagar incertidumbres. Finalmente, se dedica un último apartado a introducir algunos conceptos básicos sobre computación de alto rendimiento útiles para el análisis del desempeño de los códigos.. 21.

(30) 2.1. Métodos neutrónicos para cálculos de núcleo La ecuación que rige la distribución de los neutrones en el núcleo del reactor es la ecuación de transporte de Boltzmann, con una cantidad mínima de hipótesis sobre el comportamiento de los neutrones y el material en el reactor (Bell and Glasstone 1970). Esta ecuación puede expresarse de diferentes formas que dan lugar a los distintos métodos deterministas de resolución de la ecuación de transporte presentados en la Tabla 2-I. En realidad, todas las ecuaciones de transporte incluyen una parte integral debida a la fuente de fisión del sistema, por lo que la forma diferencial de la ecuación también se suele denominar integro-diferencial. Tabla 2-I. Métodos de cálculo para el transporte de neutrones. Forma de la ecuación de transporte. Método de cálculo. Acrónimo. Diferencial. Diferencias finitas (DF) o elementos finitos (EF). Pn o Sn. Integral. Probabilidades de colisión. Pij. Característica. De características. MOC. Atendiendo al tratamiento que se realiza en la variable angular, obtendremos métodos donde esta dimensión se desarrolla como una expansión en armónicos esféricos de las variables, o bien métodos donde se discretiza la variable angular en un número finito de direcciones siguiendo reglas de cuadratura que minimizan el error integral sobre el ángulo sólido. El desarrollo en armónicos esféricos da lugar a los métodos Pn, mientras la discretización angular define los métodos de ordenadas discretas o Sn. Los métodos de resolución de la ecuación diferencial pueden incluir cualquiera de las dos aproximaciones en la variable angular junto con una discretización espacial en diferencias finitas o elementos finitos; y se suelen denominar por extensión según su tratamiento de la variable angular Pn o Sn. Los métodos Pij no incluyen la variable angular ya que ésta ha sido integrada en la ecuación que se resuelve, mientras que los métodos tipo MOC se combinan con las ordenadas discretas Sn. 22.

(31) Bases teóricas y revisión de métodos. Una descripción más detallada de cada método puede encontrarse en (Hébert 2009). Cada uno de los métodos anteriores tiene ciertas ventajas y desventajas, en términos de tiempos de cálculo, cantidad de memoria de ordenador requerida, y nivel de precisión obtenida con el modelo. Mientras el método de probabilidades de colisión fue el método por excelencia para la generación de secciones eficaces en la aproximación estándar, ha dado paso en las últimas décadas al método de características por su mayor precisión y el aumento en las capacidades computacionales. Estos cálculos también se denominan lattice physics calculations y por extensión a los códigos que los realizan códigos de lattice. Los métodos de armónicos esféricos y ordenadas discretas, para la forma diferencial de la ecuación de transporte, han sido utilizados tanto en la fase de generación de secciones eficaces, en los códigos de lattice, como en cálculos de núcleo completo. La siguiente tabla recoge, sin ser exhaustiva, algunos de los códigos de transporte deterministas más utilizados actualmente para cálculos neutrónicos en reactores de fisión. Se indica tratamiento “exacto” de la geometría siempre que la combinatoria geométrica de prismas y polígonos básicos de los códigos lo permita. Tabla 2-II. Códigos de cálculo deterministas Metodología. Tratamiento variable espacial. Código. Organización. Sn-DF. Diferencias finitas. DANTSYS. LANL. Sn-EF. Elementos finitos. CRONOS2. CEA. Pij. Exacto. WIMS. UKAEA. Exacto. DRAGON. Polytechnique Montréal. Exacto. APOLLO2. CEA. Mallado arbitrario. NEWT. ORNL. Exacto. APOLLO2. CEA. Mallado arbitrario. HELIOS. Studsvik. Mallado estructurado. CASMO. Studsvik. Exacto. DeCART. KAERI. Exacto. AEGIS. Nuclear Engineering Ltd.. MOC. Dos métodos, no presentados en la Tabla 2-I por ser aproximaciones de la ecuación de transporte que no convergen a su solución exacta por refinamiento sucesivo, son el método de armónicos esféricos simplificado o SPn (Brantley and Larsen 2000), y el método de difusión. El primero se basa en la derivación de una ecuación de transporte de neutrones a partir de un principio variacional usando unas funciones base determinadas en la variable angular. El segundo es una simplificación de la ecuación de transporte neutrónico obtenida considerando que el flujo es linealmente anisótropo. Ambos métodos son actualmente aplicados en cálculos de núcleo completo. 23.

(32) Otra técnica de resolución de la ecuación de transporte, bastante diferente a las anteriores, se basa en una simulación estocástica llamada método de Monte Carlo. Precisa mayor tiempo de cálculo y memoria de ordenador aunque es fácilmente paralelizable, y es fundamentalmente utilizado como herramienta de verificación de los cálculos deterministas produciendo resultados de referencia. Se indican algunos códigos de este tipo en la Tabla 2-III. Tabla 2-III. Códigos de cálculo estocásticos Código. Organización. MCNP. LANL. KENO. ORNL. SERPENT. VTT. TRIPOLI4. CEA. Las próximas secciones presentan las aplicaciones actuales de cada uno de los métodos de resolución mencionados para cálculos de núcleo completo como es el objetivo final de los desarrollos de esta tesis, una visión sobre aplicaciones de cálculos de transporte en este sentido puede encontrarse en (Sanchez 2012).. 2.1.1. Método de Monte Carlo Actualmente, mediante el método de Monte Carlo, es totalmente factible calcular la distribución de flujo tridimensional detallada en un reactor nuclear para un estado determinado del sistema, es decir, un estado donde se toman como fijas la geometría y la composición material, así como la distribución de temperaturas. La simulación de reactores nucleares también necesita obtener resultados acerca de la evolución temporal del flujo tanto en escalas de tiempo reducidas para el estudio de transitorios, como en escalas de tiempo más amplias para el seguimiento del quemado del combustible. Es posible realizar cálculos de quemado dado que se realiza una sucesión de estados estacionarios donde las condiciones del sistema se mantienen fijas durante cada paso de quemado. En cambio, la simulación de transitorios es mucho más costosa con métodos de Monte Carlo ya que se requieren desarrollos para tener en cuenta la evolución temporal simultánea tanto de las variables neutrónicas como termohidráulicas, añadiendo la necesidad del procesamiento de las secciones eficaces por cada actualización de las variables termohidráulicas. En este punto las simulaciones de Monte Carlo no resultan aún prácticas para cálculos rutinarios (Martin 2012).. 24.

(33) Bases teóricas y revisión de métodos. 2.1.2. Métodos de transporte deterministas A día de hoy los métodos considerados como candidatos para cálculos de núcleo completo resolviendo la ecuación de transporte con una descripción bastante detallada del reactor son el MOC y el Sn. Un ejemplo que incluye la aplicación del MOC es la combinación de una solución 2D con dicho método junto con una solución nodal 3D. Teniendo en cuenta que la mayor parte de la heterogeneidad en un reactor se encuentra en la dirección radial, se aplica el MOC sólo en la dirección radial y se resuelve la dependencia axial con un método de menor orden. Este es el caso de DeCART, que aplica una solución MOC plana a partir de una formulación CMFD (Coarse Mesh Finite Difference) 3D (Han Gyu, Jin Young et al. 2004). Y donde se utilizan mallados de aproximadamente 1 cm en la dirección radial coincidiendo con la dimensión de una celda de combustible, mientras que se usan mallados de 10 a 20 cm en la dirección axial para reducir el número de planos. La solución MOC se utiliza para generar dinámicamente las secciones eficaces de celda homogeneizadas y los factores de acoplamiento radial de cada celda. La solución axial se obtiene con el Nodal Expansion Method (NEM) durante la solución del problema nodal. Otros códigos de transporte que emplean el MOC también son capaces de soluciones 2D de núcleo completo pero las soluciones 3D acopladas no son prácticas por el momento (Sanchez, Zmijarevic et al. 2010, Yamamoto, Endo et al. 2010). Una línea en vías de desarrollo basada en el método de ordenadas discretas ó Sn ha sido publicada en (Masiello, Martin et al. 2011). Donde se emplea un método de ordenadas discretas que utiliza una descomposición en subdominios para superar las limitaciones computacionales del método, junto con una aceleración nodal para llevar el sistema a convergencia más rápidamente.. 2.1.3. Métodos pin-by-pin Llamaremos métodos pin-by-pin o de malla fina a aquellos donde se ha homogeneizado en una sola región la barra de combustible con su huelgo, vaina y refrigerante asociados; o a lo sumo se han dejado como regiones heterogéneas: el combustible, huelgo-vaina y el refrigerante que los rodea. A las regiones así homogeneizadas las denominamos celdas. Si bien es posible seguir aplicando los métodos de transporte enumerados anteriormente a dichas geometrías homogeneizadas, típicamente se emplean dos aproximaciones de la ecuación de transporte: SP3 y difusión. Las ecuaciones SP3 han sido por ejemplo incluidas en los cálculos pin-by-pin realizados con DYN3D (Beckert and Grundmann 2008) y SCOPE2 (Tatsumi and Yamamoto 2003). Indicando que los efectos de transporte son mucho mejor tratados con esta aproximación que con la aproximación de difusión. 25.

(34) Es notable que comprobaciones recientes sobre casos realistas podrían indicar que, al menos a nivel nodal, si se comparan los valores de la solución de difusión y SP3 con los valores de referencia, la limitada ventaja del método SP3 se vería diluida por otras fuentes de error, como los de homogeneización y condensación de las secciones eficaces, o simplemente por cancelación de errores (Merk 2010). Sin embargo otros resultados indican una clara mejora del método SP3 en cuanto a la precisión de los cálculos frente a la solución de difusión (Tada, Yamamoto et al. 2008). La aproximación de difusión es la que se aplicará en el código desarrollado en esta tesis, aunque incluye factores de discontinuidad para su corrección. Una razón de peso en esta elección es la falta de librerías pin-by-pin con los parámetros necesarios para llevar a cabo una resolución de las ecuaciones SP3, que contengan el momento de orden 1 de las secciones eficaces de dispersión y también los adecuados factores de discontinuidad, ya que su formulación y generación por parte de los códigos de lattice encargados de la generación de librerías no se encontraba a nuestra disposición (Kozlowski, Xu et al. 2011), aunque se han indicado posibles maneras de generar dichos factores a partir de las soluciones de los códigos de transporte (Sánchez 2009, Chao and Yamamoto 2010). Por último, un ejemplo de código de transporte heterogéneo pin-by-pin no convencional sería BARS (Kochurov and Malofeev 1977) que utiliza una representación analítica del flujo por superposición de funciones de Green derivadas de una solución de difusión en pocos grupos de energía para medio uniforme infinito con una fuente en el eje de la celda. Las fuentes se modulan de modo que los flujos y las corrientes en la interfase de la celda reproducen los de la solución de transporte detallada mediante una condición de frontera expresada en la forma de las llamadas matrices-λ resultante de cálculos de transporte sobre la celda variando sus corrientes en la frontera. La dependencia axial se determina con una expansión en serie de Fourier de la forma del flujo que es simplificada para hacer el método aplicable.. 2.1.4. Métodos nodales Los métodos nodales, normalmente basados en las aproximaciones de difusión o SP3, se encuentran en una fase de elevada madurez; una revisión y descripción de los métodos nodales modernos puede encontrarse en (Sutton and Aviles 1996, Lozano 2010). Si bien los métodos nodales modernos han alcanzado en principio su máxima capacidad de precisión, tienen dos limitaciones fundamentales: •. •. Una, asociada a la homogeneización de regiones materiales considerablemente grandes, típicamente del tamaño de un cuarto de elemento combustible PWR, y a la condensación en pocos grupos de energía, normalmente menos de 15. Otra, relacionada con las técnicas de reconstrucción del flujo utilizadas para suministrar los valores de factores de pico por barrita. 26.

(35) Bases teóricas y revisión de métodos. Para intentar paliar estos efectos también es posible emplear métodos nodales con una homogeneización pin-by-pin aunque a un coste computacional bastante mayor que el de la típica aproximación de diferencias finitas para la ecuación de difusión. De cualquier modo, los métodos nodales continúan siendo los más utilizados para simulación de transitorios y seguimiento operacional del núcleo, ya que obtienen soluciones de suficiente precisión con tiempos de cálculo muy reducidos.. 2.1.5. La aproximación de multigrupos Una de las aproximaciones comúnmente aplicadas para resolver la ecuación de transporte mediante métodos deterministas, aunque también aplicable al método de Monte Carlo, es la discretización en multigrupos de la variable energía. El dominio en energía se divide en un número determinado G de grupos dentro de los cuales los neutrones se comportan como partículas con una velocidad media común. Para ello se promedia la ecuación de transporte en estas regiones de energía, obteniendo toda una seria de parámetros neutrónicos equivalentes en un proceso denominado condensación. De este modo la ecuación de transporte pasa a estar expresada como un grupo de G ecuaciones integro-diferenciales acopladas, implicando un enorme ahorro tanto en cantidad de información necesaria para los cálculos con respecto a un cálculo en energía continua, como en capacidad de computación necesaria para resolver la distribución del flujo en energía. Dependiendo del tipo de cálculo que se realiza se utilizan distintas estructuras de grupos de energía. Por ejemplo, una generación de librerías en multigrupos a partir de las librerías nucleares evaluadas utiliza miles de grupos de energía como en el módulo GROUPR de NJOY. Códigos de lattice como fueron definidos más arriba utilizan librerías generadas con NJOY, u otros códigos de procesamiento de secciones eficaces. Emplean estructuras en unos pocos cientos de grupos de energía para tratar adecuadamente el efecto de auto-apantallamiento o self-shielding, el cual es un problema complejo en sí mismo y una fuente importante de aproximación para los códigos en multigrupos. Finalmente, códigos de núcleo basados en aproximaciones de la ecuación de difusión utilizan estructuras en pocos grupos de energía, tradicionalmente 2 grupos con un corte típico a 0.625 eV; aunque estructuras de hasta 14 grupos de energía también son posibles (Stamm'ler and Abbate 1983) para reactores térmicos de agua ligera como son nuestro objeto de estudio.. 27.

(36) 2.2. La aproximación de difusión en estado estacionario Comenzando con una ecuación en multigrupos integrada en ángulo:.  ∇ ⋅ J g + Σ agφ g +. ∑Σ. ∀g ′ ≠ g. g →g′ s. g φ=. ∑Σ. ∀g ′ ≠ g. g ′→ g s. 1 φ g ′ + χ g ∑υ g ′Σ gf ′φ g ′ k ∀g ′. (2.2-1). Los parámetros presentes son la sección eficaz de absorción Σ a , las de dispersión Σ s , producción υΣ f , y el espectro de fisión χ . Además se presenta el autovalor k que es necesario obtener en estados estacionarios con fuente de fisión. También podría incluirse una fuente externa de neutrones que no trataremos aquí. En el término de producción se multiplica el número medio de neutrones por fisión por la sección eficaz de fisión y se suele tomar este producto como un único parámetro g υΣ = υ g ⋅ Σ gf que es la sección eficaz de producción. f. El principal objetivo para poder resolver esta ecuación es obtener una relación entre  la corriente neutrónica J g y el flujo ϕg, de modo que dejemos este último como única incógnita. Para obtener una ecuación de difusión se postula que la corriente se relaciona con el gradiente del flujo mediante la ley de Fick que contiene un factor de proporcionalidad que es el coeficiente de difusión D dependiente de la posición y la energía..     J (r , E ) = − D ( r , E ) ∇φ ( r , E ). (2.2-2). Una manera simple de llegar a esta expresión es suponer que la densidad neutrónica es linealmente anisótropa para simplificar su dependencia angular:       N r= , Ω, E F ( r , E ) + Ω ⋅ V ( r , E ). (. ). (2.2-3). Esta aproximación implica que la densidad neutrónica así definida no es capaz de representar el comportamiento característico de un haz de neutrones donde exista una dirección de desplazamiento claramente predominante. En la práctica, esto invalida la aproximación de difusión en las interfases entre regiones donde las secciones eficaces de absorción o dispersión varíen notablemente, o en regiones donde la absorción sea mucho más elevada que la dispersión. Además, la teoría de difusión sólo puede aproximar las condiciones de frontera reales. Para obtener la versión en multigrupos del coeficiente de difusión se suele introducir la suposición de que el flujo es separable en su dependencia espacial y energética (Henry 1975), en cada una de las regiones en las que se podría dividir el dominio espacial del cálculo:. 28.

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