Problemas de complementariedad lineal. Métodos numéricos efici

(1)

Problemas de complementariedad lineal.

M´etodos

num´ericos eficientes y aplicaciones pr´

acticas.

Jos´e Luis Morales. ITAM,

L. Feng (UI), V. Linetsky(NU), J. Nocedal(NU),

M. Smelyanskiy(INTEL).

SMMyC, Instituto de Geof´ısica, UNAM. 29 de agosto, 2008.

(2)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

2 Estructura de unproblema de complementariedad lineal. 3 Descripci´on de los algoritmos propuestos.

4 Aplicaciones.

Simulaci´on de cuerpos r´ıgidos.

Derivados financieros. Valuar opciones americanas.

Black-Scholes-Merton. Volatilidad fija. Heston. Volatilidad estoc´astica.

(3)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(4)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(5)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(6)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(7)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(8)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

Derivados financieros. Valuar opciones americanas. Black-Scholes-Merton. Volatilidad fija.

Heston. Volatilidad estoc´astica.

(9)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(10)

Organizaci´

on de la pl´

atica

1 Motivaci´on

4 Aplicaciones.

(11)

Motivaci´

on

Modelar fuerzas de contacto en simulación de fenómenos f´ısicos: a) tiempo de CPU (tiempo real); b) memoria; c) precisión (baja-moderada).

Video juegos. INTEL.

Desarrollo de pr´otesis articuladas (brazos, manos) Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisi´on alta. Tiempo real.

Ingenier´ıa qu´ımica. Econom´ıa. Modelos de equilibrio. Ingenier´ıa mec´anica. Fricci´on. Contacto. 1

Otras aplicaciones. 2

1_{M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of} Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp. 669-713(1997).

2_{M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40} years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

(12)

Motivaci´

on

Modelar fuerzas de contacto en simulaci´on de fen´omenos

f´ısicos: a) tiempo de CPU (tiempo real); b) memoria; c)

precisi´on (baja-moderada).

(13)

Motivaci´

on

(14)

Motivaci´

on

Desarrollo de pr´otesis articuladas (brazos, manos)

Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisi´on alta. Tiempo real.

(15)

Motivaci´

on

Finanzas. Valuar opciones americanas. Precisi´on alta.

Tiempo real.

(16)

Motivaci´

on

Tiempo real.

1_{M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of}

Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp. 669-713(1997).

(17)

Motivaci´

on

Tiempo real.

1_{M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications of}

Complementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp. 669-713(1997).

2_{M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40}

years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

(18)

El problema

Problema de programaci´on lineal en forma est´andar minimizar bTv sujeta a Cv+a= 0, v ≥0. ⇐⇒ Condiciones de optimalidad (KKT) b−CTu−w = 0 Cv+a = 0 v ⊥ w v,w ≥ 0.

v variables del problema primal.

u,w variables del problemadual.

(19)

Origen del problema

Problema de programaci´on cuadr´atica convexa minimizar bTv+1 2v T_Bv sujeta a Cv+a= 0, v ≥0 ⇐⇒ Condiciones de optimalidad (KKT) b+Bv−CTu−w = 0 Cv+a = 0 v ⊥ w v,w ≥ 0

(20)

Formulaci´

on

Au+Cv +a = 0 0≤Du+Bv+b ⊥ v ≥0 La matriz A C D B , es de n×n.

Caso general (no lineal)

F(u,v) = 0

0≤G(u,v) ⊥ v ≥0.

(21)

Caracter´ısticas.

Datos: A,B,C,D,a,b. Inc´ognitas: u,v,w.

1 Complejidad computacional: naturaleza combinatoria!

N ={1,2, . . . ,n} Conjunto activoen la soluci´on:

A∗₌_{_j _{∈ N |}_u j = 0}

2 Métodos numéricos con valor práctico:

Lemke (1965) para ciertas clases de problemas de programaci´on cuadr´atica.

M´etodos de punto fijo (1971) en ingenier´ıa mec´anica. SOR proyectado.

M´etodos de suavizamiento(1990).

M´etodos de puntos interiores (1992).

(22)

Caracter´ısticas.

1 Complejidad computacional: naturaleza combinatoria! N ={1,2, . . . ,n}

Conjunto activoen la soluci´on:

A∗₌_{_j _{∈ N |}_u j = 0}

M´etodos de punto fijo (1971) en ingenier´ıa mec´anica. SOR proyectado.

(23)

Caracter´ısticas.

1 Complejidad computacional: naturaleza combinatoria! N ={1,2, . . . ,n}

Conjunto activoen la soluci´on:

A∗₌_{_j _{∈ N |}_u j = 0}

M´etodos de punto fijo (1971) en ingenier´ıa mec´anica. SOR

proyectado.

(24)

Aplicaciones

(25)

Etapas principales de una simulaci´

on.

(26)

Fracci´

on de tiempo de CPU para cada etapa.

(27)

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLm

JDJT +E,

en donde J es rectangular con renglones que corresponden a las restricciones, ycolumnas que corresponden a los cuerpos. D es una matriz diagonal por bloquesque incorpora inercia en el modelo f´ısico.

E es diagonal con entradas positivas. (JDJT +E)λ=e. JDJT₊_E _{es sim´etrica positiva definida.} λes el vector de fuerzas de contacto.

(28)

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLm

JDJT +E,

en donde J es rectangular con renglones que corresponden a

las restricciones, ycolumnas que corresponden a los cuerpos.

D es una matriz diagonal por bloquesque incorpora inercia en el modelo f´ısico.

(29)

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLm

JDJT +E,

D es una matriz diagonal por bloquesque incorpora inercia en

el modelo f´ısico.

(30)

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLm

JDJT +E,

E es diagonal con entradas positivas.

(JDJT +E)λ=e.

JDJT₊_E _{es sim´etrica positiva definida.}

λes el vector de fuerzas de contacto.

(31)

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLm

JDJT +E,

E es diagonal con entradas positivas.

(JDJT +E)λ=e.

JDJT₊_E _{es sim´etrica positiva definida.}

λes el vector de fuerzas de contacto.

(32)

Ejemplo. 907 cuerpos; 5 832 restricciones.

0 1000 2000 3000 4000 5000 0 1000 2000 3000 4000 5000 nz = 176735

(33)

Resultados num´ericos con GSP

nb nc nz(JDJT) cond(JDJT) 10−1 10−2 7 18 162 5.83e+01 4 6 8 45 779 2.92e+03 17 120 8 48 868 2.38e+03 17 111 235 1 044 14 211 4.58e+04 61 312 449 1 821 28 010 4.22e+04 132 414 907 5 832 176 735 5.11e+07 21 16 785 948 7 344 269 765 9.02e+07 3 123 >50 000 966 8 220 368 604 9.19e+07 1 601 39 103 976 8 745 373 848 6.45e+07 7 184 >50 000 977 9 534 494 118 1.03e+08 1 246 >50 000

(34)

Identificaci´

on del conjunto activo.

name k = 2 k = 20 k= 1 000 k= 10 000 1 3/4 4/4 2 7/8 7/8 3 8/10 8/10 4 12/58 40/58 58/58 5 156/254 233/254 254/254 6 1 253/1 512 1 301/1 512 1 399/1 512 1 471/1 512 7 1 504/1 828 1 523/1 828 1 614/1 828 1 707/1 828 8 2 112/2 321 2 106/2 321 2 178/2 321 2 253/2 321 9 1 728/2 158 1 743/2 158 1 870/2 158 1 976/2 158 10 2 513/2 728 2 495/2 728 2 578/2 728 2 670/2 728

(35)

Resultados de comparaci´

on.

name cpu time nz(L) # Chol. fact. 6 0.50/0.22 216 080/114 864 17/7 7 1.02/0.45 406 152/218 522 18/8 8 2.40/0.63 797 989/398 821 16/7 9 1.79/0.66 646 929/341 911 19/9 10 4.67/0.87 1 222 209/604 892 17/6 JL Morales, J Nocedal and M Smelyanskiy.

An Algorithm for the Fast Solution of Symmetric Linear Complementarity Problems (2007). Report 2007/5 Optimization Technology Center, Northwestern University, June 2007. Revised version, August 2008.

Por aparecer enNumerische Mathematik.

(36)

Resultados de comparaci´

on.

name cpu time nz(L) # Chol. fact. 6 0.50/0.22 216 080/114 864 17/7 7 1.02/0.45 406 152/218 522 18/8 8 2.40/0.63 797 989/398 821 16/7 9 1.79/0.66 646 929/341 911 19/9 10 4.67/0.87 1 222 209/604 892 17/6 JL Morales, J Nocedal and M Smelyanskiy.

An Algorithm for the Fast Solution of Symmetric Linear Complementarity Problems (2007). Report 2007/5 Optimization Technology Center, Northwestern University, June 2007. Revised version, August 2008.

Por aparecer enNumerische Mathematik.

(37)

Comportamiento del error con respecto al tiempo de CPU.

0 1 2 3 4 5 6 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2

CPU time in seconds

log 10 (||r||) ∞ Problem number 10 IPM PGS(5)+SMr PGS

(38)

Opciones americanas

Considerar una opci´on Americana (put) con precio de ejercicioK y tiempo de madurez T.

Si la opci´on se ejerce cuando el precio del subyacente es S, entonces el el poseedor de la opci´on recibe

Ψ(S) = (K −S)+= max(K −S,0).

(39)

Opciones americanas

Ψ(S) = (K −S)+= max(K −S,0).

(40)

Opciones americanas

Ψ(S) = (K −S)+= max(K −S,0).

(41)

Si V(t,S) es el precio de la opci´on al tiempo t cuando el precio del subyacente es S. EntoncesV resuelve la siguiente desigualdad variacional diferencial parcial

∂V ∂t + 1 2σ 2_S2∂2V ∂S2 + (r−q)S ∂V ∂S −rV [V −Ψ] = 0, t ∈[0,T), S ∈(0,∞)

sujeta a la condici´on de terminaci´on

V(T,S) = Ψ(S), S ∈(0,∞),

en donde r is la tasa de inter´es libre de riesgo;q es el dividendo que paga el subyacente; σ2 es la volatilidad.

(42)

Si V(t,S) es el precio de la opci´on al tiempo t cuando el precio del subyacente es S. EntoncesV resuelve la siguiente desigualdad variacional diferencial parcial

∂V ∂t + 1 2σ 2_S2∂2V ∂S2 + (r−q)S ∂V ∂S −rV [V −Ψ] = 0, t ∈[0,T), S ∈(0,∞)

sujeta a la condici´on de terminaci´on

V(T,S) = Ψ(S), S ∈(0,∞),

en donde r is la tasa de inter´es libre de riesgo;q es el dividendo

que paga el subyacente; σ2 es la volatilidad.

(43)

Discretizaci´

on.

Discretización temporal: método de Euler impl´ıcito. Dividir [0,T] en N intervalos de longitud k=T/N. Discretización espacial: MEF.

Denotando a u₍_t_n_{) por}un

(v₋un₎⊤_·_[(_M₊_k_A₎un₋_Mun−1₊_kF_]_≥₀_, _∀v_≥₀_, u0_{= 0}_, un _≥₀_, ₁_≤_n_≤_N.

equivalente alproblema de complementariedad lineal

(un₎⊤_·_[(_M₊_k_A₎un₋_Mun−1₊_kF_{] = 0,}

(M+k_A)un₋_Mun−1₊_kF_≥_0, u0_{= 0,} un _≥_0, ₁_≤_n_≤_N.

(44)

Discretizaci´

on.

Denotando a u₍_t_{n) por}un

(un₎⊤_·_[(_M₊_k_A₎un₋_Mun−1₊_kF_{] = 0,}

(M+k_A)un₋_Mun−1₊_kF_≥_0, u0_{= 0,} un _≥_0, ₁_≤_n_≤_N.

(45)

Discretizaci´

on.

Denotando a u₍_t_{n) por}un

(un₎⊤_·_[(_M₊_k_A₎un₋_Mun−1₊_kF_{] = 0}_,

(M+k_A)un₋_Mun−1₊_kF_≥₀_, u0_{= 0}_, un _≥₀_, ₁_≤_n_≤_N_.

(46)

Resultados con opciones americanas

PCL estructuralmente sim´etricos.

Black-Scholes-Merton. Volatilidad fija. 10-100 veces m´as r´apido GSP + MS. Cada PCL 2 000×2 000. 1 000 pasos de tiempo. CPU: segundos en Laptop.

Heston. Volatilidad estocástica. 4 veces más rápido en escenarios favorables para GSP. Cada PCL 50 000×50 000. 300 pasos de tiempo. CPU: minutos en Laptop.

L Feng, V Linetsky, JL Morales and J Nocedal

Pricing American Options with LCP based methods. En preparaci´on.

(47)

Resultados con opciones americanas

(48)