UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos 2. Calcular

(

)

2 3 4 3

4

x x ln x x

a )

e

dx

b ) lim e

−

ln x

→∞

∫

15 puntos

1EE10-1 3. Efectuar

(

)

2 3 2

1

2

3

x

x

x

a )

e cos x dx

b )

dx

c )

dx

x

x

x

−

+

−

+

∫

∫

∫

20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación

0

y

=

ln x , y

=

y

x

=

2

.

15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si

(

)

( )

2

(

1

2

)

f

x , y

=

ln

−

ln

−

y

+

x

10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura de 10cm a 9.7 cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono.

15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función _f

₍

_{x , y}

₎

1

x y = en el punto 1 1 2 2 , ,    

  y en la dirección del vector

1 1 2 v = _ , _   15 puntos

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos 2. Calcular

(

)

2 3 4 3

4

x x ln x x

a )

e

dx

b ) lim e

−

ln x

→∞

∫

15 puntos

1EE10-1 3. Efectuar

(

)

2 3 2

1

2

3

x

x

x

a )

e cos x dx

b )

dx

c )

dx

x

x

x

−

+

−

+

∫

∫

∫

20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación

0

y

=

ln x , y

=

y

x

=

2

.

15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si

(

)

( )

2

(

1

2

)

f

x , y

=

ln

−

ln

−

y

+

x

10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura de 10cm a 9.7cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera

aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono.

15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función _f

₍

_{x , y}

₎

1

x y = en el punto 1 1 2 2 , ,    

  y en la dirección del vector

1 1 2 v = _ , _   15 puntos

( )

( )

(

)

( )

4 2 3 7 4 2 2 2 2 2 2 1 4 2 6 3 1 3 f x d x f c R e s p u e s ta f c − = − + = = ∴ = = = − − =

∫

10 puntos

2. a) Por las propiedades de la función

ln x

y ex, la integral se puede escribir como

(

)

3 2 4 2 3 5 5 5 5

4

4

4

1

4

4

4

5

5

5

4

4

5

4

x x ln x x x x x x

I

e

dx

dx

I

dx

dx

C

ln

Re spuesta

I

C

ln

=

⋅

=

⋅

=

=

=

+

=

+

∫

∫

∫

∫

S1EE10-1 b) 3 x x

ln x

lim

e

→∞

∞

=

∞

, se puede aplicar la regla de L’Hôpital

2 3 ₃ 3

3

3

0

0

x x x x x x x x

x

ln x

_x

lim

lim

lim

e

e

x e

Re sultado

ln x

lim

e

→∞ →∞ →∞ →∞

=

=

=

=

15 puntos 3. a) Por partes 1 x x x x I u e dv cos x dx du e dx v sen x I e sen x e sen x dx = = = = = −

∫

I1 a su vez por partes

(

)

2 2 x x x x x x x x I x x x u e dv sen x dx du e dx v cos x

I e sen x e cos x e cos x dx

I e sen x e cos x e cos x dx

I e sen x e cos x C Re sultado e I sen x cos x C = = = = −   = − −_ + _   = + − ⇒ = + + = + +

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ₂ 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x x _x I ln C I x ln x x C Re sultado I x ln x x C − + − + ₋ = + + + = − + + − + + − + = − + + − + + − +

c) Por fracciones parciales

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( ) (

)

( )

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 2 x A Bx C x x x x x A x Bx C x si x A si x B C B C si x C B C B − + = + + + ⇒ − = + + + = ⇒ = − = ⇒ = − + + ⇒ + = = − ⇒ = − − − ⇒ − = −

S1EE10-1

( ) ( )

(

)

2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 si C B y C x x x x x x x x x dx dx dx dx x x x x x x x I ln x ln x C ln C x I ln x C x Re sultado I ln x C x + ⇒ = ⇒ = = − − ⇒ = + + + −   ⇒ = _ − _ = − +  +  +  ₊  = + − + =  +     = _ + _+     = _ + _+  

∫

∫

∫

∫

20 puntos

4. Sea la región indicada en la figura

2 2 2 2 2 2 0 2 1 4 2 1 1 4 2 0 2 2 y y ln ln e d y V V y e V ln e π π π  ₋  ₌     = _ − _      = _ − − _ − _    

∫

3

1

4

2

V

=

π



_

ln

+



_

u





15 puntos

5. Debe cumplirse que

(

)

(

)

2 1 2 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ln ln y x ln y x ln y x y x x y x y R e s u lta d o x y − − + ≥ − + ≤ ⇒ − + ≤ − + ≤ − ≤ ≥ − ≥ − 10 puntos

S1EE10-1 6. Sea 1 2 3 V =

π

r h si d V =

∆

V entoncesd V V d r V d h r h ∂ ∂ = + ∂ ∂ por lo que 2 2 3 3 2 3 3 2 2 3 1 0 5 5 3 1 0 3 1 0 2 0 5 5 5 3 2 6 5 5 6 d V rh d r r d h d V d V d V cm R e su lta d o d V cm

π

π

π

π

π

π

π

π

= +     = ⋅ _ − _ + _ − _     = − − ⇒ = − = − 15 puntos 7. Sea 1 5 2 5 v u = _ , _   y sea f f f i j x y ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ entonces 1 1 p p p f i j x y ∇ = − − si

1 2

1

2

p



_

, ,



_





(1 2)

1

1

1

2

2

,

f

i

j



,



⇒

∇

= − −

= − −

_

_





, la derivada direccional pedida es

1 1 5 1 5 4 5 1 2 5 2 5 4 4 5 9 5 9 5 20 4 5 5 9 5 20 v df f u , , du df du Re sultado df du   _{− −}   = ∇ ⋅ = − −_{ }⋅  = − − =  _{  } − − = ⋅ = − = 15 puntos