I. Valoraci´
on de Activos Financieros
Virginia S´anchez Marcos
2 Rendimiento y riesgo
3 Rendimiento y vencimiento: la curva de rendimiento
4 Referencias
¿c´omo se determina el precio o rendimiento de activos con distintas caracter´ısticas?
I ¿por qu´e si el rendimiento de los activos de Bolsa (US, 6% stocks) -activos con riesgo- es mayor que el rendimiento de los bonos (US, 1% bonds) -activos sin riesgo-, la gente compra bonos?
I ¿qu´e factores determinan el tipo de inter´es que ofrece un activo financiero en funci´on de su vencimiento? Curva de rendimiento
estudiaremos un modelo en que los hogares deciden sobre consumo y ahorro y
sobre el portafolio de activos a mantener: la ecuaci´on b´asica para determinar
el precio de un activo surge de las condiciones de primer orden del problema
de optimizaci´on del hogar
CUESTIONES PR´ACTICAS: ¿est´an los activos financieros
A la luz de la teor´ıa podemos adoptar dos posibles enfoques
I contrastar la teor´ıa y concluir si explica los datos o si necesita ser mejorada
I asumir que la teor´ıa es correcta y concluir sobre si los activos est´an
correctamente valorados en los mercados: identificar potenciales oportunidades para el inversor
Laidea centralde la teor´ıa de valoraci´on de activos
I el objetivo es valorar un flujo incierto de ingresos/pagos futuros
I el precio de un activo depende del valor esperado descontado de los pagos asociados a ese activo
I adem´as, las fuentes de riesgo macroecon´omico afectan a los precios del activo
Tambi´en podemos aprender sobre actitud de individuos frente al riesgo
La econom´ıa
econom´ıa sin producci´on
cada hogar/individuo/familia vive 2 per´ıodos y obtiene una renta ex´ogena en
cada per´ıodo
los hogares derivan utilidad del consumo en cada per´ıodo y son impacientes
econom´ıa con incertidumbre agregada: z es una variable aleatoria que
determina el valor de la renta ex´ogena y, tal vez, el rendimiento de un activo
consideraremos 2 tipos de activos financieros
I uno CON RIESGO (acci´on) con preciopt y cuyo pago futuro esxt+1(z)
I uno SIN RIESGO (bono) cuyo precio normalizamos a 1 y con rendimiento (bruto) fijoRtb+1
El problema del hogar
El problema de optimizaci´on de un hogar en esta econom´ıa
max
{at,bt,ct,ct+1(z)}u(ct) +βEtu(ct+1(z))
sujeto a las restricciones presupuestarias
ct+ptat+bt =yt
ct+1(z) =atxt+1(z) +btRtb+1+yt+1(z)
La soluci´
on
La resoluci´on del problema de optimizaci´on del hogar da lugar a una serie de
expresiones cuya interpretaci´on resulta muy interesante
u0(ct) =βRtb+1Etu0(ct+1(z)) (1)
ptu0(ct) =βEtu0(ct+1(z))xt+1(z) (2) que podemos escribir como
1 =βRtb+1Et u0(ct+1(z)) u0(c t) (3) pt=βEt u0(ct+1(z))xt+1(z) u0(c t) (4)
La soluci´
on: el rendimiento del activo sin riesgo
De la ecuaci´on (3) tenemos 1 Rb t+1 =βEt u0(ct+1(z)) u0(c t) (5)En ausencia de incertidumbre y bajo el supuesto de una funci´on de utilidad CES
Rtb+1= 1 β( ct+1 ct )σ Comentarios:
1 El tipo de inter´es es mayor cuando los individuos son impacientes (menorβ)
2 El tipo de inter´es es mayor cuanto mayor es el crecimiento del consumo
3 Adem´as, el tipo de inter´es es m´as sensible al crecimiento del consumo cuanto
mayor seaσ(esto significa que la elasticidad de sustituci´on intertemporal es
menor: los individuos est´an m´as deseosos de tener un perfil de consumo
equilibrado)
La soluci´
on: el precio del activo con riesgo
De la ecuaci´on (4) y utilizandoExy=ExEy+cov(x,y)
pt =Etmt+1(z)Etxt+1(z) +cov(mt+1(z),xt+1(z)) (6)
Dondemt+1= βu
0(ct+1(z))
u0(ct) (factor de descuento estoc´astico), por lo que
1 Rb t+1 =Etmt+1(z) A partir de ahoraRta+1(z) = xt+1(z) pt
La soluci´
on: el precio del activo con riesgo
De las ecuaciones (5) y (6) obtenemos
pt= Etxt+1(z) Rb t+1 +cov(mt+1,xt+1) (7) Comentarios:
1 el precio del activo se puede expresar como la suma de dos t´erminos
I un t´ermino que mide el valor presente descontado de los pagos futuros
I un t´ermino que corrige por el riesgo
2 el segundo t´ermino NO est´a presente si el consumo es constante o el
individuo tiene una funci´on de utilidad lineal (neutral al riesgo)
La soluci´
on: el precio del activo con riesgo
3 el precio de un activo es menor si su pago tiene covarianza positiva con la
evoluci´on del consumo (recuerda que cov(mt+1,xt+1) =cov(u
0(ct+1(z)),xt+1)
u0(c
t) y que la utilidad marginal del consumo es decreciente). En este caso el activo
hace que el consumo del individuo sea m´as volatil y resulta poco atractivo
para los individuos aversos al riesgo
4 ocurre al contrario si la covarianza es negativa: en este caso el activo actua
como seguro!, es decir, ofrece pagos altos cuando el individuo est´a recibiendo
rentas bajas y pagos bajos cuando el individuo est´a recibiendo rentas altas.
Por ello, el activo es m´as atractivo para los individuos aversos al riesgo y
est´as dispuestos a pagar por ese activo un precio mayor
5 por tanto, lo relevante para determinar el precio de un activo es la covarianza
entre el pago y el factor de descuento y NO la varianza del pago. La raz´on es
que al consumidor lo que le preocupa es la VOLATILIDAD DE SU CONSUMO, no la de un activo en particular
La soluci´
on: el premio al riesgo
Multiplicando (7) porRb
t+1 y dividiendopt tenemos otra expresi´on interesante
EtRta+1−R b t+1=−R b t+1cov(mt+1,Rta+1) (8) Comentarios:
1 La diferencia entre el rendimiento esperado de un activo con riesgo y el de un
activo sin riesgo depende de la covarianza entre el consumo y el pago del activo con riesgo: si dicha covarianza es positiva el rendimiento del activo con riesgo debe ser mayor
2 N´otese que las preferencias afectan al factor de descuendo estoc´asticomt+1,
en particular el grado de aversi´on al riesgo
Resumiendo
Lo relevante para determinar el precio de un activo financiero NO es la varianza de su rendimiento, sino la covarianza entre el rendimiento de ese activo financiero y el consumo
Contrastaci´
on del modelo
¿Es este modelo capaz de explicar el diferencial entre el rendimiento de los activos con y sin riesgo que se observa en los datos y que documentamos en la primera diapositiva?
¿Es este modelo capaz de explicar la volatilidad de los precios de los activos financieros?
Las predicciones de esta teor´ıa no se ajustan a los datos, salvo para valores
poco plausibles de la aversi´on al riesgo: equity premium puzzle(Mehra and
Prescott (JMOE, 1985))
Por esta raz´on la literatura explora
I distintas extensiones del modelo, por ejemplo distintas funciones de utilidad (h´abitos, preferencias Epstein-Zin)
I mediciones alternativas de los rendimientos de los activos a explicar (McGrattan and Prescott (AER 2003)): tratamiento fiscal
I la medici´on delequity premiumen otros pa´ıses (Dimson, Marsh and Stauhlon (2001)
Otros comentarios: el modelo en equilibrio general
Hasta aqu´ı hemos estudiado c´omo se determina el precio dada la distribuci´on
conjunta del consumo (utilidad marginal) y del pago del activo, pero
podr´ıamos tratar de determinar el consumo dados los precios de los activos y
los pagos, ¿qu´e es antes el huevo o la gallina? ¿qu´e variable es ex´ogena y qu´e
variable es end´ogena?
I necesitar´ıamos cerrar la econom´ıa para determinar conjuntamente el consumo y los precios: necesitamos modelizar el lado de la producci´on. Por ejemplo, si tenemos una econom´ıa con dotaciones de consumo dadas no almacenables, los precios de los activos deben ajustarse para que los individuos est´en satisfechos con los perfiles de consumo que les corresponden en cada periodo
Sin embargo, no es necesario modelizarlo todo si s´olo estamos interesados en
estudiar los precios de los activos y conocemos el modelo estad´ıstico del consumo
Otros comentarios: una expresi´
on general para el precio de
un activo
Con el an´alisis en las diapositivas anteriores basado en un modelo de
consumo obtenemos una expresi´on para el precio de un activo.
De forma general se podr´ıa decir que el precio de un activo se obtiene como
resultado de aplicar un factor de descuentoma unos pagos futurosx (bajo el
supuesto de que no existen oportunidades de arbitraje)
pt=Emt+1xt+1 (9)
En el modelo desarrollado con anterioridad obtuvimos una expresi´on concreta
para factor de descuentom, pero otros modelos podr´ıa producir otras...De
otra forma, el modelo desarrollado nos permite pasar de una expresi´on
general como la (9) a una expresi´on particular como la (4)
Otros comentarios: una expresi´
on general para el precio de
un activo
Si en la expresi´on (9) dividimos porpt tenemos que 1 =Etmt+1(z)Rta+1(z) que podemos reescribir como
Otros comentarios:
Beta pricing model
A partir de la expresi´on (10) es posible expresar el rendimiento esperado del
activo con riesgo como (dividimos porEtmt+1(z) y teniendo en cuenta que
para un activo sin riesgo tenemos que R1b
t+1 =Etmt+1(z)) ERa=Rb+ (cov(m,R a) var(m) )(− var(m) E(m) ) (11)
que podemos escribir como
ERa=Rb+βa,mλm (12)
se conoce comobeta pricing model(CAPM)
Otros comentarios:
Beta pricing model
ERa =Rb+βa,mλm
λmes igual para cualquier activo financiero con risgo (precio del riesgo), pero
βa,m var´ıa de un activo a otro (cantidad de riesgo)
contrastaci´on con datos de secci´on cruzada
el modelo Fama-French(1993) de tres factores: a˜nade dos nuevos factores al
Otros comentarios: Frontera media-varianza
Otra expresi´on interesante que podemos obtener a partir la ecuaci´on (10)
1 =Etmt+1Rta+1=Etmt+1EtRta+1+ρmt+1,Rta+1sd(mt+1)sd(R a
t+1) (13)
Dividiendo porEtmt+1 y recordando queEtmt+1= R1b
t+1 EtRta+1=R b t+1−ρmt+1,Rta+1 sd(mt+1) Etmt+1 sd(Rta+1) (14) Por tanto |EtRta+1−R b t+1| ≤ sd(mt+1) Etmt+1 sd(Rta+1) (15)
Otros comentarios: Ratio de Sharpe
La expresi´on anterior puede tambi´en escribirse como
EtRta+1−Rtb+1 sd(Ra t+1) ≤sd(mt+1) Etmt+1 (16)
Bajo determinados supuesto
EtRta+1−Rtb+1
sd(Ra t+1)
Otros comentarios: l´ıneas de investigaci´
on
Teor´ıas sobre el factor estoc´astico de descuento
basadas en comportamiento de inversores racionales: diversas extensiones de CCAPM
behavioral finance: agentes no racionales y factores institucionales
Otros comentarios: burbujas
1 Burbujas
I Pensemos en un activo que paga un dividendodt+1, el otro componente del
pago (xt+1) de este activo es el precio de venta del activopt+1.
I Bajo ciertos supuestos
pt = d+pt+1 R = ∞ X s=1 d Rs +limm→∞ pt+m Rm = d R−1+limm→∞ pt+m Rm
I El primer t´ermino de la expresi´on representa el valor fundamental del activo, el segundo t´ermino es la burbuja
I ¿Por qu´e hay burbujas?
F ”animal spirits”
F ”sunspots”
Otros comentarios: hip´
otesis de mercados eficientes
2 El precio del activo como un paseo aleatorio
pt+1=pt+t
I Dondet es ruido blanco
I La mejor predicci´on del precio ma˜nana es el precio hoy
La econom´ıa
econom´ıa sin producci´on
cada hogar/individuo/familia vive 3 per´ıodos y obtiene una renta ex´ogena en
cada per´ıodo
los hogares derivan utilidad del consumo en cada per´ıodo
econom´ıa con incertidumbre agregada,z es una variable aleatoria que
determina el valor de la renta ex´ogena
en la econom´ıa hay dos tipos de activos financieros:
I bono a CORTO PLAZO (1 per´ıodo,b1t)
I bono a LARGO PLAZO (2 per´ıodos,b2t)
el rendimiento en un bono tipoi (coni= 1,2) en el per´ıodo t lo denotamos
El problema del hogar
El problema de optimizaci´on:
max {b1t,b2t,ct,ct+1,ct+2}
u(ct) +βEu(ct+1(zt+1)) +β2Eu(ct+2(zt+2))
sujeto a las restricciones presupuestarias
ct+b1t+b2t=yt
ct+1(zt+1) +b1t+1=b1t(1 +r1t+1) +yt+1(zt+1)
ct+2(zt+2) =b1t+1(1 +r1t+2(zt+2)) +b2t(1 +r2t+2)(1 +r2t+2) +yt+2(zt+2)
En esta econom´ıa hay dos formas de disponer de 1 unidad de consumo ent+ 2
comprar bonos a largo plazo ent
comprar bonos a corto plazo ent y reinvertir en bonos a corto plazo ent+ 1
La soluci´
on
Las condiciones de primer orden son
u0(ct) =βEt(1 +r1t+1)u0(ct+1(z1t+1)) (18) u0(ct) =β2Et(1 +r2t+2)(1 +r2t+2)u0(ct+2(z1t+2)) (19) adem´as, en t+ 1 u0(ct+1(z)) =βEt+1(1 +r1t+2(z1t+2))u0(ct+2(z1t+2)) (20) por lo que Etu0(ct+1(z1t+1)) =βEtEt+1(1 +r1t+2(z1t+2))u0(ct+2(z1t+2)) (21) que por la Ley de Expectativas Iteradas
La soluci´
on en un caso particular
Bajo el supuesto de funci´on de utilidad logar´ıtmica y en equilibrio general:
(1 +r1t+1) = 1 E βyt yt+1(zt+1) (23) (1 +r2t+2)2= 1 E β 2y t yt+2(zt+2) (24) 1 =Eβ(1 +r1t+2(zt+1))yt+1(zt+1) yt+2(zt+2) (25)
Bajo ciertos supuestos podemos llegar a la siguiente expresi´on:
r2t+2≈
r1t+1+Er1t+2(zt+1)
2 (26)
Algunas conclusiones
De acuerdo con esta teor´ıa, el tipo de inter´es ANUAL de los bonos a 2 a˜nos
es una media de los tipos de inter´es ANUALES de los bonos a 1 a˜no, uno de
ellos incierto
La forma de la curva de tipos proporciona informaci´on sobre las expectativas
de los futuros tipos de inter´es a corto plazo y, en consecuencia, del ciclo
econ´omico (ver ecuaci´on (24)). Por tanto, la curva de tipos es un
instrumento de an´alisis de coyuntura econ´omica
El hecho de que los tipos a largo dependan de los tipos a corto, refuerza la
importancia de la pol´ıtica monetaria. Adem´as, son importantes los esfuerzos
de la autoridad monetaria por transmitir su pol´ıtica futura de tipos de inter´es,
pues con ello influye en las expectativas y de esta manera en los tipos de inter´es a largo plazo
Cochrane,J. (2001), Cap´ıtulo 1. Wickens, M. (2008), Cap´ıtulo 10.
