CÍRCULO DE ESTUDIO HD 1
Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – La Victoria – teléfono : 4735039
Ciclo Nivelación
Tercer Año de Secundaria
GUIA N
O
1
VERANO
2011
ÁLGEBRA
Productos
Notables
ARITMÉTICA
Aplicaciones
de la Teoría de
Conjuntos
GEOMETRÍA
Triángulos
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
4 Operaciones
TRIGONOMETRÍA
Ángulo
Trigonométrico
Productos Notables
1. Cuadrado de un binomio
(a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2(a – b)
2= a
2– 2ab + b
2Identidad de Legendre
(a + b)
2+ (a – b)
2= 2(a
2+ b
2)
(a + b)
2– (a – b)
2= 4ab
Consecuencias importantes:
• (a + b)
4+ (a – b)
4= 2[(a
2+ b
2)
2+
(2ab)
2]
• (a + b)
4– (a – b)
4= 8ab (a
2+ b
2)
Teorema 4
Todo trinomio de la forma (ax
2+ bc + c)
es cuadrado perfecto, si : b² = 4ac
2. Diferencia de cuadrados
(a + b)(a – b) = a
2– b
23. Cubo de un binomio
(a + b)
3= a
3+ 3a
2b + 3ab
2+ b
3(a – b)
3= a
3– 3a
2b + 3ab
2– b
3Identidad de Cauchy
(a + b)
3= a
3+ b
3+ 3ab(a + b)
(a – b)
3= a
3– b
3– 3ab(a – b)
Consecuencias importantes:
•(a + b)
3+ (a – b)
3= 2a(a
2+ 3b
2)
•(a + b)
3– (a – b)
3= 2b(3a
2+ b
2)
4. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a
2– ab + b
2) = a
3+ b
3(a – b) (a
2+ ab + b
2) = a
3– b
3Formas particulares usuales:
(a + 1) (a
2– a + 1) = a
3+ 1
(a – 1) (a
2+ a + 1) = a
3– 1
APLICACIÓN
1. Resuelve: (x2 )y2 (2
a
3)
2 2 2 2 y x
2 2 2 a b 2 3 3x x 2. Expresa como u cuadrado de binomio: 2
6
9
x
x
4
a
2
12
a
9
4
x
2
4
x
1
x42x21 x
2
10
x
25
b
4
6
b
2
9
3. Calcula los productos siguientes:
(2
x
1) (2
x
1)
2 2
(
x
4) (
x
4)
(3
a b
) (3
a b
)
(2a2 5) (2a25)4. Expresa como una suma por su diferencia:
2
4
x
25
4 29
a
16
b
216 25x
5. Expresa como un producto:
2 2
9
x
25
y
216 40
x
25
x
2100
a
144 240
a
6. Resuelve: (3
x
2) (3
x
2)
2 2(5
x
3)
2 2(3
a
b
)
(2
x
1) (2
x
1)
7. Resolver: (x+4)2 + (x-4)2 - 2x2 A) 32 B) 16 C) 8 D) x2+16 E) x2-4 8. Resolver: (2x+1)2 + (2x-1)2 - 2 A) 8 B) 0 C) 4 D) 4x2 E) 8x2 9. Resolver: (4x+y)2 + (4x-y)2 - 2(8x2+y2) A) 4x2+y2 B) 16x2 C) 8x2 D) 4x2-y2 E) 2y2 10. Resolver: (2x2+y3)2 + (2x2-y3)2 - 8x2 A) y2 B) -y2 C) -4x2 D) -2y2 E) 4y2 11. Resolver: M = (x+3)2 - (x-3)2 - 12x + 5 A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 12. Resolver: (x2+4)2 - (x2-4)2 - 8x2 A) 2x2 B) 4x2 C) 16x2 D) 8x2 E) 0 13. Resolver: y 4 )2 y 2 x2 ( )2 y 2 + x2 ( A) 2x2 B) 4x2y C) 2x4y2 D) 4x4y2 E) 2x4 14. Resolver: (x+2)(x+5) - (x+9)(x-2) - 4 A) 0 B) 18 C) 28 D) 10 E) 24 15. Resolver: (x+1)(x+3) + (x+2)(x-2) - 2x2 + 1 A) 4x B) 2 C) 3x D) 2x E) -2x 16. Resolver: (x+4)(x-2) + (x-6)(x+4) - 2x2 A) 16 B) -16 C) 24 D) -32 E) 30 17. Resolver: (x+1)(x+2) + (x+2)(x+3) - 2(x+5)(x-2) - 2x A) 14 B) 28 C) 18 D) -28 E) -18 18. Resolver: (x+2)(x+5) - (x+9)(x-2) - 27 A) 35 B) -35 C) -53 D) 53 E) 1 19. Si: a2 + b2 = 6 ; ab = 2 Hallar: R = a + b ; (R > 0) A) 10 B) 6 C) 10 D) 5 E) 2 20. Si: a + b = 5 ; ab = 3 Hallar: I = a - b ; (I > 0) A) 1 B) 3 C) 7 D) 17 E) 13 21. Simplificar: C = (x2-4x-1)2 - (x2-4x-2)2 - 2(x-2)2 A) 0 B) -3 C) 10 D) -9 E) -11 22. Si: a + b + c = 0 ; Hallar: c2 + b2 + a2 )2 c (b+ + )2 c (a+ + )2 b (a+ = H A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 23. Reducir: A = [(x+2)2 - (x+1)2] [(x-2)2 - (x-1)2] A) 9-4x2 B) 9-6x2 C) 9-2x2 D) 9-15x2 E) 9-x224. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son verdaderas? (x+1)2 = x2 + 1 (x+1)(x-1) = x2 - 2x + 1 (x+3)(x2+9-3x) = x3 + 27 (x+5)(x2+5x+25) = x3 + 125 (x+8)(x2-8x+64) = x3 - 83 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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25. Resolver: (x+3)(x-3) + (x+1)3 - x3 - x(4x+1) + 9 - 2x A) 10 B) 9 C) 8 D) 1 E) 7 26. Resolver: (x+1)3 - (x-1)3 - 3x(2x) A) 1 B) 2 C) 6x2 D) 12x2+2 E) 6x2+2 27. Efectuar: (x+y+5)(x-5+y) + 8 - (x2+2xy+y2) A) 13 B) 3 C) 17 D) -17 E) -3 28. Reducir:
(x+a)(x2-ax+a2)+(x+2y)(x2-2xy+4y2
)-(2x3+8y3) A) a3 B) 2a3 C) 0 D) 16y3 E) 2a3-16y3 29. Reducir: + y y + x y2 x2 = R si: x + y 0 A) x B) y C) xy D) x-y E) x+2y 30. Reducir: A = (2x + 3)2 – (2x - 3)2 + (3x - 4)2 – 8x2 - 16 a) 0 b) 2 c) x d) x2 e) 2x2 31. Efectuar: ) 1 )( 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 (x x x x x a) x2 b) 1 c) 0 d) 2x2 e) 2 32. Reducir: 2 ) 2 3 3 2 ( 2 ) 2 3 3 2 ( A a) 15 b) 20 c) 25 d) 60 e) 67 33. Simplificar: 4 2 ) 4 4 ( 2 ) 4 4 ( xy y x y x L a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 34. Efectuar: E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256 a) x b) x2 c) x4 d) x6 e) x8 35. Multiplicar: M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1) + 1 a) x3 b) x4 c) x6 d) x9 e) N.A. 36. Efectuar: ) 34 320 3100 ( ) 32 310 ( L a) 1 b) 10 c) 2 d) 8 e) 1 37. Reducir: A = (xn+8)(xn+2) – (xn+3)(xn+7) a) xn b) x2n c) 2xn d) -5 e) -1 38. Reducir: M = (x5 + 4) (x5 + 7) – (x5 + 2) (x5 + 9) a) 5 b) x10 c) x20 d) 10 e) 15 39. Simplificar:
1
)
4
)(
3
)(
2
)(
1
(
x
x
x
x
L
a) x2 + 5x + 5 b) x2 – 5x + 5 c) x2 - 5 d) –x2 – 5x – 5 e) N.A. 40. Simplificar: ) 4 2 2 4 )( )( 4 4 )( 4 4 )( ( a b a b a b ab a a b b a) a6 + b6 b) a6 – b6 c) a3 + b3 d) a3 – b3 e) N.A. 41. Evaluar: 83(22 1)(24 1)(28 1) 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 42. Reducir: ) 6 3 2 1 ( ) 6 3 2 1 ( P a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 43. Si: = 3 x 1 + x ; obtener: x2 1 + x2 = I A) 9 B) 1 C) 5 D) 7 E) 6 44. Efectuar: C = (x+2)3 - 6(x+2)x - 8 A) 0 B) x3 C) 6x D) x3-8 E) -8 45. Si: = 3 x 1 + x ; obtener: x3 1 + x3 = H A) 16 B) 18 C) 15 D) 27 E) 32 46. Si: x3 + y3 = 28 ; además: xy(x+y) = 12Calcular: A = x + y A) 2 B) 3 C) 4 D) -2 E) -3 47. Si: x + y = 5 ; xy = 3 Hallar: R = x3 + y3 A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110 48. Sabiendo que: = 6 x y + y x x2 + y2 = 30 calcular: D = (x - y)2 A) 30 B) 36 C) 20 D) 110 E) 112 49. Efectuar: R = (x+1)3 - (x-1)3 - 2 A) 6x B) 6x2 C) 3x D) 6 E) 6+x
50. Si: (a+b+c+d)2 = 4(b+a)(c+d)
encontrar el valor de: b) 3(a+ ) dc+ (343 = V A) 4 B) a+b+c+d C) 7 D) abcd E) 3
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Conjuntos
MAPA CONCEPTUAL
CONCEPTOS BÁSICOS
Para este tema, deberemos hacer algunas apreciaciones conjuntistas, para que luego usted pueda desarrollar en lo sucesivo estos ejercicios.
La zona representa a Sólo “A” n(A - B) = a b “A” y “B” n(A B) = b c Sólo “B” n(B - A) = c d Ni “A”, Ni “B” n[(A B)’] = d Para 3 conjuntos:
La zona representa
a Sólo “A” n[A – (B C)] = a b Sólo A y B n[(A B) – C] = b c Sólo “B” n[B – (A C)] = c d Sólo A y C n[(A C) - B] = d e “A”; “B” y “C” n[(A B C)] = e f Sólo “B” y “C” n[(B C) - A] = f g Sólo “C” n[C – (A B)] = g h Ni “A”, Ni “B”, Ni “C” n[(A B C)’] = h Para conjuntos disjuntos 2 a 2
Ejemplo: Hombres y mujeres provincianos y no provincianos. La zona representa a hombres provincianos b mujeres provincianas c hombres no provincianos d mujeres no provincianas EJEMPLO ILUSTRATIVO
El siguiente diagrama de Venn representa los alumnos matriculados en una academia deportiva. De acuerdo a esta información responda las preguntas.
¿Cuántos alumnos están inscritos en fútbol? ¿Cuántos están inscritos en natación? ¿Cuántos en fútbol o natación? ¿Cuántos en fútbol y natación? ¿Cuántos alumnos tiene la academia? ¿Cuántos están inscritos sólo en natación? ¿Cuántos no están inscritos en fútbol ni en natación?
PROBLEMAS
1. De un grupo de 80 personas se observa que: la mitad compra el diario el Comercio. Los 2/5 compran el Expreso los 3/16 compran otros diarios
¿Cuántas personas compran ambos diarios?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
2. En una encuesta realizada a 150 personas acerca de su preferencia por las emisoras de radio se obtuvo la siguiente información:
52 escuchan radio Ritmo 48 escuchan radio Miraflores 37 escuchan radio Moda
15 escuchan radio Ritmo y Miraflores 14 escuchan radio Moda y Miraflores 13 escuchan radio Ritmo y Moda 8 escuchan las tres radios mencionadas ¿Cuántas personas escuchan radio ritmo pero no radio moda?
a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43
3. De 140 alumnas de un centro de idiomas se sabe que:
62 estudian inglés 56 estudian francés 54 estudian alemán 18 estudian inglés y francés 20 estudian francés y alemán 22 estudian inglés y alemán 6 estudian los 3 idiomas
¿Cuántos alumnos estudian otros cursos? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
4. De un grupo de 150 turistas que regresaron a su país de origen se obtuvo la siguiente información:
75 visitaron el Cuzco 59 visitaron Iquitos 48 visitaron Huaraz
18 visitaron sólo Cuzco e Iquitos 9 visitaron sólo Huaraz y Cuzco 21 visitaron sólo Huaraz 25 visitaron otras ciudades ¿Cuántos visitaron sólo Iquitos? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
5. En una encuesta realizada a 400 personas acerca de sus preferencias por los chocolates se obtuvo los siguientes resultados:
175 prefieren Cañonazo 48 prefieren sólo Sublime 120 prefieren sólo Mecano 27 prefieren Cañonazo y Sublime 30 prefieren Cañonazo y Mecano
39 prefieren Mecano y Sublime 57 prefieren Sublime pero no Mecano ¿Cuántos prefieren por lo menos dos de los chocolates mencionados?
a) 56 b) 57 c) 58 d) 59 e) 60
6. De un grupo de 80 alumnos, 40 estudian inglés, 32 francés y 14 otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés y francés? a) 10 b) 8 c) 9 d) 6 e) 4
7. En un región hay 160 personas y en un momento dado se observa que la cuarta parte beben, la quinta parte fuman y la décima parte fuman y beben. ¿Cuántas personas no fuman ni beben?
a) 104 b) 96 c) 84 d) 72 e) 62
8. Karina comió panetón o chocolate todas las mañanas del mes de diciembre. Si 19 mañanas comió panetón y 26 mañanas comió chocolate.
¿Cuántas mañanas comió sólo uno de los dos?
a) 14 b) 17 c) 21 d) 12 e) 10
9. En una población se sabe que: 46% toman leche, el 38% come huevos y los que sólo comen huevo o los que sólo toman leche son el 56%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen huevo?
a) 36% b) 38 c) 42 d) 28 e) 30
10. De un grupo de 70 estudiantes, se observa que 15 estudian sólo inglés; 30 estudian francés y 10 sólo francés; 26 estudian alemán y 8 solo alemán. Además 7 estudian los tres idiomas y 11 estudian otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés?
a) 26 b) 28 c) 30 d) 36 e) 41
11. Para ingresar al colegio Trilce, un grupo de 80 niños dieron 3 exámenes para ser admitidos, al final, se supo que:
28 aprobaron el primer examen 32 aprobaron el segundo examen 30 aprobaron el tercer examen
8 aprobaron sólo el primer y segundo examen
10 aprobaron el segundo y tercer examen
4 aprobaron los 3 exámenes 18 no aprobaron examen alguno ¿Cuántos alumnos fueron admitidos si sólo se necesita aprobar dos exámenes? a) 20 b) 24 c) 32 d) 36 e) 18
12. De 205 integrantes de un club deportivo, 110 se inscribieron en fútbol y 70 en natación. Los que se inscribieron en fútbol y natación son la mitad de los que se inscribieron en otros deportes. ¿Cuántos se inscribieron solo en natación?
a) 25 b) 55 c) 45 d) 60 e) 28
13. De 90 turistas que visitaron Cuzco o Iquitos se sabe que los que visitaron Aplicaciones
Conjuntistas
Para 2 conjuntos
Para 3 conjuntos
Para conj. disjuntos
A B a b c d U A B C a b e d f g c h U
a
b
c
d
Hombres Mujeres Provincianos No Provincianos 35 18 24 12 UCÍRCULO DE ESTUDIO HD 5
Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – la Victoria – teléfono: 4735039
ambas ciudades son la mitad de los que visitaron sólo Cuzco y también son la tercera parte de los que visitaron sólo Iquitos. ¿Cuántos visitaron Cuzco? a) 36 b) 32 c) 45 d) 48 e) 42
14. En una encuesta realizada a 95 personas se obtuvo la siguiente información: 9 personas consumen los productos “A” y “B” pero no “C”
10 personas consumen los productos “B” y “C” pero no “A”
15 personas consumen los productos “A” y “C” pero no “B”
22 personas consumen los productos “A” y “C”
18 personas consumen otros productos ¿Cuántas personas consumen sólo uno de los productos mencionados?
a) 32 b) 36 c) 38 d) 40 e) 42
15. De 400 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, se observa que 155 leen El Comercio y El Expreso, 260 leen El Comercio y La República y 135 leen La República y El Expreso. ¿Cuántas personas leen los tres diarios?
a) 48 b) 56 c) 62 d) 75 e) 81
16. En un instituto de idiomas están matriculados 260 alumnos, 120 en inglés, 90 francés y los que están matriculados en inglés y francés son las tercera parte de los que se matricularon en otros idiomas. ¿Cuántos están matriculados sólo en Francés o Inglés? a) 160 b) 140 c) 120 d) 150 e) 125 17. De 100 alumnos del colegio Trilce se
sabe que a 60 no les gusta matemática a 52 no les gusta Lenguaje. El número de alumnos que no les gusta ninguno de los dos cursos mencionados es numéricamente igual al número de alumnos que sólo les gusta matemáticas. ¿A cuántos alumnos les gusta sólo lenguaje?
a) 10 b) 28 c) 38 d) 34 e) 50
18. En el último campeonato nacional de atletismo participaron 98 deportistas, de los cuales 22 hombres venían de provincia y 24 mujeres eran limeñas. El número de hombres limeños excedía en 20 al número de mujeres provincianos. ¿Cuántos participantes fueron de provincia?
a) 22 b) 38 c) 34 d) 28 e) 36
19. En una conferencia internacional se observa que 68 banderas empleaban los colores azul, rojo o blanco. Cada una empleaba por lo menos dos colores y 25 de ellas empleaban el rojo y el azul; 15 el rojo y blanco y 36 el blanco y azul. ¿Cuántas banderas empleaban los 3 colores mencionados?
a) 5 b) 7 c) 4 d) 11 e) 12
20. En un salón de clases de la Universidad Católica hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres, 40 son mayores de edad y 12 señoritas no son mayores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad?
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18
21. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación, si 20 alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos practican un deporte y sólo uno?
a) 50 b) 55 c) 60 d) 40 e) 65
22. A una conferencia internacional asistieron 430 personas. Luego de revisar las fichas de inscripción se supo que 195 eran americanos, 134 europeos y 165 abogados; de estos últimos 58 eran americanos y 62 europeos. ¿Cuántos no eran abogados ni europeos?
a) 152 b) 136 c) 128 d) 175 e) 193 23. De un grupo de 160 personas que tienen
los ojos negros o marrones, se sabe que el número de hombres que tienen ojos marrones es la cuarta parte del número de mujeres que tienen ojos negros, la sexta parte del número de personas que tiene ojos marrones y la séptima parte del número de hombres. ¿Cuántas mujeres tienen ojos negros?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
24. De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican natación también practican fútbol, además:
27 practican básquet 15 practican fútbol y básquet 10 practican natación 7 practican básquet y natación 9 practican otros deportes
Además los que practican sólo básquet son numéricamente iguales a los que practican fútbol pero no natación. ¿Cuántos deportistas conforman el grupo?
a) 43 b) 45 c) 72 d) 68 e) 51
25. Se realizó una encuesta a un grupo de personas y se sabe que 52 de ellos trabajan, 63 son mujeres, de las cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones, 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?
a) 16 b) 20 c) 24 d) 32 e) 38
26. En la sección de 3ro. “B” hay 25 alumnos, se sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de historia y a 18 el curso de lenguaje. Si a todos les gusta al menos uno de los 2 cursos mencionados, ¿A cuántos les gusta sólo historia o sólo lenguaje?
a) 15 b) 12 c) 18 d) 23 e) 20
27. De un grupo de 43 personas se sabe qué: 26 hablan alemán
10 hablan inglés 15 hablan español 2 hablan alemán y español 3 hablan inglés y español 5 hablan inglés y alemán
1 habla los 3 idiomas mencionados ¿Cuántos hablan español o inglés pero no alemán?
28. ¿Cuántos no hablan estos idiomas mencionados?
a) 22 y 8 b) 16 y 1 c) 20 y 6 d) 17 y 1 e) N.A. 29. De un grupo de 12 alumnos que asisten a
sus clases 3 viajan siempre caminando, 6 usan micro y 7 combi para ir a su colegio. ¿Cuántos vienen algunas veces en micro y otras en combi?
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
30. De 30 personas que viajan rumbo a Europa, 16 dijeron que visitarían Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza; 5 de los encuestados viajarán a Francia y Suiza, y 3 de ellos visitarán también Inglaterra; 5 van a Suiza y 8 sólo a Inglaterra. ¿Cuántos van sólo a Francia?
a) 2 b) 3 c) 8 d) 5 e) 7
31. De 50 personas, se sabe que: 5 mujeres tienen ojos negros 16 mujeres no tienen ojos negros 14 mujeres no tiene ojos azules
10 hombres no tienen ojos negros o azules
¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?
a) 19 b) 20 c) 17 d) 18 e) 21
32. De un total de 230 alumnos se conocen que 90 postulan a la UNI mientras que 110 postulan a la Católica. ¿Cuántos alumnos postularon a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras universidades y no a estas dos?.
a) 40 b) 60 c) 80 d) 70 e) 50 33. De un grupo de 200 comensales a 120 no
les gusta el arroz con pollo y a 130 no les gusta la carapulca. Si a 80 no les gusta ambos potajes. ¿a cuántos de ellos les gusta el arroz con pato y la carapulca?. a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42 34. De un grupo de 70 personas 32 hablan
inglés, 26 español, 37 francés, 6 inglés y español; 9 español y francés; 12 inglés y francés. ¿Cuántos hablan los 3 idiomas?. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
35. La academia Pitágoras ha organizado un concurso de Aritmética (A), Álgebra (X) y Geometría (G) de los alumnos inscritos 400 participan en A; 390 en X; 480 en G; 130 participan en A y X pero no G y 290 en solo G. ¿Cuántos alumnos participan al menos en dos cursos?.
a) 380 b) 360 c) 340 d) 320 e) 300 36. De 180 alumnos que les gustan los
cursos de aritmética, álgebra y física se supo que 34 gustan de aritmética, pero no de álgebra; 28 gustan aritmética pero no física; 26 gustan de álgebra, pero no aritmética; 18 gustan de álgebra pero no física; 56 gustan de física, pero no de aritmética; 54 gustan de física, pero no álgebra. ¿A cuántos les gusta los 3 cursos mencionados?.
a) 92 b) 82 c) 72 d) 62 e) 64
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A B C D c a m n 2 a b c r 2 a b c x Triángulos I
a – b < c < a + b a – c < b < a + c + + = 180º X = + 2 º 90 x X = 180º - 2
x X = 180º - 2 2 2 2 2 2 c m b a AM= MC BM = AC / 2 c²=a² + b² ; h² = mn a² = nc ; b²= mc 2
x 90º 2
x 2 2 B A x Bisectriz 2
x Mediana AD = DC X = - BD²= ac – mn a . c = b . h c m a n A B C H h b c a A B C H h c a 2 2 2 1 1 1 h a c r a b c A b C x B P EC Q x rC c a 5a 40° 6a 6 1 a 50° a 3a 18°30’ 10 a 63 °3 0’ 26°30’ 2a a 5 a 70° 20° 11a 4a a 137 82° 8° 7a a 2 a 5 72° 18° 4a 5 + 1 a 5 2 + 10 a 54° 36° 4a 5 2 – 10 a 5 + 1 a 74° 16° 25a 24a 7a 76° 14° 4a a a 1 7 53° 3a 5a 4a 22°30’ a a 22 2 2 + 1 a 67°30’ 75° 2a 15° 3+ 1 a 3 –1 a 2 – 6 a a 6+ 2 a 15° 75° 4a a 2a 30° a 3 60°CÍRCULO DE ESTUDIO HD 7
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1. Del gráfico: Calcule “” a) 10º
b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
2. Del gráfico: Calcule “x” a) 50º
b) 60º c) 70º d) 80º e) 40º
3. Del gráfico: Calcule : + a) 200º
b) 210º c) 215º d) 220º e) 230º
4. Del gráfico. Calcule “x” a) 10º
b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º
5. Del gráfico: Calcule X a) 10º
b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º
6. Del gráfico. Calcule a) 10º
b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
7. Del gráfico. Calcule : + a) 70º
b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º
8. Del gráfico. Calcule x a) 10º
b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
9. Del gráfico : Calcule a) 100º
b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º
10. Del gráfico: Calcule a) 25º
b) 30º c) 10º d) 45º e) 20º
11. Del gráfico, calcule x a) 115º
b) 120º c) 140º d) 118º e) 130º
12. Del gráfico: Calcula + a) 70º
b) 80º c) 90º d) 100º e) 120º
13. Del gráfico: calcule + a) 100º
b) 104º c) 204º d) 214º e) 194º
14. Se toma el punto “D” de la hipotenusa BC del triángulo rectángulo BAC tal que : m<CAD=36° y m<C=48° , si BC = 24. Calcular AD.
a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18 15. El perímetro de un triangulo ABC es
igual a 36. Se traza la altura BH , siendo M y N puntos medios de AB y BC. Calcular el perímetro del triángulo MNH.
a) 24 b) 18 c) 15 d) 30 e) 36 16. Los lados de un triángulo miden 6 y 10;
calcular el área de la región triangular si es la máxima posible.
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) N.A 17. El perímetro de un triangulo ABC es 50.
AB + BC = 40 . “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de BC. Calcular MN.
a) 5 b) 6 c) 10 d) 8 e) 9 18. En un triángulo rectángulo ABC , AB = 14
, BC = 48 . Calcular BM; siendo “M” punto medio de AC.
a) 20 b) 22 c) 25 d) 30 e) 32 19. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 10 .
Se traza la mediana BM. Calcular el valor entero de BM.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 20. El lado de un triángulo equilátero es
igual a 32. Calcular su área.
a)(9/2)2 b)(9/2)3 c)(9/2)5 d)9/2 e)N.A
21. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 ; Un cateto mide 4. Calcular el área del triángulo.
a) 2,25 b) 1,75 c) 1,5 d) 2,5 e) 2 22. El lado mayor de un triángulo rectángulo
mide (x + 4) ; un cateto mide (x – 4) y el otro mide 16. Calcular su área.
a) 90 b) 92 c) 94 d) 96 e) 98 23. En un triángulo rectángulo ABC ,
m<C=15° . AC = 8 . Calcular el área de la región triangular.
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 24. Si se suman los lados de un triángulo 2 a
2, los resultados son 27 , 28 y 29 metros . ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?.
a) 48 b) 42 c) 45 d) 56 e) N.A 25. Si los ángulos A y C de un triángulo ABC
miden 40° y 30° respectivamente, ¿cuál de sus tres lados es el mayor?
A) BC B) AB C) AC D) F.D. E) N.A.
26. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5 m y 10 m, hallar su perímetro.
A) 10 m B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 30 m
27. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero. Calcular la medida del ángulo x.
a) 60º b) 70º c) 75º d) 80º e) 85º
28. En la figura ABCD es un cuadrado y ADE es un triángulo equilátero. Calcular la medida del ángulo x.
a) 100º b) 110º c) 120º d) 140º e) 150º
29. En la figura, calcular x si ABCD es un cuadrado y ADE es un triángulo equilátero. a) 95º b) 100º c) 115º d) 120º e) 105º 30. En la figura calcular + a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 31. En la figura calcular: mA + mB + mC + mD a) 120º b) 180º c) 200º d) 140º e) 260º 32. Calcular y – x en la figura a) 20º b) 35º c) 45º d) 48º e) 55º 33. Hallar x en la figura a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 80º
34. En un triángulo ABC, el ángulo A mide el doble del ángulo C, si AB = 10, hallar el máximo valor entero que puede tomar
BC . A) 5 B) 10 C) 15 D) 19 E) 20 35. En la figura, calcular DC si AB = 8 y BD = 4 a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 120
º
270° 120° 60° 60° 120° x 60 ° 60° 100° 100° 3 3 x 80° x 30° x 2 120°
300° 150 ° 2x 30° 3x 70° 60° 2 120° 80° 160° x 10° 20° 30° 60 ° 30° 120 ° 24° 126 ° 26° A C x D E B A C 80 º D B A C x E D B 10º 100º 130 º A B D E C x 30º A C x D E B x y 75º B A D C 2 3Jr. Alberto Montellanos 391 – Urb. Apolo – La Victoria – teléfono : 4735039
Ángulo Trigonométrico
1. Señale la relación correcta entre y . a) + = 90º
b) - = 90º c) + = -90º d) + = 0 e) - = 90º
2. Del gráfico determine x. a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 35º 3. Calcular “x” a) -50 b) -100 c) -200 d) -180 e) -90 4. Hallar “x” a)
2
º
90
b)2
º
90
c)2
º
180
d)2
º
180
e)2
º
270
5. Del gráfico hallar “x” a) 15º
b) 35º c) 55º d) 30º e) 60º
6. Del gráfico hallar “x” a) 10º
b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
7. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz. a) 2
b) 4 c) 6 d) 12 e) 18
8. Hallar la relación entre , y a) - - = 90º b) + - = 90º c) - + = 90º d) - - 2 = 90º e) 2 - - 2 = 90º
9. Señale la relación correcta respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. a) - = -90º b) + = 90º c) + = -90º d) - = 90º e) + = 180º 10. Señale lo correcto: a) - + = 90º b) - + = 270º c) - - = 270º d) - + = 270º e) + + = 270º
11. De acuerdo al gráfico señale lo correcto: a) + = 180º
b) - = 180º c) - = 180º d) + = -180º e) + = 90º
12. Calcular el valor “x” del siguiente gráfico: a) 2 +
b) c) -2 - d) + e) -
13. A que es igual + + a partir del gráfico adjunto: a) -450º b) -360º c) -720º d) 360º e) 0º
14. De la figura expresar x en términos de y . a) - - 360º b) + - 360º c) - + + 360º d) - - + 360º e) - - 720º
15. De acuerdo al gráfico indicar una relación entre y . a) - = 180º b) 2 + = 270º c) 2 - = 90º d) + 2 = 90º e) - 2 = 90º 16. Hallar “x”: a) -10º b) -20º c) -30º d) -40º e) -50º
17. Del gráfico señale lo correcto: a) + = 90º
b) + = 180º c) - = 90º d) - = 180º e) + = -90º
18. Del siguiente gráfico hallar “x” a) 31º b) 51º c) 62º d) 60º e) 61º 19. Hallar el valor de “x” a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
20. Del gráfico hallar la relación entre y . a) + = -120º b) - = 120º c) - = 120º d) + = 120º e) + = 60º 21. Calcular el valor de x: a) 25º b) 24º c) 22º d) 21º e) 20º 22. Hallar “x” a) 10º b) 30º c) -30º d) 15º e) -10º 23. Hallar “x” a) 90º - - b) 90º - + c) 180º + - d) 180º + + e) 180º - +
24. Del gráfico determine “x” a) 10º
b) 15º c) 25º d) 35º e) 45º
25. Del gráfico hallar “x” a) 18º
b) 22º c) 26º d) 30º e) 34º
26. Del gráfico hallar “x” a) + b) - c) - d) - - e) 2 27. Hallar “x” a) 155º b) 150º c) 160º d) 170º e) 175º
x + 50º 10º - x (x + 40)º (20 – x)º x -x 30º- x x + 10º 10º + x 20º+x 50º - 2x A B C O (5x-3)º (9-6x)º x x 7x – 35º 25º + x (x + 3)º (9 – 2x)º 2x – 10º 50º - 4x 60º
5x 3x -7x 3x+30 º 30º-6x-x
40º x 15º - x 20º + 3x 5º + x x x 210 º 300º xCÍRCULO DE ESTUDIO HD 9
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4 Operaciones
1. Yo sé que la edad de Edith es cuatro veces la edad de María más quince años, y también sé que ambas edades suman 60 años, pero .... ¿Qué edad tiene cada una?.
a) 9 y 51 b) 8 y 52 c) 7 y 53 d)6 y 54 e)5 Y 55
2. Un hotel de tres pisos tiene 66
habitaciones. Si las del primero duplican en número a las del tercero, y las del segundo piso triplican a las del tercero, ¿Cuántas habitaciones tiene el segundo piso?
a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 25
3. Jorge tiene el doble de la edad de Roberto, y dentro de diez años ambas edades sumaran 50 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
a) 10;23 b) 13;20 c) 15;25 d) 10;20 e)10;21
4. Paco tiene tres años más que Beto y Ana tanto como Paco y Beto juntos. Si la suma de las tres edades es 50 años ¿Cuántos años tiene Ana?.
a) 11 b) 14 c) 18 d) 19 e) 25
5. La raíz cúbica de m , más el cuadrado de dos es siete .¿Cuánto vale m ?.
a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 243
6. De una caja con monedas saco el primer día una moneda , y cada día subsiguiente saco una moneda más que el día anterior . Al cabo de 5 días quedan en la caja 20 monedas .¿Cuántas monedas había originalmente?.
a) 40 b) 15 c) 30 d) 25 e) 35
7. En cuanto excede la suma de 756 y 8 134 a la diferencia entre 5 234 y 1 514. a) 5270 b) 5170 c) 6170 d) 6270 e) 5180 8. Resolver: 3 2 2 14 2 3 3 69 3 2 7 24 15 a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65
9. Hallar la suma de las cifras del producto
abc x 27 si los productos parciales
suman 4 851.
a) 18 b) 20 c) 22 d) 23 e) 24
10. En un colegio hay 7 aulas de primer grado: 3 aulas cuentan con 25 alumnos cada una, 2 aulas con 31 alumnos , 26 alumnos en cada aula restante. ¿Cuántos alumnos en total hay en primer grado?.
a) 178 b) 179 c) 181 d) 187 e) 189
11. En un corral hay 32 patos, los conejos son la mitad de estos, y el resto son tantas gallinas como patos y conejos hay. ¿Cuántas aves hay en el corral?.
a) 80 b) 68 c) 96 d) 64 e) 32
12. Julio tiene entre 26 y 32 años, Magaly entre 25 y 31, y Fidel entre 24 y 30 años. Si Fidel es mayor que Magaly y ella mayor que Julio . ¿Cuál es la suma de las tres edades?. a) 81 b) 80 c) 83 d) 84 e) 82 13. Resolver: 23339923 16 a) 60 b) 80 c) 70 d) 75 e) 65
14. Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3 510. Calcular el divisor si el cociente es 45.
a) 45 b) 65 c) 68 d) 47 e) 78
15. El cociente de dos números es 7 y su diferencia es 690. Calcular la cifra que ocupa el lugar de las centenas de la mayor cantidad.
a) 2 b) 5 c) 8 d) 9 e) 3
16. El cociente de dos números es 45 , su resta es 3 435 y el residuo de su división es 3. Calcular la suma de los dígitos de los dos números.
a) 20 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29
17. El producto de tres números positivos y consecutivos es igual a 80 veces el intermedio. Hallar el Intermedio.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
18. ¿A qué hora, las horas transcurridas son el quíntuplo de las que faltan
transcurrir?.
a) 8 p.m. b) 9 p.m. c) 6 p.m. d) 7 p.m. e)10p.m.
19. El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número . Calcular dicho número.
a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 20
20. Dos veces el cubo de un número es 20 veces el cuadrado de dicho número . ¿Cuál es el quíntuplo de dicho número?.
a) 45 b) 60 c) 50 d) 75 e) 70
21. Tres canastas contienen 575 naranjas. La primera canasta tiene 10 naranjas más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas naranjas tienen la segunda y la tercera canastas juntas?.
a) 200 b) 375 c) 390 d) 385 e) 400
22. En una sustracción; la suma de sus términos es 72, además el minuendo es dos veces más que el sustraendo, calcular la diferencia.
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
23. La suma de los términos de una sustracción es 742 y el producto del sustraendo por la diferencia es 6 688. Calcule el sustraendo sabiendo que es mayor que la diferencia.
a) 352 b) 253 c) 153
d) 251 e) 353
24. En una fiesta a la que asistieron 63 personas, en un momento dado, 8 mujeres y 15 hombres no bailaban. El número de mujeres que asistieron a la fiesta fue:
a) 22 b) 35 c) 28 d) 30 e) 15
25. Si el producto de tres números enteros consecutivos es 720. Hallar la suma de los números.
a)16 b)20 c)24 d)27 e)32
26. El producto de dos números consecutivos que se diferencian en 5 unidades es 594. Hallar el número menor.
a)17 b)18 c)22 d)24 e)27
27. Si a un número se le agrega dos ceros a la derecha; éste aumenta en 17226. Hallar la suma de las cifras del número original. a)12 b)14 c)15 d)18 e)21
28. En una división el cociente es 18, el divisor el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a)12 b)17 c)21 d)25 e)29
29. La suma de dos números es 328, siendo su cociente 6 y su residuo 13. Hallar el número mayor. a)204 b)246 c)261 d)273 e)285 30. Si: 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ x 47 termina en 231. Hallar: "a + b + c" a)14 b)17 c)19 d)23 e)36
31. En una división entera el divisor es 50 y el residuo es el triple del cociente respectivo. Hallar el máximo valor que puede tomar el dividendo.
a)728 b)764 c)832 d)848 e)948
32. En una división al residuo le falta 42 unidades para ser máximo y si le restamos 17 unidades sería mínimo. Si el cociente es el complemento aritmético del residuo, hallar el producto de cifras del dividendo.
a)378 b)246 c)252 d)316 e)426
33. Hallar un número de tres cifras que multiplicado por 73 termine en 417. Dar el producto de sus cifras.
a)15 b)18 c)32 d)42 e)72
34. Al multiplicar un número por 357 se comete el error de colocar los productos parciales, uno debajo del otro (sin dejar un lugar vacío a la derecha),
obteniéndose como resultado 12705. Hallar el producto verdadero. a)302379 b)243476 c)234318 d)364281 e) 122705
