03ClaseHCE matrices

Matrices

Luis A. Cubillos

Matrices

I Una definición básica de una matriz es simplemente un arreglo rectangular de números en filas y columnas.

I Las operaciones de dichos arreglos de números poseen sus propias reglas, tal como la suma y la multiplicación que tienen su base en los sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices (cont.)

I Los subíndices de cada elemento contenidos en una matriz representan las filas y columnas.

I Las dimensiones de una matriz se expresan por el número de filas y de columnas que ésta posea. Generalizando, una matriz tiene i= 1,2,3, ...r−1,r filas yj = 1,2,3, ...,c −1,c

columnas. La dimensión, por lo tanto se expresa mediante

r×c.

Los elementos de la matriz

A=



 

a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3 

Principios

I No se debe pensar que una matriz es un número.

I Una matriz es un conjunto de un arreglo de elementos. Sólo cuando una matriz tiene una dimensión 1×1, existe un único número.

Algunas matrices particulares

I Matriz cuadrada, equivale a un arreglo de elementos con igual número de filas y columnas.

I Vector, corresponde a una matriz que contiene una sola columna, y se denomina vector columna y tiene dimensiones

r×1 En tanto, una matriz que contiene una sola fila se denomina vector fila, y tiene dimensiones 1×c.

Matriz traspuesta

I Matriz transpuesta, la transpuesta de una matriz A es otra matriz, denotada porAT óA0 que se obtiene a través intercambiando las correspondientes filas y columnas de la matriz A, i.e.

A=    2 5 7 10 3 4   

A0 =

"

2 7 3 5 10 4

Suma y resta de matrices

A=



 

a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3    B=   

b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3 

 

A±B=



 

a1,1±b1,1 a1,2±b1,2 a1,3±b1,3 a2,1±b2,1 a2,2±b2,2 a2,3±b2,3 a3,1±b3,1 a3,2±b3,2 a3,3±b3,3 

Propiedades

I A+ (B+C) = (A+B) +C (propiedad asociativa)

I A+B =B+A(propiedad conmutativa)

I A+ 0 =A (0 es la matriz nula)

I La matriz−A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos deA, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A+ (−A) = 0.

Multiplicación

Multiplicación por un escalar: Un escalar es un número o un símbolo que representa un número.

A=

"

2 7 9 3

#

Entonces 4×A, donde 4 es el escalar es: Si los elementos de una matriz tienen un factor común, este factor puede ser sacado fuera de la matriz y tratado como un escalar.

4A= 4

"

2 7 9 3

Multiplicación (cont.)

Multiplicación de una matriz por otra matriz: Dadas dos matricesA

yB, su producto es otra matrizP cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas deApor las columnas deB, y asignando la suma de los productos cruzados. Considere las siguientes matrices

Multiplicación (cont.)

El productoP =AB será una matriz de 2×2, donde los elementos de la primera fila deAse multiplican por los elementos de la primera columna deB, y la suma de estos productos se constituyen en el elemento de la primara fila y columna de la matrizP:

P=AB=

Comentarios

I Es evidente que el número de columnas deA debe coincidir con el número de filas deB.

I Cuando se obtiene el producto AB, se dice queA es post-multiplicada por B.

I Las reglas de multiplicación del álgebra no se aplican al álgebra de matrices. En álgebra el producto xy =yx, mientras que en el álgebra de matrices AB6=BA.

Propiedades

I A·(B·C) = (A·B)·C

I El producto de matrices en general no es conmutativo.

I Si Aes una matriz cuadrada de orden n se tiene

A·In=In·A=A.

I Dada una matriz cuadradaAde ordenn, no siempre existe otra matriz B tal queA·B=B·A=In. Si existe dicha matriz B,

se dice que es la matriz inversa de Ay se representa por A−1.

Tipos de matrices

I Matriz nula, es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

I Matriz simétrica, una matriz cuadradaAes simétrica si

A=AT_{, i.e.,}

A=



 

1 −1 5

−1 2 −2

5 −2 4



 

B=

"

2 −1

−1 4

Tipos de matrices (cont.)

I Matriz diagonal, es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

I Matriz escalar, es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

I Matriz identidad, es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Inversa de una matriz

En el álgebra común, el inverso de un número es su valor recíproco. Así, el inverso de 3 es 1/3. De igual manera, un número

multiplicado por su inverso es siempre igual a la unidad. En álgebra de matrices, la inversa de una matrizAes otra matriz, denotada porA−1, tal que:

A−1·A=A·A−1=I

Propiedades de inversión

I A−1·A=A·A−1=I I (A·B)−1=B−1·A−1 I (A−1)−1 =A

I (kA)−1 = (1/k)A−1 I (AT)−1 = (A−1)T

Matrices en ecología

I La matriz de Leslie (modelos estructurados por estados)

I Claves talla-edad (modelos estructurados por edad con observaciones por talla)

La matriz de Leslie

Población estructurada:

Jt+1=FAt At+1 =GJt

dondeF es la fecundidad yG es la tasa de sobrevivencia.

En notación matricial

Ejemplo: Tres estados

La matriz de Leslie

P=



 

0 5 10 0.5 0 0

0 0.2 0



 

P <- matrix(c(0.0,5.0,10.,

0.5,0.0,0.0,

Condición inicial

N0 <- matrix(c(1,0,0),ncol=1)

Proyección a 20 años

years <- 20

N <- matrix(0,nrow = nrow(P), ncol= years+1)

N[,1] <- N0

for (i in 1:years){

N[,i+1]<-P%*%N[,i]

Estadios

Juv <- matrix(0,nrow=1,ncol=years+1)

Adul <- matrix(0,nrow=1,ncol=years+1)

for (i in 1:years+1){

for(j in 1:1){Juv[,i]<-Juv[,i]+N[j,i]}

for(j in 2:3){Adul[,i]<-Adul[,i]+N[j,i]}

Figura

matplot(0:years,t(Juv),type="l")

matlines(0:years,t(Adul),type="l",col=2)

0 5 10 15 20

0

10000

25000

0:years

t(J

Tasa de crecimiento

Rt =Nt+1/Nt

Ntot <- apply(N,2,sum)

Rt <- Ntot[-1]/Ntot[-(years+1)]

plot(0:(years-1),Rt,type="b",xlab="Años",ylab="R")

0 5 10 15

1

2

3

4

5

Años

Observaciones

I La población alcanza una estructura estable

I Cada clase de edad y la población total crece exponencialmente a la misma tasa, i.e.,

Nt+1=λNt

I Es válido que

Diagrama de la dinámica

Dinámica de una cohorte

Cálculos principales

El grafo de ciclo de vida

I Unidad fundamental para describir el ciclo de vida

Figure 6:

I Componentes: nodos, flechas, coeficientes

Las ecuaciones en diferencia

n1(t+ 1) =F3n3(t) +F4n4(t)

n2(t+ 1) =G1n1(t)

n3(t+ 1) =G2n2(t)

La matriz

Conclusiones

I Herramienta poderosa para el análisis de dinámica poblacional

I La dinámica está determinada por las tasas vitales (conecta individuo-población)

I Permiten proyectar la estructura y su dinámica

I Suficientemente flexible como para representar diversos sistemas