Se˜
nales y Sistemas 1
Sesi´
on 14
Jan Bacca R. Ana Mar´ıa Reyes.
Agenda
1 Representaci´on de una se˜nal continua mediante sus muestras: El
teorema de muestreo
2 Reconstrucci´on de una se˜nal a partir de sus muestras usando interpolaci´on
3 El efecto del submuestreo: Traslape
4 Procesamiento discreto de seales continuas
Cr´
editos
MIT OpenCourseWare, 6003 signals and systems, lecture 18:2010.
Disponible en http://ocw.mit.edu/courses/
Representaci´
on de una se˜
nal
continua mediante sus muestras:
Muestreo
Una se˜nal continua puede representarse y reconstruirse por completo
Muestreo
No se debe esperar que, en la ausencia de cualquier condici´on o
informaci´on adicionales, una se˜nal pudiera ser especificada un´ıvocamente por una secuencia de muestras igualmente espaciadas.
Entonces en m´ultiplos enteros de T,x1(kT) =x2(kT) =x3(kT).
Luego se deben cumplir ciertos requerimientos para determinar la se˜nal
Muestreo con tren de Impulsos
Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).
xp(t) =x(t)p(t)
Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:
p(t) =
∞
X
n=−∞
δ(t−nT)
T se define como el periodo de muestreo yωs =
2π
T frecuencia de
muestreo.
Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede
expresar xp(t) como:
xp(t) =
∞
X
n=−∞
Muestreo con tren de Impulsos
Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).
xp(t) =x(t)p(t) Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:
p(t) =
∞
X
n=−∞
δ(t−nT)
T se define como el periodo de muestreo yωs =
2π
T frecuencia de
muestreo.
Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede
expresar xp(t) como:
xp(t) =
∞
X
n=−∞
Muestreo con tren de Impulsos
Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).
xp(t) =x(t)p(t) Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:
p(t) =
∞
X
n=−∞
δ(t−nT)
T se define como el periodo de muestreo yωs =
2π
T frecuencia de
muestreo.
Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede
Muestreo con tren de Impulsos
Muestreo con tren de Impulsos
Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:
Xp(jω) = 1
2π[X(jω)∗P(jω)]
P(jω) = 2π
T
∞
X
k=−∞
δ(ω−kωs)
Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado
corre la se˜nal de la siguiente manera:
X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))
Luego Xp(jω) queda definido como:
Xp(jω) = 1
T
∞
X
k=−∞
Muestreo con tren de Impulsos
Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:
Xp(jω) = 1
2π[X(jω)∗P(jω)]
P(jω) = 2π
T
∞
X
k=−∞
δ(ω−kωs)
Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado
corre la se˜nal de la siguiente manera:
X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))
Luego Xp(jω) queda definido como:
Xp(jω) = 1
T
∞
X
k=−∞
Muestreo con tren de Impulsos
Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:
Xp(jω) = 1
2π[X(jω)∗P(jω)]
P(jω) = 2π
T
∞
X
k=−∞
δ(ω−kωs)
Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado
corre la se˜nal de la siguiente manera:
X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))
Muestreo con tren de Impulsos
Si se define deX(jω) como:
Muestreo con tren de Impulsos
Si se define deX(jω) como:
Muestreo con tren de Impulsos
Existen dos tipos de salida,Xp(jω) = 1
2π[X(jω)∗P(jω)], del sistema
Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:
Muestreo con tren de Impulsos
Existen dos tipos de salida,Xp(jω) = 1
2π[X(jω)∗P(jω)], del sistema
Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:
Muestreo con tren de Impulsos
Se puede observar que el ´unico caso en el cual la se˜nal no se ve afectada, traslape, es cuando ωs >2ωM. Este hecho da pie al siguiente teorema.
Teorema de muestreo
Sea x(t) una se˜nal de banda limitada conX(jω) = 0 para |ω|> ωM.
Entoncesx(t) se determina un´ıvocamente mediante sus muestras x(nT),
n = 0,±1,±2..., si
ωs >2ωM
Donde
ωs = 2π
Muestreo con tren de Impulsos
La se˜nal no se ver´a afectada durante el muestreo si la frecuencia de
muestreo, ωs excede a la frecuencia 2ωM, denominada frecuencia de
Nyquist.
Para recuperar la se˜nal original, se puede utilizar un sistema de filtrado en frecuencia, cuyo diagrama de bloques es:
Muestreo con tren de Impulsos
Muestreo con un retenedor de orden cero
El muestreo de orden cero consiste en tomar una muestra de la seal y retener la magnitud hasta la siguiente muestra.
Muestreo con un retenedor de orden cero
Reconstrucci´
on de una se˜
nal a
partir de sus muestras usando
Reconstrucci´
on por interpolaci´
on
La interpolaci´on es un ajuste de una se˜nal continua a un conjunto de valores de muestras. La interpolaci´on se realiza mediante la uni´on de valores adyacentes por un polinomio, si el polinomio es de orden 1 se tiene una interpolaci´on lineal, como se observa en la siguiente figura.
Partiendo de la reconstrucci´on obtenida a travs del filtro pasa bajas.
Reconstrucci´
on por interpolaci´
on
Es decir:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)h(t−nT)
El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:
h(t) = ωcTsin(ωct)
πωct De manera que:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)ωcT
π
sin(ωc(t−nT)
ωc(t−nT)
A este tipo de interpolacin para xr(t) se le conoce comnmente como
Reconstrucci´
on por interpolaci´
on
Es decir:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)h(t−nT) El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:
h(t) = ωcTsin(ωct)
πωct
De manera que:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)ωcT
π
sin(ωc(t−nT)
ωc(t−nT)
A este tipo de interpolacin para xr(t) se le conoce comnmente como
Reconstrucci´
on por interpolaci´
on
Es decir:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)h(t−nT) El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:
h(t) = ωcTsin(ωct)
πωct De manera que:
xr(t) =
∞
X
n=−∞
x(nT)ωcT
π
sin(ωc(t−nT)
Interpolacin de banda limitada
xr(t) =
∞ X
n=−∞
x(nT)ωcT
π
sin(ωc(t−nT)
Traslape (Aliasing)
Ocurre cuando la frecuencia de muestreo ωs <2ωM.
X(jω), transformada de x(t), no es reproducida enXp(jω). De este modo la seal recuperada mediante filtrado e interpolacin xr(t) no sera igual a
x(t) salvo en los instantes de muestreo:
xr(nT) =x(nT)∀n= 0,±1,±2, ...
Traslape (Aliasing)
Si se modifica la frecuencia de la seal, ω0, se obtienen diferentes
representaciones paraXp(jω), en la siguientes figuras se tiene una frecuencia de corte ωc =ωs/2 para el filtro pasabajas de recuperacin.
xr(t) =cos(ω0t) =x(t)
Conversiones C/D y D/C
Considere un sistema de conversin de seales continuas a discretas (C/D)
junto con su contra parte, conversin discreta a continua (D/C).
En este caso se denominan las seales continuas x(t), y(t) y las seales discretas xd[n] yyd[n]. Mediante las condiciones del teorema de muestreo se puede determinar la relacin entre las seales discretas y continuas como:
Conversiones C/D y D/C
Para determinar el proceso de procesamiento discreto se puede plantear el siguiente sistema
En este caso xr(t) =xc(nT), para el anlisis se definen las transformadas de Fourier x(t) y y(t) como X(jω) y Y(jω) respectivamente.
Conversin C/D
Considerandoxp(t):
xp(t) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)δ(t−nT)
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:
Xp(jω) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)e−jωnT
La transformada de Fourier dexd[n]:
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
xd[n]e−jΩn
Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
Conversin C/D
Considerandoxp(t):
xp(t) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)δ(t−nT)
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:
Xp(jω) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)e−jωnT
La transformada de Fourier dexd[n]:
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
xd[n]e−jΩn
Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
Conversin C/D
Considerandoxp(t):
xp(t) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)δ(t−nT)
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:
Xp(jω) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)e−jωnT
La transformada de Fourier dexd[n]:
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
xd[n]e−jΩn
Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
Conversin C/D
Considerandoxp(t):
xp(t) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)δ(t−nT)
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:
Xp(jω) =
∞ X
n=−∞
xc(nT)e−jωnT
La transformada de Fourier dexd[n]:
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
xd[n]e−jΩn
Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):
Xd(ejΩ) =
∞ X
n=−∞
Conversin C/D
ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:
Xd(ejΩ) =Xp
jΩ
T
Anteriormente se determinoXp(jω) como:
Xp(jω) = 1
T
∞ X
k=−∞
Xc(j(ω−kωs))
Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:
Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc
j(Ω−2πk)
T
Conversin C/D
ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:
Xd(ejΩ) =Xp
jΩ
T
Anteriormente se determinoXp(jω) como:
Xp(jω) = 1
T
∞ X
k=−∞
Xc(j(ω−kωs))
Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:
Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc
j(Ω−2πk)
T
Conversin C/D
ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:
Xd(ejΩ) =Xp
jΩ
T
Anteriormente se determinoXp(jω) como:
Xp(jω) = 1
T
∞ X
k=−∞
Xc(j(ω−kωs))
Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:
Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc
j(Ω−2πk)
T
Conversin C/D
Finalmente en la siguiente figura se presentan las relaciones entreXc(jω),
Xp(jω) y Xd(ejΩ) para dos diferentes velocidades de muestreo, en donde se ve que Xd(ejΩ) es una replica escalada en frecuencia deXp(jω) peridica
Conversin D/C
Conversiones C/D y D/C
Finalmente en la siguiente figura se presenta todo el procesamiento discreto y recuperacin de la seal muestreada.
Yc(jω) =Xc(jω)Hd(ejωT)
En donde la relacin entre Hd(ejωT) y Hc(jω) es Hc(jω) =
(
Diferenciador digital
La respuesta en frecuencia de un filtro diferenciador continuo es:
Hc(jω) =jω
El diferenciador de banda limitada con frecuencia de corteωc es:
Hc(jω) =
(
Diferenciador digital
Si se considera:
Hc(jω) =
(
Hd(ejωT), |ω|< ωs/2 0, |ω|> ωs/2
Teniendo una frecuencia de muestreo ωs = 2ωc, la funcin de transferencia
de tiempo discreto es:
Hd(ejω) =jΩ T
Muestreo con tren de impulsos
Similar al caso continuo el muestreo se puede llevar a cabo mediante la multiplicacin con un tren de impulsos p(t).
xp[n] =
(
X[n], si n=kN 0, c.c
xp[n] =x[n]p[n] =
∞ X
k=−∞
x[kN]δ(n−kN)
En el dominio de la frecuencia
Xπ(ejω) = 1 2π
Z
2π
Muestreo con tren de impulsos
Muestreo con tren de impulsos
La transformada de Fourier de la secuenciap[n] es.
P(ejω) = 2π
N
∞ X
k=−∞
δ(ω−kωs)
En dondeωs= 2π/N. Luego la transformada de Fourir dexp[n] es:
Xp(ejω) = 1
N
N−1
X
k=0
X(ej(ω−kωs))
Muestreo con tren de impulsos
Existen dos tipos de salida para Xp(ejω) Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:
Muestreo con tren de impulsos
Existen dos tipos de salida para Xp(ejω) Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:
Recuperacin de la seal
En ausencia de traslape la seal X(ejω) se reproduce fielmente alrededor de
ω = 0 y en multiplos de 2π. Se puede utilizar un sistema de filtrado en
frecuencia para recuperar la seal:
Recuperacin de la seal
Recuperacin de la seal
La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:
El filtro en el dominio del tiempo:
h[n] =Nωc
π
sen(ωcn)
ωcn
La secuencia reconstruida es entonces:
xr[n] =xp[n]∗h[n] Es decir:
xr[n] =
∞ X
k=−∞
x[kN]Nωc
π
sen(ωc(n−kN))
Recuperacin de la seal
La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:
El filtro en el dominio del tiempo:
h[n] =Nωc
π
sen(ωcn)
ωcn
La secuencia reconstruida es entonces:
xr[n] =xp[n]∗h[n]
Es decir:
xr[n] =
∞ X
k=−∞
x[kN]Nωc
π
sen(ωc(n−kN))
Recuperacin de la seal
La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:
El filtro en el dominio del tiempo:
h[n] =Nωc
π
sen(ωcn)
ωcn
La secuencia reconstruida es entonces:
xr[n] =xp[n]∗h[n] Es decir:
xr[n] =
∞ X
k=−∞
x[kN]Nωc
π
sen(ωc(n−kN))
Decimacin en tiempo discreto e interpolacin
En muchas ocasiones representar, transmitir o almacenar la secuencia muestreada xp[n] de manera directa.
Resulta ineficiente ya que entre los instantes de muestreo se sabe que
xp[n] = 0, luego esta secuencia muestreada se reemplaza por una nueva
secuencia xb[n].
xb[n] =xp[nN]
xb[n] =x[nN]
Esta operacin de extraer cada nuestraN se le conoce comnmente como
Decimacin en tiempo discreto e interpolacin
En la siguiente figura se observa el proceso de decimacin.
Recuperacin de la seal
Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[kN]e−jωk
Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:
Xb(ejω) =
∞ X
n=kN
xp[n]e−jωn/N
Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[n]e−jωn/N
Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]
∞ X
k=−∞
Recuperacin de la seal
Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[kN]e−jωk
Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:
Xb(ejω) =
∞ X
n=kN
xp[n]e−jωn/N
Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[n]e−jωn/N
Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]
∞ X
k=−∞
Recuperacin de la seal
Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[kN]e−jωk
Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:
Xb(ejω) =
∞ X
n=kN
xp[n]e−jωn/N
Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[n]e−jωn/N
Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]
∞ X
k=−∞
Recuperacin de la seal
Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[kN]e−jωk
Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:
Xb(ejω) =
∞ X
n=kN
xp[n]e−jωn/N
Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.
Xb(ejω) =
∞ X
k=−∞
xp[n]e−jωn/N
Recuperacin de la seal
Resumen de sesi´
on
Representacin de una seal continua mediante sus muestras: El teorema de muestreo.
Reconstruccin de una seal a partir de sus muestras usando interpolacin
El efecto del submuestreo: Traslape.
Procesamiento discreto de seales continuas.