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Sesión 14 (2018-1)

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(1)

Se˜

nales y Sistemas 1

Sesi´

on 14

Jan Bacca R. Ana Mar´ıa Reyes.

(2)

Agenda

1 Representaci´on de una se˜nal continua mediante sus muestras: El

teorema de muestreo

2 Reconstrucci´on de una se˜nal a partir de sus muestras usando interpolaci´on

3 El efecto del submuestreo: Traslape

4 Procesamiento discreto de seales continuas

(3)

Cr´

editos

MIT OpenCourseWare, 6003 signals and systems, lecture 18:2010.

Disponible en http://ocw.mit.edu/courses/

(4)

Representaci´

on de una se˜

nal

continua mediante sus muestras:

(5)

Muestreo

Una se˜nal continua puede representarse y reconstruirse por completo

(6)

Muestreo

No se debe esperar que, en la ausencia de cualquier condici´on o

informaci´on adicionales, una se˜nal pudiera ser especificada un´ıvocamente por una secuencia de muestras igualmente espaciadas.

Entonces en m´ultiplos enteros de T,x1(kT) =x2(kT) =x3(kT).

Luego se deben cumplir ciertos requerimientos para determinar la se˜nal

(7)

Muestreo con tren de Impulsos

Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).

xp(t) =x(t)p(t)

Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:

p(t) =

X

n=−∞

δ(t−nT)

T se define como el periodo de muestreo yωs =

T frecuencia de

muestreo.

Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede

expresar xp(t) como:

xp(t) =

X

n=−∞

(8)

Muestreo con tren de Impulsos

Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).

xp(t) =x(t)p(t) Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:

p(t) =

X

n=−∞

δ(t−nT)

T se define como el periodo de muestreo yωs =

T frecuencia de

muestreo.

Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede

expresar xp(t) como:

xp(t) =

X

n=−∞

(9)

Muestreo con tren de Impulsos

Considere la se˜nal continua x(t) que deseamos muestrear y la se˜nal muestreada como xp(t).

xp(t) =x(t)p(t) Donde p(t), funci´on de muestreo, se define como:

p(t) =

X

n=−∞

δ(t−nT)

T se define como el periodo de muestreo yωs =

T frecuencia de

muestreo.

Sabiendo que x(t)δ(t−t0) =x(t0)δ(t−t0), entonces se puede

(10)

Muestreo con tren de Impulsos

(11)

Muestreo con tren de Impulsos

Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:

Xp(jω) = 1

2π[X(jω)∗P(jω)]

P(jω) = 2π

T

X

k=−∞

δ(ω−kωs)

Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado

corre la se˜nal de la siguiente manera:

X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))

Luego Xp(jω) queda definido como:

Xp(jω) = 1

T

X

k=−∞

(12)

Muestreo con tren de Impulsos

Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:

Xp(jω) = 1

2π[X(jω)∗P(jω)]

P(jω) = 2π

T

X

k=−∞

δ(ω−kωs)

Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado

corre la se˜nal de la siguiente manera:

X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))

Luego Xp(jω) queda definido como:

Xp(jω) = 1

T

X

k=−∞

(13)

Muestreo con tren de Impulsos

Las transformadas de Fourier de xp(t) y p(t) son:

Xp(jω) = 1

2π[X(jω)∗P(jω)]

P(jω) = 2π

T

X

k=−∞

δ(ω−kωs)

Teniendo en cuenta que la convoluci´on con un impulso desplazado

corre la se˜nal de la siguiente manera:

X(jω)∗δ(ω−ω0) =X(j(ω−ω0))

(14)

Muestreo con tren de Impulsos

Si se define deX(jω) como:

(15)

Muestreo con tren de Impulsos

Si se define deX(jω) como:

(16)

Muestreo con tren de Impulsos

Existen dos tipos de salida,Xp(jω) = 1

2π[X(jω)∗P(jω)], del sistema

Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:

(17)

Muestreo con tren de Impulsos

Existen dos tipos de salida,Xp(jω) = 1

2π[X(jω)∗P(jω)], del sistema

Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:

(18)

Muestreo con tren de Impulsos

Se puede observar que el ´unico caso en el cual la se˜nal no se ve afectada, traslape, es cuando ωs >2ωM. Este hecho da pie al siguiente teorema.

Teorema de muestreo

Sea x(t) una se˜nal de banda limitada conX(jω) = 0 para |ω|> ωM.

Entoncesx(t) se determina un´ıvocamente mediante sus muestras x(nT),

n = 0,±1,±2..., si

ωs >2ωM

Donde

ωs = 2π

(19)

Muestreo con tren de Impulsos

La se˜nal no se ver´a afectada durante el muestreo si la frecuencia de

muestreo, ωs excede a la frecuencia 2ωM, denominada frecuencia de

Nyquist.

Para recuperar la se˜nal original, se puede utilizar un sistema de filtrado en frecuencia, cuyo diagrama de bloques es:

(20)

Muestreo con tren de Impulsos

(21)

Muestreo con un retenedor de orden cero

El muestreo de orden cero consiste en tomar una muestra de la seal y retener la magnitud hasta la siguiente muestra.

(22)

Muestreo con un retenedor de orden cero

(23)

Reconstrucci´

on de una se˜

nal a

partir de sus muestras usando

(24)

Reconstrucci´

on por interpolaci´

on

La interpolaci´on es un ajuste de una se˜nal continua a un conjunto de valores de muestras. La interpolaci´on se realiza mediante la uni´on de valores adyacentes por un polinomio, si el polinomio es de orden 1 se tiene una interpolaci´on lineal, como se observa en la siguiente figura.

Partiendo de la reconstrucci´on obtenida a travs del filtro pasa bajas.

(25)

Reconstrucci´

on por interpolaci´

on

Es decir:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)h(t−nT)

El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:

h(t) = ωcTsin(ωct)

πωct De manera que:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)ωcT

π

sin(ωc(t−nT)

ωc(t−nT)

A este tipo de interpolacin para xr(t) se le conoce comnmente como

(26)

Reconstrucci´

on por interpolaci´

on

Es decir:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)h(t−nT) El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:

h(t) = ωcTsin(ωct)

πωct

De manera que:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)ωcT

π

sin(ωc(t−nT)

ωc(t−nT)

A este tipo de interpolacin para xr(t) se le conoce comnmente como

(27)

Reconstrucci´

on por interpolaci´

on

Es decir:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)h(t−nT) El filtro pasabajas ideal H(jω) se puede describir como:

h(t) = ωcTsin(ωct)

πωct De manera que:

xr(t) =

X

n=−∞

x(nT)ωcT

π

sin(ωc(t−nT)

(28)

Interpolacin de banda limitada

xr(t) =

∞ X

n=−∞

x(nT)ωcT

π

sin(ωc(t−nT)

(29)
(30)

Traslape (Aliasing)

Ocurre cuando la frecuencia de muestreo ωs <2ωM.

X(jω), transformada de x(t), no es reproducida enXp(jω). De este modo la seal recuperada mediante filtrado e interpolacin xr(t) no sera igual a

x(t) salvo en los instantes de muestreo:

xr(nT) =x(nT)∀n= 0,±1,±2, ...

(31)

Traslape (Aliasing)

Si se modifica la frecuencia de la seal, ω0, se obtienen diferentes

representaciones paraXp(jω), en la siguientes figuras se tiene una frecuencia de corte ωc =ωs/2 para el filtro pasabajas de recuperacin.

xr(t) =cos(ω0t) =x(t)

(32)
(33)

Conversiones C/D y D/C

Considere un sistema de conversin de seales continuas a discretas (C/D)

junto con su contra parte, conversin discreta a continua (D/C).

En este caso se denominan las seales continuas x(t), y(t) y las seales discretas xd[n] yyd[n]. Mediante las condiciones del teorema de muestreo se puede determinar la relacin entre las seales discretas y continuas como:

(34)

Conversiones C/D y D/C

Para determinar el proceso de procesamiento discreto se puede plantear el siguiente sistema

En este caso xr(t) =xc(nT), para el anlisis se definen las transformadas de Fourier x(t) y y(t) como X(jω) y Y(jω) respectivamente.

(35)

Conversin C/D

Considerandoxp(t):

xp(t) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)δ(t−nT)

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:

Xp(jω) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)e−jωnT

La transformada de Fourier dexd[n]:

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

xd[n]e−jΩn

Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

(36)

Conversin C/D

Considerandoxp(t):

xp(t) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)δ(t−nT)

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:

Xp(jω) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)e−jωnT

La transformada de Fourier dexd[n]:

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

xd[n]e−jΩn

Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

(37)

Conversin C/D

Considerandoxp(t):

xp(t) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)δ(t−nT)

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:

Xp(jω) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)e−jωnT

La transformada de Fourier dexd[n]:

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

xd[n]e−jΩn

Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

(38)

Conversin C/D

Considerandoxp(t):

xp(t) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)δ(t−nT)

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier deδ(t−nT) es igual ae−jωnT, luego la transformada de FourierXp(jω) es:

Xp(jω) =

∞ X

n=−∞

xc(nT)e−jωnT

La transformada de Fourier dexd[n]:

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

xd[n]e−jΩn

Utilizando la definicinxd[n] =xc(nT):

Xd(ejΩ) =

∞ X

n=−∞

(39)

Conversin C/D

ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:

Xd(ejΩ) =Xp

j

T

Anteriormente se determinoXp(jω) como:

Xp(jω) = 1

T

∞ X

k=−∞

Xc(j(ω−kωs))

Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:

Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc

j(Ω−2πk)

T

(40)

Conversin C/D

ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:

Xd(ejΩ) =Xp

j

T

Anteriormente se determinoXp(jω) como:

Xp(jω) = 1

T

∞ X

k=−∞

Xc(j(ω−kωs))

Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:

Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc

j(Ω−2πk)

T

(41)

Conversin C/D

ComparandoXd(ejΩ) conxp(jω) se observa:

Xd(ejΩ) =Xp

j

T

Anteriormente se determinoXp(jω) como:

Xp(jω) = 1

T

∞ X

k=−∞

Xc(j(ω−kωs))

Finalmente se puede escribirXd(ejΩ) como:

Xd(ejΩ) = 1 T ∞ X k=−∞ Xc

j(Ω−2πk)

T

(42)

Conversin C/D

Finalmente en la siguiente figura se presentan las relaciones entreXc(jω),

Xp(jω) y Xd(ejΩ) para dos diferentes velocidades de muestreo, en donde se ve que Xd(ejΩ) es una replica escalada en frecuencia deXp(jω) peridica

(43)

Conversin D/C

(44)

Conversiones C/D y D/C

Finalmente en la siguiente figura se presenta todo el procesamiento discreto y recuperacin de la seal muestreada.

Yc(jω) =Xc(jω)Hd(ejωT)

En donde la relacin entre Hd(ejωT) y Hc(jω) es Hc(jω) =

(

(45)

Diferenciador digital

La respuesta en frecuencia de un filtro diferenciador continuo es:

Hc(jω) =jω

El diferenciador de banda limitada con frecuencia de corteωc es:

Hc(jω) =

(

(46)

Diferenciador digital

Si se considera:

Hc(jω) =

(

Hd(ejωT), |ω|< ωs/2 0, |ω|> ωs/2

Teniendo una frecuencia de muestreo ωs = 2ωc, la funcin de transferencia

de tiempo discreto es:

Hd(ejω) =jΩ T

(47)
(48)

Muestreo con tren de impulsos

Similar al caso continuo el muestreo se puede llevar a cabo mediante la multiplicacin con un tren de impulsos p(t).

xp[n] =

(

X[n], si n=kN 0, c.c

xp[n] =x[n]p[n] =

∞ X

k=−∞

x[kN]δ(n−kN)

En el dominio de la frecuencia

Xπ(ejω) = 1 2π

Z

(49)

Muestreo con tren de impulsos

(50)

Muestreo con tren de impulsos

La transformada de Fourier de la secuenciap[n] es.

P(ejω) = 2π

N

∞ X

k=−∞

δ(ω−kωs)

En dondeωs= 2π/N. Luego la transformada de Fourir dexp[n] es:

Xp(ejω) = 1

N

N−1

X

k=0

X(ej(ω−kωs))

(51)

Muestreo con tren de impulsos

Existen dos tipos de salida para Xp(ejω) Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:

(52)

Muestreo con tren de impulsos

Existen dos tipos de salida para Xp(ejω) Si ωM <(ωs−ωM), es decir, ωs >2ωM:

(53)

Recuperacin de la seal

En ausencia de traslape la seal X(ejω) se reproduce fielmente alrededor de

ω = 0 y en multiplos de 2π. Se puede utilizar un sistema de filtrado en

frecuencia para recuperar la seal:

(54)

Recuperacin de la seal

(55)

Recuperacin de la seal

La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:

El filtro en el dominio del tiempo:

h[n] =Nωc

π

sen(ωcn)

ωcn

La secuencia reconstruida es entonces:

xr[n] =xp[n]∗h[n] Es decir:

xr[n] =

∞ X

k=−∞

x[kN]Nωc

π

sen(ωc(n−kN))

(56)

Recuperacin de la seal

La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:

El filtro en el dominio del tiempo:

h[n] =Nωc

π

sen(ωcn)

ωcn

La secuencia reconstruida es entonces:

xr[n] =xp[n]∗h[n]

Es decir:

xr[n] =

∞ X

k=−∞

x[kN]Nωc

π

sen(ωc(n−kN))

(57)

Recuperacin de la seal

La reconstruccin de x[n] a partir del filtrado se puede interpretar en el dominio del tiempo como:

El filtro en el dominio del tiempo:

h[n] =Nωc

π

sen(ωcn)

ωcn

La secuencia reconstruida es entonces:

xr[n] =xp[n]∗h[n] Es decir:

xr[n] =

∞ X

k=−∞

x[kN]Nωc

π

sen(ωc(n−kN))

(58)

Decimacin en tiempo discreto e interpolacin

En muchas ocasiones representar, transmitir o almacenar la secuencia muestreada xp[n] de manera directa.

Resulta ineficiente ya que entre los instantes de muestreo se sabe que

xp[n] = 0, luego esta secuencia muestreada se reemplaza por una nueva

secuencia xb[n].

xb[n] =xp[nN]

xb[n] =x[nN]

Esta operacin de extraer cada nuestraN se le conoce comnmente como

(59)

Decimacin en tiempo discreto e interpolacin

En la siguiente figura se observa el proceso de decimacin.

(60)

Recuperacin de la seal

Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[kN]e−jωk

Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:

Xb(ejω) =

∞ X

n=kN

xp[n]e−jωn/N

Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[n]e−jωn/N

Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]

∞ X

k=−∞

(61)

Recuperacin de la seal

Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[kN]e−jωk

Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:

Xb(ejω) =

∞ X

n=kN

xp[n]e−jωn/N

Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[n]e−jωn/N

Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]

∞ X

k=−∞

(62)

Recuperacin de la seal

Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[kN]e−jωk

Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:

Xb(ejω) =

∞ X

n=kN

xp[n]e−jωn/N

Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[n]e−jωn/N

Se puede ver que esto es equivalente a la transformada de Fourier dexp[n]

∞ X

k=−∞

(63)

Recuperacin de la seal

Teniendo en cuenta quexb[n] =xp[nN]:

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[kN]e−jωk

Si se hacen=kN, es decir,k=n/N:

Xb(ejω) =

∞ X

n=kN

xp[n]e−jωn/N

Se sabe quexp[n] = 0 cuandonno es mltiplo entero de N.

Xb(ejω) =

∞ X

k=−∞

xp[n]e−jωn/N

(64)

Recuperacin de la seal

(65)

Resumen de sesi´

on

Representacin de una seal continua mediante sus muestras: El teorema de muestreo.

Reconstruccin de una seal a partir de sus muestras usando interpolacin

El efecto del submuestreo: Traslape.

Procesamiento discreto de seales continuas.

Referencias

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