Estructura de BV-álgebra en el espacio de lazos libres

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(1)Estructura de BV-álgebra en el espacio de lazos libres. por. María Amelia Salazar P.. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Magister en Matemáticas. Director: Erik Backelin Codirector: Bernardo Uribe. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Julio, 2008.

(2) Índice general 1. Preliminares 1.1. El haz normal de de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Isomorfismo de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Intersección transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 5 7 12. 2. El producto en la homología del espacio de lazos libres 2.1. El producto de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Un método para calcular (H∗ , ◦) . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Convergencia como álgebra . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. El producto de lazos en el caso de S n . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 16 16 19 20 24. 3. Estructura de BV-álgebra en el espacio de lazos 3.1. Relación entre el operad del cactus y la BV-álgebra H∗ (LM ) 3.1.1. El operad del cactus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. La BV-álgebra en H∗ (LM ) . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Homología de Hochschild y el ∆ en las esféras . . . . . . . . . 3.2.1. Homología de Hochschild del espacio cocíclico X S . . . 3.2.2. El operador ∆ en el caso de S n . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 30 30 30 32 36 36 43. Bibliografía. . . . .. 53.

(3) §0.0. 1. Agradecimientos Quiero agradecer de manera especial a los profesores Bernardo Uribe y Erik Backelin por las largas explicaciones y discusiones que tuvimos acerca de esta tesis. Éstas ayudaron de manera fundamental a la concepción de este trabajo. También agradezco la financiación parcial otorgada por COLCIENCIAS por medio del proyecto número PRE00405000138..

(4) Introducción En 1999 en el artícuo String Topology, Chas y Sullivan le dan estructura de álgebra a la homología del espacio de lazos libres LM = C ∞ (S 1 , M ) de una variedad orientada, compacta y sin frontera M d . El producto ◦ consiste en tomar una p-cadena σ y una q-cadena γ de lazos de M , intersectar transversalmente la p-cadena y la q-cadena que se inducen en M al evaluarlas en el punto 1 de S n . El resultado de esta intersección es una (p + q − d)-cadena η en M que es justamente donde los lazos de σ y de γ coinciden en el punto marcado (el que corresponde a 1). El producto de σ y γ es entonces la (p + q − d)-cadena de LM que consiste en concatenar los lazos de σ y γ cuyos puntos marcados están en η. Chas y Sullivan también definen un bracket {, } en H∗ (LM ) = H∗−d (LM ) que le da estructura de Gerstenhaber álgebra a (H∗ (LM ), ◦). Más precisamente, prueban el siguiente teorema, Teorema 0.0.1. El producto de lazos ◦ con el bracket de lazos {, } le dan la siguiente estructura a la homología de lazos libres: 1. El producto ◦ define un álgebra conmutativa y asociativa. 2. {, } es un bracket de Lie de grado 1, es decir que para a, b, c ∈ H∗ , {a, b} = −(−1)(|a|+1)(|b|+1) {b, a}. {a, {b, c}} = {{a, b}, c} + (−1)(|a|+1)(|b|+1) {b, {a, c}}. 3. {a, b ◦ c} = {a, b} ◦ c + (−1)|b|(|a|−1) b ◦ {a, c}. Más aún, Chas y Sullivan le dan estructura de BV-álgebra a (H∗ (LM ), ◦, {, }), donde el operador ∆ toma una p-cadena de lazos σ y la transforma en una (p + 1)-cadena rotando los lazos de σ. Se tiene entonces el siguiente teorema, Teorema 0.0.2. El producto ◦ y el operador ∆ le dan estructura de álgebra de BatalinVilkovisky a la homología de lazos libres: 1. ◦ es una álgebra conmutativa y asociativa. 2. ∆ ◦ ∆ = 0. 3. ∆(a ◦ b ◦ c) = ∆(a ◦ b) ◦ c + (−1)|a| a ◦ ∆(b ◦ c) + (−1)(|a|−1)|b| b ◦ ∆(a ◦ c) − (∆a) ◦ b ◦ c − (−1)|a| a ◦ (∆b) ◦ c − (−1)|a|+|b| a ◦ b ◦ ∆c. 4. {a, b} = (−1)|a| (∆(a ◦ b) − (∆a) ◦ b − (−1)|a| a ◦ (∆b))..

(5) §0.0. 3. En el primer capítulo daremos algunos preliminares que necesitaremos para construcciones posteriores. Haremos ciertas definiciones sobre haces y probaremos algunos teoremas clásicos de geometría diferencial y topología algebráica como lo son el Teorema de la Vecindad Tubular y el Teorema del Isomorfismo de Thom. Daremos una interpretación geométrica del producto inducido por la dualidad de Poincaré en los grupos de homología de una variedad M compacta y orientada. En el caso en que dos cadenas de M se intersectan transversalmente, su producto en H∗ (M ) es precisamente su interseccíon. Se dará un esquema de la prueba de un hecho mas general y es que la composición ξ]. τ]. ×. Hp (M ) ⊗ Hq (M ) −→ Hp+q (M × M ) −→ Hp+q (T ∆M ) −→ Hp+q−d (M ) es, salvo el signo, la intersección dual al producto copa. Acá τ es la función proyección de Thom-Pontryagin inducida por el haz normal de la inclusión M ,→ M × M , y ξ es una de las versiones del isomorfismo de Thom. En el segundo capítulo definiremos el producto de lazos ◦ a la manera de Cohen, Jones y Yan en [2]. Para esta definición se utiliza la composición de varios morfismos de haces fibrados, donde la restricción de esta composición a los espacios bases dá como resultado la intersección en la homología de M dual al producto copa en cohomología. Como elemento principal en la construcción de esta composición hace parte el morfismo de haces, LM ×∆ LM ev∆. . M. ˜ ∆. ∆. / LM × LM . ev×ev. /M ×M. donde ev : LM → M es la fibración que evalúa los lazos en punto 1 de S 1 y LM ×∆ LM son las parejas de lazos que tienen el mismo punto base. Otro morfismo importante de esta construcción es el morfismo ω : LM ×∆ LM −→ LM (α, β) 7→ αβ donde αβ es a concatencacíon de estos caminos. Definiremos el producto de lazos ◦ a nivel de cadenas, salvo el signo, como la composicón de los siguientes morfismo de haces, ×. τ̃. ω̃. ∗ ∗ Cp (LM ) ⊗ Cq (LM ) −→ Cp+q (LM × LM ) −→ Cp+q (T (LM ×∆ LM )) −→. ω̃. ξ̃∗. ∗ −→ Cp+q (T (LM )∆ ) −→ Cp+q−d (LM ),. donde los espacios T (LM ×∆ LM ) y T (LM )∆ son ciertos espacios de Thom, τ̃ es la función de Thom-Pontryagin y ξ˜ es el isomorfismo de Thom. ev Mostraremos como la sucesión espectral de Lerray-Serre de la fibración Ω(M ) ,→ LM → M converge como álgebra a H∗ (LM ) cuando M es simplemente conexo. Utilizaremos esta sucesión espectral para calcular el álgebra de la homología del espacio de lazos de las esferas..

(6) §0.0. 4. En el tercer capítulo utilizaremos el operad del cactus para darle estructura de BVálgebra a H∗ (LM ). El operad del cactus consiste de espacios topológicos Ck donde un punto de c ∈ Ck consiste de k circulos cada uno de ellos con un punto marcado y cuya gráfica es conexa y no tiene lazos extras. Utilizando algunos resultados de Voronov y Getzler, se tiene que la homología de esta operador actúa sobre H∗ (LM ), induciendo así la estructura de BV-álgebra en la homología de lazos de M dada por Chas y Sullivan. También se estudiará la homología de Hochschild para el espacio cocíclico M S que se construye tomando la homología del bicomplejo total que se obtiene de tomar el funtor cocadenas al espacio cocíclico cuyos objetos son el producto de n-copias de M y cuyos morfismos consisten en repetir la i-ésima coordenada, saltar la i-esima coordenada y permutar las coordenadas. La homología de Hochschild de M S viene dotado de un operador B que tiene una relación directa con la acción natural de S 1 sobre la realización geométrica |M S |. Para calcular el operador ∆ de H∗ (LM ) se utilizan los hechos: |M S | = LM , la acción sobre LM es rotar los lazos, el operador B induce una acción de S 1 sobre la homología de Hochschild de M S y el siguiente teorema, Teorema 0.0.3. [16] Sea X simplemente conexo de tal manera que H∗ (M ) sea de tipo finito en cada grado. Entonces existe un isomorfismo de H∗ (S 1 )-módulos entre la homología del espacio de lazos libres de M y la cohomología de Hochschild del álgebra de cocadenas singulares C ∗ (M S ) H∗ (LM ) ∼ = HH ∗ (C ∗ (M ), C ∗ (M )∨ ). Utilizaremos esto último y el hecho de que en el caso de las esferas HH ∗ (C ∗ ((S n )), C ∗ ((S n ))∨ ) ∼ = HH ∗ (H ∗ (S n ), H ∗ (S n )∨ ) para calcular la estructura de BV-álgebra para la homología del espacio de lazos de S n ..

(7) Capítulo 1. Preliminares En este capítulo haremos ciertas construcciones que se necesitaran para definir el producto de lazos. En la primera sección daremos algunas propiedades del haz normal de una variedad. En la segunda sección probaremos el isomorfismo de Thom. Terminaremos con la intersección transversal en homología que se define como el producto dual del producto copa en cohomología para una variedad compacta y conexa, y aprovecharemos el resultado del isomorfismo de Thom para darle cierta interpretación geométrica. Asumiremos que M es una variedad cerrada, conexa, orientada, de dimensión d > 0. Para simplificar notación, denotaremos la cohomología y homología con coeficientes en Z de un espacio X como H ∗ (X) y H∗ (X) respectivamente.. 1.1.. El haz normal de de una variedad. Estudiaremos algunas propiedades que tiene el haz normal de una variedad. El teorema central de esta sección es el Teorema de la Vecindad Tubular, el cual nos servirá para hacer ciertas definiciones en los capítulos posteriores. Proposición 1.1.1. Sean K m ⊂ Ln (K embebida en L) variedades tales que L tenga una π métrica Riemanniana. Entonces el haz tangente T K → K es un sub-haz de la restricción del haz tangente T L|K a K y para p ∈ K, Tp L = Tp K ⊕Np K donde Np K = Tp K ⊥ ∈ Tp L es el espacio ortogonal de Tp K en Tp L. El espacio NK es un haz sobre K y se le llama el haz normal de K en L. Demostración. Del hecho de que K ⊂ L sea un embebimiento se sigue facilmente que T K es un sub-haz de la restricción de T L|K . Para probar que N K es un haz vectorial se usa lo siguiente: para cada p ∈ K se puede encontrar un marco de n espacios vectoriales (E1 , . . . , En ) que formen una base ortonormal local para T L alrededor de p y tales que la restricción de (E1 , . . . , Em ) a K sea también una base ortonormal local de T K. Luego (Em+1|p , . . . , En|p ) forman una base para Np K y utilizando esta base se puede construir una trivialización local de N K alrededor de p. El caso que se trata en la Sección 2.1 del Capítulo 2 es el haz normal N ∆ de la diagonal ∆ : M → M × M en M × M . En este caso se tiene que M ∼ = ∆(M ) y por lo tanto.

(8) §1.1. 6. Tx M ∼ = T(x,x) ∆M . Además como T(x,x) (M × M ) ∼ = Tx M ⊕ Tx M se tiene la siguiente sucesión exacta corta 0 → Tx M → Tx M ⊕ Tx M → Tx M → 0, para cada x ∈ M , donde la primera flecha manda un vector v ∈ Tx M a (v, v) y la segunda flecha manda vectores v, w ∈ Tx M a v − w. Luego Nx ∆ ∼ = Tx M pues T ∆(M ) ⊕ N ∆ = T (M × M )|∆(M ) . Para el próximo teorema introduzcamos la siguiente notación. Suponga que K ⊂ L es un embebimiento de una subvariedad Riemanniana compacta, donde L es también compacto. Para > 0, sea N la vecindad de la sección cero {v : |v| < } del haz normal N K. Note que N es difeomorfa a N K bajo la correspondencia p (x, v) 7→ x, v/ 1 − |v|2 / Teorema 1.1.2. [Teorema de la vecindad tubular] Para suficientemente pequeño la restricción de la función exponencial de L es un difeomorfismo de N en la vecindad K = {x ∈ L : d(x, K) < } de K en L. A K se le llama vecindad tubular de K. Demostración. Recordemos que para el caso compacto exp : T L → L es una función suave que se define como exp(x, v) = γv (1), donde γv es la geodésica que pasa por x en t = 0 y tiene como vector tangente en 0 a v. Ver por ejemplo [4]. Ahora, si restringimos exp|N K a N K esta sigue siendo una función suave. Mas aún, para (p, 0) ∈ N K se tiene que exp|N K es un difeomorfismo alrededor de (p, 0). Esto se tiene aplicando el teorema de la función inversa y mostrando que (exp)∗ es no singular. φ. Para esto recordemos que existe una vecindad U de p tal que π −1 (U ) ∼ = U × Rn−m i m+1 n con φ(x, v ∂i ) = (x, v , . . . , v ), donde estamos haciendo la identificación Rn−m ∼ = ⊥ Tx K . Sin perdida de generalidad supongamos que L tiene un sistema de coordenadas (x1 , . . . , xn ) alrededor de p de tal manera que U ⊂ L esté dado por {x | xm+1 = 0, . . . , xn = 0} y que (x1 . . . , xm ) sea un sistema local de coordenadas para K. Luego, ∂ como x ∈ U, v ∈ Tx K ⊥ entonces x = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0) y v = v m+1 ∂xm+1 + ··· + v n ∂x∂n . Calculemos la matriz de derivadas parciales para (exp |N K )∗ en (p, 0) por bloques: m ∂ exp , notemos que exp(x, 0) = x y como Para calcular ∂x i i=1. x = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0) ∂xi = ∂x es una matriz que tiene como filas la base j. m ∂ entonces ∂x exp i i=1 n o ∂ ∂ de Tp K. ∂x1 , . . . , ∂xm Para calcular. . ∂ ∂xi. n exp. i=m. m×n. , escojamos una curva en π −1 (U ) ⊂ N K que pase por. (p, 0) y que sea constante en las primeras m componentes, como por ejemplo la curva τ (t) = (p, tv) ∈ Np K. Entonces,.

(9) §1.2. 7. d d |t=0 (exp ◦τ )(t) = |t=0 exp(p, tv) dt dt d = |t=0 γv (t) = v dt ∂ ∂ + · · · + vn . = v m+1 ∂xm+1 ∂xn. exp∗ (p, v) =. n ∂xi+n = ∂xj es una matriz que Es decir, en coordenadas locales exp n−m×n n o i=m ∂ tiene como filas la base ∂xm+1 , . . . , ∂x∂n de Np K . ∂ ∂xi. Luego, . . ∂xi ∂xj. m×n. exp∗ =  ∂xi+n ∂xj. . (n−m)×n. =. . ∂xi ∂xj. . n×n. Finalmente mostremos que existe > 0 tal que K = exp(N ) es un abierto difeomorfo a N . Usando el hecho de que K es compacto se puede escoger 0 > 0 de tal manera que para ≤ 0 , la aplicación exp es un difeomorfismo en cada bola abierta de N K con centro (x, 0) y radio para x ∈ K. Luego K es un abierto de L que obviamete contiene a K. Resta ver que para alguno de estos , exp|N es inyectiva. Supongamos que no. Luego para n = 1/n existen sucesiones (xn , vn ) 6= (x0n , vn0 ) en Nn de tal manera que exp(xn , vn ) = exp(x0n , vn0 ). Como K es compacto, sean (xnj ), (x0nj ) subsucesiones 0 ) = convergentes a x y a x0 respectivamente. Luego lı́m(xnj , vnj ) = (x, 0), lı́m(x0nj , vnj 0 ) = x0 , lo que (x0 , 0) y por tanto x = exp(x, 0) = lı́m exp(xnj , vnj ) = lı́m exp(x0nj , vnj contradice el hecho de que para j suficientemente grande exp es inyectiva en la bola con centro x y radio nj . Definición 1.1.3. Sea M una variedad con una métrica Riemanniana. Para un n-haz π : E → M de M , sea A ⊂ E el subespacio del espacio total E que consiste de los vectores v de norma menor o igual a 1. Al espacio E/A se le llama el espacio de Thom T (E). Note que T (E) también se puede construir haciendo el cociente del disco cerrado unitario D(E) con la esfera unitaria S(E) de E.. 1.2.. Isomorfismo de Thom. Dado un haz π : E → M con fibra Rn existe una relación entre la cohomología de E y la cohomología de la pareja (E, E0 ). Esta relación nos la dá el Teorema del isomorfismo de Thom el cual nos muestra que H j+n (E, E0 ) ∼ = H j (E). Describiremos también la versión análoga para el caso de homología. Comenzaremos con algunos preliminares que se utilizan para probar el isomorfismo de Thom (ver [3]). Daremos algunas definiciones y pruebas relacionadas con la cohomología y homología con coeficientes en Z de un espacio X. Finalmente haremos la prueba del Teorema del isomorfismo de Thom..

(10) §1.2. 8. Definición 1.2.1. Sea X un CW complejo y R un anillo con unidad. Para elementos del grupo de cocadenas singulares φ ∈ C k (X; R) y ψ ∈ C l (X; R), el producto copa φ ` ψ ∈ C k+l (X; R) es la cocadena singular cuyo valor en simplejos singulares σ : ∆k+l → X está dado por la formula φ ` ψ(σ) = φ(σ | [v0 , . . . , vk ])ψ(σ | [vk , . . . , vk+l ]) donde el producto de la derecha es en R. El producto copa induce un producto asociativo y distributivo en cohomología con unidad 1 ∈ H 0 (X; R) pues a nivel de cocadenas se puede verificar que δ(φ ` ψ) = δφ ` ψ + (−1)k φ ` δψ.. (1.1). Es decir, el producto copa le dá estructura de álgebra a H ∗ (X; R). Ver por ejemplo [5]. Existe un producto copa mas general en versión relativa `. H k (X, A; R) × H l (X, B; R) −→ H k+l (X, A ∪ B; R) cuando A y B son abiertos de X o cuando ambos son subcomplejos de X. Este producto se define a través de b k+l (X; A, B; R) C k (X, A; R) × C l (X, B; R) −→ C b k+l (X; A, B; R) = C k+l (X, A; R) ∩ C k+l (X, B; R) en pues resulta que la inclusión de C k+l C (X, A ∪ B; R) induce isomorfismos en cohomología (ver [3]). Definición 1.2.2. El producto cruz ×. H k (X, A) × H l (Y, B) −→ H k+l (X × Y, A × Y ∪ X × B) está dado por a × b = p∗1 (a) ` p∗2 (b), donde p1 y p2 son las proyecciones de X × Y en la primera y segunda componente respectivamente. Para las siguientes construcciones (ver [3]) denotemos por R0 = R − {0}, R+ los reales estrictamente positivos y R− los reales estrictamente negativos. Aplicando excisión a los abiertos R+ , R− ⊂ R0 se tiene que la inclusión i : R+ → (R0 , R− ) induce un isomorfismo i∗ H 1 (R+ ) ←− H 1 (R0 , R− ). Además como R se retrae a R− entonces la sucesión exacta larga de la tripleta (R, R0 , R− ) δ. · · · −→ H 0 (R, R− ) −→ H 0 (R0 , R− ) −→ H 1 (R, R0 ) −→ H 1 (R, R− ) −→ · · · induce un isomorfismo. δ. H 0 (R0 , R+ ) −→ H 1 (R, R0 ). Aplicando el mismo argumento se tienen isomorfismos i∗. δ0. H m (X × R+ ) ←− H m (X × R0 , X × R− ) −→ H m+1 (X × R, X × R0 ) Sea e ∈ H 1 (R, R0 ) el generador que corresponde a 1 ∈ H 0 (R+ ) bajo el isomorfismo δ ◦ (i∗ )−1 . Entonces,.

(11) §1.2. 9. Proposición 1.2.3. Para la pareja (X, A) con A abierto en X, la correspondencia a 7→ a × en define isomorfismos H m (X, A) −→ H m+n (X × Rn , X × Rn0 ∪ A × Rn ) donde en = e × · · · × e n-veces. Demostración. [3] Para A ⊂ X y B ⊂ Y denotemos a A × Y ∪ X × B por A × B. Notemos que es suficiente probar el caso n = 1 pues por el siguiente diagrama conmutativo ×en. H m (X, A). NNN NNN NNN NN×e NNNn−1 NNN NNN NNN &. / H m+n (X × Rn , Rn × A) 0 6 mmm m m mm mmm ×emmmm mmm mmm m m mmm mmm. H m+(n−1) (X × Rn−1 , R0n−1 × A). los demás casos se siguen por inducción. Caso 1. Supongamos que A es vacio. Para a ∈ H m (X, A) consideremos el siguiente diagrama H 0 (R+ ) o . H 0 (R0 , R− ). i∗. a×. H m (X) ∼ = H m (X × R+ ) o. / H 1 (R, R0 ). a×. . i∗. δ. H m (X × R0 , X × R− ). δ0. . a×. / H m+1 (X × R, X × R0 ). Es fácil ver que el diagrama es conmutativo y que en el isomorfismo H m (X × R+ ) ∼ = H m (X) el elemento a × 1 va a a. Persiguiendo el diagrama se tiene que los isomorfismos de la sucesión horizontal inferior mandan el elemento a a a × e. Caso 2. Sea z ∈ C 1 (R, R0 ) un representante para el generador de cohomología. Para el diagrama. . 0. / C m (X). / C m (X, A). 0. ×z. /C b m+1 (X × R; A × R0 ). . / C m (A). ×z. / C m+1 (X × R, X × R0 ). . /0. ×z. / C m+1 (A × R, A × R0 ). /0. b m+1 (X ×R; A×R0 ) = C b m+1 (X ×R; A×R, X ×R0 ), se tiene que las sucesiones donde C verticales son exactas y además de la ecuación 1.1 se sigue que δ(a × z) = δa × z pues δz = 0, es decir, los homomorfismos conmutan con el operador cofrontera δ. Esto induce entonces un diagrama conmutativo en cohomología δ. ···. / H m (X, A) ×e. ···. δ. / H m+1 (X × R, A × R ∪ X × R0 ). / H m (X) ×e. / H m+1 (X × R, X × R0 ). / H m (A). δ. / ···. ×e. / H m+1 (A × R, A × R0 ) δ. / ···. y como por el Caso 1. las dos flechas verticales de la derecha son isomorfismo para cada m, entonces por el Lema del Cinco la flecha vertical de la izquierda también lo es..

(12) §1.2. 10. Ahora nuestro teorema central, Teorema 1.2.4. [Teorema del isomorfismo de Thom] Sea π : E → M un n-haz con fibra Rn . Existe una y sólo una clase de cohomología u ∈ H n (E, E0 ) cuya restricción a H n (Rn , Rn0 ) es el generador para cada fibra Rn . De hecho la correspondencia x 7→ x ` u es un isomorfismo entre H j (E) y H j+n (E, E0 ) para cada j. Al elemento u se le llama la clase de Thom del haz. Demostración. [3] Caso 1. Supongamos que el haz trivial, es decir E ∼ = M × Rn . Por la Proposición 1.2.3 tenemos que H 0 (M ) ∼ = H 0 (M × Rn ) es isomorfo a H n (M × Rn , M × Rn0 ) bajo la correspondencia y 7→ y × en . En este caso tenemos que ver que existe una única clase u ∈ H n (M × Rn , M × Rn0 ) tal que la restricción para cada fibra sea el generador, es decir una clase de cohomología en H 0 (M ) que sea diferente de cero en cada punto. Obviamente la clase del 1 ∈ H 0 (M ) es la que cumple esta condición y por tanto u = 1 × en . Recordemos que por la formula de Künneth, tenemos el isomorfismo de álgebras ×. H j (M ) ⊗ H 0 (Rn ) −→ H j (M × Rn ) (x, 1) 7→ x × 1, ya que H 0 (Rn ) = Z es libre de torsión, lo que implica junto con la Proposición 1.2.3 que la correspondencia x = x × 1 7→ x × 1 ` u = (x × 1) ` (1 × en ) = x × en es un isomorfismo. Caso 2. Supogamos que M 0 , M 00 ⊂ M son abiertos tales que M 0 ∪ M 00 = M y que las restricciones π|π−1 (M 0 ) : E 0 → M 0 , π|π−1 (M 00 ) : E 00 → M 00 son n-haces triviales. Por el Caso 1 tenemos que existen únicas clases u0 , u00 , u000 de orden n en las cohomologías relativas de E 0 , E 00 y E 000 := E 0 ∩ E 00 respectivamente tales que las restricciónes a cada fibra es diferente de cero. Además H n−1 (E 000 , E0000 ) ∼ = H −1 (E 000 ) = 0 y por tanto la sucesión exacta corta φ. ψ. 0 −→ C∗ (E 000 , E0000 ) −→ C∗ (E 0 , E00 ) ⊕ C∗ (E 00 , E000 ) −→ C∗ (E 0 + E 00 , E00 + E000 ) −→ 0 (1.2) donde φ(x) = (x, −x), ψ(x, y) = x + y y C∗ (A + B) denotan la suma de cadenas que están en A o en B, induce una sucesión exacta larga en cohomología ψ∗. φ∗. 0 −→ H n (E, E0 ) −→ H n (E 0 , E00 ) ⊕ H n (E 00 , E000 ) −→ H n (E 000 , E0000 ) −→ · · · . Luego por la unicidad de u0 , u00 , u000 y por el hecho de que u0|(E 000 ,E 000 ) y u00|(E 000 ,E 000 ) no se 0 0 anulan en las fibras de (E 000 , E0000 ) entonces u0|(E 000 ,E 000 ) = u000 = u00|(E 000 ,E 000 ) y por tanto 0 0 φ∗ (u0 , u00 ) = u0|(E 000 ,E 000 ) − u00|(E 000 ,E 000 ) = 0. De esto y de la inyectividad de ψ ∗ se sigue que 0 0 existe una única clase u ∈ H n (E, E0 ) tal que ψ ∗ (u) = u(• + •) = (u0 , u00 ) lo que implica que u no se anula en las fibras de (E, E0 ) = (E 0 ∪ E000 , E 0 ∪ E000 ). Para mostrar que H j (E) ∼ = H j+n (E, E0 ) bajo la correspondencia x 7→ x ` u, consideremos el siguiente diagrama conmutativo ···. / H j+n (E, E0 ) O. ψ∗. ∗ / H j+n (E 0 , E 0 ) ⊕ H j+n (E 00 , E 00 ) φ 0 0 O. ù0 ⊕ù00. ù. ···. / H j (E). ψ∗. / H j (E 0 ) ⊕ H j (E 00 ). / H j+n (E 000 , E 000 ) 0 O. / ···. ù000 φ∗. / H j (E 000 ). / ···.

(13) §1.2. 11. que induce las respectivas sucesiones exactas análogas a 1.2. Como las flechas de la derecha son isomorfismos entonces por el Lema del Cinco la flecha de la izquierda también es isomorfismo. Caso 3. Como M es compacto se pueden conseguir finitos abiertos M1 , . . . , Mm que cubran a M y cuya restricción al haz sea trivial. Por el Caso 1. el teorema se cumple para cada una de estas restricciones y aplicando un argumento inductivo con paso base el Caso 2. se obtiene el resultado. Note que en la prueba del teorema del isomorfismo de Thom no se utilizó el hecho de que estábamos considerando cohomología con coeficientes en Z. Este resultado todavía sigue siendo valido si consideramos cohomología con coeficientes en cualquier anillo R y la prueba es exactamente igual a la dada anteriormente. Por esta razón y por el lema que enunciaremos a continuación es posible tener la versión del isomorfismo de Thom en el caso de la homología. La prueba del siguiente lema se puede encontrar en [3]. Lema 1.2.5. Sea f : K → K 0 un morfismo de complejos de cadenas1 , donde K y K 0 son complejos de cadenas libres sobre Z. Si f induce isomorfismos en cohomología f ∗ : H ∗ (K 0 ; R) −→ H ∗ (K; R) para cualquier campo R, entonces f induce isomorfismos de homología y cohomología con coeficientes arbitrarios. Antes del isomorfismo de Thom en el caso de homología algunas definiciones y propiedades: Definición 1.2.6. Para X un CW complejo y R un anillo con unidad se define el producto capa a: Ck (X; R) × C l (X; R) → Ck−l (X; R) para k ≥ l por σ a φ = φ(σ | [v0 , . . . , vl ])σ | [vl , . . . , vk ] para σ : ∆k → X y φ ∈ C l (X; R). Este producto induce un producto a nivel de homología y cohomología pues se cumple que ∂(σ a φ) = (−1)l (∂σ a φ − σ a δφ). (1.3) Además, dada una función f : X → Y se tiene que f∗ (σ) a φ = f∗ (σ a f ∗ (φ)). (1.4). Como en el caso del producto copa, existe una versión mas general de producto capa dado por a. Hk (X, A ∪ B; R) × H l (X, A; R) −→ Hk−l (X, B; R). para A, B abiertos de X. Tambi’en existen formulas como la 1.4 en versión relativa. Existe una relación entre el producto copa y el producto capa dada por la siguiente formula: ψ(α a φ) = (ψ ` φ)(α) (1.5) Un morfismo de complejos de cadenas f : K → K 0 de grado n es una sucesión de homomorfismos 0 Ki → Ki+n tal que δ 0 ◦ f = (−1)n f ◦ δ 1.

(14) §1.3. 12. para α ∈ Ck+l (X; R), φ ∈ C k (X; R) y ψ ∈ C l (X; R). Ahora el Teorema del isomorfismo de Thom en versión homología: Corolario 1.2.7. Con la notación del Teorema 1.2.4, la correspondencia η 7→ η a u define isomorfismos entre Hi+n (E, E0 ) y Hi (E). Demostración. La prueba es una aplicación directa del Lema 1.2.5 haciendo uso del producto capa. Sea z ∈ C n (E, E0 ) un representante de la clase de Thom u y definamos f : C∗+n (E, E0 ) → C∗ (E) por f (α) = α a z. Por 1.3 δf (α) = δ(α a z) = (−1)n (δσ a z) y por tanto f es un morfismo de complejos de cadenas de grado n. Ahora, por 1.5 se tiene que la función f inducida en cocadenas es tal que f ] (ψ)(α) = ψ(f (α)) = ψ(α a z) = (ψ ` z)(α) para ψ ∈ C i (E) y α ∈ Ci+n (E, E0 ). Esto implica que el homomorfismo inducido f ∗ en cohomología es el dado por el isomorfismo de Thom, es decir f ∗ (x) = x ` u para x ∈ H i (E). Finalmente por el Lema 1.2.5 se tiene que para η ∈ Hi+n (E, E0 ) la correspondencia η 7→ f∗ (η) = η a u es un isomorfismo entre Hi+n (E, E0 ) y Hi (E).. 1.3.. Intersección transversal. En esta sección daremos una descripción a nivel de cadenas de la intersección transversal que se obtiene a partir de la dualidad de Poincaré. Esta intersección nos podrá dar una idea geométrica del producto de lazos. Para esto haremos uso del Isomorfismo de Thom y de los resultados que se tienen en el Sección 1.1 para haces normales de una variedad. Seguiremos las ideas de Cohen, Jones y Yan dadas en [2]. Escojamos una métrica Riemanniana en M . Definición 1.3.1. Sean E, K subvariedades embebidas en M . Se dice que E p y K q se intersectan transversalmente y se denota como E t K si para todo x ∈ E ∩ K se cumple que Tx (E) + Tx (K) = Tx (M ) o equivalentemente si dim(Tx (E) ∩ Tx (K)) = dimTx (E) + dimTx (K) − d. El siguiente teorema es clásico en Geometría Diferencial y su prueba se puede encontrar en [7]. Teorema 1.3.2. Con las condiciones de la definición anterior se tiene que E p ∩ K q es una subvariedad embebida en M de dimensión dimE + dimK − d. Con un argumento en las dimensiones se tiene que codim(E ∩ K) = codimE + codimK. (1.6). que junto con la contención Nx E ⊕ Nx K ⊂ Nx (E ∩ K) de los haces normales de las subvariedades en M para x ∈ E ∩ K, implica que N E|E∩K ⊕ N K|E∩K = N (E ∩ K). suma de Whitney. (1.7). y en consecuencia uE∩K = u0E ` u0K. (1.8).

(15) §1.3. 13. donde u0E y u0K son las proyecciones a N E|E∩K y N K|E∩K respectivamente de las restricciones de las clases de Thom de N E y N K a E ∩K . Esta última afirmación se puede ver argumentando que uE ` uK es una clase en H codimE∩K (N (E ∩ K), N (E ∩ K)0 ) cuya restricción en cada fibra es un generador. Tenga en cuenta que para variedades orientadas esto caracteriza la clase de Thom salvo el signo. Ahora la estructura del producto intersección de H∗ (M ; A) que lo denotaremos por • y donde A es un anillo graduado, se define de tal manera que el isomorfismo de la dualidad de Poincaré D : H ∗ (M ; A) −→ Hd−∗ (M ; A) α 7→ [M ] a α sea un isomorfismo de álgebras graduadas, es decir, si [M ] a φ = [N ]M y [M ] a ψ = [S]M entonces [M ] a (φ ` ψ) = [N ]M • [S]M . Por otro lado, el isomorfismo de Thom i. nos dice que si Lk ,→ M d es una subvariedad cerrada embebida en M entonces la clase [L]M = i∗ [L] ∈ Hk (M ) esta dada, salvo el signo, por la imagen del generador de [N L] ∈ Hd (N L, N L0 ) bajo los homomorfismos au. πL. =. =. i. L ∗ ∗ Hd (N L, N L0 ) −−∼−→ Hk (N L) −− → Hk (L) −→ Hk (M ). ∼. Recordemos que el haz normal N L de L en M es difeomorfo a una vecindad tubular L de L en M (ver Teorema 1.1.2), donde el difeomorfismo envía N L0 en L − L y notemos además que el espacio de Thom T (N L) resulta ser homeomorfo a colapsar ∂L en L a un punto ∗ o equivalentemente colapsar en M el complemento de L al punto ∗ . Luego a nivel de cocadenas se tienen las siguientes equivalencias: C∗ (N L, N L0 ) ' C∗ (L , L − L) ' C∗ (L , ∂L ) ' C∗ (T (N L), ∗). por ser difeomorfos como parejas, L − L se contrae a ∂L , por excisión y por la forma de L ,. lo que implica que el isomorfismo de Thom queda escrito de la manera: atL H∗+(d−k) (T (N L), ∗) ∼ = H∗+(d−k) (L , ∂L ) −→ H∗ (L ). (1.9). donde la clase tL ∈ H (d−k) (T (N L), ∗) corresponde a la clase de Thom uL . Notemos que cuando L está orientada entonces la proyección de Thom-Pontryagin τ : (M, M − L → (T (N L), ∗) envía la clase fundamental [M ] ∈ Hd (M ) a un elemento ¯ ] y además si [L ] genera a Hk (L ) y τ∗ (σ) = [L ] entonces σ ' [L ]M ' generador [M [L]M , ya que se puede pensar que τ manda cadenas en L en exactamente las mismas cadenas en (T (N L), ∗) y las cadenas que están fuera de L las envía en homología al cero de H∗ (T (N L), ∗). Teorema 1.3.3. La clase τ ∗ (tL ) ∈ H d−k (M ) es el elemento dual de [L]M . Mas precisamente, [M ] a τ ∗ (tL ) = [L]M Demostración. Se tiene las siguientes igualdades: ¯ ] a tL [L ] = [M = τ∗ ([M ]) a tL = τ∗ ([M ] a τ ∗ (tL )). por el isomorfismo 1.9, ¯ ], pues τ∗ ([M ]) = [M por la formula 1.4..

(16) §1.3. 14. Y por el comentario anterior [M ] a τ ∗ (tL ) = [L]M . Corolario 1.3.4. Con la notación que llevamos suponga además que las subvariedades E y K tienen la orientación heredada de M y se intersectan transversalmente. Entonces [E]M • [K]M = (−1)d(d−p) [E ∩ K]M . Demostración. Notemos que por el teorema anterior y por la definición de •, [E]M • [K]M = [M ] a (τ∗ (tE ) ` τ∗ (tK )).. (1.10). Salvo el signo tenemos las siguientes igualdades: [E ∩ K]M. = = = =. [M ] a τ ∗ (tE∩K ) [M ] a τ ∗ (t0E ` t0K ) [M ] a (τ ∗ (t0E ) ` τ ∗ (t0K )) [E]M • [K]M. del teorema anterior de la ecuación 1.8 y el isomorfismo 1.9 de las propiedades del copa de 1.10.. Otra forma de pensar el espacio de Thom T ∆M del haz normal de la diagonal de M en M × M es colapsar el complemento del disco abierto unitario D∆M de N ∆ a un punto ∗ o equivalentemente colapsar en D∆M la esfera unitaria S∆M . Ahora, por excisión y la definición de los haces se tiene que existe una equivalencia a nivel de cadenas entre C∗ (D∆M /S∆M , ∗) y C∗ (D∆M , S∆M ). Además nuevamente por excisión y porque N ∆0 se puede contraer a N ∆ − D∆M se tiene que i] : C∗ (D∆M , S∆M ) → C∗ (N ∆, N ∆0 ) induce isomorfismos i∗ : H∗ (D∆M , S∆M ) −→ H∗ (N ∆, N ∆0 ). Sea ρ] : C∗ (T ∆M , ∗) → C∗ (D∆M , S∆M ) → C∗ (N ∆, N ∆0 ). (1.11). la composición de estos morfismos. Consideremos z ∈ C d (N ∆, N ∆0 ) un representante de la clase de Thom. Entonces el morfismo de cadenas π]. az. µ] : C∗ (N ∆, N ∆0 ) −→ C∗−d (N ∆) −→ C∗−d (M ). (1.12). junto con los morfismos antes descritos inducen la siguiente versión del isomorfismo de Thom en homología, ρ∗. µ∗. H∗ (T ∆M , ∗) −→ H∗ (N ∆, N ∆0 ) −→ H∗−d (M ). Sean p] : C∗ (T ∆M ) → C∗ (T ∆M , ∗) la proyección al complejo cociente y ξ] : C∗ (T ∆M ) → C∗−d (M ) definida por ξ] := µ] ◦ ρ] ◦ p] . Consideremos ahora el producto cruz en homología ×. Hp (M ) ⊗ Hq (M ) −→ Hp+q (M × M ) que de forma general se puede pensar de la siguiente manera: tomamos simplejos singulares σ : ∆p → X y γ : ∆p → Y , entonces tenemos el producto σ ×γ : ∆p ×∆q → X ×Y . La idea es subdividir ∆p × ∆q en simplejos de dimensión p + q de tal manera que éste sea la suma de estos simplices con signos apropiados. Definimos entonces σ × γ como la suma de las restricciones de σ × γ a estos simplejos. Entonces.

(17) §1.3. 15. Lema 1.3.5. Sea τ : M × M → (T ∆M , ∗) la proyección de Thom-Pontryagin. Con las definiciones anteriores se tiene que el diagrama Hp+q (M × M ). τ∗. / Hp+q (T ∆M ). O. ×. Hp (M ) ⊗ Hq (M ). (−1)d(d−p) •. . ξ∗. / Hp+q−d (M ). es conmutativo. Demostración. Daremos solo un esquema de la prueba. Sean E p y K q subvariedades orientadas embebidas en M que se intersectan transversalmente. Notemos que existe un difeomorfismo natural entre E ∩ K y (E × K) ∩ ∆ donde ∆ es la diagonal de M × M . Ahora, como su intersección es transversal entonces para x ∈ E ∩ K se tiene que Tx E + Tx K = Tx M y con un argumento análogo al dado para las ecuaciones 1.6 y 1.7 se siguen las igualdades Nx ∆ = Nx M = Nx E ⊕ Nx K = Nx (E ∩ K) = Nx ((E × K) ∩ ∆) de haces normales en M ×M . Luego, la clase de Thom de N ∆ se restringe en (E ×K)∩∆ a la clase de Thom del haz normal de (E × K) ∩ ∆ en M × M , salvo el signo. Mas aún, τ∗ ([E × K]M ×M ) es la clase generadora del grupo de homología Hp+q (N ((E × K) ∩ ∆), N ((E × K) ∩ ∆)0 ) que corresponde bajo el isomorfismo de Thom a un generador de Hp+q−d ((E × K) ∩ ∆), es decir a ±[(E × K) ∩ ∆]M ×M . Estas dos razones implican que ξ∗ (τ∗ ([E × K]M ×M )) = ±[(E × K) ∩ ∆]M ×M ' ±[E ∩ K]M . Con lo anterior ya tenemos una descripción a nivel de cadenas del producto • como sigue: Proposición 1.3.6. La composición de morfismos de cadenas ×. τ]. ξ]. Cp (M ) ⊗ Cq (M ) −→ Cp+q (M × M ) −→ Cp+q (T ∆M ) −→ Cp+q−d (M ) es un representante del producto intersección (−1)d(d−p) • : Hp (M ) ⊗ Hq (M ) −→ Hp+q−d (M )..

(18) Capítulo 2. El producto en la homología del espacio de lazos libres En este capítulo se le dará estructura de algebra graduada a la homología del espacio de lazos por medio del producto que definen Chas y Sullivan en [1]. Posteriormente, usando los resultados de Cohen, Jones y Yan en [2] se describirá una sucesión espectral de algebras que converge al algebra de la homología del espacio de lazos de una variedad. Usando esto se calculará la estructura de álgebra a la homología del espacio de lazos de las esferas. De nuevo asumiremos que M es una variedad cerrada, conexa, orientada, de dimensión d > 0.. 2.1.. El producto de lazos. En este sección daremos la definición del producto de lazos. Seguiremos la construcción de [2] que aunque no fue la descripción original de Chas y Sullivan [1] nos permitirá calcular el álgebra del espacio de lazos de las esferas. Esta construcción se hará por medio de la composición de morfismos de fibraciones cuya restricción en los espacios bases es la composición de los morfismos dados en el teorema 1.3.6 (sección 1.3 del capítulo anterior) que describen la intersección transversal a nivel de cadenas. Sea LM = C ∞ (S 1 , M ) el espacio de lazos libres de M suaves a trozos, con 1 ∈ S 1 como el punto base. Considere la fibración de Serre1 dada por la función evaluación ev : LM −→ M, con fibra Ω(M ). Sea LM ×∆ LM el pullback ∆∗ (LM ×LM )del producto de esta fibración con ella misma. Entonces LM ×∆ LM consiste de tripletas ((α, β), x) ∈ (LM ×LM )×M tal que α(1) = β(1) = x, es decir, LM ×∆ LM es el espacio de parejas de lazos que 1. π. Una fibración de Serre E → B es una fibración que tiene la propiedad del levantamiento para CW f˜. 0 complejos finitos, es decir, si X es un CW complejo y existe un levantamiento X → E de la condición. f. f˜. inicial de la homotopía X × I → B entonces existe un levantamiento X × I → E de f con condición inicial f˜0 ..

(19) §2.1. 17. tienen el mismo punto base. Se tiene entonces el morfismo de haces ˜ ∆. LM ×∆ LM ev∆. . ∆. M. / LM × LM ev×ev. . /M ×M. ˜ es un embebimiento. donde ev∆ (α, β) = α(1) = β(1) y ∆ Ahora, LM ×∆ LM tiene una vecindad tubular en LM × LM definida como (ev × ev)−1 (M∆ ) = {(α, β) | (α(1), β(1)) ∈ M∆ } donde M∆ es una vecindad tubular de M en M × M difeomorfa al abierto de N ∆ que consiste de elementos v ∈ N ∆ tal que |v − M | < para cierto > 0. Este abierto es a su vez difeomorfo a N ∆ para cierto . Es importante resaltar que M∆ consiste de puntos (y, z) ∈ M × M que se pueden unir por únicas geodésicas en M × M que empiezan en un punto de x ∈ ∆M y tiene como vector tangente un elemento v ∈ Nx ∆ de norma |v| < . π Note que del hecho de que M∆ → M sea un haz sobre M , π ◦ ∆ = idM y de la conmutatividad del diagrama ˜ ∆. LM ×∆ LM. / (ev × ev)−1 (M∆ ). ev∆. . ev×ev. . / M∆. ∆. M. (2.1). se sigue que (ev × ev)−1 (M∆ ) coincide con el pullback ev ˜∆. ∗ (N ∆) ev∆ π0. . LM ×∆ LM. /N∆. ev∆. . (2.2). π. /M. π. ∗ (N ∆) consiste de puntos de la evaluación en el haz normal N ∆ → M , donde ev∆ ((α, β), (y, z)) ∈ (LM ×M LM ) × M∆ tales que α(1) = β(1) = x y de tal manera que exista v ∈ Nx ∆ con |v| < y exp(x, v) = (y, z). Si T (LM ×∆ LM ) es el espacio de Thom que consiste en colapsar el complemento de (ev × ev)−1 (M∆ ) en LM × LM lo cual es equivalente al espacio de Thom del pullback 2.2, y τ̃ : LM × LM → T (LM ×∆ LM ) es la función de Thom-Pontryagin, entonces la conmutatividad del diagrama. (ev × ev)−1 (M∆ ) ev×ev. . ĩ. i. M∆. / LM × LM . ev×ev. /M × M. induce la conmutatividad del diagrama LM × LM ev×ev. . M ×M. τ̃. / T (LM ×∆ LM ) 0 ev∆. τ. / T ∆M ,. (2.3).

(20) §2.1. 18. 0 : T (LM × LM ) −→ T ∆ donde ev∆ ∆ M es la función inducida por ev×ev. (ev × ev)−1 (M∆ ) (α, β). −→ 7→. M∆ (α(1), β(1)). o equivalentemente, inducida por ev. ∆ ∗ (M ) ev∆ −→ M∆ ∆ . ((α, β), (y, z)) 7→ (y, z). Definimos ahora la concatenacíon de lazos en LM ×∆ LM ω : LM ×∆ LM −→ LM (α, β) 7→ αβ dada por ( α(2t) αβ = β(2t − 1). si 0 ≤ t ≤ 21 si 21 ≤ t ≤ 1.. Entonces ev∆ factoriza como ω. ev. ev∆ : LM ×∆ LM −→ LM −→ M π. y por tanto el haz M∆ → M induce el siguiente diagrama de haces ω̃. ∗ (M ) ev∆ ∆. . LM ×∆ LM. ω. / ev ∗ (M∆ ). ev ˜. / M∆. / LM. ev. / M.. El cuadrado izquierdo induce a su vez una función entre espacios de Thom ω̃ : T (LM ×∆ LM ) → T (LM )∆ , que junto con el diagrama 2.3 forman el diagrama conmutativo LM × LM ev×ev. . M ×M. τ̃. τ. / T (LM ×∆ LM ) ω̃ . ev∆. / T ∆M. / T (LM )∆ ev 0. =. / T ∆M ,. donde ev 0 (γ, (y, z)) = (y, z) para puntos (y, z) ∈ M∆ que se pueden unir a γ(1) ∈ ∆M por medio de la geodésica que tenga como vector tangente un elemento v ∈ Nx ∆ de norma suficientemente pequeña. Considere el pullback D∆LM y S∆LM del disco y la esfera unitaria del haz normal N∆ ∼ = M∆ bajo ev. Nuevamente se tiene que T (LM )∆ es D∆LM /S∆LM y que existe una equivalencia de cadenas ρ̃] : C∗ (T (LM )∆ , ∗) −→ C∗ (D∆LM , S∆LM ) −→ C∗ (ev ∗ (N ∆), ev ∗ (N ∆0 )).. (2.4). Además si z̃ = ev ∗ (z) es el pullback de una cocadena z ∈ C d (N ∆, N ∆0 ) que representa la clase de Thom, entonces z̃ es la clase de Thom de ev ∗ (N ∆) ya que ev ˜ es un isomorfismo fibra por fibra y por tanto la clase de la restricción de z̃ genera el grupo de homología relativa de orden superior en cada fibra. Luego el morfismo de cadenas az̃. π̃]. µ̃] : C∗ (ev ∗ (N ∆), ev ∗ (N ∆0 )) −→ C∗−d (ev ∗ (N ∆)) −→ C∗−d (LM ). (2.5).

(21) §2.2. 19. junto con el morfismo ρ induce la versión del isomorfismo de Thom, ρ̃∗. µ̃∗. H∗ (T (LM )∆ , ∗) −→ H∗ (ev ∗ (N ∆), ev ∗ (N ∆0 )) −→ H∗−d (LM ). Similarmente sean p̃] : C∗ (T (LM )∆ ) → C∗ (T (LM )∆ , ∗) la proyección al complejo cociente y ξ˜] : C∗ (T (LM )∆ ) → C∗−d (LM ) definida por ξ˜] := µ̃] ◦ ρ̃] ◦ p̃] . Note que los morfismos 2.4 y 2.5 en las cadenas del los espacios totales se definieron de forma análoga a los morfismos 1.11 y 1.12 (sección anterior) en los espacios bases respectivos. De hecho, para construir 2.4 y 2.5 se consideraron pullbacks o funciones inducidas por las evaluaciones. Es fácil ver entonces que el diagrama H∗ (T (LM )∆ ) ev∗0. . H∗ (T ∆M ). ξ̃∗. ξ∗. / H∗−d (LM ) . ev∗. / H∗−d (M ). es conmutativo. De forma análoga a como se obtiene el producto • en la cohomología de M , definamos el producto de lazos ◦ en H∗ (LM ) de la siguiente manera, Definición 2.1.1. Definimos a nivel de cadenas la composición de los morfismos que inducen el producto de lazos de Chas y Sullivan como Cp (LM ) ⊗ Cq (LM ) ×. / Cp+q−d (LM ) O ξ̃∗. . Cp+q (LM × LM ). (−1)d(d−p) ◦. τ̃∗. / Cp+q (T (LM ×∆ LM )). ω̃∗. / Cp+q (T (LM )∆ ).. Originalmente la definición del producto de lazos de Chas y Sullivan en [1] la dieron en cadenas que se intersectan transversalmente. Esta definición consiste en tomar una p-cadena σ y una q-cadena γ de lazos en M , cada una con un punto marcado dado por el 1 ∈ S 1 . Se intersecta transversalmente la p-cadena en M inducida por la evaluación de los lazos de σ en 1 con la q-cadena inducida por γ, dando como resultado una (q + p − d)cadena η en M donde los puntos marcados de σ y γ coinciden. Por último en cada punto de η se concatena el lazo de σ seguido por el lazo de γ. En [9] los autores muestran que la composición de los morfismos τ̃ , ω̃ y ξ˜ realizan el producto de lazos de Chas y Sullivan.. 2.2.. Un método para calcular (H∗ , ◦). En esta sección mostraremos que la sucesión espectral de Leray-Serre converge como álgebra a la homología de lazos H∗ (LM ), donde Hq (LM ) = Hq+d (LM ). En el Apéndice A se explica en que consiste esta sucesión espectral. Finalmente calcularemos el caso de las esferas..

(22) §2.2. 2.2.1.. 20. Convergencia como álgebra. En la sección anterior definimos el producto de lazos a la manera de Cohen, Jones y Yan, por medio de morfismos de fibraciones a nivel de cadenas. La razón de dar esta definición es que nos permitirá mostrar que la filtraciones de la sucesión espectral de Leray-Serre respectivas a cada fibración preservan estos morfismos y por tanto la convergencia se obtiene como álgebra. π. Recordemos que dada una fibración F ,→ E → B con B simplemente conexo y F conexo, se define la filtración F p Cr (E) de C∗ (E) como el generado por los r-símplices T : ∆r → E tal que π ◦ T = σ(i0 , . . . ir ), donde σ : ∆p → B es un p-símplice de B y para 0 ≤ i0 ≤ · · · ≤ ir ≤ p enteros, (i0 . . . , ir ) : ∆r → ∆p es la función lineal que manda el vértice j-ésimo de ∆r al vértice ij de ∆p . Entonces, Teorema 2.2.1. Considere la filtración {0} ⊂ · · · ⊂ F p−1 C∗ (E) ⊂ F p C∗ (E) ⊂ · · · ⊂ C∗ (E) π. descrita anteriormente para la fibración F ,→ E → B. Entonces esta fibración induce la sucesión espectral de Leray-Serre que converge a H∗ (E) y cuyo E2 -término es tal que E2p,q ∼ = Hp (B; Hq (Fb ; G)) Esto se describe de forma mas detallada en el Apéndice A. También se tiene la versión relativa para calcular la homología de la pareja (E, E 0 ) en términos de la homología de la pareja (B, B 0 ) con coeficientes en Hq (Fb ; G), donde E 0 = π −1 (B 0 ). En este caso se tiene que la filtración de F p C∗ (E, E 0 ) es igual a F p C∗ (E)/F p C∗ (E 0 ) y el E2 -término está dado por Hp (B, B 0 ; Hq (Fb ; G)). Las fibraciones de nuestro interés son las que consideramos para definir el producto de lazos, es decir, ev ΩM ,→ LM −→ M, ev∆ ΩM × ΩM ,→ LM ×∆ LM −→ M, ev ˜. ΩM ,→ D∆LM −→ D∆M. y. ev ˜. ΩM ,→ S∆LM −→ S∆M . La definición involucró las funciones de cadenas × : C∗ (LM ) ⊗ C∗ (LM ) −→ C∗ (LM × LM ), τ̃] : C∗ (LM × LM ) −→ C∗ (T (LM ×∆ LM )) y ω̃] : C∗ (T (LM ×∆ LM )) −→ C∗ (T (LM )∆ ).. (2.6). Ahora, para calcular H̃∗ (T (LM ×∆ LM )) usamos la fibración ev∆ : LM ×∆ LM → M y hacemos el pullback del disco y la esfera unitaria del haz normal N ∆ de M . ∗ (D∆ ), ev ∗ (S∆ )) que conCon esto obtenemos una filtración de parejas F p C∗ (ev∆ M M ∆ ∗ (D∆ ), ev ∗ (S∆ )) ∼ H̃ (T (LM × LM )) y cuyo termino E es verge a H∗ (ev∆ = ∗ 2 M M ∆ ∆ H̃∗ (T ∆M ; H∗ (ΩM × ΩM )). Para calcular la homología de T (LM )∆ , se toma la filtración F p C∗ (D∆LM , S∆LM ) de la pareja (D∆LM , S∆LM ) que, como en el caso anterior, viene del pullback del disco y.

(23) §2.2. 21. la esfera unitaria del haz normal N ∆ bajo la fibración ev : LM → M . En este caso la sucesión espectral converge a H̃∗ (T (LM )∆ ) = H∗ (D∆LM , S∆LM ) y su termino E2 es H̃∗ (T ∆M ; H∗ (ΩM )). Proposición 2.2.2. Los morfismos de cadenas 2.6, preservan las filtraciones antes descritas, es decir, × : F p C∗ (LM ) ⊗ F q C∗ (LM ) −→ F p+q C∗ (LM × LM ), τ̃] : F n C∗ (LM × LM ) −→ F n C∗ (T (LM ×∆ LM )), ω̃] : F n C∗ (T (LM ×∆ LM )) −→ F n C∗ (T (LM )∆ ). Demostración. En el caso de × se están considerando las fibraciones ev : LM → M para cada uno de los factores de C∗ (LM ) ⊗ C∗ (LM ) y ev × ev : LM × LM → M × M para C∗ (LM × LM ). Luego, si T es un r-símplice y S un s-símplice de LM tales que ev(T ) = σ(i0 , . . . ir ) con ir ≤ p, σ : ∆p → M y ev(S) = γ(j0 , . . . js ) con is ≤ q, γ : ∆q → M , entonces T × S ∈ Cr+s (LM × LM ) y ev × ev(T × S) = ev(T ) × ev(S) = σ(i0 , . . . ir ) × γ(j0 , . . . js ), la cual es una cadena (r + s)-cadena en M × M generada por símplices de la forma β(i0 , . . . , ir , . . . , ir+s ) : ∆r+s → ∆p+q → M × M con ir+s ≤ p + q. Para el caso de τ̃] se sigue el resultado de la conmutatividad del diagrama. ev×ev. ∗ (D∆ )/ev ∗ (S∆ ) / T (LM ×∆ LM ) ∼ = ev∆ M M ∆. τ̃. LM × LM . τ. M ×M. . ev 0. / T ∆M ∼ = D∆LM /S∆LM. y análogamente, para ω̃] , se sigue de la conmutatividad del diagrama ∗ (D∆ )/ev ∗ (S∆ ) ∼ T (LM × LM ) ev∆ M M = ∆ ∆. . ω̃. / D∆LM /S∆LM ∼ = T (LM )∆. ev∆. . / T ∆M. =. T ∆M. ev 0. Proposición 2.2.3. El morfismo de cadenas ξ˜] : C∗ (T (LM )∆ ) −→ C∗−d (LM ) es un morfismo de complejos filtrados, que baja el grado de la filtración en d, es decir, ξ˜] : F p C∗ (D∆LM , S∆LM ) −→ F p−d C∗−d (LM ). Demostración. Recordemos que ξ˜] := µ̃] ◦ ρ̃] ◦ p̃] , donde ρ̃] y p̃] son composiciones de morfismos de filtraciones de parejas. Ahora, como µ̃] es la composición de a z̃ y π̃] π̃]. az̃. µ̃] : C∗ (ev ∗ (N ∆), ev ∗ (N ∆0 )) −→ C∗−d (ev ∗ (N ∆)) −→ C∗−d (LM ) donde z̃ = ev ∗ (z) es el pullback de la clase de Thom del haz normal N ∆ y π̃ es un morfismo de filtraciones, basta ver entonces que az̃. F p C∗ (ev ∗ (N ∆), ev ∗ (N ∆0 )) −→ F p−d C∗ (ev ∗ (N ∆))..

(24) §2.2. 22. Notemos que z̃ ∈ Hom(Cd (ev ∗ (N ∆)), Z) es tal que ev ∗ (N ∆0 ) ⊂ ker z̃ y por razones dimensionales z̃ es identicamente cero en las d-cadenas degeneradas de ev ∗ (N ∆). Sea T ∈ F p Cr (ev ∗ (N ∆)) un r-símplice, entonces evT ˜ = σ(i0 , . . . ir ) para 0 ≤ i0 ≤ · · · ≤ ir ≤ p y algún p-símplice σ de N ∆. Luego, ev(T ˜ a z̃) = z̃(T |[v0 , . . . vd ])ev(T ˜ |[vd , . . . , vr ]) = z(ev(T ˜ |[v0 , . . . , vd ])ev(T ˜ |[vd , . . . , vr ]) = z(σ(i0 , . . . , id , . . . ir )(0, . . . , d))σ(i0 , . . . , id , . . . , ir )(d, . . . , r). Si ev(T ˜ a z̃) 6= 0 entonces σ(i0 , . . . , id , . . . ir )(0, . . . , d) es un d-símplice no degenerado, lo que implica que 0 ≤ i0 < · · · < id y por tanto d ≤ id , . . . , d ≤ ir , o equivalentemente 0 ≤ id − d ≤ · · · ≤ ir − d ≤ p − d. Esto nos permite factorizar a σ(i0 , . . . , id , . . . , ir )(d, . . . , r) como σ(i0 , . . . , id , . . . , ir )(d, . . . , r) : ∆r−d. (id −d,...,ir −d). −→. ∆p−d. (d,d+1,...,p). −→. σ. ∆p −→ N ∆.. Luego, ev(T ˜ a z̃) ∈ F p−d C∗ (LM ). De la proposición anterior se tiene que ξ˜ induce un morfismo entre sucesiones espectrales que baja el grado, es decir, ξ˜] : Erp,q (D∆LM , S∆LM ) −→ Erp−d,q (LM ) en donde en el E2 -término es el isomorfismo de Thom, Hp (T ∆; Hq (ΩM )) −→ Hp−d (M ; Hq (ΩM )). Se tiene entonces que si hacemos la composición de los morfismos de las dos proposiciones anteriores u : F p C∗ (LM ) ⊗ F q C∗ (LM ) −→ F p+q−d C∗ (LM ), obtenemos un morfismos de filtraciones que define, salvo el signo, el producto de lazos a nivel de cadenas y por tanto u induce el producto de lazos en homología en el E∞ -término de la sucesión. En general, u es un morfismo de sucesiónes espectrales u∗ : Erp,s (LM ) ⊗ Erq,t (LM ) −→ Erp+q−d,s+t (LM ) en donde el E2 -término tiene la forma u∗ : Hp (M ; Hs (ΩM )) ⊗ Hq (M ; Ht (ΩM )) −→ Hp+q−d (M ; Hs+t (ΩM )) para M simplemente conexo. Notemos además que este nivel 2, u∗ es el producto intersección • (salvo el signo) con coeficientes en anillo de Pontryagin2 H∗ (ΩM ), es decir, para a, b p y q símplices respectivamente de M y g, h s y t símplices de ΩM , u((a ⊗ g) ⊗ (b ⊗ h)) = ±(a • b) ⊗ (gh). 2. g. Si ∆s → Ωx M son símplices, se define el producto de Pontryagin de g y h a nivel de cadenas como (g · h)] ((0, . . . , s) × (0, . . . , t)) ∈ Cs+t (Ωx M ) donde (0, . . . , s) × (0, . . . , t) es la imagen de × ((0, . . . , s), (0, . . . , t)) en Cs (∆s ) ⊗ Cs (∆s ) → Cs+t (∆s × ∆t ) y g · h : ∆s × ∆t → Ωx M es tal que g · h(v, w) = g(v) · h(w) es la contatenación del lazo g(v) seguido del lazo h(w)..

(25) §2.2. 23. Esto gracias a que si miramos la composición de los morfismos (de fibraciones) a nivel de cadenas que componen a u, la composición de los morfismos inducidos en las cadenas de los espacios bases genera precisamente el producto intersección en H∗ (M ). La segunda afirmación se deduce de que el diagrama C∗ (LM ) ⊗ C∗ (LM ) ev⊗ev. . C∗ (M ) ⊗ C∗ (M ). ×. / C∗ (LM × LM ) . ×. ev×ev. / C∗ (M × M ). induce el producto cruz en la homología de ΩM × : Hs (ΩM ) ⊗ Ht (ΩM ) −→ Hs+t (ΩM ) y de que ω̃] : C∗ (T (M L ×∆ LM )) −→ C∗ (T (LM )∆ ) viene de la función de filtraciones κ. / ΩM. . ω. / LM. . =. /M. ΩM × ΩM M L ×∆ LM M donde κ es la concatenación de caminos.. Teorema 2.2.4. [2] Sea M una variedad cerrada, orientada y simplemente conexa. Entonces existe una sucesión espectral de álgebras {Erp,q , dr }p≤0,q≥0 tal que 1. Er∗,∗ es un álgebra y el diferenciales dr : Er∗,∗ → Er∗−r,∗+r−1 es una derivada para r ≥ 1. 2. La sucesión espectral converge a la homogía de lazos H∗ (LM ) como algebra. Es decir, E∞ es el ágebra asociada a una filtración del álgebra H∗ (LM ). 3. Para q, t ≥ 0, E2−q,t ∼ = H q (M ; Ht (ΩM )) donde el isomorfismo de álgebras y la estructura de álgebra de H q (M ; Ht (ΩM )) está dada por el producto copa en la cohomología de M con coeficientes en el anilo de Pontryagin H∗ (ΩM ). Demostración. Definamos Erq,s (H(LM )) = Erq+d,s (LM ). Entonces por lo dicho anteriormente, Erq,s (H(LM )) converge como álgebra a Hp+d+s (LM ) = Hp+s (LM ), donde u∗ adquiere la forma u. ∗ Erp,s (H(LM )) ⊗ Erq,t (H(LM )) −→ Erp+q,s+t (H(LM )).. Ahora, por la dualidad de Poincaré, se tiene que el segundo nivel está dado por E2q,t (H(LM )) ∼ = Hq+d (M ; Ht (ΩM )) ∼ = H −q (M ; Ht (ΩM )),.

(26) §2.2. 24. y como el isomorfismo de Poincaré nos da una correspondencia entre el la intersección transversal en homología y el producto copa en cohomología, entonces en el E2 -término el mapeo u∗ u. ∗ H −p (M ; Hs (ΩM )) ⊗ H −q (M ; Ht (ΩM )) −→ H −(p+s) (M ; Hs+t (ΩM )). es, salvo el signo, el producto copa en la cohomología de M con coeficientes en el anillo de Pontryagin H∗ (ΩM ), para −d ≤ p, q ≤ 0 y t, s ≥ 0.. 2.2.2.. El producto de lazos en el caso de S n. Calcularemos (H∗ (LS n ), ◦) para n ≥ 2, utilizando los resultados dados en el Teorema 2.2.4 de la subsección anterior. Proposición 2.2.5. Sea n ≥ 2. Entonces H∗ (ΩS n ) es isomorfo como álgebra a Z[x], donde x tiene grado n − 1. La prueba de esta proposición consiste en definir una función continua λ : S n−1 −→ ΩS n donde ΩS n tiene como punto base un elemento e ∈ S n−1 del ecuador de S n y a S n se le está viendo como ΣS n−1 la suspensión de S n−1 , la cual es el cociente (S n−1 ×I)/(S n−1 × ∂I ∪ {e} × I). Esta λ asigna a cada elemento x ∈ S n−1 el lazo λ(x) de S n que consiste del camino (x, t) ∈ x × I en ΣS n−1 . Además probaremos que λ es tal que 1⊗λ. κ. µ : H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 ) −→∗ H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (ΩS n ) −→ H̃∗ (ΩS n ) es un isomorfismo donde la última flecha es el producto de Pontryagin. Este isomorfismo junto con el siguiente Lema, Lema 2.2.6. [5] Sea A un álgebra graduada sobre un campo F con A0 = F y sea V un espacio vectorial graduado con V0 = 0. Suponga que existe una función lineal λ∗ : V → A que preserva el grado, tal que la multiplicación µ : A ⊗ V → Ã, µ(a ⊗ v) = aλ∗ (v) es un isomorfismo. Entonces el morfismo canónico inducido λ : T V → A del álgebra tensorial de V a A, es un isomorfismo de álgebras. donde tomamos A = H∗ (ΩS n ) y V = H̃∗ (S n−1 ) prueba que H∗ (ΩS n ) ∼ = T H̃∗ (S n−1 ). n−1 )⊗i , donde De esto se sigue fácilmente el resultado pues T H̃∗ (S n−1 ) = ⊕∞ i=0 Hn−1 (S n el producto está dado por el producto tensorial y por tanto H∗ (ΩS ) ∼ = Z[x], donde x n−1 corresponde al generador de Hn−1 (S ). Demostración. Basta ver que 1⊗λ. µ : H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 ) −→∗ H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (ΩS n ) −→ H̃∗ (ΩS n ) es un isomorfismo. ev Consideremos la fibración de Serre ΩS n ,→ P S n → S n donde P S n es el espacio de n = (S n−1 ×[1/2, 1])/(S n−1 ×{1}∪{e}×[1/2, 1]) caminos de S n que empiezan en e. Sean S+.

(27) §2.2. 25. n = (S n−1 × [0, 1/2])/(S n−1 × {0} ∪ {e} × [0, 1/2]) los conos reducidos de ΣS n−1 . y S− n = ev −1 (S n ) y P S n = ev −1 (S n ) los caminos que empiezan en e y terminan en Sean P S+ + − − n n S+ y S− respectivamente. Entonces existen abiertos U+ y U− en ΣS n−1 que se contraen n y a S n respectivamente y cuya intersección se contrae a S n ∩ S n = S n−1 . Por la a S+ − + − ev propiedad del levantamiento que tiene el fibrado ΩS n ,→ P S n → S n , se sigue que las n , P S n y P S n ∩P S n inclusiones inducen isomorfismos en los grupos de homología de P S+ − + − −1 −1 −1 −1 en ev (U+ ), ev (U− ) y ev (U+ ) ∩ ev (U− ) respectivamente. Por la sucesión de Mayer-Vietoris se tienen isomorfismos φ. n ∩ P S n ) −→ H̃ (P S n ) ⊕ H̃ (P S n ) H̃∗ (P S+ ∗ ∗ − + − x 7→ (x, −x). debido a que P S n es contractil. n → S n y P S n → S n son homotopicamente Ahora, resulta que los fibrados inducidos P S+ + − − n ' ΩS n × S n como fibrados triviales, es decir, existe una equivalencia homotópica P S+ + n . La homotopía entre P S n y ΩS n × S n se tiene considerando y análogamente para P S− + + n → ΩS n × S n , f (γ) = (γγ + , (x, t)) con (x, t) = γ(1) ∈ ΣS n−1 las funciones f+ : P S+ + + (x,t) + n que empieza en (x, t) y sigue por x × [1/2, 1] hasta el punto y γ(x,t) el camino en S+ n → P S n , g (γ, (x, t)) = γγ̄ + base e, y g+ : ΩS n × S+ + + (x,t) con γ̄ el camino inverso de γ. Claramente f+ g+ y g+ f+ son homotópicas a la identidad pues γy+ γ̄y+ y γ̄y+ γy+ son n. homotópicamente nulas. Análogamente se tienen funciones f− y g− en el caso de P S− n n n Restringiendo la equivalencia homotópica de P S− a P S+ ∩ P S− se tiene entonces una n ∩ P S n ' ΩS n × S n−1 como fibrados. equivalencia homotópica P S+ − n ya que S n son espacios Luego, como ΩS n es un retracto de deformación de ΩS n × S± ± contractiles, entonces el isomorfismo φ queda escrito en la forma ϕ. H̃∗ (ΩS n × S n−1 ) −→ H̃∗ (ΩS n ) ⊕ H̃∗ (ΩS n ) donde la primera componente ϕ1 de ϕ viene inducida por el mapeo ΩS n × S n−1 → ΩS n el cual envía la pareja (γ, (x, 1/2)) en el lazo que se obtiene de su imagen bajo n con la restricción la composición de la restricción de g− a ΩS n × S n−1 ⊂ ΩS n × S− n ∩ P S n → ΩS n × S n−1 seguido por la proyección de ΩS n × S n−1 en su f+ : P S+ − primera componente, es decir, ϕ1 viene inducido por la correspondencia (γ, (x, 1/2)) 7→ − + γγ̄(x,1/2) γ(x,1/2) ' γλ(x). La segunda componente ϕ2 de ϕ viene inducida por el mapeo que envia a (γ, (x, 1/2)) ∈ ΩS n × S n−1 en la proyección en la primera componente de f− g− (γ, (x, 1/2)) ' (γ, (x, 1/2)) ∈ ΩS n × S n−1 . Usando la formula de Küneth, se tiene que H̃∗ (ΩS n × S n−1 ) ∼ = (H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 )) ⊕ H̃∗ (ΩS n ). Por razones de dimensión y del hecho de que ϕ2 solo detecta la parte de H∗ (ΩS n ) de H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 ) y es la identidad en H̃(ΩS n ), se sigue que ker ϕ2 = H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 ). Esto implica junto con el hecho de que ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) sea un isomorfismo, que ϕ1 : H∗ (ΩS n ) ⊗ H̃∗ (S n−1 ) → H̃∗ (ΩS n ) es un isomorfismo. Por la definición de µ se sigue que µ = ϕ1 es un isomorfismo. Empecemos entonces con el calculo de H∗ (LS n ) para n ≥ 2. Por la proposición anterior se tiene que E2−q,t ∼ = H q (S n ; Ht (ΩS n )) ∼ = H q (S n ) ⊗ Hq (ΩS n ).

(28) §2.2. 26. es diferente de nulos sólo en los casos donde q = 0, n y t = k(n − 1), k ∈ Z. Además como los diferenciales dr del Er -término tiene grado (−r, r − 1), entonces para 2 ≤ r < n se tiene que los diferenciales son cero y por tanto E2−q,t ∼ = ··· ∼ = En−q,t ∼ = H q (S n ) ⊗ Ht (ΩS n ). Ahora, para calcular los diferenciales dn haremos uso del resultado de McCleary presentado en [13], el cual establece que si M es una variedad (n − 1)-conexa y 0 < r < 2n − 1, entonces los diferenciales dr de la sucesión espectral de Leray-Serre están dados por dr (u ⊗ b) = (−1)|ν(u)||b| bν(u) − ν(u)b donde ν : Hr (M ) → Hr−1 (ΩM ) es el isomorfismo transgresión. La prueba de este hecho se basa en que el fibrado ΩM ,→ LM → M tiene la propiedad de que el mapeo ev ˜ : (LM )I → ev0∗ (LM ), ω 7→ (ev ◦ ω, ω(0)) es una fibración, donde ev0∗ (LM ) es el pullback / LM . ev0∗ (LM ) ev. . MI. . ev0. /M. Por ser π̃ : (LM )I → ev0∗ (LM ) una fibración, se tiene una sección ε : ev0∗ (LM ) → (LM )I que restringida a ΩM × ΩM induce una acción de los lazos basados de la base ΩM en la fibra de LM → M . Esta acción viene dada por ς = ev1 ◦ ε : ΩM × ΩM → ΩM que en el caso de esta fibración adquiere la forma ς(ω, λ) = ω −1 λω. Ahora, cuando M es (n − 1)-conexo, según resultados de Brown [14] y Shih [15] se tiene que los diferenciales dr son de la forma dr (u ⊗ b) = ς∗ (ν(u) ⊗ b) = (−1)|ν(u)||b| bν(u) − ν(u)b. La prueba completa se encuentra en [13]. En el caso de las esferas S n por ser πn (S n ) ∼ = Hn (S n ), el isomorfismo ν : Hn (S n ) → id Hn−1 (ΩS n ) envía la clase generadora representada por ΣS n−1 = S n → S n en la clase de ν(id) : S n−1 → ΩS n . Esta ν le hace corresponder a un elemento x ∈ S n el lazo (x, t) ⊂ S n × I ⊂ ΣS n−1 . Sin hacer uso de la dualidad de Poincaré se tiene que los diferenciales que no son en principio nulos son los que van de Hn (S n ) × Hk(n−1) (ΩS n ) a H0 (S n ) × H(k+1)(n−1) (ΩS n ) y envían al generador id × xk en (−1)(n−1)k(n−1) xk ν(id) − ν(id)xk = (−1)(n−1)k(n−1) xk x − xxk = (−1)(n−1)k(n−1) xk+1 − xk+1 , lo que implica que ( −2xk+1 si (n − 1)k(n − 1) es impar, k dn (id ⊗ x ) = 0 si (n − 1)k(n − 1) es par. Tenemos entonces, después de aplicar la dualidad de Poincaré y suponiendo sin perdida de generalidad que en el primer caso tenemos 2xk+1 , que la En -página tiene la siguiente.

(29) §2.2. 27. forma, Para n impar. Para n par H∗. (ΩS n ). H∗ (ΩS n ). O. O. .. .. .. .. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z ^<. Z. Z. Z. Z. Z. O. O. O. O. −n. 0. −n. 0. << <<×0 <<. << <<×2 <<. << <<×0 <<. << <<×0 <<. << <<×0 <<. H −∗ (S n ) o. << <<×0 <<. o. << <<×2 <<. o. n−1. << <<×0 <<. 0 H −∗ (S n ) o. o. o. n−1. 0. Recordemos que la convergencia de la sucesión espectral significa que existe una filtración q,t ∼ q F ∗ de H∗ de tal manera que E∞ = F Hq+t /F q−1 Hq+t . En este caso −n ≤ q ≤ 0 y t ≥ 0 q,t q−n,t+n−1 q,t ∼ q,t )/Im (dn : Enq+n,t−n+1 → Enq,t ). y E∞ = En+1 = ker(dn : En → En n n Sean v, s los generadores de H (S ) y a H 0 (S n ) respectivamente y 1Ω ∈ H0 (ΩS n ) el elemento identidad. Entonces para q + t = 0, el único submódulo diferente de cero 0,0 n,−n+1 ∼ n,−n+1 de la página E2 es E20,0 ∼ = 0, entonces = En , y además como E2 = En 0,0 ∼ 0,0 ∼ 0 n n E∞ = E2 = H (S ) ⊗ H0 (ΩS ) es el único cociente diferente de cero de submódulos 0,0 de H0 (LS n ) provenientes de la filtración de H0 S n . Luego, s ⊗ 1Ω ∈ E∞ es un ciclo infinito y por tanto representa una clase en H0 (LS n ) que es precisamente la unidad 1 de H∗ (LS n ). De igual forma, el único cociente diferente de cero de submódulos provenientes de la −n,0 ∼ −n,0 ∼ filtración de H−n (LS n ) es E∞ = E2 = H n (S n ) ⊗ H0 (ΩS n ) y como a = v ⊗ 1Ω ∈ −n,0 E∞ es un ciclo infinito, entonces a es el generador de H−n (LS n ) y a2 = 0 pues de la sucesión espectral, Hr (LS n ) = 0 para r < −n. Sea u = s ⊗ x ∈ En0,n−1 el elemento generador. Si n > 2 es impar entonces la sucesión espectral colapsa. En este caso no hay problemas de extensión porque a lo mas un cociente E2q,t , provenientes de la filtración de Hr (LS n ) con r = q + t, es diferente de.