PROYECTO DE GRADO
“Máquina de ensayos de fatiga por vibración resonante para tubería de perforación
petrolera”
JULIAN CAMILO GALARZA GONZÁLEZ.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
Bogotá, DC. Colombia
Diciembre de 2015
ASESOR PROFESOR
RODRIGO ALBERTO MARÍN CASTILLO, PhD.
Profesor asociado, Ingeniería mecánica
Director del Dpto. Geociencia.
Universidad de los Andes, Colombia
A
AGRADECIMIENTOS
Primero quisiera darle gracias a mis padres Jorge Alberto Galarza Vázquez y Milena Amparo González Sandoval, quienes han estado conmigo a lo largo de toda mi vida, apoyándome en lo personal y en lo académico. Gracias por la paciencia y por la confianza que han tenido en mí. Segundo quisiera agradecerle al profesor Rodrigo Alberto Marín, Sin su confianza, comprensión y paciencia no hubiera sido posible este trabajo. Ante todo resaltar su calidad humana, la cual es una de sus grandes virtudes así como su calidad profesional.
Le agradezco a mi novia Marcela del Mar Rondón por todo el amor y cariño que me ha brindado. Gracias por estar conmigo en los momentos malos y buenos, además de tolerarme todas las locuras que se me ocurren.
Para finalizar, le agradezco a mi hermana Paula Camilo Galarza, quien admiro por muchas razonas y ha sido una de mis fuentes de motivación; perdóname por las discusiones que a veces tenemos.
B
TABLA DE CONTENIDO
1.
INTRODUCCIÓN
______________________________________________________ 1
1.1. Contexto general del problema ____________________________________________ 1
1.2. Planteamiento del problema ______________________________________________ 3
2.
MARCO TEÓRICO
_____________________________________________________ 4
2.1. Deformación unitaria ____________________________________________________ 4
2.2. Esfuerzo _______________________________________________________________ 4
2.3. Fatiga _________________________________________________________________ 4 2.3.1. Prueba de fatiga por flexión rotante ____________________________________________ 6 2.3.2. Prueba de fatiga por vibración resonante ________________________________________ 6
2.4. Tubos de petróleo _______________________________________________________ 8 2.4.1. Pruebas en tubos de petróleo _________________________________________________ 8
2.5. La simulación en ingeniería ________________________________________________ 8
3.
OBJETIVOS ___________________________________________________________ 9
3.1. Objetivos generales ______________________________________________________ 9
3.2. Objetivos específicos _____________________________________________________ 9
4.
METODOLOGIA Y PROCEDIMIENTO
_____________________________________ 9
4.1. Etapas de desarrollo _____________________________________________________ 9
4.2. Cronograma ____________________________________________________________ 9
5.
ANALISIS Y RESULTADOS
_____________________________________________ 10
5.1. Selección del modelo ____________________________________________________ 10
5.2. Modelos matemáticos ___________________________________________________ 12 5.2.1. Desarrollo de la ecuación diferencial que modela el sistema ________________________ 12 5.2.2. Solución de la ecuación diferencial ____________________________________________ 16 5.2.3. Ecuación general del sistema _________________________________________________ 33 5.2.4. Resultados ________________________________________________________________ 33
5.3. Modelo Computacional __________________________________________________ 36 5.3.1. Partes del diseño ___________________________________________________________ 36 5.3.2. Especificación de la simulación _______________________________________________ 37 5.3.3. Resultados ________________________________________________________________ 38
5.4. Modelo experimental ___________________________________________________ 40 5.4.1. Resumen del modelo experimenta ____________________________________________ 40 5.4.2. Desarrollo de la prueba _____________________________________________________ 40 5.4.3. Resultados ________________________________________________________________ 40
C
5.5. Comparación de los modelos _____________________________________________ 41 5.5.1. Análisis de la comparación de los modelos ______________________________________ 44
5.6. Definición de subsistemas ________________________________________________ 45
6.
CONCLUSIONES
_____________________________________________________ 46
7.
BIBLIOGRAFÍA
______________________________________________________ 47
8.
APÉNDICE
__________________________________________________________ 48
D
LISTA DE FIGURAS
Ilustración 1. Construcción de la planta de tenaris en Cartagena (Publicación portafolio-Enero 27,
2014.) ... 1
Ilustración 2. Estudio realizado por Campetrol (Inteligencia petrolera, 2015) ... 2
Ilustración 3. Perforación direccional (El espectador, 2009). ... 3
Ilustración 4. Curva típica de fatiga (Imagen extraída del libro Shigley, 2008) ... 5
Ilustración 5. Máquina de flexión rotante. (extraída del documento Schlumberger, 2012) ... 6
Ilustración 6. Zona de carga de la máquina de flexión rotante ... 6
Ilustración 7. Efectos de la prueba de vibración resonante ... 7
Ilustración 8. Planta de Tenaris ... 8
Ilustración 9. Procedimiento ... 10
Ilustración 10. Partes de la máquina (Van Wittenberghe, 2010) ... 11
Ilustración 11. Viga del cual parte la teoría de onda, (Extraída del libro Hibbeler, 2011) ... 12
Ilustración 12. Viga para determinar la deflexión, (Hibbeler,2011) ... 14
Ilustración 13. Deformación causada por la deflexión (Hibbeler,2011) ... 15
Ilustración 14. Boceto de la onda de vibración ... 19
Ilustración 15. Condiciones de frontera, (Rao,2007) ... 19
Ilustración 16. Convención de signos en los tubos ... 19
Ilustración 17. Diagrama del tubo (Claeys, J. & Van Wittenberghe,2011) ... 20
Ilustración 18. Diagrama del tubo con las fuerzas respectivas y las piezas ... 29
Ilustración 19.Resultado de la deflexión en el modelo matemático ... 35
Ilustración 20. Resultado del momento en el modelo matemático ... 35
Ilustración 21. Resultado del esfuerzo en el modelo matemático... 36
Ilustración 22. Diagrama del CAD desarrollado con base en los planos anexos (Extraída del programa ANSYS workbench, archivo desarrollado) ... 36
Ilustración 23. CAD con las restricciones y cargas (Extraída del programa ANSYS workbench, archivo desarrollado) ... 37
Ilustración 24. Pieza enmallada (Extraída del programa ANSYS workbench, archivo desarrollado) 38 Ilustración 25. Pieza con detalle enmallado triangular (Extraída del programa ANSYS workbench, archivo desarrollado) ... 38
Ilustración 26. Tuvo deformado a 19.7 Hz vista frontal ... 39
Ilustración 27. Tubo deformado a 19.7 Hz ... 39
Ilustración 28. Ampliación de la deformación del tubo 19.7 Hz ... 39
Ilustración 29. Ubicación de las galgas en el modelo experimental (Schlumberger, 2013) ... 40
Ilustración 30. Resultado experimental (Schlumberger, 2013) ... 41
Ilustración 31. Deformación de los distintos modelos ... 42
Ilustración 32. Momentos sobre el tubo de los diferentes modelos ... 43
Ilustración 33. Esfuerzos de los diferentes modelos ... 44
F
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Selección del modelo ... 10
Tabla 2. Frecuencias encontradas ... 34
Tabla 3. Resultados del análisis nodal ... 38
Tabla 4. Resultados de deformación de los distintos modelos ... 41
Tabla 5. Resultados del momento en los distintos modelos ... 42
1
1.
INTRODUCCIÓN
En la actualidad las pruebas de fatiga son constantemente empleadas en la industria para el análisis de cientos de componentes; entre ellos los petroleros, los de construcción, los de vehículos y otros. A causa de esto, se han desarrollado pruebas de fatiga más modernas que disminuyen el tiempo de prueba y los costos de operación. A raíz de esto, surge la máquina de fatiga por vibración resonante. El objetivo de esta tesis es desarrollar un modelo analítico para dicha máquina, el cual sea útil para futuras pruebas en el mismo.
1.1.
Contexto general del problema
Los combustibles fósiles como el petróleo y el gas natural son recursos no renovables. Sin embargo, por mucho tiempo han sido y serán las fuentes de energía más significativas (Claeys, J & , 2011). Los estudios realizados en el 2010 mostraron un crecimiento de más del 300% en los territorios Colombianos dedicados a la exploración y explotación de hidrocarburos dado el mejoramiento sustancial que se ha realizado en la calidad de los combustibles. Tanto así que el país es hoy el segundo productor de alcohol carburante y el primer productor de biodiesel de la región latinoamericana (Espectador-5 Julio, 2009).
La expansión del sector petrolífero ha conllevado al interés de varias empresas extranjeras en el territorio nacional, lo que incluye la llegada de nuevas técnicas de perforación, como la perforación direccional; cuya aplicación representa varios retos de ingeniería en Colombia.
Ilustración 1. Construcción de la planta de tenaris en Cartagena (Publicación portafolio-Enero 27, 2014.)
Hoy han llegado al país empresas extranjeras del sector petrolero como Gerdau y Tenaris del grupo argentino Techint, quienes son expertos en investigación del mismo sector. Igualmente, a nivel
2
interno, se dio la tendencia a las integraciones nacionales-internacionales, en virtud de las cuales comercializadores locales adquirieron empresas productoras que también están interesadas en dichos procesos. Por ejemplo, Ferrasa y Tubo Colmena (Innovación Cartagena, 2012).
Es así como estas inversiones representarán una expansión del sector petrolero nacional. Por ejemplo, se espera que para finales del 2015 Tenaris haga una inversión de 240 millones de dólares en su planta de Cartagena, con lo que se duplicará la producción de tubos de perforación hasta 300.000 toneladas por año (Publicación portafolio-Enero 27, 2014).
En conclusión, de acuerdo con el análisis realizado por José Luis Langer, analista Sectorial de Campetrol1, “dada la actual situación del sector y el grado de participación de Colombia en el mercado mundial de producción del crudo (que alcanza solo 1,3%), tener plantas demandan un gran esfuerzo por potencializar las altas inversiones que estos proyectos requieren para aumentar la industria del país”. En otras palabras, Colombia debe desarrollar infraestructura física, tecnología y condiciones favorables para asegurar una mejor operación de este tipo de proyectos, que al igual que los yacimientos no convencionales (YNC), le permitirán al país aumentar su producción y por lo tanto su PIB (Inteligencia petrolera, 2015).
Ilustración 2. Estudio realizado por Campetrol (Inteligencia petrolera, 2015)
1 Campetrol es una entidad gremial, sin ánimo de lucro creada en 1988 que agrupa las empresas nacionales y extranjeras que ofrecen servicios petroleros.
3
1.2.
Planteamiento del problema
Como se comentó anteriormente (1.1. Contexto general), a pesar de que el sector petrolero está creciendo en Colombia, es necesario aumentar la infraestructura y los servicios disponibles para las compañías extranjeras y nacionales con lo que se aumente la cantidad de empresas que contribuyan al sector.
Como consecuencia de lo anterior una de las tecnologías que ha llegado al país es la perforación direccional. Esta tecnología se usa para incrementar el área común entre el pozo y la formación donde se encuentra el hidrocarburo, de forma que se maximice la producción. Esto, debido a que la distribución típica de los yacimientos es por capas horizontales debido a que se forman por un mecanismo de sedimentación.
Ilustración 3. Perforación direccional (El espectador, 2009).
Como se ve en la ilustración 3, esta tecnología somete al tubo de perforación a deflexiones críticas, de hasta 30° cada 100 pies, esto sumado a la rotación del tubo y a las cargas estáticas (su propio peso, la presión hidrostática y fuerzas axiales) puede producir la fatiga. Es decir, en estas zonas de deflexión el tubo sentirá un esfuerzo alternante que tensionara y comprimirá la sección, lo que se traduce en altas exigencias para los tubos utilizados en la perforación (Wittenberghe, 2010). Dadas estas condiciones, las uniones entre las secciones de tubo de perforación que se encuentran en la zona deflactada serán las primeras en sufrir la falla al ser puntos más débiles. Es así como conocer la vida útil de las uniones que están localizadas en la cadena de tubería que se hallan en la zona de deflexión para la perforación direccional se vuelve una tarea de alta importancia, pues sería catastrófica una falla durante la operación.
Con base en la situación anteriormente planteada, este proyecto busca mejorar la capacidad para para determinar la vida útil del tubo. En general, esta capacidad será útil para los prestadores del servicio de perforación direccional (Arraut L, 2011).
4
2.
MARCO TEÓRICO
2.1.
Deformación unitaria
A fin de describir la deformación de un cuerpo mediante cambios en la longitud de los segmentos de línea entre dos puntos y cambios en los ángulos que existen entre ellos, se desarrolla el concepto de deformación unitaria. La deformación unitaria normal se define como el cambio en la distancia entre dos puntos, así que no habrá necesidad de especificar la longitud real de cualquier segmento de línea en particular (Hibbeler, 2011).
∈ [%] =(𝑙𝑓− 𝑙𝑖) 𝑙𝑖
𝑥 100
2.2.
Esfuerzo
El esfuerzo está definido como una cantidad vectorial que expresa las fuerzas internas que las partículas vecinas de un material continuo ejercen entre sí. También existen los esfuerzos límites que representan propiedades del material y limitan las deformaciones a las que puede estar sometido dicho material. Por ejemplo el esfuerzo de cedencia que limita el esfuerzo por encima del cual el material inicia la deformación plástica.
El esfuerzo en un punto particular material causado por una carga (𝐹 ) se define como:
𝜎 =𝐹 𝐴
El esfuerzo (𝜎) en relación a la propiedad del material (𝐸, Modulo elástico) y la deformación específica (∈) se define como:
𝜎 = 𝐸 ∈
2.3.
Fatiga
La fatiga se define como un modo de falla causado por cargas variables en el tiempo. Típicamente, estas cargas tienen un valor por debajo del esfuerzo de cedencia al que afectan ciertas zonas vulnerables del material causando pequeñas grietas, seguido de una propagación de grieta hasta un tamaño crítico que dará como resultado la falla repentina.
Adicionalmente, en los ensayos destinados a determinar las propiedades de los materiales, en condición de fatiga, la carga se aplica en forma gradual, de forma que haya suficiente tiempo para desarrollar la deformación en su totalidad. Por esta razón en los ensayos de esta clase la carga se aplica de forma similar a a la operación real.
Algo muy importante es que por lo general, cuando un componente mecánico falla estáticamente es el resultado de esfuerzos que superan la resistencia del material, observándose antes una
5
deformación gradual; esto permite remplazar el material antes de que suceda. Por el contrario, la fatiga no da indicios visualmente claros que permitan prever la falla que se aproxima (Shigley, 2008).
Ilustración 4. Curva típica de fatiga (Imagen extraída del libro Shigley, 2008)
La fatiga para alto ciclaje entre los 103 y 106 ciclos es modelada por Mishke dada las siguiente ecuación:
𝑆𝑓= 𝑎𝑁𝑏
𝑎 =(𝑓𝑆𝑢𝑙𝑡) 2
𝑆𝑒
, 𝑏 = −1 3log (
𝑓𝑆𝑢𝑙𝑡 𝑆𝑒
)
a y b se determinan a partir de los factores de Jseph Marin. Una curva característica se presenta en la ilustración 4.
El modelo de Mishke también predice el comportamiento para bajos ciclos entre 0 y 103 ciclos con base en los parámetros de la ecuación de Manson-Confin y el exponente de endurecimiento por deformación.
Se=Limite de resistencia la fatiga Sf=Resistencia a la fatiga
Siendo: 𝑆𝑓 el esfuerzo de fatiga, N el número de ciclos, 𝑆𝑒 el esfuerzo mínimo para entrar en fatiga y 𝑆𝑢𝑙𝑡 el esfuerzo último del material.
6
2.3.1.
Prueba de fatiga por flexión rotante
En la prueba de fatiga por flexión rotante se somete la conexión a una deflexión por medio de la aplicación de una carga estática en el extremo del tubo bajo prueba. Los esfuerzos variables de compresión y tensión en la unión se producen al hacer rotar el tubo alrededor de su eje.
Ilustración 5. Máquina de flexión rotante. (extraída del documento Schlumberger, 2012)
La ilustración 6 muestra la zona de carga con la cual se produce el esfuerzo de flexión requerido.
Ilustración 6. Zona de carga de la máquina de flexión rotante
Estas máquinas tienen la ventaja de que pueden someter el tubo a altos esfuerzo. Al mismo tiempo, tienen la desventaja de que estos esfuerzos fluctuantes varían a bajas frecuencias. Esto se debe a que las fuerzas inerciales a altas frecuencias dificultarían mucho el diseño de la máquina.
2.3.2.
Prueba de fatiga por vibración resonante
Esta prueba se lleva a cabo mediante la vibración resonante del tubo hasta la falla en la zona crítica, en este caso la unión roscada. Como se ve en la ilustración 7, este efecto se logra mediante el ensamble de un motor con una masa excéntrica que gira sobre el mismo eje y se conecta a un extremo del tubo por medio de un rodamiento, el cual solo trasmitirá la vibración y no la rotación. Este motor girará a una frecuencia determinada que llevará al tubo a una condición cercana a la
7
vibración resonante. En la práctica, esta frecuencia del motor se calcula mediante ensayo y error visualizando la vibración necesaria para producir el esfuerzo alternante deseado. Sin embargo, en laboratorios de investigación se usa una herramienta computacional para determinar la frecuencia y minimizar el tiempo de prueba. Al otro extremo del ensamble será necesario conectar una masa de compensación para contrarrestar momentos y cargas no deseadas que desbalancean el mecanismo.
Ilustración 7. Efectos de la prueba de vibración resonante
Los efectos de esta máquina, dados por la vibración, someterán al tubo a los mismos esfuerzos que en la máquina de fatiga por flexión rotante, pero al no tener la necesidad de hacer girar el tubo el equipo podrá ir a velocidades más altas.
La desventaja de estos equipos es que están limitados en la magnitud del esfuerzo variable que pueden generar.
8
2.4.
Tubos de petróleo
2.4.1.
Pruebas en tubos de petróleo
Algunas compañías como Tenaris cuentan con centros de investigación especializados, como el centro de Temsa de México donde se realiza el desarrollo de nuevos productos, evaluación y calificación de roscas premium en productos OCTG, line pipe y risers. Allí se realizan las pruebas de resistencia a la fatiga en plena escala, tecnología de soldadura, integridad estructural de uniones soldadas y roscadas, así como la optimización y mejora de los procesos de fabricación de tubos de acero (Tenaris, 2010).
2.5.
La simulación en ingeniería
La simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo (Villalana, 2011).
La importancia de la simulación en la Ingeniería se debe a:
• A través de un estudio de simulación, sin incurrir en los costos de construcción del sistema físico se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del mismo y observar los efectos de esas alteraciones en su comportamiento.
• Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor entendimiento del mismo y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren su operación y eficiencia.
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• La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor su operación, a detectar las variables más importantes que afectan el funcionamiento del sistema y a entender mejor las interrelaciones entre estas variables.
• La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones. A través de esta experimentación se pueden anticipar mejor posibles resultados no previstos. (Villalana, 2011).
3.
OBJETIVOS
3.1.
Objetivos generales
Analizar las variables operacionales de una máquina de ensayos de fatiga por vibración resonante para tuberías de perforación en pozos de petróleo, de forma que se obtenga un modelo viable para la construcción de este tipo de máquinas y para el diseño de las pruebas realizadas con él.
3.2.
Objetivos específicos
Desarrollar un modelo analítico.
Desarrollar un modelo numérico.
Comparar los dos modelos anteriores.
Validar experimentalmente los modelos.
4.
METODOLOGIA Y PROCEDIMIENTO
4.1.
Etapas de desarrollo
I. Investigación de diseños de máquinas similares existentes y definición de requerimientos de la máquina
II. Desarrollo de un modelo matemático III. Desarrollo de un modelo experimental IV. Desarrollo de un modelo Computacional
V. Comparación de los modelos VI. Definición de subsistemas
VII. Especificación de posibles los componentes de la máquina
4.2.
Cronograma
En el siguiente diagrama se muestra el proceso adecuado que se recomienda para desarrollar este proyecto, el cual es dividido en los pasos de planeación, ejecución, validación y análisis. Luego, para la planeación se sigue la tesis doctoral de Jeroen Van W., quien ha trabajado en Alemania en la construcción de este tipo de máquinas. Entonces, el primer paso es estudiar el diseño de la máquina
10
de fatiga por vibración resonante y determinar el subsistema adecuado para desarrollar este trabajo. El siguiente diagrama muestra el ciclo de trabajo:
5.
ANALISIS Y RESULTADOS
5.1.
Selección del modelo
Se realiza un modelo comparativo entre las máquinas que existen en el mercado. Se encontraron dos máquinas, una usada en la investigación y otra comercial. Por consiguiente, se procedió a desarrollar un modelo comparativo con factores específicos al diseño de la máquina.
Maquina 1. Desplazamiento manual Maquina 2. Desplazamiento automático
Fácil construcción 1 0
Fácil Operación 0 1
Ruido producido en operación
0 1
Peso del equipo 0 1
Investigación 0 1
Comercio 1 1
Estética 0 1
Costo del equipo 1 0
TOTAL 3 6
Tabla 1. Selección del modelo
Análisis del problema
Búsqueda de alternativas
Validación de los Modelos Comparación
Selección de una solución
Comprensión del funcionamiento
Desarrollo de un modelo
analítico del sistema Desarrollo de un
modelo numérico
11
Rodamientos de altas cargas
El cuadro comparativo aquí desarrollado está diseñado con base en los criterios que se consideran importantes para la construcción de la máquina de fatiga por vibración resonante.
Las combinaciones:
1-1 Ambos cumplen con el criterio de manera positiva 0-0 Ninguna cumple con el criterio
1-0 La primera tiene ventaja sobre la segunda 0-1 La segunda tiene ventaja sobre la primera
Con base en estos criterios se selecciona la máquina de desplazamiento automático como se ve en la ilustración 10 y nombrada en la literatura de investigación alemana como los textos de Van W, 2010.
Ilustración 10. Partes de la máquina (Van Wittenberghe, 2010)
De acuerdo al modelo seleccionado se tienen las siguientes especificaciones de operación:
• El sistema de excitación se realiza a la frecuencia natural de los tubos, que debe estar entre 20 Hz y 50 Hz.
• Diámetros en 6 in a 20 in es decir desde 15,24 cm a 50,80 cm.
• Como los tubos son largos estos se llenan de agua para disminuir la frecuencia natural, útil para las pruebas de fatiga.
• Sistema ajustable de posicionamiento de los puntos de apoyo en los nodos de la onda. Parra esto se usa un mecanismo hidráulico.
• El agua dentro del tubo es presurizada y medida con un manómetro para detectar cuando se da la iniciación de grieta.
Resortes
Marco de soporte a distancia X del extremo del tubo
Estructura gruesa
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• Para el desplazamiento digital se usan cámaras de 1.3 Megapixel en una frecuencia de muestreo de 600 Hz. El sistema tiene 30 micrómetros.
Con base en estas características se considera la primera especificación para determinar la operación del sistema seleccionado. Es decir, la determinación del punto de operación óptimo del sistema y el comportamiento en ese punto de operación. Para esto se pretende desarrollar el modelo matemático.
5.2.
Modelos matemáticos
Bajo el diseño de la máquina que se desea construir se desarrolla el modelo analítico para encontrar la frecuencia de operación del sistema.
5.2.1.
Desarrollo de la ecuación diferencial que modela el sistema
La ecuación de onda es consecuencia de las leyes de Newton y de la teoría de vigas Euler-Bernoulli. Así, se propone una viga de la siguiente manera, ver figura (a):
Ilustración 11. Viga del cual parte la teoría de onda, (Extraída del libro Hibbeler, 2011)
Teniendo en cuenta las leyes de Newton se plantea la sumatoria de fuerzas y momentos en una pequeña parte de la viga, de longitud 𝑑𝑥 como se muestra en la anterior ilustración (b).
Dado que la pieza se está moviendo en la dirección y, tendremos: ∑ 𝐹𝑦= 𝑚𝑎𝑦
−(𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = 𝑚𝑎𝑦
𝑚 = ∀𝜌; 𝑎 =𝜕 2𝑢
𝑑𝑡2 Y
Siendo: ∀=Volumen, 𝜌=Densidad y
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(1) −(𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = (𝐴𝑑𝑥)𝜌 𝜕
2𝑢
𝜕𝑡2
Teniendo en cuenta que el tubo tiene rotaciones pequeñas alrededor de z asumiremos que la sumatoria de momentos alrededor del punto P es 0.
∑ 𝑀 = 0
(𝑀 + 𝑑𝑀) − (𝑉 + 𝑑𝑉)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑥
2 − 𝑀 = 0
Si escribimos las derivadas como derivadas parciales tendremos:
𝑑𝑉 =𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥 ; 𝑑𝑀 = 𝜕𝑀
𝜕𝑥 𝑑𝑥
Ahora, remplazando estas definiciones en las ecuaciones de fuerza encontradas anteriormente tendremos:
−(𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = (𝐴𝑑𝑥)𝜌 𝜕 2𝑢
𝜕𝑡2
− (𝑉 +𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥 ) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = (𝐴𝑑𝑥)𝜌 𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
−𝑉 −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = (𝐴𝑑𝑥)𝜌 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2
Se cancela el termino 𝑉 , se divide por 𝑑𝑥 y se toma el límite de 𝑑𝑥 cuando este tiende a 0. −𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜌 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2
Si ahora reemplazamos estas definiciones de derivada parcial en la ecuación de momento encontrada anteriormente, tendremos:
(𝑀 + 𝑑𝑀) − (𝑉 + 𝑑𝑉)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑥
2 − 𝑀 = 0
(𝑀 +𝜕𝑀
𝜕𝑥𝑑𝑥 ) − (𝑉 + 𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 𝑑𝑥
2 − 𝑀 = 0
(𝑀 +𝜕𝑀
𝜕𝑥𝑑𝑥 ) − (𝑉 + 𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 𝑑𝑥
2 − 𝑀 = 0
𝑀 +𝜕𝑀
𝜕𝑥 𝑑𝑥 − 𝑉𝑑𝑥 − 𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 𝑑𝑥
2 − 𝑀 = 0
Se cancela 𝑀 , dividimos por 𝑑𝑥 y tomamos el límite de 𝑑𝑥 en 0, obteniendo:
14 𝜕𝑀
𝜕𝑥 − 𝑉 − 𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥
2 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑥 − 𝑉 = 0
Ahora se deriva parcialmente la ecuación 2 y se une con la ecuación 1 encontrada anteriormente.
Derivada respecto a 𝑥 de la ecuación 2: 𝜕
2𝑀
𝜕𝑥2−
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 0;
Obtenemos la siguiente ecuación:
−𝜕 2𝑀
𝜕𝑥2 + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜌 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2
Luego, para este ejercicio no existe una carga externa sobre la viga pero sí existe una deformación por su propio peso. Sin embargo, podemos despreciar el peso puesto que la deformación ocasionada por su masa es despreciable en comparación con los efectos de vibración. Es decir, que la ecuación encontrada se verá como:
−𝜕 2𝑀
𝜕𝑥2 = 𝐴𝜌 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2
Ahora bien, se procede a usar la teoría de Euler-Bernoulli desarrollada a partir del siguiente modelo:
Ilustración 12. Viga para determinar la deflexión, (Hibbeler,2011)
15 Ilustración 13. Deformación causada por la deflexión (Hibbeler,2011)
Usando la ley de Hooke, 𝜖 =𝜎
𝐸 y la anterior expresión tenemos que:
1. 𝜎𝑓= 𝑀𝑦
𝐼
2. 1 𝜌= −
𝜎 𝐸 𝑦
3. 1 𝜌 = −
𝑀𝑦 𝐼 𝐸 𝑦
4. 1 𝜌=
𝑀 𝐸𝐼
La ecuación de la curva elástica de una viga puede expresarse matemáticamente como 𝑢 = 𝑓(𝑥). Para obtener esta ecuación, primero es necesario representar la curvatura 1𝜌 en términos de 𝑢 y 𝑥, que es representada en los libros de cálculo como:
1 𝜌=
𝑑2𝑢 𝑑𝑥2
(1 + (𝑑𝑢𝑑𝑥) 2
) 3/2
Remplazando 1
𝜌, tendremos:
𝑀 𝐸𝐼=
𝑑2𝑢 𝑑𝑥2
(1 + (𝑑𝑢𝑑𝑥) 2
) 3/2
Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el ángulo entre las secciones se convierte en 𝑑𝜃. El arco 𝑑𝑥 representa una posición de la curvatura elástica que cruza el eje neutro, con una distancia 𝜌 que se mide desde un punto 𝑂´, como podemos ver en la ilustración de la izquierda. Entonces la deformación en el arco 𝑑𝑠′ será 𝜖 =𝑑𝑠´−𝑑𝑠
𝑑𝑠 . Luego, como 𝑑𝑠=𝑑𝑥=𝜌𝑑𝜃, para ángulos pequeños; y 𝑑𝑠´ = (𝜌 − 𝑦)𝑑𝜃, se puede encontrar una expresión de la deformación en términos de las distancias.
1 𝜌= −
𝜖 𝑦
Donde 𝜖 es la deformación
16
Se supone que la pendiente de la curva elástica (deflexión) es pequeña, por lo tanto 𝑑𝑢𝑑𝑥= 0 . Luego, la ecuación anterior quedará expresada como:
𝑀 = 𝐸𝐼𝑑 2𝑢
𝑑𝑥2
Derivamos dos veces respecto a x, obtendremos:
𝜕 2𝑀
𝜕𝑥2 = 𝐸𝐼 𝑑4𝑢 𝑑𝑥4
Finalmente, si se une esta última expresión y la ecuación 3, el resultado será la ecuación de onda para vigas.
Recordando que la ecuación 3 es: −𝜕2𝑀 𝜕𝑥2 = 𝐴𝜌
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2, e igualando el término del momento se tendrá:
𝐸𝐼𝑑 4𝑢
𝑑𝑥4= − 𝐴𝜌 𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
𝐶2 𝑑 4𝑢
𝑑𝑥4+ 𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 = 0; 𝐶 = √ 𝐸𝐼 𝜌𝐴
5.2.2.
Solución de la ecuación diferencial
Esta sección se divide en dos partes, puesto que se quiere comprender, por un lado, la determinación de las frecuencias naturales como un solo paso y por otro, la solución general.
5.2.2.1. Parte 1. Encontrar las frecuencias naturales
Es importante entender que, para esta solución, la deformación debido al esfuerzo cortante se considera insignificante en comparación con la deformación por flexión. Además, la teoría desarrollada es aplicable solo a tubos donde la longitud es mucho mayor el diámetro (al menos 10 veces) (Rao, 2007).
Retomando desde la ecuación de onda: 𝐶2 𝑑4𝑢 𝑑𝑥4+
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 = 0 ,donde 𝐶 es √
𝐸𝐼
𝜌𝐴 , se propone una solución 𝑢(𝑥, 𝑡) como combinación de una parte que depende del tiempo 𝑡 y otra que depende de la distancia 𝑥:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑇(𝑡)
Remplazando los términos tendremos:
𝐶2𝑑 4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 𝑇(𝑡) + 𝜕2𝑇
𝜕𝑡2𝑊(𝑥) = 0
Al proceder a solucionar la ecuación se selecciona el método de separación de variables. Este método consiste en la separación de los términos según su variable de dependencia, sea el tiempo o la distancia.
17 𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 ( 𝐶2
𝑊(𝑥)) = − 𝜕2𝑇 𝜕𝑡2(
1 𝑇(𝑡))
Así bien, dado que el lado izquierdo de esta ecuación sólo depende de x y el lado derecho sólo depende del tiempo 𝑡, su valor común debe ser igual a una constante.
𝑑4𝑊(𝑥) 𝑑𝑥4 (
𝐶2
𝑊(𝑥)) = − 𝜕2𝑇
𝜕𝑡2( 1
𝑇(𝑡)) = 𝑎 = 𝜔 2
Entonces, definimos las dos ecuaciones de la siguiente manera:
I. Ecuación que depende de la distancia 𝑥 denominada ecuación espacial, 𝑊(𝑥) 𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − ( 𝜔2
𝐶2) 𝑊(𝑥) = 0; 𝑠𝑒𝑎 𝛼 4=𝜔2
𝐶2
𝑑4𝑊(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝛽4𝑊(𝑥) = 0
II. Ecuación que depende del tiempo [𝑡] definida como ecuación temporal, 𝑇(𝑡) 𝜕2𝑇
𝜕𝑡2 + 𝜔2𝑇(𝑡) = 0
Inicialmente, dada la facilidad de la ecuación 6, su solución es conocida y será: 𝑇(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑡)
Para el caso de la ecuación 5, al ser más compleja que la ecuación 6, se propone una solución exponencial. Esta es comprobada y modificada para que realmente sea una solución del sistema, entonces dicha solución es:
𝑊(𝑥) = 𝐶𝑒𝑠𝑥
Probando esta solución dentro de la ecuación 5. Tendremos: 𝑑4𝐶𝑒𝑠𝑥
𝑑𝑥4 = 𝛼4𝐶𝑒𝑠𝑥
𝑠4𝐶𝑒𝑠𝑥= 𝛼4𝐶𝑒𝑠𝑥
Por lo que
𝑠4− 𝛼4 = 0
Si solucionamos 𝑠4 tendremos:
𝑠 = √𝛼4 4
(8) (5) (6) (7) (9) (10) (11)
18
𝑠1,2 = ±𝛼 𝑠3,4= ±𝑖𝛼
Volviendo a la solución propuesta y realizando la sustitución, tendremos la siguiente expresión: 𝑊(𝑥) = 𝐶(𝑒𝛼𝑥+ 𝑒−𝛼𝑥+ 𝑒𝛼𝑖𝑥+ 𝑒𝛼𝑖𝑥)
𝑊(𝑥) = 𝐶1𝑒𝛼𝑥+ 𝐶2𝑒−𝛼𝑥+ 𝐶3𝑒𝛼𝑖𝑥+ 𝐶4𝑒𝛼𝑖𝑥
Esta ecuación puede escribirse más convenientemente usando seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico como:
𝑊(𝑥) = 𝐶1(cos 𝛼𝑥) + 𝐶2(sin 𝛼𝑥 ) + 𝐶3(sinh 𝛼𝑥) + 𝐶4(cosh 𝛼𝑥)
Llegando así a la función 𝑊(𝑥), que es conocida como función característica de una viga, donde las constantes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 y 𝛼 son halladas mediante las condiciones de frontera.
Como se había propuesto al plantear la ecuación 𝑊(𝑥) , se relaciona 𝛼 y 𝜔 como: 𝛼4=𝜔𝐶22, remplazando en la definición de C se obtiene:
𝛼2=𝜔 𝐶 = 𝜔√
𝜌𝐴 𝐸𝐼
En donde 𝜔 es denominada la frecuencia natural de vibración y 𝛼 el modo de vibración del sistema. Sin embargo, cuando hablamos de un cuerpo solido continuo, como un tubo, se pasa de tener una frecuencia a infinitos modos, por lo que ambos pasan a llamarse propios y no naturales. Es así como cada una de estas frecuencias propias está relacionada con un modo propio.
Finalmente, la respuesta de vibración total será encontrada por superposición de cada vibración y modo dentro de las soluciones (Ecuación 7 y 13). Es decir:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑊𝑛(𝑥) (𝐴′𝑛cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐵𝑛′sin 𝜔𝑛𝑡) ∞
𝑛=1
Ahora bien, la máquina de ensayos de fatiga por vibración resonante requiere que la prueba sea realizada cerca de la primera frecuencia natural para un sistema continuo como éste, es nuevamente denominada la frecuencia natural. En este sentido, es necesario utilizar el movimiento de onda con la máxima amplitud para que falle lo más pronto posible y la prueba sea más económica.
Transmitida con base en lo anterior, dado que la onda causa la máxima amplitud es necesario que la energía tramitada del tubo a los soportes sea la mínima. Una solución a este problema es la correcta ubicación de los soportes sobre la zona media de la onda, donde no se transmitirán esfuerzos, ya que allí el desplazamiento será nulo como se puede ver en la ilustración 14.
(12)
(13)
(14)
19
Se requiere solucionar la ecuación. Dado que de una configuración especifica dependen las condiciones de frontera necesarias para la solución de las constantes C; que aparecen en la ecuación, como se mencionó anteriormente. En este sentido, tenemos las condiciones de frontera mostradas en la ilustración 15. Se selecciona la 8° dado a que el tubo no está directamente apoyado sino que tiene masas pesadas en sus extremos.
Ilustración 15. Condiciones de frontera, (Rao,2007)
Procediendo a la solución, inicialmente supondremos la siguiente convención de signos para la variable x:
Así se definirá la posición de los extremos respecto a un punto seleccionado “o”. Cada extremo en el tubo se verá como en la siguiente ilustración:
Amplitud de onda
Eje de zona media
o
L/2 -L/2
Punto de apoyo
Ilustración 14. Boceto de la onda de vibración Soporte del
tubo Tubo
deflectado
20
Ilustración 17. Diagrama del tubo (Claeys, J. & Van Wittenberghe,2011)
Las condiciones descritas son las siguientes para cada una de las fronteras, es decir en 𝐿2 y en –𝐿 2 :
𝐸𝐼𝑑𝑑𝑥2𝑢2(𝑥, 𝑡) = −𝐽𝑙 𝑑3𝑢
𝑑𝑥 𝑑𝑡2(𝑥, 𝑡)
𝜕 𝜕𝑥(𝐸𝐼
𝑑2𝑢
𝑑𝑥2(𝑥, 𝑡)) = −𝑚
𝑑2𝑢 𝑑𝑡2(𝑥, 𝑡)
Sin embargo, teniendo en cuenta que las masas en los extremos tienen grosor, se agregan unos términos en las ecuaciones de frontera como la inercia de giro a torsión, quedado así las siguientes expresiones en cada extremo:
∀𝑡: 𝑥 = −𝐿 2
𝐸𝐼𝑑 2𝑢
𝑑𝑥2+ 𝑚𝑙𝑠𝑙 𝑑2𝑢
𝑑𝑡2− (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) 𝑑3𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑡2 = 0
𝐸𝐼𝑑 3𝑢
𝑑𝑥3+ 𝑚𝑙 𝑑2𝑢
𝑑𝑡2− (𝑚𝑙𝑠𝑙) 𝑑3𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑡2 = 0
∀𝑡: 𝑥 =𝐿 2 Condición de frontera dada la sumatoria de fuerzas
21 𝐸𝐼𝑑
2𝑢
𝑑𝑥2+ 𝑚𝑟𝑠𝑟 𝑑2𝑢
𝑑𝑡2 + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2) 𝑑3𝑢
𝑑𝑥 𝑑𝑡2= 𝐹𝑒 𝑙𝑒
−𝐸𝐼𝑑 3𝑢
𝑑𝑥3+ 𝑚𝑟 𝑑2𝑢
𝑑𝑡2 + (𝑚𝑟𝑠𝑟) 𝑑3𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑡2= 𝐹𝑒
Al sustituir las ecuaciones tenemos el siguiente proceso:
𝑊(𝑋) = 𝐶1sin ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶2cos ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶3sin(∝ 𝑥) + 𝐶4cos(∝ 𝑥)
𝑊(𝑥)̇ = 𝐶1∝ cos ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶2 ∝ sin ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶3∝ cos(∝ 𝑥) − 𝐶4∝ sin(∝ 𝑥)
𝑊(𝑥)̈ = 𝐶1∝2sin ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶2∝2cos ℎ(∝ 𝑥) − 𝐶3∝2sin(∝ 𝑥) − 𝐶4∝2cos(∝ 𝑥)
𝑊(𝑥)⃛ = 𝐶1∝3cos ℎ(∝ 𝑥) + 𝐶2∝3 sin ℎ(∝ 𝑥) − 𝐶3∝3cos(∝ 𝑥) + 𝐶4∝3sin(∝ 𝑥)
𝑇(𝑡) =𝐴 sin(𝜔𝑡)+ 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡)
𝑇(𝑡)̇ =𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡)− 𝐵𝜔 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡)
22
A. Basados en la sustitución de la primera condición de frontera y usando las ecuaciones 𝑊(𝑋) y 𝑇(𝑡) tendremos:
𝐸𝐼 [𝑊(𝑥)̈ 𝑇(𝑡)] + 𝑚𝑙𝑠𝑙[𝑊(𝑥) 𝑇(𝑡)̈ ] − (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) [𝑊(𝑥)̇ 𝑇(𝑡)̈ ] = 0
Evaluando en 𝑥 = −𝐿 2; 𝑡 = 0
𝐸𝐼 [𝑊 (−𝐿 2)
̈
𝐵] − 𝑚𝑙𝑠𝑙[𝑊 (− 𝐿 2) 𝐵 𝜔
2] + (𝐽𝑙+ 𝑚
𝑙𝑠𝑙2) [𝑊 (− 𝐿 2)
̇
𝐵 𝜔2] = 0
Primer término
𝐶1(−𝐸𝐼) ∝2sin ℎ (∝
𝐿
2) 𝐵 + 𝐶2𝐸𝐼 ∝
2cos ℎ (∝𝐿
2) 𝐵 + 𝐶3𝐸𝐼 ∝
2sin (∝𝐿
2) 𝐵 + 𝐶4(−𝐸𝐼) ∝
2cos (∝𝐿
2) 𝐵
Segundo término
𝐶1𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵 𝜔2sin ℎ (∝
𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵)𝜔
2cos ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵 𝜔
2sin (∝𝐿
2) + 𝐶4(−𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵) 𝜔
2cos (∝𝐿
2)
Tercer término
𝐶1(𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) ∝ 𝐵 𝜔2 cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2)(−∝)𝐵 𝜔2sin ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶3(𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) ∝ 𝐵 𝜔2cos (∝ 𝐿
2) + 𝐶4(𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2)(∝) 𝐵 𝜔2sin (∝ 𝐿 2)
Agrupando los términos para cada 𝐶𝑛, con el fin de plantear un sistema matricial tendremos los siguientes términos:
(1,1)
𝐶1[(−𝐸𝐼) ∝2sin ℎ (∝ 𝐿
2) 𝐵 + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵 𝜔
2sin ℎ (∝𝐿
2) + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙
2) ∝ 𝐵 𝜔2 cos ℎ (∝𝐿 2)]
(1,2)
𝐶2[𝐸𝐼 ∝2cos ℎ (∝ 𝐿
2) 𝐵 + (−𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵)𝜔
2cos ℎ (∝𝐿
2) + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙
2)(−∝)𝐵 𝜔2sin ℎ (∝𝐿 2)]
(1,3)
𝐶3[ 𝐸𝐼 ∝2sin (∝ 𝐿
2) 𝐵 + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵 𝜔
2sin (∝𝐿
2) + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙
2) ∝ 𝐵 𝜔2cos (∝𝐿 2)]
(1,4)
𝐶4[(−𝐸𝐼) ∝2cos (∝𝐿
2) 𝐵 + (−𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵)𝜔
2cos (∝𝐿
2) + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙
2)(∝) 𝐵𝜔2sin (∝𝐿 2)] Primer término Segundo término Tercer término
23
B. Basados en la sustitución de la segunda condición de frontera tendremos: 𝐸𝐼 [𝑊(𝑥)̈ 𝑇(𝑡)] + 𝑚𝑙[𝑊(𝑥) 𝑇(𝑡)̈ ] − (𝑚𝑙𝑠𝑙) [𝑊(𝑥)̇ 𝑇(𝑡)̈ ] = 0
Evaluando en 𝑥 = −𝐿 2; 𝑡 = 0
𝐸𝐼 [𝑊 (−𝐿 2) ⃛
𝐵] − 𝑚𝑙[𝑊 (− 𝐿 2) 𝐵 𝑤
2] + 𝑚
𝑙𝑠𝑙 [𝑊 (− 𝐿 2)
̇
𝐵 𝜔2] = 0
Primer término
𝐶1𝐸𝐼𝐵 ∝3 cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(−𝐸𝐼𝐵) ∝
3sin ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(−𝐸𝐼𝐵) ∝
3cos (∝𝐿
2) + 𝐶4(−𝐸𝐼𝐵) ∝
3sin (∝𝐿 2)
Segundo término
𝐶1(𝑚𝑙𝐵) sin ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑙𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶3(𝑚𝑙𝐵) sin (∝ 𝐿
2) + 𝐶4(−𝑚𝑙𝐵) cos (∝ 𝐿 2)
Tercer término 𝐶1𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔2∝ cos ℎ (∝
𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑙𝑠𝑙)𝐵𝜔
2∝ sin ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔
2∝ cos (∝𝐿
2) + 𝐶4𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔
2∝ sin (∝𝐿
2)
(2,1)
𝐶1[𝐸𝐼𝐵 ∝3cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (𝑚𝑙𝐵) sin ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔
2∝ cos ℎ (∝𝐿 2)]
(2,2)
𝐶2[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝑠𝑙)𝐵𝜔
2∝ sin ℎ (∝𝐿 2)]
(2,3)
𝐶3[ (−𝐸𝐼𝐵) ∝3cos (∝ 𝐿
2) + (𝑚𝑙𝐵) sin (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔
2∝ cos (∝𝐿 2)]
(2,4)
𝐶4[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔
2∝ sin (∝𝐿 2)] Primer término Segundo término Tercer término
24
C. Basados en la sustitución de la tercera condición de frontera tendremos: 𝐸𝐼 [𝑊(𝑥)̈ 𝑇(𝑡)] + 𝑚𝑙𝑠𝑙[𝑊(𝑥) 𝑇(𝑡)̈ ] + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) [𝑊(𝑥)̇ 𝑇(𝑡)̈ ] = 0
Evaluando en 𝑥 =𝐿 2; 𝑡 = 0
𝐸𝐼 [𝑊 (𝐿 2)
̈
𝐵] − 𝑚𝑙𝑠𝑙[𝑊 ( 𝐿 2) 𝐵 𝑤
2] − (𝐽
𝑙+ 𝑚𝑙𝑠𝑙2) [𝑊 ( 𝐿 2)
̇
𝐵 𝑤2] = 0
Primer término
𝐶1(𝐸𝐼𝐵) ∝2sin ℎ (∝
𝐿
2) + 𝐶2𝐸𝐼𝐵 ∝
2cos ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(−𝐸𝐼𝐵) ∝
2sin (∝𝐿
2) + 𝐶4(−𝐸𝐼𝐵) ∝
2cos (∝𝐿
2)
Segundo término
𝐶1(−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝜔2sin ℎ (∝
𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵)𝜔
2cos ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝜔
2sin (∝𝐿
2) + 𝐶4(−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝜔
2cos (∝𝐿
2)
Tercer término
𝐶1(𝐽𝑙+ 𝑚𝑟𝑠𝑟2)(−∝)𝐵 𝜔2 cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(−∝)𝐵 𝜔2sin ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟 2)(−
∝)𝐵 𝜔2cos (∝𝐿
2) + 𝐶4(𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(∝) 𝐵 𝜔2sin (∝𝐿 2)
(3,1)
𝐶1[(𝐸𝐼𝐵) ∝2sin ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵)𝜔
2sin ℎ (∝𝐿
2) + (𝐽𝑙+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(−∝)𝐵 𝜔2 cos ℎ (∝𝐿 2)]
(3,2)
𝐶2[𝐸𝐼𝐵 ∝2cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵)𝜔
2cos ℎ (∝𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(−∝)𝐵 𝜔2sin ℎ (∝𝐿 2)]
(3,3)
𝐶3[ (−𝐸𝐼𝐵) ∝2sin (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝜔
2sin (∝𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(−∝)𝐵 𝜔2cos (∝𝐿 2)]
(3,4)
𝐶4[(−𝐸𝐼𝐵) ∝2cos (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝜔
2cos (∝𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(∝) 𝐵 𝜔2sin (∝𝐿 2)]
25
D. Basados en la sustitución de la cuarta condición de frontera tendremos: −𝐸𝐼 [𝑊(𝑥)̈ 𝑇(𝑡)] + 𝑚𝑙[𝑊(𝑥) 𝑇(𝑡)̈ ] + (𝑚𝑙𝑠𝑙) [𝑊(𝑥)̇ 𝑇(𝑡)̈ ] = 0
Evaluando en 𝑥 = −𝐿 2; 𝑡 = 0
−𝐸𝐼 [𝑊 (𝐿 2) ⃛
𝐵] + 𝑚𝑙[𝑊 ( 𝐿 2) 𝐵 𝜔
2] + 𝑚
𝑙𝑠𝑙 [𝑊 ( 𝐿 2)
̇
𝐵 𝜔2] = 0
Primer término
𝐶1(−𝐸𝐼𝐵) ∝3cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(−𝐸𝐼𝐵) ∝
3sin ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(𝐸𝐼𝐵) ∝
3 cos (∝𝐿 2)
+ 𝐶4(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin (∝ 𝐿 2)
Segundo término
𝐶1(−𝑚𝑟𝐵) sin ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑟𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + 𝐶3(−𝑚𝑟𝐵) sin (∝ 𝐿
2) + 𝐶4(−𝑚𝑟𝐵) cos (∝ 𝐿 2)
Tercer término 𝐶1(−𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝜔2) ∝ cos ℎ (∝
𝐿
2) + 𝐶2(−𝑚𝑙𝑠𝑙)𝐵𝜔
2∝ sin ℎ (∝𝐿
2) + 𝐶3(−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵𝜔
2) ∝ cos (∝𝐿
2) + 𝐶4𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵𝜔
2∝ sin (∝𝐿
2)
(4,1)
𝐶1[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝐵) sin ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵𝜔
2) ∝ cos ℎ (∝𝐿 2)]
(4,2)
𝐶2[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟)𝐵𝜔
2∝ sin ℎ (∝𝐿 2)]
(4,3)
𝐶3[ (𝐸𝐼𝐵) ∝3cos (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝐵) sin (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵𝜔
2) ∝ cos (∝𝐿 2)]
(4,4)
𝐶4[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝐵) cos (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵𝜔
2∝ sin (∝𝐿 2)]
26 Luego, la matriz del sistema de ecuaciones se plantea como:
[ 1,1 2,1 3,1 4,1 1,2 2,2 3,2 4,2 1,3 2,3 3,3 4,3 1,4 2,4 3,4 4,4 ] [ 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 ] = [ 0 0 0 0 ]
Dada la forma de la expresión, para que la respuesta de las constantes 𝑐𝑛 no sean 0 el determinante debe ser 0 de tal manera que no sea invertible y de esta manera es que encontramos un polinomio para determinar la frecuencia natural, 𝜔.
En este sentido queda un polinomio en 𝜔 y otras constantes geométricas. Es decir que analizando las raíces iguales a 0 del polinomio se obtiene el valor de la frecuencia natural. Algunas es constantes necesarias por conocer son las masas (𝑚𝑙y 𝑚𝑟), las inercias (𝐽𝑙y 𝐽𝑟) y las distancias desde el centro de masa al extremo de los pesos de compensación y de excentricidad (𝑠𝑙y 𝑠𝑟).
5.2.2.2. Parte 2. Encontrar las constantes del sistema y la solución general
Después de hallar la frecuencia natural (𝜔1) procedemos a encontrar las constantes 𝑐𝑛 , en este sentido se inicia con el uso de las condiciones iniciales.
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥)
𝑑𝑢
𝑑𝑡(𝑥, 0) = 𝑢0̇ (𝑥)
Recordemos que la deflexión desarrollada se expresa como:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑊𝑛(𝑥) (𝐴′𝑛cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐵𝑛′sin 𝜔𝑛𝑡) ∞
𝑛=1
𝑊𝑛(𝑥) = 𝐶1(cos 𝛼𝑛𝑥) + 𝐶2(sin 𝛼𝑛𝑥 ) + 𝐶3(sinh 𝛼𝑛𝑥) + 𝐶4(cosh 𝛼𝑛𝑥)
Durante todo el proceso anterior se halló la frecuencia propia empleando las condiciones de frontera. Para proceder a una simplificación de la posible solución del sistema se supone que la masa excéntrica tiene el mismo peso que la masa del otro extremo (𝑚𝑙 = 𝑚𝑟), al igual que las distancias 𝑠𝑙 y 𝑠𝑟 y las inercias 𝐽𝑙 y 𝐽𝑟. Esto permite realizar importantes simplificaciones del modelo. En otras palabras, a partir de esta suposición se logran disminuir las incógnitas 𝑐𝑛 a 2 y por lo tanto se simplifica la matriz a un modelo 2x2.
27
Para lo anterior se procede a sumar las condiciones de momento en cada extremo, es decir la primera ecuación de frontera con la tercera ecuación. Se cancelan los términos (1,1) con el (3,1) y el (1,3) con el término (3,3); llegando así a que:
𝐶1= 𝐶3= 0
(𝐽′)𝐶
2+ (𝑀′)𝐶4= 0
Donde 𝐽′ y 𝑀′ son una agrupación de variables que dependen de la frecuencia. En segundo lugar, si realizamos una resta entre las ecuaciones de fuerza en cada extremo, es decir la segunda ecuación de frontera con la cuarta ecuación, se cancelan el término (2,2) con el (4,2) y el término (2,4) con el (4,4); donde al final se tiene que:
𝐶1= 𝐶3= 0
(𝐽)𝐶2+ (𝑀)𝐶4= 0
Donde 𝐽 y 𝑀 son una agrupación de variables que dependen de la frecuencia. Es decir que la matriz se puede representar como:
[𝐽′𝐽 𝑀′𝑀] [ 𝐶𝐶2 4 ] = [
0 0]
Nuevamente, para que la respuesta de las constantes 𝐶2 𝑦 𝐶4 no sean 0 el determinante debe ser 0 de tal manera que no sea invertible y de esta manera es que se encuentra un polinomio para determinar la frecuencia natural, 𝜔 .
Finalmente, usando las anteriores ecuaciones se pueden volver a sumar para encontrar una relación entre 𝐶2 y 𝐶4, al hacer esto se obtiene:
(𝐽′+ 𝐽)𝐶2+ (𝑀′+ 𝑀)𝐶4= 0
𝐶2= −𝐶4[
(𝑀′+ 𝑀) (𝐽′+ 𝐽) ]
Llegamos al siguiente modelo dentro de la solución
𝑊(𝑥) = 𝐶1(cos 𝛼𝑥) + 𝐶2(sin 𝛼𝑥 ) + 𝐶3(sinh 𝛼𝑥) + 𝐶4(cosh 𝛼𝑥)
𝑊(𝑥) = −𝐶4[
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑥 ) + 𝐶4(cosh 𝛼𝑥)
𝑊(𝑥) = 𝐶4[ − [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑥) ]
28 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶4[ − [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑥) ] (𝐴𝑛 ′ cos 𝜔
𝑖𝑡 + 𝐵𝑛′ sin 𝜔𝑖𝑡) ∞
𝑛=1
Uniendo las constantes en la expresión tendremos Una expresión reducida:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐴𝑛[ − [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑥) ] cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐵𝑛[ − [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑥) ] sin 𝜔𝑛𝑡 ∞
𝑛=1
Siendo: 𝐴𝑛= (𝐶4)𝐴′𝑛y 𝐵𝑛 = (𝐶4)𝐵𝑛′
Sin embargo, al emplear las condiciones iniciales, se tiene que la condición inicial de velocidad es 0 por lo que la expresión queda reducidas a:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛[ −[
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽)] (sin 𝛼𝑥 )+(cosh 𝛼𝑥) ] cos 𝜔𝑛𝑡 ∞
𝑛=1
La agrupación de variables: 𝐶2[(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin ℎ (∝
𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝑠𝑙)𝐵𝑤
2∝ sin ℎ (∝𝐿
2)]+𝐶4[(−𝐸𝐼𝐵) ∝ 3sin (∝𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝑤
2∝ sin (∝𝐿 2)] = 0
𝐶2[𝐸𝐼𝐵 ∝2cos ℎ (∝
𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵)𝑤2cos ℎ (∝
𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟2)(−∝)𝐵 𝑤2sin ℎ (∝
𝐿
2)] + 𝐶4[(−𝐸𝐼𝐵) ∝2cos (∝
𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝑤2cos (∝
𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟2)(∝) 𝐵 𝑤2sin (∝
𝐿 2)] = 0
𝑀′ = [(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin ℎ (∝𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos ℎ (∝ 𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝑠𝑙)𝐵𝑤
2∝ sin ℎ (∝𝐿 2)]
𝐽′= [(−𝐸𝐼𝐵) ∝3sin (∝𝐿
2) + (−𝑚𝑙𝐵) cos (∝ 𝐿
2) + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝐵𝑤
2∝ sin (∝𝐿 2)]
𝑀 = [𝐸𝐼𝐵 ∝2cos ℎ (∝𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵)𝑤
2cos ℎ (∝𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(−∝)𝐵 𝑤2sin ℎ (∝𝐿 2)]
𝐽 = [(−𝐸𝐼𝐵) ∝2cos (∝𝐿
2) + (−𝑚𝑟𝑠𝑟𝐵) 𝑤
2cos (∝𝐿
2) + (𝐽𝑟+ 𝑚𝑟𝑠𝑟
2)(∝) 𝐵 𝑤2sin (∝𝐿 2)]
Por último, para determinar las constantes se usa la ortogonalidad de las funciones trigonométricas teniendo en cuenta solo la parte espacial, es decir en el tiempo 0.
∫ cos 𝛼𝑛0𝑙 𝑥 cos 𝛼𝑚𝑥 𝑑𝑥 = 0 , Con 𝑚 ≠ 𝑛
Con base en esto se multiplica por [ − [(𝑀(𝐽′′+ 𝑀)+ 𝐽)] (sin 𝛽𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛽𝑛𝑥) ] a ambos lados y luego integramos obteniendo el siguiente resultado en la ecuación, para el tiempo 0:
29 ∫ [ − [(𝑀
′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑢(𝑥, 0) 𝑑𝑥 𝑙
0
= 𝐴𝑛∫ [ −[
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin𝛼𝑛𝑥 )+(cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 2
𝑑𝑥 𝑙
0
𝐴𝑛=
∫ [ − [(𝑀 ′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑢(𝑥, 0) 𝑙
0 𝑑𝑥
∫ [ −[(𝑀 ′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin𝛼𝑛𝑥 )+(cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 2
𝑑𝑥 𝑙
0
, ó tambien
𝐴𝑛=2
𝑙 ∫ 𝑢(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 𝑙
0
Con la constante encontrada se tiene la función de deflexión del sistema. Sin embargo, para ello es necesario tener la condición inicial como unas funciones definidas. En otras palabras se debe encontrar 𝑢0(𝑥)
Para ello se define el siguiente modelo que describe la configuración actual del sistema:
Soporte Soporte
Masa de excitación Contra peso
Parte 1 del tubo Parte 2 del tubo
0.2794 m 0.1778 m
1.1938 m 1.4224 m
4,1656 m 2.0828 m Fuerza de inercia 2 Fuerza de inercia 1 Fuerza de inercia 3 Fuerza de excitación
Fuerza normal 1 Fuerza normal 2
30
Las siguientes fuerzas se determinan por medio de las masas reales que se emplean en un modelo experimental.
La fuerza inercial 1 (𝐹𝑚1) es igual a 2165.905 N
La fuerza inercial 2 (𝐹𝑚2) es igual a 3484.8 N
La fuerza inercial 3 (𝐹𝑚3) es igual a 1772.1 N
Siguiendo el procedimiento se busca un modelo para determinar la función inicial, luego se supone que el movimiento es el máximo para el tiempo 0.
Primero, se determinan las fuerzas normales de los soportes de la ilustación 18: ∑ 𝐹𝑦 = 0
−𝐹𝑚1+ 𝐹𝑁1− 𝐹𝑚2+ 𝐹𝑁2− 𝐹𝑚3+ 𝐹𝑒 = 0
−2165.905 + 𝐹𝑁1− 3484.8 + 𝐹𝑁2− 1772.1 = 0
Se realiza la sumatoria de momentos en el soporte 1, representado en la ilustración 18: ∑ 𝑀𝑠 = 0
𝐹𝑚1(0.1651) − 𝐹𝑚2(1.4732) + 𝐹𝑁2(3.0734) − 𝐹𝑚3(3.2258) = 0
2165.905 (0.1651) − 3484.8(1.4732) + 𝐹𝑁2(3.0734) − 1772.1(3.2258) = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos que:
𝐹𝑁1= 4008.7825 𝑁
𝐹𝑁2= 3414.0225 𝑁
Entonces, a partir de estos valores se pueden determinar las funciones 𝑢(𝑥, 0) y 𝑢̇(𝑥, 0). Al tener las funciones ya determinadas se procederá a encontrar las constantes de la ecuación diferencia
31 Función de la carga:
𝑓𝑣(𝑥) =
{
0, 0 ≤ 𝑥 < 0.4445 −2165.905, 0.4445 < 𝑥 < 0.6096
1842.878, 0.6096 < 𝑥 < 2.0828 −1641.922, 2.0828 < 𝑥 < 3.683
1772.1, 3.683 < 𝑥 < 3.8354 0, 3.8354 < 𝑥 ≤ 4.1656
Función de momento:
𝑓𝑚(𝑥) =
{
0, 0 ≤ 𝑥 < 0.4445 −2165.905𝑥 + 962.745, 0.4445 < 𝑥 < 0.6096
1842.878𝑥 − 1481.009, 0.6096 < 𝑥 < 2.0828 −1641.922𝑥 + 5777.132, 2.0828 < 𝑥 < 3.683
1772.1𝑥 − 4169.307, 3.683 < 𝑥 < 3.8354 0, 3.8354 < 𝑥 ≤ 4.1656 Distancia [m]
Momento [Nm]
Distancia [m]
Carg
a V[N
]
-2165.905 N
1842.878 N
-1641.922 N
-357.591 Nm 0.4445m
2357.3369 Nm N
0.1651 m 1.4732 m 1.6002 m 0.1524 m 0.3302 m
1772.101 N
-270.0667 Nm
32
De aquí en adelante se procede a integrar para determinar las otras funciones Función del Angulo:
𝐸𝐼𝜃 = 𝑓𝜃(𝑥) =
{
0, 0 ≤ 𝑥 < 0.4445
−2165.905 (𝑥 2
2) + 962.74 𝑥 − 213.968, 0.4445 < 𝑥 < 0.6096
1842.878 (𝑥 2
2) − 1481.009𝑥 + 530.885, 0.6096 < 𝑥 < 2.0828
−1641.922 (𝑥 2
2) + 5777.132𝑥 − 7027.743, 2.0828 < 𝑥 < 3.683
1772.1 (𝑥 2
2) − 4169.307𝑥 + 6450.260, 3.683 < 𝑥 < 3.8354 0, 3.8354 < 𝑥 ≤ 4.1656
Función de desplazamiento:
𝐸𝐼𝑣 = 𝑓𝑣(𝑥) =
{
𝑢1(𝑥, 0) = 0, 0 ≤ 𝑥 < 0.4445
𝑢2(𝑥, 0) = −2165.905 (
𝑥3
6) + 962.74 ( 𝑥2
2) − 213.968𝑥 + 31.70, 0.4445 < 𝑥 < 0.6096
𝑢3(𝑥, 0) = 1842.878 (
𝑥3
6) − 1481.009 ( 𝑥2
2) + 530.885𝑥 − 119.6531, 0.6096 < 𝑥 < 2.0828
𝑢4(𝑥, 0) = −1641.922 (
𝑥3
6) + 5777.132 ( 𝑥2
2) − 7027.743𝑥 + 5128.0298, 2.0828 < 𝑥 < 3.683
𝑢5(𝑥, 0) = 1772.1 (
𝑥3
6) − 4169.307 ( 𝑥2
2) + 6450.260𝑥 − 5480.3978, 3.683 < 𝑥 < 3.8354 𝑢6(𝑥, 0) = 0, 3.8354 < 𝑥 ≤ 4.1656
Retomando la ecuación para hallar la constante anteriormente mencionada se procede a usar el siguiente modelo:
𝐴1=2
𝑙 ∫ 𝑢(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼1𝑥 ) + (cosh 𝛼1𝑥) ] 𝑑𝑥 𝑙
0
Esta integración se separa por partes dada la función encontrada, luego tendremos
𝐸𝐼𝐴𝑛=
2
𝑙∫ 𝑢1(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 0.4445
0
+2
𝑙∫ 𝑢2(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 0.6096
0.4445
+ ⋯
… +2
𝑙∫ 𝑢3(𝑥, 0) [−[
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 )+(cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 2.0828
0.6096
+2
𝑙∫ 𝑢4(𝑥, 0) [−[
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 )+(cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 … + 3.683
2.0828
… +2
𝑙∫ 𝑢5(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 3.8354
3.683
+2
𝑙∫ 𝑢6(𝑥, 0) [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] 𝑑𝑥 4.1656
33
𝐴1= 0.006597 𝑚 → 6.597 𝑚𝑚
5.2.3.
Ecuación general del sistema
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 6.597 [− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼1𝑥 ) + (cosh 𝛼1𝑥) ] + ∑ 𝐴𝑛[− [
(𝑀′+ 𝑀)
(𝐽′+ 𝐽) ] (sin 𝛼𝑛𝑥 ) + (cosh 𝛼𝑛𝑥) ] ∞
𝑛=2
,
Como solo vamos a analizar a primera frecuencia en la primera aproximación, solo nos interesa la primera parte de la expresión 𝑢1(𝑥, 𝑡), siendo las unidades de esta expresión en mm.
5.2.4.
Resultados
Para solucionar el sistema anterior se emplea el programa Matlab 2015. Luego, como se dividió la solución en dos partes primero se realiza un código que determine las frecuencias naturales y luego a partir de esto se emplea la función u(x) de la condición inicial, hallada anteriormente, para encontrar la solución general.
5.2.4.1. Parte 1. Código de la frecuencia
El código desarrollado maneja una función numérica estandarizada llamada bisección. Este determina cuanto debe valer la variable para que el resultado de una función de 0. De este modo, se tiene y=sen(t), y para qué y sea 0 los resultados serán todos aquellos en que t = (n × π), siendo n cualquier número entero. El método numérico consiste en determinar cambios de signo de la función de modo que acumula cada corte cuando esta cambia de signo, que en otras palabras será el momento donde la función da 0. El siguiente es el código empleado en la solución de las frecuencias, cuando ya se siente el determinante de la matriz como función de w. En este caso esta función se denomina det(Matriz)
Código desarrollado:
Determinante=det(Matriz);
W=[0:0.001:25]; B=zeros(size(W)); z=[];
t=1;
for i=1:length(W)
detTemp=subs(Determinante,w,W(i)); B(i)=detTemp;
if i>=2 && B(i-1)<0 && B(i)>0
z(t)=W(i)-((B(i)*(W(i)-W(i-1)))/(B(i)-B(i-1))); t=t+1;
end
if i>=2 && B(i-1)>0 && B(i)<0
z(t)=W(i)-((B(i)*(W(i)-W(i-1)))/(B(i)-B(i-1))); t=t+1;
end end
34
A partir de esto podemos hallar las frecuencias naturales del sistema
Numero de
frecuencia Valor de la frecuencia
1 29.052
2 44.154
3 58.154
4 70.165
5 82.129
Tabla 2. Frecuencias encontradas
5.2.4.2. Parte 2. Implementación de la solución
Nuevamente se realiza la solución del código de manera que se introduce la ecuación general, reportada en el numeral 5.2.3. Empleando la frecuencia de operación utilizada en una prueba real de 19.7 Hz. En el modelo experimental se explicará porqué se empleó este valor para realizar las pruebas correspondientes. Los siguientes resultados se basan en las propiedades del tubo y las piezas con las que se desarrolla la prueba experimental, los planos y las propiedades se encuentran anexas.
%Costantes de la geonetria
%syms E I As Rho ml sl mr sr jl jr L
E=482.5*(10^9); %Modulo elástico en [Pa]
D1=0.1264; %Diametro externo [m]
D2=0.1062; %Diámetro interno [m]
I=(1/4)*pi()*(((D1/2)^4)-((D2/2)^4)); %Inercia geométrica de un tubo [m^4]
As=(pi*((D1-D2)^2))/4; % Area trasversal [m^2]
Rho=7.8E3; % densidad del acero empleado [Kg/m^3]
ml=196.9; %masa del contrapeso
sl=0.38735; %Distancia del contrapeso al tubo
mr=ml; %masa excentrica
sr=sl; %Distancia de la masa excéntrica al tubo
jl=(pi*((D1-D2)^4))/32; jr=jl;
35 Al graficar la solución se encuentra el siguiente modelo:
Ilustración 19.Resultado de la deflexión en el modelo matemático
36
Ilustración 21. Resultado del esfuerzo en el modelo matemático
5.3.
Modelo Computacional
En esta sección se quiere determinar la deflexión a partir de un modelo de elementos finitos. Además, se busca validar el código para hallar las frecuencias naturales a partir del mismo modelo
computacional.
5.3.1.
Partes del diseño
El diseño que se empleó se basa en los planos anexos en la última parte del documento, incluyendo los contrapesos y el caso de la masa excéntrica como se puede ver en la ilustración 22. Igualmente, todas las piezas fueron elaboradas previamente con base en el modelo experimental desarrollado en la empresa Schlumberger en el año 2012.
Ilustración 22. Diagrama del CAD desarrollado con base en los planos anexos (Extraída del programa ANSYS workbench, archivo desarrollado)
