1
Ingeniería Mecánica - Física I - 2012
Profesor: Dr. Jorge Shitu
Notas auxiliares de Cátedra:
Las ecuaciones de la Cinemática del Movimiento Circular
Importante: Este no es un apunte del cual uno pueda estudiar el tema del título. Para hacer eso, hay que recurrir a cualquiera de los libros sugeridos en la bibliografía de la Asignatura. Simplemente, se trata de algunas notas sobre el tratamiento matemático de este tema, para ahorrarte algo de trabajo al tomar apuntes en clase, y a la vez, evitar errores en la copia de las figuras, fórmulas, ecuaciones, y relaciones matemáticas que se escriben en el pizarrón.
Vector unitario tangente y vector unitario radial
Supongamos que una partícula se mueve en una circunferencia de radio , como la que se observa en la figura 1, y que en un momento determinado pasa por el punto . La posición de dicho punto está caracterizada por el radio y el ángulo .
Si bien uno está acostumbrado a medir ángulos en el sistema sexagesimal, cuando uno describe el movimiento circular de un cuerpo resulta más útil medir los ángulos en la unidad conocida como radianes. Refiriéndonos nuevamente a la figura 1, la medida del ángulo en Radianes viene dada por el cociente entre el arco y el radio :
donde tanto al arco como a se los miden en la misma unidad de longitud. Esto significa que en realidad, cuando uno mide un ángulo en radianes se obtiene un número sin unidades, ya que estamos haciendo un cociente entre dos magnitudes que tienen la misma unidad, las que, al dividir, se simplifican. La razón por la cual se prefiere trabajar en radianes y no en grados sexagesimales no es caprichosa. Está explicada más adelante en este mismo apunte, en una de las notas al pie de la página 3.
Figura 1
2
Movimiento circular uniforme
Aunque la rapidez del movimiento es constante en este caso, el movimiento circular uniforme (MCU) es acelerado, porque la dirección de la velocidad (y por lo tanto, la velocidad en sí misma) cambia permanentemente.
Supongamos que un objeto se mueve realizando este tipo de movimiento, y que pasa por un cierto punto de la circunferencia (Figura 2). La velocidad de este objeto en dicho punto estará dada por un vector tangente a la trayectoria del objeto, con componentes y en ambos ejes cartesianos, de manera que podemos escribir:
Si pensamos un poco en lo que sucede con las dos componentes de la velocidad a lo largo del recorrido del objeto, está claro que ambas irán cambiando su valor a medida que el objeto se mueve. Observando la figura, trataremos de encontrar alguna relación matemática que nos permita saber cómo varían y a medida que el objeto se mueve. Usando relaciones básicas de trigonometría, y mirando la figura 2, nos damos cuenta que:
Para poder encontrar una relación entre y y el ángulo (que es uno de los dos parámetros que indica la posición del objeto en el plano), tenemos en cuenta que la relación entre y es:
con lo que:
O sea que podemos expresar la velocidad de un objeto que pasa por el punto caracterizado por el ángulo y que se mueve con MCU como:
El símbolo es el módulo de la velocidad instantánea del objeto, o sea, su rapidez instantánea. En el caso particular del MCU, este parámetro es constante a lo largo de todo el movimiento. Como en este caso el objeto recorre ángulos iguales en tiempo iguales, o mejor dicho, el ángulo barrido por el objeto en el movimiento es proporcional al tiempo de recorrido, podemos usar cualquier tiempo y el ángulo que corresponde a dicho tiempo para encontrar una relación matemática que me permita definir la rapidez para el MCU. Si llamamos al tiempo en que el objeto da una vuelta entera, en la que recorre un ángulo de radianes, la distancia total recorrida en ese tiempo es igual al perímetro de la circunferencia, por lo que:
Figura 2
3 como la rapidez es constante en el tiempo, tenemos que*
Calculemos ahora la aceleración del objeto. Por definición: Reemplazando (1.1) y (1.2) en esta ecuación, y usando el hecho de que es constante,
Como varía con el tiempo, para resolver las derivadas tenemos que hacerlo como en el caso de la derivada de una función compuesta:
De forma análoga a la definición de velocidad instantánea, la derivada de respecto al tiempo es la velocidad angular instantánea o frecuencia angular ( ), que no es otra cosa que:
En el caso del MCU, donde los objetos recorren ángulos iguales en tiempos iguales, tenemos que:
Al tiempo en el que el objeto barre un ángulo , se lo conoce como periodo, y se lo representa con la letra . De manera que, para un MCU:
Por lo que, para este tipo de movimiento†, se cumple que
* En el caso de un movimiento circular no uniforme, varía con el tiempo. Como veremos más adelante, la definición más general posible de la rapidez es:
donde es la función que me describe como varía el arco recorrido con el tiempo. Si el ángulo se expresa en radianes, es válido que
Es debido a esta relación que me permite relacionar y para cualquier instante del tiempo, que en los movimientos circulares es importante medir los ángulos en radianes y no en grados sexagesimales.
† Cuidado con esto: para otros movimientos circulares que no son el MCU, la velocidad angular no es igual a
, sino
que es igual a
4 Reemplazando por en (3.1) y (3.2), nos queda:
así que, la aceleración de un objeto que se mueve con MCU es:
A esta aceleración se la denomina aceleración centrípeta, ya que está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Para darnos cuenta de ello, tenemos que analizar que representa el vector encerrado entre paréntesis.
Para ello, nos referiremos a la figura 3, donde se ha marcado un punto cualquiera perteneciente a una circunferencia de radio . La posición de ese punto está caracterizada, además, por el ángulo . Sean, además, e las coordenadas del punto . Se han dibujado dos vectores y que son particularmente significativos para describir los movimientos circulares, ya que la mayoría de las magnitudes vectoriales que son importantes en estos movimientos tienen alguna de las dos direcciones de esos vectores. El vector está dirigido desde el punto P hacia el centro de la circunferencia, y es igual a
¿ Cómo se escribiría un vector unitario que tuviera la misma dirección que ? Para ello, hacemos:
en consecuencia, como
el vector es unitario. El mismo viene dado por:
Comparando esta expresión con la ecuación (2), vemos que la dirección de la aceleración que tiene un objeto que se mueve con un MCU está dirigida desde el punto por donde pasa el objeto en su movimiento, hacia el centro de la circunferencia, en dirección radial, independientemente de cuál sea el punto en cuestión
Por este motivo, a esta aceleración se la denomina aceleración centrípeta, que podemos expresar de la siguiente manera:
Figura 3
5
Teniendo en cuenta a esta expresión, vemos que, dado que el vector tiene módulo igual a 1, el módulo de es:
Si hacemos el mismo análisis que hicimos para para el vector , que es perpendicular a , y por lo tanto, tangente a la circunferencia en el punto . De acuerdo a la figura 3, tenemos lo siguiente:
De igual forma que antes, para calcular el vector unitario que tenga la misma dirección que , hacemos:
Como
se cumple que:
O sea, el vector es unitario. Además, es igual a:
Para expresar este vector en función del ángulo , tenemos que relacionar a con dicho ángulo:
con lo cual, tenemos que:
Si comparamos esta expresión matemática con la ecuación (2), vemos que la dirección de la velocidad del objeto coincide con la de este vector, que es tangente a la trayectoria del objeto en cualquier punto de la circunferencia:
Resumiendo, las ecuaciones que definen la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en un MCU de radio y periodo , en función de los vectores y , son:
Podemos expresar la aceleración centrípeta del objeto de otra manera bastante usada, combinando (4) y (9),
6
Recalcamos, una vez más, que para un MCU , y son constantes, por lo que el módulo de
también lo es.
Otro parámetro útil para estudiar el MCU es la frecuencia ( )‡ que es igual al número de vueltas por unidad de tiempo que hace un objeto que realiza un movimiento de este tipo. No es difícil darse cuenta que
Todas las expresiones en las que con lo que aparece pueden reescribirse en función de usando esta última expresión:
La frecuencia puede medirse en (revoluciones por minuto). Si el periodo se mide en segundos, la unidad para la frecuencia es
Como para cualquier otra unidad, el tiene múltiplos y submúltiplos: 1 serán 1000 , 1 , un millón de Hertz, y así sucesivamente.
Suele usarse en el mundo de la mecánica (especialmente para medir la frecuencia de giro de motores, ruedas y mecanismos similares) una unidad de frecuencia conocida como revoluciones por minuto ( ). No es difícil encontrar la relación entre esta unidad y el Hz:
y a la inversa;
Movimiento circular uniformemente acelerado
Un segundo tipo de movimiento circular es el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA). En este caso, el objeto se mueve en un círculo (por lo que seguirá siendo constante a lo largo de todo el movimiento), pero la velocidad angular§ variará de forma constante con el tiempo, esto es, aumenta o disminuye en forma regular con el tiempo. Al parámetro que describe la variación de en el tiempo se lo denomina aceleración angular ( , y se lo define como:
‡ Ojo: no confundir frecuencia ( ) con frecuencia angular ( ) §
7 En el caso del MCUA, es constante en el tiempo:
El hecho de que es variable en el tiempo, cambiará la mayoría de las relaciones matemáticas que son válidas para el MCU. Las tres diferencias más importantes entre el MCUA y el MCU son:
En el MCUA, al contrario que en el MCU, no tiene sentido hablar de un periodo, porque el tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa varía vuelta a vuelta. O sea, no existe y no podemos usar ninguna de las fórmulas en la que aparezca este parámetro
En el MCUA, ni , ni , ni son constantes en el tiempo. Por el contrario, en el MCU todas estas
cantidades son constantes en el tiempo.
EN el MCUA, además de la componente radial o centrípeta, la aceleración tendrá una componente tangencial, que se denomina, justamente, aceleración tangencial. En el MCU, por el contrario, la aceleración está siempre dirigida hacia el centro del movimiento; no tiene componente tangencial.
Partiendo de
y teniendo en cuenta que es constante en el tiempo, no es difícil darse cuenta que
donde es una constante a determinar. Para ello, calculamos la igualdad anterior en . Como
Vemos que la constante que aparece en esta última ecuación tiene que ser la velocidad angular inicial de movimiento, que representaremos con el símbolo :
Importante: la velocidad inicial de movimiento no necesariamente es la velocidad con la que comienza a moverse el objeto, sino la velocidad que tiene el objeto en el momento en que empiezo a estudiar su movimiento. Esto significa que puede ser diferente de cero.
Como
siendo el valor de la rapidez inicial del objeto. Como , y son constantes en el tiempo, varía en forma constante con el tiempo. La rapidez de esta variación viene dada por:
Calculemos ahora la aceleración del objeto. Partimos de:
8
Reemplazando (18.1) y (18.2) en (17), nos queda
Recordando las expresiones (6) y (8), la expresión anterior puede resumirse como:
donde es lo mismo que , pero hemos preferido usar el primer símbolo para poner de manifiesto la
que la dirección de esta componente está alineada en la misma dirección que el vector . Esto significa que
podemos descomponer la aceleración de un objeto que realiza un MCUA en dos componentes: una radial o o centrípeta ( , cuyo módulo es y otra tangencial ( , cuyo módulo es igual a
.
Si bien por lo general las componentes tangencial y centrípeta se simbolizan como y (ó ,
usamos la simbología ( , ) para dejar en claro que estas dos aceleraciones varían punto a punto en un
MCUA. La primera varía solamente en dirección, ya que su módulo es constante en todo el recorrido, pero la segunda varía tanto en módulo como en dirección a lo largo de todo el recorrido.
Para ver más claramente esto, recordemos que , y varían en el tiempo, por lo que:
con y constantes en el tiempo, y
Ahora bien, dado que las componentes centrípeta y tangencial de la aceleración de un objeto que se mueve en un MCUA son siempre perpendiculares entre sí, independientemente del punto en que se las considere, el módulo de la aceleración en este caso será:
Como vemos, en este caso, al contrario de lo que pase en el MCU, el módulo de la aceleración del objeto varía con el tiempo.
La relación que sigue siendo válida en el MCUA (respecto a las ecuaciones del MCU) es
Con la única diferencia de que, como varía en el tiempo, también será variable en el tiempo, o sea que:
Para el MCU, , siendo todas las cantidades constantes en el tiempo.
Para el MCUA, , siendo solamente constante en el tiempo.
Variación de la posición en el MCU y el MCUA
9 Para el MCU, es constante en el tiempo. Como
tenemos que
donde es constante en el tiempo. Calculando esta igualdad ,
Donde es el ángulo que corresponde al instante en el que empezamos a estudiar el movimiento.
En cambio, para el MCUA, . Como
Teniendo en cuenta que y son constantes, tenemos que
donde es constante en el tiempo. Calculando esta igualdad ,
10
Resumen de ecuaciones para el MCU y el MCUA
Magnitud
Símbolo
MCU
MCUA
Ángulo
Periodo Es el periodo del movimiento
(Es constante en el tiempo) No tiene sentido definirlo
Frecuencia Es la frecuencia del movimiento
(Es constante en el tiempo) No tiene sentido definirla
Velocidad o frecuencia
angular
(Es constante en el tiempo)
Aceleración
angular
(Es constante en el tiempo)
Velocidad
Rapidez
(Es constante en el tiempo)
Aceleración radial o centrípeta
(Su módulo es constante en el tiempo)
(Su módulo NO es constante en el tiempo)
Aceleración
tangencial 0
(Su módulo es constante en el tiempo)
Aceleración
(Es radial, hacia el centro del círculo)
(En general, NO es radial, salvo si )
Módulo de
(Es constante en el tiempo)
(Es variable en el tiempo)
Para ambos movimientos, los vectores unitarios tangente y radial varían en el tiempo, y se pueden calcular como:
