Fundamentos de geometría pseudoconforme en
n
dimensiones
José María Planas Corbella
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23
CAP 1 TUL O 11
LAS Vl\.F.Iil:J).AJ)_¿S CAH_l\.cr.r2�U3TICAS DE S 21'> - CAHACTERIZACION
Al�':iLITICA
y PEO}?I2DAD:23 I'ROYECTIVO-DIFEl1:¿NCIAillS DEL �NTOnHO DE
1�
ORDEN¡
l. Llamaremos variedncl c[!,r[�c
te:C'L.::ticD.
D. todEt variedad realde un 3 Q,'/\ que sea
irnagen,en
Larepresentación
considerada en elI
cap
í
bu'l,o p.receoente
,ele
una variedad analitica d.eL,3,,"
complejo.
Por variedad
anali
tica ó.eL;:)y:
E),entendemos
una variedadrepresentable
en o: con ecuaciones deltipo
(1)
donde
x-{,
•• " ,xn• son coordenadas de (j';t
1 ' ••••t¡�
I)2,rÓmetros
complejos;y
las f t- son funcionesanaliticas,ésto
es,desarrollables
en series de
potencias
de las variables(xh,tj)
convergentes
alrededor de cada
punto
de un cierto campo.Estudiaremos soLamerite
problemas
enpegueño
;nos vamos a referir,pues,no
a la vEriedadanalitica
en todo su campo deexis-tancia.,
sino soalmente al entorno do unpunto regular.
Supondre-mos que
)
__
Jf_!__!_I�
-��t�)
=t-
O()
(
X" x.,.,... )x",)
en el entorno
consid.eracIo,as{
que las ecuaciones(1)
sepuedan
I
resolver en la forma
parometrica
(2)
v. = ',:L, ... ,nsiendo las I
'
cp�
funciones unavocas holomorfas de las t¡.
Ademas,
si los
ejes
coordenadosestán
enposición genérica
respecto
delcitado
entorno(lo
cualpuede
conseguirse
con una convenientero-I
_J' ,
para-metros k (le las coorúcnaaaatde modo que las ecuaciones de la
va-rieétao_ tomen la formo,
particular
(3)
-Cia
=<P_;;,
(/C
( J' •,) 7C fe
)
o tamb í.en
Lmp.Lf
cí.t anerrte(4)
con
�
( t.{",·)---fy¡-/-e)
1=0
()
('''-1
)'" ')x.,..,)
,O{+-(
repetiremos,de
ahora enadGlanto,éstas
oboervaciones,su-no
pon
í
cndo que
serán
verifJcadas las anterioreshipótesis
siempre
que
tenCDJflOS
necesidad de 01110.sea,
en unacualquiera
(le lasrepresont
aciones de Vk,'t. ::: W + i 1.)-,
J ¡ J
separando
laparte
re8.l de laimaginaria,obtené)_remos
las ocuaciones(pararnétricas,impl{cita.s
oexplíCitas}
de unaV,¿.k
real deS:¡'1'\t
que hemos llamado
caracter{stica.
2. En
particular,los
Su<
carncteristicos
során
los espnc í.oslineales reales de
S!(71' j_mágenes
de los 3k< de$1"1.
Por todo lo quese ha dicho en el
capitulo
anterior.
tenemos queLos
espacios
linealescaracterísticos
sonaquellos,y
únicamen
te
aquellos,
que seapoyan,del
modo masintimo
posible,en
la congrJencia K del esuacio del infinito de
San.
3. Q,ueremos encontrar ahora las concliciones
ana.Li
ticas a quedeben satisfacer las variedades
caracteristicas.en
los diversosmodos de
representación.
Conviene,para ello,hacer
uso delméto
do de
extensión
a locomplejo
(vease
Inproducción).
Sean dadas
2(n-k)
ecuucí.oneso.na11ticas
en las 2n variablesrea-, I
X{ t •••,x:J..-m
(5)
suponiendo
que eljacobiano
d
(
Cf'.'-'
_�_'_:
__
,!<¿_(r:,_-:!¿
"\
(
,,..1 , .1 ;c
':¿
.,.")() ...
:;;':+( "
sea distinto de cero en una
región
R del;3¡¡iYl(x;,
•••,x�'n).
11esol-viendo Las
(5)
seobtendrán
las variablesx;!c+�
' •••tX�",.,
enfun-o'
dI I _,(,.. t t d t 1 "O o
cion e as z, t •••
,X;¿n.
06 r-a a e encon nar as concicaonea aque deben satisfacer las
�
para que § de las variablescomple-jas
. ,
+1'1:
�(if+7J 'Y= 4,:Z,.
- ., m-k:
vengan a
resultar,de
éste
mod.ocf'unc lone a holomorfas de las',"
-1::
I
+ i ;'I
•
- .1 Z k
�}
-.1)- 1 "._
�/
j - I J'" ISi se
efect6a
eltr�nsito
de lo real a locomplejo,las
ecua-ciones
(5)
se trnnsformnn en las(6)
,/-,
(
-1.- • .,,'X�n)=
oy..:; �I)' '" AIJ?1' �I J•• - J
'o
.1tm-t«)
Supongamos
que las § variables citadas sonX-k+{}
Xk+Q..)···}
'X'k+-:l
El lema
general
es elsiguiente:
Las condiciones
pedidas,necesarias
ysuficientes,consiaten
en la
anulación
de las � matricesjacobianas
I�;
2l T'¡
d
�I'
()
""'
�
r¡;:
_...:--, .... } -) --, .. �)
7Jrx.k.+1
»«;
{)�kH+i
(
paraj=l,
2t••• tk)
•k,'¡-j
En
efecto,
para que las xY'
(
r=lf+-1,
•••,nr)
sean f'uncfone aho-lomorfas de las
Xj (j
l,
•••,k),sabemos
(véase
Introducción
nQ4)
que es necesario y suficiente que se
veri1ique
,--)
r ::: le + ,1, #?+-:5
(7)
u x'Y.. , "'_ ::'0
k
�x·
/
-.4, :¿, . .
,
j
•...
y,por
consiguiente
tsetendrá también
(ya
que lasq;,'
son realespa-ra valores
complejos conjugados
de las x)
(
7I)
r�k+!,··.,k+-J
i:
1, .... ) kEn las ecuaciones
(7)
y(7')
se entiende que lasXy,Xyt
se han obtenido de la
resolución
del sistema(6)
respecto
de las variables x ,v
,
Xl
(1 k+lt
•••,m).
Esta resolucion ess:Lempre poad nLej
con lashipó-tesis hechas sobre las ecuaciones
(5)
oDerivemos las
(6)
respecto
a xj (j
l,
•••,k).
Resultará,en
virtud de las
(7')
()
<jJ;
1
1{
';)Tfc+J
.�,-+ ,..-.--..
--'--+
Í)
.:cj
7;'J:,kH
o'X:-•j 'O
::;C¡c+ji-¡
---_._+ ... + () :C' j JPero la condicion necesaria y suficiente para la
compatibilidad
deiJ
ifJ
.... + --():.En. c;
eP,
'dx.,.,..
-+ a L' jt =- J, �l' ••
, 'n'I- k
i=
1,1l.,.,.)k
estas ecuaciones es que sea
(8)
n
�I
;
4-:L.'···'
��:'
�d;e:"j-:,'
...
,
���
II�
ot :: /,2..) ... , m-
k
para
j 1,
•••,k;como
queríamos
demostrar.Las ecuaciones
(8)
sepuñen
escribirtambi�n
enla�
formal\;�i
;/�:�,_;,.
··,:t
'�!'�='
.. ,;:�
11=0
, I
Las condioiones
pedidas
para las funciones<P.'
se escribiro.nI • 1
- f
volviendo a lo
real;
es declr,haciendo xh = X .2-h-I +
J.x_u.
,X�:::;X
20._1-ix:¿p
IY
sep�rando despues
laparte
real de laimaginaria
4. Sean ahora
(9)
1- ./.:!2,.... 2n2n ecuaciones
analíticas
en las variables reales II
xA , •••,X'-')'l y en
I
los par ame'tr-os reales
u,
t ••• ,UQ,i;
•Q,uerem08
I
saber cuales son las
con-diciones necesarias y suficientes para que las
(9)
representen
una.V:v,<!
característica.
Lo queequivale
adecir:que,
en unaregión
suficientemente
pequefia,2(n-k)
de las x(por
ejemplo
x;If+�t
•••,x�n
)
sepuedan
e�presar como funciones de las restantesx(resolviendo
las(9»
en tal forma que lasI
)
l'Y� 1-( 1- /J . •
., Yl
resulten funciones holomorfas de las
�'=x':¡_/_I
+iXp-J
(j
1,
•••,k).
Poniendo
t.(.
=UJ_;_,+
iu�
,t
=u"ú_,-
iu.Q."
,el
lemaprecedente
nos dice queCondici6n
necesaria y suficiente para que las ecuaciones(9)
representan
una variedadcaracteristica
es que,en el entorno deca-da
punto
genérico,se
verifiquen
las ecuacionessiguiemtes;
(10)
l' ::: /, �J•• 'J
.2n
para
j=l'
•••!I]qsiendo
lascp,'
lastransformadas,como
decostumbre,
I
de las
'P,'
,mediante
el tranai to a locomple
jo.
5.
Supongamos
que las ecuaciones de la variedad vengan dadasen la forma
paramétrica
explicita
(11)
x�.
z:t
;(�4)'
.. J Ú4k)
�
Entonces
sepuede
escribirI
2ó
Efectw.::clo el
tránsito
a lo compl.e jo
jLaa(11)
seconvertirán,pues,
en las
�
(
.�,--:;0_)X..,,,,
1,.
b.)...)
'lc..[l .. , J.-r(j I7_'Ja- �
:).'(-1
'
, ..
(13)
.u
ti
+-�
-.)""
.2.
. )._
)
)1�1)···J(�· =Debemos hacer uso de las condiciones
(lO),habida
cuenta de que,en el
presente
caso,se tieneV
�:U-I
/ ';) (x,r&.�:_:_!
_
�
O
o
-;;:T-
.-;¿ /V =t
-�
i
ü
j::f=(
J
<P2.Y
.'O -,,i o u:
i
4=)rd
(/J""
Jf�r
,
() f2r
L :x:7- J:.r)_ !
L
-L
a: --
---
-!_
-
-')IAzr-t :¿ o u,-,
/) :Cj )...
o J..)
l-
J..{...d-7C
r �tr
.L
2-de modo que dichas ecuaciones toman la forma
(14)
o o O.
i
-L ' 1)
o
o 0
ij
-f;¿'n-',i +lt'2'n-1,2
O O _
-L
j
-f:2:'Il, 1.. +l' t2. (1,2..
-En .La matriz
(14)
podemos
sumar a la columna n-k + 2L la n-k+2:t-r-l
(para
1 l,
•••pk)
y observamos entonces que la que viene a ocuparés-I
te ultimo
lugar puede descomponerse
en Sl�a de doscolumnas,
una delas cuales es
proporcional
a laanterior:suprimiendo
estao o o
1
i O O
(15)
-1 O D.
o )
tzj-f¡{
_O
hj,
:L _f
'
�
.
'LJ, ¿I<t
= D
(;'-::"/J�""Jk)
o 7"k+-f,:L
D j T;(� t. I4.
.__ f f'(+',¡1t.
t¡�+2.,'2-k
(J ., D O
11
O "O O
Veamos la forma que toman
-
--1.,
tZ')1""i.- _f2'Y1-"LIiI.'-L;
H"i1,-1. _f!:n.2,I�11
I
estas
ecuat�ones,desarrollandolas
parava-lores
particulares
de n y k. Observemos�te,siempre
que nos seacómo-do,podemos
substituir susprimeros
miembros por losimagin8xi08
con-jugados,poniendo
-i enlugar
de i.En el caso n 3 , k
puede
tomar los valores 1 y 2.I
lº)n=3,k
l. Se trata¡ de unasuperficie
de S (,,representada
en esteespacio
por la ecuací.ones(16)
If·
t (u, u--)I _.
Poniendo
(r:.
/,.2, J)I
dichas ecuaciones se
pueden
tambien escribircomplejamente
'j :-
r:_
[ lA,v-) >'-1-7
( cc,v-)
y las ecua.iones
(15)
se reducen en este caso a1 o o (H
1,2-o o �z.' ft_'L
o i o t-J 1 t-n
::::0
" t: o fYI rvz
'1
o o 1. fs:,.�.L'-I
tez:
1I
1I
o o .. t6¡de las
cuales,
sumando a las filas pares lasimpares multiplicadas
por
i,s8
deducen las'o o o :E'4.
8'2
Io o tu t�l.
o o o
p,_,
F;_z.
.:;::.0 o e; o 141 tllt'
o o o
1='31
�'L
'
o o t
fr.,
30
dlistema
equi
ve.lente al d_e las dos ecuacionesindependiente
s(18)
7J
t n,I{J
-o
o (u, o)
---;)
C
tt,
¡:;)
-
--o
a (U,V-)
() (_P,_,
¡:;)
-
--o
d (_ lA, v-/
de las cuales es consecuencia la
Las
(18)
son,pues,las
condiciones necesarias y suficientespara que las
(17)
equivalgan
a establecer dos relacionesanaliti-cas entre x,y,z. Dichas ecuaciones se satisfacen evidentemente
(co
mo
puede
preverse apriori)
cuando las F sean funcionesmonogéneas
de la t=u +
iv;la
condición
demonogenelldad
sepuede ecribir,en
efeo-to
(J�_.()t:
--_ L -_
'O tr 'OlA.
3i u y v son dos de las
coordemdas,por ejemplo x1
yx..2"en
tonces las mismas
(18)
son las condiciones demonogeneidad
deFa
YF3
consideradas como funciones de x.2º)
n=3,k=2.
Las ecuaciones(19)
representan
en S 6 una Vu sque sepuede
escribir en el campocomp.Ie jo
(20)
con notaciones
análogas
a las del caso anterior.Las
(15)
se reducen a dos ecuacioneso
o
o
f4�
T (1-/ iI�
oi
-
-r1.4- - - ... r
,14
\
o f1� - - - - h" o
t:H--- t:¿�
f31
-f34
1-f'Z>1
- --f'l'f
I
o O o
\=.o
o
f
41h'l
O L f" ....1"
\
i fn ---- tH O o hl - -
-�ry
f¡,¡ - -- t, '1 o o
fr.J
- -- - {r,c¡
o
o
de las cuales se deducen las
(21)
�.
r
r:
FL
f})::.o
31
necesarias y suficientes para que las
(19)
r'ep.re serrten unaVJ¡
caraoteristica,o
lns(20)
Ullasuperficie
analítica
delespacio complejo
de tres dimensiones.
6. Sean
Xi = r· [LA.,
u-)
I e
" :::. t, 1, J, '-1
las ecuaiones de una
superficie
analítica
real delS�. Escribiendo,
como de costumbre
y
aplicando
también
a este caso los resultados del n!:'4,
seobtiene,
como
condición
necesaria y suficiente para queaquella
superficie
sea
cnracterfstica,la
siguiente
�
(P.,�)
.--- =- o
b
(UI
cr)encontrada por vez
primera
por 3EV�RI por otrocamino(1).
B. SEGREha dado
también
de ella otrademostraci6n
en su citada MemorialfQ.ues-tioni
geometriche
legate
colla teoria delle funzioni di duevaria-bili
complesse".
7. Observemos que las ecuaciones
(10)
del nº4 expresantambién
que son
característicos
losespacios
tangentes
a la variedad(9)
de-finidos por las ecuaciones
j� �k
L
lX
y-x,,)
;<p�.
+"L
(LL
-u
�)
;
�.�
=- o ( l' = 1, 2, ...,
3_??)
rz:I r 1::.1.
Llegamos así
a laimportante
caracterización
proyectiva
de lasva-2 ( �)
,
riedades
caracteristicas(ya
enunciada por B. SEGRE para Th= :Las variedades
características están
caracterizadas por el hecho de ser
característicos
losespacios
tangentes
en SUBpuntos
ge-/
JV
o T A S(1)
S Ev';;'R.T )�
�e
r��t-·;/�-
Úr{)_<��y�,d¿
oC¿.,� rO cA....:J-vCo
'
../.) D/_�.Ojjj-! .� :: '.A.. ,..h .:
:",-,
r'�
<� tJ CZ/1..A- a_
t,
_
.
-_
.
(¡-
-,
f
'V�
.
""
¿o
v�
;(e_A-'-O�.A
'
t. /s:
(/
ti:3 ¡)t
0..l
J.J
e A P 1 TUL o 111
P}1011IEDlill:C;S DIFEHEHCIALES DE !Ií1:GUNDO ORDEN
15
Antepongamos
nlgunas
consideraciones sobre losespacios
oscuIadores a una variedad
anaIftica;dado
que,encontrándose
ya en unantiguo trabajo
de DEP2ZZ0,
songeneralmente
poco conocidas. Laspropiedades
quesiguen
valenigualmente
en el campo real y en elcomplejo.
Consideremos,en primer lugar,una superficie
analítica
pertene
ciente a un
espacio
de1�8,S
de cuatro dimensiones. Se sabe que elplano tangente
a lasuperficie
en uno de suspuntos
genériCOS
es elque contiene las
tangentes
a todas laslineas
regulares pertenecien
tes a la
superficie,
que salen delpunto
considerado.Si,en lugar
delas
t8Ilege.ntes,
se considerDn losplanos
osculadores a todas aquellas
líneas,
se reconoce que dichosplanos
llenan,en
general,una
vatiedad
cónica
ele cuatro dimensionest cuyo eapee io lineal depertenen-cia es un
espacio
de cinco dimensiones. Este es elespacio
que D2LPEZZO llama
vrimer espacio
osculador a lasuperficiea
en elpunto
considerado. BOEPIANI lo llama, tambien
espacio
2-tangente.
El
primer espacio
osculador en unpunto.P
de lasuperficie
Fss
también
elespacio
linealmínimo
que contiene todo el entorno deI
segundo
orden de P. Esdecir,que,si
F vienerepresentado
parametri-camerrte por medio de las ecuaciones
el
espacio
lineal determinado por elpunto
P de coordenadas x ,ypor los cinco
puntos
'1.. ,0'1.
,)
.'
i;"I.�
, "X�
(��)
,1\,
l
��;))
1��
(;:�),
?k1T
JL¡
es,prec
í
eemcrrte,el
lJrimer
espa cí,o osculador.ExisGirán
también
losespacios
osculadores2º,3D,etc.
dedi-mamsiones,respectivmnente,
9,14,etc.
Elespacio
seculador(n-l)-ésimo(o
espacio
n-tangente)
tiene ...L dimensionea,
Las
precedentes
definiciones ypropiedades
se extienden evidentemente
a variedades analíticas elecualquier número
dedimen-siones. Zl
primer
espacio osculador,en
unpunto Pta
unaVn
cuyoespacio
ambiente sea suficientementeamplio
,es elS}1.�
deperte
s
nencia de la variedad
lugar
de todos losglanos
osculadores a laslineas regulares
deVh
que salen de p. �ste es elespacio
linealminimo
que contiene todo el entorno elesegundo
orden de Vn. en P.y
así
sucesivamente.2. 3xaminemos ahora lo que sucede con los
eSl�cios
osculadores de una
Vu
0!
(perteneciente
a un ambiente suficientementeamplio)
imagen
ó.e la Vy.l!"
arialítica,
definida por las ecuacionesI
parametricas
donde nos limitamos a considerar el entorno de un
punto
P en elcual las f'. S011 funciones
univocas
holomorfas de las "'¡j" Escribamos'"
I
Y ademas
,
Las ecuaciones de
�
sepOdran,pues,escribir
Y;e
=CPk
(Uf,···,Vl.zr)
':tI<
:::fk·
{ u'" ..)
lA1.r)
siendo las
�k'�k
funcionesanalíticas
reales de losparamétros
reales U4t •••,u�rJque
satisfacen dos ados,en
el entorno(3)
J
9,"
�
tA-
�
<Pk
�
V1-.
- /""
d
iA��_�
-d
U'lJ
-{JfÚj
--" dUU"j'-L
y,cada
una de ellasseparadamente,al
sisterrn-o '(;(. " o 2' J obtenido del
�'l
CPk
,'\r-J ¿{ ." Ju
- .;.(-1
;;'l
Pie
'¡)u.:2_;_(
()UfL'?
Ji;
q_c.f/k:
QuL..)
?Ju;�J¿
(J'?J
e,rt<
o
uQ__¡
o f4.;__¿cuyas ecuaciones se obtienen derivando las
(3)
Para comodidad de
escritura,si
P es uppunto
deF,cuyas
coor-de
cy
,eYj
se��
elpunt
o de'O
!fk
iJ'-,�
coordenadas -,---,,-
�-t
- " -.•
OlAju.,
'Oi.1.iuu{
El S
>:(,_�
W osculador adenadas son X,
,indicaremos
conPJ'
elpunto
cuyas coordenadas son�
-dX¡
7J¿;>(k
;.;,�
y conPI';
el de coordenadas "'" "\�.
Analogamente
en elespa-u
ti
� ()tj'
ocio
real,
sir:S5'
es elpunto correspondiente
t de coordenadas1;"
/;;�
td
':1;/ ;': ",
i
coordenadas
o
u�:'
�'u7
y�j{
el deF en P
esta
determinado por lospun-tos
2
l?
'..2.,
íJ' �.i}
ict;)
{_::: J,2J,
, , Jy)
}
J) h "
I
de modo que sus ecuaciones
parametricas
seran1.
� r
.
()r
le. \�� i .O
;ek-X¡.,
+6,
f\¡
'i;T
+/
"Al';
-/ j
/e "'O
f¡'
()
t.{;
siendo
J¡'
::V¡'+iVj'
y).,
::::11,tiV'n
par�metros
complejos.
3eparando
laI , ')� ,í)i; J.r,
parte
real
de laimaginaria,se
obtienen las ecuaciones delSh(�T3)
(6)
(
k: 1, :tJ•• "n)
(7)
:t
.:>
'Xt�
+-2:
.:(Ii
d
rf/�
+
)¡,
";)</1<-)
+'>',
("
'i:'lt/lk.
_-f-ll
J'l_�
)'
¡,
OlA.ll_1
7)u (.1
L...J¡
RfAl
...u' ?/A a Je �" . '\
.
Z
J o 'j-I 1.<-(
V"'''j_I(J
UZ't_1nos dicen que s L es el e
spací
o determinado por lospuntos,li-que
nealmente
independientes
(
8)
a C;p.'
q.
(-
d
\fJ
L ,�
lpk_J'··
.''
P.
(:1), J t.
J
- i1 ,
'i-¡-1
\
)
fA :' ,,":\, ,Jl¡- IJ'l.� -(
'.' 'L, , jU¡, ,) )
J -;
Por otra
parte
tlospuntos
que doternünm elespacio
.f2
( osculador
a
er
en!J
son(jJ) y.)).
1�,.,...
(A!::f-A-
A,y=1,'2"
.. , :2'1')Ahoea,de
estospuntos
coinciden con los anteriores� QP).
,q,_j-IJ:U-J)
CP2.jJ2€-:t.
ya que se tiene
en virtud de las relaciones
(5);y
los restantespuntos
q'1.j-{IH,
q,_J,:lA
pertenecen
al mismoespacio
lineal de losprimeros,por
ser suscoordenadas combinaciones lineales de las de
aquellos
,como nos demuestran las
(4).
Porconsiguiente
J2¡coincide
con 12 •Concluimos,pues,con
elsiguiente
teorema:Las variedades
características
gozan de lapropiedad
deque
sus
eSlJacios
osculadores enpuntos
genéricos
tienen unnúmero
dedimlmsiones reducido a.
r(r
+3)
(en
lugar
der(2r+ 3)
como en el caso
general
)
.•
Además,diehos espacios
oscuIadores soncaracteristicos,eomo
imágenes
reales de loseppacios
oscuIadores a las variedades eo.respondientes
deleamvo complejo.
/ /
3. El hecho de la reduecion del numero de las dimensiones de
los
espacios
oseuladores a unaV�T
c�racteristica depende,pues,subs
tanci[umente,de
las ecuaciones(4)
a Que satisfacen las coordJmadas/
para-metros
reales,escogidos
convenientemente.
Engeneral,todas
lasva-riedades de 2r
dimensiones,de
unespacio
sufí
cí errtenente
amplio,
quegozan ele tal
propie,dad,están
caracterizadasanaliticamente
por medio de un sistema de
r�
ecuaciones(linealmente
independientes'
lineales y
homogéneas,en
las derivadasparciales
desegundo
orden. Deestas
ecuaciones sededucirán,por
derivacionessucesivl1s,sistemas
/ / I I
de orden mas
elevado,que
eA�resaran la reduccion del numero de lasd.Lrre nadcne a de los sucesdvos eapac Loa,
Asi,por
ejemplo,el
�egundo,tercero,cuartotetc.
espacios
oscu-lac1_ore;s a una
superficie caracteristica tienen,rospectivamente
,las
dimensiones
6.8,lO,tec.
enllilgar
de9,14,20
etc.4. Las
superficies
de unhiperespacio
(�
5)caracterizadas
porla
propiedad
de que,en cadapunto
genérico,el
primer espacio
osculador se reduoe a un S j¡
,han
sido estudiadas por C. SEGRE(.i).
Lapropiedad
geométrica
que las defineequivale
anal{ticamente,como
hemos
dicho,al
hecho de que las coordenadas delPU1�o,consideradas
oomo funciones de dos
parámetros
reales,satisfacen
a unaecuación
lineal entre las derivadas
parciales
desegundo
orden(9)
que,en nuestro casotes la
clásica
laplaciana
fu
u +f
Ir 'Ir= o
Una interesante
propiedad (
quepuede
verse en la Memoria citada de
C.SEGRE)
de lassuperficies
aqu{
consideradas,es
las1-(10)
t .
I
guien
e:la ecuaClon(ll)
31
(en
el sentido deDUPIN,ésto
es,que lastm1gentes
a laslineas
deuno de los sistemas a lo
largo
de unalinea
cualquiera
del otroforman una
superficie
.desarrollable).
Estaslineas
se llaman�
racteristicas;dado
unpunto
de lasuperficie,los
pares detangen-tes a las secciones
hiperplanas
para las cuales dichopunto
es do�ble,forman
los pares de unainvoluci6n.cuyos
rayos dobles son,preo
í
eamerrte, las
tangentes
a lasce.racter{sticas.
Toüo lo dicho en elcaso en que la ecuacion
(9)
sea deltipo
no'oi1rabólico,que
es elr •
unlCO que nos interesa.
Pam las
superficies
caracterfsticas
observamosque,reducién
dose la ecuacion
(9)
a la(10),es
A=C,B=O,y
aquél
doble sistema conjugado
esta f'orrm.do por lasintegrales
de laecuación
(12)
que,en
éste
casotson laslineas
delongitmd
nul�.
Enefecto,éstas
últimas
se definen mediante laecuación
(13)
pero se
tiene,en
virtud de las condiciones demonogeneidad
defk
,.. __Q _ -.
-d epI<;
)'1.
.Jl/Jk)'1.
¡_ --"'�
()
r/Jk)'1.
. Jrpf(,l
i
-t:
-0
-¿k
L ( �u-
J
+rv�
J
-�
kL(
�
¡J-+
l
()r¡-)
J
-d
qr
=2:
.()
'Pk -o
q>k +-;;I.J)k
�t¡lk.
.
-= o
k
L
u U OiT .UtA- OiT jY la
ecuami6n
(13)
se reduce a la(11).
y deah!
laimportante
con-secuencia
Las
superficies
caracterfsticas
sonsuperficies
deárea
minima�
Esta
propiedad,relativamente
a lassuperficies
caracterfsticas
/ (!l!)
de un
S�
,fue
demostrada laprimera
vez porKOMMERELL,con
losprin-cipios
delcálculo
de lasvariaciones,
Otrademostración
sintética,
muy
elegante,
también
relativa al cason=2,puede
verse en la tantastienden a hacer ver
cómo
el considerar lassuporficies
curacteris-tices en
espacios
más
amplios arroja
nueva luz sobrealgunas
de suspropiedades
intrínsecas.
Se
puede
observarque,si
movemosr1gidamente
unasuperficie
1 / I ,
caracter�sticaten general
no conservara estecaracter,porque
hay
movimientos
rigidos
que no sonpseudoconformes,es
decir,no
corresponden
a transformacionesanaliticas
del campocomplejo.
Lo cualnos dice que las
superficies caracteriHticas
no son todas las deárea
minima. De las consideraciones que hace B. SEGRE en el nºde la memoria citada se
deduce,
sinembargo,que
lassuperficies
deárea
mínima
de unespacio
de cuatro dimensiones son lassuperfi
cies
caracter1sticas
y sus transformadas por movimientosrígidos.
Es de suponer que la misma
propiedad
subsista en unhiperespacio
cualquiera;pero,en
todocaso,las
consideraciones citadas de B. SEGRE no se ext i enden tal co mo
están.
)(0
TA S
..
_----�--(O
Vcl.
�.
SE�RE
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1:::1�������f���::��:��i
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K.
R,
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V1,... � 1"C/V\/�--- - ---�--- --- - ----
)/0
e A P I TUL o IV
LAS VimIEDADES PL.A1WIDES
1 Ll .
d d 1 .
d (\) ud
• am.aremos vara e a p a..lJ.O� e a una variad real de S H' que
sea
lugar
analítico
de infinitas variedadescaracterísticas.
En este
Capitulo
estudiaremos solamente tales variedades conrelación
ala
precedente
definición;mús
adelante veremos laimportancia
quetienen desde el
punto
de vista de las transformacionespseudocon-formes y para el estudio de las funciones de varias variables
com-plejas
sobre variedadesanalíticas.
I
2. Las variedades
planoides
masimportantes
son lashipersu-perficies lugar
analítico
de .)0- variedadescaracteJÍsticas.
Las 110.(2)
mar-emes
hi:eerplanoides:t
denl'bminnci6n
debida a Bli:RTILlUJvIER,
que lasestudió
en el caso n=2:elprimero
que seocupó
de taleshipersuper-I J (3)
ficies de un
SI¡
fuePOINMRE,
como yaéLijimos
en laIntroducción.
Para. obtener las condiciones
analíticas
que carect er-í aan a loshiperplanoides
nosserá
nuevemerrte muyútil
laextensión
a locom-plejo.
Sea(1)
f
( �4'1:f':l"
...•�
.. ; Z,I z�,
..., z;
)
= ola
ecuación
de unahipersuperficie ana.Lf
ti ca(real)
deS.2n..
Para quesea
lugar
geométrico
de unasimple
infinidadanalitica
de�n-¿
caracter1sticas,es
necesario y suficiente que sepueda
encontrar unafamilia de
hipersuperficies
analíticas
ydependientes
analíticamen
te de un
parámetro
real(2)
<jJ,
( "11" ../.;1.
de modo que ,para todo valor de d í.cho
parámetro
en un cierto intervalo
(ex
o t CY.,)
las ecuaciones(1)
y(2)
definan unaV:¿(�_I)
caracteristi
ca.
Observemos,en priIrer
lugar,que
debera sery�
1=
O,(1e
modo quellia ecuacion
(2)
podra escribirse,en
un intervalo conveniente de � ten la forma
(3)
Hagamos
eltransito
de lo real a locomplejo,eseribiendo,como
siem-pre, x;'
y..
+ iz..tX�
y¡-iz,'
,y seanq;
y'1/r
las tranarormaüae elecp
y0/.4
serán
funcionesanaliticas
en las 2n variablesxL',x¿·,consideradas
como Lnúe pendí.errtea, Para que una e cuac
í
on
cp
=0represente
unahiper
superficie
�eal
delS2n(x�,
•••,x��)
es necesario y suficiente quel�
función
cp
sea realsiempre
que sesubstituyan
x,,Xl'
por pares de,
numeros
comple jos conjugados.
En tal caso se tiene que las deriva-das
parciales
�
'X.,)<R-
;�
.. ,e:P,-.
X' etc. sontambién
complejo-conjugadas.
1:.,' "',1:J �I '/
Dicho
esto, tengamos
en cuenta que,tratándose
del entorno de unpunto
ordinario,no serán
nulas todas las derivadasparciales
de�
podemos
suponer, porejemplo,
cR
1=
O(y
entonces setendrá. también
')C'n
�_.¡.
O).
POdemos,pues,rei301ver
laecuación
�
(4)
respecto
a xn y substituir y substituir el valar hallado en lai/r
;entonces la
condición
pedida
sepodrá
enunciarasi:que
de la ecuación
(4)
y la(5)
se
pueda,cualquiera
que sea � en elexpresado intervalo,deducir
lax, como
función
analitica
de lasXf'
••• 'X""_,,Y la x.,., comofunción
también
nnaliti
ca de lesXI'
•••;X'1l_4
• En virtud del lema demostra(6)
(i-=IJ
...J"..,-,)
El si sterna
(6),
lineal�ho-nogene
o y eleprimer
orden en las' derivadas
parciales
deV
,cleberá(
por las condiciones d.eLproblema)
ad-I
mitir una solucion no constante. Par-a lo cua.Lves pr-ec
í
so y basta que
dicho sistema
(formado
por 2n-2 ecu ací.onea en 2n-lyo..riables)
seacompleto
;esdecir,
que todas Laa ecuaciones(7)
X
-t k
-X¿.
LXIc
('IjJ)j
-Xk
LXI.
(1//)j:::
oX.l
-r
=
X
� LX
tJ
Yr)
-X
kLX"Ít
(1JF)
j
-o
"K
X
¡.¡;_
==.x,
¡_XI<
(pJj
-XI<
LXI.
(
-yr)
j
:::_OI
que,como es
sabido,son lineales,homogeneas
y deprimer orden,y
admi-ten todas las
inetgrales
del sistema(6}.deben
ser consecuencia11-�
de las(6).
Debemos,pues,iguala�
a cero todos los determinantes de orden2n-1 formados con los coeficientes de las 2n-2
ecufJ.ciones
(6)
yca-I _ L;
da una de las
(7).
Para norepetir
loscalculos,deslgnaremos
conCAK
los
I
coeficientes de x¿ en
X"k
,XXi::
J ••• y anaLogo
significado
x.' "X .
tendran
C-t'.�
te
.,,'¡:
,etc. Entonces,ul1o cualquiera
de dichos determinan-tes sepuede
escribir(teniendo
en cuenta quet
=O)
Cl:?1 O
\ <Px
I
�10
I
O!J
J
o-t1.k
o
o - O O O - - - O
cp
- - -O
O
OO
'it?1
a
o - - -
q;x�
o
o o oo
cP,x:
""o o -
cb-o -- - - <Xl
---
-o o o
�,x�
- o
-cPX'L
- - --- - -- - - -- .o o o o _
<b¿
...
-
�--
-1):",-.
.l'... 'ir",_/
@lX,
e.
"2.e
!t,.-,é¡:
ep-
a o-cP?z¡
/x.,,,.
:::
4
'X:,.,.-1
O
q;�
o-
cp-.. 'Z'L ')'1
,,-t
cfJr:-'-
'--. x'CPx
'i)t
CP;¿"
1<- - �. _'
r: C!:_'¡;;_k
o D
cp-
cr-.,.
.:::,
�
-x.. x"'_,
-:
Jiz ''Ui:..-,e
X�I
hit (:;It/.t. ...
CJ1k
?ky expre aí.onos
ana.Logae
obtendremos pa.r'aL1�k
yiJ,_,
k.
Tendremos,
por lotantotel sistema
Ll
.. -:- ::: o11.N.
pero,como hemos
supuesto
quetPlX.?,
yCP�Z?l
eran diferentes decero,resul-,
tara
rf..
_
,- o
+s:
.,., F,'
� =
2,
c'Í).f'
/c-'/-"-:::. o
L_¡ �;,k VI.. �;¡:,'
,
Ahora es
fácil
ver que¿.¡!.k
y�.¡:¡;_,
cualesquiera
que sean h y�t
,
J
son identicamente nulas. Se tiene ,en
efectv;o,para
:E
-0-1""y para
siendo nulas las
G¡[¡;_
correspondientes
aápices
distintos dex-t
,x�
y x?1 ;por
consiguiente
Nos
quedan solamente,en definitiva,como
condiciones necesariasy suficientes para la existencia de una funcion
�
quesatisfaga
a2.
las condiciones
impuestas,
las(n-1)
ecuaciones(-r:.,I<::;
I,zl-�-/�-I)
Es interesante ver la forma que toman estas ecuaciones. Se
r
X-�cjJ_Li(.tjJ_
.f.te ---�--=l:.. x/{ X'." X1l'1:."
por t anto
Obtenemos
asi
� ,
(
9)
�
s;
(
�)
=-r/JZ¡.
lt;
rf¿
� ..4,
-1>,
f,«.
Zn)
+4J�
l
�L
f,
:p�
L'h
-rp'['f¡
(/Jx
�X:c)
= O"
Las
¿
,,- son reales para valorescompf.e jo
sconjugados
de las1J;e
b t � I
varia les. Se enoranvpuesven el campo
real,pam
caracterizar a loshiperplanoides$otras
tantas ecuaciones desegundo
orden(10)
(-h,k:;;;._
1,
:2,., .,)n-¡)
u.
\iL1J:'INGBR,
en su citada Memoria lTZur Formalentheorie del'Funktionen von mehr
l::omplexen
Veranderlichen" escribe lasecuacio-nes diferenciales que caracterizan a las
hipersuperficies
de nivel constante de las funciones
biarmónicas:hipersuperficies
que no/
son otras que los
hiperplanoides,como
veremos mas adelante. PeroI
•
las citadas ecuaciones estan escr1tas en el campo real y
represen-I
tando
paramétricamente
la variedad:los calculos resultanbastan-te
complicados
y la forma de las ecuaciones las hacedificiles
Aa, / I
estudiar en la
practica.
Los resultados obtenidos en esteparrafo
nos hacen ver las
ventajas
delmétodo
deextensión
a locomplejo.
y la forma
bajo
la cual hemos obtenido dichas ecuaciones nos permitirá
deduciralgunas
propiedades interasantes(v.
cap. V yVI).
I
OBSERVACION.
El numero de las ecuaciones deducidas por 7fIRTIUGERambos sistemas
puedan
serequivalentes.
Pero sepuede
observar que..
I
las ecuaciones ele iJIRTnWER no son todas
algebricamente
independien-tes. En
efecto.dichas
ecuaciones sededucen,en
la memoriacitada,co-mo condiciones necesarias y suficien!ies pam que una cierta forma di
ferencial admita un
multiplicador.
Ahorabien,
supongamos que dichaforma sea
"
<,----2-,
r.
J-,¡.::1.
las condiciones para que admita U� factor
integrante
son,como sesa-be,las
siguientes:
(a
)
donde se ha eupue
süoj
para abrevtar la escriturapud
í.endo variar losÍndices i,j,k
desde 1 hastan,sienclo,por ejemplo,
i <:
j
< k.Entre los
primeros
miembros de las(a)
se verifican lasidenti-dades
(b)
Y,
B/,ú.
==Bijk'
.P.;._'
-.E.i/P
,Efe
+ ..f\
...e
.
Pj
que nos demuestran que
parte
aquellas
ecuaciones son consecuencia, (.t¡)
algébrica
ele lasotras,
como hablamos dicho.3. Para n 2 se tiene el
único
casoh=k=ltY
el sistema(9)
seI • • I
reduce a la um ca ecuacaon
encontrada por Z.Z. LEVI en sus
trabajos
sobre elconjunto
de los\5) I
puntos singulares
d.e las funcionesaI1.!tliticas
de dos variables. Aunen
éste
caso resultaalguna comp.Lf
cacLonveí, se hacen loscálculos
en el crunpo real.
,
'::IHTIlJGER fue el
primero
queten la memoríacilttada,hizo
ver latidentidad
formal deL'.((/J)ccn
_i_J..,(<P).
iGLos
primeros
miembros de las ecuaciones(10)
resultan,para h=k,
expresiones
análogas
a la deLEVI.
4. El mismo
método
nosservirá
para el estudio de lasvarieda-I
des
planoides
de un numerocualquiera(impar)
de dimensiones.Sea una
V�('I'l-y)+i
; sus ecuaciones(13)
(14)
Ln j.�'.")
x",)::::
o !
-,
se
convierten,
con el transito a locomplejo,en
lasQ,ue
dicho, var-í.ed ad contiene unasimple
infinidadonolitica
deV.I.('n_7")
caracte;rlsticas,quiere
decir queexis:tirá
unafunción
'tfr
en lasmis-•
mas
variables�real
para valorescomplejos conjugados
deellas,
y talque el sistema formado
poÍl'
la(14)
y la.¡fr
=a,
represente
unaV:l(?1_r)
aaracteristica para todos los valores de ex. en un cierto intervalo.
Como se
sabe,es
necesario y suficienteque,supuesto
(15)
sean nulas las matrices
jacobianas
!
i
d�..
.7J
q;,.
. .'
d
�L
1'1·
-1 :1i)
ii
d
(A
J
_!1-�-
J .•• , "()q;,
ji
11
�x�'
J
{)�'7I�r+-.4
J.
l
""".
(1-)... ,
r-il
.O_X(
.'O
X;�_'Y<--4..
.�.x�.
ti
l./F"K;.
l¡J;
,... JVx,>"
11
IlJfx.
)Vx
r:
.. J
Vz-I �n'�+� I ,-r+ �
rJ=I,2,._.,n-r)
dos grupos. Las que expresan la
anulación
de las matrices obtenidassuprimiendo
en lasprecedentes
las 1hltimas filasl
?
__�i._
;_
--e)
_
\ft,�_
)' _ _I
d eP
"1'1_
';
/J • - ., r
- 1.l
l'
�-
�.
; �tí?L
__" . . , .:�
�-f-1/:::::
O1\
'o,..j o l"'--¡.¡.l U.t.'ll
-ULj
-o'I."-YH o}."(j;::
1, el:, ... ,,�r'l-r)
son ecuaciones
intrinsecas (que
contienenúnicamente
las éteri vadas(1&)
de
eP,,)
y nos dan ya un sistema de conóí cí one snecesarias,de primer
orden. Para los
hiperplanoides
no hemos encontrado tales ecuacionesde
primer
orden.
hecho cuyainterpretación
geomE}trica
severá
en elcap:Í:Gulo
V.Las restantes condiciones en
4f
sepueden
escribir(16')
X�"f1)=
J()
(epA
. rfl'" )9Jr-( ,
� ( .
�·r+4)·
'1;."
" ,V)
-._= o
) ;.,(_.�.'-?,? )
1'1 :::: (J, :/., , r
-1
I - ...{ 2,
, 71-í
-J
--en
):(dJ,
x·
-�\."
J
()
t :j
(h -»
/ir)
, ...
) ,'7--1'
T7+n_''_"t'_. = O
X'>J-r+/ ) ...}
X.,.,)
Debemos substituir
éste
sistema por otroequivalente,cuyas
ecuaciones sean
algébricamente
independientes
entre ellas y con las(16);por
ejemplo
X
�O)
=="O (9"
1?,.
, .I
<p2_}_
VI)
::. �
I ') f·", X
Xrri)
o \..f.1) -'n-".. .. I )' . • J
(17)
I == .4, �,... , n- r
suponiendo
que sea'd
rP,'
1I
?;
Xj(18)
';) tp,'
;. -r-r--r-ÓrÓ:
OX?1-Y'rl
i = 1, �,... ) r
Podemos suponer que
4r
depende
solamente de2(n-r)+1
variables(por
ej,
x1,
•••,X')')_r;xP
•••'X",_r,x",,),lo
cual. se obtieneresolvien-,
do las ecuaciones
(14)
con relacion a las variablesrestantes,y
subs-tituyendo
los valores hhllados en�
• Para queésto
seaposible
es),1
(19)
Pero J. es uno de los menores
máximos
del.j
acob í.anoJ,
que hemes sup
puesto
diferente decero;la
condición
(19)
sepuue,por
lotanto,su-poner
siempre
verific�a.
Hecho
esto,lns primeras
ecuaciones(17)
toman la forma/
z 1," ""' ")1- rPero,en
virtud de las(18)
debe serqueda,
pues, solamente(20)
Xi
-=,
Las
segundas
ecuaciones(17)
se escribiran, I
o
tambien,
con una notacion designificado
evidente(20'
)
I
Ahora
bien,las
condiciones para la existencia de una fUncionque
verifique
las(20)
y(20')
son las que expresan que escompleto
,
el sistema formado por estas ecuaciones:es
decir,las
que expresanque todas las ecuaciones
x--
= o""hK
(cuyos
primeros
miembrosestán
formados con las mismasoperaciones
que en el caso