TEMAS 5

TEMAS 5: GEOMETRÍA DEL ESPACIO

A lo largo de todo este tema estaremos situados en el espacio (ℜ3_{), es decir,} los elementos (puntos y vectores) tendrán tres coordenadas. De esta forma los puntos y los vectores serán de la forma (x, y, z).

Concepto de vector

Un vector fijo AB→ es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en B.

Los elementos que caracterizan a un vector son:

Dirección: es la recta sobre la que está apoyada el vector. Sentido: es el que viene indicado por la flecha.

Módulo: es la longitud del vector. Equipolencia de vectores

Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres

A un representante de todos los vectores equipolentes a uno dado, se le llama vector libre. Se designan por AB o simplemente con una letra minúscula, por → ejemplo ur.

A

B

X

Y

Z

Producto de un vector por un escalar

Suma de vectores

NOTA: ar −br =ar +

( )

−br . Combinación lineal de vectores

Dados varios vectores xr,yr,zr,...,wr y varios números reales a, b, c, …, t, la expresión axr+byr+czr+...+twr se llama combinación lineal de los vectores.

Ejemplo 1:

X

Y

Z

zr

xr yr v

r

z

y

2

x

3

v

r

=

r

+

r

+

r

v

r

3

v

r

−

v

r

a

r

b

r

2 formas

a

r

b

r

a

r

+

b

r

b

r

a

r

Dependencia e independencia lineal de vectores

Varios vectores se llaman linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dirán que son linealmente independientes.

Base

Tres vectores linealmente independientes en ℜ3 _{forman base.}

Si los vectores básicos son perpendiculares entre sí, se dice que la base es ortogonal. Si además los vectores tienen módulo 1, se dice que la base es ortonormal.

Cuando hemos encontrado una base, cualquier vector de ℜ3 _{se puede poner} como combinación lineal de los vectores básicos, es decir, si B=

{

er₁,er₂,er₃

}

es una base de ℜ3 _y

_v

r

_∈

_ℜ

3_{, entonces:}

3 3 2 2 1

1 e v e v e

v

vr= ⋅r + ⋅ r + ⋅r .

La terna

(

v₁,v₂,v₃

)

se denomina coordenadas cartesianas de

v

r

respecto de la base B.

A partir de ahora tomaremos la base B =

{ }

ir,jr,kr , que es la base canónica de

ℜ3_{, y todas las coordenadas de los vectores estarán expresadas en esta base.} Ejemplo 2:

X

Y

Z

kr ir

jr vr

(

2

,

3

,

2

)

k

2

j

3

i

2

OBSERVACIÓN:

En ℜ3_,

(

) (

)

(

)

3 2 1 3

2 1 3 2

1,u ,u ,v v ,v ,v yww ,w ,w u

ur r r son linealmente independientes si

0 w , v ,

ur r r = , es decir:

0 w v u

w v u

w v u

3 3 3

2 2 2

1 1 1

= .

Ejemplo 3: Verificar si xr

(

,1−2,0

) (

,yr0,− ,13

)

yzr

(

,10,−5

)

forman base.

Como en ℜ3 _{tres vectores linealmente independientes forman base, entonces si} z

, y ,

xr r r, formarán base si son linealmente independientes.

{

_x,y,z

}

_esbasede 3 B

.i .l son z , y , x 0 1 5 3 0

0 1 2

1 0 1

ℜ =

⇒ ⇒

≠ − = − −

− r r r r r r

Operaciones con vectores cartesianamente

Sean ur =

(

u₁,u₂,u₃

)

yvr =

(

v₁,v₂,v₃

)

dos vectores de ℜ3_{, entonces:}

™ ur+vr =

(

u₁,u₂,u₃

) (

+ v₁,v₂,v₃

) (

= u₁ +v₁,u₂ +v₂,u₃ +v₃

)

.

™ λ⋅ur =λ⋅

(

u₁,u₂,u₃

) (

= λ⋅u₁,λ⋅u₂,λ⋅u₃

)

. Determinación de un punto en el espacio

NOTA: No debemos confundir punto con vector, aunque un punto y un vector tengan las mismas coordenadas. En el gráfico anterior el punto P y el vector

v

r

tienen las mismas coordenadas.

X

Y

Z

P(p

1

,p

2

,p

3

)

p

1

p

2

p

3

Coordenadas de un vector determinado por dos puntos

Sean A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3), se define el vector determinado por A y B a:

(

b1 a1,b2 a2,b3 a3

)

OA OB

AB→ = → − → = − − −

Ejemplo 4: P(1,−3,5) y Q(−2,0,4) ⇒ PQ→ =(−2,0,4)−( ,1−3,5) =(−3,3,−1)

Productos entre vectores

¾ Producto escalar

Sean los vectores ur =

(

u₁,u₂,u₃

)

y vr =

(

v₁,v₂,v₃

)

. Se define el producto escalar de ur y vr como:

(

u₁,u₂,u₃

) (

v₁,v₂,v₃

)

u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ v

ur⋅r = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Aplicaciones:

o Módulo de un vector:

2 3 2 2 2

1 u u

u u u u

ur = r =+ r⋅r = + +

o Ángulo que forman dos vectores: se define el coseno del ángulo que

forman dos vectores como:

v u

v u v , u

cos r r _rr r_r

⋅ ⋅ =       ∧

o Dos vectores ur y vr son ortogonales (perpendiculares) si ur⋅vr=0. o Dos vectores ur y vr son paralelos si

3 3 2 2 1 1

v u v u v

u _{= =}

.













∧

Ejemplo 5: Sean ur=

(

2,− ,10

)

y vr =

(

−3,01,

)

:

o ur⋅vr =

(

2,− ,10

) (

⋅ −3,01,

)

=2⋅

( ) ( )

−3 + −1 ⋅0+0⋅1= −6. o ur = ur = 22 +

( )

−1 2 +02 = 5 .

o vr =

( )

−32 +02 +12 = 10 .

o 0´85 u,v 148´21º

50 6 10 5

6 v

u v u v , u

cos ≅

     ⇒ −

≅ − = ⋅ − = ⋅ ⋅ =     

 ∧ _r∧_r

r r

r r r r

¾ Producto vectorial

Sean los vectores ur =

(

u₁,u₂,u₃

)

y vr =

(

v₁,v₂,v₃

)

. Se define el producto vectorial de ur y vr a otro vector wr =ur×vr con las siguientes características:

o Módulo: 

     ⋅ ⋅ =

×v u v sen u,∧v ur r r r r r .

o Dirección: perpendicular a los vectores ur y vr.

o Sentido: el determinado por la regla de la mano derecha o por la regla del

sacacorchos.

Caso 1 Caso 2

o Coordenadas cartesianas del producto vectorial:

Aplicación importante del producto vectorial:

. v y u vectores los

por formado amo

paralelogr del

Área v

ur×r = r r

Ejemplo 5: Sean ur=

(

2,− ,10

)

y vr =

(

−3,01,

)

:

(

3k 2j

)

i 2j 3k

(

,1 2, 3

)

i 1 0 3

0 1 2

k j i v u

w =− − + = − − − = − − −

− − =

×

= r r r r r r

r r r r r r

( ) ( ) ( )

1 2 3 11 v

ur_×r _{= −} 2 _{+ −} 2 _{+ −} 2 ₌

¾ Producto mixto

Sean los vectores ur =

(

u₁,u₂,u₃

)

, vr =

(

v₁,v₂,v₃

)

y wr =

(

w₁,w₂,w₃

)

. Se define el producto mixto de ur, vr y wr, y se designa por

[

ur,vr,wr

]

al escalar que se obtiene haciendo las siguientes operaciones:

[

ur,vr,wr

]

=ur⋅

(

vr×wr

)

Expresión analítica:

[

]

3 3 3

2 2 2

1 1 1

w v u

w v u

w v u w , v ,

ur r r =

Nota: Si ur, vr y wr son coplanarios, es decir, están sobre el mismo plano,

[

ur,vr,wr

]

= 0.

El ESPACIO AFÍN

En este apartado estudiaremos dos elementos importantes del espacio: la recta y el plano. Veremos las distintas ecuaciones en las que se expresan cada uno, así como la posición relativa entre ellos. Debemos recordar del tema anterior los elementos básicos del plano: los puntos y los vectores.

Ecuaciones de la recta

Toda recta queda determinada por un punto y un vector o dos puntos. Es decir:

{ }

P,v :

r r → la recta r está determinada por el punto P y el vector

v

r

.

P

v

r

Cuando la recta esté determinada por los puntos A y B,

   



 →

AB , A :

r ó cualquier otra

combinación entra los puntos.

Pues una vez visto esto veamos las distintas formas de expresar la recta r:

{ }

P,vr , donde P(p1,p2,p3) y vr=(v1,v2,v3).

¾ Vectorial: r:OX=OP+λ⋅vr, es decir,

(

x,y,z

)

(

p₁,p₂,p₃

)

(

v₁,v₂,v₃

)

:

r = +λ⋅ .

¾ Paramétrica: Operando en la ecuación anterior queda:

(

x,y,z

)

=

(

p₁ +λ⋅v₁,p₂ +λ⋅v₂,p₃ +λ⋅v₃

)

Igualando componentes obtenemos las ecuaciones paramétricas:

    

⋅ λ + =

⋅ λ + =

⋅ λ + =

3 3

2 2

1 1

v p

z

v p

y

v p

x : r

¾ Continua: Despejando λ de cada una de las ecuaciones anteriores e igualando obtenemos la ecuación continua:

3 3 2

2 1

1

v p z v

p y v

p x :

r − = − = −

Ejemplo 1: Determina la ecuación de la recta determinada por los puntos A(−1,2,0) y B(2,−3,1)

En primer lugar calculamos el vector en la dirección de la recta, que puede ser tanto el vector AB como el vector → BA →

) 1 , 2 , 3 ( ) 0 1 , 2 3 ), 1 ( 2 (

AB→ = − − − − − =

A

AB

r

Así, la ecuación vectorial es:

(

x,y,z

) (

= − ,12,0

)

+λ·

(

3,2,1)

)

Y la paramétrica es

    

λ =

λ + =

λ + − =

z

· 2 2 y

· 3 1 x

Si despejamos λ en las tres igualdades anteriores podemos poner

1 z 2

2 y 3

1

x − ₌

= +

que es la ecuación continua.

Ecuaciones del plano

Un plano en el espacio queda determinado por un punto y dos vectores no paralelos. También quedaría determinado por dos puntos y un vector o por tres puntos, bastaría con escoger un punto y hallar los vectores determinados por dos puntos. Es decir:

{

P,u,v

}

: r r

Π → el plano está determinado por el punto P y por los vectores ur y vr.

Veamos las distintas formas de expresar la ecuación de un plano.

¾ Vectorial: Π:OX=OP+λ⋅ur+µ⋅vr, es decir,

(

x,y,z

)

(

p₁,p₂,p₃

)

(

u₁,u₂,u₃

)

(

v₁,v₂,v₃

)

: = +λ⋅ +µ⋅

Π

¾ Paramétricas: Operando en la ecuación anterior queda:

(

x,y,z

)

=

(

p₁ +λ⋅u₁ +µ⋅v₁,p₂ +λ⋅u₁ +µ⋅v₂,p₃ +λ⋅u₁+µ⋅v₃

)

P

Igualando queda las ecuaciones paramétricas:

    

⋅ µ + ⋅ λ + =

⋅ µ + ⋅ λ + =

⋅ µ + ⋅ λ + = Π

3 3

3

2 2

2

1 1

1

v u

p z

v u

p y

v u p

x :

¾ General o implícita:

0 v u p z

v u p y

v u p x

3 3 3

2 2 2

1 1 1

= −

− −

Al hallar este determinante queda la ecuación de la forma siguiente: 0

D Cz By Ax

: + + + =

Π

Observación: El vector normal (perpendicular) al plano es: nr =

(

A,B,C

)

.

¾ Ecuación del plano conocido un punto P(p1,p2,p3) y nr =(n1,n2,n3). 0

n PX : ⋅ =

Π r

Si X(x,y,z) es un punto genérico del plano, al desarrollar el anterior producto escalar queda:

(

x p

)

n

(

y p

)

n

(

z p

)

0 n

: ₁⋅ − ₁ + ₂ ⋅ − ₃ + ₃ ⋅ − ₃ = Π

Ejemplo 2: Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y contiene

a la recta

    

λ + − =

λ =

λ + =

1 z

2 y

3 1 x : r

RESOLUCIÓN: Al contener a la recta, contendrá también al punto que la define, con lo cual tenemos dos puntos P (0, 0, 1) y Q (1, 0, -1) y el vector director de la recta urr =

(

3,2,1

)

. Podemos entonces utilizar el punto P el vector

→

PQ y el vector

r

ur , siempre que no sean estos últimos paralelos. Vamos a comprobarlo: )

2 , 0 ,1 ( )) 1 ( 1 , 0 0 , 0 1 (

PQ→ = − − − − = que no tiene sus coordenadas proporcionales a

Forma vectorial: π:

(

x,y,z

)

=

(

,101,

)

+λ⋅

(

,10,2

)

+µ⋅

(

3,21,

)

Paramétrica:

    

µ + λ + =

µ =

µ + λ + = π

2 1 z

2 y

3 1

x :

General o implícita: 0 1 2 1 z

2 0 y

3 1 1 x

= −

−

:

π

→ 4x−5y−2z−2=0

Ejemplo 3: Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,−3,−1) y es perpendicular a la recta

2 1 z 3

2 y 1 x :

r = +

− − =

− .

Al ser perpendicular a la recta, quiere decir que el vector director de la recta es un vector normal al plano y por lo tanto podemos usar la ecuación normal al plano

) 2 , 3 ,1 (

nr= − y P (2,-3,-1)

(

x−2, y+3, z+1

) (

· ,1 −3, 2

)

=0

Entonces:

(

x−2

)

−3(y+3)+2(z+1)=0, que podemos trasformar a la forma explícita sin más que realizar las operaciones.

Incidencia

¾ Un punto pertenece a una recta si, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, se verifica la igualdad.

¾ Un punto pertenece a un plano si, al sustituir las coordenadas del punto en la

Posiciones relativas

¾ Dos rectas

Sean las ecuaciones paramétricas de las rectas r y s:

          ⋅ µ + = ⋅ µ + = ⋅ µ + = ⋅ λ + = ⋅ λ + = ⋅ λ + = 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 v q z v q y v q x : s u p z u p y u p x : r

A partir de estas ecuaciones definimos las matrices:

          = 3 3 2 2 1 1 v u v u v u

M

(

)

     − − −      = 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 p q p q p q v u v u v u N M

Según el rango de estas matrices concluimos que:

Ejemplo 4: Estudia la posición relativa de las rectas z 3 3 1 y 2 x :

r + = − = −

2 z 3 4 1 y 1 2 x :

s = − = −

− +

En primer lugar las rectas no están bien expresadas en la forma continua (fijémonos en la componente “z”)

1 3 z 3 1 y 2 x : r − − = − = + , 2 3 z 4 1 y 1 2 x : s − − = − = − +

¾ Dos planos

Sean las ecuaciones de los planos Π y Π´: 0 D Cz By Ax : + + + = Π 0 D z C y B x A : ′ + ′ + ′ + ′= Π′

A partir de estas ecuaciones definimos las siguientes matrices:

      ′ ′ ′ = C B A C B A

M

(

)

_

      ′ ′ ′ ′ = D D C B A C B A N M

Según el rango de estas matrices concluimos que:

Observación: Dado lo anterior también podremos expresar una recta como intersección de dos planos.

   = ′ + ′ + ′ + ′ = + + + 0 D z C y B x A 0 D Cz By Ax :

r , donde el vector director es: vr =

(

A,B,C

) (

× A′,B′,C′

)

(producto vectorial de los vectores normales). Para buscar un punto de la recta le daremos un valor a una variable y resolveremos el sistema 2x2 que queda.

Ejemplo 6: Estudia la posición relativa de los planos:

0

7

z

5

y

3

x

2

:

0

1

z

y

3

x

2

:

=

+

−

+

Π′

=

+

+

−

Π

.

Expresar, en todas las formas posibles la ecuación de la recta intersección.

Consideremos la matriz de los coeficientes _

     − − = 7 5 3 2 1 1 3 2 ) N / M (

Vemos que el menor 6 6 12 0 3 2 3 2 ≠ = + = −

Esto quiere decir que los rangos son

a) Pasarla a paramétricas expresando la solución de un sistema compatible indeterminado.

Como el menor utilizado para el rango, solo incluye las variable x e y, podemos despejar la variable z y resolver el sistema por cualquier método (En este caso utilizaré reducción pero sirve también el de Cramer ,………)

Las ecuaciones serán:

   + − = +

− − = −

z 5 7 y 3 x 2

z 1 y 3 x 2

Sumando ambas ecuaciones se obtiene

que: z4x=−8+4z →x=−2+ Si utilizamos esta expresión n la primer ecuación se tiene que : 2

(

−2+z

)

−3y=−1−z → −3y=3−3z → y=−1+z. Si lo expresamos en función de λ, tenemos que:

    

λ + =

λ + − =

λ + − =

0 z

1 y

2 x : r

b) Localizar un punto y el vector director de la recta y después expresarla en cualquiera de las formas

Para localizar un punto asignamos un valor cualquiera a una de las variables por ejemplo hacemos que z = 0, y así tenemos el sistema

   − = +

− = −

7 y 3 x 2

1 y 3 x 2

Lo vamos a resolver por reducción, para ello podemos

sumar ambas ecuaciones y nos queda que 4x=−8 → x=−2. Si sustituimos en la primera ecuación, nos queda que: −4−3y=−1 → −3y=3 → y=−1. Es decir el punto P(-2,-1,0) es de la recta común. Y el vector se calcula mediante el producto vectorial de los vectores normales a ambos planos, es decir:

k 12 j 12 i 12 j 10 i 3 k 6 j 2 k 6 i 15 5 3 2

1 3 2

k j i

d = + + + − + = + +

− − =

r

¾ Recta y plano

o Caso 1:

Sean las ecuaciones de las recta r y del plano Π: 0 D Cz By Ax : + + + = Π    = ′′ + ′′ + ′′ + ′′ = ′ + ′ + ′ + ′ 0 D z C y B x A 0 D z C y B x A : r

A partir de estas ecuaciones definimos las siguientes matrices:

          ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ = C B A C B A C B A

M

(

)

          ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ = D D D C B A C B A C B A N M

Según el rango de estas matrices concluimos que:

Ejemplo 7: Estudia la posición relativa de la recta

   = − − = − + − 0 1 z y 2 0 8 z y x 2 :

r y el plano

0 1 y x :− + − = Π .

Analicemos el rango de la matriz

          − − − = 1 0 1 1 1 1 2 0 8 1 1 2 ) N / M (

Miremos qué ocurre con 0 0 1 2 2 0 5 0

0 1 1 1 2 0 1 1 2 M

det = + − + + + = ≠

−

− −

= . Es

o Caso 2:

Sean las ecuaciones de las recta r y del plano Π: 0

D Cz By Ax

: + + + =

Π

    

⋅ λ + =

⋅ λ + =

⋅ λ + =

3 3

2 2

1 1

v p

z

v p

y

v p

x : r

Ahora sustituimos la x, y, z de la recta en la ecuación del plano:

(

p v

)

B

(

p v

)

C

(

p v

)

D 0

A⋅ ₁ +λ⋅ ₁ + ⋅ ₂ +λ⋅ ₂ + ⋅ ₃ +λ⋅ ₃ + =

Con lo que quitando paréntesis y agrupando términos queda:

(

A p B p C p D

)

(

A v B v C v

)

0

) 2 (

3 2

1 )

1 (

3 2

1 + ⋅ + ⋅ + +λ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ 4444 444448 64444744448

4 7

6

Por tanto concluimos que:

Si (2) ≠ 0 ⇒ La recta y el plano SE CORTAN EN UN PUNTO. Si (2) = 0 ⇒ La recta y el plano son PARALELOS.

Si (1) = (2) = 0 ⇒ la recta está CONTENIDA en el plano.

Ejemplo 8: Estudia la posición relativa de la recta

    

λ + =

λ − =

λ + =

5 z

3 y

2 2 x :

r y el plano

0 2 z y x 2

: + − + =

Π

Sustituimos la recta en las ecuaciones del plano y nos queda que:

(

2 2

)

3

(

5

)

2 0 4 2 4 3 5 1 2 + λ + −λ− +λ + = → λ− λ=− − + → λ=−

¾ Tres planos

Sean las ecuaciones de los planos Π y Π´: 0

D Cz By Ax

: + + + =

Π

0 D z C y B x A

: ′ + ′ + ′ + ′= Π′

0 D z C y B x A

: ′′ + ′′ + ′′ + ′′= Π ′′

A partir de estas ecuaciones definimos las siguientes matrices:

  

 

  

 

′′ ′′ ′′

′ ′ ′ =

C B A

C B A

C B A

M

(

)

  

 

  

 

′′ ′ ′′ ′′ ′′

′ ′ ′ =

D D D

C B A

C B A

C B A N M

Observación: Para distinguir los subcasos existentes en los casos 2, 3 y 4, debemos estudiar la posición relativa 2 a 2.

Ejemplo 9: Estudia la posición de los planos: 0

2 z y x 2

: + − + =

Π

0 1 z y 2 :

0 8 z y x 2 :

= − − Π ′′

= − + − Π′

Analicemos el rango de la matriz

  

 

  

 

− −

− −

−

1 1 0 2

8 1 1 2

2 1 2 2

Como 2 4 6 0

1 2

2 2

≠ − = − − =

− , El rango es por lo menos 2. Veamos si es tres

0 4 0 2 4 0 2 1 0 2

1 1 2

1 2 2

= + + − − + = − −

−

esto quiere decir que el rango de M es 2,

pero vamos a ver qué ocurre con M/N. Para ello elegimos un orlado del menor que

es distinto de cero y 2 0 32 4 0 4 30 0 1

0 2

8 1 2

2 2 2

≠ − = − + + − + = − −

− Y así el rango el

Pueden ser dos planos paralelos y el otro los corta o bien, los tres planos se cortan dos a dos. Para decidirlo hay que analizar los planos de dos en dos.

En este caso se ve claro que no es posible que hay planos paralelos sin más que ver que los vectores normales de ellos no son proporcionales. Concluimos entonces que los planos se cortan dos a dos.

El plano métrico:

Medida de ángulos entre rectas y planos

Para el estudio de ángulos entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer ara cada figura un vector que caracterice su dirección. En la recta, ese papel lo cumple, obviamente, su vector director, en el plano, su vector normal.

Como ya vimos en el apartado de vectores, el ángulo que forman dos vectores

puede calcularse

v · u

v · u

cos _{r r}

r r

=

α . Para determinar el ángulo entre rectas y entre

planos solo hemos de elegir los vectores como señalábamos en el apartado anterior. Ahora bien, para determinar el ángulo entre plano y recta tendremos en cuenta que el ángulo así obtenido en realidad es el complentario del que queremos.

Ejemplos:

a) Hallar el ángulo que forman la recta

1 1 z 5

1 y 2

3 x : r

− − = + = −

, con el plano 0

11 z 7 y 5 x 2

: − + − =

π

El vector director de la recta es dr=(2,5,−1) y el normal al plano nr=(2,−5,7)

Luego

(

)

0.5788

78 30

7 25 4 n · d

n · d 90

cos −α = _{r r} = − − =

r

(

0.5788

)

55º; 90º 55º 35º cos

arc º

b) Hallar el ángulo que forman las rectas siguientes:

1 z 3

1 y 5

3 x : r

− = + = −

  

= + −

= + − +

0 5 y

2 x

0 4 z 5 y 3 x 2 : s

El vector director de la recta r es (5,3,-1) para la recta s, se calcula como el producto vectorial entre los vectores de los planos que determina, es decir

) 7 , 5 , 10 ( 0 2 1

5 3 2

k j i

− − − = −

−

r r r

Y por tanto

(

) (

)

º 42 74322

. 0 6090

58 49

25 100 1 9 25

7 , 5 , 10 · 1 , 3 , 5

cos = = → α =

+ + +

+

− − − − =

α aprox.

c) Hallar el ángulo entre los planos π:x−2y+4z=0 y ρ:2x−y+3=0 Los vectores normales son nr_π =(,1−2,4) y nr_ρ =(2,− ,10)

(

)

(

)

aprox º 67 39036

, 0 105

4 0 1 4 16 4 1

0 ,1 , 2 · 4 , 2 ,1

cos = = → α=

+ + +

+

− −

= α

Distancia entre puntos, rectas y planos

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une. Por ejemplo, para calcular la distancia entre P

(

5,− ,17

)

y Q

(

4,5,−11

)

, en primer lugar calculamos el vector PQ→ =(4−5,5+ ,1−11−7)=(− ,16,−18) d

(

P,Q

)

= 1+36+324 = 361=19

Se llama distancia de un punto a una recta r a la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Se puede determinar la distancia de P a r por dos métodos diferentes:

b) También se pude calcular sin necesidad de conocer el punto P’. Para ello determinaremos el punto R y el vector dr de la recta. Teniendo en cuenta que el área de un paralelogramo es la base por la altura, si dividimos el área entre la base obtenemos la altura (ver figura y aplicación importante del producto vectorial pag. 7)

Veámoslo con un ejemplo:

Calcular la distancia del punto P (5,-1,6) a la recta

    

+ =

− =

− =

λ λ λ

5 z y

2 1 x : r

Método a) (Calculando el “punto de enfrente”)

En primer lugar calculamos el plano que pasa por P y es perpendicular a r, para ello solo necesitamos el punto P y usar el vector director

de la recta como vector normal del plano, P (5,-1,6)

(

2, ,11

)

nr − − y el plano es

(

x 5

)

1

(

y 1

)

1

(

z 6

)

0 2

:− − − + + − =

π que simplificado

resulta: 0π:2x+y−z−3=

Para hallar la intersección del plano con la recta, bastará sustituir la recta en el plano y encontrar el valor de λ correspondiente.

(

1 2

)

( )

(

5

)

3 0

2 − λ + −λ − +λ − = → 2−4λ−λ−5−λ−3=0 → λ =−1 Sustituyendo el valor de λ en la recta obtenemos P’

( )

(

3,,14

)

' P 4 ) 1 ( 5 z

1 ) 1 ( y

3 1 2 1 x

    

= − + =

= − − =

= − − =

y la distancia será

(

5 3

) (

1 1

)

(

6 4

)

12 2 3 )

' P , P (

d = − 2 + − − 2 + − 2 = =

( )

d d x RP base Área r

, P

d _r

r

→

= =

(

0, 6, 6

)

d x

RP→ r= − − → RP→ xdr = 72

6 1 1 4

dr = + + =

( )

12

6 72 base

Área r

, P

d = = =

Método c) (Otra forma de hallar el “punto de enfrente”)

Consideremos un punto genérico de la recta (es decir, expresado en función de λ)

(

1−2λ,−λ,5+λ

)

R , entonces el vector que une R y P estará también en función del

parámetro RP→ =(4+2λ,−1+λ1,−λ)

Para encontrar el punto P’ tiene que ser el que es perpendicular a la recta, es decir, R será nuestro punto P’ siempre que (−2,−11,)·RP→ =0

Si lo resolvemos nos sale que λ=−1 y el problema se termina igual que en el método a).

La distancia de un punto a un plano, se puede hallar obteniendo también el punto de enfrente, para ello hallamos la recta que pasa por P y es perpendicular al plano y la intersección de la recta con el plano nos da el punto P’. Pero podemos ahorrarnos todo el proceso utilizando la fórmula:

0 d cz by ax :

) z , y , x (

P _{0 0 0}

= + + +

π

( )

2 2 2

0 0 0

c b a

d cz by ax ,

P d

+ +

+ + + =

La distancia entre dos rectas se calculará dependiendo de su posición relativa: si son secantes evidentemente, su distancia es cero; si fueran paralelas elegimos un punto cualquiera de una y hallamos la distancia de este punto a la otra recta como vimos anteriormente, si se cruzan, hallaremos un

plano paralelo a una de ellas que contenga a la otra, así la distancia se puede calcular:

( )

r,s d(s,π) d

(

P s,π

)

d = = ∈

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Calcular la distancia entre las rectas siguientes

    

+ =

− =

+ =

λ λ

2 8 z

1 y

5 x : r

    

+ =

− =

+ =

µ µ

µ

4 5 z

3 y

3 4 x : s

Método 1.- Hallamos el plano que contiene a r y es paralelo a s (tal como está el la figura de la página anterior)

Entonces elegimos los vectores de las rectas, y el vector producto vectorial es perpendicular al plano que buscamos

   − ,14) // s ,

3 (

r // ) 2 , 0 ,1 (

Por lo tanto el vector ( ,10,2)x

(

3,− ,14

)

=

(

2,2,−1

)

es ⊥π

Además el punto (5,-1,8) es de la recta y por tanto también del plano. La ecuación normal del plano es π:2

(

x−5

)

+2

(

y+1

)

−1

(

z−8

)

=0 → π:2x+2y−z=0

Para hallar la distancia elegimos un punto de s, por ejemplo (4,3,5) y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano

( )

3

3 9 1

4 4

5 3 · 2 4 · 2 , P

d = =

+ +

− + =

Método 2.- Es más complicado que el anterior, pero muy útil si nos piden la recta perpendicular a las dos rectas que se cruzan.

Se trata de obtener los puntos R y S de cada una de las rectas de tal modo que estén situados uno en frente del otro. Así la distancia entre las rectas será precisamente la que hay entre dichos puntos.

Consideremos un punto genérico de la recta r (genérico quiere decir en función de

λ) que llamaremos R y otro de la recta s, que llamaremos S

(

5 λ, ,18 2λ

)

R + − + S

(

4+3µ,3−µ,5+4µ

)

, el vector que une estos puntos será entonces: RS→ =(−1+3µ−λ,4−µ,−3+4µ−2λ)

Este vector tiene que ser perpendicular a las dos rectas, es decir, si lo multiplicamos por los vectores directores de las rectas, nos tiene que dar 0.

(

,10,2

)

0 ( 1 3 ,4 , 3 4 2 )·

(

,10,2

)

7 5 11 0 ·

RS→ = → − + µ−λ −µ− + µ− λ = + λ− µ=

(

3, ,14

)

0 ( 1 3 ,4 , 3 4 2 )·

(

3, ,14

)

19 11 26 0 ·

RS→ − = → − + µ−λ −µ− + µ− λ − = + λ− µ=

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas fácilmente resoluble por cualquier método y nos da λ =3 y µ=2. Sutituyendo en r y s obtenemos los puntos R y S

(

)

(

10, ,113

)

d

( )

r,s d

( )

R,S

(

10 8

) (

1 1

)

(

13 14

)

3

S

14 ,1 , 8

R _{2 2 2}

= − + + + − = =

   −

Si nos pidieran además la recta perpendicular, solo tendremos que hacer la recta que pasa por los puntos obtenidos R y S.

Método 3.- Al igual que para calcular la distancia de un punto a una recta se hallaba el área de un paralelogramo y se dividía por su base, ahora hallaremos el volumen de un paralelepípedo y lo dividimos por el área de la base.

( )

r,s =d

(

Q,π

)

=

d Altura del paralelepípedo definidor por ur, vr, PQ = h →

v x u

PQ , v , u base la de Ärea

Volumen

h _{r r}

r r

  



= =

→

, donde P y Q son puntos cualesquiera de r y s

respectivamente.

En este caso, elegimos P y Q como los puntos que tenemos de las rectas P (5, -1, 8) Q (4, 3, 5). Entonces PQ→ =(− ,14,−3)

9 3 4 2

4 1 0

1 3 1 PQ , v ,

u =

− −

− =

  

_{r r} → uxv = 4+4+1 =3

r r

De donde la distancia de r a s es 3 3 9 ₌

La distancia de una recta a un plano dolo tiene sentido si son paralelos ya que en cualquier otro caso vale 0 y en tal caso, se calcula usando cualquier punto de la recta para hallar la distancia de dicho punto al plano. Del mismo modo, la distancia entre dos planos es cero salvo que sean paralelos y, en este caso, se calcula desde un punto cualquiera de uno al otro plano.

Por ejemplo, para calcular la distancia entre la recta

1 2 z 2

1 y 5

3 x

− + = − = −

, al plano 0

6 z y 3

x− − + = , en primer lugar vamos a ver en qué posición relativa están. Para ello podemos comparar la posición entre el vector director de la recta y el vector normal al plano; en este caso son: ur=

(

5,2,−1

)

y nr=

(

,1−3,−1

)

Como

(

5,2,−1

)

·

(

,1−3,−1

)

=5−6+1=0, los vectores son perpendiculares y entonces la recta es paralela al plano. Cogemos el punto P (3, 1, -2) de la recta y

( )

( )

2'41

11 11 8 11 8 1

9 1

6 ) 2 ( 1 · 3 3 ,

P d , r

d = = =

+ +

+ − − − = π =

EJERCICIOS

1. Dados los vectores ur =

(

,12,3

)

, vr =

(

2,0,1

)

y wr =

(

− ,13,0

)

, se pide: a. Sus módulos.

b.

u

r

⋅

v

r

;

u

r

⋅

w

r

;

−

5

⋅

w

r

⋅

v

r

. c.

u

r

×

v

r

.

d.

3

u

r

−

7

v

r

×

w

r

. e.

[

ur,vr,wr

]

;

[

vr,ur,wr

]

.

f.

_











∧

v

,

u

r

r

.

g. Comprobar si

u

r

,

v

r

y

w

r

forman una base.

h. ¿Son ortogonales

v

r

y

w

r

?.

i. Encuentra un vector unitario en el mismo sentido que

u

r

.

j. Encuentra un vector unitario en el sentido opuesto a

v

r

.

2. Hallar un vector perpendicular a ur =

(

2,3,4

)

y vr =

(

− ,13,−5

)

, y que sea unitario.

3. ¿Para qué valores de “a” el conjunto de vectores S=

{

(

,1 ,11

) (

, a, ,11

) (

, ,1a,0

)

}

es una base?.

4. Dados los vectores

a

r

=

i

r

+

m

j

r

+

k

r

y

b

r

=

−

2

i

r

+

4

j

r

+

m

k

r

, halla “m” para que los vectores

a

r

y

b

r

sean:

a. Paralelos. b. Ortogonales.

5. Dados los vectores ur =

(

2,0,−1

)

, vr =

(

,1− ,11

)

y wr =

(

− ,1−2,0

)

, se pide: a. El área del paralelogramo determinado por

u

r

y

v

r

.

b. El volumen del paralelepípedo determinado por

u

r

,

v

r

y

w

r

. 6. Dados los vectores ur =

(

a,1+a,2a

)

, vr =

(

a, ,1a

)

y wr =

(

,1a,1

)

, se pide:

a. Halla los valores de a para que los vectores

u

r

,

v

r

y

w

r

sean linealmente dependientes.

b. Estudia si el vector cr =

(

3,3,0

)

depende linealmente de

u

r

,

v

r

y

w

r

para el caso a = 2.

8. Calcula a y b para que los puntos A(1,2,-1), B(3,0,-2) y C(4,a,b) estén alineados.

9. Halla la ecuación de la recta paralela a

   = + = + 5 z 3 y 5 z 2 x :

r , que pasa por el punto de

intersección de la recta

3 2 z 2 3 y 4 1 x :

s − = + = + con el plano

7 z y x : − + =

π

.

10.Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a las rectas:    = − − = − + + − = − = − 0 5 y x 0 1 z y x : s 4 1 z 3 1 y 2 1 x : r

11. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta z 3 1 y 2 1 x :

r − = − = y es

paralela a la recta que pasa por los puntos A(2,0,0) y B(0,1,0). 12.¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0) y D(-1,2,1)?.

13.Calcula el valor de “m” para que los puntos A(m,0,1), B(0,1,2), C(1,2,3) y D(7,2,1). ¿Cuál es la ecuación de ese plano?.

14.Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta “r” y es paralelo a la recta “s”, siendo:    = + − − − = − − +    = − + − = + − + 0 1 z 2 y x 0 1 z y x 2 : s 0 1 z y x 2 0 1 z 2 y x : r

15.Estudiar la posición relativa de la recta

     = + = − =

λ

λ

λ

2 z 2 y 1 3 x :

r y el plano determinado

por los puntos A(1,3,2), B(2,0,1) y C(1,4,3).

16.Estudia en función de “a” la posición relativa de las rectas:

   = ⋅ + − = + +      + = ⋅ − − = ⋅ + = 5 z a y x 3 2 z y x : s t 1 z t a 1 y t a 1 x : r

0 2 z 2 3 y 3 1 x 2 : s k z y x :

r = −

− + = − − = =

18.Determinar el valor de “a” para que las rectas r y s sean coplanarias:

     + − = − = + = = − =

λ

λ

λ

1 z 1 y 1 x : s 0 z a y x : r

19.Hallar el valor de “k” para que los planos tengan en común una recta. Hallar la ecuación de dicha recta.

11

z

4

y

10

x

k

:

3

z

y

3

x

2

:

2

z

y

x

:

=

+

+

⋅

Π ′′

=

+

+

Π′

=

+

+

Π

20.Discutir en función del parámetro “a” la posición relativa de los planos:

0

z

)

1

a

(

y

3

x

:

1

z

3

y

5

x

2

:

0

1

a

z

2

ay

x

3

:

=

−

−

+

Π ′′

=

+

−

Π′

=

−

−

+

−

Π

21.Dados los planos

Π

:

mx

+

2

y

−

3

z

−

1

=

0

y

Π′

:

2

x

−

4

y

+

6

z

+

5

=

0

, halla m para que sean:

a. Paralelos.

b. Perpendiculares.

22.Calcula el ángulo que forma la recta

3 2 z 1 y 7 3 x − = − = −

, con el plano 0

1 z y 3

x+ − + =

23.Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y es perpendicular al plano π. A(3,0,−1) π:2x−3y−z+1=0

24.Hallar la distancia del punto P(5,6,6) a la recta r:(5λ,2−λ,λ), por los tres métodos.

25.Calcular la distancia del punto P (8,5,-6) al plano π:x+2y−2z+3=0

26.Calcula la distancia entre las dos rectas mediante cada uno de los métodos aprendidos a)     + = = + = λ λ 5 8 z 2 y 12 13 x : r     − = + = = 9 z 6 y 6 x :

s µ b)

27. Calcula la distancia de la recta y el plano: r:(1−3λ,2+λ1,−λ) π:x+3y=0 28.Calcula la distancia entre los planos π₁ :y−5z+4=0 π₂ :2y−10z=0

29.Hallar el plano que contiene a los puntos A(-4, 0, -2) y B(0, 3, -1) y es perpendicular al plano π:x+3z=5

30.Halla el punto simétrico de P(1, 0, 1) respecto del plano π:x−y+z=1 31.Halla la distancia entre las rectas

    

λ − =

λ + =

λ =

3 z

1 y

2 x : r

  

= +

= − −

0 z y

0 1 y 2 x : s

32.Determina el ángulo que forman la recta y el plano siguientes

    

λ =

λ − =

λ − − =

2 z y

1 x :

r π:2x−3y+z+1=0

33.Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -1,1) y corta perpendicularmente a la recta

3 z 2

1 y 1

3 x :

r − = + = (Hay muchas formas de hacerlo pero una puede ser encontrar un plano perpendicular a r y que tenga a P y el otro que sea el que contenga a r y a P)

34.Comprueba que las rectas

2 3 z 1

1 y 0 x :

r = − = + y

3 z 1

1 y 1

1 x :

s =

− + = −