• No se han encontrado resultados

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain."

Copied!
7
0
0

Texto completo

(1)

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.

Jacques Hadamard

Introducción En este ejercicio vamos a emprender un enfoque distinto de la geometría analítica utilzando los números complejos, en vez de usar puntos y vectores. Como veremos a continuación, el hecho de poder hacer más operaciones (¿Cuáles son estas?) entre los números complejos de las que podemos hacer con los vectores, nos va a proporcionar unas herramientas muy útiles para resolver problemas que de otra forma serían muy complicados. Esta herramientas tan útil en dos dimensiones, sin embargo, no se generaliza bien para más dimensiones, al contrario que la geometría analítica que os hemos enseñado.

En lo que sigue identificaremos tanto el puntoP= (x, y)como el vector~v= (x, y)con el número complejo z=x+iy. De manera natural tenemos que y si A y B son dos puntos que hacemos corresponder con los números complejosz1 yz2 respectivamente, entonces el vector

−→

ABse corresponderá con el número complejo z2−z1 y|

−→

AB|=|z2−z1|.

La suma entonces de dos vectores o de un vector y un punto se correponderá con la suma de los números complejos a los que han sido asociados.

Ejemplo 1 Consideremos los puntosA(2,−1),B= (2,3)y~v= (−1,−2)que se corresponden con los númneros complejosz1=2−i,z2=2+3iyz3= −1−2irespectivamente.

Puedes comprobar entonces que−AB→= (0,4)se corresponde conz2−z1=4iyA−2~v= (4,3)se corresponde

con el número complejoz1−2z3=4+3i

Tenemos entonces una correspondencia entre los puntos/vectores del plano y los números complejos en la que se respetan las operaciones.

Supongamos ahora que el punto C divide el segmento AB en una razón n : m, es decir, cumple que AC

CB = n

m, si expresamos la relación anterior mediante sus coordenadas complejas (zc, za yzb las de C,A yBrespectivamente), tendremos entonces que

zc−za zb−zc = n m ⇒m(zc−za) =n(zb−zc)⇒(n+m)c=mza+nzb⇒zc = mza+nzb m+n Ejercicio 1 Sea un triángulo

4

ABCy seanza,zbyzc las coordenadas complejas de sus vértices,

respectiva-mente. Demuestra que las coordenadas del baricentro de 4

ABCvienen dadas por G= za+zb+zc

3

Pista: El baricentro es el punto en el que se cortan las medianas, y divide a cada mediana en la proporción 1:2(hacia el vértice).

Proposición 1 La ecuación de una recta en el plano complejo es de la forma: αz+α z+β=0 dondeα∈C∗ yβ∈R

Demostración: La ecuación de una recta en el plano es de la formaax+by+c=0. siz=x+iyentonces tenemos quex= z+z

2 ey= −i z−z

2 . Substituyendo, tenemos queaz+z

2 −bi z−z 2 +c=0⇒ abi 2 z+ a+bi 2 z+c=0 Con lo que obtenemos el resultado haciendo α= a−bi

(2)

Observa que a=α+αy b=i(α−α) por lo que la pendientemde la recta será igual a: m= −a

b =i α+α α−α

Ejercicio 2 ¿Qué condición se tiene que dar para que dos rectasr1:α1z+α1z+β1=0yr2 :α2z+α2z+β2 =

0sean paralelas?¿Y para que sean perpendiculares?

Transformaciones Recuerda que el númeroeiθ=cosθ+isenθ

Proposición 2 Supongamos que el puntoCes el resultado de rotar el puntoBrespecto delAun ánguloθy quea,bycson las coordenadas complejas deA,ByC, en ese lugar se cumplirá que:

c=a+eiθ(b−a) Demostración: Lo puedes ver en el siguiente esquema

Recuerda que el determinante de una matriz

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32− a13·a22·a31−a12·a21·a33+a11·a23·a32

Puedes comprobar que

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11−λa12 a12 a13 a21−λa22 a22 a23 a31−λa32 a32 a33

Luego en un determinante podemos sumar o restar a una columna (o fila) una combinación lineal de las demás y el resultado da lo mismo. Ejercicio 3 En este ejercicio vamos a hallar las coordenadas del circuncentro zO del triángulo que tiene

vértices en las coordenadas complejasza,zbyzc

a) Demuestra que la ecuación de la recta que pasa porwy es perpendicular al segmentoABes: z(za−zb) +z(za−zb) =w(za−zb) +w(za−zb)

(3)

d) Demuestra quezO· 1 1 1 za zb zc za zb zc = 1 1 1 za zb zc |za|2 |zb|2 |zc|2

e) Deduce las ecuaciones del circuncentro de un triángulo de vértices de coordenadasza,zbyzc

Triángulos equiláteros: Diremos que un triángulo 4

ABC tiene orientación positiva, si al recorrer los vértices en el ordenA−B−C nos movemos en sentido antihorario.

Proposición 3 Si 4

ABCes un triángulo orientado positivamente, cuyos vértices tienen coordenadas complejas za,zby zcenconces es equivalente: a) 4 ABCes equilátero. b) (zc−za) =ε(zb−za)conε=ei π 3 c) za+ωzb+ω2zc=0dondeω=ei 2π 3

Demostración: a)⇔b)es inmediato, ya que el triángulo es equilátero si y sólo si el ladob=zc−za es el

resultado de girar60o en sentido positivo el ladoc= z

b−zay girar60o en sentido positivo es quivalente a

multiplicar porε

b)⇔c)tenemos que(zc−za) =ε(zb−za)conε=ei

π 3 =cosπ 3 +isen π 3 = 1 2+i √ 3 2 . Si pasamos todo a un miembro obtenemos que

zc+ (ε−1)za−zb=0 peroε−1= 12+i √ 3 2 −1= − 1 2+i √ 3 2 =cos 2π 3 +isen 2π 3 =ωy−ε= − 1 2 −i √ 3 2 =cos 4π 3 +isen 4π 3 =ω 2 luego lo anterior es equivalente a: zc+ωza+ω2zb=0

Pero como se cumple que ω3 = 1 (compruébalo), si multiplicamos lo anterior por ω2 obtenemos que lo

primero es equivalente a que

ω2zc+ω3za+ω4zb=za+ωzb+ω2zc=0

tal y como queríamos demostrar. Fíjate que realmente lo único que es importante es que las coordenadas de los puntos vayan en orden antihorario, así que también es equilátero si se cumple que:zc+ωza+ω2zb=0o

quezb+ωzc+ω2za=0

Ejercicio 4 (Teorema de Napoleón) * Supongamos un triángulo 4

ABCy sobre cada lado construyamos un triángulo equiátero hacia fuera. Demuestra que los baricentros de los tres triángulos así construidos forman a su vez un triángulo equilátero.

(4)

El ejercicio va a ser demostrarlo, siguiento los siguientes pasos:

a) Supongamos que las coordenadas complejas de los tres vértices son za,zb y zc, y z0a, z0b y z0c son las

coordenadas de los nuevos vértices de los triángulos equiláteros construidos sobre cada lado (en cada triángulo ponemos la letra que falta). Halla las coordenadas dez0a,z0byz0c en función de las deza,zby

zc (pista, el punto c) de la proposición anterior te puede ser útil).

b) Halla las coordenadas de los ortocentrosO1,O2 yO3en función deza,zby zc.

c) Demuestra que O1, O2 y O3 forman un triángulo equilátero (de nuevo el apartado c) de la proposición anterior te puede resultar de utilidad).

Ortogonalidad y producto real Si zes un número complejo, llamemos parte real de zal número <(z) = 1

2(z+z) (si z=a+bicomprueba que entonces <(z) =a).

Llamamos producto real de dos números complejos ayb al número < a, b >= 1

2 ab+ab

=< ab

Ejercicio 5 Halla el valor de< a, b >y concluye que el producto real de dos números complejos es realmente un número real.

(5)

Demostración: < a, b >= 1 2 ab+ab = 0 ⇔ ab= −ab ⇔ a b = − a b = − a

b luego entonces si llamamos z= a

b zcumple que z= −z, luego entoncesz ha de ser un número imaginario puro, por lo que a

b =ikcon k∈Rluegoaybson perpendiculares (¿Por qué?). Con lo que queda demostrado. Si tenemos entonces cuatro puntosA,B,CyDcon coordenadasa,b,cydrespectivamente,AB⊥CDsí y sólo sí(b−a)·(d−c)>=0 Ejercicio 7 (Coordenadas del ortocentro) Supongamos un triángulo

4

ABCy seanza,zb yzc las

coordena-das de los tres vértices respectivamente. Si el circuncentroOtiene por coordenada el origen en el plano (el0) entonces las cordenadas del ortocentro sonzh=za+zb+zc

Para la demostración vamos a usar el produto real:

a) Demuestra que un punto de coordenadazestá en la alturahasi cumple que< z−za, zb−zc>=0

b) Substituyezporzh=za+zb+zc y demuestra quezhestá en la alturaha¿(dónde estás utilizando que

el circuncentro tiene por coordenada el0?).

c) Demuestra quezhestá en todas las alturas. Concluye quezh es el ortocentro.

d) Halla la coordenada del ortocentro de un triángulo de vértices za, zb y zc y de coordenada zo del

circuncentro.

Área y producto complejo Sizes un número complejo, llamemos parte imaginaria a =(z) = 1

2i(z−z) (siz=a+bicomprueba que entonces=(z) =b

Dados dos números complejosayb, definimos el producto complejo de los dos a×b==(ab)i= 1

2 ab−ab

Puedes comprobar quea×b= −a×bluegoa×bessiempre un número complejo.

Del mismo modo que el producto real < a, b > es la versión compleja del producto escalar, el producto complejoa×bva a ser la versión compleja del producto vectorial que veréis el año que viene. Si el producto escalar es importante para trabajar con ortogonalidad (como hemos visto antes) , el producto vectorial está especialmente indicado para trabajar con el área.

Para demostrar el siguiente resultado vamos a necesitar el siguiente lema: Proposición 5 Sizes un número complejo, entoncessen(arg(z)) = 1

|z|=(z). En particular sen arg z b za = |za| |zb|= z b za Demostración: Consideremos

(6)

En la figura está claro quesenθ= b |z| = =(z) |z| Proposición 6 Si el triángulo 4

OABestá positivamente orientado, y las coordenadas deO,AyBson respec-tivamente0,za yzbentonces se cumple que:

[OAB] = 1 2ia×b Demostración: [OAB] = 1 2absenγ= 1 2|zb||za|sen arg z b za = 1 2|zb||za|= z b za |z a| |zb| = 1 2|za| 2= z b za = 1 2|za| 2 1 2i z b za −zb za = 1 4izaza zb z − zb z = 1 2i 1 2(zbza−zbza) = 1 2iza×zb

(7)

Demostración: Si transladamos el triángulo secún −zc no cambia su área.Cpasa a ser el 0,Apasa aA0,

con coordenadasza−zc yBpasa aB0 de coordenadaszb−zc. Tenemos entonces que:

[ABC] = [CAB] = [OA0B0] = 1

2i((za−zc)×(zb−zc)) y (za−zc)×(zb−zc) = 1 2((za−zc)(zb−zc) − (zb−zc)(za−zc)) = = 1 2(zazb−zazc−zczb+zczc−zbza+zbzc+zcza−zczc) = = 1 2(zazb−zbza+zbzc−zczb+zcza−zazc) = = 1 2(zazb−zbza) + 1 2(zbzc−zczb) + 1 2(zcza−zazc) = ==(zazb) +=(zbzc) +=(zcza) ==(zazb+zbzc+zcza)

Ejercicio 8 (Teorema de Menelao) Vamos a demostrar que si en un triángulo 4

ABCtomamos puntos A0 en BC,B0 enCAy C0 enAB que dividen los lados en uns proporcionesλ1,λ2 y λ3respectivamente (es decir,A0

divideBCen una proporciónλ1 quiere decir que BA 0

A0C=λ1). En esas condiciones, se cumple que: [A0B0C0] = 1−λ1λ2λ3

(1−λ1) (1−λ2) (1−λ3)

[ABC]

Como consecuencia de eso tenemos el teorema de Menelao, que dice queA0,B0 yC0 están alineados si y sólo si BA0 A0C CB0 B0A AB0 B0C =λ1λ2λ3=1 Vamos a demostrarlo por pasos:

a) seanz1,z2 yz3 las coordenadas complejas deA,ByCyx1,x2 y x3 las deA0,B0 yC0 respectivamente.

Usando que BA 0 A0C=λ1demuestra que: x1= z2−λ1z3 1−λ1 y análogamente parax2 yx3.

b) Aplica la fórmula del teorema anterior para deducir el resultado. c) Deduce como consecuencia el teorema de Menelao.

Referencias

Documento similar

&#34;No porque las dos, que vinieron de Valencia, no merecieran ese favor, pues eran entrambas de tan grande espíritu […] La razón porque no vió Coronas para ellas, sería

1) g(x, x ∗ ), a reactive approach to SLA violations: When the orchestrated resources are less than those needed in re- ality (i.e., x &lt; x ∗ ) the network operator pays a

Volviendo a la jurisprudencia del Tribunal de Justicia, conviene recor- dar que, con el tiempo, este órgano se vio en la necesidad de determinar si los actos de los Estados

Las características del trabajo con grupos que se debería llevar a cabo en los Servicios Sociales de Atención Primaria (SSAP), en términos de variabilidad o estabilidad

10.4a, we should expect that those preserve the symmetry of the crystal, but it is not the case. We repeat the calculations of Fig. 10.4a, but now considering constant Berry

First, we must remember that time travel (specially a trip to the past, or a two-way trip) would only be possible in the block universe. In the presentist alternative,

b) El Tribunal Constitucional se encuadra dentro de una organiza- ción jurídico constitucional que asume la supremacía de los dere- chos fundamentales y que reconoce la separación

The state vector of the CL/B model is x CL/B = (x, y, φ, v, ω, a, c 0 , c 1 ), which represent the east, north, velocity angle, velocity, yaw rate of turn, and acceleration in