Lógica II
SEMANTICA Y LOGICA MATEMATICA
VALUACIONES DE PRIMER ORDEN
1. Introducción
Un camino para analizar el concepto de validez aplicado a formas de
razonamiento es el semántico. En las formas lógicas de enunciado, que constituyen las formas lógicas de razonamiento, las expresiones que aparecen como constantes, con un sentido determinado, son las expresiones lógicas. Estas son vistas entonces como
constantes lógicas que expresan o se refieren a conceptos lógicos, operaciones lógicas. Este camino semántico consiste en caracterizar el significado de las constantes lógicas, expresadas por los símbolos lógicos del LPO. Lo que resultará es que la forma lógica será válida en virtud del significado asignado a las constantes lógicas.
El significado de las constantes lógicas puede darse informalmente de diversos modos. El más usual consiste en caracterizar este significado en términos de
condiciones de verdad, tal como se ha visto antes del modo siguiente:
(∀) Un enunciado de la forma ∀xA[x] es verdadero si y sólo si A[u] es verdadero para todo individuo u del dominio de cuantificación.
(∃) Un enunciado de la forma ∃xA[x] es verdadero si y sólo si A[u] es verdadero para algún individuo u del dominio.
(&) Un enunciado de la forma A∧B es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos.
(∨) Un enunciado de la forma A∨B es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero.
(→) Un enunciado de la forma A→B es verdadero si y sólo si A es falso o B es verdadero.
(¬) Un enunciado de la forma ¬A es verdadero si y sólo si A es falso.
El concepto de verdad había servido para dar una primera caracterización de la validez de una forma de razonamiento: Una forma de razonamiento es válida si todo caso concreto, todo ejemplo de esa forma con premisas verdaderas tiene conclusión verdadera, o, de manera equivalente, si no existe un caso concreto, un ejemplo, con premisas verdaderas y conclusión falsa. Otro tanto puede decirse, de manera
correspondiente, acerca de las leyes lógicos y la consistencia de conjuntos de
enunciados. Los árboles analíticos pueden verse, entonces, como una plasmación formal de semejante caracterización. No obstante, debe tenerse en cuenta que el concepto de
verdad es un concepto semántico, es decir, tiene que ver con aquello a lo que se refieren los enunciados de un lenguaje, y esto vale también para el LPO. En el caso de las fórmulas cerradas de LPO, esta referencia serían los dos valores de verdad, verdadero y falso. Por el contrario, el sistema T proporciona una reconstrucción puramente
sintáctica de tal idea. En otras palabras, el sistema T es un modelo sintáctico de este concepto de validez.
2. La semántica
Se dice que la semántica es aquella parte de la semiótica (o teoría de los signos) que se ocupa de la relación de los signos con aquello a la cual estos se refieren. Esto es, en un sentido más general, la semántica vincula los signos con algo externo al lenguaje, que es lo que se entiende por el significado de los signos. Por ejemplo, el nombre ‘George Boole’ sirve para referirse al lógico, matemático y filósofo británico del siglo XIX, y el término ‘británico’ del castellano se dice con verdad de aquellos que son británicos. Así, la semántica está ligada a la teoría del significado. Esta noción de significado de una expresión puede entenderse tradicionalmente de dos manera básicas: extensionalmente e intensionalmente. En el primer caso, la extensión de la una
expresión está integrada por la entidad a la que hace referencia y, en el segundo caso la
intensión de una expresión está dada por las notas o propiedades que la determinan. Así, el nombre ‘George Boole’ tiene como extensión una entidad, la persona que fue George Boole, y la intensión está integrada por las notas que lo caracterizan: haber nacido en 1815, ser el autor de El análisis matemático de la lógica, haber sido profesor de matemática en Irlanda, ser considerado uno de los fundadores de la lógica matemática, entre otras. En el caso de un predicado como ‘ser número primo’, la extensión está dada por el conjunto integrado por los números 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc., y la intensión por el hecho de ser divisibles únicamente por sí mismo y por 1. La extensión de un término es también lo que se llama su referencia o denotación, y la intensión lo que se llama su
sentido.
Respecto de un lenguaje formal como el LPO, la semántica también se
determina con exactitud por medio de reglas semánticas (que indican la extensión o la intensión de un término). Las mismas condiciones de verdad pueden ser objeto de un tratamiento formal, y a la vez semántico, que conduzca a una caracterización formal alternativa, no sintáctica, de la validez de razonamientos. Aquí aparece el concepto de valuación.
3. El concepto de valuación
reglas van a asignar a las expresiones de LPO entidades externas al lenguaje. Estas asignaciones pueden verse matemáticamente como funciones que van de expresiones lingüísticas a entidades extralingüísticas. Esta función recibe el nombre de valuación.
Una motivación para introducir el concepto de valuación tiene que ver con la indecidibilidad de la lógica de primer orden. En efecto, ni el sistema T ni ningún sistema deductivo formal pueden proporcionar un método de decisión que distinga nítidamente entre razonamientos válidos e inválidos, entre enunciados que son leyes lógicas y enunciados que no lo son, entre conjuntos de enunciados consistentes o inconsistentes. No obstante, se plantea la importante pregunta: ¿Puede demostrarse (mediante T u otro sistema) la validez de cualquier razonamiento válido? Esta pregunta puede resultar sorprendente, e incluso sin sentido, si se supone que razonamientos válidos son justamente aquellos que T demuestra. Esta pregunta puede formularse de este modo: ¿Determinan las reglas de T todos los razonamientos válidos, todas las leyes lógicas, todos los conjuntos consistentes? En este punto aparece el siguiente problema. El sistema T, junto con su procedimiento de derivación, es una
representación formal de un concepto de validez que es preformal. Este es el concepto que usamos en argumentaciones deductivas formuladas en el lenguaje ordinario, propias de los diferentes ámbitos de la vida cotidiana. Y el problema consiste en garantizar la
adecuación de esa representación formal con la noción preformal. En rigor, no hay una manera de determinar con exactitud la adecuación de la idea de validez en T con la idea preformal de validez, puesto que esta idea preformal es inexacta e imprecisa. Esta adecuación con la noción preformal sólo puede sostenerse a manera de conjetura o darse por sentado como una presuposición, que vale en la medida en que no aparezca un caso auténticamente anómalo que no se corresponda con la idea preformal de validez, de consistencia u otras propiedades lógicas..
La pregunta recién planteada equivale a determinar si, en general, los sistemas deductivos de la lógica, como T, capturan todos los razonamientos válidos, todas las leyes lógicas. Este problema es el de la completitud semántica de tales sistemas, que dice que si un razonamiento es válido, entonces su conclusión se deriva en el sistema deductivo de sus premisas. Otro problema es saber si el sistema caracteriza como
válidos exclusivamente razonamientos válidos, es decir, asegurarse de que el sistema no caracteriza como válido un razonamiento que, en realidad no lo es. Este es el problema de determinar la corrección o consistencia del sistema.
De todos modos, puede intentarse una aproximación formal a este problema. Como se verá a continuación, un intento de solución consiste en dar una caracterización de la idea preformal de la noción de validez (y de las nociones de ley lógica y de
consistencia) que sea precisa, exacta y tratable formalmente, pero que no sea la que está implícita en el sistema formal T u otros sistemas formales (esto es, mediante un
procedimiento de derivación). Esta caracterización se centrará en el concepto semántico de valuación. Este concepto estará emparentado con otros conceptos semánticos como los de interpretación y modelo.
Tanto la verdad como la falsedad de enunciados de LPO pueden considerarse como los valores que tiene una función aplicada a enunciados de LPO. Esta función la llamaremos valuación o, también valuación de primer orden, a la que representaremos en general como I. Respecto de esta función de valuación se dará por sentado lo siguiente:
(i) La función de valuación asignará un único valor de verdad, verdadero o falso
habrá enunciados de LPO que escapen a la función de evaluación; todo enunciado tendrá una valor de verdad, y a la vez la función no podrá asignar los dos valores a un mismo enunciado.
(ii) Existe un universo o dominio de individuos a cuyos miembros se refieren las constantes de individuo de LPO y que es el dominio de cuantificación. En relación con el dominio se hará a efectos prácticos la siguiente suposición:
(DOM) Todo individuo del dominio es designado por una constante de individuo de LPO.
Así, no habrá objetos del dominio que no sea designados por alguna constante de individuo. (Este supuesto se vuelve problemático cuando el dominio tiene una cardinalidad mayor que la de los números naturales -póngase los reales por caso-. De todos modos, en lo que sigue dejaremos de lado estos problemas). Finalmente, este concepto de valuación deberá reflejar adecuadamente las condiciones de verdad aceptadas.
Así se tendrá la siguiente definición:
3.1 Una valuación para enunciados de LPO es una función I tal que para todo enunciado atómico A de LPO, se cumplen las condiciones siguientes:
1. I(A) = v o I(A) = f (solo uno de los dos casos);
2. I(∀xA[x]) = v si, y sólo si, I(A[a]) = v para toda constante de individuo a de LPO; 3. I(∃xA[x]) = v si, y sólo si, I(A[a]) = v para alguna constante de individuo a de LPO.. 4. I(A∧B) = v si, y sólo si, I(A) = I(B) = v;
5. I(A∨B) = v si, y sólo si, I(A) = v o I(B) = v; 6. I(A→B) = v si, y sólo si, I(A) = f o I(B) = v; 7. I(A↔B) = v si, y sólo si, I(A) = I(B);
8. I(¬A) = v si, y sólo si, I(A) = f.
A las valuaciones para enunciados de primer orden también se las llama valuaciones de primer orden.
Sobre la base de esta definición pueden caracterizarse con rigor formal los conceptos de validez de razonamientos, de consistencia y de ley lógica. Para ello definiremos una relación de consecuencia lógica que, en el caso de razonamientos válidos, será la relación que vincula premisas y conclusión. También definiremos formalmente consistencia para conjuntos de enunciados y a las leyes lógicas les corresponderán verdades lógicas.
3.2. Un enunciado C de LPOes consecuencia lógica de enunciados A1, ..., An, de LPO
si y sólo si no existe una valuación I tal que I(A1) = v, ..., I(An) = v, y I(C) = f.
3.3. Un conjunto B1 , B2 , ..., Bn de enunciados de LPOes consistente si y sólo si existe una valuación I tal que, para todo enunciado Bi (i = 1, ..., n) del conjunto, I(Bi) = v (es decir, hace a todos los enunciados del conjunto verdaderos).
3.4. Un enunciado A de LPOes lógicamente verdadero si y sólo si para toda valuación
3.5. Un enunciado A de LPOes lógicamente falso (una falsedad lógica o una contradicción) si y sólo si para toda valuación I, I(A) = f.
Nótese que en las definiciones de consecuencia lógica y consistencia hemos considerado un número finito de enunciados. Normalmente, la definición no hace esta suposición, pudiendo concebirse conjuntos infinitos de enunciados. Como se verá más adelante al hablar de la propiedad de compacidad de la consecuencia lógica en la sección 4.1, se verá que tal distinción no es esencial.
La definición 1.2 de consecuencia lógica resulta equivalente con la siguiente:
3.2*. Un enunciado C de LPOes consecuencia lógica de enunciados A1, ..., An de LPO
si y sólo si toda valuación I para la cual I(A1) = v, ..., I(An) = v, da también que I(C) =
v.
La equivalencia entre 1.2 y 1.2* se prueba de acuerdo con el siguiente argumento. De un lado, dado 1.2, debido al principio de bivalencia no habrá una valuación I’ tal que no se cumpla I’(C) = v. Supóngase, de otro lado, que para toda valuación I se cumple que, si I(A1) = v, ..., I(An) = v, entonces se da también que I(C) = v. De aquí, no será posible
que exista una valuación I’, tal que I’(A1) = v, ..., I’(An) = vy no se cumpla que I’(C) =
v, lo que equivale a decir, por el principio de bivalencia , que I’(C) = f.
Desde ya, la consecuencia lógica da una caracterización en términos de valuaciones del concepto de validez, de modo que se puede afirmar:
3.6. Un razonamiento en LPO es válido si su conclusión es consecuencia lógica de sus premisas.
Es importante señalar que en la definición dada se supone un conjunto finito de fórmulas expresado mediante A1, ..., An . En realidad, la definición usual (y clásica) de
la consecuencia lógica admite la posibilidad de que el conjunto de premisas sea infinito. Claro que debe aclararse qué se entiende por un conjunto infinito de enunciados (lo que implica una concepción determinada del concepto mismo de enunciado). Por el
momento esta cuestión no será discutida aquí. Vale la pena mencionar que en los casos que se tomarán en consideración el conjunto de premisas será siempre finito. Por lo demás, el tema se retomará al tratar más adelante la propiedad de compacidad de la relación de consecuencia lógica
La consistencia recibe el nombre también de satisfacibilidad. De estas definiciones se sigue que un enunciado A es lógicamente verdadero si y sólo si no existe ninguna valuación que haga falso a A, y que un conjunto de enunciados es
inconsistente si y sólo si no existe una valuación que les asigne el valor v.
Adviértase que la verdad lógica hace referencia a toda valuación, mientras que la consistencia exige la existencia de al menos una valuación. Con ello se continúa la idea preformal de que una verdad lógica es un enunciado verdadero en toda
circunstancia, mientras que un conjunto de enunciados es consistente si es concebible
tarde, ya en el contexto de la lógica matemática, con el lógico Alfred Tarski (1902-1983) a partir de 1935 con diversas variantes.
4. Método de las valuaciones.
Este concepto semántico de consecuencia lógica es una reformulación precisa, sobre la base del concepto de valuación y relativa al lenguaje de predicados de primer orden, del concepto intuitivo de validez para razonamientos que se había visto al comienzo del curso. Se obtiene así un método de las valuaciones para determinar la validez de razonamientos de la lógica de predicados de primer orden: Un razonamiento es válido, si y sólo si, la conclusión es consecuencia lógica (en el sentido que se acaba de definir) de las premisas.
Este método no hace más que reconstruir en un marco formal la idea de
búsqueda de contraejemplos. A título de ilustración, supóngase que se quiere determinar si el enunciado Rab se infiere válidamente de los enunciados ∀x((Sx
∧Rxb)→Px) y Pa. Intérpretese R como la relación de “ser menor que” entre números naturales”, expresada usualmente con el símbolo <, S como la propiedad de pertenecer a la serie de números naturales (excluido el cero), P como la propiedad de ser número primo, a como 3 y b como 2. En la interpretación se tiene que “3<2” debería inferirse válidamente de “Todo número que pertenezca a la serie de los naturales (excluido el cero) que sea menor que 2 es primo” y “3 es primo”. Estos dos últimos enunciados son verdaderos en la aritmética, mientras que “3<2” es falso.
4. 1. Ejemplos.
(a) La fórmula ∀x(Px → Qx) es consecuencia de la fórmula ∀x Qx. La justificación es como sigue. Supóngase por absurdo que hay una valuación I, tal que I(∀x Qx) = v y
I(∀x(Px → Qx)) = f. Entonces, existe al menos una constante de individuo c, tal que
I(Pc → Qc) = f por la condición 2 de 3.1.1, es decir I(Pc) = v y I(Qc) = f por la condición 6. de 3.1.1. Pero se había supuesto que I(∀x Qx) = v, de modo que por la condición 2. de 3.1.1. para toda constante de individuo c I(Qc) = v, lo que contradice el supuesto.
(b) El conjunto {∃xPx, ∃x¬Px} es consistente. Esto es así por lo siguiente. Supongamos una valuación I, tal que I(Pa) = v, pero I(Pb) = f. Entonces por la condición 3 de 3.1.1
I(¬Pb) = f, y de aquí I(∃xPx) = I(∃x¬Px) = v por la condición 8. de 3.1.1.
(c) La fórmula ∀x(Px ∧∃yRxy) →∃x∃yRxy es lógicamente verdadera. Supongamos, por absurdo, que no lo sea. Entonces, existe una valuación I, con un dominio de dos individuos, tal que I(∀x(Px ∧∃yRxy)) = v y I(∃x∃yRxy) = f. Es decir, para toda constante c, I(Pc ∧∃yRcy) = v. Luego, por la condición 4. de 3.1.1 I(Pc) = v y
I(∃yRcy) = v, esto es existe una constante d, tal que I(Rcd) = v. Pero por la condición 8. de 1.1.1 esto contradice el supuesto.
4.2. El carácter formal del concepto de valuación
Supuestamente, el concepto de valuación, tal como se acaba de definir,
reconstrucción de nuestra idea de validez deductiva. Desde luego, se pueden hacer muchas objeciones a esta reconstrucción y se puede objetar que supone una enorme idealización respecto de las ideas que la gente tiene de la verdad y la falsedad y de las situaciones en que los enunciados pueden ser verdaderos o falsos. No obstante, dejamos en este momento esos problemas de lado.
Ahora bien, ¿en qué sentido se trata de una reconstrucción formal? (sobre todo en comparación con la reconstrucción, básicamente sintáctica, llevada a cabo mediante un sistema formal como el T). La noción de valuación recurre a ideas de la matemática abstracta tales como la de función, que se aplica a enunciados y a conjuntos de
enunciados. Como se verá más adelante, en el caso del lenguaje de enunciados, donde las conectivas son los únicos símbolos lógicos, la valuación así caracterizada determina un álgebra (el álgebra booleana), y lo mismo sucede con los cuantificadores. Por lo tanto, se determinan estructuras matemáticas para los razonamientos válidos, y métodos matemáticos (algebraicos, por ejemplo) pueden aplicarse para resolver problemas lógicos. En este sentido, se obtiene una manera exacta de proceder respecto del
problema de la validez. Todo esto lleva a que se hable del carácter formal del concepto de valuación, que se lo considere una reconstrucción formal de la idea de las
condiciones de verdad y falsedad para enunciados con símbolos lógicos.
De todos modos, existen importantes diferencias entre la perspectiva adoptada al definir valuaciones (y el “método de valuaciones” asociado) y la perspectiva de construir sistemas formales dejando de lado aspectos semánticos y únicamente como cálculos fomales o sistemas sintácticos. Piénsese en el concepto de derivabilidad del sistema T. Este concepto indica un procedimiento para determinar la validez (o, en casos limitados, también la invalidez) de razonamientos. Este procedimiento se basa en la aplicación de reglas cuya aplicación transforma enunciados en otros y da lugar a esas estructuras llamadas árboles que son estructuras de enunciados. Más aún, el sistema puede funcionar a la manera de un algoritmo. Es decir, indica un procedimiento o método que da una respuesta de manera mecánica o automática, mediante la simple aplicación de las reglas.. Esto no sucede en el caso de las valuaciones. Trabajar con valuaciones implica llevar a cabo argumentaciones matemáticas, usando herramientas matemáticas, pero esto no quiere decir necesariamente que estas argumentaciones den lugar a un algoritmo. Así pues, se está frente dos diferentes ideas de “formal”. En el caso del sistema T, “formal” quiere decir un procedimiento que sigue reglas de transformación de fórmulas. En el caso de las valuaciones, “formal” quiere decir, simplemente, que se aplican conceptos y métodos matemáticos.
5. Generación de valuaciones y árboles analíticos
El método de los árboles analíticos puede considerarse como un método para generar mecánicamente valuaciones que permiten determinar, en el caso de enunciados decidibles, si el conjunto de partida es consistente o inconsistente. Esto es posible gracias al siguiente hecho que vincula ramas abiertas con valuaciones:
Esta afirmación, que no se ha probado todavía, establece una suerte de adecuación entre el método de árboles y el concepto de valuación. Sobre este punto se volverá más adelante.
El método consiste en, dada una rama abierta para un conjunto inicial de enunciados, se define una valuación asignándole a todo enunciado atómico etiquetado con V el valor verdadero (v) y a todo enunciado atómico etiquetado con F el valor falso (f). Obviamente, cuando no hay una rama abierta, el conjunto inicial de enunciados del árbol es interpretado como inconsistente. En efecto, en toda rama cerrada aparecerá una fórmula atómica A etiquetada a la vez con V y con F, es decir VA y FA, de modo tal que se construirá una valuación I tal que I(A) = v e I(A) = f, lo que es una
inconsistencia.
Para aclarar esta idea, tómese el ejemplo (b) de 1.2 y constrúyase el árbol correspondiente, el cual será
√V∃xPx
√V∃x¬Px VPa V¬Pb
FPb
Se define la valuación I como I(Pa) = v y I(Pb) = f. Luego. por la condición 8. de 1.1.
I(¬Pb) = v, y asimismo, por la condición 3. I(∃xPx) = I(∃x¬Px) = v. Para expresarlo en palabras, se puede afirmar de manera consistente, por ejemplo, el par de enunciados “Algo es amarillo” y “Algo no es amarillo”. Basta para ello considerar un dominio (un “mundo”) con únicamente dos individuos a y b, tales que a sea rojo y b no lo sea, lo que corresponde a construir la valuación), y este caso constituye un ejemplo de que el conjunto de enunciados es consistente.
Visto de esta manera, el método de los árboles es un método que sirve, cuando el árbol generado es finito, para determinar si un conjunto de enunciados es consistente o inconsistente; es un test de consistencia. Por lo tanto, la consecuencia y la verdad lógicas se determinan de manera indirecta. En efecto, si el árbol formado por las premisas etiquetadas con V y la conclusión etiquetada con F es un árbol cerrado,
entonces, no podrá construirse una valuación que haga verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión, es decir, suponer la verdad de las premisas y la falsedad de la
conclusión lleva a una inconsistencia, de modo que la conclusión será consecuencia lógica de las premisas. Por el contrario, si hay una rama abierta, entonces podrá
construirse una valuación que servirá de contraejemplo de la validez del razonamiento. Asimismo, si el árbol formado a partir de un enunciado etiquetado con F es cerrado, no se podrá generar una valuación que lo haga falso, de modo que será lógicamente verdadero.
Tómese el ejemplo (a) de la sección 4.2, que da lugar al árbol cerrado:
V∀x Qx. √F∀x(Px→Qx)
√FPc→Qc VPc FQc V∀x Qx
x
Precisamente, como el árbol es cerrado, es imposible construir una valuación: Todo intento de hacerlo viola la condición 1. de la definición de valuación (3.1). Otro tanto puede verse analizando el ejemplo (c) de 4.2.
Los siguientes ejemplos servirán para comprender mejor el método:
(a) Se quiere determinar si Rab→Qba es consecuencia lógica de Sab∨ Rab y Sab→Qba
√VSab ∨ Rab √VSab→Qba √ F(Rab→Qba)
VRab |
FQba / \ FSab VQba / \ x VSab VRab r.3 x r.2
r.1
A partir de la rama 2 (abierta) puede construirse la valuación I, I(Rab)=v, I(Sab)=f,
I(Qba)=f, que da una respuesta negativa al problema planteado. Es decir, la verdad de las premisas es consistente con la suposición de la falsedad de la conclusión.
(b) Se quiere determinar si ∀x (Px ∨ Qx → Px) es una verdad lógica
√F∀x (Px ∨ Qx → Px)
√F(Pa ∨ Qa → Pa)
√VPa ∨ Qa FPa / \ VPa VQa X r. 2 r. 1
A partir de la rama 2 (abierta) puede construirse la valuación I definida como I (Pa) = f,
I (Qa) = v . La valuación I constituye un contraejemplo, de modo que ∀x (Px ∨ Qx →
Px) no es una verdad lógica.
V∀x (Px → Qx)
√V∃xPx
√V∃y¬Qy VPa
√V¬Qb FQb
√VPa → Qa
√VPb → Qb / \ FPa VQa x / \ r.1 FPb VQb
r.2 x r.3
A partir de la rama 2 se construye una valuación I con I (Pb) = f, I (Qa) = v, I (Qb) = f y I(Pa) = v, que hace verdaderos a todos los enunciados del conjunto.
5.1. El caso de ramas infinitas.
Se vio anteriormente que en algunos casos se obtienen árboles, en los cuales algunas ramas continúan desarrollándose indefinidamente, sin saber si se cierra o no. En estos casos, la valuación no puede definirse, al menos de esta manera. Sin embargo, al continuar indefinidamente, puede decirse que la rama quedará abierta (aunque lo hará “en el infinito”). Por lo tanto, podría pensarse en que existe una valuación, sólo que su definición requería un conjunto infinito de enunciados atómicos, sería una valuación infinita.
Queda claro cómo pueden construirse valuaciones a partir de ramas abiertas. Estas valuaciones son siempre finitas y tienen como universo conjuntos de constantes de individuos (entendidas como objetos). Este tipo de valuaciones recibe el nombre de
valuaciones de Herbrand por el lógico y matemático francés Jacques Herbrand (1908-1931) quien ideó un método mecánico de demostración para la lógica de predicados de primer orden que sugirió las ideas recién expuestas.
6. Adecuación semántica del sistema T de árboles
6.1 Observaciones preliminares
La generación de valuaciones a partir de ramas abiertas, que es lo que afirma (5.1), (y, al revés, la construcción de ramas abiertas a partir de valuaciones, tal como se verá inmediatamente) es posible gracias a cierta concordancia o adecuación entre las reglas del sistema de árboles y las condiciones de verdad contenidas en el concepto de valuación. De esta concordancia se sigue la equivalencia entre los conceptos de
consecuencia lógica y derivabilidad en T, entre los conceptos de verdad lógica y
En general, frente a un sistema formal cualquiera para la lógica, como el T u otros sistemas, surgen dos problemas fundamentales:
(1) Determinar si la validez de todo razonamiento o de toda regla lógica o la verdad de toda ley lógica puede establecerse mediante el procedimiento de derivación en el sistema; es decir si el sistema realmente sirve para demostrar todo lo que se espera que demuestre y no hay nada, de lo que se pretende que demuestre, que se le escape.
Este es el problema de la completitud del sistema. Para entender mejor este problema, supóngase simplemente que se elimina la regla (→F) del sistema T. Entonces, dado el razonamiento válido siguiente (véase el ejemplo (a) de la sección 1.2):
∀x Qx
_____________
∀x(Px → Qx) ,
se tendría el siguiente árbol
V∀x Qx. √F∀x(Px→Qx)
√FPc→Qc V∀x Qx
VQc
Que, contrariamente a lo que se espera, quedaría abierto. Al eliminar la regla el sistema se torna insuficiente para establecer la validez de razonamientos que son válidos de acuerdo con la definición de valuación. El sistema se torna así claramente incompleto.
(2) Determinar si todo razonamiento para el cual hay una derivación en el sistema es válido, si toda regla para la cual hay una derivación es una regla válida, y si todo enunciado para el cual hay una derivación es una ley lógica, una verdad lógica.
Este es el problema de la corrección o consistencia del sistema. Para entender mejor este problema, supóngase que se reemplaza la regla (→V) de T por esta otra
(→V)+ VA→B / \ VA FB.
El siguiente razonamiento formulado LPO es inválido.
∀x (Px→Qx) Qc
_____________ Pc
Todos los números múltiplos de 10 son pares 28 es par
Luego, 28 es múltiplo de 10
Este razonamiento es inválido desde el punto de vista preformal y constituye un
contraejemplo en el lenguaje ordinario del formulado en el LPO. Ahora bien, utilizando el sistema T con el reemplazo de la regla (→V) por la regla (→V)+, se obtiene el siguiente árbol cerrado:
V∀x (Px→Qx) VQc
FPc √VPc→Qc
/ \ VPc FQc
x x
De este modo, el sistema T así modificado hace válido un razonamiento que es inválido y resulta así incorrecto o inconsistente.
Un sistema inconsistente tiene el problema de permitir inferir contradicciones. Por ejemplo, supóngase la secuencia de enunciados ∀x(Px→Qx), Qc, ¬Pc que resulta consistente de acuerdo con la definición de valuación. (Y puede darse, además, un ejemplo en lenguaje ordinario, siguiendo la interpretación precedente, con enunciados verdaderos en la aritmética: “Todos los números múltiplos de 10 son pares, 28 es par, 28 no es múltiplo de 10.”
Sin embargo, esa secuencia de enunciados da lugar, en el sistema T modificado, al árbol siguiente sobre la base de etiquetar los tres enunciados con V:
V∀x(Px→Qx) VQc V¬Pc
FPc √VPc→Qc
/ \ VPc FQc
x x
Este árbol es cerrado, y lo que indica es que el conjunto resulta inconsistente, implicando contradicciones. Estos ejemplos bastan para advertir la relevancia de demostrar la adecuación del sistema T.
6.2. La formulación del metateorema de adecuación semántica
que hay una cierta correspondencia entre la definición de valuación y las reglas de T, como si las unas fueran un espejo de las otras. Sin embargo, no es tan trivial demostrar esto para cualquier caso posible, con el mayor grado de generalidad. Es decir no es tan trivial demostrar para cualesquiera razonamientos formulado en LPO, que resultan válidos si y sólo si pueden demostrarse en T, para cualquier enunciado de LPO que es lógicamente verdadero si y sólo si es teorema en T, y que para una secuencia cualquiera de enunciados de LPO esta secuencia es consistente si y sólo si da lugar a un árbol abierto en T
Demostrar estos hechos, solucionando los problemas (1) y (2) formulados antes es mostrar que el sistema cumple realmente la tarea para la que ha sido diseñado. Dicho con más precisión, éste es el problema de determinar si el sistema es semánticamente
adecuado. Esta adecuación semántica del sistema T de árboles se expresa por medio del el siguiente metateorema:
6.0 Adecuación semántica de T: Un enunciado C de LPO es consecuencia de los
enunciados A1, ..., An de ese lenguaje si y sólo si C es derivable en T a partir de A1, ...,
An .
Las versiones correspondientes para secuencias consistentes de enunciados y leyes lógicas pueden obtenerse de esta formulación.
Por tener la forma de un bicondicional el teorema se divide a su vez en dos condicionales; uno es el (meta)teorema decompletitud del sistema y el otro es el (meta)teorema de corrección semántica del sistema.
(6.1) Completitud. Si C es consecuencia de A1, ..., An entonces C es derivable en T a
partir de A1, ..., An .
(6.2) Corrección. Si C es derivable en T a partir de A1, ..., An , entonces C es
consecuencia lógica de A1, ..., An .
Ambas afirmaciones se reformulan del siguiente modo, tendiendo en cuenta las definiciones de árbol cerrado, rama cerrada, etc.
(6.1.a) Si C es consecuencia lógica de A1, ..., An , entonces el árbol formado a partir de
VA1, ..., VAn y FC es un árbol cerrado (es decir, todas sus ramas están cerradas).
(6.2.a) Si el árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y FC es un árbol cerrado, entonces
C es consecuencia lógica de A1, ..., An .
Una manera indirecta de decir lo mismo (por lo que se llama contraposición), es en el caso de (3.1.a) que si el árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y FC noes un
árbol cerrado, entonces C noes consecuencia lógica de A1, ..., An, y en el caso de
(3.2.a) es la siguiente: Si C noes consecuencia lógica de A1, ..., An, entonces el árbol
formado a partir de VA1, ..., VAn y FCno es un árbol cerrado.
De aquí, por la definición de árbol cerrado y de consecuencia lógica, estas afirmaciones son equivalentes con las siguientes.
(6.1.b) Si en el árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y FC hay al menos una rama
(6.2.b) Si hay una valuación I tal que I(A1) = v, ..., I(An) = v y I(C) = f, entonces el
árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y FC tiene al menos una rama abierta.
En efecto, (6.1.b) dice tanto como que Si el árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y
FC es abierto (no es cerrado), entonces C no es consecuencia lógica de A1, ..., An. Por
su parte, (6.2.b) dice que si C no es consecuencia lógica de A1, ..., An, entonces el árbol
formado a partir de VA1, ..., VAn y FC no es cerrado.
Esta formulación indirecta hace más fácil la comprensión de sus equivalentes (6.1) y (6.2) (y su ulterior demostración). Téngase en cuenta, además, que si hay una valuación I tal que I(A1) = v, ..., I(An) = v y I(C) = f, entonces, por la definición de
valuación para la negación, I hace satisfacible (consistente) al conjunto integrado por los enunciados A1, ..., An y ¬C (es decir, que los hace a todos estos enunciados
verdaderos). Así, la consecuencia lógica puede entenderse en términos de consistencia.
6.2.1. Un ejemplo
Para fijar ideas, vuélvase a considerar el ejemplo (a) de la sección 2. En ese caso la consideración de VSab∨ Rab , VSab→Qba y FRab→Qba daba lugar a un árbol abierto, tal como se repite a continuación
√VSab ∨ Rab √VSab→Qba √ F(Rab→Qba)
VRab |
FQba / \ FSab VQba / \ x VSab VRab r.3 x r.2
r.1
A partir de la rama 2 (abierta) se tenía la valuación. I, I(Rab)=v, I(Sab)=f, I(Qba)=f, tal que resultaban I(Sab∨ Rab) = v , I(Sab→Qba) = v y I(Rab→Qba) = f. De este modo, se está frente a un caso en el que se cumple claramente la completitud de T (formulada como 6.1.b).
Ahora bien, dada esa valuación I que hace que Rab→Qba no sea consecuencia lógica dea Sab∨ Rab y Sab→Qba, se da que esa valuación se corresponde con una rama abierta del árbol correspondiente, formado a partir de VSab∨ Rab , VSab→Qba y FRab→Qba (es decir no hay una derivación en T de Rab→Qba a partir de Sab∨ Rab y Sab→Qba. Se puede advertir aquí, entonces, que se está frente a caso donde la
consistencia o satisfacibilidad de T se cumple. Sin embargo, debe quedar claro que estos casos se siguen de las afirmaciones (6.1) y (6.2) y no los justifican. Para poder hacerlo hace falta una demostración general de (6.1) y (6.2) que valga para cualquier caso.
6.3. Elementos para demostrar la adecuación semántica de T
Como se acaba de mencionar, para demostrar la adecuación del sistema no es suficiente con considerar casos individuales, sino que debe ser una demostración del mayor grado de generalidad. La adecuación es una propiedad del sistema en general, esto es, debe valer para cualquier árbol construido con las reglas del sistema. Por esta razón, se dice que es un “metateorema”, es decir, un teorema acerca del sistema.
Una demostración general como esta deberá basarse en propiedades del sistema T y de las valuaciones. El sistema T está caracterizado esencialmente por sus reglas, para cada símbolo lógico. Mediante estas reglas es que se construyen cualquier árbol posible. Asimismo, las valuaciones están determinadas por las condiciones para los símbolos lógicos indicadas en la definición 1.1 de valuación. El hecho de que un enunciado sea, por ejemplo, consecuencia lógica de otros depende de la aplicación de las condiciones que constituyen la definición de valuación. Si bien no se desarrollará la demostración, se indicarán una serie de puntos indispensables para llevarla a cabo.
(1) Deberá considerarse siempre árboles terminados, es decir, árboles que son cerrados o, si son abiertos, todos los enunciados de sus ramas abiertas han sido enteramente analizados por las reglas (se les han aplicado todas las reglas posibles).
(2) El punto central es establecer una adecuación o correspondencia precisa entre las reglas de T y la definición de valuación. Una manera de hacerlo es estableciendo, antes que nada, que para todo enunciado A de un conjunto consistente dado y cualquier rama abierta r de un árbol de T formado a partir de los miembros de ese conjunto etiquetados con V, para toda valuación I tal que I(A) = v se da que, para todas las subfórmulas B
de los elementos del conjunto, I(B) = v si y sólo si VB aparece en la rama e I(B) = f si y sólo si FB aparece en la rama. Esto se demuestra de acuerdo a la complejidad de los enunciados que pertenezcan al conjunto. Para el caso más elemental en que sean atómico esto se demuestra trivialmente, pero habrá que ver los casos (todos los casos posibles) en que sean enunciados generales o moleculares. Esto implicará determinar previamente que, dada una aplicación de una regla a un enunciado cualquiera de la rama, la (o las) conclusiones de la regla, o, si la regla bifurca, una de las secuencia de conlcusiones, aparece en esa rama.
(3) Debe tomarse en cuenta en las fórmulas etiquetadas con significado universal que la regla respectiva se aplica únicamente a todas las constantes de individuo que aparecen en la rama. Es decir, si en la rama abierta terminada aparecen fórmulas etiquetadas de la forma V∀xA[x] o F∃xA[x], entonces en la rama deberán aparecer respectivamente fórmulas etiquetadas de la forma VA[ci] y FA[ci] (i= 1, ..., n, ...), donde las ci son las
constantes de individuo que aparecen en la rama. Esto obliga a formular una versión restringida de la condición paralos cuantificadores en la definición de valuación de modo de establecer la correspondencia: La universalidad de la condición se restringe a todos los que aparecen en la rama abierta, que justamente denotan los elementos del dominio de la valuación.
existe una rama abierta en toda etapa. Si esto es efectivamente así entonces un árbol infinito es un árbol abierto, con al menos una rama abierta que induce la definición de una valuación que tendrá un dominio infinito. (Demostrar la existencia de una rama abierta en todas las etapas de construcción del árbol es demostrar el llamado teorema de los árboles, que es una forma del llamado lema de König.)
7. Otras propiedades metateóricas de T
7.1. Compacidad
Es interesante el hecho de que, una vez demostrada la adecuación del sistema, es lícito demostrar propiedades de la consecuencia lógica demostrando que las cumple la relación de derivabilidad en T. Así, puede demostrarse que la relación de consecuencia de la lógica de predicados de primer orden es compacta, lo que quiere decir que si un enunciado C es consecuencia de un conjunto cualquiera arbitrario de enunciados A1, ...,
An, An+1, ..., es decir, un conjunto infinito, entonces se seguirá de un subconjunto finito
A1, ..., An de ese conjunto . Esto puede verificarse a partir del hecho de que todo árbol
cerrado es finito.
7.2. Propiedades de la relación de consecuencia lógica
También puede verse que la relación de consecuencia de la lógica de predicados de primer orden cumple con las siguientes propiedades:
Reflexividad: A es consecuencia lógica de A. Más en general, dados enunciados
A1, ..., An, uno cualquiera de ellos Ai, (i = 1, ..,n) es consecuencia lógica de A1, ..., An.
Monotonía: Si C es consecuencia lógica de A1, ..., An, entonces C es
consecuencia lógica de A1, ..., AnB, donde B es un enunciado cualquiera de LPO.
Dicho en términos más simples: el agregado de premisas en un razonamiento válido no altera su validez.
Transitividad (o corte): Si C es consecuencia lógica de A1, ..., An, B y B es
consecuencia lógica de D1, ..., Dm, entonces C es consecuencia lógica de A1, ..., An, D1,
..., Dm.
Puede mostrarse que la relación de consecuencia lógica tiene estas propiedades recurriendo al sistema T, una vez que se acepta la adecuación semántica de T. En el caso de la reflexividad se ve directamente que A es derivable en T a partir de A, pues el árbol resultante es cerrado. En el caso de la monotonía, se ve que si el árbol formado a partir de VA1, ..., VAny FC es cerrado, entonces el árbol formado a partir de VA1, ...,
VAn, VBy FC también lo será. En el caso de la transitividad, se verá que B resulta
innecesario para cerrar el árbol a partir de los enunciados VA1, ..., VAn, VD1, ..., VDm,
FC. Esto es debido a que los enunciados atómicos necesarios para cerrar cada una de las ramas de este árbol ya aparecen en los dos árboles resultantes de sacar B en las
condiciones.
7.3. La semidecidibilidad
La completitud de T, junto con propiedades del sistema T, tiene como consecuencia que si un enunciado C es consecuencia de un conjunto A1, ..., An,
semidecibilidad, o también decidibilidad positiva, y significa, en términos intuitivos, que todo razonamiento válido es derivable de manera mecánica o automática, por medio de un método mecánico. Precisamente, el sistema de árboles proporciona un método semejante. Es decir que, si C es consecuencia de un conjunto A1, ..., An,, entonces el
hecho de aplicar mecánicamente las reglas del sistema de árboles (junto con la
indicación de una estrategia muy sencilla) da lugar a un árbol cerrado. Esta afirmación de la semidecidibilidad es un caso particular del teorema de Herbrand (por Jacques Herbrand, quien fue el primero en formularlo y demostrarlo. El teorema de Herbrand afirma, en general, que si un enunciado es consecuencia lógica de un conjunto de premisas, de acuerdo con la semántica dada para el lenguaje de predicados de primer orden, entonces existe un método mecánico para demostrarlo. Herbrand lo demostró mostrando que la validez en la lógica de predicados puede reducirse al caso de la lógica de enunciados. Este teorema de Herbrand es el fundamento de la deducción automática.
7.4. El teorema de la deducción
Para la relación de demostrabilidad enT vale el teorema de deducción en su versión fuerte, es decir, C es derivable en T a partir de los enunciados A1, ..., An, y B si
y sólo si B→C es derivable a partir de A1, ..., An. Para demostrarlo basta ver que en
cualquier caso los árboles resultantes en ambos casos son equivalentes, en el sentido de que ambos tienen el mismo número de ramas con los mismos literales cada una de ellas, siendo todas cerradas. El teorema de la deducción da cuenta de la manera en que el condicional es un reflejo en el lenguaje mismo de la relación metalingüística de deducción.
8. El concepto de modelo
El concepto de valuación puede ser enriquecido a fin de dar también condiciones de verdad para enunciados atómicos de LPO (cosa que no se ha hecho hasta ahora). Como se dijo en la presentación del LPO, Los símbolos descriptivos o no lógicos de LPO representan las siguientes categorías de entidades:
constantes de individuo ---- representan --- objetos (individuos) predicados monádicos ---- representan ---- propiedades de objetos predicados poliádicos ---- representan ---- relaciones entre objetos
Ahora bien, resulta también claro que la interpretación o adscripción de significado puede ser considerado como una función que tiene por argumentos expresiones (cadenas de símbolos) del LPO. Las constantes de individuo representan objetos (de cualquier tipo), los predicados monádicos propiedades o atributos, los poliádicos relaciones. El problema es qué tipo de entidades son las propiedades y las relaciones En realidad, las únicas entidades cuya existencia se presupone son los individuos. Ni las propiedades, ni las relaciones son entidades en sentido estricto, pues no forman parte del dominio de cuantificación. De este modo, habrá que considerar un modo de caracterizar propiedades y relaciones sobre la base de los individuos.
Desde un punto de vista extensional a una propiedad se entenderá como el
conjunto de individuos que la satisfacen (es decir, que dan lugar a enunciados
hecho de que el predicado Px se interprete como que x es boscoso quiere decir que el significado extensional o la referencia de Px será el conjunto de todos los países para los que se cumple que son montañosos (es decir, que dan lugar a enunciados verdaderos cuando la variable x del predicado Px es sustituida por ellos).
De forma parecida, los predicados poliádicos (de grado mayor que 1) se
interpretan como conjuntos de secuencias (ordenadas) de individuos. Por ejemplo, en el caso de un predicado diádico (de grado 2) R, su significado extensional o referencia consiste en el conjunto de pares ordenados de individuos, denotados por constantes de individuo de LPO a y b, tales que hacen verdadero a enunciados de la forma Rab. Así, los predicados se interpretan mediante sus extensiones, indicados mediante conjuntos.
Con todo esto, se está en condiciones de dar una definición formal de modelo
para el LPO. La definición se dará en términos de la teoría de conjuntos. Un modelo
para LPO será un par <U, V> tal que U es un domino de objetos (llamado usualmente
universo de discurso) y V una función que asigna sus extensiones correspondientes a constantes de individuo, funciones y predicados. Sobre esta base puede determinarse el valor que la función V de un modelo les asigna, en general, tanto a términos cerrrados como a enunciados (fórmulas cerrradas). A todo término cerrado le corresponde un individuo del universo de discurso, es decir,
La función V determinará, en general, para cualquier enunciado de LPO un valor de verdad, comportándose igual que la función de valuación vista previamente para enunciados generales y moleculares. En el caso de enunciados atómicos, su valor de verdad dependerá del valor de verdad asignado a términos y predicados, del siguiente modo, de modo que se dan condiciones de verdad también para enunciados atómicos.
Finalmente, el caso de los cuantificadores deberá tomar en cuenta ahora que no se presupondrá que para todo individuo existe un término del cual es su referencia. Así, el dominio podrá tener una cardinalidad cualquiera. Pero, entonces, si se conservan las cláusulas de la definición de valuación puede suceder que la valuación asigne a un enunciado universal el valor v, pero que haya un individuo del dominio sin término que lo designe, pero para el cual no valga lo expresado en el enunciado. Para solucionar este problema se recurrirá al concepto de modelo variante respecto de constantes de
individuos.. Un modelo <U, V’> es variante en t respecto del modelo <U, V> si y sólo si difieren únicamente en el valor que le asignan al término t.
8.1 Definición de modelo
Usando un lenguaje funcional, la definición precedente de valuación queda establecida del siguiente modo
8.1. Un modelo para LPO es una dupla <U, V>, siendo U un dominio (no vacío) de individuos y V una función tal que para toda constante t de LPO V(t) ∈ U, de modo que se cumplen las siguientes condiciones:
1. V(P) ⊆ Un, para todo predicado n-ario P de LPO. 2. V(Pt1...tn) = v sii V(t1), ..., V(tn) ∈V(P).
3. V(∀xA[x]) = v sii, para todo modelo <U, V’> variante en t de <U, V>, se da que
V’(A[t]) = v;
5. (a) V(A∧B) = v sii V(A) = V(B) = v; (b) V(A∨B) = v sii V(A) = v o V(B) = v; (c)
V(A→B) = v sii V(A) = f o V(B) = v; (d) V(A↔B) = v sii V(A) = V(B); (e) 6. V(¬A) = v sii V(A) = f;
De aquí se pueden definir para modelos los conceptos de consecuencia lógica, consistencia y verdad lógica:
8.1.2 Un enunciado A de LPO es consecuencia de un conjunto Γ de enunciados de LPO si y sólo si no hay ningún modelo <U,V> tal que V(B) = v para todo B en Γ y V(A)= f.
8.1.3 Un conjunto Γ de enunciados de LPOes o consistente (o satisfacible) si y sólo si existe un modelo <U,V> tal que, para todo enunciado B de Γ, V(B) = v (es decir, hace a todos los enunciados del conjunto verdaderos).
8.1.4 Un enunciado A de LPOes lógicamente verdadero si y sólo si para todo modelo <U,V>, V(A) = v.
Este concepto específico de modelo (concepto semántico y formal) puede
aplicarse también a otros lenguajes formales y a otros sistemas lógicos, e incluso teorías no lógicas (siempre que estén formuladas en un lenguaje formal). Esto da lugar a una metodología para caracterizar propiedades semánticas de teorías. Esta metodología formal constituye la teoría de modelos, concebida sobre todo por Alfred Tarski, y que es una rama o área de investigación dentro de la lógica matemática.
9. Resumen de las propiedades metateóricas vistas
9.1 La lógica de predicados de primer orden es semánticamente adecuada (completa y correcta).
9.2 La lógica de predicados de primer orden es indecidible. 9.3 La lógica de predicados de primer orden es semidecidible. 9.4 La lógica de enunciados es decidible.
