Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y
Electrónica
Propagación de ondas electromagnéticas en
un medio con variación temporal periódica
de su permitividad y permeabilidad
por
Olga Mariana Becerra Fuentes
Tesis sometida como requisito parcial
para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
con especialidad en electrónica
Supervisada por
Dr. Peter Halevi
Noviembre 2012
Sta. Ma. Tonanzintla, Puebla
© INAOE 2012
El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias en su totalidad o en
I
Resumen
En esta tesis se presenta el estudio de un medio dinámico (infinito, uniforme, isotrópico, no dispersivo, no absorbente) con propiedades electromagnéticas que varían periódicamente en el tiempo. Dichas propiedades, es decir, la permitividad
€
ε(t) y la permeabilidad
€
µ(t) del medio mencionado, se encuentran moduladas a la misma frecuencia
€
Ω 2π y pueden presentar una
diferencia de fase arbitraria entre ellas. En este estudio se incluye tanto la obtención de la relación de dispersión a partir de un problema de eigenvalores, como el análisis numérico de un caso particular en el que ambas funciones varían sinusoidalmente en el tiempo.
Debido a que la estructura de bandas encontrada presenta, en ocasiones, bandas prohibidas de vector de onda
€
Δk, el análisis anterior también contiene la
determinación de algunas de las circunstancias bajo las cuales el tamaño de dichas bandas puede ser modulado.
Adicionalmente, un cálculo analítico aproximado ha sido desarrollado para el caso en el que las modulaciones de la permitividad y permeabilidad son muy pequeñas
€
Mµ,ε <<1
(
)
.También se presenta la relación de dispersión de una línea de transmisión dinámica pasa‐bajos, es decir, una línea en la que se han sustituido sus capacitores e inductores estáticos por unos cuyas inductancias y capacitancias varían periódicamente en el tiempo. Se ha encontrado que dicha línea se comporta, en el límite de longitud de onda larga, como el medio descrito en los párrafos anteriores, caracterizado por la permitividad
€
ε(t) y la permeabilidad
€
µ(t).
Ya que en las estructuras de bandas obtenidas para las líneas de transmisión mencionadas es posible encontrar tanto bandas prohibidas en frecuencia angular
€
Δω como en vector de onda
€
Δk, en este trabajo se han
establecido algunas condiciones para las cuales, es posible obtener una u otra posibilidad.
II
Agradecimientos
Agradezco a mi asesor, el Dr. Peter Halevi, ya que sin sus consejos y sin su constante orientación esta tesis no habría sido posible. Al Dr. Jorge Roberto Zurita Sánchez que en incontables ocasiones se detuvo a resolver muchas de mis dudas sobre lo aquí tratado. A mi familia, que ha encontrado a lo largo del tiempo, la forma precisa de ayudarme en el momento oportuno. Al INAOE y al CONACYT, por los múltiples recursos y las tan oportunas facilidades prestadas para hacer posible esta investigación. Por último, a Víctor Hugo Vega González que a través de innumerables discusiones y atinados comentarios me ayudó a resolver muchas de las dudas y problemas presentes por mucho tiempo en el camino.
III
Esta investigación fue realizada gracias al apoyo del Consejo de Ciencia y Tecnología del Estado de Puebla.
IV
Tabla de contenidos
Resumen ... I
Agradecimientos ...II
Tabla de contenidos...IV
Lista de Figuras...VI
1 Introducción ... 1
1.1 Planteamiento del problema ...2
1.2 Motivaciones ...3
1.3 Objetivos...4
1.3.1 Objetivos generales...4
1.3.2 Objetivos específicos ...4
1.4 Narrativa por capítulos...5
2 Un medio dinámico... 7
2.1 Ecuaciones de onda...7
2.2 Ecuación de eigenvalores...9
2.3 Aproximación para modulación muy débil ... 11
2.3.1 Aproximación de orden cero o modelo de la red vacía ...12
2.3.2 Aproximación de primer orden ...13
2.4 Simulaciones numéricas... 16
2.4.1 Estructura de bandas ...17
2.4.2 Comparación entre el diagrama de bandas y la aproximación de 1º orden...24
3 Línea de transmisión dinámica...27
3.1 ¿Qué es una línea de transmisión dinámica (LTD)?... 27
3.2 Ecuación de eigenvalores de una línea de transmisión dinámica... 29
3.3 La ecuación de onda y su límite en longitudes de onda largas... 33
3.4 Simulaciones numéricas... 35
3.4.1 Estructura de bandas ...35
3.4.2 Límite de longitud de onda larga ...42
4 Conclusiones...45
4.1 Un medio dinámico ... 45
V
4.3 Trabajo a futuro ... 49
5 Anexos...51
5.1 Variación temporal de la permeabilidad... 51
5.2 Inductores variables MEMS... 52
5.2.1 Parámetros de los inductores variables...53
5.2.2 Algunos métodos para lograr cambios de inductancia...54
6 Bibliografía...59
VI
Lista de Figuras
Fig. 2.1 Diagrama del medio dinámico. 8
Fig. 2.2 Estructura de bandas con Mε = Mμ =M y θ=0 . a) M=0, b) M=0.1619, c)
M=0.6476 y d) M=0.9714 18
Fig. 2.3 Estructura de bandas con Mε = Mμ = 0.6476 y θ=π, π/2, π/4 y π/8. 19
Fig. 2.4 Variación del tamaño de la 1ª banda prohibida ante variaciones de θ para Mε = Mμ = 0.1619, 0.3238, 0.4857, 0.6476, 0.8095 y 0.9714. 20
Fig. 2.5 Estructura de bandas con Mε = 0.99 y Mμ = 0, 0.16, 0.32 y 0.48 para θ = 0.
21
Fig. 2.6 Variación del tamaño de la 1ª banda prohibida ante variaciones de Mμ para Mε = 0, 0.16m 0.32, 0.48, 0.64, 0.8, 0.97 cuando θ = 0. 22
Fig. 2.7 Estructura de bandas con Mε =0.99, Mμ = 0.16 y θ=0, π/4, π/2 y π. 23
Fig. 2.8 Variación del tamaño de la 2ª banda prohibida ante variaciones de θ para Mε = Mμ = 0.1619, 0.3238, 0.4857, 0.6476, 0.8095 y 0.9714. 24
Fig. 2.9 Comparación entre el diagrama de bandas (línea continua) y la
aproximación de 1º orden (línea punteada) para Mε = Mμ = 0.01619 y θ = 0. 25
Fig. 2.10 Comparación entre el diagrama de bandas (línea continua) y la
aproximación de 1º orden (línea punteada) para Mε = Mμ = 0.1 y θ = π. 25
Fig. 3.1 Diagrama esquemático de una LT unidimensional alimentada con una
fuente y terminada en una carga [21]. 28
Fig. 3.2 Diagrama esquemático de una línea de transmisión ideal unidimensional.
28
Fig. 3.3 Diagrama esquemático de una línea de transmisión dinámica ideal. 29
Fig. 3.4 Estructura de bandas para θ=0 y MC = ML = 0.16, 0.64 y 0.8. 36
VII
Fig. 3.6 Estructura de bandas para MC = ML = 0.6476 y θ = 0, 3π/8 y π. 38
Fig. 3.7 Estructura de bandas para MC = ML = 0.1619, θ = 0 y
€
Ω = 4.28, 6.28 y 9.28.
39
Fig. 3.8 Estructura de bandas para MC = ML = 0.97 y θ = 0. 40
Fig. 3.9 Estructura de bandas para MC = ML = 0.85, 0.9 y 0.94 con θ = 0. 41
Fig. 3.10 Comparación del diagrama de bandas de un medio dinámico (línea
continua) y una LTD (línea punteada) para Mε = Mμ = 0.1619, θ=0 y
€
Ω = a)
0.1, b) 0.5 y c)1. 42
Fig. 3.11 Comparación del diagrama de bandas de un medio dinámico (línea
continua) y una LTD (línea punteada) para Mε = Mμ = 0.6476, θ=0 y
€
Ω = a)
0.1, b) 0.5 y c)1. 43
Fig. 5.1 Inductor variable logrado con interruptores micromaquinados a través de conexiones en serie o en paralelo [20]. 54
Fig. 5.2 Inductor variable basado en el concepto de inductancia mutua logrado a
través de interruptores [20]. 55
Fig. 5.3 Inductor variable basado en el concepto de inductancia mutua logrado a través del desplazamiento una de las bobinas que lo forman [22]. 56
Fig. 5.4 Diagrama esquemático de un inductor variable basado en el efecto de
magneto‐impedancia [20]. 57
Lista de Tablas
Tabla 5.1 Comparación de inductores variables (* datos no encontrados) [19]....58
VIII
1
1
Introducción
Muchos de los avances tecnológicos más significativos de la humanidad se han producido gracias al profundo entendimiento adquirido acerca de las propiedades de los materiales. En tiempos recientes estos conocimientos han conducido a nuevas formas de “crear” materiales artificiales que presentan propiedades electromagnéticas inusuales pero sumamente útiles (metamateriales). Esta línea de investigación se ha vuelto uno de los motores importantes de muchas investigaciones a nivel mundial.
Justo como mencionó John Maddox en uno de sus artículos (Nature 348, 481 (1990)): “Si sólo fuera posible hacer materiales dieléctricos en los cuales las ondas electromagnéticas no pudieran propagarse a ciertas frecuencias, toda clase de cosas casi mágicas serían posibles.” [10]. Prueba de esto son los cristales fotónicos, medios artificiales periódicos en el espacio, hechos principalmente de materiales dieléctricos, que presentan en algunos casos bandas prohibidas de frecuencia para diferentes direcciones de propagación.
Desde que se establecieron sus bases teóricas y experimentalmente se obtuvieron materiales compuestos con periodicidad espacial en 1, 2 y 3 dimensiones, sus aplicaciones han proliferado rápidamente y van desde divisores de haz hasta guías de onda y fibras ópticas fotónicas. Incluso algunos afirman que dichos materiales representan un futuro cercano de las líneas de transmisión.
A estos increíbles avances se sumó activamente el hecho de que no sólo se podían tener bandas de frecuencia prohibidas si no también, el ancho de éstas podía ser modulado agregando componentes metálicos o en presencia de un campo magnético externo.
Paralelo a lo anterior, desde hace más de medio siglo ya se concebían medios modulados en el espacio y en el tiempo en aplicaciones de ingeniería de señales [7], [8] y [14].
De lo antes expresado surge la duda: si tanto es posible a partir de materiales que varían su permitividad periódicamente en el espacio ¿que pasaría si ésta en lugar de variar en el espacio variara en el tiempo?.
2
La respuesta a esto fue propuesta a detalle en [23] y en [24]. Sus principales resultados: bandas prohibidas de vector de onda (
€
Δk) para un medio
infinito y coeficientes de reflexión y transmisión gigantescos para una placa debidos a resonancias dentro de ella. Esto último posible para ciertas frecuencias incidentes (que corresponden a resonancias paramétricas) siempre que dicha placa fuera modulada por una frecuencia crítica. Adicionalmente, como consecuencia de la interacción de la onda incidente con la placa dinámica, las ondas reflejadas y transmitidas contienen un número infinito de armónicos de la frecuencia angular (
€
Ω) a la que está siendo modulada la constante dieléctrica, es
decir, la placa es una fuente policromática de frecuencias.
Debido a las dificultades encontradas al modular fuertemente la constante dieléctrica de un medio en el tiempo, el mismo grupo de investigación que presentó lo anterior propuso que una manera de emular el comportamiento de un medio con permitividad variante en el tiempo podría ser conseguida a través de una línea de transmisión dinámica (LTD) ideal sustituyendo sus capacitores por varactores; esto, en el límite de longitud de onda larga. Ellos han corroborado estos resultados teóricos con simulaciones tanto numéricas como electrónicas y, actualmente, ya están diseñando un prototipo de dicha línea en el Laboratorio de Microondas del INAOE. También es importante resaltar que el grupo de investigación antes mencionado ya ha logrado reproducir en la LTD, a través de simulaciones electrónicas, las resonancias “ópticas” encontradas anteriormente en la placa.
Este trabajo busca generalizar parte de lo propuesto en [5] y en [23]. Para ello, hemos estudiado un medio con ambas la permitividad y la permeabilidad variantes periódicamente en el tiempo y también una línea de transmisión dinámica ideal en la que se han sustituido sus capacitancias e inductancias estáticas por unas que varían periódicamente en el tiempo.
1.1
Planteamiento del problema
Muchas aplicaciones en ingeniería de señales como moduladores, amplificadores paramétricos, conversores de frecuencia, circuitos retardadores, etc., ya contemplaban desde hace más de medio siglo la existencia de medios
3
dinámicos. Durante varias décadas numerosos trabajos propusieron procedimientos matemáticos para explicar la propagación de ondas electromagnéticas en dichos medios. Aunque adecuados, no ofrecían lo suficiente desde que presentaban gran dificultad en los cálculos y no ofrecían la generalidad necesaria ([7], [8], [14]). En el año 2009, [23] propuso, con un enfoque totalmente diferente al manejado hasta el momento, una teoría basada en la periodicidad temporal de la permitividad. El problema era que, a pesar de que los procedimientos matemáticos propuestos eran relativamente más sencillos que los presentados anteriormente, los medios dinámicos considerados no poseían propiedades magnéticas.
Otro inconveniente importante radica en el hecho de que lograr experimentalmente materiales con propiedades electromagnéticas variantes en el tiempo no es cosa fácil. Por ejemplo, la variación de la permitividad puede ser obtenida a través de métodos no lineales como el efecto Kerr y el electro‐óptico. Para la variación temporal de la permeabilidad ver anexo A. Además, la propiedad electromagnética correspondiente no varía sustancialmente en comparación con su valor promedio, es decir el valor máximo de la parte variante del parámetro (ya sea permitividad o permeabilidad) es mucho menor que el de la parte invariante.
1.2
Motivaciones
Este trabajo encuentra su principal motivación en los interesantes resultados presentados en [23] y [24]. El hecho de que en un medio con permitividad periódica en el tiempo puedan encontrarse cosas tan impresionantes como ondas transmitidas con amplitudes casi 2 ordenes de magnitud mayores que la onda incidente, nos ha hecho preguntarnos ¿qué resultados podríamos obtener si agregáramos a dicho medio propiedades magnéticas también periódicas en el tiempo? y ¿cómo podríamos hacer que dicha modulación de la permeabilidad fuera posible?.
La respuesta a la última pregunta planteada ha sido sugerida por [1] y [5] a través de una línea de transmisión dinámica pasa‐bajos en la que se han sustituido los capacitores por unidad de longitud por varactores. Ahí, fue probado que dicha línea puede comportarse como un medio con permitividad periódica en el tiempo
4
en el límite de longitud de onda larga. En otras palabras, variar en el tiempo sus capacitancias es equivalente a variar la permitividad efectiva del medio
€
(ε(t)). Por
tanto, una consecuencia lógica de esto sería pensar que variar sus inductancias en el tiempo
€
(L(t)) sería equivalente a variar su permeabilidad efectiva
€
(µ(t)).
Lo último resulta muy interesante desde que es mucho más sencillo conseguir dispositivos que puedan variar su inductancia (L) que materiales que puedan variar su permeabilidad. Algunos de los dispositivos antes mencionados han sido diseñados para aplicaciones en el orden GHz y logran una variación continua de la L alterando la inductancia mutua presente entre dos bobinas a través de modificar la distancia entre ellas [22] o una variación discreta a través de la implementación de microrelés [20]. Para más información acerca de cambios temporales en la permeabilidad o la inductancia revisar los anexos.
1.3
Objetivos
1.3.1
Objetivos generales1. Describir a través de un procedimiento matemático la propagación de ondas electromagnéticas en un medio dinámico con variación temporal periódica de su permitividad y permeabilidad logrando así un método generalizado.
2. Analizar el comportamiento, ante ondas electromagnéticas, de una línea de transmisión dinámica ideal, es decir, con parámetros (capacitancia e inductancia por unidad de longitud) que presenten periodicidad temporal.
1.3.2
Objetivos específicos1. Elaborar la descripción teórica necesaria para encontrar la relación de dispersión (vectores de onda permitidos para una frecuencia angular específica) de un medio infinito, uniforme, isotrópico y no absorbente siendo su permitividad y su permeabilidad funciones periódicas arbitrarias del tiempo.
5
2. Realizar simulaciones numéricas de la relación de dispersión de un caso particular: permitividad y permeabilidad variando sinusoidalmente (función armónica) en el tiempo.
3. Analizar, a través de las simulaciones numéricas realizadas, el comportamiento de la estructura de bandas de dicho caso particular.
4. Transportar los conocimientos adquiridos a una línea de transmisión dinámica ideal con el fin de emular las características del medio infinito estudiado anteriormente.
4.1 Elaborar la descripción teórica necesaria para encontrar la relación de dispersión de una línea de transmisión dinámica ideal.
4.2 Realizar las simulaciones numéricas de la relación de dispersión de una línea de transmisión dinámica (capacitancia e inductancia por unidad de longitud con variación periódica temporal), infinita, no dispersiva, no absorbente y uniforme.
1.4
Narrativa por capítulos
Esta tesis está compuesta por cuatro capítulos. En el segundo, es presentado el análisis teórico realizado para un medio infinito, isotrópico, homogéneo, no absorbente y no dispersivo con permitividad y permeabilidad periódicas en el tiempo. Aquí se ha considerado que en dichas propiedades electromagnéticas la razón entre la amplitud de la parte variante del parámetro y la parte invariante (el promedio) se denomina modulación. Adicionalmente, se han encontrado numéricamente los diagramas de bandas para el caso en el que ambas funciones varían sinusoidalmente en el tiempo para distintas modulaciones y diferencias de fase arbitrarias.
El tercer capítulo presenta un estudio acerca de una línea de transmisión pasa bajos ideal e infinita en la que se han sustituido los capacitores y los inductores estáticos por unos variantes en el tiempo. Nos muestra además, el diagrama de bandas de dicha línea, algunas maneras en la que las bandas prohibidas presentes pueden ser moduladas y una comparación entre la
6
estructura de bandas del medio anterior y el encontrado para la línea estudiada en el límite de longitud de onda larga.
En el cuarto capítulo podremos encontrar las conclusiones de la investigación realizada y el trabajo a futuro.
Debido a que para los temas tratados en este trabajo es importante la variación temporal de la permeabilidad y la inductancia, el quinto y último capítulo está totalmente dedicado a dar un panorama general sobre estos temas.
7
2
Un medio dinámico
2.1
Ecuaciones de onda
Para un medio infinito, isotrópico, homogéneo, no absorbente, no dispersivo y sin cargas libres sabemos que la densidad de carga € ρ y la densidad de corriente €
J se anulan. Además al considerar que dicho medio tiene propiedades electromagnéticas que varían periódicamente en el tiempo, es decir es dinámico, podemos escribir las relaciones que describen su comportamiento bajo la influencia de los campos electromagnéticos, las relaciones constitutivas, como:
Aquí
€
D y
€
B son el vector de desplazamiento y la inducción magnética respectivamente,
€
E [
€
H ] campo eléctrico [campo magnético] y
€
ε [
€
µ] la
permitividad [permeabilidad magnética] del medio.
Tenemos en cuenta, claro, que la periodicidad de
€
ε(t) y
€
µ(t) implica:
donde T corresponde al período. Por tanto, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell en unidades MKS en su forma diferencial son:
La permitividad y la permeabilidad magnética del medio pueden ser reescritas como :
€
µ
( )
t =µ0µr( )
t y€
ε
( )
t =ε0εr( )
t . Aquí,€
εr
( )
t [€
µr
( )
t ] son la€
D
( )
r ,t =ε( )
t E ( )
r ,t ,Ec. 2.1 €
B
( )
r ,t =µ( )
t H ( )
r , t .Ec. 2.2 €
ε
( )
t =ε(
t+T)
,Ec. 2.3 €
µ
( )
t =µ(
t+T)
,Ec. 2.4 €
∇ ×E
( )
r , t =−∂ ∂t µ( )
t H
( )
r , t[
]
, Ec. 2.5 €∇ ×H
( )
r ,t = ∂ ∂t ε( )
t E
( )
r ,t[
]
, Ec. 2.6 €∇•E =0,
Ec. 2.7 €
∇•H =0.
Ec. 2.8
8 permitividad [permeabilidad] relativa y
€
ε0 [
€
µ0] la permitividad [permeabilidad]
del vacío.
La interpretación física de la Ec. 2.7 y la Ec. 2.8 es sencilla: no existen fuentes puntuales o sumideros de campo eléctrico y magnético en el medio.
Las ecuaciones de onda de los campos electromagnéticos se obtienen al desacoplar la Ec. 2.5 y la Ec. 2.6 Para la correspondiente al campo eléctrico basta con aplicar el rotacional a la Ec. 2.5 y sustituir la Ec. 2.7. Para la del campo magnético, hay que aplicar el rotacional a la Ec. 2.6 y sustituir la Ec. 2.8. Como resultado de lo descrito se obtiene:
donde c es la velocidad de la luz en el vacío y está definida como
€
c=1 ε0µ0.
La Ec. 2.9 y la Ec. 2.10 describen el comportamiento del campo eléctrico y del campo magnético dentro del medio dinámico. Para lo sucesivo, hemos escogido arbitrariamente la Ec. 2.9, pero, es bueno tener en mente que todo lo propuesto es igualmente útil para la Ec. 2.10 y al final ambas presentan resultados análogos.
Ondas planas satisfacen la Ec. 2.9 y son soluciones apropiadas desde que estamos considerando un medio infinito. La dirección del campo eléctrico
€
E y del vector de onda
€
k considerados son presentados en la Fig. 2.1.
Fig. 2.1 Diagrama del medio dinámico. €
∇2E
( )
r ,t − 1 c2∂
∂t µr
( )
t ∂ ∂t εr( )
t E
( )
r , t[
]
=0,Ec. 2.9 €
∇2H
( )
r ,t − 1c2 ∂ ∂t εr
( )
t∂ ∂t µr
( )
t
H
( )
r ,t[
]
=0,
Ec. 2.10
9 Debido a que € ε y € µ son funciones periódicas del tiempo, podemos aplicar el
teorema de Bloch‐Floquet de manera semejante al caso de la Ecuación de Schrödinger en los cristales ordinarios.
Aquí
€
E t
( )
es una función que conserva la periodicidad de€
ε y de
€
µ:
Nota: Por conveniencia matemática, hemos empleado el familiar truco de usar campos complejos. Es importante recordar que debemos tomar la parte real de estos si queremos obtener los campos físicos.
2.2
Ecuación de eigenvalores
Al ser la permitividad y la permeabilidad magnética funciones periódicas temporales, éstas pueden ser expandidas como series de Fourier:
Lo mismo sucede con
€
E t
( )
:Es importante mencionar que
€
Ω 2π representa la frecuencia a la que están
siendo moduladas las propiedades electromagnéticas del medio.
Sustituyendo la Ec. 2.11, la Ec. 2.13, la Ec. 2.14 y la Ec. 2.15 en la Ec. 2.9 obtenemos el siguiente problema de eigenvalores:
Aquí
€
l,m,n=0,±1,±2... y
€
δl,n junto con
€
δm,0 son funciones delta de
Kronecker. La Ec. 2.16 es un sistema infinito de ecuaciones lineales, en el cual, las incógnitas corresponden a las amplitudes de los armónicos de campo eléctrico
€
en
( )
ω (eigenfunciones) y sus coeficientes a los términos encerrados entre
€
E x
( )
,t =E t( )
ei kx( −ωt).Ec. 2.11 €
E t
( )
=E t(
+T)
.Ec. 2.12 €
εr
( )
t = εme imΩtm
∑
, Ec. 2.13 €µr
( )
t = µleilΩt l∑
. Ec. 2.14 €E t
( )
= en( )
ω einΩt n∑
. Ec. 2.15 €µl−mεm−n
(
ω −mΩ)
(
ω −lΩ)
−k2c2δl,nδm,0[
]
en( )
ω =0n
∑
m∑
. Ec. 2.1610
corchetes. Este problema de eigenvalores tiene soluciones no triviales cuando el determinante de la matriz de coeficientes se anula. Esta condición conduce a los eigenvalores es decir a los vectores de onda característicos del sistema
€
k
( )
ω . Yaque, esta solución nos devuelve un número infinito de estos para cada frecuencia
€
ω dada:
€
k1(ω),
€
k2
( )
ω ,€
k3
( )
ω , … podemos etiquetarlos con el subíndice p. Es decir,el conjunto de eigenvalores que forman la banda p serán
€
kp
( )
ω y suseigenfunciones correspondientes serán
€
epn
( )
ω .Reescribiendo la Ec. 2.16 obtenemos:
Anteriormente, hemos anotado que se ha elegido arbitrariamente la ecuación de onda de campo eléctrico (Ec. 2.9) para llevar a cabo el procedimiento pero, ¿qué pasaría si en lugar de eso hubiéramos escogido la ecuación de onda del campo magnético (Ec. 2.10)?. Siguiendo el procedimiento anterior, el problema de eigenvalores obtenidos habría sido: Aquí, €
hpn representa las eigenfunciones del problema planteado, es decir, las incógnitas del sistema infinito de ecuaciones lineales o las amplitudes de los armónicos de campo magnético.
Esto resulta, de manera trivial, del hecho de que la Ec. 2.10 puede ser obtenida de la Ec. 2.9 con sólo intercambiar €
E
( )
r ,t por
€
H
( )
r ,t y
€
εr
( )
t por€
µr
( )
t .Al ser la Ec. 2.18 análoga a la Ec. 2.17 la estructura de bandas obtenida a partir de solucionar numéricamente cualquiera de los 2 sistemas resulta ser la misma. Esta situación es previsible, pues ambas relaciones de dispersión describen la forma en que se propagan las ondas electromagnéticas dentro del mismo medio.
Con el fin de evitar confusiones posteriores estableceremos que el subíndice 0 para
€
ε y
€
µ quedará reservado para la permitividad y permeabilidad del vacío,
€
µl−mεm−n
(
ω −mΩ)
(
ω −lΩ)
−kp2c2δl,nδm,0[
]
epn( )
ω =0n
∑
m∑
. Ec. 2.17 €εm−lµl−n
(
ω −lΩ)
(
ω −mΩ)
−kp 2c2δm,nδl,0
[
]
hpn=0n
∑
l∑
. Ec. 2.1811
mientras que para el primer coeficiente de las series de Fourier de la Ec. 2.13 y la Ec. 2.14 dispondremos
€
εr y
€
µ r respectivamente.
2.3
Aproximación para modulación muy débil
Iniciaremos considerando que al ser la modulación de las propiedades electromagnéticas muy débil, la mayor contribución a los campos viene dada por los primeros armónicos. Por tanto, para esta aproximación, limitaremos los valores de m, n, y l a 0 y 1. Además, debido a que
€
εr >>ε±1,±2,±3.... y
€
µ r >>µ±1,±2,±3.... los
términos con coeficientes de orden superior multiplicados entre sí son tan pequeños que pueden ser despreciados. Hemos llamado coeficientes de orden superior a los coeficientes de las series de Fourier que tienen un subíndice con valor absoluto mayor o igual a 1.
Con todo esto, el sistema infinito de ecuaciones lineales expresado en la Ec. 2.17 se reduce a:
El sistema anterior tiene soluciones no triviales si el determinante de su matriz de coeficientes se anula. De satisfacer esta condición, analíticamente se obtiene:
€
µ rε rω2−kp2c2
[
]
µ rε r(
ω − Ω)
2−kp2c2
− µ rε−1ω 2
+µ−1ε rω ω − Ω
(
)
[
]
µ1ε rω ω − Ω(
)
+µ rε1(
ω − Ω)
2
=0
. Ec. 2.21 Desarrollando la Ec. 2.21, ésta, puede ser reescrita de la forma: donde €
µ rε rω2−kp2c2
[
]
ep0+ µ rε−1ω 2+µ−1ε rω ω − Ω
(
)
[
]
ep1=0,Ec. 2.19 €
µ1ε rω ω − Ω
(
)
+µ rε1(
ω − Ω)
2
ep0+ µ rε r
(
ω − Ω)
2−kp2c2
ep1=0.
Ec. 2.20 € ax2
+bx+c=0 siendo
€
x≡kp 2c2,
Ec. 2.22
12
2.3.1
Aproximación de orden cero o modelo de la red vacíaLa estructura de bandas en los cristales ordinarios frecuentemente es descrita por modelos que tratan a los electrones como si estuvieran sólo débilmente perturbados por el potencial periódico de los núcleos iónicos. En ocasiones, si la perturbación producto de los núcleos se estima muy pequeña, las energías de los electrones en las bandas se aproximan, a groso modo, a las energías de los electrones libres. Esto es, al ser la perturbación tan débil puede hacerse la consideración de que la interacción de los electrones con los núcleos no existe pero se sigue conservando la periodicidad, es decir, la red está “vacía” [11].
En cristales fotónicos temporales (CFT) podemos hacer fácilmente una analogía de esta aproximación. Basta con considerar que las modulaciones de
€
ε y
€
µ son tan pequeñas que la estructura de bandas obtenida de solucionar
numéricamente la Ec. 2.17 se aproxima bastante bien a la estructura de bandas de un medio estático, es decir, un medio con permitividad y permeabilidad constantes en el tiempo.
Para lograr esto tendremos en cuenta que, al ser la modulación de las propiedades electromagnéticas tan débil, todos los coeficientes de las series expresadas en la Ec. 2.13 y en la Ec. 2.14 son iguales a cero excepto
€
ε r y
€
µ r.
Por tanto, las raíces de la Ec. 2.22 son:
Es importante mencionar que la raíz positiva obtenida a partir de la simplificación de la Ec. 2.22 propuesta en este apartado formará la primera banda mientras que la raíz negativa formará la segunda.
€
a=1
€
b=−µ rε r ω2+
(
ω − Ω)
2 , €c=ω2
(
ω − Ω)
2[
µ r2εr2−µ r2ε−1ε1−µ−1µ1εr2]
−µ rεrω ω − Ω(
)
µ1ε−1ω 2+µ−1ε1
(
ω − Ω)
2 . €k(2+)c2
=µ rεrω
2 , Ec. 2.23 €
k(2−)c2
=µ rεr
(
ω − Ω)
2 . Ec. 2.24
13
Debido a que una relación de dispersión generalmente expresa a la frecuencia angular
€
ω en términos del vector de onda
€
k despejamos
€
ω de la Ec.
2.23 y la Ec. 2.24 obteniendo:
De la Ec. 2.25 notamos que la gráfica que representa una de las soluciones posibles una recta con pendiente positiva
€
m=c εrµ r que corta al eje vertical en
€
ω=0. De la Ec. 2.26 vemos que para la otra solución se obtiene una recta con una
pendiente negativa
€
m=−c ε rµ r que corta al eje vertical en
€
ω =Ω, es decir, en la
frecuencia angular a la que están siendo modulados
€
εr y
€
µr.
2.3.2
Aproximación de primer ordenPara esta aproximación, supondremos
€
εr(t) y
€
µr(t) son funciones periódicas
que tienen la misma forma pero no necesariamente la misma fase, por tanto, podemos escribirlas como:
Aquí hemos estableciendo que
€
Mε(µ) es la modulación de la permitividad (permeabilidad) relativa y
€
f una función periódica
€
f t
( )
= f t(
+T)
[
]
cuyo valor promedio es cero
€
f t
( )
=0[
]
y cuyo valor absoluto máximo es 1
€
Max f t
[
( )
]
=1[
]
.Una suposición básica de esta sección es:
Considerando lo anterior, sabemos que podemos expandir la función
€
f como una serie de Fourier. Con esto, los coeficientes de las series de Fourier correspondientes a
€
εr(t) y
€
µr(t) pueden ser escritos como:
€
ω = c
εrµ r k(+) ,
Ec. 2.25 €
ω=Ω − c εrµ r
k(−).
Ec. 2.26 €
εr
( )
t =εr(
1+ Mεf t( )
)
,Ec. 2.27 €
µr
( )
t =µ r(
1+ Mµf t(
+τ)
)
.Ec. 2.28 €
Mε <<1,
€
Mµ <<1.
Ec. 2.29
14
También es importante tener en cuenta que para nuestro caso la permitividad y la permeabilidad son funciones periódicas temporales puramente reales desde que estamos considerando un medio sin pérdidas. Por tanto,
€
f también es una función real. Para una
€
f(t) real se cumple que:
€
f−n = fn
*.
Con esto, las raíces obtenidas de la Ec. 2.22 son:
donde
2.3.2.1
Frecuencia angular ω=Ω/2.Con el fin de analizar mejor lo obtenido en la aproximación de primer orden (apartado 2.3.2) analizaremos algunas regiones particulares. Primero, consideraremos que
€
ω =Ω 2 debido a que en este punto podemos medir el
tamaño de la primera banda prohibida
€
Δk (conclusión obtenida a partir de lo
presentado en [23]).
De las definiciones establecidas anteriormente es fácil deducir que
€
Mε y
€
Mµ son cantidades reales desde que se refieren a la intensidad que tiene la variación temporal de la permitividad y la permeabilidad relativas con respecto a su valor estático.
Con esto, la Ec. 2.32 se reduce a:
€
εn =εrMεfn,
€
n≠0 ,
Ec. 2.30 €
µn=µ rMµfne inΩτ
=µ rMµfne inθ,
€
θ=Ωτ.
Ec. 2.31 €
k(±)2 c2 =µ rεr
2 ω 2
+
(
ω − Ω)
2± β , Ec. 2.32 €β=Ω2
(
2ω− Ω)
2+4ω ω(
− Ω)
f1 2ωMε+
(
ω− Ω)
Mµe−iθ
[
]
(
ω− Ω)
Mε +ωMµeiθ
[
]
{
}
. €k(2±)c2
=Ω
2
4 µ rεr 1± f1 Mε −Mµe iθ
[
]
Ec. 2.3315
Hemos mencionado que a partir de la Ec. 2.33, es posible conocer el tamaño de la primera banda prohibida, es decir, la banda prohibida existente entre la primera y la segunda banda,
€
p=1 y
€
p=2 respectivamente. Para lograr esto, sólo
es necesario restar la raíz negativa
€
k(−) la raíz positiva
€
k(+); con ayuda de la Ec. 2.29 obtenemos:
De la Ec. 2.33 y la Ec. 2.34 es fácil inferir que la banda prohibida
€
Δk se
desvanece (
€
Δk =0) si
€
Mµ = Mε y
€
θ =0., es decir, si las modulaciones de la
permitividad y la permeabilidad son idénticas en ambos, magnitud y fase, existe una degeneración que resulta en la cancelación de la banda prohibida
€
Δk.
2.3.2.2
Frecuencias cercanas a ω=Ω/2.En este punto, ya hemos obtenido una aproximación del tamaño de la primera banda prohibida tomado en
€
ω=Ω 2 para medios dinámicos con
modulación muy débil. Ahora, procederemos a encontrar una aproximación para frecuencias cercanas a
€
ω=Ω 2, es decir:
Para esto definiremos que
€
δ<<Ω 2, retomaremos la Ec. 2.32 y
sustituiremos en ella lo establecido en la Ec. 2.36. Haciendo uso del hecho de que
€
2cosx=eix+e−ix se obtiene:
estableciéndose que
€
Δk =k(+)−k(−) ≅
Ω 2c
µ rεr f1 Mε −Mµe
iθ
[
]
1 2.Ec. 2.34 €
Δk=0, si
€
Mµ =Mε y
€
θ=0.
Ec. 2.35 €
ω=Ω 2+δ. Ec. 2.36
€
k(2±)c2 ≈µ rε r
2 2δ 2
+Ω 2
2 ±Ω γ , Ec. 2.37, €
γ ≅4δ2 + f1
2
4 Ω 2 M
ε 2
−2MεMµcosθ+Mµ2
[
]
.
16
2.4
Simulaciones numéricas
Debido a que en general (cuando
€
Mε y
€
Mµ no son pequeños) para cada valor de frecuencia
€
ω el sistema planteado en la Ec. 2.17 nos devuelve un número
infinito de
€
k, es necesario realizar simulaciones numéricas en el rango de frecuencias deseadas para un número definido de bandas o eigenvalores.
Hemos elegido como caso particular aquel en el que la permitividad y la permeabilidad varían sinusoidalmente en el tiempo de la forma: En la Ec. 2.39, € θ corresponde a una diferencia de fase arbitraria existente entre €
εr y
€
µr. Además,
€
ε r y
€
µ r son la permitividad y permeabilidad relativas
promedios, respectivamente, y se ha escogido que ambas tengan un valor de 5.25. En este punto es importante recordar que tanto
€
εr como
€
µr son cantidades
adimensionales debido a que se refieren a valores relativos del medio.
Ahora, introduciremos una frecuencia angular y un vector de onda normalizados:
Es importante tener presente en lo sucesivo que la frecuencia angular y el vector de onda normalizados presentados anteriormente son también adimensionales. Utilizando la Ec. 2.27, la Ec. 2.28, la Ec. 2.40 y la Ec. 2.41 podemos reescribir la Ec. 2.17 como: €
εr
( )
t =ε r(
1+Mεsin( )
Ωt)
,Ec. 2.38 €
µr
( )
t =µ r(
1+ Mµsin(
Ωt+θ)
)
.Ec. 2.39 €
ωn= ω Ω , Ec. 2.40 €
kn= kc Ω εrµ r
(
)
. Ec. 2.41 €MµMεfl−mfm−neinθ
ωn−m
(
)
(
ωn−l)
−( )
kn p 2δl,nδm,0
epn
( )
ω =0n
∑
m17 El subíndice “n” que acompaña a
€
ω y a
€
k se refiere a la normalización y no al subíndice de la sumatoria.
2.4.1
Estructura de bandasA partir de la ecuación de eigenvalores planteada en el apartado 2.2 calculamos el vector de onda de cada banda para una frecuencia angular dada
€
ω.
De esta forma es posible llegar a la descripción de los modos electromagnéticos del cristal fotónico temporal (CFT). Estos, constituyen una familia de funciones continuas
€
kp(ω) indexadas con el fin de incrementar la magnitud del vector de
onda conforme se incrementa el número de banda
€
p. La información contenida en estas funciones es la llamada estructura o diagrama de bandas del CFT. Si estudiamos dicha estructura de cualquier cristal fotónico, sin importar si su periodicidad es espacial o temporal, podemos obtener gran parte de la información necesaria para predecir sus propiedades ópticas es decir, su comportamiento bajo la influencia de campos electromagnéticos.
En otras palabras, el diagrama de bandas constituye una representación gráfica de la relación de dispersión y es obtenido a partir de solucionar numéricamente el sistema infinito de ecuaciones lineales mostrado en la Ec. 2.17.
Con el fin de analizar mejor el caso particular planteado en el apartado 2.4, hemos determinado un par de valores selectos tanto de modulaciones
€
Mε y
€
Mµ como de diferencia de fase
€
θ. Algunos diagramas de bandas seleccionados
obtenidos a partir de las combinaciones posibles de dichos valores son presentados a continuación.
2.4.1.1
Modulaciones iguales Mε = MμLa Fig. 2.2 nos muestra el diagrama de bandas para 4 casos en los que ambas modulaciones son iguales
€
Mε = Mµ = M
(
)
y no existe diferencia de fase entre la permitividad y la permeabilidad€
θ =0
(
)
. En dichos casos€
Mε,µ toma los siguientes valores: a) 0, b) 0.1619, c) 0.6476 y d) 0.97143. Notamos aquí que, sin importar que tan fuerte sea la modulación de los parámetros no existen bandas prohibidas de vector de onda. La única diferencia entre el caso estático (a) y un
18
caso dinámico cualquiera (b, c , d), siempre que se cumpla que
€
Mε = Mµ y
€
θ=0,
radica en el hecho de que para el primero el valor absoluto de la pendiente de las rectas que forman las bandas es
€
m=1 y en el caso dinámico el valor absoluto de la
pendiente aumenta conforme aumenta la modulación. Este aumento no sigue un comportamiento lineal, hecho que puede ser verificado si graficamos el valor absoluto de la pendiente
€
m contra la modulación
€
M. Las figuras (a) y (b) abajo confirman el resultado analítico aproximado presentado en la Ec. 2.34 para el cierre de la primera banda prohibida,
€
Δkn=0, si
€
θ =0 y
€
Mε = Mµ <<1. De manera
interesante, las figuras (c) y (d) muestran que no existen bandas prohibidas
€
Δkn
¡aún para modulaciones muy fuertes
€
Mε,µ≾1 !. En otras palabras, modulaciones
eléctrica y magnética iguales dan lugar a interferencia constructiva para todos los valores de
€
k si no existe diferencia de fase entre los parámetros electromagnéticos.
Fig. 2.2 Estructura de bandas con Mε = Mμ =M y θ=0 . a) M=0, b) M=0.1619, c) M=0.6476 y d) M=0.9714
19
De aquí en adelante llamaremos bandas prohibidas en vector de onda normalizado
€
Δkn a las bandas que anteriormente hemos mencionado como
€
Δk.
Esto debido a que en las gráficas presentadas se ha usado el vector de onda normalizado
€
kn en lugar de
€
k con el fin de hacer que las bandas permanezcan inalterables ante cambios en los valores de
€
ε r y
€
µ r.
Ahora consideraremos que
€
θ ≠0 y estableceremos aquí que cuando en el
texto se mencione una banda prohibida ésta se referirá siempre a la primera a menos que sea anotado lo contrario.
Fig. 2.3 Estructura de bandas con Mε = Mμ = 0.6476 y θ=π, π/2, π/4 y π/8.
La Fig. 2.3 muestra el caso en el que ambas modulaciones son
iguales,
€
Mµ = Mε =0.6476, y la diferencia de fase
€
θ presenta 4 valores diferentes:
€
π,
€
π 2,
€
π 4 y
€
π 8. Aquí es posible observar que el hecho de introducir una
diferencia de fase entre la permitividad y la permeabilidad, sin importar que
€
20
Ahora ya sabemos que una diferencia de fase involucra una banda prohibida pero ¿de qué tamaño es dicha banda? y ¿qué valor de
€
θ presenta la
banda prohibida mayor?.
Para responder a esas preguntas hemos obtenido el tamaño de la banda prohibida generada. Para esto hemos considerado que
€
ωn =0.5. Los resultados son
presentados en la Fig. 2.4.
Fig. 2.4 Variación del tamaño de la 1ª banda prohibida ante variaciones de θ para Mε = Mμ = 0.1619, 0.3238, 0.4857, 0.6476, 0.8095 y 0.9714.
A partir de la Fig. 2.4 observamos que, a modulaciones iguales, la banda prohibida aumenta conforme aumenta la diferencia de fase encontrando su máximo valor en
€
θ=π. Otro punto que vale la pena remarcar radica en el hecho
de que de las 6 curvas mostradas en la figura anterior, la que presenta la banda prohibida mayor es la línea amarilla que corresponde a
€
Mµ,ε =0.9714. Esto
significa que, a una diferencia de fase dada, la banda prohibida aumenta conforme aumenta la modulación.
Aquí es importante anotar que el tamaño de la banda prohibida presentado en la Fig. 2.4 es un valor relativo y adimensional ya que se ha obtenido de restar dos vectores de onda normalizados que son también adimensionales.
21
2.4.1.2
Modulaciones diferentes Mε ≠ Mμ
El caso en el que
€
Mε ≠Mµ y
€
θ=0 se presenta en la Fig. 2.5.
Fig. 2.5 Estructura de bandas con Mε = 0.99 y Mμ = 0, 0.16, 0.32 y 0.48 para θ = 0.
En ella vemos que, incluso sin diferencia de fase, una diferencia en las modulaciones implica también una banda prohibida. El tamaño de esta última depende de qué tan grande es la diferencia existente entre
€
Mε y
€
Mµ, es decir, entre mayor diferencia exista entre las modulaciones mayor banda prohibida se generara. En la Fig. 2.5 vemos que, de las 4 curvas presentadas, la que exhibe la mayor banda prohibida es la magenta y corresponde al caso con mayor diferencia en las modulaciones.
En la figura anterior también podemos observar que en las 4 curvas presentadas se genera una segunda banda prohibida visible, es decir, una banda prohibida de tamaño considerable entre la banda p=3 y la banda p=4.
Ahora, presentaremos la variación del tamaño de la banda prohibida ante variaciones de
€
Mµ para valores fijos de
€