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Propagación de ondas electromagnéticas en un medio con variación temporal periódica de su permitividad y permeabilidad

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Academic year: 2020

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(1)

Instituto
Nacional
de
Astrofísica,
Óptica
y


Electrónica


Propagación
de
ondas
electromagnéticas
en


un
medio
con
variación
temporal
periódica


de
su
permitividad
y
permeabilidad

por


Olga
Mariana
Becerra
Fuentes


Tesis
sometida
como
requisito
parcial



para
obtener
el
grado
de


Maestro
en
Ciencias



con
especialidad
en
electrónica


Supervisada
por


Dr.
Peter
Halevi


Noviembre
2012


Sta.
Ma.
Tonanzintla,
Puebla


©
INAOE
2012


El
autor
otorga
al
INAOE
el
permiso
de
 reproducir
y
distribuir
copias
en
su
totalidad
o
en


(2)


 I


Resumen


En
 esta
 tesis
 se
 presenta
 el
 estudio
 de
 un
 medio
 dinámico
 (infinito,
 uniforme,
 isotrópico,
 no
 dispersivo,
 no
 absorbente)
 con
 propiedades
 electromagnéticas
que
varían
periódicamente
en
el
tiempo.
Dichas
propiedades,
es
 decir,
 la
 permitividad


ε(t)
 y
 la
 permeabilidad


µ(t)
 del
 medio
 mencionado,
 se
 encuentran
 moduladas
 a
 la
 misma
 frecuencia


Ω 2π
 y
 pueden
 presentar
 una


diferencia
 de
 fase
 arbitraria
 entre
 ellas.
 En
 este
 estudio
 se
 incluye
 tanto
 la
 obtención
 de
 la
 relación
 de
 dispersión
 a
 partir
 de
 un
 problema
 de
 eigenvalores,
 como
el
análisis
numérico
de
un
caso
particular
en
el
que
ambas
funciones
varían
 sinusoidalmente
en
el
tiempo.



 Debido
 a
 que
 la
 estructura
 de
 bandas
 encontrada
 presenta,
 en
 ocasiones,
 bandas
prohibidas
de
vector
de
onda


Δk,
el
análisis
anterior
también
contiene
la


determinación
de
algunas
de
las
circunstancias
bajo
las
cuales
el
tamaño
de
dichas
 bandas
puede
ser
modulado.



 Adicionalmente,
un
cálculo
analítico
aproximado
ha
sido
desarrollado
para
 el
 caso
 en
 el
 que
 las
 modulaciones
 de
 la
 permitividad
 y
 permeabilidad
 son
 muy
 pequeñas


Mµ,ε <<1

(

)

.



 También
se
presenta
la
relación
de
dispersión
de
una
línea
de
transmisión
 dinámica
pasa‐bajos,
es
decir,
una
línea
en
la
que
se
han
sustituido
sus
capacitores
 e
 inductores
 estáticos
 por
 unos
 cuyas
 inductancias
 y
 capacitancias
 varían
 periódicamente
en
el
tiempo.
Se
ha
encontrado
que
dicha
línea
se
comporta,
en
el
 límite
de
longitud
de
onda
larga,
como
el
medio
descrito
en
los
párrafos
anteriores,
 caracterizado
por
la
permitividad


ε(t)
y
la
permeabilidad


µ(t).



 Ya
 que
 en
 las
 estructuras
 de
 bandas
 obtenidas
 para
 las
 líneas
 de
 transmisión
 mencionadas
 es
 posible
 encontrar
 tanto
 bandas
 prohibidas
 en
 frecuencia
 angular


Δω
 como
 en
 vector
 de
 onda


Δk,
 en
 este
 trabajo
 se
 han


establecido
 algunas
 condiciones
 para
 las
 cuales,
 es
 posible
 obtener
 una
 u
 otra
 posibilidad.



(3)


 II


Agradecimientos


Agradezco
a
mi
asesor,
el
Dr.
Peter
Halevi,
ya
que
sin
sus
consejos
y
sin
su
 constante
orientación
esta
tesis
no
habría
sido
posible.
Al
Dr.
Jorge
Roberto
Zurita
 Sánchez
que
en
incontables
ocasiones
se
detuvo
a
resolver
muchas
de
mis
dudas
 sobre
 lo
 aquí
 tratado.
 
 
 A
 mi
 familia,
 que
 ha
 encontrado
 a
 lo
 largo
 del
 tiempo,
 la
 forma
precisa
de
ayudarme
en
el
momento
oportuno.

Al
INAOE
y
al
CONACYT,
por
 los
múltiples
recursos
y
las
tan
oportunas
facilidades
prestadas
para
hacer
posible
 esta
 investigación.
 Por
 último,
 a
 Víctor
 Hugo
 Vega
 González
 que
 a
 través
 de
 innumerables
discusiones
y
atinados
comentarios
me
ayudó
a
resolver
muchas
de
 las
dudas
y
problemas
presentes
por
mucho
tiempo
en
el
camino.


(4)


 III


Esta
investigación
fue
realizada
gracias
al
apoyo
del
Consejo
de
Ciencia
y
 Tecnología
del
Estado
de
Puebla.


(5)


 IV


Tabla
de
contenidos


Resumen ... I


Agradecimientos ...II


Tabla
de
contenidos...IV


Lista
de
Figuras...VI


1
 Introducción ... 1


1.1Planteamiento
del
problema ...2

1.2Motivaciones ...3

1.3Objetivos...4

1.3.1
 Objetivos
generales...4


1.3.2
 Objetivos
específicos ...4


1.4Narrativa
por
capítulos...5

2
 Un
medio
dinámico... 7


2.1Ecuaciones
de
onda...7

2.2Ecuación
de
eigenvalores...9

2.3Aproximación
para
modulación
muy
débil ... 11

2.3.1
 Aproximación
de
orden
cero
o
modelo
de
la
red
vacía ...12


2.3.2
 Aproximación
de
primer
orden ...13


2.4Simulaciones
numéricas... 16

2.4.1
 Estructura
de
bandas ...17


2.4.2
 Comparación
entre
el
diagrama
de
bandas
y
la
aproximación
de
1º
orden...24


3
 Línea
de
transmisión
dinámica...27


3.1¿Qué
es
una
línea
de
transmisión
dinámica
(LTD)?... 27

3.2Ecuación
de
eigenvalores
de
una
línea
de
transmisión
dinámica... 29

3.3La
ecuación
de
onda
y
su
límite
en
longitudes
de
onda
largas... 33

3.4Simulaciones
numéricas... 35

3.4.1
 Estructura
de
bandas ...35


3.4.2
 Límite
de
longitud
de
onda
larga ...42


4
 Conclusiones...45


4.1Un
medio
dinámico ... 45

(6)


 V


4.3Trabajo
a
futuro ... 49

5
 Anexos...51


5.1Variación
temporal
de
la
permeabilidad... 51

5.2Inductores
variables
MEMS... 52

5.2.1
 Parámetros
de
los
inductores
variables...53


5.2.2
 Algunos
métodos
para
lograr
cambios
de
inductancia...54


6
 Bibliografía...59


(7)


 VI


Lista
de
Figuras

Fig.
2.1
Diagrama
del
medio
dinámico.
 8


Fig.
2.2
Estructura
de
bandas
con
Mε
=
Mμ
=M
y
θ=0
.

a)
M=0,

b)
M=0.1619,

c)


M=0.6476
y

d)

M=0.9714
 18


Fig.
2.3

Estructura
de
bandas
con
Mε
=
Mμ
=
0.6476

y

θ=π,

π/2,

π/4

y

π/8.
 19


Fig.
2.4

Variación
del
tamaño
de
la
1ª
banda
prohibida
ante
variaciones
de
θ
para






 Mε
=
Mμ
=
0.1619,
0.3238,
0.4857,
0.6476,
0.8095
y
0.9714.
 20


Fig.
2.5
Estructura
de
bandas
con

Mε
=
0.99
y

Mμ
=
0,
0.16,
0.32
y
0.48
para
θ
=
0.


 21


Fig.
2.6
Variación
del
tamaño
de
la
1ª
banda
prohibida
ante
variaciones
de
Mμ
 para





Mε
=
0,
0.16m
0.32,
0.48,
0.64,
0.8,
0.97
cuando
θ
=
0.
 22


Fig.
2.7
Estructura
de
bandas
con
Mε
=0.99,

Mμ
=
0.16

y

θ=0,

π/4,

π/2

y

π.
 23


Fig.
2.8
Variación
del
tamaño
de
la
2ª
banda
prohibida
ante
variaciones
de
θ
para






 Mε
=
Mμ
=
0.1619,
0.3238,
0.4857,
0.6476,
0.8095
y
0.9714.
 24


Fig.
2.9
Comparación
entre
el
diagrama
de
bandas
(línea
continua)
y
la


aproximación
de
1º
orden
(línea
punteada)
para
Mε
=
Mμ
=
0.01619
y
θ
=
0.
25


Fig.
2.10
Comparación
entre
el
diagrama
de
bandas
(línea
continua)
y
la


aproximación
de
1º
orden
(línea
punteada)
para
Mε
=
Mμ
=
0.1
y
θ
=
π.
 25


Fig.
3.1
Diagrama
esquemático
de
una
LT
unidimensional
alimentada
con
una


fuente
y
terminada
en
una
carga
[21].
 28


Fig.
3.2
Diagrama
esquemático
de
una
línea
de
transmisión
ideal
unidimensional.


 28


Fig.
3.3
Diagrama
esquemático
de
una
línea
de
transmisión
dinámica
ideal.
 29


Fig.
3.4
Estructura
de
bandas
para
θ=0

y
MC
=
ML
=
0.16,
0.64
y
0.8.
 36


(8)


 VII


Fig.
3.6
Estructura
de
bandas
para
MC
=
ML
=
0.6476
y

θ
=
0,
3π/8

y

π.
 38


Fig.
3.7
Estructura
de
bandas
para
MC
=
ML
=
0.1619,

θ
=
0
y


Ω
=
4.28,
6.28
y
9.28.


 39


Fig.
3.8
Estructura
de
bandas
para
MC
=
ML
=
0.97
y

θ
=
0.
 40


Fig.
3.9
Estructura
de
bandas
para
MC
=
ML
=
0.85,
0.9
y
0.94
con
θ
=
0.
 41


Fig.
3.10
Comparación
del
diagrama
de
bandas
de
un
medio
dinámico
(línea


continua)
y
una
LTD
(línea
punteada)
para
Mε
=
Mμ
=
0.1619,
θ=0
y


 Ω 
=
a)


0.1,
b)
0.5
y
c)1.
 42


Fig.
3.11
Comparación
del
diagrama
de
bandas
de
un
medio
dinámico
(línea


continua)
y
una
LTD
(línea
punteada)
para
Mε
=
Mμ
=
0.6476,
θ=0
y


Ω
=

a)


0.1,
b)
0.5
y
c)1.
 43


Fig.
5.1
Inductor
variable
logrado
con
interruptores
micromaquinados
a
través
de
 conexiones
en
serie
o
en
paralelo
[20].
 54


Fig.
5.2
Inductor
variable
basado
en
el
concepto
de
inductancia
mutua
logrado
a


través
de
interruptores
[20].
 55


Fig.
5.3
Inductor
variable
basado
en
el
concepto
de
inductancia
mutua
logrado
a
 través
del
desplazamiento
una
de
las
bobinas
que
lo
forman
[22].
 56


Fig.
5.4
Diagrama
esquemático
de
un
inductor
variable
basado
en
el
efecto
de


magneto‐impedancia
[20].
 57






Lista
de
Tablas


Tabla
5.1
Comparación
de
inductores
variables
(*
datos
no
encontrados)
[19]....58



 
 


(9)


 VIII
 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


(10)


 1


1

Introducción


Muchos
de
los
avances
tecnológicos
más
significativos
de
la
humanidad
se
 han
 producido
 gracias
 al
 profundo
 entendimiento
 adquirido
 acerca
 de
 las
 propiedades
 de
 los
 materiales.
 En
 tiempos
 recientes
 estos
 conocimientos
 han
 conducido
 a
 nuevas
 formas
 de
 “crear”
 materiales
 artificiales
 que
 presentan
 propiedades
 electromagnéticas
 inusuales
 pero
 sumamente
 útiles
 (metamateriales).
 Esta
 línea
 de
 investigación
 se
 ha
 vuelto
 uno
 de
 los
 motores
 importantes
de
muchas
investigaciones
a
nivel
mundial.



Justo
 como
 mencionó
 John
 Maddox
 en
 uno
 de
 sus
 artículos
 (Nature
 348,
 481
(1990)):
“Si
sólo
fuera
posible
hacer
materiales
dieléctricos
en
los
cuales
las
 ondas
electromagnéticas
no
pudieran
propagarse
a
ciertas
frecuencias,
toda
clase
 de
 cosas
 casi
 mágicas
 serían
 posibles.”
[10].
 Prueba
 de
 esto
 son
 los
 cristales
 fotónicos,
 medios
 artificiales
 periódicos
 en
 el
 espacio,
 hechos
 principalmente
 de
 materiales
 dieléctricos,
 que
 presentan
 en
 algunos
 casos
 bandas
 prohibidas
 de
 frecuencia
para
diferentes
direcciones
de
propagación.




Desde
 que
 se
 establecieron
 sus
 bases
 teóricas
 y
 experimentalmente
 se
 obtuvieron
 materiales
 compuestos
 con
 periodicidad
 espacial
 en
 1,
 2
 y
 3
 dimensiones,
sus
aplicaciones
han
proliferado
rápidamente
y
van
desde
divisores
 de
haz
hasta
guías
de
onda
y
fibras
ópticas
fotónicas.
Incluso
algunos
afirman
que
 dichos
materiales
representan
un
futuro
cercano
de
las
líneas
de
transmisión.




A
estos
increíbles
avances
se
sumó
activamente
el
hecho
de
que
no
sólo
se
 podían
 tener
 bandas
 de
 frecuencia
 prohibidas
 si
 no
 también,
 el
 ancho
 de
 éstas
 podía
 ser
 modulado
 agregando
 componentes
 metálicos
 o
 en
 presencia
 de
 un
 campo
magnético
externo.



Paralelo
 a
 lo
 anterior,
 desde
 hace
 más
 de
 medio
 siglo
 ya
 se
 concebían
 medios
 modulados
 en
 el
 espacio
 y
 en
 el
 tiempo
 en
 aplicaciones
 de
 ingeniería
 de
 señales
[7],
[8]
y
[14].


De
 lo
 antes
 expresado
 surge
 la
 duda:
 si
 tanto
 es
 posible
 a
 partir
 de
 materiales
que
varían
su
permitividad
periódicamente
en
el
espacio
¿que
pasaría
si
 ésta
en
lugar
de
variar
en
el
espacio
variara
en
el
tiempo?.



(11)


 2


La
 respuesta
 a
 esto
 fue
 propuesta
 a
 detalle
 en
 [23]
 y
 en
 [24].
 
 Sus
 principales
resultados:
bandas
prohibidas
de
vector
de
onda
(

Δk)
para
un
medio


infinito
 y
 coeficientes
 de
 reflexión
 y
 transmisión
 gigantescos
 para
 una
 placa
 debidos
a
resonancias
dentro
de
ella.
Esto
último
posible
para
ciertas
frecuencias
 incidentes
 (que
 corresponden
 a
 resonancias
 paramétricas)
 siempre
 que
 dicha
 placa
 fuera
 modulada
 por
 una
 frecuencia
 crítica.
 Adicionalmente,
 como
 consecuencia
 de
 la
 interacción
 de
 la
 onda
 incidente
 con
 la
 placa
 dinámica,
 las
 ondas
reflejadas
y
transmitidas
contienen
un
número
infinito
de
armónicos
de
la
 frecuencia
angular
(

Ω)
a
la
que
está
siendo
modulada
la
constante
dieléctrica,
es


decir,
la
placa
es
una
fuente
policromática
de
frecuencias.






Debido
a
las
dificultades
encontradas
al
modular
fuertemente
la
constante
 dieléctrica
 de
 un
 medio
 en
 el
 tiempo,
 el
 mismo
 grupo
 de
 investigación
 que
 presentó
lo
anterior
propuso
que
una
manera
de
emular
el
comportamiento
de
un
 medio
 con
 permitividad
 variante
 en
 el
 tiempo
 podría
 ser
 conseguida
 a
 través
 de
 una
 línea
 de
 transmisión
 dinámica
 (LTD)
 ideal
 sustituyendo
 sus
 capacitores
 por
 varactores;
esto,
en
el
límite
de
longitud
de
onda
larga.
Ellos
han
corroborado
estos
 resultados
 teóricos
 con
 simulaciones
 tanto
 numéricas
 como
 electrónicas
 y,
 actualmente,
ya
están
diseñando
un
prototipo
de
dicha
línea
en
el
Laboratorio
de
 Microondas
 del
 INAOE.
 
 También
 es
 importante
 resaltar
 que
 el
 grupo
 de
 investigación
 antes
 mencionado
 ya
 ha
 logrado
 reproducir
 en
 la
 LTD,
 a
 través
 de
 simulaciones
electrónicas,
las
resonancias
“ópticas”
encontradas
anteriormente
en
 la
placa.


Este
trabajo
busca
generalizar
parte
de
lo
propuesto
en
[5]
y
en
[23].
Para
 ello,
 hemos
 estudiado
 un
 medio
 con
 ambas
 la
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad
 variantes
 periódicamente
 en
 el
 tiempo
 y
 también
 una
 línea
 de
 transmisión
 dinámica
 ideal
 en
 la
 que
 se
 han
 sustituido
 sus
 capacitancias
 e
 inductancias
 estáticas
por
unas
que
varían
periódicamente
en
el
tiempo.




1.1

Planteamiento
del
problema


Muchas
 aplicaciones
 en
 ingeniería
 de
 señales
 como
 moduladores,
 amplificadores
 paramétricos,
 conversores
 de
 frecuencia,
 circuitos
 retardadores,
 etc.,
 ya
 contemplaban
 desde
 hace
 más
 de
 medio
 siglo
 la
 existencia
 de
 medios


(12)


 3


dinámicos.
 Durante
 varias
 décadas
 numerosos
 trabajos
 propusieron
 procedimientos
 matemáticos
 para
 explicar
 la
 propagación
 de
 ondas
 electromagnéticas
en
dichos
medios.
Aunque
adecuados,
no
ofrecían
lo
suficiente
 desde
que
presentaban
gran
dificultad
en
los
cálculos
y
no
ofrecían
la
generalidad
 necesaria
([7],
[8],
[14]).
En
el
año
2009,
[23]
propuso,
con
un
enfoque
totalmente
 diferente
 al
 manejado
 hasta
 el
 momento,
 una
 teoría
 basada
 en
 la
 periodicidad
 temporal
 de
 la
 permitividad.
 El
 problema
 era
 que,
 a
 pesar
 de
 que
 los
 procedimientos
matemáticos
propuestos
eran
relativamente
más
sencillos
que
los
 presentados
 anteriormente,
 los
 medios
 dinámicos
 considerados
 no
 poseían
 propiedades
magnéticas.



Otro
 inconveniente
 importante
 radica
 en
 el
 hecho
 de
 que
 lograr
 experimentalmente
materiales
con
propiedades
electromagnéticas
variantes
en
el
 tiempo
 no
 es
 cosa
 fácil.
 Por
 ejemplo,
 la
 variación
 de
 la
 permitividad
 puede
 ser
 obtenida
a
través
de
métodos
no
lineales
como
el
efecto
Kerr
y
el
electro‐óptico.
 Para
la
variación
temporal
de
la
permeabilidad
ver
anexo
A.
Además,
la
propiedad
 electromagnética
 correspondiente
 no
 varía
 sustancialmente
 en
 comparación
 con
 su
valor
promedio,
es
decir
el
valor
máximo
de
la
parte
variante
del
parámetro
(ya
 sea
permitividad
o
permeabilidad)
es
mucho
menor
que
el
de
la
parte
invariante.



1.2

Motivaciones


Este
trabajo
encuentra
su
principal
motivación
en
los
interesantes
resultados
 presentados
 en
[23]
 y
[24].
 El
 hecho
 de
 que
 en
 un
 medio
 con
 permitividad
 periódica
en
el
tiempo
puedan
encontrarse
cosas
tan
impresionantes
como
ondas
 transmitidas
 con
 amplitudes
 casi
 2
 ordenes
 de
 magnitud
 mayores
 que
 la
 onda
 incidente,
 nos
 ha
 hecho
 preguntarnos
 ¿qué
 resultados
 podríamos
 obtener
 si
 agregáramos
 a
 dicho
 medio
 propiedades
 magnéticas
 también
 periódicas
 en
 el
 tiempo?
y
¿cómo
podríamos
hacer
que
dicha
modulación
de
la
permeabilidad
fuera
 posible?.


La
respuesta
a
la
última
pregunta
planteada
ha
sido
sugerida
por
[1]
y
[5]
a
 través
de
una
línea
de
transmisión
dinámica
pasa‐bajos
en
la
que
se
han
sustituido
 los
capacitores
por
unidad
de
longitud
por
varactores.

Ahí,
fue
probado
que
dicha
 línea
puede
comportarse
como
un
medio
con
permitividad
periódica
en
el
tiempo


(13)


 4


en
el
límite
de
longitud
de
onda
larga.
En
otras
palabras,
variar
en
el
tiempo
sus
 capacitancias
es
equivalente
a
variar
la
permitividad
efectiva
del
medio


(ε(t)).
Por


tanto,
una
consecuencia
lógica
de
esto
sería
pensar
que

variar
sus
inductancias
en
 el
tiempo


(L(t))
sería
equivalente
a
variar
su
permeabilidad
efectiva


(µ(t)).



Lo
 último
 resulta
 muy
 interesante
 desde
 que
 es
 mucho
 más
 sencillo
 conseguir
 dispositivos
 que
 puedan
 variar
 su
 inductancia
 (L)
 que
 materiales
 que
 puedan
variar
su
permeabilidad.

Algunos
de
los
dispositivos
antes
mencionados
 han
 sido
 diseñados
 para
 aplicaciones
 en
 el
 orden
 GHz
 y
 logran
 una
 variación
 continua
 de
 la
 L
 alterando
 la
 inductancia
 mutua
 presente
 entre
 dos
 bobinas
 a
 través
de
modificar
la
distancia
entre
ellas
[22]
o
una
variación
discreta
a
través
de
 la
 implementación
 de
 microrelés
[20].
 Para
 más
 información
 acerca
 de
 cambios
 temporales
en
la
permeabilidad
o
la
inductancia
revisar
los
anexos.






1.3

Objetivos


1.3.1

Objetivos
generales


1. Describir
 a
 través
 de
 un
 procedimiento
 matemático
 la
 propagación
 de
 ondas
 electromagnéticas
 en
 un
 medio
 dinámico
 con
 variación
 temporal
 periódica
 de
 su
 permitividad
 y
 permeabilidad
 logrando
 así
 un
 método
 generalizado.


2. Analizar
el
comportamiento,
ante
ondas
electromagnéticas,
de
una
línea
de
 transmisión
 dinámica
 ideal,
 es
 decir,
 con
 parámetros
 (capacitancia
 e
 inductancia
por
unidad
de
longitud)
que
presenten
periodicidad
temporal.



1.3.2

Objetivos
específicos


1. Elaborar
 la
 descripción
 teórica
 necesaria
 para
 encontrar
 la
 relación
 de
 dispersión
 (vectores
 de
 onda
 permitidos
 para
 una
 frecuencia
 angular
 específica)
 de
 un
 medio
 infinito,
 uniforme,
 isotrópico
 y
 no
 absorbente
 siendo
su
permitividad
y
su
permeabilidad
funciones
periódicas
arbitrarias
 del
tiempo.


(14)


 5


2. Realizar
 simulaciones
 numéricas
 de
 la
 relación
 de
 dispersión
 de
 un
 caso
 particular:
 permitividad
 y
 permeabilidad
 variando
 sinusoidalmente
 (función
armónica)
en
el
tiempo.


3. Analizar,
 a
 través
 de
 las
 simulaciones
 numéricas
 realizadas,
 el
 comportamiento
de
la
estructura
de
bandas
de
dicho
caso
particular.


4. Transportar
 los
 conocimientos
 adquiridos
 a
 una
 línea
 de
 transmisión
 dinámica
 ideal
 con
 el
 fin
 de
 emular
 las
 características
 del
 medio
 infinito
 estudiado
anteriormente.


4.1
Elaborar
la
descripción
teórica
necesaria
para
encontrar
la
relación
de
 dispersión
de
una
línea
de
transmisión
dinámica
ideal.


4.2
Realizar
las
simulaciones
numéricas
de
la
relación
de
dispersión
de
una
 línea
de
transmisión
dinámica
(capacitancia
e
inductancia
por
unidad
de
 longitud
 con
 variación
 periódica
 temporal),
 infinita,
 no
 dispersiva,
 no
 absorbente
y
uniforme.


1.4

Narrativa
por
capítulos


Esta
 tesis
 está
 compuesta
 por
 cuatro
 capítulos.
 En
 el
 segundo,
 es
 presentado
 el
 análisis
 teórico
 realizado
 para
 un
 medio
 infinito,
 isotrópico,
 homogéneo,
 no
 absorbente
 y
 no
 dispersivo
 con
 permitividad
 y
 permeabilidad
 periódicas
 en
 el
 tiempo.
 Aquí
 se
 ha
 considerado
 que
 en
 dichas
 propiedades
 electromagnéticas
la
razón
entre
la
amplitud
de
la
parte
variante
del
parámetro
y
 la
 parte
 invariante
 (el
 promedio)
 se
 denomina
 modulación.
 
 Adicionalmente,
 se
 han
 encontrado
 numéricamente
 los
 diagramas
 de
 bandas
 para
 el
 caso
 en
 el
 que
 ambas
funciones
varían
sinusoidalmente
en
el
tiempo
para
distintas
modulaciones
 y
diferencias
de
fase
arbitrarias.


El
 tercer
 capítulo
 presenta
 un
 estudio
 acerca
 de
 una
 línea
 de
 transmisión
 pasa
 bajos
 ideal
 e
 infinita
 en
 la
 que
 se
 han
 sustituido
 los
 capacitores
 y
 los
 inductores
 estáticos
 por
 unos
 variantes
 en
 el
 tiempo.
 Nos
 muestra
 además,
 el
 diagrama
 de
 bandas
 de
 dicha
 línea,
 algunas
 maneras
 en
 la
 que
 las
 bandas
 prohibidas
 presentes
 pueden
 ser
 moduladas
 y
 una
 comparación
 entre
 la


(15)


 6


estructura
de
bandas
del
medio
anterior
y
el
encontrado
para
la
línea
estudiada
en
 el
límite
de
longitud
de
onda
larga.




 En
 el
 cuarto
 capítulo
 podremos
 encontrar
 las
 conclusiones
 de
 la
 investigación
realizada
y
el
trabajo
a
futuro.




Debido
 a
 que
 para
 los
 temas
 tratados
 en
 este
 trabajo
 es
 importante
 la
 variación
temporal
de
la
permeabilidad
y
la
inductancia,
el
quinto
y
último
capítulo
 está
totalmente
dedicado
a
dar
un
panorama
general
sobre
estos
temas.


(16)


 7


2

Un
medio
dinámico


2.1

Ecuaciones
de
onda


Para
un
medio
infinito,
isotrópico,
homogéneo,
no
absorbente,
no
dispersivo
y
 sin
cargas
libres
sabemos
que
la
densidad
de
carga
 € ρ
y
la
densidad
de
corriente
 € 

J 
 se
 anulan.
 
 Además
 al
 considerar
 que
 dicho
 medio
 tiene
 propiedades
 electromagnéticas
que
varían
periódicamente
en
el
tiempo,
es
decir
es
dinámico,
 podemos
 escribir
 las
 relaciones
 que
 describen
 su
 comportamiento
 bajo
 la
 influencia
de
los
campos
electromagnéticos,
las
relaciones
constitutivas,
como:


Aquí


D 
 y


B 
 son
 el
 vector
 de
 desplazamiento
 y
 la
 inducción
 magnética
 respectivamente,


E 
 [

H ]
 campo
 eléctrico
 [campo
 magnético]
 y


ε
 [

µ]
 la


permitividad
[permeabilidad
magnética]
del
medio.


Tenemos
en
cuenta,
claro,
que
la
periodicidad
de


ε(t)
y


µ(t)
implica:



donde
 T
 corresponde
 al
 período.
 Por
 tanto,
 las
 ecuaciones
 macroscópicas
 de
 Maxwell
en
unidades
MKS
en
su
forma
diferencial

son:


La
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad
 magnética
 del
 medio
 pueden
 ser
 reescritas
 como
 :

µ

( )

t =µ0µr

( )

t 
 y


ε

( )

t =ε0εr

( )

t .
 Aquí,


εr

( )

t 
 [

µr

( )

t ]
 
 son
 la


€ 

D

( )

r ,t =ε

( )

t E

( )

r ,t 
,








 Ec.
2.1
 
 
 
 € 

B

( )

r ,t

( )

t H

( )

r ,t .



 Ec.
2.2
 
 
 


ε

( )

t

(

t+T

)

,



 Ec.
2.3
 
 
 


µ

( )

t

(

t+T

)

,



 Ec.
2.4
 
 
 


∇ ×E

( )

r ,t =−∂ ∂t µ

( )

t

H

( )

r ,t

[

]

,
 
 Ec.
2.5
 
 


∇ ×H

( )

r ,t = ∂ ∂t ε

( )

t

E

( )

r ,t

[

]

,
 
 Ec.
2.6
 
 


∇•E =0,



 Ec.
2.7
 
 
 


∇•H  =0.


Ec.
2.8


(17)


 8
 permitividad
 [permeabilidad]
 relativa
 y


ε0
 [

µ0]
 la
 permitividad
 [permeabilidad]


del
vacío.


La
 interpretación
 física
 de
 la
 Ec.
 2.7
 y
 la
 Ec.
 2.8
 es
 sencilla:
 no
 existen
 fuentes
puntuales
o
sumideros
de
campo
eléctrico
y
magnético
en
el
medio.



Las
 ecuaciones
 de
 onda
 de
 los
 campos
 electromagnéticos
 se
 obtienen
 al
 desacoplar
la
Ec.
2.5
y
la
Ec.
2.6

Para
la
correspondiente
al
campo
eléctrico
basta
 con
 aplicar
 el
 rotacional
 a
 la
 Ec.
 2.5
 y
 sustituir
 la
 Ec.
 2.7.
 Para
 la
 del
 campo
 magnético,
 hay
 que
 aplicar
 el
 rotacional
 a
 la
 Ec.
 2.6
 y
 sustituir
 la
 Ec.
 2.8.
 Como
 resultado
de
lo
descrito
se
obtiene:


donde
c
es
la
velocidad
de
la
luz
en
el
vacío
y
está
definida
como


c=1 ε0µ0.


La
Ec.
2.9
y
la
Ec.
2.10
describen
el
comportamiento
del
campo
eléctrico
y
 del
campo
magnético
dentro
del
medio
dinámico.
Para
lo
sucesivo,
hemos
escogido
 arbitrariamente
la
Ec.
2.9,
pero,
es
bueno
tener
en
mente
que
todo
lo
propuesto
es
 igualmente
útil
para
la
Ec.
2.10
y
al
final
ambas
presentan
resultados
análogos.


Ondas
 planas
 satisfacen
 la
 Ec.
 2.9
 y
 son
 soluciones
 apropiadas
 desde
 que
 estamos
considerando
un
medio
infinito.
La
dirección
del
campo
eléctrico


E 
y
del
 vector
de
onda


k 
considerados
son
presentados
en
la
Fig.
2.1.



Fig.
2.1
Diagrama
del
medio
dinámico.


∇2E

( )

r ,t − 1 c2

∂t µr

( )

t ∂ ∂t εr

( )

t

E

( )

r ,t

[

]

      =0,



 Ec.
2.9
 
 


∇2H

( )

r ,t − 1

c2 ∂ ∂t εr

( )

t

∂ ∂t µr

( )

t

H

( )

r ,t

[

]

      =0,


Ec.
2.10


(18)


 9
 Debido
a
que
 € ε
y
 € µ
son
funciones
periódicas
del
tiempo,
podemos
aplicar
el


teorema
 de
 Bloch‐Floquet
 de
 manera
 semejante
 al
 caso
 de
 la
 Ecuación
 de
 Schrödinger
en
los
cristales
ordinarios.


Aquí


E t

( )


es
una
función
que
conserva
la
periodicidad
de


ε
y
de


µ:


Nota:
 Por
 conveniencia
 matemática,
 hemos
 empleado
 el
 familiar
 truco
 de
 usar
 campos
 complejos.
 Es
 importante
 recordar
 que
 debemos
 tomar
 la
 parte
 real
 de
 estos
si
queremos
obtener
los
campos
físicos.


2.2

Ecuación
de
eigenvalores


Al
 ser
 la
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad
 magnética
 funciones
 periódicas
 temporales,
éstas
pueden
ser
expandidas
como
series
de
Fourier:


Lo
mismo
sucede
con


E t

( )

:
 


Es
importante
mencionar
que


Ω 2π
representa
la
frecuencia
a
la
que
están


siendo
moduladas
las
propiedades
electromagnéticas
del
medio.


Sustituyendo
 la
 Ec.
 2.11,
 la
 Ec.
 2.13,
 la
 Ec.
 2.14
 y
 la
 Ec.
 2.15
 en
 la
 Ec.
 2.9
 obtenemos
el
siguiente
problema
de
eigenvalores:


Aquí


l,m,n=0,±1,±2...
 y


δl,n
 junto
 con


δm,0
 son
 funciones
 delta
 de


Kronecker.

La
Ec.
2.16
es
un
sistema
infinito
de
ecuaciones
lineales,
en
el
cual,
las
 incógnitas
 corresponden
 a
 las
 amplitudes
 de
 los
 armónicos
 de
 campo
 eléctrico


en

( )

ω 
 (eigenfunciones)
 
 y
 sus
 coeficientes
 a
 los
 términos
 encerrados
 entre


E x

( )

,t =E t

( )

ei kx( −ωt).



 Ec.
2.11
 
 
 


E t

( )

=E t

(

+T

)

.



 Ec.
2.12
 
 
 


εr

( )

t = εme imΩt

m

,







 
 Ec.
2.13
 
 
 


µr

( )

t = µleilΩt l

.
 
 Ec.
2.14
 
 
 


E t

( )

= en

( )

ω einΩt n

.
 
 Ec.
2.15
 
 
 


µl−mεm−n

(

ω −mΩ

)

(

ω −lΩ

)

k2cl,nδm,0

[

]

en

( )

ω =0

n

m

.
 
 Ec.
2.16
 
 


(19)


 10


corchetes.

Este
problema
de
eigenvalores
tiene
soluciones
no
triviales
cuando
el
 determinante
 de
 la
 matriz
 de
 coeficientes
 se
 anula.
 Esta
 condición
 conduce
 a
 los
 eigenvalores
 es
 decir
 a
 los
 vectores
 de
 onda
 característicos
 del
 sistema

k

( )

ω .
 Ya


que,
esta
solución
nos
devuelve
un
número
infinito
de
estos
para
cada
frecuencia


ω
dada:


k1(ω),


k2

( )

ω ,


k3

( )

ω ,
…

podemos
etiquetarlos
con
el
subíndice
p.
Es
decir,


el
 conjunto
 de
 eigenvalores
 que
 forman
 la
 banda
 p
 serán


kp

( )

ω 
 y
 sus


eigenfunciones
correspondientes
serán


epn

( )

ω .


Reescribiendo
la
Ec.
2.16
obtenemos:


Anteriormente,
 hemos
 anotado
 que
 se
 ha
 elegido
 arbitrariamente
 la
 ecuación
de
onda
de
campo
eléctrico
(Ec.
2.9)
para
llevar
a
cabo
el
procedimiento
 pero,
¿qué
pasaría
si
en
lugar
de
eso
hubiéramos
escogido
la
ecuación
de
onda
del
 campo
magnético
(Ec.
2.10)?.
Siguiendo
el
procedimiento
anterior,
el
problema
de
 eigenvalores
obtenidos
habría
sido:
 Aquí,


hpn
 representa
 las
 eigenfunciones
 del
 problema
 planteado,
 es
 decir,
 las
 incógnitas
 del
 sistema
 infinito
 de
 ecuaciones
 lineales
 o
 las
 amplitudes
 de
 los
 armónicos
de
campo
magnético.


Esto
 resulta,
 de
 manera
 trivial,
 del
 hecho
 de
 que
 la
 Ec.
 2.10
 puede
 ser
 obtenida
de
la

Ec.
2.9
con
sólo
intercambiar
 € 

E

( )

r ,t 
por


H

( )

r ,t 
y


εr

( )

t 
por


µr

( )

t .



Al
ser
la
Ec.
2.18
análoga
a
la
Ec.
2.17
la
estructura
de
bandas
obtenida
a
partir
 de
 solucionar
 numéricamente
 cualquiera
 de
 los
 2
 sistemas
 resulta
 ser
 la
 misma.
 Esta
 situación
 es
 previsible,
 pues
 ambas
 relaciones
 de
 dispersión
 describen
 la
 forma
en
que
se
propagan
las
ondas
electromagnéticas
dentro
del
mismo
medio.


Con
el
fin
de
evitar
confusiones
posteriores
estableceremos
que
el
subíndice
0
 para


ε
 y


µ
 quedará
 reservado
 para
 la
 permitividad
 y
 permeabilidad
 del
 vacío,


µlmεmn

(

ω −mΩ

)

(

ω −lΩ

)

kp2cl,nδm,0

[

]

epn

( )

ω =0

n

m

.
 
 Ec.
2.17
 
 
 


εmlµln

(

ω −lΩ

)

(

ω −mΩ

)

kp 2c2

δm,nδl,0

[

]

hpn=0

n

l

.
 
 Ec.
2.18
 


(20)


 11


mientras
que
para
el
primer
coeficiente
de
las
series
de
Fourier
de
la
Ec.
2.13
y
la
 Ec.
2.14
dispondremos


εr
y


µ r
respectivamente.


2.3

Aproximación
para
modulación
muy
débil


Iniciaremos
 considerando
 que
 al
 ser
 la
 modulación
 de
 las
 propiedades
 electromagnéticas
muy
débil,
la
mayor
contribución
a
los
campos
viene
dada
por
 los
primeros
armónicos.
Por
tanto,
para
esta
aproximación,
limitaremos
los
valores
 de
 m,
 n,
 y
 l
 a
 0
 y
 1.
 Además,
 debido
 a
 que


εr >>ε±1,±2,±3....
 y


µ r >>µ±1,±2,±3....
 los


términos
 con
 coeficientes
 de
 orden
 superior
 multiplicados
 entre
 sí
 son
 tan
 pequeños
 que
 pueden
 ser
 despreciados.
 Hemos
 llamado
 coeficientes
 de
 orden
 superior
 a
 los
 coeficientes
 de
 las
 series
 de
 Fourier
 que
 tienen
 un
 subíndice
 con
 valor
absoluto
mayor
o
igual
a
1.



Con
 todo
 esto,
 el
 sistema
 infinito
 de
 ecuaciones
 lineales
 expresado
 en
 la
 Ec.
 2.17
se
reduce
a:


El
 sistema
 anterior
 tiene
 soluciones
 no
 triviales
 si
 el
 determinante
 de
 su
 matriz
 de
 coeficientes
 se
 anula.
 De
 satisfacer
 esta
 condición,
 analíticamente
 se
 obtiene:


µ rε rω2−kp2c2

[

]

µ rε r

(

ω − Ω

)

2

kp2c2 

 

− µ rε−1ω 2

−1ε rω ω − Ω

(

)

[

]

µ1ε rω ω − Ω

(

)

rε1

(

ω − Ω

)

2 

   =0

.
 
 
 Ec.
2.21
 
 
 
 
Desarrollando
la
Ec.
2.21,
ésta,
puede
ser
reescrita
de
la
forma:
 
 donde
 
 
 


µ rε rω2−kp2c2

[

]

ep0+ µ rε−1ω 2

1ε rω ω − Ω

(

)

[

]

ep1=0,



 Ec.
2.19
 
 
 


µ1ε rω ω − Ω

(

)

rε1

(

ω − Ω

)

2 

  ep0+ µ rε r

(

ω − Ω

)

2

kp2c2 

  ep1=0.



 Ec.
2.20
 
 
 
 ax2

+bx+c=0



siendo



xkp 2c2,


Ec.
2.22


(21)


 12
 


2.3.1

Aproximación
de
orden
cero
o
modelo
de
la
red
vacía


La
estructura
de
bandas
en
los
cristales
ordinarios
frecuentemente
es
descrita
 por
 modelos
 que
 tratan
 a
 los
 electrones
 como
 si
 estuvieran
 sólo
 débilmente
 perturbados
por
el
potencial
periódico
de
los
núcleos
iónicos.
En
ocasiones,
si
la
 perturbación
producto
de
los
núcleos
se
estima
muy
pequeña,
las
energías
de
los
 electrones
 en
 las
 bandas
 se
 aproximan,
 a
 groso
 modo,
 a
 las
 energías
 de
 los
 electrones
 libres.
 Esto
 es,
 al
 ser
 la
 perturbación
 tan
 débil
 puede
 hacerse
 la
 consideración
de
que
la
interacción
de
los
electrones
con
los
núcleos
no
existe
pero
 se
sigue
conservando
la
periodicidad,
es
decir,

la
red
está
“vacía”
[11].


En
 cristales
 fotónicos
 temporales
 (CFT)
 podemos
 hacer
 fácilmente
 una
 analogía
de
esta
aproximación.
Basta
con
considerar
que
las
modulaciones
de


ε
y


µ
 son
 tan
 pequeñas
 que
 la
 estructura
 de
 bandas
 obtenida
 de
 solucionar


numéricamente
la
Ec.
2.17
se
aproxima
bastante
bien
a
la
estructura
de
bandas
de
 un
medio
estático,
es
decir,
un
medio
con
permitividad
y
permeabilidad
constantes
 en
el
tiempo.


Para
 lograr
 esto
 tendremos
 en
 cuenta
 que,
 al
 ser
 la
 modulación
 de
 las
 propiedades
 electromagnéticas
 tan
 débil,
 todos
 los
 coeficientes
 de
 las
 series
 expresadas
en
la
Ec.
2.13
y
en
la
Ec.
2.14
son
iguales
a
cero
excepto


ε r
y


µ r.



Por
tanto,
las
raíces
de
la
Ec.
2.22
son:



 Es
 importante
 mencionar
 que
 la
 raíz
 positiva
 obtenida
 a
 partir
 de
 la
 simplificación
de
la
Ec.
2.22
propuesta
en
este
apartado
formará
la
primera
banda
 mientras
que
la
raíz
negativa
formará
la
segunda.


a=1







b=−µ rε r ω2+

(

ω − Ω

)

2      ,
 
 
 
 


c=ω2

(

ω − Ω

)

2

[

µ rr2−µ r2ε−1ε1−µ−1µ1εr2

]

−µ rεrω ω − Ω

(

)

µ1ε−1ω 2

1ε1

(

ω − Ω

)

2    .
 
 
 
 


k(2+)c2

rεrω

2
,
 
 Ec.
2.23
 
 
 


k(2)c2

rεr

(

ω − Ω

)

2 .
 
 Ec.
2.24
 
 


(22)


 13


Debido
 a
 que
 una
 relación
 de
 dispersión
 generalmente
 expresa
 a
 la
 frecuencia
 angular


ω
 en
 términos
 del
 vector
 de
 onda


k
 despejamos


ω
 de
 la
 Ec.


2.23
y
la
Ec.
2.24
obteniendo:


De
la
Ec.
2.25
notamos
que
la
gráfica
que
representa
una
de
las
soluciones
 posibles
una
recta
con
pendiente
positiva


m=c εrµ r 
que
corta
al
eje
vertical
en


ω=0.

De
la
Ec.
2.26
vemos
que
para
la
otra
solución
se
obtiene
una
recta
con
una


pendiente
negativa


m=−c ε rµ r
que
corta
al
eje
vertical
en


ω =Ω,
es
decir,
en
la


frecuencia
angular
a
la
que
están
siendo
modulados


εr
y


µr.



2.3.2

Aproximación
de
primer
orden


Para
esta
aproximación,
supondremos


εr(t)
y


µr(t)
son
funciones
periódicas


que
 tienen
 la
 misma
 forma
 pero
 no
 necesariamente
 la
 misma
 fase,
 por
 tanto,
 podemos
escribirlas
como:


Aquí
 hemos
 estableciendo
 que


Mε(µ)
 es
 la
 modulación
 de
 la
 permitividad
 (permeabilidad)
 relativa
 y


f
 una
 función
 periódica


f t

( )

= f t

(

+T

)

[

]


 cuyo
 valor
 promedio
es
cero


f t

( )

=0

[

]


y
cuyo
valor
absoluto
máximo
es
1


Max f t

[

( )

]

=1

[

]

.


Una
suposición
básica
de
esta
sección
es:


Considerando
 lo
 anterior,
 sabemos
 que
 podemos
 expandir
 la
 función


f 
 como
 una
 serie
 de
 Fourier.
 Con
 esto,
 los
 coeficientes
 de
 las
 series
 de
 Fourier
 correspondientes
a


εr(t)
y


µr(t)
pueden
ser
escritos
como:


ω = c

εrµ r k(+)
,



 Ec.
2.25
 
 
 


ω=Ω − c εrµ r

k().



 Ec.
2.26
 
 
 


εr

( )

tr

(

1+ Mεf t

( )

)

,








 Ec.
2.27
 
 
 


µr

( )

tr

(

1+ Mµf t

(

)

)

.



 Ec.
2.28
 
 
 


Mε <<1,


Mµ <<1.










Ec.
2.29


(23)


 14
 


También
 es
 importante
 tener
 en
 cuenta
 que
 para
 nuestro
 caso
 la
 permitividad
y
la
permeabilidad
son
funciones
periódicas
temporales
puramente
 reales
 desde
 que
 estamos
 considerando
 un
 medio
 sin
 pérdidas.
 Por
 tanto,


f 
 también
es
una
función
real.

Para
una


f(t)
real
se
cumple
que:


fn = fn

*.


Con
esto,
las
raíces
obtenidas
de
la
Ec.
2.22
son:


donde


2.3.2.1

Frecuencia
angular
ω=Ω/2.


Con
el
fin
de
analizar
mejor
lo
obtenido
en
la
aproximación
de
primer
orden
 (apartado
 2.3.2)
 analizaremos
 algunas
 regiones
 particulares.
 Primero,
 consideraremos
 que


ω =Ω 2
 debido
 a
 que
 en
 este
 punto
 podemos
 medir
 el


tamaño
 de
 la
 primera
 banda
 prohibida


Δk
 (conclusión
 obtenida
 a
 partir
 de
 lo


presentado
en
[23]).




De
 las
 definiciones
 establecidas
 anteriormente
 es
 fácil
 deducir
 que


Mε
 y


Mµ
 son
 cantidades
 reales
 desde
 que
 se
 refieren
 a
 la
 intensidad
 que
 tiene
 la
 variación
temporal
de
la
permitividad
y
la
permeabilidad
relativas
con
respecto
a
 su
valor
estático.


Con
esto,
la
Ec.
2.32
se
reduce
a:


εnrMεfn,



n≠0
,











 
 Ec.
2.30
 
 
 


µnrMµfne inΩτ

rMµfne inθ,



θ=Ωτ.



 Ec.
2.31
 
 
 


k(±)2 c2 =µ rεr

2 ω 2

+

(

ω − Ω

)

2± β    
,








 
 Ec.
2.32
 
 


β=Ω2

(

2ω− Ω

)

2+4ω ω

(

− Ω

)

f1 2

ωMε+

(

ω− Ω

)

Mµe

iθ

[

]

(

ω− Ω

)

Mε +ωMµe

iθ

[

]

{

}

.





 
 


k(2±)c2

2

4 µ rεrf1 Mε −Mµe iθ

[

]







 Ec.
2.33


(24)


 15


Hemos
mencionado
que
a
partir
de
la
Ec.
2.33,
es
posible
conocer
el
tamaño
 de
 la
 primera
 banda
 prohibida,
 es
 decir,
 la
 banda
 prohibida
 existente
 entre
 la
 primera
y
la
segunda
banda,


p=1
y


p=2
respectivamente.
Para
lograr
esto,
sólo


es
 necesario
 restar
 la
 raíz
 negativa


k()
 la
 raíz
 positiva


k(+);
 
 con
 ayuda
 de
 la
 Ec.
 2.29
obtenemos:


De
 la
 Ec.
 2.33
 y
 la
 Ec.
 2.34
 es
 fácil
 inferir
 que
 la
 banda
 prohibida


Δk
 se


desvanece
 (

Δk =0)
 si


Mµ = Mε
 y


θ =0.,
 es
 decir,
 si
 las
 modulaciones
 de
 la


permitividad
 y
 la
 permeabilidad
 son
 idénticas
 en
 ambos,
 magnitud
 y
 fase,
 existe
 una
degeneración
que
resulta
en
la
cancelación
de
la
banda
prohibida



Δk.


2.3.2.2

Frecuencias
cercanas
a
ω=Ω/2.


En
 este
 punto,
 ya
 hemos
 obtenido
 una
 aproximación
 del
 tamaño
 de
 la
 primera
 banda
 prohibida
 tomado
 en


ω=Ω 2
 para
 medios
 dinámicos
 con


modulación
muy
débil.
Ahora,
procederemos
a
encontrar
una
aproximación
para
 frecuencias
cercanas
a


ω=Ω 2,
es
decir:




 Para
 esto
 definiremos
 que


δ<<Ω 2,
 retomaremos
 la
 Ec.
 2.32
 y


sustituiremos
en
ella
lo
establecido
en
la
Ec.
2.36.
Haciendo
uso
del
hecho
de
que


2cosx=eix+eix
se
obtiene:


estableciéndose
que
 


Δk =k(+)−k(−) ≅

Ω 2c     

 µ rεr f1 Mε −Mµe

iθ

[

]

1 2.








 Ec.
2.34
 
 
 


Δk=0,



si


Mµ =Mε

y


θ=0.



 
 Ec.
2.35
 
 
 
 €

ω=Ω 2+δ.
 Ec.
2.36



 
 


k(2±)c2 ≈µ rε r

2 2δ 2

+Ω 2

2 ±Ω γ       ,
 Ec.
2.37,
 
 
 


γ ≅4δ2 + f1

2

4 Ω 2 M

ε 2

−2MεMµcosθ+Mµ2

[

]

.


(25)


 16


2.4

Simulaciones
numéricas


Debido
a
que
en
general
(cuando


Mε
y


Mµ
no
son
pequeños)
para
cada
valor
 de
 frecuencia


ω
 el
 sistema
 planteado
 en
 la
 Ec.
 2.17
 nos
 devuelve
 un
 número


infinito
 de


k,
 es
 necesario
 realizar
 simulaciones
 numéricas
 en
 el
 rango
 de
 frecuencias
deseadas
para
un
número
definido
de
bandas
o
eigenvalores.



Hemos
 elegido
 como
 caso
 particular
 aquel
 en
 el
 que
 la
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad
varían
sinusoidalmente
en
el
tiempo
de
la
forma:
 En
la
Ec.
2.39,
 € θ
corresponde
a
una
diferencia
de
fase
arbitraria
existente
 entre
 


εr
 y


µr.
 Además,


ε r
 y


µ r
 son
 la
 permitividad
 y
 permeabilidad
 relativas


promedios,
respectivamente,
y
se
ha
escogido
que
ambas
tengan
un
valor
de
5.25.

 En
 este
 punto
 es
 importante
 recordar
 que
 tanto


εr
 como


µr
 son
 cantidades


adimensionales
debido
a
que
se
refieren
a
valores
relativos
del
medio.



 Ahora,
 introduciremos
 una
 frecuencia
 angular
 y
 un
 vector
 de
 onda
 normalizados:



 Es
importante
tener
presente
en
lo
sucesivo
que
la
frecuencia
angular
y
el
 vector
 de
 onda
 normalizados
 presentados
 anteriormente
 son
 también
 adimensionales.

 
 Utilizando
la
Ec.
2.27,
la
Ec.
2.28,
la
Ec.
2.40
y
la
Ec.
2.41
podemos
reescribir
 la
Ec.
2.17
como:
 


εr

( )

tr

(

1+Mεsin

( )

Ωt

)

,






 Ec.
2.38
 
 
 


µr

( )

tr

(

1+ Mµsin

(

Ωt

)

)

.






 Ec.
2.39
 
 
 


ωn= ω Ω
,
 
 Ec.
2.40
 
 
 


kn= kc Ω εrµ r

(

)


.


 
 Ec.
2.41
 
 
 


MµMεflmfmneinθ

ωnm

(

)

(

ωnl

)

( )

kn p 2

δl,nδm,0 

  epn

( )

ω =0

n

m

(26)


 17
 
 El
subíndice
“n”
que
acompaña
a


ω
y
a


k
se
refiere
a
la
normalización
y
no
 al
subíndice
de
la
sumatoria.


2.4.1

Estructura
de
bandas


A
 partir
 de
 la
 ecuación
 de
 eigenvalores
 planteada
 en
 el
 apartado
 2.2
 calculamos
el
vector
de
onda
de
cada
banda
para
una
frecuencia
angular
dada


ω.


De
esta
forma
es
posible
llegar
a
la
descripción
de
los
modos
electromagnéticos
del
 cristal
 fotónico
 temporal
 (CFT).
 Estos,
 constituyen
 una
 familia
 de
 funciones
 continuas


kp(ω)
 indexadas
 con
 el
 fin
 de
 incrementar
 la
 magnitud
 del
 vector
 de


onda
conforme
se
incrementa
el
número
de
banda


p.
La
información
contenida
en
 estas
 funciones
 es
 la
 llamada
 estructura
 o
 diagrama
 de
 bandas
 del
 CFT.
 Si
 estudiamos
 dicha
 estructura
 de
 cualquier
 cristal
 fotónico,
 sin
 importar
 si
 su
 periodicidad
es
espacial
o
temporal,
podemos
obtener
gran
parte
de
la
información
 necesaria
para
predecir
sus
propiedades
ópticas
es
decir,
su
comportamiento
bajo
 la
influencia
de
campos
electromagnéticos.



En
 otras
 palabras,
 el
 diagrama
 de
 bandas
 constituye
 una
 representación
 gráfica
 de
 la
 relación
 de
 dispersión
 y
 es
 obtenido
 a
 partir
 de
 solucionar
 numéricamente
el
sistema
infinito
de
ecuaciones
lineales
mostrado
en
la
Ec.
2.17.



Con
el
fin
de
analizar
mejor
el
caso
particular
planteado
en
el
apartado
2.4,
 hemos
determinado
un
par
de
valores
selectos
tanto
de
modulaciones


Mε
y


Mµ
 como
 de
 diferencia
 de
 fase


θ.
 Algunos
 diagramas
 de
 bandas
 seleccionados


obtenidos
 a
 partir
 de
 las
 combinaciones
 posibles
 de
 dichos
 valores
 son
 presentados
a
continuación.


2.4.1.1

Modulaciones
iguales
Mε
=
Mμ


La
Fig.
 2.2
 nos
 muestra
 el
 diagrama
 de
 bandas
 para
 4
 casos
 en
 los
 que
 ambas
 modulaciones
 son
 iguales


Mε = Mµ = M

(

)


 y
 no
 existe
 diferencia
 de
 fase
 entre
 la
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad


θ =0

(

)

.
 En
 dichos
 casos


Mε,µ
 toma
 los
 siguientes
valores:

a)
0,
b)
0.1619,
c)
0.6476
y
d)
0.97143.

Notamos
aquí
que,
sin
 importar
 que
 tan
 fuerte
 sea
 la
 modulación
 de
 los
 parámetros
 no
 existen
 bandas
 prohibidas
 de
 vector
 de
 onda.
 La
 única
 diferencia
 entre
 el
 caso
 estático
 (a)
 y
 un


(27)


 18


caso
dinámico
cualquiera
(b,
c
,
d),
siempre
que
se
cumpla
que


Mε = Mµ
y


θ=0,


radica
en
el
hecho
de
que
para
el
primero
el
valor
absoluto
de
la
pendiente
de
las
 rectas
que
forman
las
bandas
es


m=1
y
en
el
caso
dinámico
el
valor
absoluto
de
la


pendiente
 aumenta
 conforme
 aumenta
 la
 modulación.
 Este
 aumento
 no
 sigue
 un
 comportamiento
 lineal,
 hecho
 que
 puede
 ser
 verificado
 si
 graficamos
 el
 valor
 absoluto
de
la
pendiente


m
contra
la
modulación


M.
Las
figuras
(a)
y
(b)
abajo
 confirman
 el
 resultado
 analítico
 aproximado
 presentado
 en
 la
 Ec.
 2.34
 para
 el
 cierre
de
la
primera
banda
prohibida,


Δkn=0,
si


θ =0
y


Mε = Mµ <<1.
De
manera


interesante,
las
figuras
(c)
y
(d)
muestran
que
no
existen
bandas
prohibidas


Δkn

¡aún
 para
 modulaciones
 muy
 fuertes


Mε≾1
 !.
 En
 otras
 palabras,
 modulaciones


eléctrica
y
magnética
iguales
dan
lugar
a
interferencia
constructiva
para
todos
los
 valores
 de


k
 si
 no
 existe
 diferencia
 de
 fase
 entre
 los
 parámetros
 electromagnéticos.


Fig.
2.2
Estructura
de
bandas
con
Mε
=
Mμ
=M
y
θ=0
.

a)
M=0,

b)
M=0.1619,

c)
 M=0.6476
y

d)

M=0.9714


(28)


 19


De
 aquí
 en
 adelante
 llamaremos
 bandas
 prohibidas
 en
 vector
 de
 onda
 normalizado


Δkn
 
 a
 las
 bandas
 que
 anteriormente
 hemos
 mencionado
 como


Δk.


Esto
 debido
 a
 que
 en
 las
 gráficas
 presentadas
 se
 ha
 usado
 el
 vector
 de
 onda
 normalizado


kn
 en
 lugar
 de


k
 con
 el
 fin
 de
 hacer
 que
 las
 bandas
 permanezcan
 inalterables
ante
cambios
en
los
valores
de



ε r
y


µ r.


Ahora
 consideraremos
 que


θ ≠0
 y
 estableceremos
 aquí
 que
 cuando
 en
 el


texto
 se
 mencione
 una
 banda
 prohibida
 ésta
 se
 referirá
 siempre
 a
 la
 primera
 a
 menos
que
sea
anotado
lo
contrario.



Fig.
2.3

Estructura
de
bandas
con
Mε
=
Mμ
=
0.6476

y

θ=π,

π/2,

π/4

y

π/8.




La
 Fig.
 2.3
 muestra
 el
 caso
 en
 el
 que
 ambas
 modulaciones
 son


iguales,

Mµ = Mε =0.6476,
y
la
diferencia
de
fase


θpresenta
4
valores
diferentes:


π,


π 2,


π 4
 y


π 8.
 
 
 Aquí
 es
 posible
 observar
 que
 el
 hecho
 de
 introducir
 una


diferencia
 de
 fase
 entre
 la
 permitividad
 y
 la
 permeabilidad,
 sin
 importar
 que


(29)


 20



 Ahora
 ya
 sabemos
 que
 una
 diferencia
 de
 fase
 involucra
 una
 banda
 prohibida
 pero
 ¿de
 qué
 tamaño
 es
 dicha
 banda?
 y
 ¿qué
 valor
 de


θ
 presenta
 la


banda
prohibida
mayor?.




Para
 responder
 a
 esas
 preguntas
 hemos
 obtenido
 el
 tamaño
 de
 la
 banda
 prohibida
generada.
Para
esto
hemos
considerado
que


ωn =0.5.
Los
resultados
son


presentados
en
la
Fig.
2.4.


Fig.
2.4

Variación
del
tamaño
de
la
1ª
banda
prohibida
ante
variaciones
de
θ
para






 Mε
=
Mμ
=
0.1619,
0.3238,
0.4857,
0.6476,
0.8095
y
0.9714.


A
 partir
 de
 la
Fig.
 2.4
 observamos
 que,
 a
 modulaciones
 iguales,
 la
 banda
 prohibida
 aumenta
 conforme
 aumenta
 la
 diferencia
 de
 fase
 encontrando
 su
 máximo
valor
en


θ=π.

Otro
punto
que
vale
la
pena
remarcar
radica
en
el
hecho


de
 que
 de
 las
 6
 curvas
 mostradas
 en
 la
 figura
 anterior,
 la
 que
 presenta
 la
 banda
 prohibida
 mayor
 es
 la
 línea
 amarilla
 que
 corresponde
 a


Mµ,ε =0.9714.
 Esto


significa
que,
a
una
diferencia
de
fase
dada,
la
banda
prohibida
aumenta
conforme
 aumenta
la
modulación.


Aquí
es
importante
anotar
que
el
tamaño
de
la
banda
prohibida
presentado
 en
la
Fig.
2.4
es
un
valor
relativo
y
adimensional
ya
que
se
ha
obtenido
de
restar
 dos
vectores
de
onda
normalizados
que
son
también
adimensionales.


(30)


 21


2.4.1.2

Modulaciones
diferentes
Mε
≠
Mμ


El
caso
en
el
que


MεMµ

y


θ=0
se
presenta
en
la
Fig.
2.5.


Fig.
2.5
Estructura
de
bandas
con

Mε
=
0.99
y

Mμ
=
0,
0.16,
0.32
y
0.48
para
θ
=
0.



 En
 ella
 vemos
 que,
 incluso
 sin
 diferencia
 de
 fase,
 una
 diferencia
 en
 las
 modulaciones
 implica
 también
 una
 banda
 prohibida.
 El
 tamaño
 de
 esta
 última
 depende
 de
 qué
 tan
 grande
 es
 la
 diferencia
 existente
 entre


Mε
 y


Mµ,
 es
 decir,
 entre
 mayor
 diferencia
 exista
 entre
 las
 modulaciones
 mayor
 banda
 prohibida
 se
 generara.
En
la
Fig.
2.5
vemos
que,
de
las
4
curvas
presentadas,
la
que
exhibe
la
 mayor
banda
prohibida
es
la
magenta
y
corresponde
al
caso
con
mayor
diferencia
 en
las
modulaciones.



En
 la
 figura
 anterior
 también
 podemos
 observar
 que
 en
 las
 4
 curvas
 presentadas
 se
 genera
 una
 segunda
 banda
 prohibida
 visible,
 es
 decir,
 una
 banda
 prohibida
de
tamaño
considerable
entre
la
banda
p=3
y
la
banda
p=4.



Ahora,
presentaremos
la
variación
del
tamaño
de
la
banda
prohibida
ante
 variaciones
de


Mµ
para
valores
fijos
de


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