EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Primera evaluación (Recuperación)1. Calcula, indicando todos los pasos intermedios:
a) (0,6 puntos) 3 8· 5 2
2 8
5 27 3 · 5 27 33 3
.
b) (0,4 puntos) 3 5
7 5 125.
2. (1 punto) Calcula y simplifica: 2
5 2 3
2 4 2 3 2 2 75 x x x 5x 3x 10
.
3. a) (0,7 punto) Opera y simplifica el resultado:
25 2 3 2
1 1
x x
x x
.
b) (0,8 puntos) Factoriza el polinomio P x( )2x311x217x6.
4. (1,2 puntos) Dos grifos llenan un depósito en 4 horas. Si uno de ellos lo llena en 6 horas, ¿cuánto tardaría en llenarlo el otro grifo solo?
5. (1,3 puntos) Resuelve el sistema
3 1
2 2
3 2 2 5
x y z
x y z
x y z
.
6. (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema de
inecuaciones:
5 2 10
2 0
x y
x y
x
.
Indica los vértices de la región de soluciones. 7. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2log
x 3
1 (0,4 puntos) b) 3·52x225 (0,5 puntos) c) 4·3x3x133 (0,6 puntos)8. (1 punto) Un concesionario automovilístico “facilita” la compra de un coche mediante pagos mensuales de 300 euros, durante 5 años. Si el préstamo se realiza a un interés anual del 9 %, ¿cuál es el precio del coche al contado?
Dato: La fórmula que da la amortización es
1 ) 1 (
· ) 1 (
n n
r r r D
a .
SOLUCIONES
1. Calcula, indicando todos los pasos intermedios:
a) (0,6 puntos) 3 8· 5 2
2 8
5 27 3 · 5 27 33 3
.
b) (0,4 puntos) 3 5
7 5 125.
Solución:
a) 3 8· 5 2
2 8
5 27 3 · 5 27 33 3
=
2
2 5
15 16 6 64 27 3
3
=
= 60 48 25·27 3 12
75 3
12 72 609
.
b) 3 5
7 5 125 =
3 5 3 5 3 5 3
2 7 5 25·5 7 5 5 5 2 5 .
2. (1 punto) Calcula y simplifica: 2
5 2 3
2 4 2 3 2 2 75 x x x 5x 3x 10
.
Solución:
22 2 2
2 3 2 7
5 3 4
5 x x x 5x 3x 10
=
= 2
25 4 30 3 9 2
12 4 8 3 28 25 x x x 5 x 3x 10x
=
= 10 4 12 3 18 2 12 4 8 3 28 2
5 5 3 10
x x x x x x = 38 4 28 3 4 2
5 x 3 x 5x .
3. a) (0,7 punto) Opera y simplifica el resultado:
25 2 3 2
1 1
x x
x x
.
b) (0,8 puntos) Factoriza el polinomio P x( )2x311x217x6. Solución:
a)
25 2 3 2
1 1
x x
x x
=
2
25 2 1 3 2
1 1
x x x
x x
=
2
2 2
5 3 2 3 2
1 1
x x x
x x
=
2
2
5 5 5
1
x x
x
b) Hay que buscar alguna raíz entera de P x( )2x311x217x6. Si las hay serán divisores del término independiente: 1;2; ±3, ±6.
Sustituyendo:
Por tanto: ( ) 2 3 11 2 17 6
2 2
2 7 3
2 ·2
3
1 2P x x x x x x x x x x
Las otras dos raíces, x3 y 1
2
x son las de la ecuación 2x27x 3 0. También podría escribirse,
3 2 2
( ) 2 11 17 6 2 2 7 3 2 3 2 1
P x x x x x x x x x x .
4. (1,2 puntos) Dos grifos llenan un depósito en 4 horas. Si uno de ellos lo llena en 6 horas, ¿cuánto tardaría en llenarlo el otro grifo solo?
Solución:
Los dos grifos, en una hora llena 1
4 del depósito.
El grifo que tarda 6 horas en llenar el depósito, en una hora llena 1
6 del depósito. Si el otro grifo tardase h horas, en una hora llenaría 1
h fracción de depósito.
En 1 hora entre los dos grifos llenarían 1 1
6
h
Igualando:
1 1 1
6 4
h
1 1 1
4 6
h
1 1
12
h h = 12
El otro grifo tardará 12 horas en llenar el depósito.
5. (1,3 puntos) Resuelve el sistema
3 1
2 2
3 2 2 5
x y z
x y z
x y z
.
Solución:
3 1
2 2
3 2 2 5
x y z
x y z
x y z
3 1
2 2 1 7 3 0
3 3 1 7 5 2
x y z
E E y z
E E y z
3 1
7 3 0
3 2 2 2
x y z
y z
E E z
9 5
3 1 1 1
7 7
3
7 3 0 7 3 0
7 1
x y z x x
y z y y
z
. 2 –11 17 –6
2 4 –14 6
6. (1,5 puntos) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema de
inecuaciones:
5 2 10
2 0
x y
x y
x
.
Indica los vértices de la región de soluciones. Solución:
La inecuación 5x2y10 determina el semiplano que está a la derecha de la recta 5x2y10 (1). Dos de sus puntos son (2, 0) y (0, –5)
La inecuación x y 2 determina el semiplano que está por debajo (a la izquierda) de la recta x y 2 (2). Dos de sus puntos son (2, 0) y (0, 2).
La inecuación x0 determina el semiplano que está a la derecha de la recta x0 (3).
En todos los casos se incluyen los puntos de las rectas.
Por tanto, la región de soluciones es la sombreada en la figura adjunta.
Los vértices son los puntos A y B. Sus coordenadas se calculan resolviendo los sistemas:
5 2 10
2
x y
x y
A(2, 0);
5 2 10
0
x y
x
B(–5, 0);
7. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2log
x 3
1 (0,4 puntos) b) 3·52x225 (0,5 puntos) c) 4·3x3x133 (0,6 puntos)Solución:
a) 2log
x 3
1 log
3
1 2x x 3 101/2 x 3 10.
(Si se aplica el antilogaritmo se obtiene: x 3 3,16227766 x6,16227766).
b) 2
3·5 x 225 2 225 2
5 5 75
3
x x
. Aplicando logaritmos:
2log 5 x log 75
2 log 5x log 75 log 75 1,3413... 2 log 5
x
c) 4·3x3x133 4·3 3 33 3
x
x
12·3x3x 99 11·3x 99 3x 9 x = 2.
8. (1 punto) Un concesionario automovilístico “facilita” la compra de un coche mediante pagos mensuales de 300 euros, durante 5 años. Si el préstamo se realiza a un interés anual del 9 %, ¿cuál es el precio del coche al contado?
Por tanto:
60 60
(1 0, 0075) ·0, 0075 300
(1 0, 0075) 1
D
60
60
300 (1 0, 0075) 1
14452 (1 0, 0075) ·0, 0075
D
€
(El resultado exacto es 14452,01206 €).
