Cap´ıtulo
6
Derivadas
El arte de nombrar y de medir con exactitud aquello de lo que ni siquiera puede concebirse su existencia. Voltaire
6.1.
Introducción
Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de impor-tancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:
Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes). Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).
Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica 202
6.2.
Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, com-prender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio.
6.2.1.
Tangente a una curva
En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.
Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesianayDf .x/ en el punto.a; f .a//. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por New-ton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto.a; f .a//con un punto cer-cano,.x; f .x//, de la gráfica def. Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:
f .x/ f .a/
x a
dicho número suele llamarse cociente incremental def ena.
Observa que una secante es una buena
.a; f .a//
.x; f .x//
f .x/ f .a/
x a
Figura 6.1. Secante
aproximación de la tangente, siempre que el punto.x; f .x//esté próximo a.a; f .a//. Estas consideraciones llevan a definir la
tan-gente a la gráfica def en el punto.a; f .a//
como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:
lKım x!a
f .x/ f .a/
x a
supuesto, claro está, que dicho límite exis-ta.
6.2.2.
Razón de cambio puntual y velocidad instantánea
Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 203
la variableylo hace def .a/af .x/. La razón de cambio promedio deyDf .x/con respecto axen el intervaloŒa;xes:
Razón de cambio promedio D f .x/ f .a/
x a
Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual deyDf .x/con respecto axen el puntoa” como:
lKım x!a
f .x/ f .a/
x a :
El ejemplo más conocido de esto que decimos es el de un móvil que se mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Seas.t/la posición del móvil en el tiempot, es decir, la distancia con signo del móvil al origen en el tiempot. La razón de cambio promedio tiene en este caso una interpretación física natural:
s.aCh/ s.a/
h
Es la velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo comprendido entreayaCh. Parece intuitivo que, en cada instante, el móvil se mueve con una determinada velocidad instantánea. Pero no hay manera de medir directamente una velocidad instantánea; un instante quiere decir una posición en la recta: la velocidad instantánea del móvil paratDaes la velocidad que tiene cuando está en la posicións.a/. La velocidad instantánea es una abstracción de un característica física del movimiento, pero no es una magnitud que podamos observar directamente. La única definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual:
lKım h!0
s.aCh/ s.a/
h
Notación. En lo que sigue usaremos las letras I,J para representar intervalos no vacíos de números reales.
6.1 Definición. Se dice que una función f WI !R es derivable en un puntoa2I, si existe el límite:
lKım x!a
f .x/ f .a/
x a :
Explícitamente,f es derivable enasi hay un númeroL2Rverificando que para cada número " >0existe algún númeroı >0tal que para todox2Iconx¤ayjx aj< ıse tiene que:
ˇ ˇ ˇ ˇ
f .x/ f .a/
x a L
ˇ ˇ ˇ ˇ
6":
Dicho númeroLse llama derivada def enay lo representaremos porf0.a/(notación debida a Lagrange).
Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 204
6.2 Definición. Dada una funciónfWI !Rderivable en todo punto deI, la función derivada def es la funciónf0WI !Rque a cada puntox 2I hace corresponder la derivada def en dicho punto.
6.3 Observaciones. i) El límite lKım x!a
f .x/ f .a/
x a se puede escribir también de la forma
lKım h!0
f .aCh/ f .a/
h :
ii) La derivabilidad de f en un punto a 2 I es una propiedad local, depende solamente del comportamiento def en los puntos deIpróximos al puntoa. Concretamente, siJes cualquier
intervalo abierto que contiene el punto a, se verifica quef es derivable ena si, y sólo si, la función restricciónfjI\J es derivable enay, por supuesto, en tal caso ambas funciones tienen la misma derivada ena.
La notación diferencial de Leibniz. La notación df .x/
dx para representar la derivada def en xes debida a Leibniz.
Leibniz interpretaba ese símbolo como un “cociente diferencial” pues él lo entendía así: como un cociente de cantidades infinitesimales, y lo manejaba como un cociente; por ejemplo, se puede multiplicar o dividir, según convenga, por dx o df .x/. En el capítulo 5 hemos visto los problemas que planteaba el uso de cantidades infinitesimales, y cómo, finalmente, a partir del último tercio del siglo XIX, fueron totalmente abandonadas. Por eso, la interpretación de Leibniz de la derivada, aunque intuitiva, no es la que se sigue en la gran mayoría de los cursos de cálculo1.
A pesar de lo dicho, es frecuente, sobre todo en libros de ingeniería, usar la notación de Leibniz y manejarla como él lo hacía. Creo que esto es útil porque la notación de Leibniz tiene una gran fuerza heurística, y no debe presentar ningún problema, siempre que no acabes creyendo que una derivada, tal como la hemos definido, es un cociente de infinitésimos. Y siempre que dicha notación se use como un mero simbolismo y no se hagan demostraciones apoyadas en su supuesta significación.
Una dificultad de la notación de Leibniz es que no es cómoda para representar la derivada en un punto concreto. Podemos entender que df .x/
dx es la función derivadaf
0.x/, pero ¿cómo indicamos la derivada en punto concretoa? Las notaciones df .a/
dx y
df .x/
dx .a/son confusas.
Lo que suele hacerse es escribir:
df .x/ dx
ˇ ˇ ˇ ˇx
Da
que, realmente, es una notación incómoda. Una posible mejora sería escribir df
dx .x/ para
representarf0.x/, en cuyo caso df
dx .a/indicaríaf
0.a/.
La verdad es que la mayoría de los libros de ingeniería que usan estas notaciones lo hacen sin preocuparse mucho por su significado, y esa es una causa importante de que muchas veces no se entienda bien lo que escriben. Las notaciones son importantes y hay que manejarlas
Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 205
cuidadosamente. Y todavía más, cuando una notación se supone que tiene un significado casi mágico, y que por su fuerza simbólica ella sola, por sí misma, proporciona demostraciones. Volveremos a considerar este asunto más adelante.
6.4 Definición. Supuesto quef es derivable ena, la recta de ecuación cartesiana:
yDf .a/Cf0.a/.x a/
se llama recta tangente a la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta tangente af enxDa.
Cuandof0.a/¤0, la recta de ecuación:
yDf .a/ 1
f0.a/.x a/
es la recta normal a la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta normal af enxDa
6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada
En la figura6.2se han representado algunos elementos de una curva que se expresan por medio de la derivada.
P x
M N
y U
H
˛
V O
Q T
Figura 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada
La pendiente de la tangente es tg. /Dy0.
La pendiente de la normal es tg.˛/Dtg.=2C /D 1=y0.
Derivadas laterales 206
Los segmentos interceptados en los ejesOX yOY por la tangente son (
OT DOM TM Dx y=y0
OV DPM PQDy xtg. /Dy xy0
Los segmentos interceptados en los ejesOX yOY por la normal son (
ON DOM CM N DxCytg. /DxCyy0
OU DOH CH U DyCxtg./DyCxtg.=2 /DyCx=y0
6.2.3.
Derivadas laterales
6.5 Definición. Se dice quef es derivable por la izquierda enasi existe el límite:
lKım x!a
x<a
f .x/ f .a/
x a :
El valor de dicho límite se llama la derivada por la izquierda def ena.
Análogamente se dice quef es derivable por la derecha ena;si existe el límite:
lKım x!a
x>a
f .x/ f .a/
x a :
El valor de dicho límite se llama la derivada por la derecha def ena.
Teniendo en cuenta la relación que hay entre el límite de una función en un punto y los límites laterales, es claro que:
i) SiaDmaxK I, entonces la derivabilidad def enaes lo mismo que la derivabilidad por la izquierda def ena.
ii) SiaDmKınI, entonces la derivabilidad def enaes lo mismo que la derivabilidad por la derecha def ena.
iii) Siano es un extremo deI, entonces equivalen las afirmaciones: a) f es derivable ena.
b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha def enaexisten y coinciden.
6.2.4.
Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación
El siguiente resultado nos dice que la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la continuidad.
Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 207
Demostración. En efecto, si f WI !R es derivable ena, de la igualdad:
f .x/Df .a/C.x a/f .x/ f .a/
x a .x2I; x¤a/
se sigue que lKım
x!af .x/Df .a/, es decir,f es continua ena. 2
6.7 Teorema (Reglas de derivación). Sean f;gWI !R dos funciones. Se verifican las
siguientes afirmaciones:
i) La funciones suma,f Cg, y producto,fg, son derivables en todo puntoa2Ien el que
f ygsean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:
.f Cg/0.a/Df0.a/Cg0.a/I .fg/0.a/Df0.a/g.a/Cf .a/g0.a/
ii) Sig.x/¤0para todox2I, la función cocientef =ges derivable en todo puntoa2I en el quef ygsean derivables, en cuyo caso se verifica que:
f
g
0
.a/Df0.a/g.a/ f .a/g0.a/ .g.a//2
Demostración. Las reglas de derivación se prueban muy fácilmente haciendo uso de las propie-dades algebraicas de los límites y la definición de derivada. Es suficiente que tengas en cuenta las siguientes igualdades:
.f Cg/.x/ .f Cg/.a/
x a D
f .x/ f .a/
x a C
g.x/ g.a/
x a
.fg/.x/ .fg/.a/
x a D
f .x/ f .a/
x a g.x/Cf .a/
g.x/ g.a/
x a
1 g.x/
1 g.a/
x a D
g.x/ g.a/
x a
1 g.x/g.a/
De la primera y segunda igualdades se deduce, tomando límites parax !a, las reglas para la derivada de una suma y de un producto. Igualmente, de la tercera igualdad, se deduce la derivada de 1g, de donde, se obtiene la derivada de fg Dfg1 haciendo uso de la regla para
derivar un producto. 2
Como las funciones constantes tienen derivada nula en todo punto y la función identidad, f .x/Dx, tiene derivada igual a 1 en todo punto, aplicando las reglas de derivación anteriores se obtiene el siguiente corolario.
6.8 Corolario. Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y las funciones
racio-nales son derivables en todo punto de su conjunto natural de definición. Además la derivada de la función polinómica f .x/Da0Ca1xCa2x2C Canxn en cada puntox 2 Rviene
dada por:
Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 208
6.9 Teorema (Derivación de una función compuesta o regla de la cadena). Sean f WI !R
y gWJ !R con f .I/ J, y sea hDgıf WI!R la función compuesta. Supongamos
que f es derivable ena2I y que g es derivable en f .a/. Entonces hes derivable en a y h0.a/Dg0.f .a//f0.a/.
En particular, siges derivable enJ, la función compuestahDgıf es derivable en todo punto deI dondef sea derivable.
Demostración. PongamosbDf .a/. Tenemos que probar que lKım x!a
h.x/ h.a/
x a Dg0.b/f0.a/.
Por hipótesis se cumple que :
lKım y!b
g.y/ g.b/
y b xlKım!a
f .x/ f .a/
x a Dg
0.b/f0.a/
La idea de la demostración es hacer en esta igualdad la sustitución yDf .x/. Como no está garantizado por las hipótesis hechas que para x¤a se tenga f .x/¤b, no está justificado hacer directamente la sustitución indicada (dividir por cero está prohibido). Podemos evitar esta dificultad como sigue. Definamos la función 'WJ !R por:
'.y/D g.y/ g.b/
y b .y¤b/; '.b/Dg
0.b/
Con ello la función'es continua enb. Es inmediato ahora comprobar que para todox2Icon
x¤ase verifica que:
h.x/ h.a/
x a D'.f .x//
f .x/ f .a/
x a : (6.1)
Ahora, comof es continua ena(porque es derivable ena) y'es continua enbDf .a/, se sigue que'ıf es continua ena, por lo que:
lKım
x!a'.f .x//D'.f .a//D'.b/Dg 0.b/:
La igualdad (6.1) nos dice ahora que:
lKım x!a
h.x/ h.a/
x a Dg
0.b/f0.a/
como queríamos probar. 2
Regla de la cadena al estilo Leibniz. Una demostración de la regla de la cadena al “estilo Leibniz” podría ser como sigue. Por una parte, tenemos queyes función dexa través deg, es decir,yDg.x/. También tenemos quexes función det a través def,xDf .t/. Entonces la variación deyrespecto at se hace por intermedio dex:
dy
dt D
dy
dx
dx
dt (6.2)
Hemos acabado. Todo lo que hemos hecho ha sido multiplicar y dividir por dx.
Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 209
no tiene sentido multiplicar y dividir por él (salvo que a esta operación se le hubiera asignado previamente un significado preciso) y si es un número ¿cómo está definido? ¿qué relación tiene ese número con la derivada? Preguntas sin respuesta. A esto me refería al decir que una notación, por sí sola, no sirve para demostrar nada.
Además, el simbolismo empleado en la igualdad (6.2) no indica dónde se evalúa cada una de las derivadas, y eso es fundamental para entender la regla de la cadena. Fíjate que la regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta de dos funciones derivables,
h.x/D.gıf /.x/, viene dada por
h0.x/Dg0.f .x//f0.x/D.g0ıf /.x/f0.x/ (6.3) que es un producto de dos funciones,g0.f .x//yf0.x/, pero la primera de ellasg0.f .x//D .g0ıf /.x/es una función compuesta. Por eso si queremos volver a derivar en la igualdad (6.3), debemos aplicar la regla para derivar un producto y, para derivar el primer factor, debemos aplicar la regla de la cadena. Es por eso que, en la regla de la cadena, es fundamental indicar los puntos donde se evalúan las derivadas.
La notación en la igualdad (6.2) es mala porque no indica dónde se evalúa cada una de las derivadas. Pero también es mala por las razones siguientes.
Una misma letra representa dos funciones distintas. En (6.2) la letra y aparece a la izquierda y a la derecha. A la izquierda representa la función compuesta yDg.f .t//, a la derecha representa la funciónyDg.x/.
Una misma letra representa una función y una variable. La letrax en la parte derecha representa la variable enyDg.x/, y también representa la funciónxDf .t/.
Demasiado confuso ¿verdad? A pesar de lo dicho, la igualdad (6.2) aparece en muchos textos de matemáticas para ingenieros y en textos de física, sin ningún comentario, sin explicar lo que significa y pretendiendo que constituye por sí misma una demostración. Lo peor de todo, es que si te la enseñan así puedes creer que la entiendes, y entonces una de dos: o la entiendes de verdad, como acabo de explicarlo, o te engañas y realmente no sabes lo que crees saber. Lamentablemente, de estas dos posibilidades la más frecuente es la segunda.
Y. . . sin embargo, la igualdad (6.2) es muy simple y fácil de recordar, y permite conjeturar la regla de la cadena sin necesidad de demostrarla (por eso decimos que la notación de Leibniz tiene un gran valor heurístico). Mi consejo es el siguiente: puedes usar la notación de Leibniz siempre que te ayude en lo cálculos, pero no debes dejarte llevar por la notación sino que debes entender lo que estás haciendo en cada momento.
6.10 Ejemplo. Sabiendo que y Dsenx yx Dcost, se pide calcular la derivada de y con respecto at.
Lo que nos piden es calcular la derivada de la función compuestah.t/Dsen.cost/. Aquí
g.x/Dsenx,f .t/Dcost. Tenemos que
h0.t/Dg0.f .t//f0.t/D cos.cost/sent
Al estilo Leibniz:
dy
dt D
dy
dx
dx
dt Dcosx. sent/D cosxsent
Pero esta igualdad debe ser función det por lo que hay que sustituirxDcost y se vuelve a
Ejercicios propuestos 210
6.2.5.
Ejercicios propuestos
Empezaremos con algunas de las aplicaciones más sencillas y atractivas del cálculo diferencial. En esquema, se trata de lo siguiente: calcular la tasa de variación de una magnitud cuando se conoce la tasa de variación de otra magnitud relacionada con ella. En este tipo de ejercicios la “tasa de variación” se interpreta como una derivada y, en la mayoría de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide. Hay que elegir las unidades de acuerdo con los datos del problema; por ejemplo, si un volumen se mide en litros tendremos que medir longitudes con decímetros.
176. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?
177. Se está llenando un globo de forma esférica con gas a razón de 50cm3/s. Calcula la velocidad a la que está aumentando el radio,r, del globo cuando su valor esrD5. 178. Un puntoPse mueve sobre la parte de la parábolaxDy2situada en el primer cuadrante
de forma que su coordenadaxestá aumentando a razón de 5cm/sg. Calcula la velocidad a la que el puntoP se aleja del origen cuandoxD9.
179. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?
180. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70cm3por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12cm?
181. Un barco Ase desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto
O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los barcosAyBal puntoOson, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro? 182. Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, a razón de 50cm3por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendo el radio de la bola cuando este mide 15cm?
183. Un hombre se aleja de una farola a razón de 1,5m/sg. Sabiendo que la altura del hom-bre es de 1,8 metros y la de la farola de 15 metros, calcula la velocidad a la que está aumentando la sombra del hombre proyectada por la luz.
Ejercicios propuestos 211
Los siguientes ejercicios son de cálculo de derivadas y de tangentes y normales a distin-tas curvas. Cuando en un ejercicio intervienen parámetros, debes expresar las soluciones de la forma más sencilla posible.
185. Calcula.f ıg/0.x/en el valor indicado dexen los siguientes casos: 1. f .x/D 2x
x2C1; g.x/D10x 2
CxC1; xD0
2. f .x/D
x 1
xC1
2
; g.x/D 1
x2 1; xD 1
186. Calcula en cada caso el valor deayben función dec, para que exista la derivada en el puntocde cada una de las siguientes funciones:
f .x/D
x2; x6c
axCb; x>c f .x/D
8 <
:
1
jxj; jxj>c aCbx2; jxj6c
f .x/D
cosx; x6c axCb; x>c
187. Supongamos quef es derivable ena, g es continua enayf .a/D0. Prueba quefges derivable ena.
188. ¿Es cierta la igualdadf0.a/D lKım t!a
f .aCt/ f .a t/
2t ? Justifica tu respuesta.
189. Supongamos que las funciones f yg y sus derivadas tienen los siguientes valores en
xD2yxD3.
x f .x/ g.x/ f0.x/ g0.x/
2 8 2 1/3 -3
3 3 -4 2 5
Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados dex: a)f .x/g.x/; xD3 b)f .x/=g.x/; xD3
c)f .g.x//; xD2 d) q
.f .x//2C.g.x//2; xD2
190. Supongamos que las funciones f yg y sus derivadas tienen los valores que se indican en la tabla.
x f .x/ g.x/ f0.x/ g0.x/
0 1 5 2 -5
1 3 -2 0 1
2 0 2 3 1
3 2 4 1 -6
Calcula una tabla análoga para las funcionesf ıgygıf.
Ejercicios propuestos 212
192. Calcula directamente, aplicando la definición, la derivada def .x/DpxC7en el punto
aD 1.
193. Supongamos quef es una función que verifica una desigualdad del tipojf .x/j6jxjr en algún intervalo abierto que contiene a cero, donder >1. Prueba quef es derivable en0.
194. Seaf una función tal quef .xCh/Df .x/C3xhCh2 2hpara todosx;h2R. Calculaf0.0/yf0.2/.
195. Calcula la derivada en todo punto de la función definida por
f .x/D 8 <
:
x2sen 1
x; x¤0
0; xD0
196. Desarrolla.1Cx/npor el binomio de Newton y deriva la igualdad resultante para probar las igualdades siguientes:
n X
kD1
k
n
k
Dn2n 1;
n X
kD2
k.k 1/ n
k
Dn.n 1/2n 2
197. Calcula los puntos en que la cúbica de ecuación y Dax3 Cbx2C cx Cd, donde
a;b;c;d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintos casos posibles.
198. Calcula un puntocpor la condición de que la tangente a la parábolaf .x/Dx2C˛xCˇ en el punto.c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntos dadosAD.a; f .a//y
BD.b; f .b//.
199. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una parábolaf .x/Dax2CbxCc
en un punto genérico.u; v/de la misma.
200. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbola de ecuación car-tesianax2 y2D1, en un punto genérico.u; v/de la misma.
201. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de ecuación
x2 a2 C
Ejercicios resueltos 213
6.2.6.
Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 79 ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito ci-líndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?
Solución. Sea r el radio del cilindro yhla altura medidos en decímetros. SeaV.t/el volumen de agua, medido en litros (dcm3), que hay en el cilindro en el tiempot medido en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación
V.tC1/ V.t/D 3000 litros por minuto
En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada:V0.t/D
3000. Fíjate queV.tCt0/ V.t0/ÑV0.t0/t, por lo que la interpretación es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye con el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos
V.t/Dr2h.t/ y deducimos
V0.t/D 3000Dr2h0.t/ Por tanto
h0.t/D 3000
r2 decímetros por minuto Si expresamos las medidas en metros, entonces h0.t/D 3
r2 metros por minuto.
Observa que lo que realmente hemos calculado es:
V.tC1/ V.t/Dr2.h.tC1/ h.t// ÷ h.tC1/ h.t/DV.t C1/ V.t/
r2 D
3000
r2
que es la tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto. Pero, como ya te he dicho, en estos ejercicios se identifica la tasa de variación con una derivada, lo cual es,
claro está, una aproximación.
©
Ejercicio resuelto 80 Un puntoP se mueve sobre la parte de la parábola xDy2situada en el primer cuadrante de forma que su coordenadax está aumentando a razón de 5cm/sg. Calcular la velocidad a la que el puntoP se aleja del origen cuandoxD9.
Solución. Sean.x.t/;y.t//las coordenadas, medidas en centímetros, del puntoP en el instantet medido en segundos. Nos dicen quey.t/>0y quex.t/Dy.t/2. La distancia del puntoP al origen viene dada porf .t/Dpx.t/2Cy.t/2, por lo que
f0.t/D x.t/x
0.t/Cy.t/y0.t/ p
x.t/2Cy.t/2
Ejercicios resueltos 214
x0.t0/
2y.t0/ D
5
6. Finalmente,
f0.t0/D
x.t0/x0.t0/Cy.t0/y0.t0/ p
x.t0/2Cy.t0/2
D4581C3.5=6/ C9 D
95
6p10 cm/sg
©
Ejercicio resuelto 81 Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?
Solución. Expresaremos todas las medidas en metros. SiV.t/es el volumen de agua que hay en el depósito en el tiempot medido en segundos, nos dicen queV0.t/D 9
103 m 3/sg.
R
r H
h
Figura 6.3. Depósito cónico
Sabemos que V.t/D 1
3r.t/
2h.t/ donde h.t/ es la altura, medida desde el vértice, alcanzada por el agua en el tiempo t y r.t/ es el radio de la sec-ción transversal del cono a la distancia h.t/ desde el vértice. Por semejanza de triángulos deducimos que r
RD h
H , de donde,rDr.t/D R Hh.t/D
1 2h.t/.
LuegoV.t/D 1
12h.t/
3, y
V0.t/D 9
103 D
4h.t/
2h0.t/:
Luego, cuandoh.t0/D6, deducimos que
9 103D
436h
0.t0/, esto es,h0.t0/D 1
103m/sg Ñ
1;146m/h.
©
Ejercicio resuelto 82 El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm? Solución. SeaV.t/el volumen del cubo, medido en centímetros cúbicos, en el tiempot, medido en minutos. SiL.t/es la longitud en centímetros del lado en el tiempot, tenemos queV.t/DL.t/3, de donde,L0.t/D V0.t/
3L.t/2. Como nos dicen queV0.t/D70cm/min, deducimos que cuando L.t0/D12,L0.t0/D
70
3.12/2. El área del cubo viene dada por
S.t/D6L.t/2, deducimos que S0.t0/D12L.t0/L0.t0/D
70 3 cm
2/min.
©
Ejercicios resueltos 215
Solución. Tomamos el puntoO como origen de coordenadas, tal como se indica en la figura. Llamemosx.t/a la distancia, medida en millas, que separa el barcoAdeO. Nos dicen quex.0/D15yx0.t/D 20millas por hora. Observa que como la funciónx.t/ es decreciente su derivada debe ser negativa. Análogamente, seay.t/la distancia que separa al barcoBdeO.
O
A
B
Figura 6.4. Cruce de barcos
Nos dicen quey.0/D60yy0.t/D 15millas por hora. La distancia entre los dos barcos viene dada por f .t/Dpx.t/2Cy.t/2. Tenemos
f0.t/Dx.tp/x0.t/Cy.t/y0.t/
x.t/2Cy.t/2
Cuando ha pasado una horax.1/D15 20D 5,
y.1/D60 15D45. Deducimos que
f0.1/D. 5p/. 20/C45. 15/ . 5/2C.45/2 D
115
p
82 millas/h
Donde el sigo negativo indica que se están acercan-do (la distancia entre ellos está disminuyenacercan-do). Cuando han pasado dos horasx.2/D15 40D 25,y.2/D60 30D30. Deducimos que
f0.2/D. 25p/. 20/C30. 15/ . 25/2C.30/2 D
10
p
61 millas/h
Donde el sigo positivo indica que se están alejando (la distancia entre ellos está aumen-tando).
La distancia entre los dos barcos es mínima cuando la derivada es nula (fíjate que la derivada pasa de negativa a positiva). La condición f0.t0/D0equivale a la igualdad
20 x.t0/ 15y.t0/D0. Sustituyendo en ellax.t0/D15 20 t0, y.t0/D60 15 t0, obtenemost0D 4825.x.4825/D 1175 ,y.4825/D1565 . La distancia mínima a que se cruzan
los barcos esf .4825/D39millas.
©
Ejercicio resuelto 84 Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, a razón de 50 cm3por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendo el radio de la bola cuando este mide 15 cm?
Solución. El volumen de la bola en el instantet minutos viene dado por V.t/D4
3r.t/
3
centímetros cúbicos. Nos dicen que V0.t/D 50. Deducimos que 50D4r.t/2r0.t/. Sir.t0/D15, se sigue que
r0.t0/D
50 4.15/2 D
1
18 cm/min
La derivada es negativa, como debe ser, ya que el radio está disminuyendo.
©
Ejercicio resuelto 85 Calcula.f ıg/0.x/en el valor indicado dexen los siguientes casos:a) f .x/D 2x
x2C1; g.x/D10x 2
Ejercicios resueltos 216
b) f .x/D
x 1
xC1
2
; g.x/D 1
x2 1; xD 1
Solución. Este ejercicio lo puedes hacer de dos formas: calculando en caso la función compuesta.f ıg/.x/y derivándola, o aplicando la regla de la cadena sin necesidad de calcular previamente la función compuesta. Esta segunda forma es mucho más rápida. Las derivadas que nos piden son las siguientes.
a)f0.x/D 2 x 2
.x2C1/2; g0.x/D20xC1÷.fıg/0.0/Df0.g.0//g0.0/Df0.1/g0.0/D
1
4:El otro apartado se hace igual.
©
Ejercicio resuelto 86 Calcula en cada caso el valor deayben función dec, para que exista la derivada en el puntocde cada una de las siguientes funciones:
f .x/D
x2; x6c
axCb; x>c f .x/D
8 <
:
1
jxj; jxj>c
aCbx2; jxj6c
f .x/D
cosx; x6c axCb; x>c
Solución. Consideremos la segunda de las funciones anteriores. Tenemos quef .x/D 1 jxj para x < c o x > c, y f .x/DaCbx2 para c6x 6c. Imponemos primero la condición de que f sea continua en c. Tenemos quef .c/DaCbc2D lKım
x!c x<c
f .x/, y lKım
x!c x>c
f .x/D 1 jcjD
1
c. Debemos imponer la condiciónaCbc 2
D1c. Impondremos también la condición de que los límites laterales encde la derivada def coincidan. Parax >c
esf .x/D 1x, por lo que lKım x!c x>c
f0.x/D lKım x!c x>c
1 x2 D
1 c2:
Análogamente
lKım x!c x<c
f0.x/D lKım x!c x<c
2bxD2bc:
Debemos imponer la condición2bcD c12. Deducimos quebD
1
2c3yaD bc2C
1 cD
3 2c. Observa que las condiciones que hemos obtenido son necesarias para que f sea deri-vable enc. Pero dichas condiciones también son suficientes como consecuencia de la proposición6.19. No es necesario, por ello, que comprobemos que, con los valores dea
y debobtenidos antes, efectivamentef es derivable enc.
Las otras dos funciones se estudian de la misma forma.
©
Ejercicio resuelto 87 ¿Es cierta la igualdadf0.a/D lKımt!a
f .aCt/ f .a t/
2t ? Justifica tu
respuesta.
Solución. Tenemos que
f .aCt/ f .a t/
2t D
f .aCt/ f .a/
2t C
f .a/ f .a t/
2t D
Ejercicios resueltos 217
Y basta tener en cuenta que: lKım
t!a
f .aCt/ f .a/
t DtlK!ıma
f .a t/ f .a/
t Df0.a/
©
Ejercicio resuelto 88 Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los si-guientes valores enxD2yxD3.
x f .x/ g.x/ f0.x/ g0.x/
2 8 2 1/3 -3
3 3 -4 2 5
Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados dex: a)f .x/g.x/; xD3 b)f .x/=g.x/; xD3
c)f .g.x//; xD2 d)p.f .x//2C.g.x//2; xD2 Solución. a).fg/0.3/Df0.3/g.3/Cf .3/g0.3/D 8C15. b)
f
g
0
.3/Df
0.3/g.3/ f .3/g0.3/
g.3/2 D
8 15 16 .
c).f ıg/0.2/Df0.g.2//g0.2/Df0.2/g0.2/D 1. d)h.x/D
q
.f .x//2C.g.x//2,h0.2/Df0.2/f .2/Cg0.2/g.2/ p
.f .x//2C.g.x//2 D
5
3p17.
©
Ejercicio resuelto 89 Supongamos quef es una función que verifica una desigualdad del tipojf .x/j6jxjr en algún intervalo abierto que contiene a cero, donder >1. Prueba quef es derivable en0.
Solución. La desigualdadjf .x/j6jxjr, conr >0, implica quef .0/D0. Tenemos que ˇ
ˇ ˇ ˇ
f .x/ f .0/
x 0 ˇ ˇ ˇ ˇD ˇ ˇ ˇ ˇ
f .x/
x
ˇ ˇ ˇ ˇ
6jxjr 1
Comor 1>0, se tiene que lKım x!0jxj
r 1
D0, lo que, por la desigualdad anterior, implica que
lKım x!0
ˇ ˇ ˇ ˇ
f .x/ f .0/
x 0
ˇ ˇ ˇ ˇD
0 ” lKım x!0
f .x/ f .0/
x 0 D0:
Luegof es derivable en0yf0.0/D0.
Ejercicio resuelto 90 Calcula la derivada en todo punto de la función definida por
f .x/D 8 <
:
x2sen 1
x; x¤0
0; xD0
Solución. Parax¤0se verifica quejf .x/j D ˇ ˇ ˇ ˇ
x2sen 1
x
ˇ ˇ ˇ ˇ
Ejercicios resueltos 218
0 con f0.0/D0. En los intervalos 1;0Œy 0;C1Œ la función dada es derivable por ser producto y composición de funciones derivables en dichos intervalos, y podemos calcular su derivada con las reglas de derivación usuales:
f0.x/D2xsen1
x cos 1 x
Observa que esta derivada tiene una discontinuidad esencial en0.
©
Ejercicio resuelto 91 Calcula los puntos en que la cúbicayDax3Cbx2CcxCd, dondea;b;c;d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintos casos posibles.
Solución. La tangente es horizontal en los puntos donde se anula la derivada, esto es, en las soluciones reales de la ecuación 3ax2C2bxCcD0, las cuales viene dadas por
2b˙p4b2 12ac
6a
Si el discriminante 4b2 12ac < 0no hay ninguna solución real. Si4b2 12acD0
hay una solución real doble (en la que también se anula la derivada segunda pero no se anula la derivada tercera, es un punto de inflexión). Si4b2 12ac >0hay dos puntos
de tangencia horizontal.
©
Ejercicio resuelto 92 Calcula un puntocpor la condición de que la tangente a la parábola f .x/Dx2C˛xCˇen el punto.c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntos dadosAD.a; f .a//yBD.b; f .b//.
Solución. Dos rectas en el plano son paralelas cuando tienen igual pendiente. Debemos calcularcpor la condición
f .b/ f .a/
b a Df
0.c/” b
2 a2
C˛.b a/
b a D2cC˛”bCaC˛D2cC˛”cD aCb
2
©
Ejercicio resuelto 93 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbola de ecuación cartesianay2 x2D1, en un punto genérico.u; v/de la misma.
Solución. Podemos expresarycomo función dex. Tenemos quey2D1Cx2, lo que da lugar a dos curvasf .x/Dp1Cx2(la parte de la hipérbola en el semiplano superior
y >0) yg.x/D p1Cx2(la parte de la hipérbola en el semiplano inferiory < 0). La tangente en un punto.u; v/convDf .u/ >0es la recta de ecuación:
yDf .u/Cf0.u/.x u/DvCp u
1Cu2.x u/DvC
ux u2
v ” vy uxD1 La tangente en un punto.u; v/convDg.u/ <0es la recta de ecuación:
yDg.u/Cg0.u/.x u/Dv p u
1Cu2.x u/DvC
ux u2
Derivabilidad de las funciones elementales 219
Podemos proceder también sin necesidad de calcularyen función dex. Para ello, basta observar que si expresamosyen función dexy obtenemosyD'.x/entonces se tiene que'.x/2 x2D1. Podemos derivar ahora la funciónx 7!'.x/2 x2con respecto ax. La derivada es2'.x/'0.x/ 2x y, como dicha función es constante igual a 1, su derivada debe ser nula. Luego
2'.x/'0.x/ 2xD0 ” '0.x/D x '.x/
Por tanto la derivada en un punto u viene dada por'0.u/D uv donde v D'.u/. En consecuencia, la tangente en el punto.u; v/es la recta de ecuación:
yDvC'0.u/.x u/DvCu
v.x u/DvC
ux u2
v ” vy uxD1 Es decir, de esta forma, sin necesidad de calcular de forma explícita '.x/(que da lu-gar a las dos funciones anterioresf .x/yg.x/), podemos calcular la recta tangente sin necesidad de considerar cada caso por separado.
Para que te convenzas de que esta forma de proceder es útil, considera la hipérbola
x2 y2 D 1. Si ahora expresas y como función de x obtendrás cuatro curvas:
y1D p
x2 1e y 2D
p
x2 1 para (x > 1), yy 3D
p
x2 1e y 4D
p
x2 1 para (x< 1). Para calcular la tangente en un punto.u; v/de dicha hipérbola no merece la pena considerar cada una de ellas por separado. Razonando como antes, se tiene que de cualquier forma que expresemosyD'.x/por la condición de quex2 '.x/2D1, la derivada viene dada por'0.x/Dx='.x/. Por tanto la ecuación de la recta tangente en .u; v/viene dada por:
yDvC'0.u/.x u/DvCu
v.x u/DvC
ux u2
v ” ux vyD1
©
Ejercicio resuelto 94 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de
ecuación x 2
a2 C
y2
b2 D1en un punto.u; v/de la misma.
Solución. Procediendo como en el ejercicio anterior debes obtener la recta de ecuación
ux a2 C
vy b2 D1
©
6.2.7.
Derivabilidad de las funciones elementales
6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia loga-rítmica
Derivabilidad de las funciones elementales 220
La función exponencial x 7! exp.x/ Dex, .x 2 R/, y la función logaritmo natural
x7!logx, .x 2 RC/, son derivables en todo punto de sus respectivos intervalos de defini-ción, siendo:
.exp/0.x/Dexpx .8x 2R/; .log/0.x/D 1
x .8x2
RC/
En particular, se verifica que:
lKım x!1
logx
x 1D1I xlKım!0 ex 1
x D1I xlKım!0
log.1Cx/
x D1I xlKım!0.1Cx/ 1=x
De
Pues los primeros tres límites son derivadas y el cuarto se reduce fácilmente al tercero. Dedu-cimos también un importante resultado que permite resolver en muchos casos las indetermina-ciones “11” y “01”.
6.11 Teorema (Criterio de equivalencia logarítmica). Seaa2I,f ygfunciones definidas enIn fag. Supongamos quef .x/ >0parax2In fag, y que lKım
x!af .x/D1. Entonces se tiene
que:
i) lKım x!af .x/
g.x/
DeL si, y sólo si, lKım
x!ag.x/.f .x/ 1/DL.
ii) lKım x!af .x/
g.x/
D C∞si, y sólo si, lKım
x!ag.x/.f .x/ 1/D C∞.
iii) lKım x!af .x/
g.x/
D0 si, y sólo si, lKım
x!ag.x/.f .x/ 1/D ∞. Demostración. Sea 'WRC!R la función dada por:
'.x/D logx
x 1; .x¤1/; '.1/D1:
Nótese que'es una función continua. Pongamos:
f .x/g.x/Dexp g.x/log.f .x//Dexp g.x/.f .x/ 1/'.f .x// Puesto que lKım
x!a'.f .x//D1se sigue que: lKım
x!ag.x/.f .x/ 1/'.f .x//DL2
R[ fC∞g [ f ∞g si, y sólo si
lKım
x!ag.x/.f .x/ 1//DL2R[ fC∞g [ f ∞g
lo que prueba las afirmaciones hechas. 2
Derivabilidad de las funciones elementales 221
6.12 Proposición. Seanf;gWI !R,a2Iyg.x/ >0para todox2I. Se verifica entonces
que:
i)f es derivable enasi, y sólo si, la funciónh.x/Dexp.f .x//es derivable enaen cuyo caso h0.a/Df0.a/exp.f .a//.
ii)ges derivable enasi, y sólo si, la función'.x/Dlog.g.x//es derivable enaen cuyo caso
'0.a/D g0.a/
g.a/:
iii) Sif ygson derivables enala función .x/Dg.x/f .x/también es derivable enay
0.a/D .a/
log.g.a//f0.a/Cf .a/g0.a/
g.a/
Te recuerdo que una forma cómoda para trabajar con funciones de la forma .x/Dg.x/f .x/ es escribirlas como exponenciales .x/Dexp f .x/log.g.x//
. 6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas
Las funciones seno y coseno son derivables en todo punto verificándose que: sen0.x/Dcosx cos0.x/D senx:
En particular, se verifica que: lKım x!0
senx
x D1; xlKım!0
cosx 1 x D0:
Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se deducen con facilidad a partir de las derivadas del seno y del coseno.
6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas
Las derivadas de las funciones hiperbólicas y de sus inversas se deducen con facilidad de las derivadas del logaritmo y de la exponencial. Se comprueba sin dificultad que
senh0.x/Dcoshx; cosh0.x/Dsenhx
Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas son muy útiles para calcular primitivas de funciones en las que intervienen raíces cuadradas de trinomios de segundo grado.
argsenh.x/DlogxCpx2C1 argsenh0.x/D 1 p
x2C1
argcosh.x/Dlog
xCpx2 1 x>1 argcosh0.x/Dp 1
x2 1
argcosech.x/Dargsenh
1 x
x¤0 argcosech0.x/D 1 jxjpx2C1
argsech.x/Dargcosh 1
x
0<x<1 argsech0.x/D 1
Teoremas de Rolle y del valor medio 222
6.3.
Teoremas de Rolle y del valor medio
Los resultados más útiles del cálculo diferencial se refieren a funciones derivables en todos los puntos de un intervalo. El teorema del valor medio es frecuentemente atribuido a Joseph Louis Lagrange; no obstante, fue publicado por vez primera en 1806 por el físico André Marie Ampére que justificaba el resultado usando ideas de Lagrange y suponiendo que la función derivada era continua; lo cual, como se verá enseguida, es innecesario. Quince años más tarde Augustin Cauchy volvió a probar el teorema con las mismas hipótesis. El teorema del valor medio es uno de los resultados más útiles del Cálculo. Su utilidad se debe principalmente a que dicho teorema permite acotar el incremento de una función cuando se conoce una cota de su derivada.
Michel Rolle (1652 - 1719) fue miembro de la Académie des Sciences y en 1691, estudian-do un métoestudian-do para resolver ecuaciones, estableció, sin demostrar, el teorema que ahora lleva su nombre que, como veremos, es esencialmente equivalente al teorema del valor medio. 6.13 Definición. Dada una función cualquierafWI!R, se dice quef tiene en un puntoa2I un máximo relativo (resp. mínimo relativo) si hay algún númeror >0tal quea r;aCrŒI
y8x 2a r;aCrŒse verifica quef .x/6f .a/(resp.f .x/>f .a/). La expresión extremo
relativo se utiliza para referirse indistintamente a un máximo o a un mínimo relativo.
.a; f .a//
.b; f .b// .c; f .c//
.d; f .d//
Figura 6.5. Extremos relativos
La función f tiene máximos relativos en los puntosaycy mínimos relativos en los puntos
byd. Nótese quef .d/ > f .a/, es decir, el va-lor de una función en un mínimo relativo puede ser mayor que el valor en un máximo relativo.
6.14 Proposición (Condición necesaria de extremo relativo). Sea f WI ! R, a 2 I y
supongamos que f tiene un extremo relativo en a y que f es derivable en a. Entonces se verifica quef0.a/D0.
Demostración. Supongamos queaes un máximo relativo def. Entonces hay un númeror >0
tal quea r;aCrŒ I y8x 2a r;aCrŒse verifica quef .x/6f .a/. Puesto quef es derivable enay el puntoano es un extremo del intervaloI, se verifica que:
lKım x!a
x<a
f .x/ f .a/
x a Df
0.a/D lKım x!a
x>a
f .x/ f .a/
x a
Puesto que paraa r<x<aes f .x/ f .a/
x a >0, se sigue que lxKım!a x<a
f .x/ f .a/
x a >0.
Puesto que paraa<x<aCres f .x/ f .a/
x a 60, se sigue que lxKım!a x>a
f .x/ f .a/
x a 60.
Teoremas de Rolle y del valor medio 223
El resultado anterior es uno de los que peor se interpretan debido a que suelen olvidarse sus hipótesis, que son dos:
Que el puntoasea un extremo relativo def.
~
Quef sea derivable ena.
La expresión “comof tiene un extremo ena, su derivada debe anularse ena” no es, en general, correcta. Los siguientes ejemplos lo dejan bien claro:
La función f WR!R dada por f .x/D jxj, tiene claramente un mínimo relativo (y también absoluto) en 0, pero no es derivable en 0, por lo que no tiene ningún sentido decir que su derivada se anula en0.
La función f WŒ 1;1!R dada porf .x/Dx3, es estrictamente creciente, es derivable en todo punto y su derivada solamente se anula enxD0. Tiene un mínimo absoluto en 1
y un máximo absoluto en1; dichos puntos no son extremos relativos de la función. Este ejemplo también muestra que la condición necesaria de extremo relativo no es suficiente. Los puntos en los que se anula la derivada de una función se llaman puntos críticos o puntos singulares de dicha función.
6.15 Teorema (Teorema de Rolle). SeafWŒa;b!Runa función continua enŒa;b, derivable
ena;bŒy verificando quef .a/Df .b/. Entonces existe algún puntoc2a;bŒtal quef0.c/D0.
Demostración. La continuidad def enŒa;bgarantiza quef alcanza en un puntou2Œa;bun mínimo absoluto y en un puntov2Œa;bun máximo absoluto. Sifu; vg D fa;bg, entonces será
f0.c/D0
a c b
yDf .x/
Figura 6.6. Teorema de Rolle
f .u/Df .v/y, por tanto f es constante enŒa;by, en consecuencia, su derivada es nula. Sifu; vg¤fa;bg, entonces alguno de los puntosu,vestá ena;bŒy es un extre-mo relativo de f por lo que, en virtud de la proposición anterior, concluimos que la derivada def se anula en algún punto de
a;bŒ. 2
Observaciones. Observa que la demostración del teorema de Rolle que hemos dado, que es la usual, depende de forma esencial del teorema de Weierstrass4.29que garantiza la existencia de valores extremos absolutos.
Teoremas de Rolle y del valor medio 224
trabajar con funciones definidas en intervalos abiertos que no tienen puntos extremos, en cuyo caso debemos elegir un intervalo apropiado para aplicar el teorema.
El teorema de Rolle se usa para estudiar raíces de ecuaciones, pues permite relacionar los ceros de una función derivable con los de su derivada. Un cero de una función es, naturalmente, un punto en el que la función se anula.
6.16 Corolario. a) Entre cada dos ceros de una función derivable en un intervalo hay por lo
menos un cero de su derivada.
b) Entre cada dos ceros consecutivos de la derivada de una función en un intervalo, so-lamente puede haber, como mucho, un cero de la función; o puede que la función no tenga ningún cero entre los dos ceros de su derivada.
Demostración. a) Sea f WI !R una función derivable en un intervaloI. Seana;b2Itales quef .a/Df .b/D0. El teorema de Rolle nos dice que hay algún punto entreayben el que se anula la derivada def.
b) Supongamos ques;tson ceros consecutivos de la derivada def, esto es,f0.s/Df0.t/D0
yf0no se anula en ningún punto comprendido entresyt. En tal caso puede ocurrir quef no tenga ningún cero comprendido entres yt o que tenga solamente uno. No puede ocurrir que f tenga más de un cero entresyt, pues en tal caso su derivada tendría que anularse en algún punto comprendido entresyt, cosa que no sucede. 2
El apartado b) suele expresarse diciendo que los ceros de la derivada separan los ceros
de la función. Debes entender bien lo que se afirma en b). Por ejemplo, puede ocurrir que la
derivada se anule en varios puntos y la función no se anule nunca: la funciónf .x/D2Csenx
no se anula nunca, pero su derivadaf0.x/Dcosxtiene infinitos ceros.
6.17 Teorema (Teorema del valor medio). Seaf WŒa;b!Runa función continua enŒa;b
y derivable ena;bŒ. Entonces existe algún puntoc2a;bŒtal que
f0.c/D f .b/ f .a/
b a (6.4)
Demostración. Definamos una función gWŒa;b!R por g.x/D f .x/Cx donde lo elegiremos por la condición de queg.a/Dg.b/, es decir:
f .a/CaDf .b/Cb ÷ D f .b/ f .a/
b a
Podemos aplicar ahora el teorema de Rolle en el intervaloŒa;ba la función
g.x/Df .x/ f .b/ f .a/
b a x
para deducir que hay un puntoc2a;bŒtal que
g0.c/Df0.c/ f .b/ f .a/
b a D0
Consecuencias del teorema del valor medio 225
.a; f .a//
.b; f .b//
a c
.c; f .c//
b
tg.˛/Df .b/ f .a/
b a Df
0.c/
yDf .c/Cf0.c/.x c/
˛
Figura 6.7. Teorema del valor medio
Lo que afirma el teorema del valor medio es que el incremento medio de una función en un intervalo es igual a su derivada o “incremento puntual” en algún punto del mismo. Geométri-camente: la tangente a la gráfica def en algún puntoc comprendido entreaybes paralela a la cuerda que une los puntos.a; f .a/y.b; f .b//.
Observa que el teorema del valor medio lo hemos deducido del teorema de Rolle, pero es evidente que el teorema de Rolle puede deducirse del teorema del valor medio. Son dos resultados equivalentes. En lo que sigue nos referiremos al teorema del valor medio por las siglas TVM.
6.3.1.
Consecuencias del teorema del valor medio
6.18 Proposición. Seaf una función derivable en un intervaloI, y supongamos que existe M >0tal quejf0.x/j6M para todox2I. Entonces se verifica que
jf .x/ f .y/j6Mjx yj para todosx;y2I (6.5)
En particular, sif0.x/D0para todox2I entoncesf es constante enI.
Demostración. Dadosx;y2I, el TVM aplicado a la funciónf en el intervalo de extremosx
eynos dice que hay algún puntozen dicho intervalo tal quef .x/ f .y/Df0.z/.x y/. Tomando valores absolutos tenemos
jf .x/ f .y/j D jf0.z/jjx yj6Mjx yj
Si la derivada def es idénticamente nula enIpodemos tomarM D0en la desigualdad (6.5) para obtener quef .x/Df .y/para todosx;y2I, lo que nos dice quef es constante enI.2
El resultado anterior, además de su interés teórico, es muy útil para probar desigualdades. En la proposición anterior la hipótesis de que I es un intervalo es esencial. La función fW0;1Œ[1;2Œ!R dada porf .x/D1si0<x <1yf .x/D2si1<x<2, es derivable en todo punto con derivada nula y no es constante.
Consecuencias del teorema del valor medio 226
entonces f es derivable por la derecha (resp. por la izquierda) en a con derivada por la derecha (resp. por la izquierda) en a igual al valor de dicho límite. En particular, si existe
lKım x!af
0.x/DLentoncesf es derivable enayf0.a/DL.
Demostración. Supongamos lKım x!a
x<a
f0.x/DL. Dado" >0, existeı >0tal quea ı;aI
y paraa ı <x <ase verifica quejf0.x/ Lj< ". Dadox2a ı;a, podemos aplicar el teorema del valor medio a la funciónf en el intervaloŒx;ay deducimos que hay algún punto
c2x;aŒa ı;aŒtal quef .x/ f .a/Df0.c/.x a/y por tanto: ˇ
ˇ ˇ ˇ
f .x/ f .a/
x a L
ˇ ˇ ˇ ˇD j
f0.c/ Lj< ":
Lo que prueba que
lKım x!a x<a
f .x/ f .a/
x a DL;
es decir,f es derivable por la izquierda enay la derivada por la izquierda def enaes igual a
L.
El resto de las afirmaciones del enunciado se deducen fácilmente de lo anterior. 2
La proposición anterior tiene una interesante consecuencia que, entre otras cosas, nos in-forma de que no toda función puede ser la derivada de otra.
6.20 Corolario. Las funciones derivadas definidas en intervalos no tienen discontinuidades
evitables ni de salto.
6.21 Proposición (Derivabilidad y monotonía). Seaf WI !Rderivable en todo punto del
intervaloI con la posible excepción de los puntos extremos deI. Se verifica entonces quef
es creciente (resp. decreciente) enIsi, y sólo si,f0.x/>0(resp.f0.x/60) para todox2I.
Demostración. Supongamos que f0.x/>0para todo x2I. Dados dos puntosu; v2I con
u< v, podemos aplicar el teorema del valor medio af en el intervaloŒu; vpara deducir que existec 2u; vŒtal quef .v/ f .u/Df0.c/.v u/>0, por lo quef .u/6f .v/, es decirf es creciente.
Recíprocamente, sif es creciente enI entonces para todosa;x2I, conx¤a, se tiene que f .x/ f .a/
x a >0, lo que implica que:
lKım x!a
f .x/ f .a/
x a Df0.a/>0:
2
Este resultado es muy útil para probar desigualdades entre funciones. Muchos problemas de desigualdades responden al siguiente esquema.
Consecuencias del teorema del valor medio 227
Se defineh.x/Dg.x/ f .x/y se comprueba queh.a/D0. Se comprueba queh0.x/>0para todox>a.
Esta última desigualdad implica quehes creciente enŒa;C1Œy, comoh.a/D0, concluimos queh.x/>0, es decir,g.x/ f .x/>0, para todox>a.
Naturalmente, los detalles pueden cambiar. Puede que el punto a debas elegirlo tú. Es una estrategia que tiene éxito cuando la desigualdad h0.x/>0 es más fácil que la inicial. Puede ocurrir que esta desigualdad siga siendo complicada; entonces podemos aplicarle a ella el mismo procedimiento, comprobamos queh0.a/D0y queh00.x/>0para todo x > a, lo que implica queh0es creciente enŒa;C1Œy, comoh0.a/D0, concluimos queh0.x/>0para todox>a.
De la proposición (6.21) se deduce el siguiente resultado de extremo absoluto.
6.23 Proposición (Criterio de extremo absoluto). Sea f una función continua en Œa;b y derivable en todo punto dea;bŒcon la posible excepción de un puntoc2a;bŒ.
a) Sif0.x/>0para todox 2a;cŒyf0.x/60para todox2c;bŒ, entoncesf alcanza enc un máximo absoluto enŒa;b.
b) Sif0.x/60para todox 2a;cŒyf0.x/>0para todox2c;bŒ, entoncesf alcanza enc un mínimo absoluto enŒa;b.
Demostración. a) Las hipótesis hechas implican, en virtud de la proposición (6.21), que f es creciente enŒa;cy decreciente enŒc;b. Por tanto, se verifica quef .x/6f .c/para todo
x2Œa;b.
La demostración del apartado b) se hace de la misma forma. 2
El anterior criterio de extremo absoluto suele aplicarse en puntos donde la derivada se anula. Aunque el resultado anterior está enunciado en términos de extremos absolutos, está claro que si se aplica a un pequeño intervalo contenido en un intervalo más grande, donde la función está definida, dicho resultado proporciona en tal caso un criterio de extremo relativo. 6.24 Teorema. Seaf WI !Rderivable en el intervaloI conf0.x/¤0para todox2I. Se
verifica entonces una de las dos afirmaciones siguientes:
f es estrictamente creciente yf0.x/ >0para todox2I.
f es estrictamente decreciente yf0.x/ <0para todox2I.
Consecuencias del teorema del valor medio 228
Es importante advertir que el resultado anterior nos dice que si una funciónf es derivable en un intervalo y la derivada f0 toma valores positivos y negativos, entonces f0 se anula en algún punto. Este resultado recuerda mucho al teorema de los ceros de Bolzano para funciones continuas en un intervalo, con una notable diferencia: aquí no exigimos que la función deri-vadaf0sea continua. De hecho, se verifica el siguiente resultado que es un teorema del valor intermedio para funciones derivadas, en el que no se supone que la derivada sea continua. 6.25 Teorema (Propiedad del valor intermedio para derivadas). Sea'una función definida en un intervaloIque es la derivada de alguna función en dicho intervalo. Entonces se verifica que la imagen por'deI,'.I/, es un intervalo.
Demostración. Por hipótesis hay una función derivable f WI !R tal que '.x/D f0.x/ para todo x 2I. SeanuD'.a/, vD'.b/ dos valores que toma la función ', y suponga-mos u < v. Dado 2u; vŒ, definimos la función g.x/D f .x/ x. Tenemos entonces
g0.a/D'.a/ Du <0 yg0.b/D'.b/ Dv >0. Por tanto, la derivada deg
toma valores positivos y negativos en el intervaloI y, por el teorema6.24, tiene que anularse, es decir, existe algún punto c2I tal queg0.c/D'.c/ D0, esto es,'.c/D. Hemos probado así que si'toma dos valores también toma todos los comprendidos entre ellos dos, es
decir, que'.I/es un intervalo. 2
6.26 Proposición (Derivación de la función inversa). SeafWI !Rderivable en el intervalo
Icon derivadaf0.x/¤0para todox2I. Entoncesf es una biyección deIsobre el intervalo J Df .I/, y la función inversaf 1WJ !Res derivable enJ siendo
.f 1/0.y/D 1
f0.f 1.y// .y 2J/: (6.6) Demostración. Las hipótesis hechas implican quef es estrictamente monótona y continua; por tanto es una biyección deI sobreJDf .I/, y la función inversaf 1WJ !Res continua enJ (4.25). SeabDf .a/2J. Puesto que
lKım x!a
x a
f .x/ f .a/D
1
f0.a/; la función hWI !R dada por:
h.x/D x a
f .x/ f .a/ para x¤a; h.a/D
1
f0.a/
es continua enI. Comof 1es continua enJ, deducimos quehıf 1es continua enJ, por lo que, en particular, lKım
y!bh.f 1.y//
Dh.f 1.b//Dh.a/. Pero, para todoy2J, cony¤bes
h.f 1.y//D f
1.y/ f 1.b/
y b :
Concluimos así que
lKım y!b
f 1.y/ f 1.b/
y b D
1
f0.a/
2
Reglas de L’Hôpital 229
6.27 Ejemplo (Derivabilidad de las funciones trigonométricas inversas). La función tan-gente es una biyección derivable del intervalo =2; =2Œ sobre R, cuya derivada no se anula. El teorema anterior nos dice que la función inversa, es decir, la función arcotangente es derivable en Ry su derivada podemos calcularla derivando la identidad .tgıarc tg/.x/Dx, con lo que obtenemos
.1Ctg2.arc tgx//arc tg0.x/D1 ” .1Cx2/arc tg0.x/D1 ” arc tg0.x/D 1
1Cx2 Análogamente, la función seno es una biyección derivable del intervalo =2; =2Œ sobre 1;1Œcuya derivada no se anula. El teorema anterior nos dice que la función inversa, es decir, la función arcoseno es derivable en 1;1Œ y su derivada podemos calcularla derivando la identidad.senıarc sen/.x/Dx, con lo que obtenemos:
cos.arc senx/arc sen0.x/D1 ” p1 x2arc sen0.x/D1 ” arc sen0.x/Dp 1
1 x2
6.28 Teorema (Teorema del valor medio generalizado). Seanf;gWŒa;b ! Rfunciones
continuas enŒa;by derivables ena;bŒ. Entonces existe algún puntoc2a;bŒtal que
.f .b/ f .a//g0.c/D.g.b/ g.a//f0.c/
Demostración. Definimos una funciónh.x/Df .x/Cg.x/donde,son números que se eligen de forma queh.a/Dh.b/, esto es,.f .a/ f .b//D.g.b/ g.a//. Basta para ello tomar Dg.b/ g.a/, Df .a/ f .b/. El teorema del Rolle, aplicado a la función
h.x/D.g.b/ g.a//f .x/ .f .b/ f .a//g.x/, nos dice que hay un puntoc2a;bŒtal que
h0.c/D0, lo que concluye la demostración. 2
6.3.2.
Reglas de L’Hôpital
Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), publicó anónimamente en 1696 el primer libro de texto sobre cálculo diferencial, el cual tuvo gran éxito e influencia durante el siglo XVIII. En él aparecen los resultados que hoy llevan su nombre, que permiten resolver en muchos casos indeterminaciones de la forma 00 o 11, que se presentan frecuentemente al estudiar el límite de un cociente de dos funciones. Si bien L’Hôpital era un escritor excepcio-nalmente claro y eficaz, las llamadas “reglas de L’Hôpital” no se deben a él sino a su maestro Jean Bernouilli (1667-1748). Las distintas formas de las reglas de L’Hôpital pueden resumirse en el siguiente enunciado.
6.29 Teorema (Jean Bernouilli). Sean ∞6a < b6C∞,f yg funciones derivables en a;bŒcong0.x/¤0, para todox 2a;bŒ. Sea˛2 fa;bgy supongamos que se verifica alguna de las dos condiciones siguientes:
a) lKım
x!˛f .x/Dxl!Kım˛g.x/D0
b) lKım
