TRABAJOS DE MATEMATICA

FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA

______________________________________________________________________

SERIE “B”

TRABAJOS DE MATEMATICA

Nº 51/07

II Encuentro de Geometría Diferencial

Notas de Cursos

6 al 11 de Junio de 2005. La Falda, Sierras de Córdoba

Hernán Cendra-Javier Fernández- Sebastián Ferraro

Sergio Grillo- Jorge Lauret-Marcos Salvai-Cristián U. Sánchez

Editores: Jorge R. Lauret–Elvio A. Pilotta

____________________________________________________________

CIUDAD UNIVERSITARIA – 5000 CÓRDOBA

CONTENIDOS

1.- Geometr´ıa Simpl´ectica y Mec´anica.

Hern´an Cendra.

Departamento de Matem´atica. Universidad Nacional del

Sur.

2.- Simetr´ıa Espejo en Matem´atica: Algunos Temas B´asicos.

Javier Fern´andez.

Instituto Balseiro. Universidad Nacional de Cuyo.

CNEA.

3.- Introducci´on a la Mec´anica Lagrangiana y Hamiltoniana.

Sebasti´an Ferraro.

Departamento de Matem´atica. Universidad Nacional

del Sur.

Sergio Grillo.

Instituto Balseiro. Centro At´omico Bariloche.

4.- Variedades Planas y Grupos Cristalogr´aficos.

Jorge Lauret.

Facultad de Matem´atica, Astronom´ıa y F´ısica - CIEM.

5.- Curvas Geod´esicas en Superficies de Revoluci´on y

Genera-lizaciones.

Marcos Salvai.

Facultad de Matem´atica, Astronom´ıa y F´ısica - CIEM.

6.- Una Miradita a las Superficies.

Cristi´an U. S´anchez.

Facultad de Matem´atica, Astronom´ıa y F´ısica

-CIEM.

Hern´an Cendra

Departamento de Matem´atica

Universidad Nacional del Sur

[email protected]

Reuni´on PAV

Geometr´ıa Diferencial, F´ısica y Control

, La Falda, Junio 06-11, 2005

1.

Introducci´

on

La geometr´ıa simpl´ectica se ha desarrollado desde sus comienzos y hasta las

investigaciones actuales, en paralelo con la f´ısica, en especial con la mec´anica. Parte

del objeto del curso es enfatizar este hecho.

Los requisitos de conocimientos previos para el curso son un conocimiento del

c´alculo exterior en variedades, nociones de grupos de Lie y acci´on de grupos en

variedades, y nociones de mec´anica. Si se dan estos requisitos, estas notas son

au-tocontenidas, aunque algunas demostraciones no se dan, o se dan solo en forma

esquem´atica, y completarlas constituye, en la mayor´ıa de los casos, un ejercicio de

c´alculo exterior.

Los temas tratados en estas notas est´an esencialmente contenidos en los

siguien-tes libros, aunque el tratamiento variacional de las ecuaciones de Lie-Poisson parece

m´as nuevo.

Abraham, R. and Marsden, J. E.

Foundations of Mechanics

, Benjamin, 1978.

Marsden, J. E. and Ratiu, T. S.

Introduction to Mechanics and Symmetry

, Springer,

1994.

Arnold, V.I.

Mathematical Methods of Classical Mechanics

, Springer, 1978. Edici´on

previa de MIR, Mosc´

u, 1975.

Guillemin, V., Sternberg, S.

Symplectic techniques in physics

, Cambridge, 1984.

2.

Variedades Simpl´

ecticas

Sea

E

un espacio vectorial con base

e

_i

, i

= 1

, ..., n,

y base dual

e

i

_{, i}

_{= 1}

_{, ..., n.}

_En

el espacio

V

=

E

×

E

∗

_{se tiene la siguiente bilineal, antisim´etrica y no degenerada}

ω

((

v

1

, α

1

)

,

(

v

2

, α

2

)) =

α

2

(

v

1

)

−

α

1

(

v

2

)

.

Se tiene el siguiente lema

Lema 2.1.

Sea

ω

0

:

V

×

V

→

R

una bilineal antisim´etrica no degenerada, donde

V

es un espacio vectorial dado. Entonces existe una base

f

_i

, i

= 1

, ...,

2

n

de

V

tal que,

la matriz de

ω

en esa base est´a dada por

ω

ij

= 1

,

si

i

+

n

=

j,

ω

ij

=

−

1

,

si

i

=

j

+

n,

ω

ij

= 0

,

en cualquier otro caso.

En particular, todo espacio

V

con una bilineal

ω

antisim´etrica y no degenerada, se

puede identificar con el espacio

E

×

E

∗

_{con la forma}

_ω

0

descrita antes del lema, de

modo tal que

f

i

=

e

i

,

si

i

= 1

, .., n,

y

f

i

=

e

i

,

si

i

=

n, ..,

2

n.

Un

espacio simpl´

ectico

es un espacio

V

con una bilineal sim´etrica y no

de-generada

ω,

llamada

forma simpl´

ectica.

Sean

V

1

, V

2

,

espacios simpl´ecticos con

formas simpl´ecticas

ω

1

, ω

2

,

respectivamente. Una transformaci´on lineal

f

:

V

1

→

V

2

se dice

simpl´

ectica

, o

can´

onica

, si

f

∗

_ω

2

=

ω

1

.

Se prueba que si

V

es un espacio simpl´ectico de dimensi´on 2

n

con forma

simpl´ecti-ca

ω

entonces

ω

n

es un volumen, llamado

volumen de Liouville.

Es claro que las

transformaciones can´onicas preservan el volumen de Liouville. En particular, una

transformaci´on can´onica es un isomorfismo lineal que preserva la orientaci´on. La

composici´on de transformaciones can´onicas es una transformaci´on can´onica. El

gru-po de todas las transformaciones can´onicas es llamado

Sp

(

V

)

.

La noci´on general de variedad simpl´ectica y de transformaci´on can´onica que

introducimos a continuaci´on es fundamental.

Definici´

on 2.2.

Una variedad simpl´ectica es una variedad

P

con una 2-forma

ω

cerrada, es decir,

dω

= 0

,

y no degenerada. Sean

P

1

, P

1

,

variedades simpl´ecticas

con formas simpl´ecticas

ω

1

, ω

2

,

respectivamente. Una aplicaci´on

f

:

P

1

→

P

2

se

dice

simpl´

ectica, o

can´

onica, si

f

∗

_ω

2

=

ω

1

.

De la definici´on anterior se desprende que cada espacio tangente

T

x

P

es un

espa-cio simpl´ectico, donde la bilineal no degenerada es

ω

(

x

)

.

En particular, la dimensi´on

de

P

es par. Tambi´en resulta que

ω

n

_{es un volumen, el}

_{volumen de Liouville}

_{, y}

por lo tanto

P

es orientable.

Es claro que las transformaciones can´onicas

f

:

P

1

→

P

2

entre variedades

simpl´ecticas preservan el volumen de Liouville, es decir

f

∗

_ω

n

2

=

ω

1

n

.

La condici´on de que

ω

sea cerrada es importante y equivale a la identidad de

Jacobi para el corchete de Poisson, como veremos luego.

En el espacio

P

=

E

×

E

∗

_,

_{pensado como variedad, se introducen coordenadas}

(

q

i

_{, p}

i

) correspondientes a la base (e

i

,

e

i

)

.

La 1-forma

θ

0

=

p

i

dq

i

se llama la

1-forma

can´

onica

. La 2-forma

ω

₀

=

−

dθ

₀

se llama la

2-forma can´

onica,

o, tambi´en,

for-ma simpl´

ectica can´

onica

. Se tiene

ω

0

=

dq

i

∧

dp

i

.

Es claro que las componentes

ω

0

ij

son constantes. M´as adelante probaremos el teorema de Darboux, que

esta-blece que, localmente, toda variedad simpl´ectica es can´onicamente difeomorfa a la

variedad

E

×

E

∗

.

Si

ω

es una forma simpl´ectica en

P,

como

ω

es en cada fibra una bilineal no

degenerada, entonces existe un isomorfismo de fibrados vectoriales

ω

[

:

T P

→

T

∗

P,

dado por

ω

[

_X

p

(

Y

p

) =

ω

(

X

p

, Y

p

)

,

con inversa

ω

]

:

T

∗

P

→

T P.

A continuaci´on veremos el teorema de Darboux, el cual, en particular, muestra que

las variedades simpl´ecticas son todas localmente simpl´ecticamente difeomorfas.

Teorema 2.3.

Sea

P

una variedad simpl´ectica de dimension

2

n,

con forma

sim-pl´ectica

ω.

Para cada

x

0

∈

P

existe una carta

ϕ

:

U

→

T

∗

E,

donde

E

es un espacio

vectorial, con

x

0

∈

U,

y tal que

ϕ

∗

(

ω

|

U

) =

ω

0

|

ϕ

(

U

)

.

En particular, resulta que hay

coordenadas locales

q

i

_{, p}

i

tales que

ω

|

U

=

dq

i

∧

dp

i

.

Demostraci´on.

Como la cuesti´on tiene car´acter local, se puede suponer que

P

es un

abierto de 0

∈

R

2

n

_.

_{M´as a´}

_{un, mediante un cambio simpl´ectico lineal de coordenadas,}

se puede suponer tambi´en que

ω

(0) = (

dq

i

_∧

_dp

i

)(0)

.

Sea

ω

0

la forma simpl´ectica

ω

0

=

dq

i

∧

dp

i

.

Sea

ω

t

=

ω

0

+

t

(

ω

−

ω

0

)

,

luego

ω

1

=

ω.

Vamos a hallar un campo

dependiente del tiempo

X

t

tal que su flujo

F

t

satisfaga

d

dt

F

∗

t

ω

t

= 0

,

y que est´e definido para

t

∈

[0

,

1]

,

en un entorno fijo de 0

,

por lo tanto,

F

∗

1

ω

1

=

ω

0

,

con lo cual el problema queda resuelto. La condici´on anterior equivale a

F

_t

∗

(

L

X

t

ω

t

+ (

ω

−

ω

0

)) = 0

,

o sea, teniendo en cuenta que

ω

es cerrada,

d

i

_X

_t

ω

t

+ (

ω

−

ω

0

) = 0

.

Por el lema

de Poincar´e, existe

α

tal que

dα

=

ω

0

−

ω,

y adem´as,

α

(0) = 0

.

Usando la no

degeneraci´on de

ω,

resulta que existe

X

t

tal que i

X

t

ω

t

=

α,

y adem´as, como

X

t

(0) =

0

,

achicando

U

si es necesario, se puede suponer que

F

t

est´a definido para

t

∈

[0

,

1]

,

lo que termina la demostraci´on.

¥

Las cartas cuya existencia se prueba en el teorema anterior, se llaman

cartas

de Darboux.

Un caso importante de variedad simpl´ectica, en el cual las cartas de Darboux se

construyen de modo natural, es el siguiente. Sea

Q

una variedad de dimensi´on

n

. El

fibrado cotangente

π

_Q

:

T

∗

_Q

_→

_Q,

_{tiene una}

_{1-forma can´}

_onica

_θ

0

definida

me-diante

θ

0

(

V

α

q

) =

α

q

(

T π

Q

V

α

q

)

,

donde

T π

Q

:

T T

∗

Q

→

T Q

es la aplicaci´on tangente.

Sea

q

i

_{un sistema de coordenadas locales en}

_Q,

_{definido en un abierto}

_U

_⊆

_Q.

Enton-ces, cada

α

_q

∈

T

∗

q

Q

se escribe

α

q

=

p

i

dq

i

.

La aplicaci´on

ϕ

: (

π

Q

)

−

1

(

U

)

→

U

×

R

n

∗

dada por

ϕ

(

α

q

) = (

q, p

)

,

define una carta local de

T

∗

Q.

Se verifica f´acilmente que

ϕ

∗

θ

0

|

U

=

p

i

dq

i

.

Se define la

2-forma can´

onica

ω

0

mediante

ω

0

=

−

dθ

0

.

En

coor-denadas, resulta

ϕ

_∗

ω

₀

|

U

=

dq

i

_∧

_dp

i

,

lo que prueba, en particular, que

ω

0

es una

de Darboux, lo que prueba de modo directo que

T

∗

_Q

_{es localmente simpl´ecticamente}

equivalente al caso en que

Q

≡

E

es un espacio vectorial, considerado anteriormente.

Es importante destacar que el levantamiento cotangente

T

∗

_f

_:

_T

∗

_Q

1

→

T

∗

Q

2

de

un difeomorfismo

f

:

Q

1

→

Q

2

,

preserva la 1-forma can´ononica, o sea, (

T

∗

f

)

∗

θ

0

=

θ

0

,

de donde resulta que es un difeomorfismo simpl´ectico.

3.

Mec´

anica Hamiltoniana.

Los conceptos b´asicos introducidos hasta ahora bastan para dar un contenido

geom´etrico a la mec´anica Hamiltoniana. En lo que sigue pondremos ´enfasis en la

interpretaci´on f´ısica de estos conceptos.

Ejemplo 1.

Sea una masa puntual

m

que se mueve en

R

3

_{describiendo una}

curva

¡

q

1

(

t

)

, q

2

(

t

)

, q

3

(

t

)

¢

,

en un campo de potencial

V

(

q

)

.

Por lo tanto, la fuerza es

−

∂V

∂q

,

el cual es un elemento de

R

3

∗

_.

_{Identificando}

_R

3

∗

_con

_R

3

_{mediante la m´etrica}

Eu-clideana, el momento de la masa puntual es

p

=

m

q.

˙

La ley de Newton establece

que

˙

p

=

−

∂V

∂q

.

Sea

H

:

R

3

×

R

3

∗

→

R

la funci´on

H

(

q, p

) =

1

2

m

p

2

₊

_V

₍

_q

₎

_.

Llamada el

Hamiltoniano

del sistema. Se tiene

dH

=

∂H

∂q

i

dq

i

+

∂H

∂p

_i

dp

i

.

Se define el

campo Hamiltoniano

X

_H

asociado al Hamiltoniano

H

mediante

X

_H

=

ω

]

dH.

Escribiendo

X

H

(

q, p

) = (

q, p,

q,

˙

p

˙

)

,

se escriben las

ecuaciones de Hamilton

,

como sigue

˙

q

=

∂H

∂p

_i

(3.1)

˙

p

=

−

∂H

∂q

i

.

(3.2)

Se verifica de inmediato que las ecuaciones de Hamilton coinciden en este caso con

las ecuaciones de Newton.

En general, las ecuaciones de Hamilton se definen como sigue. Sea

P

una variedad

simpl´ectica con forma simpl´ectica

ω,

llamada el

espacio de fase del sistema

. Sea

H

:

P

→

R

un Hamiltoniano dado. Entonces, el campo Hamiltoniano asociado al

Hamiltoniano

H

es

X

H

=

ω

]

dH,

es decir,

ω

(

X

H

, .

) =

dH.

Esta definici´on es de aplicaci´on en toda la mec´anica. Las ideas originales de

Ha-milton se desarrollaron en relaci´on con la ´optica geom´etrica, tratando de explicar

la relaci´on entre los rayos entrantes y salientes para un sistema general de lentes,

generalizando de este modo la ´optica Gaussiana, en donde los lentes se consideran

de revoluci´on. S´olo despu´es de un tiempo el mismo Hamilton encontr´o que sus

ecua-ciones se aplicaban tambi´en a la mec´anica, unificando de este modo la ´optica y la

mec´anica, sobre la base del pricipio variacional de Ferm´at. Adem´as, el enfoque

Ha-miltoniano cre´o un contexto en el cual se desarroll´o m´as tarde la mec´anica cu´antica.

El m´etodo de cuantizaci´on de Dirac parte de la formulaci´on Hamiltoniana.

Ejemplo 2.

Sea

S

2

_{la esfera de radio 1}

_,

_{con la forma simpl´ectica dada por}

el elemento de ´area

ω

((

x, a

)

,

(

x, b

)) =

x

·

(

b

×

a

)

.

Sea

H

:

R

3

_→

_R

_{dado por}

H

(

x

) = (1

/

2)

¡

(

x

1

)

2

/I

1

+ (

x

2

)

2

/I

2

+ (

x

3

)

2

/I

3

¢

,

donde

x

∈

R

3

.

Sea

h

=

H

|

S

2

la

restricci´on de

H

a

S

2

_.

_{Vamos a calcular la ecuaci´on de Hamilton correspondiente}

al Hamiltoniano

h

. El campo Hamiltoniano

X

_h

debe satisfacer, para todo campo

Y

tangente a la esfera,

dh

(

Y

) =

ω

(

X

h

, Y

)

,

o sea,

x

1

Y

1

/I

1

+

x

2

Y

2

/I

2

+

x

3

Y

3

/I

3

=

Y

·

(

X

h

×

x

)

.

Llamando

x/I

= (

x

1

/I

1

, x

2

/I

2

, x

3

/I

3

)

,

resulta, dada la arbitrariedad de

Y, x/I

=

X

_h

×

x,

luego, teniendo en cuenta que

X

_h

·

x

= 0

,

resulta

x

×

(

x/I

) =

X

_h

.

Escribiendo ahora

x

=

Iν

≡

(

I

1

ν

1

, I

2

ν

2

, I

3

ν

3

)

,

resulta

X

h

=

Iν

×

ν,

por lo tanto, la

ecuaci´on de Hamilton es

I

ν

˙

=

Iν

×

ν.

M´as adelante veremos que estas son precisamente las ecuaciones de Euler del

cuerpo r´ıgido, si se interpreta

ν

como la velocidad angular en coordenadas en el

cuerpo, y

I

1

, I

2

, I

3

,

como los momentos principales de inercia.

El siguiente ejemplo contiene un gran n´

umero de casos de inter´es en mec´anica.

Ejemplo 3.

Sea

H

un Hamiltoniano en

T

∗

_Q.

_{Entonces, las ecuaciones de}

Hamil-ton se escriben, en la carta de Darboux natural del fibrado cotangente, exactamente

como en el caso en que

Q

es un espacio vectorial, es decir

˙

q

=

∂H

∂p

i

(3.3)

˙

p

=

−

∂H

∂q

i

.

(3.4)

En general, esta es la expresi´on de las ecuaciones de Hamilton en coordenadas de

Darboux para una variedad simpl´ectica arbitraria.

Ejemplo 4.

Un caso particular del ejemplo anterior, de especial relevancia en

mec´anica, es aquel en el cual

H

(

α

q

) = (1

/

2)

g

(

α

q

, α

q

)+

V

(

q

)

,

donde

g

es una m´etrica

definida positiva en el fibrado cotangente

T

∗

_Q,

_{la cual representa la energ´ıa cin´etica}

del sistema, mientras que

V

representa la energ´ıa potencial del sistema.

Es claro que

g

define una m´etrica Riemanniana en

Q,

que llamaremos tambi´en

g,

por un abuso de notaci´on, dada por

g

(

u

_q

, v

_q

) =

g

(

g

]

_u

q

, g

]

v

q

) para cada

u

q

, v

q

∈

T

q

Q.

En el caso en que

V

= 0

,

se prueba f´acilmente que las soluciones de las ecuaciones de

Hamilton, proyectadas en

Q,

son las geod´esicas, m´as precisamente, sea (

q

0

,

q

˙

0

)

∈

T Q,

y sea (

q

₀

, p

₀

) =

g

[

₍

_q

0

,

q

˙

0

)

.

Sea (

q

(

t

)

, p

(

t

)) la soluci´on de la ecuaciones de Hamilton

(

q

0

,

q

˙

0

)

.

Esta afirmaci´on resultar´a m´as clara despu´es de ver sistemas Lagrangianos

y la transformaci´on de Legendre.

Ejemplo 5.

Un caso importante del Ejemplo 4., es el cuerpo r´ıgido.

Comenzare-mos con una descripci´on f´ısica. Se supone que el cuerpo r´ıgido tiene su centro de masa

en el origen de

R

3

_,

_{el cual permanece fijo durante el movimiento. Sea}

_e

_{= (e}

1

,

e

2

,

e

3

)

la base can´ononica de

R

3

.

Sea

f

= (f

1

,

f

2

,

f

3

)

,

donde

f

i

∈

R

3

,

i

= 1

,

2

,

3

,

una base

ortonormal, fija en el cuerpo r´ıgido. Por lo tanto,

f

depende del tiempo. Un punto

x

se expresa en coordenadas en el espacio mediante

x

=

x

1

e

e

1

+

x

2

e

e

2

+

x

3

e

e

3

.

El mismo

punto

x

se expresa en coordenadas en el cuerpo mediante

x

=

x

1

_f

f

1

+

x

2

f

f

2

+

x

3

f

f

3

.

Denotaremos

x

e

= (

x

1

e

, x

2

e

, x

3

e

)

,

y

x

f

= (

x

1

_f

, x

2

_f

, x

3

_f

)

.

Si el punto esta fijo en el cuerpo,

x

_f

no depende del tiempo, y en cambio

x

e

(

t

) es una funci´on de

t.

Las coordenadas

de un punto en el espacio y en el cuerpo est´an relacionadas por una rotaci´on

depen-diente del tiempo

R

(

t

)

∈

SO

(3)

,

que satisface

x

e

(

t

) =

R

(

t

)

x

f

.

Si

x

f

no depende del

tiempo, se tiene ˙

x

e

(

t

) = ˙

R

(

t

)

x

f

,

lo que permite expresar la velocidad de un punto

fijo en el cuerpo, en coordenadas en el espacio

v

e

(

t

) = ˙

x

e

(

t

)

,

en funci´on de ˙

R

(

t

)

.

Se

tiene tambi´en

v

f

(

t

) =

R

−

1

(

t

) ˙

R

(

t

)

x

f

.

Recordemos algunos hechos b´asicos relativos al grupo

SO

(3)

.

El ´algebra de Lie

so

(3) de

SO

(3) se identifica con el espacio de las matrices antisim´etricas

ˆ

x

=





0

−

x

3

_x

2

x

3

₀

₋

_x

1

−

x

2

_x

1

₀





_.

Se tienen las f´ormulas siguientes,

x

[

×

y

= [ˆ

x,

y

ˆ

];

x

×

y

= ˆ

xy

; para cualquier

R

∈

SO

(3)

,

Rx

c

=

R

xR

ˆ

−

1

_;

_x

_·

_y

₌

₋

₍₁

_/

_{2) tr ˆ}

_x

_y.

_ˆ

_{Podemos decir que}

_so

_{(3) se identifica con}

R

3

_{con el producto vectorial.}

Volviendo al cuerpo r´ıgido, la velocidad angular

en el cuerpo

ω

f

(

t

) se define

mediante ˆ

ω

f

(

t

) =

R

−

1

(

t

) ˙

R

(

t

)

.

Por lo tanto se tiene

v

f

(

t

) = ˆ

ω

f

(

t

)

x

f

(

t

) =

ω

f

(

t

)

×

x

f

(

t

)

.

La velocidad angular

en el espacio

se define mediante ˆ

ω

e

(

t

) = ˙

R

(

t

)

R

−

1

(

t

)

.

Por

lo tanto se tiene

v

e

(

t

) = ˆ

ω

e

(

t

)

x

e

(

t

) =

ω

e

(

t

)

×

x

e

(

t

)

.

Hasta ahora se ha descrito la cinem´atica del cuerpo r´ıgido. A continuaci´on se

describe la din´amica. Si se elige la base

f

de modo que sus ejes coincidan con ejes

principales de inercia del cuerpo r´ıgido, la energ´ıa cin´etica es

K

³³

R

(

t

)

,

R

˙

(

t

)

´

,

³

R

(

t

)

,

R

˙

(

t

)

´´

=

1

2

¡

I

1

(

ω

f

1

)

2

+

I

2

(

ω

f

2

)

2

+

I

3

(

ω

f

3

)

2

¢

,

donde

I

i

,

i

= 1

,

2

,

3

,

son los momentos principales de inercia. Por lo tanto, la energ´ıa

cin´etica es una m´etrica Riemanniana invariante a izquierda en

SO

(3)

.

Esta m´etrica

induce una m´etrica en el fibrado cotangente

T

∗

_SO

₍₃₎

_,

_{que por abuso de notaci´on}

tambi´en llamaremos

K,

invariante por el levantamiento cotangente de la acci´on

a izquierda de

SO

(3) en

SO

(3)

,

que es el Hamiltoniano

H

del cuerpo r´ıgido. M´as

precisamente,

H

:

T

∗

_SO

₍₃₎

_→

_R

_{est´a dado por}

_H

₍

_α

R

) =

K

(

α

R

, α

R

)

.

Las ecuaciones

de Hamilton son las ecuaciones del movimiento del cuerpo r´ıgido, y, como se ha visto

en el Ejemplo 4, las soluciones se proyectan en las geod´esicas en

SO

(3)

.

Ejemplo 6.

Sean

m

i

, i

= 1

, ..., N

masas puntuales en

R

3

,

con vectores de

posici´on

q

_i

∈

R

3

_{, i}

_{= 1}

_{, ..., N.}

_Sea

_Q

_{el conjunto de los vectores}

_q

_{= (}

_q

1

, ..., q

N

)

∈

R

3

N

tales que

q

i

6

=

q

j

para

i

6

=

j.

Se supone que hay fuerzas de interacci´on entre las masas

puntuales dadas por potenciales de atracci´on

V

ij

.

Por ejemplo, en mec´anica celeste,

es importante la energ´ıa potencial Newtoniana de dos masas que se atraen con la

fuerza gravitatoria, dada por,

V

ij

=

−

_|

γm

_q

i

m

j

i

−

q

j

|

.

Se tiene el siguiente Hamiltoniano en

T

∗

_Q

₌

_Q

_×

_R

3

N

∗

_,

_{que generaliza el}

corres-pondiente a una masa puntual

H

(

q, p

) =

1

2

N

X

1=1

m

i

q

˙

i

2

+

N

X

i,j

=1

V

ij

.

La soluci´on de las ecuaciones de Hamilton resultantes es bien conocida en el caso

de dos cuerpos. En el caso de tres o m´as cuerpos se presentan problemas de gran

complejidad, que han sido estudiados desde el comienzo de los tiempos modernos, y

constituyen un campo activo de investigaci´on en la actualidad.

En todos los casos, el enfoque Hamiltoniano de los problemas de mec´anica,

per-mite usar la geometr´ıa para resolver o simplificar los problemas. Por ejemplo, las

leyes de conservaci´on cl´asicas,

L

X

H

H

= 0

, L

X

H

ω

= 0

, L

X

H

ω

n

= 0

,

son consecuencia

inmediata de f´ormulas b´asicas del c´alculo exterior.

Es especialmente frecuente el caso en el cual hay un grupo de simetr´ıa que act´

ua

en la variedad simpl´ectica por difeomorfismos, dejando invariante el Hamiltoniano,

dando lugar a la teor´ıa de la reducci´on, que veremos luego.

4.

Sistemas Lagrangianos.

El conjunto de posibles posiciones de un sistema mec´anico, es con frecuencia una

variedad

Q

llamada

espacio de configuraci´

on del sistema.

Entonces, un

movi-miento del sistema es una curva en

Q.

Por ejemplo, para una masa puntual

m

que

se mueve en

R

3

_,

_{el espacio de configuraci´on es}

_R

3

_.

_{Para el cuerpo r´ıgido, el espacio}

de configuraci´on es

SO

(3)

.

Para el caso de un sistema de

N

masas puntuales, el

espacio de configuraci´on es la variedad

Q

considerada en el Ejemplo 6.

En el enfoque Hamiltoniano de la mec´anica, descrito en la secci´on 3 se codifica

toda la informaci´on sobre la din´amica del sistema en una funci´on, el Hamiltoniano

del sistema, definida en una variedad simpl´ectica, llamada el

espacio de fase

del

sistema. En el enfoque Lagrangiano de la mec´anica, la informaci´on sobre la

din´ami-ca del sistema se codifidin´ami-ca en una funci´on

L

:

T Q

→

R

,

llamada el

Lagrangiano

del sistema. Entonces, las ecuaciones del movimiento del sistema se derivan de un

principio variacional, llamado

Principio variacional de Hamilton

, que

descri-bimos a continuaci´on. Sea Ω

q

0

,q

1

(

Q

) el conjunto de las curvas

q

(

t

) en

Q,

tales que

q

(

t

i

) =

q

i

,

para

i

= 0

,

1

.

Se define la funcional

S

: Ω

q

0

,q

1

(

Q

)

→

R

mediante

S

(

q

) =

Z

_t

₁

t

0

L

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

dt.

La cantidad

S

(

q

) se llama la

acci´

on

. Una

deformaci´

on

de la curva

q

(

t

) es una

funci´on

q

λ

(

t

)

≡

q

(

t, λ

)

,

tal que

q

(

t,

0) =

q

(

t

)

.

La

variaci´

on

correspondiente a la

deformaci´on

q

(

t, λ

)

,

es, por definici´on,

δq

=

∂q

(

t, λ

)

∂λ

¯

¯

¯

¯

λ

=0

.

De acuerdo con el Principio Variacional de Hamilton, los movimientos del sistema

son puntos cr´ıticos de la acci´on definida en Ω

q

0

,q

1

(

Q

)

,

m´as precisamente,

q

(

t

) es un

movimiento del sistema si y solo si se satisface

δS

(

q

) = 0

,

es decir,

∂S

(

q

(

t, λ

))

∂λ

¯

¯

¯

¯

λ

=0

= 0

,

para toda variaci´on

δq

de

q,

tal que

δq

(

t

i

) = 0

,

para

i

= 1

,

2

.

Aplicando la t´ecnica usual del c´alculo de variaciones, resulta, si

q

(

t

) es un punto

cr´ıtico, y para toda variaci´on

δq

tal que

δq

(

t

_i

) = 0

,

para

i

= 1

,

2

,

0 =

δ

Z

_t

₁

t

0

L

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

dt

(4.1)

=

Z

_t

₁

t

0

µ

∂L

∂q

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

δq

+

∂L

∂

q

˙

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

δ

q

˙

¶

dt

(4.2)

=

Z

_t

₁

t

0

µ

∂L

∂q

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

δq

−

d

dt

∂L

∂

q

˙

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

δq

¶

dt,

(4.3)

donde el ´

ultimo paso es una integraci´on por partes. La arbitrariedad de

δq

implica

que debe satisfacerse la

ecuaci´

on de Euler-Lagrange

∂L

∂q

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

))

−

d

dt

∂L

∂

q

˙

(

q

(

t

)

,

q

˙

(

t

)) = 0

.

Si se escribe el

momento generalizado

p

=

∂L/∂

q,

˙

resulta que la ecuaci´on de

Euler-Lagrange se escribe ˙

p

=

∂L/∂q,

lo que generaliza la ley de Newton.

La versi´on Lagrangiana del Ejemplo 4 es la siguiente. Sea

Q

una variedad

Rie-manniana con m´etrica RieRie-manniana

g,

cuya interpretaci´on f´ısica es la energ´ıa

cin´eti-ca. Sea

V

:

Q

→

R

la energ´ıa potencial. El Lagrangiano del sistema es entonces

L

:

T Q

→

R

donde

L

(

q,

q

˙

) =

1

Se demuestra f´acilmente que si

V

= 0

,

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange

coinciden con las ecuaciones de las geod´esicas de

g,

o sea,

∇

q

˙

q

˙

[

= 0

,

donde

∇

es la conexi´on de Levi-Civita de

g.

En general, si

V

6

= 0

,

las ecuaciones de Euler-Lagrange son

∇

q

˙

q

˙

[

=

−

∂V

_∂q

(

q

)

.

El enfoque Lagrangiano de la mec´anica, incluyendo varias generalizaciones del

formalismo descrito arriba, es fundamental en f´ısica.

La transformaci´

on de Legendre.

Los enfoques Hamiltoniano y

Lagrangia-no de la mec´anica, est´an relacionados por la

transformaci´

on de Legendre

, que

pasamos a tratar a continuaci´on.

Un Lagrangiano se dice

hiperregular

, si la derivada seg´

un la fibra

p

=

∂L

∂

q

˙

(

q,

q

˙

)

establece un difeomorfismo

F L

:

T Q

→

T

∗

Q,

donde

F L

(

q,

q

˙

) = (

q, p

)

,

con

p

=

ϕ

(

q,

q

˙

)

≡

(

∂L/∂

q

˙

)(

q,

q

˙

)

.

´

Este es el caso de los Lagrangianos del tipo

L

(

q,

q

˙

) =

1

2

g

((

q,

q

˙

)

,

(

q,

q

˙

))

−

V

(

q

)

,

donde

g

es una m´etrica Riemanniana, como se ha explicado antes. Si

L

es

hiperre-gular, se define el Hamiltoniano

H

asociado a

L

mediante la transformaci´on de

Le-gendre, que consiste en el siguiente procedimiento. La hiperregularidad de

L

implica

que, de la ecuaci´on

p

=

ϕ

(

q,

q

˙

)

≡

(

∂L/∂

q

˙

)(

q,

q

˙

)

,

se despeja ˙

q

=

ψ

(

q, p

)

.

Entonces,

H

(

q, p

) =

pψ

(

q, p

)

−

L

(

q, ψ

(

q, p

))

.

Se verifica f´acilmente que las ecuaciones de Hamilton equivalen a las ecuaciones de

Euler-Lagrange.

En el caso de Lagrangianos del tipo

L

(

q,

q

˙

) =

1

2

g

((

q,

q

˙

)

,

(

q,

q

˙

))

−

V

(

q

)

,

el Hamiltoniano dado por la transformaci´on de Legendre es

H

(

q, p

) =

1

2

g

((

q, p

)

,

(

q, p

)) +

V

(

q

)

,

donde

g

es, por abuso de notaci´on, la m´etrica inducida en el fibrado cotangente. Las

ecuaciones de Hamilton son entonces

˙

q

=

p

]

(4.4)

5.

Sistemas Lagrangianos con Simetria

Es frecuente en f´ısica el caso en el que el espacio de configuraci´on

Q

es un

grupo de Lie

G,

y el Lagrangiano

L

:

T G

→

R

es invariante a izquierda, es decir,

L

(

g,

g

˙

) =

L

(

hg, h

g

˙

)

,

para todo

h

∈

G.

En particular, si

l

:

g

→

R

,

es la restricci´on

de

L

al ´algebra de Lie de

G,

que llamaremos

Lagrangiano reducido

, se tiene

L

(

hξ

) =

l

(

ξ

)

,

para todo

h

∈

G.

La ecuaci´

on de Euler-Poincar´

e.

Sea

L

un Lagrangiano invariante a izquierda,

en un grupo

G.

Para simplificar, vamos a asumir que

G

es un grupo de matrices.

Para una curva

g

(

t

) en

G,

se define

v

(

t

) =

g

−

1

₍

_t

_{) ˙}

_g

₍

_t

₎

_,

_{que es una curva en el ´algebra}

de Lie

g

de

G.

Una variaci´on

δg

de

g

se escribe

δg

=

gη,

donde

η

(

t

) es una curva

en

g

.

La condici´on

δg

(

t

i

) = 0

, i

= 1

,

2

,

equivale a

η

(

t

i

) = 0

, i

= 1

,

2

.

La variaci´on

δg

induce una variaci´on

δv

que se calcula como sigue

δv

=

δ

(

g

−

1

g

˙

)

(5.1)

=

−

g

−

1

δgg

−

1

g

˙

+

g

−

1

δ

g

˙

(5.2)

=

−

g

−

1

gηg

−

1

g

˙

+

g

−

1

gη

˙

(5.3)

=

−

ηv

+

vη

+ ˙

η

(5.4)

= ˙

η

+ [

v, η

]

.

(5.5)

Es f´acil ver que una curva

g

(

t

) satisface

δ

Z

_t

₁

t

0

L

(

g,

g

˙

)

dt

= 0

,

para variaciones

δg

tales que

δg

_i

= 0

,

para

i

= 1

,

2

,

si y s´olo si

δ

Z

_t

₁

t

0

l

(

v

)

dt

= 0

,

para variaciones

δv

= ˙

η

+ [

v, η

]

,

donde

η

i

= 0

,

para

i

= 1

,

2

.

Esta ´

ultima condici´on

equivale a

0 =

Z

_t

₁

t

0

∂l

∂v

(

v

)

δvdt

(5.6)

=

Z

_t

₁

t

0

∂l

∂v

(

v

)( ˙

η

+ [

v, η

])

dt

(5.7)

=

Z

_t

₁

t

0

µ

−

d

dt

∂l

∂v

(

v

) + ad

∗

v

∂l

∂v

(

v

)

¶

ηdt,

(5.8)

donde el ´

ultimo paso es una integraci´on por partes. La arbitrariedad de

η

implica

d

dt

∂l

∂v

(

v

) = ad

∗

∂l

∂v

(

v

)

.

Esta ecuaci´on es la

ecuaci´

on de Euler-Poincar´

e

y es la versi´on reducida de la

ecuaci´on de Euler-Lagrange.

En el caso del cuerpo r´ıgido, el Lagrangiano es la energ´ıa cin´etica

K

calculada

en la secci´on 3

L

³³

R

(

t

)

,

R

˙

(

t

)

´

,

³

R

(

t

)

,

R

˙

(

t

)

´´

=

1

2

¡

I

1

(

ω

f

1

)

2

+

I

2

(

ω

f

2

)

2

+

I

3

(

ω

f

3

)

2

¢

,

que es invariante a izquierda. Las ecuaciones de Euler-Poincar´e se reducen en este

caso a las ecuaciones de Euler

I

ω

˙ˆ

f

= [

I

ω

ˆ

f

,

ω

ˆ

f

]

,

o, equivalentemente,

I

ω

˙

f

=

Iω

f

×

ω

f

.

6.

Principio Variacional de Hamilton en el Espacio de

Fase

Una variedad simpl´ectica

P

con forma simpl´ectica

ω

se dice

exacta

si

ω

=

−

dθ,

para alguna 1-forma

θ

en

P.

Sea el Lagrangiano

L

:

P

→

R

,

dado por

L

(

x,

x

˙

) =

θ

( ˙

x

)

−

H

(

x

)

,

donde

H

es un Hamiltoniano dado en

P.

Vamos a ver que las ecuaciones

de Euler-Lagrange de

L

son las ecuaciones de Hamilton de

H.

Sea

x

(

t

) una curva en

P

tal que

x

(

t

i

) =

x

i

,

para

i

= 1

,

2

.

Sea

δx

una variaci´on de la curva

x

concentrada

en un entorno

U

de

x

(¯

t

)

,

donde ¯

t

∈

[

t

0

, t

1

]

,

tal que existen coordenadas de Darboux

(

q

i

, p

i

) en

U.

Por lo tanto, en

U

vale

θ

=

p

i

dq

i

,

y

θ

( ˙

x

) =

p

i

q

˙

i

,

y las variaciones

δx

= (

δq, δp

) son arbitrarias dentro de

U

y son 0 fuera de

U.

Se tiene entonces

δ

Z

_t

₁

t

0

θ

( ˙

x

)

dt

=

Z

_t

₁

t

0

¡

δp

i

q

˙

i

+

p

i

δ

q

˙

i

¢

dt

(6.1)

=

Z

_t

₁

t

0

¡

δp

i

q

˙

i

−

p

˙

i

δδq

i

¢

dt,

(6.2)

donde el ´

ultimo paso es una integraci´on por partes. Por otra parte, se tiene que

δp

_i

q

˙

i

₋

_p

_˙

i

δq

i

=

ω

(( ˙

q,

p

˙

))

,

(

δq, δp

))

.

Usando ´esto, teniendo en cuenta que, por la

compacidad de [0

,

1]

,

cualquier variaci´on

δx

se puede expresar como una suma finita

de variaciones concentradas en puntos

x

(¯

t

)

,

como se ha explicado arriba, se llega a

la expresi´on

δ

Z

_t

₁

t

0

θ

( ˙

x

)

dt

=

δ

Z

_t

₁

t

0

ω

( ˙

x, δx

)

dt,

para cualquier variaci´on

δx

con

δx

(

t

i

) = 0

,

para

i

= 1

,

2

.

De aqu´ı resulta que la

condici´on

δ

Z

_t

₁

t

0

(

θ

( ˙

x

)

dt

−

H

(

x

))

dt

= 0

,

para cualquier variaci´on

δx

con

δx

(

t

i

) = 0

,

para

i

= 1

,

2 equivale a la ecuaci´on de

Hamilton

ω

( ˙

x,

) =

dH.