Soluciones viscosas de ecuaciones en
derivadas parciales elípticas de
segundo orden
Trabajo Fin de Grado
Autor:
Francisco Criado Martínez
Tutor:
José Carmona Tapia
Grado en Matemáticas
USOS DEL LOGO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXPERIMENTALES
LOGOTIPO EN COLOR
UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
Junio, 2018
Índice general
1 Introducción 1
2 Objetivos 3
3 Ecuaciones en derivadas parciales 5
3.1. Conceptos previos 5
3.2. Selección de ecuaciones en derivadas parciales 6
4 Soluciones viscosas 9
4.1. Definición y ejemplos básicos 9
Función de Rademacher,14.
4.2. Aproximación de soluciones viscosas 17
5 Existencia de soluciones viscosas por el Método de Perron 23
5.1. El Método de Perron 23
5.2. Otras propiedades 27
5.3. Aplicaciones del Método de Perron 29
6 Conclusiones 33
Abstract in English
In this project, we introduce a concept of solution that weakens the concept of classical solution in partial differential equations. This is the viscosity solution, in particular we focus on the study of these solutions for second order elliptic partial differential equations.
We start by giving a brief historical introduction of the concept, in which we will see that it is relatively new, since the first articles dealing with viscosity solutions date from the 1980s. Several notions about classical solutions in partial differential equations will be remembered, focusing on some concrete examples that will help to understand the concept of viscosity solution.
Resumen en español
En este trabajo, introducimos un nuevo concepto de solución que debilita al con-cepto de solución clásica en ecuaciones en derivadas parciales. Éstas son las soluciones viscosas, en particular nos centramos en el estudio de estas soluciones en el caso de ecuaciones en derivadas parciales elípticas de segundo orden.
Comenzamos dando una breve introducción histórica del concepto, en la que ve-remos que es relativamente nuevo, ya que los primeros artículos que tratan las solu-ciones viscosas datan de la década de 1980. Recordaremos algunas nosolu-ciones básicas sobre soluciones clásicas en ecuaciones en derivadas parciales, haciendo especial énfa-sis en algunos ejemplos concretos que ayudarán a comprender el concepto de solución viscosa.
1
Introducción
Las ecuaciones en derivadas parciales permiten modelar multitud de problemas reales. En la teoría clásica de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, és-tas se clasifican en tres grandes grupos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. El modelo elíptico por excelencia involucra el operador de Laplace. La variable tiempo está au-sente en este modelo. Es por eso que sólo permite describir estados estacionarios o de equilibrio.
Las ecuaciones parabólicas y las hiperbólicas, representadas respectivamente por la ecuación del calor y la de ondas, son los modelos más clásicos y representativos en el contexto de las ecuaciones en derivadas parciales de evolución. Sus características matemáticas son bien distintas. Mientras que la ecuación del calor permite describir fenómenos altamente irreversibles en el tiempo en los que la información se propaga a velocidad infinita, la ecuación de ondas es el prototipo de modelo de propagación a velocidad finita y completamente reversible en el tiempo.
A veces, el concepto de solución en sentido clásico no es adecuado para el estudio de ciertos problemas ya que serán de complicada resolución analítica. Por ello, con este trabajo se pretende hacer una introducción a un concepto de solución más débil que el de solución en sentido clásico.
Para ello, partiremos de lo más básico definiendo el concepto de ecuación en de-rivadas parciales, concepto ya estudiado en el grado en la asignatura de Ecuaciones de la Física Matemática, viendo sus propiedades más características y unos ejemplos sencillos de fenómenos en los que son usadas estas ecuaciones, tales como la óptica geométrica, problemas de control en económicas... Para así posteriormente introducir el por qué es necesario que surja la idea de debilitar el concepto de solución clásica.
En caso de que la ecuación sea elíptica degenerada, que posteriormente definire-mos, podemos definir este concepto de solución que debilita la solución clásica. En este caso, no será necesario que nuestra función sea derivable en todo punto, por tanto habrá puntos en los que no sea necesariamente diferenciable.
El término de solución viscosa aparece por primera vez en [6] por Michael G. Cran-dall y Pierre-Louis Lions en 1983 que trata sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi. Dicha ecuación es
H(x, u, Du) = 0.
En él se introduce el concepto de solución viscosa como una generalización del concep-to clásico de solución de una ecuación en derivadas parciales. Este nombre viene dado por el hecho de que la existencia de soluciones fue mostrada por el métodovanishing viscosity. Dicho método fue utilizado para obtener soluciones de
H(x, u, Du) = 0 enΩ, u=z en∂Ω.
Este método consiste en en aproximar dicho problema mediante uno de la forma
−ε∆uε+Hε(x, uε, Duε) enΩ,
uε=zε en∂Ω,
dondeε >0,Hε, zε convergen localmente de manera uniforme aH y z
El concepto actual de solución viscosa fue introducido años antes, en 1980 por Law-rence C. Evans en [8], donde aplica el método devanishing viscosity en la ecuación de Hamilton-Jacobi . Más adelante, Crandall, Evans y Lions en [4], publicado en 1984, profundizan algo más en la definición y propiedades de las soluciones viscosas aplica-das a la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Por unos años, el estudio de las soluciones viscosas se redujo a las ecuaciones de primer orden ya que no era conocido que en las ecuaciones elípticas de segundo orden la solución viscosa fuese única, salvo en casos muy concretos. Algo que empezó a cam-biar con un resultado publicado por Robert Jensen en 1988 en [11], donde se prueba un principio de comparación usando una aproximación de la solución que tenía segunda derivada en casi todo punto.
En años siguientes el concepto de solución viscosa ha ido incrementando su presen-cia en el análisis de ecuaciones en derivadas parpresen-ciales elípticas. Basado en las propie-dades de estabilidad, Barles y Souganidis en [1] obtuvieron una demostración general de la convergencia. Además, las propiedades de regularidad fueron obtenidas, espe-cialmente en el caso elíptico, por Luis Caffarelli en [3]. Así, las soluciones viscosas empezaron a tomar importancia en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas.
2
Objetivos
Para el análisis global de ciertos fenómenos que pueden ser modelizados por ecua-ciones en derivadas parciales elípticas de segundo orden es necesario usar un concepto de solución que permita al mismo tiempo debilitar profundamente la diferenciabili-dad de las soluciones y obtener convenientes teoremas de existencia y unicidiferenciabili-dad.
Es por ello que, como ha sido reflejado en la introducción, con este trabajo se pre-tende presentar un concepto de solución que debilita al de solución clásica, este es el concepto de solución viscosa. Además, daremos varios criterios para estudiarlas y profundizaremos en el método de Perron que nos permitirá estudiar la existencia de soluciones viscosas bajo una serie de condiciones. Por tanto, los objetivos principales de este trabajo serán:
1. Introducir el concepto de solución viscosa, aplicado a ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
2. Describir el método de Perron para la existencia de soluciones viscosas
Para desarrollar dichos objetivos será necesario introducir una serie de conceptos previos, algunos desarrollados durante el grado para llegar a la definición de solución viscosa, analizando varios ejemplos donde el concepto de solución viscosa ha sido em-pleado.
Además, otro aspecto a destacar en la elaboración de este trabajo es el de inicia-ción a la investigainicia-ción, con una amplia búsqueda de bibliografía, para lograr abstraer y plasmar los conceptos, todo ello gracias a la capacidad de abstracción y síntesis ad-quirida en las distintas asignaturas del grado.
3
Ecuaciones en derivadas parciales
En este capítulo, introduciremos los conceptos de ecuaciones en derivadas parcia-les, de solución clásica y solución débil que nos serán útiles para introducir el concepto de solución viscosa
3.1
Conceptos previos
La teoría de soluciones viscosas es aplicada al estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales de cualquier orden. Comencemos dando unas definicio-nes básicas:
Definición 3.1. Una ecuación en derivadas parciales de orden k≥ 1es una ecuación que
involucra a una función incógnitau definida enΩ∈Rny a sus derivadas de orden1,2, ..., k
(Nótese que la funciónudeberá ser como mínimoCk(Ω)).
Por ejemplo, consideremosk= 2:
F(x, u, Du, D2u) = 0,
dondex ∈ Ω ⊂RnyF:Ω×R×Rn×Mn,n→R.
Consideramos queF es lineal si es lineal en todos sus argumentos (salvo el prime-ro). Una ecuación lineal importante es la conocida como ecuación del calor:
∂u
∂t −∆u= 0.
Un ejemplo de ecuación en derivadas parciales no lineal es:
∂u ∂x + sin
∂2u
∂x2 +x+y
!
= 0.
Consideraremos los siguientes problemas: Problema de Dirichlet:
F(x, u, Du, D2u) = 0 six∈Ω,
u(x) =g(x), six∈∂Ω, (3.1) dondeΩes un subconjunto abierto y acotado enRnyg es una función continua,
es nuestra condición de frontera. Problema de Cauchy:
∂u
∂t +F(x, u, Du, D
2u) = 0 si (t, x)∈(0,+∞)×
Rn,
3. Ecuaciones en derivadas parciales
Definición 3.2. Dada una ecuación en derivadas parciales de ordenk≥1, decimos que una
funciónu:Ω→Rnes solución (en sentido clásico) siu∈Ck(Ω)yu resuelve la ecuación en
todo puntoxdeΩ.
Ejemplo 3.1:Consideremos la siguiente ecuación: |u0(x)|= 1 parax∈]−1,1[.
Supongamos que existe una solución clásica con condición de Dirichletu(−1) =u(1) = 0. Aplicando el Teorema del Valor Medio, existe c∈]−1,1[ tal queu0(c) = 0, por tanto
u no sería solución.
Comou ∈C1(Ω), existe un intervalo no vacío ]−a, a[ (0 < a <1) tal que |u0(x)|<1 parax∈]−a, a[⊂]−1,1[ (En particular, al existir dichoctal queu0(c) = 0, entonces para
xen un entorno dec,u0(x) es tan pequeña como se desee).
En este ejemplo, hemos visto la necesidad de debilitar el concepto de solución. Bas-taría con que la solución sea Lipschitz en lugar de C1(Ω), lo que implicaría que las derivadas primeras podrían no existir en todo punto, pero sí en casi todos. La idea será considerar que la solución satisfaga la ecuación únicamente en los puntos cuya derivada exista.
Definición 3.3. Dada una ecuación en derivadas parciales de ordenk≥1, se dice que una
función u :Ω→Rn continua es solución en casi todo punto si existen las derivadas hasta
orden k en casi todo punto y además resuelven la ecuación.
3.2
Selección de ecuaciones en derivadas parciales
Veremos que la teoría de soluciones viscosas es muy utilizada de cara al estudio de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Veamos algunos ejemplos en los que es utilizada esta teoría:
Ecuación Eikonal
|Du|=f(x). (3.3)
Es una ecuación en derivadas parciales no lineal encontrada en la propagación de ondas. Es una de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y proporciona una relación entre la óptica física y la óptica geométrica.
Nótese que la ecuación del ejemplo anterior, es un caso particular de esta ecua-ción.
Ecuación de Hamilton-Jacobi (estacionaria)
Es una ecuación en derivadas parciales usada en la mecánica clásica y mecánica relativista que permite una formulación alternativa a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana.
H(x, u, Du) = 0, (3.4) donde H :Ω×R×Rn→ R, con Ω⊂ Rn, llamado Hamiltoniano, es una función continua y, generalmente, convexa en p (la variable del gradiente). La ecuación Eikonal es un caso particular de éstas.
3.2. Selección de ecuaciones en derivadas parciales
Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman
Es una ecuación en derivadas parciales que es fundamental para la teoría de con-trol óptimo. La solución es la función de valor, la cual da el costo mínimo para un sistema dinámico dado, con una función de costo asociada.
H(x, p) = sup
a∈A
{−f(x, a)·p−l(x, a)}, (3.5)
dondeA⊂Rm,l:Rn×A→Ryf :Rn×A→Rnson funciones continuas. Para cadaλ >0 fijo, la solución viscosa de:
λu+H(x, Du) = 0, (3.6) tiene una forma particular, que es conocida como el valor de la función asociado al correspondiente problema de control.
Definición 3.4. Una función de control es una función medibleα: [0,+∞[→A. Definición 3.5. Un problema de control corresponde al siguiente problema de valores iniciales. Seat >0,
˙
y(t) =f(y(t), α(t))
y(0) =x
Consideramosyxαcomo las trayectorias que resuelven el problema de control. Dados un problema de control y sus trayectorias yxα(t) definimos la función de coste como:
J(x, α) =
Z +∞
0
l(yxα(t), α(t))·e−λtdt, dondeλ >0, es la tasa de interés.
Sea A ={α(t) : αfunción de control} el conjunto de los posibles controles en A.
Así,
v(x) = ´ınf
α∈AJ(x, α), es la función que resuelve nuestra ecuación de partida. Ecuación de Monge-Ampère
Es una ecuación en derivadas parciales no lineal de segundo orden. Aparece con frecuencia en la geometría diferencial de superficies, por ejemplo en los proble-mas de Weyl y Minkowski.
4
Soluciones viscosas
En este capítulo, nos centraremos en el concepto de solución viscosa y trataremos de mostrarlo con varios ejemplos sencillos.
4.1
Definición y ejemplos básicos
Puesto que queremos un concepto de solución que no involucre tanta regularidad, podríamos decir queu es solución de F(x, u, Du, Du2) = 0 siF(x, ϕ, Dϕ, Dϕ2) = 0 para cada ϕ∈C2(Ω) que valga lo mismo queu enx. Esto es demasiado restrictivo, pues no se verifica ni en el casou ∈C2(Ω).
Sin embargo, siu∈C2(Ω) yϕ∈C2(Ω) conu(x) =ϕ(x) y solo se tocan en ese punto, entonces se puede decir algo sobreF(x, ϕ(x), Dϕ(x), D2ϕ(x)). Veámoslo con un ejemplo: Supongamos que tenemos una solución clásica para −∆u = 0 y consideremos una funciónϕ,∈C2(Ω) tal queϕ≥u yϕ(x0) =u(x0) para un puntox0. Entoncesu−ϕtiene un máximo local enx0 (esto quiere decir queϕtoca por arriba au). Por tanto,u−ϕes localmente cóncava enx0 por lo que:
0≥∆(u−ϕ)(x0) =∆u(x0)−∆ϕ(x0)⇒ −∆ϕ(x0)≤0.
Consideremos el caso contrario, en el queϕtoque por abajo au enx0,u≥ϕyϕ(x0) =
u(x0). Entonces, u −ϕ tiene un mínimo local en x0, es localmente convexa en x0 y −∆ϕ(x0)≥0.
Definición 4.1. SeaΩ∈Rnabierto yu:Ω→R, entonces dada la ecuación:
F(x, u, Du, D2u) = 0. (4.1)
Decimos queues una subsolución viscosa de (4.1) en todox0 si para toda función test
ϕ∈C2(Ω)tal queu−ϕtiene un máximo local enx0, se verifica la desigualdad:
F(x0, u(x0), D(ϕ(x0), D2(ϕ(x0))≤0.
u es una supersolución viscosa de (4.1) en todox0si para toda función testϕ∈C2(Ω)
tal queu−ϕtiene un mínimo local enx0, se verifica la desigualdad:
F(x0, u(x0), D(ϕ(x0), D2(ϕ(x0))≥0.
u es solución viscosa de (4.1) enΩsiues subsolución y supersolución viscosa en todo
x0∈Ω
Una vez estudiada la definición, es el momento de estudiar la relación entre las soluciones clásicas y las soluciones viscosas.
Proposición 4.1. Supongamos que u ∈ C2(Ω) es solución clásica de (4.1), entonces u es
solución viscosa si cumple una de las siguientes condiciones:
4. Soluciones viscosas
F satisface la siguiente desigualdad:
F(x, z, p, M)≤F(x, z, p, N), Para M≥N.
Esto es, F es elíptica degenerada.
Demostración. Seaϕ∈C2(Ω) tal queu−ϕtiene un máximo local enx0, entonces
Du(x0) =Dϕ(x0), y
D2u(x0)≤D2ϕ(x0).
Si la ecuación es de primer orden, se tiene:
F(x0, u(x0), Du(x0)) = 0 =F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)), y por tantou es subsolución viscosa.
Para ver que es supersolución viscosa, supongamos que u−ϕ tiene un mínimo local,
Du(x0) =Dϕ(x0). Partiendo de que la ecuación es de primer orden, obtenemos la igual-dad anterior y por tanto, lo deseado.
Supongamos que la ecuación es de orden 2. Aplicando la segunda condición
D2u(x0)≤D2ϕ(x0), y aplicando que F es elíptica degenerada llegamos a:
0 =F(x0, u(x0), Du(x0), D2u(x0))≥F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0), D2ϕ(x0)).
Por otro lado, si partimos de queu−ϕtiene un mínimo local enx0, tenemos que
D2u(x0)≥D2ϕ(x0).
Así, obtenemos la otra desigualdad y, por tanto,u es solución viscosa.
Una vez estudiada esta relación, son necesarias las siguientes observaciones:
Nota 4.1. Podemos extender la definición a ecuaciones de ordenk, basta extender la regula-ridad deϕ.
Nota 4.2. Para verificar la condición de subsolución viscosa (análogamente para supersolu-ciones viscosas), es suficiente con que la función sea semicontinua superiormente (semicon-tinua inferiormente).
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 4.1: Consideremos la ecuación Eikonal tratada en el ejemplo 2.1. Recor-demos que era:
|u0(x)|= 1 parax∈]−1,1[. (4.2) Veamos queu(x) =−|x|+ 1 es solución viscosa de (3.3).
4.1. Definición y ejemplos básicos
Seaϕ∈C1(]−1,1[), tal queu−ϕtiene un máximo local enx0. Six0,0,u es diferenciable y|ϕ0(x0)|=|u0(x0)|.
El problema está enx0= 0, donde|x|no es derivable.
Por tanto, consideremos el caso dondeu−ϕtiene un máximo local (respectivamen-te mínimo) en 0. Aplicando la definición de subsolución, (respectivamen-tenemos que x0 = 0 es un máximo local y asumimos queu(0) =ϕ(0). Así, se cumple:
−|x| ≤u(x)−u(0)≤ϕ(x)−ϕ(0),
en un entorno de 0, lo que nos lleva a las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≤1 six <0,
y
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≥ −1 six >0.
Como ϕ ∈ C1(Ω), si x → 0, podemos afirmar que |ϕ0(0)| ≤ 1 y por tanto cumple la definición de subsolución.
Veamos la condición de supersolución. Supongamos que u −ϕ tiene un mínimo local elx0= 0, aplicando el argumento anterior tenemos:
ϕ(x)−ϕ(0)≤u(x)−u(0)≤ −|x|. Así, obtenemos las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≥1 six <0,
y
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≤ −1 six >0.
Así, cuando x → 0, tenemos que D+ϕ(0) ≤ −1 y D−ϕ(0) ≥ 1, lo que significa que
D+ϕ(0),D−ϕ(0) y llegamos a una contradicción.
De manera que si no tenemos ninguna función de claseC1(Ω) que toque por abajo au(x) = 1− |x|, podemos afirmar que se cumple trivialmente la condición de superso-lución. Como hemos visto queu es subsolución y supersolución viscosa, entoncesu es
solución viscosa.
Del mismo modo, probaremos que la funciónu no satisface la ecuación opuesta, es decir−F= 0.
Consideremos la ecuación Eikonal:
−|u0(x)|+ 1 = 0.
Tomemos la funciónϕ(x) =−x2+1. Es claro queϕ∈C1(Ω), y toca por arriba a−|u0(x)|+ 1 = 0 en 0, véase la figura4.1, pero−|ϕ(0)|+1 = 1>0, lo que implica que no se satisface
la condición de subsolución.
De manera análoga al ejemplo anterior, mostramos el siguiente ejemplo:
4. Soluciones viscosas
Figura 4.1: Ejemplo 4.1
Primer caso:−|u0(x)|+ 1 = 0.
Seau(x) =|x| −1 enΩ=]−1,1[. Claramenteu(x) es derivable enR∗,en particular en Ω. Por tanto, hemos de estudiar la viscosidad en el punto x0 = 0 ya que en cualquier otro punto deΩse cumple trivialmente.
Seaϕ∈C1(Ω) tal queu−ϕtiene un máximo local en 0 y supongamos queu(0) =
ϕ(0), entonces en un entorno de 0 se tiene que:
|x| ≤u(x)−u(0)≤ϕ(x)−ϕ(0). Así, obtenemos las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≥1 six >0,
y
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≤ −1 six <0.
Así, tomando x → 0, tenemos que D+ϕ(0) ≥ 1 y D−ϕ(0) ≤ −1, luego no existe ninguna función de claseC1 que toque por arriba au. Así, podemos afirmar que cumple trivialmente la condición de subsolución viscosa.
Veamos la condición de supersolución. Supongamos queu−ϕtiene un mínimo local enx0= 0 conu(0) =ϕ(0). Entonces siguiendo un razonamiento análogo al caso de subsolución, tenemos:
ϕ(x)−ϕ(0)≤u(x)−u(0)≤ |x|, y por tanto, obtenemos las desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≤1 six >0,
4.1. Definición y ejemplos básicos
Figura 4.2: Ejemplo 4.2
y
ϕ(x)−ϕ(0)
x ≥ −1 six <0.
Así, tomandox→0 tenemos que:
−1≤Dϕ0(0)≤1⇒ |ϕ0(0)| ≤1. Así podemos concluir con:
F(0, ϕ(0), ϕ0(0) =−|ϕ0(0)|+ 1≥0.
Lo que significa queucumple la condición de subsolución y por tantou(x) =|x|−1 es solución viscosa de la ecuación de partida.
Segundo caso:|u0(x)| −1 = 0.
Para ver que u(x) = |x| −1 no es solución viscosa de esta ecuación basta tomar
ϕ(x) =x2−1 y ver que no es supersolución. Vemos que se cumplen las hipótesis deu−ϕ >0 yu(0) =ϕ(0), véase la figura4.2F(0, ϕ(0), ϕ0(0) =−1≤0 y como te-nemos que no es supersolución viscosa, concluimos que no es solución en sentido
viscoso.
A la vista de los ejemplos anteriores, probaremos que si u es solución viscosa de
F(x, u, Du, D2u) = 0, entonces−u es solución viscosa de−F(x,−u, Du,−D2u) = 0.
En efecto, comou es solución viscosa, en particular es subsolución y supersolución viscosa.
Siues subsolución, entonces∀ϕ∈C2(Ω) tenemos que∀x0∈Ωque:
u−ϕ <0 ∀x,x0
u(x0) =ϕ(x0)
(4.3)
Por seru subsolución, cumple que F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0), D2ϕ(x0))≤0. Cambiando de signo las condiciones de (3.3), llegamos a:
−u−(−ϕ)<0 ∀x,x0
4. Soluciones viscosas
Con este cambio, por ser subsolución se tiene que:
F(x0,−(−ϕ(x0)), D−(−ϕ(x0)), D2−(−ϕ(x0))≤0.
SeaΨ =−ϕ, con este cambio de variable y las condiciones dadas por (3.4) llega-mos a:
−u−Ψ <0 ∀x,x0
−u(x0) =Ψ(x0) (4.5)
Así, tenemos queF(x0,−(Ψ(x0)), D−(Ψ(x0)), D2−(Ψ(x0))≤0, por lo que
−F(x0,−(Ψ(x0)), D−(Ψ(x0)), D2−(Ψ(x0))≥0 y por tanto,−u es supersolución de −F(x,−u, Du,−D2u) = 0.
De manera análoga, estudiamos qué sucede siues supersolución. Entonces∀ϕ∈
C2(Ω) tenemos que∀x0∈Ωque:
u−ϕ >0 ∀x,x0
u(x0) =ϕ(x0)
Por serusupersolución, cumple queF(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0), D2ϕ(x0))≥0. Cambian-do de signo las condiciones anteriores, llegamos a:
−u−(−ϕ)<0 ∀x,x0 −u(x0) = (−ϕ)(x0)
Y con este cambio, por ser supersolución se tiene
F(x0,−(−ϕ(x0)), D−(−ϕ(x0)), D2−(−ϕ(x0))≥0.
SeaΨ =−ϕ, con este cambio de variable y las condiciones dadas anteriormente llegamos a:
−u−Ψ <0 ∀x,x0
−u(x0) =Ψ(x0) (4.6)
Así, tenemos queF(x0,−(Ψ(x0)), D−(Ψ(x0)), D2−(Ψ(x0))≥0, por lo que
−F(x0,−(Ψ(x0)), D−(Ψ(x0)), D2−(Ψ(x0)) ≤ 0 y por tanto, −u es subsolución de −F(x,−u, Du,−D2u) = 0.
Función de Rademacher
El problema de la ecuación Eikonal tiene otras soluciones viscosas, la función de Rademacher es una de ellas. Por tanto, no hay unicidad en general.
La función conocida como la función de Rademacher, es una función definida a trozos de la siguiente forma:
uk(x) =
x+ 1− i
2k−1 six∈[−1 +2ki−1,−1 +22i+1k [,
−x−1 + i+1
2k−1 six∈[−1 +
2i+1 2k ,−1 +
i+1 2k−1[,
4.1. Definición y ejemplos básicos
Figura 4.3: Función de Rademacher
coni = 0,1,2, ...,2k−1.
Veamos un ejemplo en el que comprobemos que esta función es solución viscosa de (3.3).
Ejemplo 4.2:Consideremos la función de Rademacher parak = 1, véase la Figura 4.3:
u1(x) =
x+ 1 six∈[−1,−1 2[ −x six∈[−1
2,0[
x six∈[0,1 2[ −x+ 1 six∈[1
2,1[
Es claro queu1es una función continua y derivable en todos sus puntos a excepción de la frontera. En los puntos en los que u1 es continua y derivable, tendremos que será solución clásica. Por tanto, hemos estudiar la definición de solución viscosa en los puntos fronterizos:
x1=−12
Seaϕ∈C1(Ω), tal queu1−1 2
=12 =ϕ−1 2
yu1−ϕtiene un máximo local estricto enx1. En un entorno de dicho punto, se tiene que:
|x| ≤u1(x)−u1(x1)≤ϕ(x)−ϕ(x1). De la siguiente desigualdad se desprenden dos condiciones:
ϕ(x)−ϕ(x1)
x ≥1 six >0,
y
ϕ(x)−ϕ(x1)
x ≤ −1 six <0.
Así, cuandox→0, tenemos queD+ϕ(x1)≤ −1 yD−ϕ(x1)≥1, lo que significa que
D+ϕ(x1),D−ϕ(x1) y llegamos a una contradicción.
4. Soluciones viscosas
De manera análoga, vemos que es supersolución:
ϕ(x)−ϕ(x1)≤u1(x)−u1(x1)≤ |x|. Así, se desprenden las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(x1)
x ≥ −1 six <0,
y
ϕ(x)−ϕ(x1)
x ≤1 six >0.
Así, tomandox→0 tenemos que:
−1≤Dϕ0(0)≤1⇒ |ϕ0(0)| ≤1,
lo que significa queu1cumple la condición de supersolución enx1.
x2= 0 (Análogo al caso anterior)
Seaϕ∈C1(Ω), tal queu1(0) = 0 =ϕ(0) yu1−ϕtiene un máximo local estricto en
x2. En un entorno de dicho punto, se tiene que:
|x| ≤u1(x)−u1(x2)≤ϕ(x)−ϕ(x2). De la siguiente desigualdad llegamos a dos condiciones
ϕ(x)−ϕ(x2)
x ≥1 six >0,
y
ϕ(x)−ϕ(x2)
x ≤ −1 six <0.
De manera similar al caso anterior, cuando x→0, tenemos queD+ϕ(x2)≤ −1 y
D−ϕ(x2)≥1, lo que significa queD+ϕ(x2),D−ϕ(x2) y llegamos a una contradic-ción.
De manera que si no tenemos ninguna función de clase C1(Ω) que toque por arriba a u1(x) en el primer tramo, podemos afirmar que se cumple trivialmente la condición de supersolución enx2.
Veamos que es supersolución:
ϕ(x)−ϕ(x2)≤u1(x)−u1(x2)≤ |x|. Así, obtenemos las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(x2)
x ≥ −1 six <0,
y
ϕ(x)−ϕ(x2)
x ≤1 six >0.
Así, |ϕ0(x2)| ≤ 1 por tanto, cumple la condición de supersolución viscosa para (3.3).
4.2. Aproximación de soluciones viscosas
x3 = 12 Sea ϕ∈ C1(Ω), tal que u1(12) = 12 =ϕ(12) y u1−ϕ tiene un máximo local estricto enx1. En un entorno de dicho punto, se tiene que:
−|x| ≤u1(x)−u1(x3)≤ϕ(x)−ϕ(x3). De aquí, tenemos que:
ϕ(x)−ϕ(x3)
x ≥ −1 six >0,
y
ϕ(x)−ϕ(x3)
x ≤1 six <0.
Así, tomandox→0 tenemos que:
−1≤Dϕ0(0)≤1⇒ |ϕ0(0)| ≤1.
Lo que significa queu1 cumple la condición de subsolución enx3. Veamos que es supersolución:
ϕ(x)−ϕ(x3)≤u1(x)−u1(x3)≤ −|x|. Así, obtenemos las siguientes desigualdades:
ϕ(x)−ϕ(x3)
x ≤ −1 six >0,
y
ϕ(x)−ϕ(x3)
x ≥1 six <0.
Por tanto, mediante un razonamiento análogo a los anteriores, tenemos que no hay ninguna función que toque por abajo au1y por tanto se cumple trivialmente la condición de supersolución.
Tras comprobar los puntos frontera, podemos concluir que la función de
Radema-cher es solución viscosa de (3.3).
4.2
Aproximación de soluciones viscosas
En esta sección, estudiaremos la consistencia y la estabilidad de las soluciones vis-cosas. Lo más usual es aproximar el problema por uno donde sea sencillo obtener solu-ciones y estudiar si en el paso al límite, obtenemos una solución del problema inicial.
El siguiente teorema nos garantiza que las soluciones viscosas son consistentes. Proposición 4.2. SeanFε, Ffunciones continuas en todas sus variables conFε →Fcuando
ε→0+. Tomemosuε una solución viscosa de:
Fε(x, uε, Duε, D2uε) = 0,
tal queuε→u cuandoε→0+. Entoncesu es solución viscosa de:
4. Soluciones viscosas
Demostración. Partimos estudiando la convergencia. Como ésta es uniforme, entonces
u es continua.
Seaϕ∈C2(Ω) tal queu−ϕtiene un máximo local estricto enx0. Denotemos porBR(x0) a la bola de centrox0y radio R donde u(x)−ϕ(x)≤u(x0)−ϕ(x0). SeaK =BR(x0) y sea
xε el máximo deuε−ϕenK.
Queremos comprobar quexε→x0 cuando ε→0+. Comoxε ∈K, que es compacto,
existey∈K tal quexε→y. En particular se tiene:
uε(x0)−ϕ(x0)≤uε(xε)−ϕ(xε).
Si hacemos queε→0+, tenemos:
u(x0)−ϕ(x0)≤u(y)−ϕ(y).
Como x0 es máximo local, no puede haber un elemento mayor que el máximo, por tanto deducimos quex0=y.
Comouε es solución viscosa, se tiene que:
Fε(x, uε(xε), Dϕ(xε), D2ϕ(xε)) = 0.
Por tanto, siε→0+ tenemos queu es subsolución viscosa.
De manera análoga, veamos queu es supersolución en sentido viscoso.
Sea ϕ∈ C2(Ω) tal que u−ϕ tiene un mínimo local enx0. Llamamos BR(x0) a la bola dondeu(x0)−ϕ(x0)≤u(x)−ϕ(x). SeaA=BR(x0) y seaxε el mínimo deuε−ϕenA.
Como xε ∈A(compacto), tenemos que existe z∈Atal que xε →z. Sabemos que xε es
mínimo enA, en particular tenemos que:
uε(xε)−ϕ(xε)≤uε(x0)−ϕ(x0). Haciendo queε→0+, llegamos a:
u(z)−ϕ(z)≤u(x0)−ϕ(x0). Comox0 era un mínimo local, tenemos quex0=z.
Comouε es solución viscosa, se tiene que:
Fε(x, uε(xε), Dϕ(xε), D2ϕ(xε)) = 0.
Por tanto, siε→0+ tenemos queu es supersolución viscosa.
Como es supersolución y subsolución viscosa, concluimos con que u es solución viscosa de (4.1).
Proposición 4.3. Seav∈F una familia de subsoluciones (respectivamente supersoluciones)
viscosas de (4.1) y considerando:
u(x) = sup
v∈F
v(x) en el caso de subsolución,
y
u(x) = ´ınf
v∈Fv(x) en el caso de supersolución.
Para simplificar, supondremos que u(x) es semicontinua superiormente (respectivamente semicontinua inferiormente), entoncesu es subsolución viscosa (respectivamente supersolu-ción viscosa).
4.2. Aproximación de soluciones viscosas
Demostración. Demostremos ambos casos: Caso de supersolución:
u(x) = ´ınf
v∈Fv(x).
Seaϕ∈C2(Ω) tal queu−ϕtiene un mínimo local estricto enx0, entonces existe
r >0 tal que
u(x0)−ϕ(x0)< u(x)−ϕ(x) ∀x∈Br(x0)\{x0} Tenemos que
u(x0) = ´ınf
v∈F
{v(x0)}. Así, para cadan∈N, existevn∈Ftal que
vn(x0)< u(x0) + 1
n.
Seaxnuna sucesión de puntos dondevn−ϕtiene mínimo enK =Br2(x0), es decir
vn(xn)−ϕ(xn)≤vn(x)−ϕ(x), ∀x∈K.
Supongamos que dicha sucesión es converge a un puntoy∈K. Comou≤vn, para todovn∈F, si evaluamos la desigualdad anterior enx0 llegamos a
u(xn)−ϕ(xn)≤v(xn)−ϕ(xn)≤un(x0)−ϕ(x0)< u(x0) + 1
n−ϕ(x0).
Así, si n → ∞, usando la semicontinuidad inferior de u y la continuidad de ϕ, obtenemos
u(y)−ϕ(y)≤u(x0)−ϕ(x0), y comox0era el mínimo estricto, se tiene quex0=y.
Por tanto, comovneran supersoluciones viscosas, sabemos que
F(xn, ϕ(xn), Dϕ(xn), D2ϕ(xn))≥0,
donde sin→ ∞, tendremos que
F(y, ϕ(y), Dϕ(y), D2ϕ(y))≥0,
donde aplicando que y=x0 y u(x0) =ϕ(x0) tenemos queu es supersolución vis-cosa.
Caso de subsolución:
u(x) = sup
v∈F
v(x).
Procederemos de manera análoga al caso de supersolución. Seaϕ∈C2(Ω) tal que
u−ϕtiene un máximo local estricto enx0. Tenemos que exister >0 tal que
4. Soluciones viscosas
Es claro que
u(x0) = sup
v∈F
{v(x0)}, entonces, para cualquiern∈N, existevn∈Ftal que
vn(x0)> u(x0)− 1
n.
Seaxnuna sucesión de puntos en la quevn−ϕtiene un máximo enK =B2r(x0) y así se desprende la siguiente desigualdad:
vn(xn)−ϕ(xn)≥vn(xn)−ϕ(x) ∀ ∈K.
Supongamos que dicha sucesiónxnconverge a un puntoz∈K. Aplicando queu ≥
vnpara cualquiervn∈Fy la desigualdad anterior aplicada al puntox0, llegamos a la siguiente cadena de desigualdades:
u(xn)−ϕ(xn)≥vn(xn)−ϕ(xn)≥vn(x0)−ϕ(x0)> u(x0)− 1
n.
Tomando límite cuando n→ ∞y usando la semicontinuidad superior de u y la continuidad deϕllegamos a:
u(z)−ϕ(z)≥u(x0)−ϕ(x0),
pero partíamos de quex0 era un máximo estricto, por tantoz=x0. Además, comovnson subsoluciones, tenemos que
F(xn, ϕ(xn), Dϕ(xn), D2ϕ(xn))≤0,
donde sin→ ∞, tendremos que
F(z, ϕ(z), Dϕ(z), D2ϕ(z))≤0,
aplicando quez=x0 yu(x0) =ϕ(x0) tenemos queues subsolución viscosa.
4.2. Aproximación de soluciones viscosas
5
Existencia de soluciones viscosas por el
Método de Perron
En este capítulo estudiaremos el Método de Perron, el cual utilizaremos para mos-trar la existencia de soluciones viscosas.
5.1
El Método de Perron
El Método de Perron fue introducido por el matemático alemán Oskar Perron, en [12], en 1923 con el objetivo de encontrar soluciones para la ecuación de Laplace.
El método trata de construir la solución como el supremo de una familia de subso-luciones, en nuestro caso, en sentido viscoso.
Únicamente habría que probar que es además una supersolución viscosa, puesto que el supremo de una subsolución es también subsolución. Puede ser resumido por el siguiente teorema:
Teorema 5.1. (Método de Perron) Supongamos:
Principio de comparación para (4.1), dadas una subsolución viscosau yv una super-solución viscosa con la mismas condiciones de contorno, entoncesu ≤v.
Supongamos que existen u y u subsolución y supersolución viscosas respectivamente satisfaciendo la misma condición de contorno.
Definimos
W(x) := sup{w(x)|u≤w≤u, w subsolución}.
Entonces,W(x)es solución viscosa de la ecuación en derivadas parciales que satisface la condición inicial deuyu.
Consideremos el siguiente conjunto
Z={w|u≤w≤u, w subsolución}.
Así, podemos expresarW como:
W(x) = sup
v∈Z
v(x).
Para demostrar el teorema hemos de probar el siguiente lema previo:
Lema 5.1. Sea v ∈ Z tal que v no es supersolución viscosa, entonces existe w ∈ Z tal que
v(y)< w(y)para algúny∈Ω.
Demostración. Tomemos v ∈ Z y supongamos que no es supersolución viscosa, esto significa que existe y0 ∈Ωy ϕ∈C2(Ω) tal quev(y0) = ϕ(y0) yv−ϕ tiene un mínimo local estricto eny0 y se tiene que
5. Existencia de soluciones viscosas por el Método de Perron
Trataremos de utilizar dicha función test ϕpara construir una subsolución w ∈Z tal quev(y0)< w(y0).
Nótese quev(y0)< u. De hecho, si v(y0) =u(y0) (recordemos queu ≥v≥ϕ) enton-cesu−ϕtendría un mínimo local eny0. Comou es supersolución viscosa, tendríamos que
F(y0, v(y0), Dv(y0), D2v(y0))≥0, lo que contradice que
F(y0, v(y0), Dv(y0), D2v(y0))<−η.
Seaf(y) =u−v(y) y consideremos f(y0) =a >0. Usando la continuidad de f, nos preguntamos si existeδ1>0 tal quef(y)> δ1∀y∈Bδ1(y0). La respuesta a esta pregunta
es afirmativa, pues basta tomarδ1≤ a2, entonces por continuidad def eny0, existeε >0 tal que|f(y)−f(y0)|< a
2, ∀|y−y0|< ε. Asíf(y)> f(y0)−a2 =2a > εpuesto que:
Siε >2a⇒δ1= a 2· 14
Siε <2a⇒δ1= ε 2
Hemos probado que
v(y) +δ1< u(y) enBδ1(y0).
Definimos la función
w(x) =
m´ax{ϕ(x) +α(δ), v(x)} x∈Bδ(y0),
v(x) x<Bδ(y0),
(5.1)
dondeδserá fijado más adelante. Veamos quéw(x)≤u(x).
Siw(x) =v(x) se cumple por hipótesis. Siw(x) =ϕ(x) +α(δ), tenemos que enx∈Bδ
1(y0):
ϕ(x) +α(δ)≤v(x) +α(δ)≤v(x) +δ1≤u(x) conδ < δ1, y
w(y0) = m´ax{ϕ(y0) +α(δ), v(y0)}=ϕ(y0) +α(δ)> v(y0), ya queα(δ)>0.
El siguiente paso será probar quewes continua y subsolución viscosa. Continuidad
W es continua trivialmente en Ω\∂Bδ(y0). Hemos de estudiar la continuidad en
∂Bδ(y0), para ello basta comprobar que
m´ax{ϕ(x) +α(δ), v(x)}=v(x) ∀x∈∂Bδ(y0). Así
5.1. El Método de Perron
Consideremos
α1(δ) = m´ın
x∈Bδ(y0)
{v(x)−ϕ(x)}.
Es claro que α1(δ) >0 y es mínimo local estricto de v−ϕ en y0. Para concluir, basta tomarα(δ) = m´ın{α1(δ), δ}.
Subsolución viscosa
Dadox0 ∈Ωy dadaΨ ∈C2(Ω) tal quew(x)−Ψ(x) tiene un máximo local estricto enx0 y satisfaciendow(x0) =Ψ(x0).
Tenemos que ver que
F(x0, w(x0), DΨ(x0), D2Ψ(x0))≤0, para lo que distinguiremos dos casos:
• w(x0) =v(x0)
Sabiendo quew−Ψ tiene un máximo local estricto enx0, podemos asegurar quev−Ψ también lo tendrá, pues dadoσ >0
0> w(x)−Ψ(x)≥v(x)−Ψ(x) ∀x∈Bσ\{x0},
conv(x0) =Ψ(x0). Así, aplicando queves subsolución, obtenemos
F(x0, v(x0), DΨ(x0), D2Ψ(x0))≤0, y por hipótesisw(x0) =v(x0) y por tanto
F(x0, w(x0), DΨ(x0), D2Ψ(x0))≤0, por lo quewes subsolución viscosa en este caso. • w(x0) =ϕ(x0) +α(δ)
En este caso, tenemos quex0 está enBδ(y0). Tendremos que
F(x0, w(x0), DΨ(x0), D2Ψ(x0))≤0. Si:
w(x)−Ψ(x) =ϕ(x) +α(δ)−Ψ(x), tiene un máximo local estricto enx0, esto es:
1. x0es punto crítico deϕ(x) +α(δ)−Ψ(x), por lo queDϕ(x0) =DΨ(x0) 2. D2ϕ(x0)−D2Ψ(x0) es definida positiva.
Así,
F(x0, w(x0), DΨ(x0), D2Ψ(x0)−D2ϕ(x0) +D2ϕ(x0))≤ ≤F(x0, ϕ(x0) +α(δ), Dϕ(x0), D2ϕ(x0)),
donde hemos aplicado queF es elíptica degenerada. Para lograr lo deseado, basta que
5. Existencia de soluciones viscosas por el Método de Perron
1. |x0−y0|< δ2
Se cumple trivialmente, puesto quex0∈Bδ(y0). 2. |ϕ(x0) +α(δ)−v(y0)|< δ2
|ϕ(x0) +α(δ)−v(y0)|=|ϕ(x0)−ϕ(y0) +α(δ)| ≤
≤ |ϕ(x0)−ϕ(y0)|+α(δ)≤ kDϕ(ξ)k|x0−y0|+α(δ)≤c·δ≤(c+ 1)δ < δ2, donde se ha aplicado el Teorema del Valor Medio yc= m´ax
ξ∈Ω
kDϕ(ξ)k 3. kDϕ(x0)−Dϕ(y0)k
kDϕ(x0)−Dϕ(y0)k ≤ kD2ϕ(ξ)kkx0−y0k< c1δ < δ2,
conc1 >0 constante que tenemos gracias a la continuidad deD2ϕeny0. 4. kD2ϕ(x0)−D2ϕ(y0)k< δ2
Esto se cumple si
kx0−y0k< γ(δ2). Por tanto, basta tomarδ < γ(δ2).
Así, tomandoδ= m´ın{δ1, δ2,δ2
c1,
δ2
c+1, γ(δ2),}podemos concluir con la prueba del le-ma.
Una vez hemos probado el lema, podemos demostrar5.1.
Demostración (Teorema5.1). Es claro que Z , ∅ ya que W es subsolución viscosa de (4.1) satisfaciendo la misma condición inicial. Gracias al lema previo, podemos garan-tizar queW es supersolución (suponiendo la continuidad deW). Si suponemos queW
no es supersolución, el lema contradice queW sea el supremo deF.
Nota 5.1. En general,W no siempre será continua. Bastará con que W sea semicontinua inferiormente.
El Método de Perron es una buena herramienta para probar resultados de existencia para ecuaciones en derivadas parciales (de primer y segundo orden). La desventaja de éste es que no nos da una fórmula representativa de la solución ni ofrece información sobre la regularidad de la misma.
