02-recta

Geometr´ıa Vectorial y Anal´ıtica

Daniel Cabarcas Jaramillo

Escuela de Matem´aticas

Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın

Ecuaci´

on General de Primer Grado

Unal´ınea recta en el plano cartesiano es un conjunto de puntos

x y

∈R2 que verifican unaecuaci´on general de primer grado de la

forma

ax +by+c = 0,

L´ınea Recta – Cuatro Formas

Ecuaci´on General

ax+by+c = 0,

donde a,b,c ∈ _R y a y b no

si-mult´aneamente cero.

Ecuaci´on Vectorial Param´ etri-ca

X =P+tU, con t∈_R

dondeP es un vector en la recta,

y U un vector paralelo a la recta

(llamado vector director)

Forma Normal

(X −P)·N= 0,

donde P es un vector en la

rec-ta, y N un vector ortogonal a ella (llamado vector normal)

Ecuaciones Param´etricas

x =x0+ut,

y =y0+vt, cont ∈R,

La Ecuaci´on General no es ´Unica

ax +by+c = 0 yαx+βy+γ = 0 son ecuaciones de la misma

recta, sii, existe un escalarr 6= 0 tal que α=ra,β=rb, yγ =rc.

La Vectorial Param´etrica no es ´Unica

Si Les una recta con vector director U, entonces, otro vectorV 6=O

es tambi´en vector director de Lsii U yV son LD

Todos los vectores directores de una recta con ecuaci´on general

ax +by+c = 0 son m´ultiplos escalares de

−b

a

La Forma Normal no es ´Unica

Si Les una recta con vector normal N, entonces, otro vectorN0 6=O

es tambi´en vector normal deL sii N yN0 son LD

Todos los vectores normales de una recta con ecuaci´on general

ax +by+c = 0 son m´ultiplos escalares de

Casos Particulares

Recta Generada por un Vector

La recta generada por un vector U 6=O es un caso particular de la ecuaci´on vectorial param´etrica:

{X ∈_R2|X =tU,t ∈_R}

(esta recta pasa porO)

Recta que Pasa por Dos Puntos

SeanP yQ dos puntos distintos del plano. La l´ınea rectaL que pasa por

P yQ es

L=nX ∈_R2_{:X =P +t(Q−P),t ∈}

R

Rectas paralelas

Dos l´ıneas rectas diferentes LyL0 son paralelas, y escribimos L k L0, si sus vectores directores son LD.

Proposici´on

Pendiente

Sea L una recta no vertical con vector director D=

d1

d2

. Lapendiente

de L, denotada por m, es el cociente m= d2

d1

.

El valor de la pendiente no depende del vector director escogido

Si Ltiene por ecuaci´on generalax +by+c = 0, con a6= 0, su

pendiente esm=−a_b, pues D=

−b

a

es vector director deL

Si mes la pendiente de una recta,

1

m

es un vector director

Forma Pendiente-Intercepto

Sea L una l´ınea recta no vertical y B =

0

b

su punto de intersecci´on con

el eje y . Al escalar b se le llama interceptode la recta.

Si m es la pendiente deL, entonces

1

m

es director y por tanto

−m

1

es normal.

Una ecuaci´on general de Les

y =mx+b,

Forma Punto-Pendiente

Si la recta no vertical L pasa por los puntos P =

x0

y0

yQ =

x1

y1

entonces Q−P =

x1−x0

y1−y0

es vector director deL y por lo tanto la

pendiente de la recta es el cociente m= y1−y0

x1−x0.

Definici´on

Si X =

x y

es un punto arbitrario deL diferente de P entonces

m= y−y0

x−x0. De aqu´ı resulta la forma punto-pendientede la ecuaci´on de

L, a saber:

´

Angulo de Inclinaci´

on

Sea L una recta con vector director D. Definimos el´angulo de inclinaci´on deL por

α=

(

dir(D), si dir(D)≤π,

dir(−D), si dir(D)> π, .

Visualmente,α es el ´angulo en sentido antihorario desde el ejex

hasta encontrarse por primera vez conL

Proposici´on

Sea L una recta no vertical con pendiente m y ´angulo de inclinaci´onα. Entonces

Rectas Perpendiculares

Dos l´ıneas rectas L yL0 sonperpendiculares, y escribimos L ⊥ L0, si sus vectores directores son ortogonales o, equivalentemente, si sus vectores normales son ortogonales.

Proposici´on

´

Angulo entre Dos Rectas

El ´angulo entre dos rectas L yL0 con vectores directores U y V respectivamente se define por

](L,L0) =

(

](U,V), si ](U,V)≤π/2

π−_](U,V), si ](U,V)> π/2

](L,L0) es el menor de los ´angulos que forman las dos rectas.

Proposici´on

SeanL yL0 rectas con vectores directores U y V respectivamente, entonces

cos(](L,L0)) = |U·V|

Proyecci´

on Ortogonal Sobre una Recta

Sea L una recta y U un punto del plano. Definimos laproyecci´on ortogonal de U sobreL, denotada por PL(U), como el punto de

intersecci´on deL con la l´ınea recta que pasa por U y es perpendicular aL.

Definici´on

Sean U,V ∈_R2_{, V 6=O. Definimos la proyecci´on ortogonal de U sobre V ,}

denotada PV(U), como la proyecci´on de U sobre la recta generada por V .

Proposici´on

la proyecci´on ortogonal de U sobre V se puede calcular por

C´

alculo de la Proyecci´

on Ortogonal

Sea Luna recta con ecuaci´on general ax+by+c = 0 y sea U∈_R2_{. Sean}

N =

a b

y D=

−b

a

son, respectivamente, los vectores normal y

director de Ldados por la ecuaci´on general. Sea P ∈ L. Entonces

PL(U) =PD(U) +PN(P) (1)

= D·U

kDk2D+ N·P

kNk2N (2)

= D·U

kDk2D+ −c

kNk2N (3)

= 1

Distancia de un Punto a una Recta

SeanL una recta y U ∈R. Definimos la distanciade U a L, denotada

por dist(U,L), como la distancia entre U y la proyecci´on ortogonal de U a L, es decir,

dist(U,L) =kU−PL(U)k.

Teorema

Sea L una recta con ecuaci´on general ax+by+c = 0, y sea U =

u v

.

Entonces

Segmento Dirigido

Sean P y Q dos puntos distintos del plano y sea Lla recta que pasa por P y Q. El segmento de recta dirigidode P a Q, denotado−→PQ, es el conjunto de puntos enL situados entre P y Q. A P se le denomina punto inicialy a Q punto final.

Definici´on

Sea −→PQ un segmento dirigido. Definimos la longitudde−→PQ como

−→ PQ

=kQ−Pk.

Definimos la direcci´on de −→PQ, denotada por dir(−→PQ), como

Segmento Dirigido – ´

Angulo entre Segmentos

Sean−→PQ y −→PR segmentos dirigidos desde el punto P. Definimos el ´angulo entre −→PQ y −→PR, denotado por](−→PQ,−→PR), como

Parametrizaci´

on de un Segmento Dirigido

Sean P y Q dos puntos distintos del plano; cualquier punto X del segmento dirigido de P a Q, denotado por−→PQ, queda descrito por la

ecuaci´on vectorial param´etrica

X =P +t(Q−P) = (1−t)P+tQ, t ∈[0,1].

Interpretaci´on geom´etrica de t

dist(X,P) dist(P,Q) =

tkQ−Pk kQ−Pk =t

Punto Intermedio

La raz´on entre las distancias dist(X,P) y dist(X,Q) es

dist(X,P) dist(X,Q) =

tkQ−Pk

(1−t)kQ−Pk = t

1−t.

Cuando este cociente es un n´umero racional lo escribimos en la forma

t

1−t =

m

n, conm,n ∈Z

+_.

As´ı,t = m

m+n, y por lo tanto,

X = n

m+nP+ m m+nQ

es el punto en−→PQ tal que laraz´on entresu distancia a P y su distancia a