´
Algebra Lineal
Tema 16 - Aplicaciones a Transformaciones
Lineales
Daniel Cabarcas Jaramillo
Escuela de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın
Contenido
Cadenas de Markov
Cadenas de Markov
Ejemplo (Libro, pg 336):Un equipo de investigaci´on de mercado realiza un estudio para determinar qu´e marca de detergente
prefieren las personas. Con base en las respuestas, el equipo de investigaci´on compila las siguientes estad´ısticas. De quienes usan la marca A, 70 % siguen us´andola el mes siguiente, mientras que el 30 % cambia a la marca B. De quienes usan la marca B, 80 % siguen us´andola el mes siguiente, mientras que el 20 % cambia a la marca A.
I Suponga que inicialmente 120 personas usan la marca A y 80 la marca B. ¿Cu´antas personas usaran cada marca un mes m´as tarde, y 2 meses m´as tarde?
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Una cadena de Markovrepresenta un proceso evolutivo que consiste en un n´umero finito de estados
I En cada paso, el proceso puede estar en cualquier estado
I La probabilidad de que el proceso pase de un estado a otro depende ´unicamente del estado presente
I Estas probabilidades se llamanprobabilidades de transici´on, y se suponen constantes
I La matrizP del proceso se llamamatriz de transici´on
I El vector xk que representa el estado del proceso despu´es dek
pasos se llama vector de estado
Cadenas de Markov
I Un vector cuyas entradas suman 1 se llama vector de probabilidad
I La matriz de transici´on es unamatriz estoc´astica, es decir, sus columnas son vectores de probabilidad
I Un vector de estado x se llamaestacionario si Px =x
Cadenas de Markov
I Un vector cuyas entradas suman 1 se llama vector de probabilidad
I La matriz de transici´on es unamatriz estoc´astica, es decir, sus columnas son vectores de probabilidad
I Un vector de estado x se llamaestacionario si Px =x
Cadenas de Markov
I Un vector cuyas entradas suman 1 se llama vector de probabilidad
I La matriz de transici´on es unamatriz estoc´astica, es decir, sus columnas son vectores de probabilidad
I Un vector de estado x se llamaestacionario si Px =x
Cadenas de Markov
I Un vector cuyas entradas suman 1 se llama vector de probabilidad
I La matriz de transici´on es unamatriz estoc´astica, es decir, sus columnas son vectores de probabilidad
I Un vector de estado x se llamaestacionario si Px =x
Cadenas de Markov
La dieta d´ıaria de una persona incluye comer uno s´olo de los alimentos: queso, papaya y lechuga, y siguiendo los siguientes h´abitos:
(i) Si un d´ıa come queso, al d´ıa siguiente no comer´a queso pero comer´a papaya o lechuga con igual probabilidad.
(ii) Si un d´ıa come papaya, al d´ıa siguiente come queso con probabilidad 0,4 o lechuga con probabilidad 0,5 o papaya con probabilidad 0,1.
(iii) Si un d´ıa come lechuga no comer´a lechuga al d´ıa siguiente pero comer´a queso con probabilidad 0,6 o papaya con probabilidad 0,4.
Suponga que los h´abitos alimenticios de esta persona se pueden modelar como una Cadena de Markov. Resuelva las siguientes preguntas.
Grafos
I Ungrafo consiste de un conjunto finito de puntos llamados v´erticesy un conjunto finito de aristas, cada una de las cuales conecta dos v´ertices
I Se dice que dos v´ertices sonadyacentes, si est´an conectados por una arista.
I Si G es un grafo conn v´ertices, entonces sumatriz de adyacencia es la matrizA(G) n×n definida por
aij =
(
1 si existe una arista entrei yj
Grafos
I Ungrafo consiste de un conjunto finito de puntos llamados v´erticesy un conjunto finito de aristas, cada una de las cuales conecta dos v´ertices
I Se dice que dos v´ertices sonadyacentes, si est´an conectados por una arista.
I Si G es un grafo conn v´ertices, entonces sumatriz de adyacencia es la matrizA(G) n×n definida por
aij =
(
1 si existe una arista entrei yj
Grafos
I Ungrafo consiste de un conjunto finito de puntos llamados v´erticesy un conjunto finito de aristas, cada una de las cuales conecta dos v´ertices
I Se dice que dos v´ertices sonadyacentes, si est´an conectados por una arista.
I Si G es un grafo conn v´ertices, entonces sumatriz de adyacencia es la matrizA(G) n×n definida por
aij =
(
1 si existe una arista entrei yj
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Grafos
I Unatrayectoria en un grafo es una secuencia de aristas que permiten viajar de un v´ertice a otro de manera continua.
I Lalongitudde una trayectoria es su n´umero de aristas
I A una trayectoria de k aristas se le llamak-trayectoria
I A una trayectoria que comienza y termina en el mismo v´ertice se le llama circuito
I A una trayectoria que no incluye la misma arista m´as de una vez se le llamasimple
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada (i,j) deAk es igual al n´umero dek-trayectorias entre
Ejemplo Grafo
Digrafos
I Un grafo con aristas dirigidas se llama digrafo
I Si G es un digrafo conn v´ertices, entonces su matriz de adyacencia es la matriz A(G) n×n definida por
aij = (
1 si existe una arista del v´ertice i alj
0 de lo contrario
Digrafos
I Un grafo con aristas dirigidas se llama digrafo
I Si G es un digrafo conn v´ertices, entonces su matriz de adyacencia es la matriz A(G) n×n definida por
aij = (
1 si existe una arista del v´ertice i alj
0 de lo contrario
Digrafos
I Un grafo con aristas dirigidas se llama digrafo
I Si G es un digrafo conn v´ertices, entonces su matriz de adyacencia es la matriz A(G) n×n definida por
aij = (
1 si existe una arista del v´ertice i alj
0 de lo contrario
Digrafos
Ejemplo (Libro, pg 369):Cinco tenistas (Djokovic, Federer, Nadal, Roddick y Safin) compiten en un torneo todos contra todos. El digrafo de la figura resume los resultados.
I Hallar la matriz de adyacencia
I Clasifique a los jugadores de a cuerdo a el n´umero de victorias directas
