INGENIERIA
INGENIERIA
OBJETIVOS:OBJETIVOS:
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• Que el alumno domine integralmente la resolución deQue el alumno domine integralmente la resolución de
sistemas de ecuaciones tanto algebraicas como simulación sistemas de ecuaciones tanto algebraicas como simulación por computadora
por computadora
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• Deberá contemplarse técnicas de optimización deDeberá contemplarse técnicas de optimización de
funciones lineales como no. funciones lineales como no.
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• resueltos en forma numérica, se deberá poner énfasis enresueltos en forma numérica, se deberá poner énfasis en
técnicas matriciales y en particular los apropiados técnicas matriciales y en particular los apropiados métodos e implementación en algoritmos
métodos e implementación en algoritmos
INTRODUCCION INTRODUCCION
Las ecuaciones lineales aparecen por todas partes, porque son Las ecuaciones lineales aparecen por todas partes, porque son las más sencillas. Cualquier fenómeno, de ser posible, se
las más sencillas. Cualquier fenómeno, de ser posible, se modela linealmente, aunque sea una primera aproximación. or modela linealmente, aunque sea una primera aproximación. or e!emplo, el espacio necesario para una base de datos se
e!emplo, el espacio necesario para una base de datos se estima en forma proporcional al n"mero de transacciones. estima en forma proporcional al n"mero de transacciones.
# sistemas de ecuaciones aparecen siempre que $ay más de una # sistemas de ecuaciones aparecen siempre que $ay más de una %ariable en !uego, y m"ltiples restricciones.
%ariable en !uego, y m"ltiples restricciones.
or e!emplo& estimar el costo de un proyecto de desarrollo de or e!emplo& estimar el costo de un proyecto de desarrollo de soft'are, en tiempo, dinero, personas in%olucradas. (n base a soft'are, en tiempo, dinero, personas in%olucradas. (n base a los puntos de función a implementar, el tama)o del proyecto, los puntos de función a implementar, el tama)o del proyecto, la tecnolog*a a emplear, los defectos aceptables, etc. se la tecnolog*a a emplear, los defectos aceptables, etc. se obtiene el esfuerzo de programación necesario +medido en obtiene el esfuerzo de programación necesario +medido en
cantidad de l*neas de código. -eg"n la cantidad de personas cantidad de l*neas de código. -eg"n la cantidad de personas in%olucradas y su experiencia, se obtiene el tiempo necesario in%olucradas y su experiencia, se obtiene el tiempo necesario para escribirlo. Con el tiempo y las personas, tenemos el
para escribirlo. Con el tiempo y las personas, tenemos el costo en dinero. odos estos factores están
costo en dinero. odos estos factores están
interrelacionados& matemáticamente es un sistema de %arias interrelacionados& matemáticamente es un sistema de %arias ecuaciones con %arias incógnitas +aunque no siempre lineales ecuaciones con %arias incógnitas +aunque no siempre lineales (n otra aplicación se puede considerar aplicando sistema de (n otra aplicación se puede considerar aplicando sistema de ecuación lineal puede maximizar o minimizar costos, en los ecuación lineal puede maximizar o minimizar costos, en los e!ercicio se plantea y se forma las ecuaciones y se
e!ercicio se plantea y se forma las ecuaciones y se soluciona.
DEFINICION
La solución de los sistemas de lineales encuentra un amplia aplicación en la ciencia y tecnolog*a. (s particular, se
puede afirmar, que en cualquier rama de la ingenier*a existe al menos una aplicación que requiera del planeamiento y
solución de tales sistemas. (s por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingenier*a existen %arios métodos.
Los e!ercicios se pueden resol%er sin el auxilio de una calculadora o computadora personal, sin embargo, incluimos una sección dedicada a la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de la calculadora con
manipulación simbólica ya que nos permite ilustrar como a tra%és de estos instrumentos y con el soft'are adecuado por e!emplo el /0L01 o D(234( pueden obtener el mismo resultado, se pueden clasificar en&
Sistema de ecuacioes co so!uci" #ica Sistema co i$iidad de so!ucioes
Sistema si so!uci" Sistemas %omo&'eos
5ay distinto métodos para resol%er los sistemas de ecuaciones aplicando en el ámbito de la ingenier*a&
M'todo de C(ame(
M'todo de e!imiaci" &aussiaa M'todo de &auss)*o(da
M'todo de t%omas :+a(a !a (eso!uci" de mat(ices t(idia&oa!es
Est(ate&ias de +i,oteo: +i,oteo +a(cia! - +i,oteo com+!eto
A.!isis de !a codici" de! sistema: #me(os de codici"/ o(mas - e((o(es
M'todos ite(ati,os de (eso!uci": M'todo de *aco0i
M'todo de &auss)seide!
M'todo de so0(e((e!a*acio
incógnitas n7m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. (s decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución "nica. (l %alor de cada incógnita xi, se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de
coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Sistema de m ecuacioes !iea!es co ic"&itas:
8incógnitas: X1,X2,...Xn 8coeficientes: aij
8términos independientes:b1,b2...bm E1+(esi" ,ecto(ia!:
E1+(esi" mat(icia!: A23B
donde:
La programación lineal +L, los sistemas Lineales de ecuaciones, e in%ersión de la /atriz son a menudo temas
fa%oritos tanto para instructores como para estudiantes. La capacidad de solucionar estos problemas por el método de pi%ota!e de 9auss:;ordan +9;, 9auss:;ordan pi%oting, la
disponibilidad extendida de paquetes de soft'are, y su amplia %ariedad de aplicaciones $acen estos temas accesibles $asta para estudiantes con conocimientos matemáticos relati%amente limitados. Los libros tradicionales de texto de L por lo general dedican secciones separadas para cada tema. -in embargo, las relaciones tan estrec$as entre estos temas a
menudo no son presentadas o discutidas a fondo. (ste art*culo ampl*a las relaciones unidireccionales existentes entre estos temas para construir una relación bi:direccional completa
como en la figura siguiente. ara cada tema es mostrado como el problema puede ser modelado y solucionado por cualquiera de las metodolog*as asociadas.
Los enlaces adicionales introducidos aqu*, le permiten al usuario entender, modelar y solucionar un problema modelado como cualquiera de estos mencionados, teniendo acceso a un
paquete de computadora -ol%er +solucionista. Los ob!eti%os son la unificación teórica as* como también los a%ances en las aplicaciones. Las siguientes seis secciones desarrollan los enlaces que son ilustrados con peque)os e!emplos
numéricos. 0unque algunos de estos e!emplos son completamente conocidos, los incluimos aqu* para su entendimiento.
A!&o m.s +a(a a&(e&a(:
5ay dos temas adicionales que se deben de mencionar& La interpolación con los datos igualmente espaciados y la
Extrapolación. #a que los métodos de <e'ton y de Lagrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por que se aborda el caso.
De los datos igualmente espaciados. 0ntes del ad%enimiento de las computadoras digitales, estos métodos tu%ieron gran
utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmente espaciados. De $ec$o se desarrolla un esquema conocido como tabla de diferencias di%ididas para facilitar la
implementación de estas técnicas.
-in embargo, y debido a que las fórmulas son un subcon!unto de los esquemas de <e'ton y Lagrange compatibles con la
computadora y ya que se dispone de muc$as funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad de puntos
equidistantes se fue perdiendo. (n particular, se puede
emplear en la deri%ación de fórmulas de integración numérica que emplean com"nmente datos equidistantes.
La extrapolación es el proceso de calcular un %alor de f+= que cae fuera del rango de los puntos base conocidos =>, =6, ... , =n. La interpolación más exacta usualmente se
obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base. ?b%iamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extiende la cur%a más allá de la región conocida. Como tal, la cur%a %erdadera di%erge fácilmente de la
predicción. or lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar.
