Segunda unidad. y = f(x) Una función cuadrática de la variable independiente x y la variable dependiente y tiene la expresión general:

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Segunda unidad

Hemos centrado nuestra atención principalmente en la función lineal, así como en álgebra lineal pues es útil para algunos problemas, hay una variedad de fenómenos no lineales, que no pueden resolverse adecuadamente usando funciones lineales. En este tema trataremos algunas de las funciones no lineales más comunes. El propósito es reconocer las características de estas curvas no lineales como son: La cuadrática, exponencial y logaritmos. De manera que se puede predecir el comportamiento de este tipo de funciones.

Toda función cuya gráfica no es una línea recta en dos dimensiones o un plano en tres dimensiones, puede considerarse no lineal, pues son funciones matemáticas cuyas gráficas son curvas en dos dimensiones y superficies curvas en tres dimensiones. Además de este punto de vista geométrico, se puede diferenciar entre funciones lineales y no lineales en términos de su “respuesta” dada la función general.

y = f(x)

Una función cuadrática de la variable independiente x y la variable dependiente y tiene la expresión general: c bx ax x f y ( ) 2  

Así la fórmula para determinar las raíces de las ecuaciones cuadráticas de la forma de ecuación tenemos: a ac b b x 2 4 2   

En problemas de oferta, demanda, ingresos, ventas y experiencias en el trabajo nos llevan a una función cuadrática.

Ejercicio:

El gerente de producción de una fábrica de textiles de lana estima que si compran 80 telares suizos marca Zwlser (de lanzadera de proyectil) la producción promedio sería de 300 metros de tela de lana por cada telar al día, además piensa que si ponen un telar suizo más en la nave la producción promedio podría bajar en ocho metros por telar se desea obtener:

a).- La función que exprese el número de telares.

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Solución:

Producción = (número de telares) (producción promedio por telar) Pt = Producción total. Ta = Número de telares. Pp = Producción promedio. Pt = (Ta) (Pp) Ta Pp Pt 80 300 80 ( 300 ) = 24,000 80 + 1 300 - 8 (80 + 1) (300 – 8) 80 + 2 300–8(2) (80 + 2) [300 – 8(2)] Si generalizamos: 80 + x 300 - 8x (80 + x) (300 – 8x) Efectuando la multiplicación: Pt = f(x) Pt = (80 + x) (300 – 8x) 300 – 8x 80 + x 24,000 - 640x 2 8 300xx  24,000 - 340x - 8x2 Resultado 8x2340x24,00035,000 y = 8x2340x11,000 Aquí y = a cero y por eso es cuadrática

08x2340x11,000 a b c a ac b b x 2 4 2     ) 8 ( 2 ) 000 , 11 )( 8 ( 4 340 ) 340 (  2    x 16 340 16 400 , 236 340 16 000 , 352 600 , 115 340       x

25

.

21

1

x

(3)

Ejercicio:

La empresa Plásticos Nacionales, S.A., consume 40 costales de 25 Kgs. c/u (una tonelada) de polipropileno para la fabricación de artículos de plástico, por la cantidad de $750.00 cada costal ($30,000 la tonelada). El gerente de compras al hacer el siguiente pedido del polipropileno, le informan que el producto aumento el 10% o sea aumenta $75 cada costal, el gerente de compras toma la decisión de comprar 2 costales menos. Utilizando la cuadrática encuentra cuántos costales compra.

Si el precio del polipropileno aumenta entonces será: 75075

x

Si compran dos costales menos en el siguiente pedido será: 750275

x 2 75 75 750   x x x x x x 2)(750 75 ) 75 (    (x - 2)(750 + 75x) = 0 750 + 75x x - 2 2 75 750xx -150x -1,500 500 , 1 75 600xx2

Aplicando la cuadrática nos queda:

500 , 1 600 75x2  x = 0 a b c 2 4 600 6002(754)(75)( 1,500) 600 360150,000 450,000 600 150810,000 2 2           b ba ac x  600150900 x 10 2 150 900 600 2 150 900 600 1          x x

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Al hablar de una representación gráfica nos referimos a una función cuadrática que se debe tomar en cuenta de acuerdo a la función:

c bx ax x

f( ) 2 

Debemos considerar muy importante que si a > 0, entonces la parábola se abre hacia arriba, y decimos que la gráfica es cóncava.

Pero si a < 0, entonces la parábola se abre hacia abajo, y decimos que la gráfica es

convexa.         a b ac a b V 4 4 , 2 2 ó              a b f a b 2 , 2

El punto donde la parábola cruza el eje vertical se llama ordenada al origen y sus coordenadas son:

[0, f (0)] = [ 0, c]

El punto en la parábola corta el eje horizontal y se llama abscisa al origen. y = 0 ax2bxc0 ) 0 , ( ) 0 , ( 2 1 x x

Para las funciones cuadráticas puede haber una, dos o ninguna intersección con el eje horizontal. La línea imaginaria que pasa por el vértice de cada parábola es llamada eje de simetría. La parábola queda dividida en dos mitades simétricas con respecto al eje de simetría.

Ejercicio:

Elaborar la gráfica de la función: f(x)x23x1 a b c

 

a

b a b f 2 2 ,   2 3 ) 1 ( 2 ) 3 (   x

 

 

2 3 ) 1 ( 2 3 ( f f   Realizamos la función:

     

45 2 3 2 2 3 2 3  31 f f(x)x2 3x1

4

5 2 3,  V Realizar: yx2 6x5 yx24x5 yx22x3

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A menudo, la demanda de un producto se puede describir como una función del precio que se cobra por este producto. Lo podemos relacionar por la función:

q = f (p) ó q = b - ap

Sí a > 0 y b > 0, donde q representa la cantidad y p el precio.

El Ingreso Total R se obtiene como el producto del número de unidades vendidas q (demanda), p el precio.

R = pq

Como q está en función de p. El Ingreso Total puede expresarse en función del precio como:

f(p) = p(b - ap)

2

ap bp

Ejercicio:

Un fabricante ha desarrollado un nuevo diseño de paneles recolectores de energía solar. Los estudios de mercado, indican que la demanda anual de paneles depende del precio que se cobre por ellos. La función de la demanda para los paneles se ha calculado como:

q = f(p) = 100,000 - 2,000p

a).- Determinar la función Ingreso Total.

b).- ¿Cuál es el Ingreso Total, si el precio unitario es de $10.00 c).- ¿Cuál podrá ser el precio máximo que se pueda vender el panel? d).- ¿Cuál es el Ingreso Total máximo?

e).- ¿Cuál será la intersección con el eje p? f).- Elabore la gráfica. Solución: a).- R = Pq f(p) = p(b - ap) La función de la demanda q = 100,000 – 2,000p R = p(100,000 – 2,000p) 2 000 , 2 000 , 100 p p R  b).- p = 10.00 2 ) 10 ( 000 , 2 ) 10 ( 000 , 100   R R = 1’000,000 - 200,000 R = 800,000

(6)

c).- En este punto la función R, a = - 2,000 < 0, entonces los extremos de la gráfica se extienden hacia abajo del eje de p, y por lo tanto hay un máximo, dado por el punto al que le llamamos

vértice. q = b – ap q = f(p) = 100,000

a

ac b a b V 44 2 2 ,   

Obviamente, que la abscisa del vértice es el precio en el cual el Ingreso Total es máximo, de igual se advierte que la ordenada del vértice nos dará el Ingreso Total máximo, utilizaremos el primer punto de la fórmula.

Precio = p 2ab2(1002,,000000)25pesos

d).- El Ingreso Total, tomaremos el segundo punto. 000 , 250 ' 1 ) 000 , 2 (( 4 ) 0 )( 000 , 2 ( 4 000 , 100 4 4 2 2     a ac b R

e).- Para encontrar la intersección de la gráfica con el eje de las p, hacemos igual a 0 (cero) la función R y aplicamos la fórmula de resolución de cuadráticas para obtener:

200 0 2 1   x x

Así las intersecciones son:|

) 0 , 50 ( ) 0 , 0 ( 2 1   p p a ac b b x   224 ) 000 , 2 ( 2 ) 0 )( 000 , 2 ( 4 ) 000 , 100 ( 000 , 100 2       x 0 50 2 1   x x f).- Realice la gráfica 0

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Método para encontrar la ecuación de la parábola fxax2bxc que pasa por tres puntos dados, sólo tendremos que sustituir separadamente las coordenadas de cada punto y después resolver el sistema de ecuaciones para a, b, y c resultante. Y lo podemos a aplicarlo a las funciones de Demanda y Oferta.

Ejercicio:

Una empresa fabricante de cosméticos va ofrecer un estuche de pinturas faciales, se pronostica que si el precio del estuche es de $35.00 venderá 800, si el precio del estuche es de $40.00 venderá 650 estuches pero si el precio es de $50.00 sólo venderá 500 estuches. Se desea obtener: El modelo matemático de la ecuación cuadrática que pueda expresar la demanda en función del precio.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 1,000 800 600 400 200 D e m a n d a P r e c i o Oferta, demanda Solución:

Sustituiremos cada uno de los puntos en la expresión:

c bp ap p f q ( ) 2   Precio qd 35 800 40 650 50 500 qdap2bpc Obtenemos: c b a    (35) (35) 800 2 800 = 1,225a + 35b + c c b a    (40) (40) 650 2 650 = 1,600a + 40b + c c b a    (50) (50) 500 2 500 = 2,500a + 50b + c Resolviendo el sistema de ecuaciones:

800 = 1,225a + 35b + c (1) 650 = 1,600a + 40b + c (2) 500 = 2,500a + 50b + c (3) 800 = 1,225a + 35b + c (1) 650 = 1,600a + 40b + c (2)

(8)

500 = 2,500a + 50b + c (3) 800 = 1,225a + 35b + c (1) x - 40 650 = 1,600a + 40b + c (2) x 35 -32,000 = -49,000a – 1,400b – 40c 22,750 = 56,000a + 1,400b + 35c - 9,250 = 7,000a =o= - 5c (4) 650 = 1,600a + 40b + c (2) x - 50 500 = 2,500a + 50b + c (3) x 40 -32,500 = -80,000 – 200b – 50c 20,000 = 100,000 + 200b + 40c -12,500 = 20,000 =o= - 10c (5) - 9,250 = 7,000 – 5c (4) x - 10 -12,500 = 20,000 – 10c (5) x 5 92,500 = -70,000a + 50c -62,500 = 100,000a – 50c 30,000 = 30,000a =o= a = 1 800 = 1,225a + 35b + c 650 = 1,600a + 40b + c 800 = 1,225 + 35b + c 650 = 1,600 + 40 b + c -800 = - 1,225 - 35b - c 650 = 1,660 + 40b + c 425 = - 35b - c - 950 = 40b + c - 525 = 5b b = - 105 800 = 1,225a + 35b + c 800 = 1,225(1) + 35(-105) + c 800 = 1,225 – 3,675 + c C = 3,250 250 3 105 2 2 , p p ) p ( f q c bp ap ) p ( f q        

(9)

Ejercicio:

Una empresa fabricante de cosméticos va ofrecer un estuche de pinturas faciales, se pronostica que si el precio del estuche es de $28.00 venderá 140, si el precio del estuche es de $30.00 venderá 300 estuches pero si el precio es de $34.00 sólo venderá 680 estuches. Se desea obtener: El modelo matemático de la ecuación cuadrática que pueda expresar la oferta en función del precio.

Precio p qo 28 140 30 300 34 680 0 1,000 800 600 400 200 10 20 30 40 50 D e m a n d a P r e c i o $ Oferta, demanda c b a ) ( c b a ) ( c b a ) (          34 34 680 30 30 300 28 28 140 2 2 2 140 = 784a + 28b + c 300 = 900a + 30b + c 680 = 1,156a + 34b + c 140 = 784a + 28b + c x - 30 300 = 900a + 30b + c x 28 -4,200 = -23,520a - 840b - 30c 8,400 = 25,200a + 840b + 28c 4,200 = 1,680a + - 2c 300 = 900a + 30b + c x - 34 680 = 1,156a + 34b + c x 30 - 10,200 = - 30,600a - 1,020b - 34c 20,400 = 34,680a + 1,020b + 30c 10,200 = 4,080a - 4c 4,200 = 1,680a - 2c x – 4 10,200 = 4,080a - 4c x 2 - 16,800 = - 6,720a + 8c 20,400 = 8,160a - 8c 3,600 = 1,440a a = 2.5 140 = 784a + 28b + c

(10)

300 = 900a + 30b + c 140 = 784(2.5) + 28b + c 300 = 900(2.5) + 30b + c 140 = 1,960 + 28b + c 300 = 2,250 + 30b + c 1,820 = 28b + c 1,950 = 30b + c - 1,820 = - 28b - c 1,950 = 30b + c - 130 = 2b b = -130/2 b = - 65 140 = 784a + 28b + c 140 = 784(2.5) + 28(-65) 140 = 1,960 – 1,820 + c c = 0 p p . q c bp ap q o o 65 51 2 2 2     

(11)

El punto de equilibrio que existe entre la oferta y la demanda nos da la regulación de las cantidades demandadas y suministradas y nos pueden también regular el precio que se puede ofrecer.

d

o q

q

Ejercicio:

Tomaremos los datos de los ejercicios anteriores de la demanda y la oferta.

454 5 51 94 51 2 250 3 105 2 2 , p . p . q , p p q o d       p2105p3,2502.5p265p 151 2 40 3250 , p p .   a b c a ac b b x   224 ) . ( ) , )( . ( x 215 250 3 5 1 4 40 40 2    3 500 19 600 1 40 , , x   3 100 21 40 , x   3 25 145 40 . x  75 61 053 35 2 1 . x . x    

(12)

Las funciones exponenciales se aplican particularmente en procesos de crecimiento y

decrecimiento; por ejemplo: el crecimiento de población, la inflación, el crecimiento de las

necesidades de ciertos recursos (como la energía), el crecimiento del Producto Nacional Bruto (PNB). Como los procesos de decrecimiento, la devaluación de ciertos bienes de capital (maquinaria), la disminución de la incidencia de ciertas enfermedades a medida que la investigación médica avanza, la reducción del poder adquisitivo del dinero.

Los procesos de crecimiento exponencial se caracterizan por tener un crecimiento porcentual constante. Si la disminución porcentual es constante, se trata de un proceso de decrecimiento exponencial. Si la población de un país crece constantemente en un 3% anual, su expresión matemática es una función exponencial creciente. Si se trata de la mortalidad infantil disminuye en un porcentaje constante y se puede expresar como una función exponencial decreciente.

Interés compuesto: MP(1i)n Crecimiento de población: VVoekt

Crecimiento continuo VV ekt

o

Ejercicio:

El gobierno de un país piensa aumentar un 5% el valor de la gasolina a partir del próximo año, el costo actual es de 5.90 el litro ¿Qué valor tendrá al cabo de 12 meses?

41 . 8 ) 03 . 0 1 ( 90 . 5 ) 1 ( 12     M i p M n

(13)

Si n es un entero positivo, entonces el producto aaanveces, se llama la potencia

n-ésima de a y se escribe como an, el número a es la base y n es el exponente, y en forma simbólica se listan la definición y las leyes desarrolladas.

1ª LEY PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

n m n m a a a   6 4 2 4 2 8 8 8 8   

2ª LEY DIVISION DE POTENCIAS

n m n m a a a  5 3 8 12 12 12 12 3 8   

3ª LEY EXPONENTE CERO

0 1 a a a a m n n m     0 5 5 8 8 8 8 1 5 5    

4ª LEY EXPONENTE NEGATIVO

n an a   1 3 6 3 15 15 15 15 6 3    

5ª LEY POTENCIA DE POTENCIA

nm m n a a )  ( 15 5 3 5 3 9 9 ) 9 (   

6ª LEY POTENCIA DE UN PRODUCTO

n n n b a ab)  ( 5 5 5 ) (aba b

7ª LEY POTENCIA DE UN COCIENTE

 

nn n b a b a  = 3 3 3 ) ( b a b a

(14)

Raíz de un producto: 81 9 Raíz de un cociente k k b a k b a

Raíz de una raíz

kj k j

a a

Ejercicio:

El Sr. Fernández desea invertir un capital en el Banco Central, El banco le esta ofreciendo un interés compuesto del 18% anual lo desea colocar la cantidad de $20,000.00 durante 3 años ¿Cuánto obtendrá al cabo de los tres años?

3 ) 18 . 1 ( 000 , 20 32,860.64

1.- Una fábrica de ropa fabrico 15,000 pantalones casuales en el mes de enero del presente año y desea aumentar su producción un 9% en forma mensual. Se desea encontrar la producción para los meses de junio, septiembre y noviembre del mismo año.

2.- Una máquina troqueladora la compraron a principio de año y tuvo un costo de 1’580,000.00, se deprecia a una tasa del 19% anual. ¿Qué valor tendrá a los cinco años de uso?

3.- El número de casos de la enfermedad del Sida registrados en México, está dada por la función y20(1.5)x donde x es el número de años a partir de 1982, ¿Cuántas personas existirán en este año?

(15)

Los logaritmos, inventados en el siglo XVII, son muy útiles y eficientes en la computación aritmética, muy importante en la aplicación de las Matemáticas a la Química, física, ingeniería y en los negocios. También se usan los logaritmos para obtener los conjuntos solución de ciertos tipos de ecuaciones. La teoría de los logaritmos se basa en las leyes de los exponentes.

Es posible que el principal uso inicial de los logaritmos fue como ayuda en computación. Hoy se ha extendido su uso para las computadoras y las calculadoras, sin embargo todavía es importante estudiar los logaritmos y sus propiedades a fin de simplificar expresiones complicadas, así como para resolver ecuaciones.

Logaritmo.- El logaritmo L de un número N es la base b (donde b > 0, b = 1) es el exponente

que indica la potencia en la cual la base b debe elevarse a fin de producir N.

Logaritmo de un producto.- El logaritmo de un producto de dos números positivos es igual

a la suma de los logaritmos de los números.

Logaritmo de una potencia.- El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al

producto del exponente de la potencia y el logaritmo del número.

Logaritmo de una raíz.- M b M r bM

r b r log ) ( log log  1  1

Si el logaritmo común de un número positivo se expresa como un entero más una fracción decimal no negativa, al entero se le llama la característica del logaritmo y la fracción decimal es la

mantisa.

Ejercicios:

1.- Una compañía editorial del periódico de la ciudad recibe una noticia importante, y en la primera hora vende 7 periódicos y cada 5 minutos vende un periódico más, y en la segunda hora vende 7 periódicos y así sucesivamente.

¿Cuántas horas necesita para vender 50,000 periódicos?

2.- El número de desempleados en la última semana del año 2000 era del 100,000 con disminución semanal del 1% (siempre con respecto a la semana anterior) ¿En qué semana de que año se llegará a 9,100 desempleados?

3.- Si el índice inflacionario aumenta cada mes 1% con respecto al mes anterior. a).- ¿De cuánto es el índice anual?

b).- Para que el índice anual sea del 9% ¿De cuánto debe ser el aumento mensual? Siempre con relación al mes anterior.

4.- En enero del 2001 el gasto mensual era de $10,000.00 con disminución bimestral del 7% sobre el bimestre anterior ¿En qué año y mes se llegará a un gasto mensual de $50,000.00?

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