Calculo 2

Cálculo

Diferencial e

Integral II

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil

Director Académico

Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Director de Administración y Finanzas

C.P. Jesús Urbano Limón Tapia

Director de Planeación

Mtro. Pedro Hernández Peña

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Módulo de Aprendizaje.

Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

todos los derechos reservados.

Tercera edición 2011. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración:

Librada Cárdenas Esquer María Elena Conde Hernández

Revisor de Contenido:

María Elena Conde Hernández Hermenegildo Rivera Martínez

Corrección de Estilo:

Jesús Alfonso Velasco Núñez

Edición:

Ana Isabel Ramírez Vásquez

Coordinación Técnica:

Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri

Coordinación General:

COMPONENTE:

FORMACIÓN

PROPEDÉUTICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

QUÍMICO–BIOLÓGICO

Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es

____________________________ y se relaciona con ____________________________________________________.

HORAS SEMANALES: 3

CRÉDITOS: 6

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________

Recomendaciones para el alumno ...6

Presentación ...6

UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ... 9

1.1. La diferencial ...11

Sección de tareas ...31

Autoevaluación ...39

Ejercicio de reforzamiento ...43

UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. ... 45 2.1. Integral Indefinida ...47 2.2. Métodos de integración ...55 Sección de tareas ...65 Autoevaluación ...71 Ejercicio de reforzamiento ...75

UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 77

3.1. Integral definida ...79

3.2. Teorema fundamental del Cálculo ...83

3.3 Aplicaciones de la Integral Definida ...89

Sección de tareas ...95 Autoevaluación ...99 Ejercicio de reforzamiento ...101 Claves de respuestas ...103 Glosario ...104 Bibliografía ...105

Índice

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II.

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones:

¾ Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.

¾ Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. ¾ Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de

medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. ¾ Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

¾ Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.

¾ Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.

¾ Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria la identificación).

Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo de conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece esta asignatura al campo de _________?

Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de la asignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación de los estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué es importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?

RIEMS

Introducción

El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas

CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA

I. Se

autodetermina y cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

II. Se expresa y

comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

III. Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

IV. Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

Competencias Disciplinares Básicas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias docentes:

1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo.

3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.

8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

U

U

n

n

i

i

d

d

a

a

d

d

1

1

D

D

i

i

f

f

e

e

r

r

e

e

n

n

c

c

i

i

a

a

l

l

e

e

s

s

e

e

i

i

n

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t

t

e

e

g

g

r

r

a

a

l

l

I

I

n

n

d

d

e

e

f

f

i

i

n

n

i

i

d

d

a

a

Objetivos:

El alumno:

Aplicará los conceptos de diferencial, para resolver valores aproximados de funciones; además de problemas prácticos, tras conocer las reglas de diferenciación; mostrando una actitud analítica y participativa.

Temario:

¾ La diferencial. Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial e

Integral, que también fue inventado de manera paralela por Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en la Tierra.

Organizador anticipado:

¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado de la formación matemática que se requiere en las universidades para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, la economía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a la matemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVII y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una nueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la que somos parte.

Mapa Conceptual de Unidad

DIFERENCIALES

Definición de Diferencial Nos permite enunciar Reglas de diferenciación Para resolver problemas De aproximación al incremento y de errores de aproximación

Evaluación Diagnóstica:

Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite.

ƒ

Razón de cambio.

ƒ

Derivadas explícitas.

L

L

A

A

D

D

I

I

F

F

E

E

R

R

E

E

N

N

C

C

I

I

A

A

L

L

1.1.1. Concepto geométrico de la diferencial de una función (“ dy

”

)

. Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos ejemplos de esto son:

a) Aproximar valores de funciones.

b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado).

c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco”.

Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de tangencia.

Sea

y

=

f

(x

)

una función cualquiera y sean los puntos

))

(

,

(

)),

(

,

(

x

f

x

x

+

∆

x

f

x

+

∆

x

dos puntos sobre la función como se muestra en la siguiente figura:

1

1

.

_.

1

₁

.

_.

x

x

+

∆

x

)

(

x

x

f

+

∆

)

(x

f

x

∆

, representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos el incremento real que sufre la función que lo denotaremos como

∆

y

como la diferencia que existe entre

f

(x

)

y

f

(

x

+

∆

x

)

, es decir:

)

(

)

(

x

x

f

x

f

y

=

+

∆

−

∆

Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos apreciar en la siguiente figura:

)

(

)

(

x

x

f

x

f

y

=

+

∆

−

∆

x

∆

x

x

+

∆

x

)

(

x

x

f

+

∆

)

(x

f

Tracemos la recta tangente a la función

f

(x

)

en el punto

x

, llamaremos

dy

al incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en la siguiente figura:

Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de inclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre

dy

y

∆

x

, además si recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál esta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo lo anterior podemos decir que:

)

´(x

f

x

dy =

∆

Ahora bien si denotamos a

∆

x

como

dx

tendremos que

f

´(x

)

dx

dy =

, o bien si despejamos

dy

se obtiene:

dx

x

f

dy

=

´(

)

A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE

f

en el punto

x

, con respecto al incremento

∆

x

=

dx

, conocido también con el nombre de Valor Aproximado del

∆

)

(

)

(

x

x

f

x

f

y

=

+

∆

−

∆

x

∆

x

x

+

∆

x

)

(

x

x

f

+

∆

)

(x

f

dy

A la diferencia que existe entre el Valor real (

∆

y

) y el Valor Aproximado (

dy

), le llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir:

E.A =

∆

y

−

dy

EJEMPLO 1.- Sea 2

)

(

x

x

f

=

. Hallar

∆

y

,

dy

y E.A cuando

x

=

1

y

01

.

0

=

=

∆

x

dx

. SOLUCIÓN: Como 2

)

(

x

x

f

y

=

=

, entonces como

∆

y

=

f

(

x

+

∆

x

)

−

f

(

x

)

, calculamos: 2

)

(

)

(

x

x

x

x

f

+

∆

=

+

∆

= (1 + 0.01)2 _{= (1.01)}2 _{= 1.0201}

f

(

x

)

=

x

2 = (1)2 _{= 1}

Sustituyendo estos valores en:

∆

y

=

f

(

x

+

∆

x

)

−

f

(

x

)

, obtenemos:

0201

.

0

1

0201

.

1

−

=

=

∆y

Que corresponde al incremento real que sufre la función 2

)

(

x

x

f

=

cuando la

x

se incrementa de 1 a 1.01.

Ahora bien como 2

)

(

x

x

f

=

, entonces,

f

'

(

x

)

=

2

x

de tal forma que:

dx

x

dx

x

f

dy

=

´(

)

=

2

, sustituyendo los valores de

x

=

1

y

dx

=

0

.

01

obtenemos:

)

01

.

0

(

)

1

(

2

2

=

=

x

dx

dy

02

.

0

=

dy

Que corresponde al Valor Aproximado de la función 2

)

(

x

x

f

=

a través de la recta tangente a ella cuando la

x

se incrementa de 1 a 1.01.

Si calculamos E.A. E.A =

∆

y

−

dy

Es decir: E.A =

0

.

0201

−

0

.

02

E.A =

0

.

0001

E.A = 0.0001

Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos un error de una millonésima.

EJEMPLO 2.- Sea

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

−

3

. Hallar

∆

y

,

dy

y E.A cuando

x

=

1

y

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

=

=

∆

x

dx

. SOLUCIÓN:

Como

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

−

3

, entonces como

∆

y

=

f

(

x

+

∆

x

)

−

f

(

x

)

,

calculamos:

3

2

2

)

(

)

)(

(

2

3

)

(

2

)

(

)

(

x

+

∆

x

=

x

+

∆

x

2

−

x

+

∆

x

−

=

x

2

+

x

∆

x

+

∆

x

2

−

x

−

∆

x

−

f

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

−

3

Sustituyendo estos valores en:

∆

y

=

f

(

x

+

∆

x

)

−

f

(

x

)

, obtenemos:

∆

=

2

+

2

(

)(

∆

)

+

(

∆

)

2

−

2

−

2

∆

−

3

−

(

2

−

2

−

3

)

x

x

x

x

x

x

x

x

y

∆

=

2

+

2

(

)(

∆

)

+

(

∆

)

2

−

2

−

2

∆

−

3

−

2

+

2

+

3

x

x

x

x

x

x

x

x

y

∆

y

=

2

(

x

)(

∆

x

)

+

(

∆

x

)

2

−

2

∆

x

_{si sustituimos por ejemplo los valores de}

1

=

x

y

∆x

=

1

tendremos que:

x

x

x

x

y

=

∆

+

∆

−

∆

∆

2

(

)(

)

(

)

2

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

)(

1

(

2

+

2

−

=

∆y

2

1

2

+

−

=

∆y

1

=

∆y

Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir: Para

x

=

1

y

∆x

=

1

tendremos que:

3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 3 ) 1 1 ( 2 ) 1 1 ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 − = ∆ + = − − = ∆ + = − − = ∆ + = − + − + = ∆ + = − ∆ + − ∆ + = ∆ + x x f x x f x x f x x f x x x x x x f

3

2

)

(

x

=

x

2

−

x

−

f

4

)

(

3

2

1

)

(

3

)

1

(

2

)

1

(

)

(

2

−

=

−

−

=

−

−

=

x

f

x

f

x

f

Por lo tanto, si sustituimos estos valores en:

)

(

)

(

x

x

f

x

f

y

=

+

∆

−

∆

, obtenemos:

1

4

3

)

4

(

3

=

∆

+

−

=

∆

−

−

−

=

∆

y

y

y

Como

f

(

x

)

=

x

2

−

2

x

−

3

entonces:

dx

x

dx

x

f

dy

=

´(

)

=

(

2

−

2

)

sustituyendo los valores de

x

=

1

y

dx

=

1

, se obtiene:

0

)

1

)(

0

(

)

1

)(

2

2

(

)

1

)(

2

)

1

(

2

(

)

2

2

(

=

=

−

=

−

=

−

=

dy

dy

dy

dx

x

dy

De tal manera que:

E.A =

∆

y

−

dy

Es decir:

E.A =

1

−

0

E.A =

1

E.A = 1

Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular

∆

y

podemos terminar de resolver el ejemplo para el valor de

x

=

1

y

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

=

∆x

utilizando la siguiente tabla:

x

∆

_x

_f

₍

_x

+

∆

_x

₎

_f

_(x

₎

∆

_y

_dy

E.A 1 1 -3 -4 1 0 1 1 0.5 1 0.1 1 0.01 1 0.001

EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Hallar

∆

y

y

dy

, y E.A para las funciones y los valores dados:

01

.

0

2

3

4

2

)

(

)

4

1

.

0

1

)

(

)

3

1

.

0

3

)

(

)

2

2

.

0

,

8

)

(

)

1

2 2 3

=

=

+

−

=

−

=

=

=

=

=

=

=

=

∆

=

=

dx

y

x

para

x

x

x

f

dx

y

x

para

x

x

f

dx

y

x

para

x

Sen

x

f

dx

x

x

para

x

x

f

π

TAREA 1 Página 31.

1.1.2. Teoremas sobre Diferenciales.

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, le corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.

FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES

Para

f

(

x

)

y

g

(

x

)

, funciones derivables de

x

: 1. CONSTANTE:

d

[ ]

c

=

0

2. MULTIPLO CONSTANTE:

d

[

cg

(

x

)

]

=

c

g

'

(

x

)

dx

3. POTENCIA:

d

[ ]

x

n

=

n

x

n−1

dx

4. SUMA O DIFERENCIA:

[

]

dx

x

g

dx

x

f

x

g

d

x

f

d

x

g

x

f

d

)

(

'

)

(

'

))

(

(

))

(

(

)

(

)

(

±

=

±

=

±

5. PRODUCTO:

[

]

[

]

[

]

dx

x

f

x

g

dx

x

g

x

f

x

f

d

x

g

x

g

d

x

f

x

g

x

f

d

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

6. COCIENTE:

[

]

[

]

[

]

[

]

2 2

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

dx

x

g

x

f

dx

x

f

x

g

x

g

x

g

d

x

f

x

f

d

x

g

x

g

x

f

d

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

7. REGLA DE LA CADENA:

(

)

[

f

g

x

]

d

[

(

f

g

x

)

]

f

g

x

g

x

dx

d

_o

(

)

=

(

(

)

=

'

(

(

))

⋅

'

(

)

EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación, Calcula la diferencial de las siguientes funciones.

EJEMPLO 1. Sea

y

=

5

x

2

−

2

x

+

4

Calcula

dy

Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones. SOLUCIÓN:

)

4

(

)

2

(

)

5

(

x

2

d

x

d

d

dy

=

−

+

dx

xdx

dy

=

10

−

2

Factorizando

dx

obtenemos la diferencial de la función

y

=

5

x

2

−

2

x

+

4

dx

x

dy

=

(

10

−

2

)

Conclusión: La diferencial es

(

10

x

−

2

)

dx

EJEMPLO 2. Sea

x

y

=

1

, Calcula

dy

Hacemos a la función

_{= x}

−1

y

y utilizamos la regla de las potencias. SOLUCIÓN:

dx

x

dy

=

−

−2 y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:

dx

x

dy

=

−

1

₂ Conclusión: la diferencial es ₂

x

dx

dy

=

−

EJEMPLO 3. Sea

y

=

(

2

x

5

−

9

)(

4

x

2

+

2

)

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

[

]

[

]

[

x

x

x

]

dx

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

dy

72

20

56

20

40

72

16

)

10

)(

2

4

(

)

8

)(

9

2

(

4 6 4 6 6 4 2 5

−

+

=

+

+

−

=

+

+

−

=

Conclusión: la diferencial es Aquí se aplica la regla de la suma de funciones. Aquí se aplica la regla de potencias de funciones.

[

x

x

x

]

dx

dy

=

56

6

+

20

4

−

72

EJEMPLO 4. Sea

5

7

2 3

+

+

=

x

x

y

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

dx

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

x

dy

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

+

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

−

+

=

2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 3 2 2

)

5

(

14

15

)

5

(

14

2

15

3

)

5

(

)

2

)(

7

(

)

3

)(

5

(

Conclusión: la diferencial es

dx

x

x

x

x

dy

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

+

=

4 ₂ 2 ₂

)

5

(

14

15

EJEMPLO 5. Sea

(

6

)

7

9

5

−

= x

y

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

(

)

dx

x

x

dx

x

x

dy

6 6 5 5 6 6

)

9

5

(

210

)

30

(

9

5

7

−

=

−

=

Conclusión: la diferencial es

dy

=

210

x

5

(

5

x

6

−

9

)

6

dx

Aquí se aplica la regla del cociente de funciones.

Aquí se aplica la regla de la cadena.

EJERCICIO 2

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)

y

= x

4

2

−

3

13) ₂

)

2

3

(

2

−

=

x

y

2) 3 1

2x

y

=

3) 5 2

2

x

y

=

14)

3

5

2

+

=

x

y

4)

1

2

1

−

+

=

x

x

y

15)

2

1

+

−

=

x

x

y

5)

y

=

5

x

4

−

6

x

+

8

6) 5 3

)

1

2

9

(

−

+

=

x

x

y

7)

y

=

(

−

2

x

2

+

9

)(

5

x

−

2

)

8) ₃ 2

7

2

8

x

x

x

y

=

−

+

9)

=

3

2

+

5

−

1

₅

+

−

1

+

1

x

x

x

x

x

y

10) 2

)

7

2

(

+

= x

y

11)

y

=

9

x

+

1

12) 3

₂

1

−

=

x

y

TAREA 2 Página 33.

FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES. I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1)

d

[

Sen

(

g

(

x

))

]

=

g

´(

x

)

⋅

Cos

(

g

(

x

))

dx

2)

d

[

Cos

(

g

(

x

))

]

=

−

g

´(

x

)

⋅

Sen

(

g

(

x

))

dx

3)

d

[

Tan

(

g

(

x

))

]

=

g

´(

x

)

⋅

Sec

2

(

g

(

x

))

dx

4)

d

[

Cot

(

g

(

x

))

]

=

−

g

´(

x

)

⋅

Csc

2

(

g

(

x

))

dx

5)

d

[

Sec

(

g

(

x

))

]

=

g

´(

x

)

⋅

Sec

(

g

(

x

))

⋅

Tan

(

g

(

x

))

dx

6)

d

[

Csc

(

g

(

x

))

]

=

−

g

´(

x

)

⋅

Csc

(

g

(

x

))

⋅

Cot

(

g

(

x

))

dx

II. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL 1)

d

[ ]

e

g(x)

=

g

'

(

x

)

⋅

e

g(x)

dx

III. FUNCION LOGARITMO NATURAL

1)

[

]

(

)

0

)

(

)

(

'

)

(

(

=

⋅

dx

con

g

x

≠

x

g

x

g

x

g

Ln

d

EJEMPLO 1. Sea

y

=

Sen

(

3

x

2

−

7

)

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

dx

x

Cos

x

dy

=

6

⋅

(

3

2

−

7

)

Conclusión: la diferencial es

dy

=

6

x

⋅

Cos

(

3

x

2

−

7

)

dx

EJEMPLO 2 . Sea

=

x2+9x−3

e

y

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

dx

e

x

dy

=

(

2

+

9

)

⋅

x2+9x−3 Conclusión: la diferencial es

dy

=

(

2

x

+

9

)

⋅

e

x2+9x−3

dx

EJEMPLO 3 . Sea

y

=

Ln

(

5

x

3

+

3

x

2

+

x

+

8

)

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

dx

x

x

x

x

x

dy

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

+

=

8

3

5

1

6

15

2 3 2 Conclusión: la diferencial es

dx

x

x

x

x

x

dy

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

+

=

8

3

5

1

6

15

2 3 2

EJEMPLO 4 . Sea

y

=

Ln

(

Tan

(

x

3

−

5

))

, Calcula

dy

SOLUCIÓN:

dx

x

Sec

x

Csc

x

dx

x

Tan

x

Sec

x

dy

3

(

5

)

(

5

)

)

5

(

)

5

(

3

2 3 3 3 3 2 2

−

⋅

−

⋅

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

=

TAREA 3

Página 35.

EJERCICIO 3

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)

y

=

Sen

(

4

x

2

−

3

)

13) ₂

)

2

3

(

2

−

=

x

Sec

y

2)

(

2

3

)

1

x

Ln

y

=

3)

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

5 2

2

x

Tan

y

14)

)

3

5

(

2

+

=

x

Csc

y

4) 2 1 1 − +

=

x x

e

y

15)

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

=

2

1

x

x

Ln

y

5)

y

=

Sec

(

5

x

4

−

6

x

+

8

)

6)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

=

5 3

)

1

2

9

(

x

x

Csc

y

7)

y

=

Cos

[

(

−

2

x

2

+

9

)(

5

x

−

2

)

]

8)

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

+

=

8

2

2

₃

7

x

x

x

Ln

y

9) 1 1 5 1 5 2 3 + − + − +

=

x x _x x x

e

y

10) 2

)

7

2

(

+

=

Sen

x

y

11)

y

=

Cos

(

9

x

+

1

)

12) 3

₂

1

−

=

Tanx

y

1.1.3. Aplicaciones de la diferencial.

Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función.

PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.

SOLUCIÓN: Datos:

2

l

A

=

Fórmula del área de un cuadrado.

m

l

=

5

m

l

dl

=

∆

=

0

.

002

Calcular:

dA

=

Entonces: Como 2

l

A

=

su diferencial es:

dA

=

2

l

.

dl

y sustituyendo los datos tenemos:

dA

=

2

(

5

m

)(

0

.

002

m

)

por lo tanto 2

020

.

0

m

dA

=

Conclusión: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.

PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a

25

.

4

SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena aproximación a la función

y

=

f

(x

)

alrededor del punto de tangencia

x

₀, lo que nos permite afirmar que:

dy

x

f

x

f

(

)

≅

(

₀

)

+

donde

dy

=

f

'

(

x

₀

)

dx

Como el problema consiste en aproximar

25

.

4

, entonces, podemos definir una función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función

x

x

f

(

)

=

de igual manera escogeríamos un punto

x

₀ donde podamos conocer con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso es conveniente tomar

x

₀

=

25

, entonces si sabemos que:

dx

x

f

x

f

x

f

dy

x

f

x

f

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

0 0 0

+

≅

+

≅

5m

Haciendo: 1)

f

(

x

)

=

x

Como

f

(

x

)

=

x

entonces 2 1

)

(

x

x

f

=

por lo tanto

x

x

x

f

2

1

2

1

)

(

'

2 1

=

=

− 2)

x

x

f

2

1

)

(

'

=

3)

x

=

25

.

4

4)

x

0

=

25

5)

4

.

0

25

4

.

25

0

=

−

=

−

=

dx

dx

x

x

dx

Entonces:

04

.

5

4

.

25

04

.

0

5

)

4

.

0

)(

1

.

0

(

5

)

4

.

0

(

10

1

5

)

4

.

0

(

)

5

)(

2

(

1

5

)

4

.

0

(

25

2

1

25

4

.

25

)

(

'

)

(

)

(

_{0 0}

≅

+

≅

+

≅

+

≅

+

≅

+

≅

+

≅

f

x

f

x

dx

x

f

El valor real de

25

.

4

=

5

.

039841

lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora.

De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A =

Valor

real

−

Valor

aproximado

E.A

000159

.

0

000159

.

0

04

.

5

039841

.

5

=

−

=

−

=

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente una diezmilésima.

PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a

Ln

1

.

1

SOLUCIÓN: Hagamos: 1)

f

(

x

)

=

Ln

x

Como

f

(

x

)

=

Ln

x

entonces

x

x

f

'

(

)

=

1

2)

x

x

f

'

(

)

=

1

3)

x

=

1

.

1

4)

x

0

=

1

5)

1

.

0

1

1

.

1

0

=

−

=

−

=

dx

dx

x

x

dx

Entonces:

1

.

0

1

.

1

1

.

0

0

)

1

.

0

(

1

0

)

1

.

0

(

1

1

1

1

.

1

)

(

'

)

(

)

(

_{0 0}

≅

+

≅

+

≅

+

≅

+

≅

Ln

Ln

Ln

dx

x

f

x

f

x

f

El valor real de

Ln

1

.

1

=

0

.

0953

lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora.

De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A =

Valor

real

−

Valor

aproximado

E.A

00047

.

0

00047

.

0

1

.

0

0953

.

0

=

−

=

−

=

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente cuatro diezmilésimas.

PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia

∆

V

entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la siguiente figura:

Calcularemos

∆

V

a través de

dV

recordando que la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

h

r

V

=

π

2

Como

h

=

1

m

=

100

cm

entonces tenemos una función para el volumen del cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente manera: 2

100

)

(

r

r

V

=

π

Por lo tanto:

dr

r

dV

=

200

π

Si sustituimos

r

=

50

y

dr

=

3

, en

dV

, obtenemos: 3

77961

.

94247

)

3

)(

50

(

200

cm

dV

=

=

π

Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito cilíndrico.

V

∆

PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a

Cos

30

.

5

º

SOLUCIÓN: Hagamos: 1)

f

(

x

)

=

Cos

x

Como

f

(

x

)

=

Cos

x

entonces

f

'

(

x

)

=

−

Sen

x

2)

f

'

(

x

)

=

−

Sen

x

3)

x

=

30

.

5

º

4)

x

₀

=

30

º

5)

º

5

.

0

º

30

º

5

.

30

0

=

−

=

−

=

dx

dx

x

x

dx

Para poder aproximar correctamente el valor de

Cos

30

.

5

º

es importante que el

º

5

.

0

=

dx

lo expresemos en radianes, es decir,

dx

rad

360

π

=

. Entonces:

87038

.

0

720

3

360

º

5

.

30

720

2

3

360

2

1

2

3

360

º

30

º

30

º

5

.

30

)

(

'

)

(

)

(

0 0

=

+

≅

+

≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

≅

+

≅

π

π

π

π

Cos

Sen

Cos

Cos

dx

x

f

x

f

x

f

El valor real de

Cos

30

.

5

º

=

0

.

86162

lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora.

De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A =

Valor

real

−

Valor

aproximado

E.A

00876

.

0

00876

.

0

87038

.

0

86162

.

0

=

−

=

−

=

Recuerda que: 180º=

π

rad

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente ocho milésimas.

EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analítica típica de problemas de aproximación al incremento, utilizando la diferencial y compara el proceso de solución con tu compañero.

1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2m al aumentar el lado 0.003m.

2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor.

3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º. 4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado

aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?

5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:

A)

9

.

5

B) 5

1

.

32

C)

e

0.5 D) 3

₆₄

_.

₀₁

E)

Sen

45

.

5

º

F)

Cos

60

.

25

º

G)

Tan

30

.

75

º

H)

Ln

1

.

3

I)

37

J)

5

.

4

1

EJERCICIO 4 TAREA 4 Página 37

INSTRUCCIONES: Hallar

∆

y

y

dy

, y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

,

1

1

)

(

)

10

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

,

1

)

(

)

9

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

0

1

2

)

(

)

8

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

4

)

(

)

7

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

0

)

(

)

6

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

1

)

(

)

5

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

1

3

4

)

(

)

4

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

1

1

)

(

)

3

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

3

)

(

)

2

001

.

0

,

01

.

0

,

1

.

0

,

5

.

0

,

1

,

64

)

(

)

1

2 2 2 3

=

=

∆

=

=

=

=

∆

=

=

=

=

−

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

−

=

=

=

−

=

=

=

=

=

=

∆

=

=

dx

x

x

para

x

x

f

dx

x

x

para

x

x

f

dx

y

x

para

x

x

x

f

dx

y

x

para

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Tan

x

f

dx

y

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para

e

x

f

dx

y

x

para

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Ln

x

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dx

y

x

para

x

x

x

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dx

y

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para

x

x

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dx

y

x

para

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Cos

x

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dx

x

x

para

x

x

f

x

π

π

Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial

dy

,de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

10

2

5

)

1

y

=

x

3

−

x

2

+

x

−

1

2

1

)

11

−

=

x

y

2

1

1

)

2

5 2 5

−

−

+

=

x

x

x

y

3 2

9

5

)

12

x

x

x

y

=

−

+

)

1

2

)(

9

4

(

)

3

y

=

x

7

−

x

3

+

₁₃

₎

_y

=

8

₍

₃

_x

2

−

₁

₎

5

5

3

2

)

4

₂ 6

+

+

−

=

x

x

x

y

14

)

(

3

1

)(

5

)

3 10

−

+

=

x

x

y

4

2

8

)

5

₂ 3

+

+

−

=

x

x

x

y

5 2

2

4

1

)

15

+

=

x

y

5

15

2

)

6

2

−

−

−

=

x

x

x

y

8

7

)

16

4

+

=

x

y

3 2

)

5

3

(

)

7

y

= x

−

17

)

y

=

6

x

3

−

4

x

2

−

x

+

3

3

₂

)

8

y

= x

−

4 3

)

18

x

x

x

y

=

+

7

1

)

9

+

=

x

y

6

5

2

)

19

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

x

x

y

6 2

)

9

(

3

)

10

+

=

x

y

3 7

)

1

2

(

)

6

3

(

)

20

y

=

x

+

x

−

Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 2

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________