FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA, METALÚRGIA
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA, METALÚRGIA
Y AMBIENTAL
Y AMBIENTAL
Mg.
Mg. RONALD
RONALD RODRÍGUEZ
RODRÍGUEZ ESPINOZA
ESPINOZA
MECÁNICA DE FLUIDOS
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
La mecánica de fluidos envuelve un amplio rango de aplicaciones que tienen en común La mecánica de fluidos envuelve un amplio rango de aplicaciones que tienen en común la manipulación artificial de los fluidos en beneficio del hombre o del medio ambiente. la manipulación artificial de los fluidos en beneficio del hombre o del medio ambiente. Tales aplicaciones van desde la distribución del agua para riego o consumo humano, la Tales aplicaciones van desde la distribución del agua para riego o consumo humano, la disposición de desechos líquidos, la producción de energía eléctrica, los procesos de disposición de desechos líquidos, la producción de energía eléctrica, los procesos de transporte de fluidos, la utilización de vehículos de transporte y los procesos naturales transporte de fluidos, la utilización de vehículos de transporte y los procesos naturales atmosféricos u oceánicos.
atmosféricos u oceánicos.
Por estas razones, el conocimiento y el entendimiento de los principios y conceptos Por estas razones, el conocimiento y el entendimiento de los principios y conceptos básicos de la mecán
básicos de la mecánica de fluidos son esenciaica de fluidos son esenciales para el análisis y el diseño de cualqules para el análisis y el diseño de cualquier ier sistema en el cual un fluido sea el medio de trabajo.
INDICE
INDICE
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ... ... 22 INDICE INDICE... ... 33 MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS... ... 66 I.I. SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES... ... 66
A.
A. Sistema Internacional de UnidadesSistema Internacional de Unidades... ... 66
1.
1. Unidades baseUnidades base... ... 66
2.
2. Unidades SuplementariasUnidades Suplementarias... ... 77
3.
3. Unidades derivadasUnidades derivadas... ... 88
4.
4. PrefijosPrefijos... ... 88
B.
B. Sistema Británico de UnidadesSistema Británico de Unidades... ... 99
II.
II. PRESIÓN DE UN FLUIDOPRESIÓN DE UN FLUIDO... ... 1010
A.
A. Leyes de PascalLeyes de Pascal... ... 1010
B.
B. Presión absoluta y manométricaPresión absoluta y manométrica... ... 1111
C.
C. Manómetros y barómetrosManómetros y barómetros... ... 1212
D.
D. Carga de un fluidoCarga de un fluido... ... 1313
III.
III. PROPIEDADES DE UN FLUIDOPROPIEDADES DE UN FLUIDO... ... 1515
A.
A. Densidad, Peso Específico y Gravedad EspecíficaDensidad, Peso Específico y Gravedad Específica... 15... 15 1
1.. Densidad: (ρ) Densidad: (ρ)... ... 1515 2
2.. Peso Específico: (γ) Peso Específico: (γ)... ... 1616 3
3.. Gravedad Específica: (s.g.)Gravedad Específica: (s.g.)... ... 1616 4.
4. Volumen específico: ( Volumen específico: ( V V ˆˆ ) )... ... 1717
B.
B. CompresibilidadCompresibilidad... ... 1818
C.
C. ViscosidadViscosidad... ... 1919 1
1.. Viscosidad dinámicaViscosidad dinámica... ... 1919 2
2.. Viscosidad cinemáticaViscosidad cinemática... ... 2121 3
3.. FFlluiuido Nedo Newwtotonianoniano... ... 2121 4
4.. FFlluiuido do iidedealal... ... 2121 5
5.. Diagrama Reológico o ReogramaDiagrama Reológico o Reograma... ... 2121
IV.
IV. FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACIÓN DE BERNOULLIFLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACIÓN DE BERNOULLI... 24... 24
A.
A. Rapidez de flujo de fluidoRapidez de flujo de fluido... ... 2424 1
3
3.. Rapidez de flujo de Masa (Rapidez de flujo de Masa ( M M ))... ... 2525
B.
B. Ecuación de continuidadEcuación de continuidad... ... 2626
C.
C. Flujo en secciones no circularesFlujo en secciones no circulares... ... 3030
D.
D. Conservación de la EnergíaConservación de la Energía – – Ecuación de BernoulliEcuación de Bernoulli... 31... 31 1
1.. EEnenergía Prgía Pototeencial ncial (E(EPP))... ... 3131
2
2.. EEnenergía Cirgía Cinénética (Etica (ECC))... ... 3131
3
3.. EEnenergrgía día de e FFlujo (EFlujo (EF ))... ... 3232
E.
E. EXPANSIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: ECUACIÓN GENERAL DEEXPANSIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA
LA ENERGÍA... ... 3535
1.
1. Dispositivos mecánicosDispositivos mecánicos... ... 3535
2.
2. Fricción e un fluidoFricción e un fluido... ... 3636
3.
3. Ecuación General de la EnergíaEcuación General de la Energía... ... 3737
4.
4. Potencia requeridas por bombasPotencia requeridas por bombas... ... 3838
5.
5. Eficiencia Mecánica de las BombasEficiencia Mecánica de las Bombas... ... 3838
6.
6. Potencia suministrada a motores de fluidoPotencia suministrada a motores de fluido... 39... 39
7.
7. Eficiencia Mecánica de los Motores de fluidosEficiencia Mecánica de los Motores de fluidos... 39... 39
V.
V. NÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTONÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO... 42... 42
A.
A. Flujo Laminar y Flujo TurbulentoFlujo Laminar y Flujo Turbulento... ... 4242
B.
B. Número de ReynoldsNúmero de Reynolds... ... 4343
C.
C. Radio hidráulico para secciones transversales no circularesRadio hidráulico para secciones transversales no circulares... 45... 45
D.
D. Número de Reynolds para secciones transversales no circulares Número de Reynolds para secciones transversales no circulares cerradascerradas... 46... 46
VI.
VI. PERDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓNPERDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN... 47... 47
A.
A. Ecuación de Darcy-WeisbachEcuación de Darcy-Weisbach... ... 4747
B.
B. Pérdidas de fricción en un flujo laminarPérdidas de fricción en un flujo laminar... ... 4848
C.
C. Pérdidas de fricción en un flujo turbulentoPérdidas de fricción en un flujo turbulento... ... 4848
D.
D. Diagrama de MoodyDiagrama de Moody... ... 4949
E.
E. Ecuaciones del factor de fricciónEcuaciones del factor de fricción... ... 5050 1
1.. FFlujlujo Lo Laamminarinar... ... 5050 2
2.. FFllujo Turbujo Turbuleulentntoo... ... 5151
VII.
VII. PÉRDIDAS MENORESPÉRDIDAS MENORES... ... 5555
A.
A. Primer Método: Ecuación Fundamental de las PPrimer Método: Ecuación Fundamental de las Pérdidas Menoresérdidas Menores... 55... 55 1
1.. Dilatación súbitaDilatación súbita... ... 5656 2
4. Contracción Gradual... 61
5. Perdida de entrada... 62
6. Pérdidas por bifurcaciones... 64
a) Divergencia... 64
b) Convergencia... 64
7. Coeficientes de resistencia para válvulas y junturas... 65
B. Segundo Método: Longitud de tubería equivalente... 67
BIBLIOGRAFÍA... 73
ANEXOS... 74
I. PROPIEDADES DEL AGUA... 74
II. PROPIEDADES DE LÍQUIDOS COMUNES:... 76
III. RUGOSIDAD DE MATERIALES COMUNMENTE USADOS EN CONDUCTOS. 78 IV. DIMENSIONES DE TUBOS DE ACERO: ... 79
V. COEFICIENTES DE PÉRDIDAS DE DIVERSAS VÁLVULAS Y ACCESORIOS . 81 VI. DIAGRAMA DE MOODY:... 82
MECÁNICA DE FLUIDOS
La mecánica de fluidos estudia el comportamiento de los fluidos, ya sea en reposo (estática de fluidos) o en movimiento (dinámica de fluidos).
Fluido: Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un
esfuerzo cortante (esfuerzo tangencial) no importa cuan pequeño sea este. Los fluidos pueden ser:
Líquidos: Se les considera incompresibles. Ejemplo: el agua, aceite, gasolina, etc. Gases o vapores: Son compresibles. Ejemplo: El aire, oxígeno, nitrógeno, etc. I. SISTEMA DE UNIDADES:
A. Sistema Internacional de Unidades: 1. Unidades base:
En la siguiente tabla se muestran las siete unidades básicas, mutualmente independientes entre sí, en las cuales se fundamenta el SI.
Magnitud Unidad Base del SI Definición
Nombre Símbolo
longitud metro m
Es la longitud del trayecto del recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos.
masa kilogramo kg
Es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo sancionado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1889; y depositado en el pabellón de Breteuil, de Sévres.
tiempo segundo s
Es la unidad de tiempo y expresa la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del
corriente
eléctrica amperio A
Es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.
temperatura
termodinámica kelvin K
Es la fracción 1/276.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
cantidad de
sustancia mol mol
Es la unidad de cantidad de materia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se use el mol, deben especificarse las entidades de los elementos que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas, o grupos especificados de esas partículas.
intensidad
luminosa candela cd
Representa la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540×1012 hertz y cuya intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por estereorradián.
2. Unidades Suplementarias:
Además, el SI contiene dos unidades suplementarias, las cuales se definen geométricamente y pueden ser adimensionales, las que para fines de cálculo se considera la unidad.
Magnitud
Unidad Suplementaria
del SI Definición
Nombre Símbolo
ángulo plano radián rad
Es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo y que interceptan sobre la circunferencia de este círculo, un arco de longitud igual a la del radio.
ángulo sólido estereorradián sr
Es el ángulo sólido que tiene su vértice en el centro de una esfera, y que intercepta sobre la superficie de esta esfera un área igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.
3.
3. Unidades derivadas:Unidades derivadas:
Las unidades del SI derivadas se expresan algebraicamente en términos de Las unidades del SI derivadas se expresan algebraicamente en términos de unidades base, o bien, combinando las unidades base con las unidades unidades base, o bien, combinando las unidades base con las unidades suplementarias. Los símbolos de las unidades derivadas se obtienen mediante suplementarias. Los símbolos de las unidades derivadas se obtienen mediante operaciones matemática
operaciones matemáticas de s de multiplicación y división.multiplicación y división. 4.
4. Prefijos:Prefijos:
En el SI los múltiplos y submúltiplos de las unidades se designan con prefijos. En el SI los múltiplos y submúltiplos de las unidades se designan con prefijos. Mediante ellos se evita el uso de valores numéricos muy largos o muy pequeños. Mediante ellos se evita el uso de valores numéricos muy largos o muy pequeños. Un prefijo se une directamente al nombre de la unidad o al símbolo de la misma1. Un prefijo se une directamente al nombre de la unidad o al símbolo de la misma1. Cuando los prefijos se unen a las unidades SI, las unidades así formadas se Cuando los prefijos se unen a las unidades SI, las unidades así formadas se
denominan “múltiplos y submúltiplos de unidades SI” a fin de distinguirlas de las denominan “múltiplos y submúltiplos de unidades SI” a fin de distinguirlas de las
unidades SI del sistema
unidades SI del sistema coherente.coherente.
Prefijo
Prefijo Símbolo Símbolo Factor Factor ValorValor yotta yotta Y Y 10102424 1 000 000 000 000 000 000 000 0001 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta zetta Z Z 10102121 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000000 000 exa exa E E 10101818 1 000 000 000 000 000 0001 000 000 000 000 000 000 peta peta P P 10101515 1 000 000 000 000 0001 000 000 000 000 000 tera tera T T 10101212 1 000 000 000 0001 000 000 000 000 giga giga G G 101099 1 000 000 0001 000 000 000 mega mega M M 101066 1 000 0001 000 000 kilo kilo k k 101033 1 0001 000 hecto hecto h h 101022 100100 deca deca da da 101011 1010 deci deci d d 1010-1-1 0,10,1 centi centi c c 1010-2-2 0,010,01 mili mili m m 1010-3-3 0.0010.001 micro micro µ µ 1010-6-6 0,000 0010,000 001 nano nano n n 1010-9-9 0,000 000 0010,000 000 001 pico pico p p 1010-12-12 0,000 000 000 0010,000 000 000 001 femto femto f f 1010-15-15 0,000 000 000 000 0010,000 000 000 000 001 atto atto a a 1010-18-18 0,000 000 000 000 000 0010,000 000 000 000 000 001 zepto zepto z z 1010-21-21 0,000 000 000 000 000 000 0010,000 000 000 000 000 000 001 yocto yocto y y 1010-24-24 0,000 000 000 000 000 000 000 0,000 000 000 000 000 000 000 001001
B.
B. Sistema Británico de Unidades:Sistema Británico de Unidades: También conocido como
También conocido como sistema sistema de unidades de unidades gravitacional inglésgravitacional inglés oo sistema sistema libra- libra- pie-segundo
pie-segundo..
longitud pie
longitud pie
tiempo
tiempo Segundo Segundo (s)(s) masa
masa Slug Slug (lb.s(lb.s22/pie)/pie) fuerza
fuerza Libra Libra (lb)(lb) También
También se ese emplea mplea la unidala unidadd lblbmm(libras(libras – – masa) como la unidad de masa, en lugar masa) como la unidad de masa, en lugar
de slug; por lo que la fuerza se denota como
de slug; por lo que la fuerza se denota como lblb f f . La equivalencia numérica de la. La equivalencia numérica de la lblb f f
y
y lala lblbmm se aplica solamente cuando el valor dese aplica solamente cuando el valor de g g (gravedad) es igual al valor (gravedad) es igual al valor
estándar estándar ..
Utilizando la ley de Newton: Utilizando la ley de Newton:
cc g g F F w w mm g g (1)(1) Donde: Donde: w = peso. w = peso. g = gravedad g = gravedad
ggcc= constante de conversión= constante de conversión
Relación g/gc : Relación g/gc : 9,8066 9,8066 980,66 980,66 1 1 cc cc f f c c mm g g N N g g Kg Kg g g dinadina g g g g lb lb g g g g lblb g = 9,8066 m/s g = 9,8066 m/s22 g = 980,66 cm/s g = 980,66 cm/s22 2 2 // g gcc 2 2 // g gcc 2 2 // g g cc 3322,, 117744 Kg Kg m m ss N N g g cm cm ss dina dina llb b mm ppiie e ss lb lb f f
II.
II. PRESIÓN DE UN FLUIDO:PRESIÓN DE UN FLUIDO:
La presión se define como la cantidad de fuerza ejercida sobre un área unitaria de La presión se define como la cantidad de fuerza ejercida sobre un área unitaria de una sustancia: una sustancia: F F P P A A (2)(2) A.
A. Leyes de Pascal:Leyes de Pascal:
Blaise Pascal, un científico del siglo XVII, describió dos importantes principios Blaise Pascal, un científico del siglo XVII, describió dos importantes principios acerca de la presión:
acerca de la presión:
La presión
La presión actúa uniformemente actúa uniformemente en todas en todas direcciones direcciones sobre un sobre un pequeño volumenpequeño volumen de fluido.
de fluido. En
En un un fluido fluido confinado confinado entre entre fronteras fronteras sólidas, sólidas, la la presión presión actúaactúa perpendicularmente a la frontera.
perpendicularmente a la frontera.
En la siguiente figura se muestra la
En la siguiente figura se muestra la columna estacionaria de un fluido de altura hcolumna estacionaria de un fluido de altura h22 yy
una sección transversal de área constante A, donde A=A
una sección transversal de área constante A, donde A=A00=A=A11=A=A22. La presión por . La presión por
encima del fluido es P
encima del fluido es P00, es decir podría ser la presión de la atmósfera que lo rodea., es decir podría ser la presión de la atmósfera que lo rodea.
En cualquier punto del fluido, digamos h
En cualquier punto del fluido, digamos h11, éste debe soportar todo el f, éste debe soportar todo el fluido que estaluido que esta
por encima de dicho p
por encima de dicho punto. Se puede deunto. Se puede demostrar que en cualquier pumostrar que en cualquier punto de un fluidonto de un fluido inmóvil o estático, las
inmóvil o estático, las fuerzas son iguales en todas las fuerzas son iguales en todas las direcciones. Además, para undirecciones. Además, para un fluido en reposo, la presión es igual en todos los puntos a una misma altura.
fluido en reposo, la presión es igual en todos los puntos a una misma altura.
0 0
A
A
1 1A
A
A
A
2 2P
P
1 1 P P 0 0 P P 1 1 h h 3 3 h h 2 2 h hLa masa total del fluido para la altura h
La masa total del fluido para la altura h22y densidad ρ es:y densidad ρ es:
m m V V 2 2 m m A A hh (3)(3)
La fuerza total F del fluido sobre el área A2
La fuerza total F del fluido sobre el área A2 debida únicamente al fluido es:debida únicamente al fluido es:
F F m m g g 2 2 F F A A h h g g (4)(4) La presión P se define
La presión P se define como la fuerza/unidad de área:como la fuerza/unidad de área: 2 2 A A h h g g F F P P A A AA 2 2 P P h h g g (5)(5)
Esta es la presión sobre A
Esta es la presión sobre A22 debida a la masa de fluido que está encima. Sindebida a la masa de fluido que está encima. Sin
embargo, para obtener la presión total P
embargo, para obtener la presión total P22 sobre Asobre A22 debe añadirse la presión Pdebe añadirse la presión P00 queque
soporta todo el líquido: soporta todo el líquido:
2 2 00 P P P P P P 2 2 2 2 00 P P h h g g P P (6)(6)
La ecuación (6) es la expresión fundamental para calcular la presión de un fluido a La ecuación (6) es la expresión fundamental para calcular la presión de un fluido a cualquier profundidad. Para calcular P
cualquier profundidad. Para calcular P11::
1
1 1 1 00
P
P h h g g P P (7)(7)
La diferencia de presión entre los puntos 2 y 1 es: La diferencia de presión entre los puntos 2 y 1 es:
2
2 11 22 00 11 00
P
P P P h h g g P P h h g g P P En Unidades del Sistema Internaciona
En Unidades del Sistema Internacional:l:
2
2 11 22 11
P
P P P g g h h hh (8)(8) En Unidades del Sistema Ingles:
En Unidades del Sistema Ingles:
2 2 11 22 11 cc g g P P P P h h hh g g (9)(9)
Puesto que lo que determina la presión de un fluido es la altura vertical del mismo, Puesto que lo que determina la presión de un fluido es la altura vertical del mismo, la forma del recipiente no afecta la presión.
la forma del recipiente no afecta la presión. B.
B. Presión absoluta y manométrica:Presión absoluta y manométrica:
Cuando se mide la presión de un fluido, se debe hacer la medición en relación con Cuando se mide la presión de un fluido, se debe hacer la medición en relación con alguna presión de referencia que por lo general es la presión atmosférica. A esta alguna presión de referencia que por lo general es la presión atmosférica. A esta
Ambas presiones se relacionan por la siguiente ecuación: abs man abs
P P P (10)
C. Manómetros y barómetros:
Los manómetros son aparatos que sirven para medir la presión y que utilizan la
relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación en un fluido estático.
Fig.: Manómetro
Losbarómetrosson dispositivos que se utilizan para medir la presión atmosférica.
D. Carga de un fluido:
Es común expresar presiones en términos de carga en metros o pies de un cierto fluido. Esta carga o altura en m ó pies de un fluido es aquella que ejerce la misma presión que las presiones que representa.
En Unidades del Sistema Internacional:
carga P
h
g (11)
En Unidades del Sistema Ingles:
c
P g h
g (12)
Problema 1: Para el manómetro diferencial que se muestra en la figura siguiente,
calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. La gravedad específica del aceite es de 0,85. A B Agua Aceite 9pulg 10pulg 32pulg Solución:
Considerar los puntos 1 y 2, que por estar a un mismo nivel, están a la misma presión:
A B Agua Aceite 9pulg 10pulg 32pulg 1 2 1 2 P P
13pulg 9 pulg 32 pulg
A Aceite Agua B Aceite
P g g P g
13pulg 32pulg 9 pulg
B A Aceite Agua P P g g 0,85 19pulg 9 pulg B A Agua Agua P P g g 0,85 19pulg 9pulg B A Agua P P 3 3 3 3 1pie 62, 4 7,15 pulg pie 12 pulg f B A lb P P 2 0,258 pulg f B A lb P P
Problema 2: El manómetro de mercurio de la figura siguiente está conectado a la
succión y a la descarga de una bomba para agua (el lado izquierdo a la succión y el derecho a la descarga). Dando por sentado que la succión y la descarga están en el mismo nivel, determinar el incremento de presión originado por la bomba.
Altura de la succión y la descarga a Agua Mercurio s.g.=13,6 3 h 2 15 h cm 1 h Solución:
La presión en el punto adebido a la columna de líquido en el lado izquierdo es:
2 3 2 1
a succión H O Hg
P P g h g h h
La presión en el punto adebido a la columna de líquido en el lado derecho es:
2 descarga 3 2 1 a H O Hg P P g h h g h Restando: 2 arg 3 0 P succión P desc a H O g h h3 h 2 Hg g h h2 1 h1 2 2 arg 2 2 2 desc a succión Hg H O Hg H O P P g h g h g h arg 9,81 2 0,15 13,6 1000 3 1000 3 desc a succión m kg kg P P m s m m arg 18540,9 desc a succión P P Pa
III. PROPIEDADES DE UN FLUIDO:
A. Densidad, Peso Específico y Gravedad Específica:
1. Densidad:(ρ)
La densidad de un fluido es su masa por unidad de volumen:
m
La densidad se mide en recipientes cuya capacidad se conoce exactamente, llamados picnómetros.
Unidades en el Sistema Internacional: Kg 3
m
Unidades en el Sistema Ingles: slug 3
pie
2. Peso Específico: (γ)
El peso específico de un fluido es su peso por unidad de volumen, es decir representa la fuerza ejercida por la gravedad sobre una unidad de volumen de fluido..
W m g
g
V V (14)
Unidades en el Sistema Internacional: N 3
m
Unidades en el Sistema Ingles: lb f 3
pie
Las densidades y los pesos específicos de los fluidos varían con la temperatura.
3. Gravedad Específica: (s.g.)
A menudo resulta conveniente indicar el peso específico o densidad de un fluido en términos de su relación con el peso específico o densidad de un fluido de referencia común, el cual por lo general es agua pura a 4 ºC. A dicha temperatura el agua posee su densidad más grande.
La gravedad específica puede definirse de dos maneras:
1º Como el cociente de la densidad de una sustancia entre la densidad del agua a 4ºC. 2 sustancia ,4 º . . H O C s g (15)
2º Como el cociente del peso específico de una sustancia entre el peso específico del agua a 4 ºC.
sustancia
. .
Las propiedades del agua a 4 ºC son constantes y tienen los valores siguientes:
En Unidades del Sistema Internacional:
2 ,4º 1000 3 , 2 ,4º 9,81 3 H O C H O C
Kg KN
m m
En Unidades del Sistema Ingles
2 ,4º 1,94 3 , 2 , 4º 62, 4 3 f H O C H O C lb slugs pies pies
Sin embargo, las propiedades de los fluidos varían con la temperatura. En general, la densidad (y por lo tanto el peso específico y la gravedad específica) disminuye cuando aumenta la temperatura.
4. Volumen específico: (V ˆ )
Es el volumen ocupado por una unidad de masa de fluido. Se aplica frecuentemente a los gases.
El volumen específico es el reciproco de la densidad:
1
ˆ
V (17)
Unidades en el Sistema Internacional:
3
ˆ
m V
kg Unidades en el Sistema Ingles:
3
ˆ pie
V
slug
Problema 1: Una gasolina dada pesa 46 lb f /pie3 , ¿Cuáles son los valores de su
densidad, volumen específico y gravedad específica?
Solución: 3 46 lbf pie 3 3 2 46 1, 429 32,174 f lb slug pie pie g pie s 3 1 1 pie
2 3 ,4 º 3 1, 429 . . 0, 737 1,94 gasolina H O C slug pie s g slug pie
Problema 2: Un recipiente contiene 85 L de agua a 10 ºC y presión atmósférica. Si
se calienta el agua hasta 70 ºC.
a) ¿Cuál será el cambio porcentual en el volumen?
b) ¿Qué cantidad de agua se debería quitar para mantener el volumen en su valor inicial?
Solución: a) De las tablas del apéndice:
2 ,10º 9,81 3 H O C kN m y H O 2 ,70ºC 9,59 3 kN m A 10 ºC: 3 3 10 º 3 1 85 0, 085 10 C m V L m L
El peso del fluido es: 3
3 9,81 kN 0, 085 0,834 W V m kN m A 70 ºC: 3 70º 3 0,834 0,08695 9,59 C W kN V m kN m
El cambio porcentual es: 70º 10º 10º 10º 0,08695 0,08500 100 100 100 2, 29 % 0,08500 C C C C V V V V V b) Se debe quitar: 3 0,08695 0,08500 0,00195m B. Compresibilidad:
La compresibilidad se refiere al cambio en l volumen de una sustancia cuando hay un cambio en la presión que experimenta. La cantidad usada normalmente para medir este fenómeno es el módulo volumétrico de elasticidad o, simplemente, módulo volumétrico, E .
P
donde:
P = Presión V = Volumen
Esta ecuación no se aplica normalmente a los gases. En mecánica de fluidos se considera:
Los líquidos son sólo ligeramente compresibles. Los gases son fácilmente compresibles.
C. Viscosidad:
La viscosidad es una medida de de la resistencia del fluido al corte cuando el fluido está en movimiento (debe recordarse que un fluido no puede resistir esfuerzos de corte sin moverse, y un sólido si).
Los líquidos no son perfectamente fluidos, sino viscosos, es decir, que para separar dos porciones juntas de un líquido hay que vencer el esfuerzo que opone precisamente la cohesión y que constituye su viscosidad.
1. Viscosidad dinámica:
Cuando un fluido se mueve, se desarrolla en el una tensión de corte, cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte , puede definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia.
F
y
F
x
Una condición fundamental que se presenta cuando un fluido real está en contacto con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera. Entonces en la figura, el fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y el que está en contacto con la superficie superior tiene velocidad . Si la distancia entre las dos superficies es pequeña, entonces la
rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es lineal: d
dy (20)
donde:
= viscosidad dinámica del fluido. = esfuerzo cortante.
d
dy = gradiente de velocidad o rapidez de corte. En Unidades del Sistema Internacional:
2 2
/
N m N Kg
s Pa s
m m s m m s
En Unidades del Sistema Ingles:
2 ó
lb s slug
pies pie s
2 0,1 0, 001 1 100 dina s g poise Pa s cm cm s poise centipoise Pa s mPa s 2. Viscosidad cinemática:
Se define como la razón de la viscosidad absoluta a la densidad del fluido. (21)
En Unidades del Sistema Internacional:
2
m s En Unidades del Sistema Ingles:
2
pies s En Unidades del Sistema cgs (obsoleto):
2 2 4 2 6 1 10 1 10 100 cm m stoke s s stoke m centistoke s 3. Fluido Newtoniano:
Los fluidos que obedecen la ley de viscosidad de Newton (ecuación 17) se llaman fluidos newtonianos. En los fluidos newtonianos existe una relación lineal entre el
esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad. Esto significa que la viscosidad (μ)
es constante e independiente de la velocidad cortante.
4. Fluido ideal:
Se trata de un fluido en el cual los efectos debidos a la viscosidad, a la tensión superficial y a la presión de vapor son cero. Un líquido ideal es incompresible.
Para fluidos no newtonianos, la relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad no es lineal, es decir la viscosidad no permanece constante.
Algunos líquidos no obedecen esta ley simple de Newton, por ejemplo las pastas, lechadas, altos polímeros y emulsiones.
Problema 1: Si la viscosidad del agua a 68 ºF es 0,01008 poise, calcule su
viscosidad absoluta ( ) en lb f .s/pie2. Si la gravedad específica a 68 ºF es 0,998,
calcule su viscosidad cinemática ( ) en pie2.s.
Solución: 1 lb f 444800dinas 1 pie 30, 48cm 2 2 1 1 30,48 0,01008 1 444800 1 f dina s lb cm cm poise
poise dinas pie
5 2 2,11 10 lb sf pie 5 2 2 3 2,11 10 1 0, 998 1,94 1 f f lb s pie lb s slug pie pie slug
2 5
1,09 10 pie
s
Problema 2: El fluido que fluye en la figura tiene una viscosidad absoluta ( ) de 0,0010 lb f .s/pie2 y gravedad especifica de 0,913. Calcule el gradiente de velocidad
y la intensidad de esfuerzo cortante en la frontera, a 1, 2 y 3 pulgadas de la frontera, asumiendo:
a) Una distribución de velocidad de línea recta, y
b) Una distribución de velocidad parabólica.la parábola en el dibujo tiene su vértice en A y el origen en B. A B v v 3 pulg y pulg 45 s v Solución: a) Para una velocidad de línea recta:
1 45 15 3 dv s dy dv dy
Para y=0 (es decir, en la frontera), v 0 y 1
15 dv s dy 1 2 2 0, 0010 lb f s 15 s 0, 015 lbf pie pie
Para y=1, 2 y 3 pulgadas, se tiene también: 1
15 dv s dy y 0,015 2 f lb pie respectivamente.
2
45 3
v a y
En el punto v 0, y 0 se tiene a 5 por lo que al reemplazar en la ecuación
anterior se tiene: 2 45 5 3 v y Derivando: 10 3 dv y dy Además: 0,0010 dv dy
Para y 0pulg,v 0pulg
s , 1 30 dv s dy y 0,03 2 f lb pie
Para y 1pulg,v 25pulg
s , 1 20 dv s dy y 0,02 2 f lb pie
Para y 2pulg,v 40pulg
s , 1 10 dv s dy y 0,01 2 f lb pie
Para y 3pulg,v 45pulg
s , 1 0 dv s dy y 0 2 f lb pie
IV. FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACIÓN DE BERNOULLI:
La mayoría de problemas concernientes al flujo de fluidos en conductos y tubos implican la predicción de las condiciones en una sección de un sistema cuando se conocen las condiciones de alguna otra sección.
A. Rapidez de flujo de fluido:
La cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar mediante tres términos que definimos a continuación:
1. Rapidez de flujo de volumen (Q):
Q A v (22)
donde:
A= área de la sección.
v= velocidad promedio del flujo. En Unidades del Sistema Internacional:
3
m Q
s En Unidades del Sistema Ingles:
3
pies Q
s
2. Rapidez de flujo de peso (W):
W Q (23)
donde:
γ = peso específico del fluido. Q = caudal o flujo volumétrico. En Unidades del Sistema Internacional:
N W
s En Unidades del Sistema Ingles:
f
lb W
s
3. Rapidez de flujo de Masa ( M ):
M v A (24)
M Q (25)
A =área de la sección.
Q = caudal o flujo volumétrico. En Unidades del Sistema Internacional:
Kg M
s En Unidades del Sistema Ingles:
slugs M s Conversiones usadas: 3 6 3 3 5 3 1 16, 67 10 min 1 60 000 min 1 3, 785 min min 1 6,309 10 min 1 449 min L m s m L s gal L gal m s pie gal s B. Ecuación de continuidad:
Considere el tubo de la figura, en donde un fluido fluye de la sección 1 a la sección 2 con una rapidez constante. Esto es la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado es constante. En este caso decimos que se tiene un
1
v
2v
F l u
j o
1
2
1z
2z
1P
2P
Ahora bien, si no se agrega fluido, se almacena o se retira entre la sección 1 y la sección 2, entonces la masa de fluido que pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:
1 2
M M (26)
Pero M A v , entonces tenemos:
1 1 1 A v 2 2 2A v (27)
La ecuación (26) es un planteamiento matemático del principio de continuidad y se conoce como ecuación de continuidad . Se utiliza para relacionar la densidad del
fluido, el área de flujo y la velocidad de flujo en dos secciones de un sistema en el que existe un flujo estable. Es válida para todos los fluidos, ya sean líquidos o gases.
Si el fluido que se encuentra en el tubo de la figura 1 es un líquido que puede ser considerado incompresible, entonces los términos ρ1 y ρ2 de la ecuación (26) son
iguales. La ecuación entonces queda:
1 1 2 2
La ecuación (27) es la ecuación de continuidad aplicada a líquidos; establece que para un flujo estable, la rapidez de flujo de volumen es la misma en cualquier
sección. También se le puede utilizar, con un error pequeño, para gases a baja velocidad, es decir, menor que 100 m/s.
Problema 1: Asuma que el conducto mostrado en la figura tiene un diámetro
interior de 12 y 18 pulgadas en las secciones 1 y 2, respectivamente. Si el agua esta fluyendo en el conducto a una velocidad de 16,6 pies/s en la sección 2, encontrar:
a) La velocidad en la sección 1.
b) La razón de flujo de volumen en la sección 1. c) La razón de flujo de volumen en la sección 2. d) La razón de flujo de peso, y
e) La razón de flujo de masa.
2 1 Flujo de fluido Solución: a) Ecuación de continuidad: 1 1 2 2 A v A v 2 2 1 12 pulg 18 pulg 16, 6 4 4 pies v s 1 37,35 pies v s
b) La razón de flujo de volumen o caudal se calcula:
2 3 1 1 1 1pie 12 pulg 37,35 29,32 4 12 pulg pies pies Q A v s s c) 2 3 2 2 2 1pie 18pulg 16, 6 29,32 4 12 pulg pies pies Q A v s s
d) 3 3 62, 4 lb f 29,32 pie 1829, 60lbf W Q pie s s e) 3 3
1,94 slug 29,32 pie 56,88slug
M Q
pie s s
Problema 2: En la cámara rectilínea de la figura, la sección1 tiene un diámetro de
4 pulgadas y un flujo de 2 pies3 /s. La sección 2 tiene un diámetro de 3 pulgadas y una velocidad promedio de 36 pies/s. Calcule la velocidad promedio y el flujo de volumen en la sección 3 si tiene un diámetro de 1 pulgada. ¿Es el flujo en 3 de entrada o de salida? 1 2 3 Water Solución:
flujos de masa entran flujos de masa salen
1 2 3
M M M
Asumiendo que M 3 está saliendo:
1 2 3 Q Q Q Si es constante, se tiene: 1 2 3 Q Q Q 2 2 3 3 1 1 2 3 36 1 4 12 4 12
pies pie pies pie
pulg pulg v s pulg s pulg 3 42,88 pies v s
3 0,234
pies Q
s
C. Flujo en secciones no circulares:
La ecuación de continuidad se aplica igualmente al flujo en secciones transversales no circulares, del mismo modo que en conductos y tubos circulares.
Sección no circular Caudal
Q i
d
d
eD
e iD
2 2 4 4 Q A v Q v D i d e Q i d d el
L 2 2 4 4 Q A v Q v Di de Q 1 L l 2 L2 1 l 2 2 2 1 Q A v Q v l LD. Conservación de la Energía – Ecuación de Bernoulli:
El análisis de un problema de línea de conductos, como el que se ilustra en la figura siguiente, toma en cuenta toda la energía del sistema. En física usted aprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un tipo a otro. Motor Bomba 2 1 Flujo
Cuando se analizan problemas de flujo en conductos. Existen tres formas de energía que siempre hay que tomar en consideración:
1. Energía Potencial (EP):
Debido a su elevación, la energía potencial del fluido con respecto de algún nivel de referencia es: P E m g z (30) P E w z (31) donde: m = masa. g = gravedad. z = altura.
w = peso del elemento.
2. Energía Cinética (EC):
Debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es: 2
1 2
C
2 2 C w v E g (33) donde: m = masa. v =velocidad.
w= peso del elemento.
3. Energía de Flujo (EF):
En ocasiones conocida como energía de presión o trabajo de flujo, esta representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión.
EF P V (34)
P w
EF (35)
Luego, la energía total del sistema es:
P C
E E E EF
Considerando la figura, la energía total en la sección 1 es:
1 P 1 C 1 1
E E E EF
y en la sección 2 es:
2 P 2 C 2 2
E E E EF
Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere que:
1 2 E E 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 w v w P w v w P w z w z g g 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 v P v P z z g g (36)
A la ecuación (35) se le conoce como la ecuación de Bernoulli. a z también se le llama cabeza de elevación.
a
2
2 v
g se le llama cabeza de velocidad.
a P se le llama cabeza de presión.
Fig.: Daniel Bernoulli (1700-1782)
Restricciones a la ecuación de Bernoulli:
Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece
que la energía total del fluido es constante.
No puede haber transferencias de calor hacia dentro o fuera del fluido. No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.
En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se les aplica la ecuación de Bernoulli.
Problema 1: Un ducto de aire horizontal es reducida su área de sección transversal desde 0,75 pies2 a 0,20 pies2. Asumiendo que no hay pérdidas, ¿Qué cambio de presión ocurrirá cuando fluye 1,5 lb f /s de aire?
Use 0,200 lbf 3
pie para las condiciones de presión y temperatura implicadas.
Solución: 2 1 Flujo de fluido 3 3 1, 5 7, 5 0,200 f f lb W s pie Q lb s pie 3 1 2 1 7,5 10 0,75 pies Q s pies v A pies s 3 2 2 2 7,5 37,5 0,20 pies Q s pies v A pies s
Aplicando la ecuación de Bernoulli en 1 y 2:
2 1 1 1 2 P v z g 2 2 2 2 2 P v z g 2 2 1 2 2 1 2 P P v v g
Problema 2: Calcular el caudal ideal que circula por la tubería de la figura. Despréciense los rozamientos, l=500 mm.
1 5 0 m m 1 0 0 m m a l 1 2 3 4 Solución:
Aplicando la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 3:
2 1 1 1 2 P v z g 2 3 3 3 2 P v z g
En el punto 3 se produce un punto de estancamiento, por lo que v3 0
2 3 1 1 2 P P v g 3 1 1 2 g P P v Pero: P 1 g a, y P 3 g a l
Reemplazando en la ecuación anterior se tiene:
1 2 2 2 2 9,81 0, 5 3,132 g g a l g a m m v g l m g s s 3 2 1 1 0,15 3,132 0, 00553 4 m m Q A v m s s
E. EXPANSIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA
1. Dispositivos mecánicos:
Se pueden clasificar de acuerdo con la característica que si éste entrega energía al fluido o a si el fluido entrega energía al dispositivo.
funcionar un eje de la bomba. Ésta entonces toma su energía cinética y la entrega al fluido, lo cual trae como resultado un aumento en la presión de fluido y éste empieza a fluir.
Fig.:BOMBA
Los motores de fluido, turbinas, accionadores giratorios y lineales son ejemplos
de dispositivos que toman energía de un fluido y la transfieren en forma de trabajo, ocasionando la rotación de un eje o el movimiento lineal de un pistón.
Un fluido en movimiento ofrece una resistencia de fricción al flujo. Parte de la energía del sistema se convierte en energía térmica (calor), el cual se disipa a través de las paredes del conducto en el que el fluido se desplaza. La magnitud de la pérdida de energía depende de las propiedades del fluido. La velocidad de flujo, el tamaño del conducto, la rugosidad de la pared del conducto y la longitud del tubo.
3. Ecuación General de la Energía:
La ecuación general de la energía es una expansión de la ecuación de Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía. Motor Bomba 2 1 1 1 1 2 P v E z g 2 2 2 2 2 2 P v E z g 2 1 Flujo Válvula de compuerta
Para el sistema mostrado en la anterior figura, la ecuación general de la energía en las secciones 1 y 2 es: 2 2 1 1 2 2 1 2 2 A R L 2 P v P v z h h h z g g (37) Donde: A
h Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como
puede ser una bomba.
L
h Pérdidas de energía por parte del sistema, debidas a fricción el los conductos,
o perdidas menores debidas a la presencia de válvulas y conectores.
Es de suma importancia que la ecuación general de energía éste escrita en la dirección del flujo.
4. Potencia requeridas por bombas:
La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En mecánica de fluidos podemos considerar que la potencia es la rapidez con que la energía esta siendo transferida.
A A
P h W
Pero como: W Q, tenemos:
A A
P h Q (38)
Donde:
P A= Potencia añadida al fluido.
γ = Peso específico del fluido que fluye por la bomba. W=Rapidez de flujo de peso.
Q=Rapidez de flujo de volumen del fluido. Unidades en el Sistema Internacional:
A
P Watt
Unidades en el Sistema Británico:
f A lb pie P s Conversiones: 1 550 1 1,356 1 745, 7 f f lb pie hp s lb pie W s hp W
Debido a las pérdidas de energía ocasionadas por la fricción mecánica en los componentes de la bomba, la fricción del fluido en la misma y la excesiva turbulencia del fluido que se forma en ella, no toda la potencia suministrada a la bomba es transmitida al fluido.
A M I P Potenciatransmitida al fluido e
Potencia puesta en la bomba P (39)
El valor de e M siempre será menor que 1.
6. Potencia suministrada a motores de fluido:
La energía transmitida por el fluido a un dispositivo mecánico, como a un motor de fluido o a una turbina, está representada en la ecuación general de energía por el término h R , que es una medida de la energía transmitida por cada unidad de
peso de fluido al tiempo que pasa por el dispositivo. La potencia transmitida está dada por: R R P h W R R P h Q (40) Donde:
P R = Potencia transmitida por el fluido al motor.
h R = Energía transmitida por el fluido.
W = Rapidez de flujo de peso.
γ = Peso específico del fluido que fluye por la bomba.
Q = Rapidez de flujo de volumen del fluido.
Unidades en el Sistema Internacional:
A
P Watt
Unidades en el Sistema Británico:
f A
lb pie P
Del mismo modo que en las bombas, las pérdidas de energía en un motor de fluido se producen por fricción mecánica y de fluido. Por consiguiente no toda la potencia transmitida al motor es convertida a potencia de salida del dispositivo.
O M
R
P salida de potencia del motor
e
Potencia transmitida por el fluido P (41)
También se tiene que e M
Problema 1: Aceite, de s.g.=0,84, está fluyendo en una tubería en una tubería bajo
las condiciones mostradas en la figura siguiente. Si las pérdidas de energía debidas a la fricción desde el punto 1 al punto 2 es de 3 pies, encontrar la presión en el punto 2. 1 2 Nivel de referencia 2 9 D pulg 1 1 6 65 D pulg P psi 2 4 z pies 1 10,7 z pies 3 2,08 pie Q s 3 2,08 pie Q s Solución:
Aplicando la ecuación general de la energía en los puntos 1 y 2:
2 1 1 1 2 A P v z h g hR 2 2 2 2 2 L P v h z g 2 2 1 1 2 2 1 2 2 P v v P z z g
3 1 2 2,08 10,60 1 6 4 12 pie pies s v s pie pulg pulg 3 2 2 2,08 4,71 1 9 4 12 pie pies s v s pie pulg pulg Reemplazando en la ecuación : 2 2 2 2 2 2 3 3 144 65 10, 60 4, 71 1 0,84 62, 4 10, 7 4 2 32,174 0,84 62,4 f f f
lb pulg pie pie
lb pulg pie s s P pies lb pies pie s pie 2 2 2 2 2 1 9784, 64 67,95 144 f f lb pie lb P
pie pulg pulg
2 67,95
P psi
Problema 2: Calcule la potencia transmitida por el aceite al motor de fluido que se
muestra en la figura siguiente., si la rapidez de flujo de volumen es de 0,25 m3 /s. Existe una pérdida de energía e 1,4 N.m/N en el sistema de conductos. Si el motor
tiene una eficiencia del 75 %, calcule la producción de potencia.
300 mm de diámetro inetrior Flujo Motor 10m Aceite . . 0, 86 s g
Solución:
Aplicando la ecuación general de la energía en los puntos 1 y 2:
1 P 12 2 v g z 1 hA 2 R L P h h 2 2 2 2 v z g 2 2 1 2 2 R L v h z z h g 3 2 2 0,25 3,54 2 0,3 4 m Q s m v Al m s 1 2 10 z z m Reemplazando en la ecuación : 2 2 3,54 10 1, 4 7,96 2 9,81 R m s h m m m m s
Calculando la potencia transmitida por el fluido al motor: 3 3 7,96 0,86 9,81 0, 25 16, 79 R R kN m P h Q m kW m s
Con una eficiencia del motor del 75 %:
0 M R P e P 0 0,75 16,79 P kW 0 12,60 P kW
V. NÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO:
A. Flujo Laminar y Flujo Turbulento:
Para calcular la cantidad de energía pérdida debido a la fricción en un sistema de fluido, es necesario caracterizar la naturaleza del fluido. Un flujo lento y uniforme se conoce como Flujo Laminar, mientras que un flujo rápido y caótico se conoce
energía es diferente para cada tipo de flujo. Una importante razón para crear un flujo turbulento es promover la mezcla en aplicaciones como:
Mezcla de dos o más fluidos.
Aceleración de reacciones químicas.
Aumento de la transferencia de calor hacia un fluido o fuera de este.
LAMINAR
TRANSICIÓN
TURBULENTO
Fig.: Experimento de Reynolds
B. Número de Reynolds:
En la década de 1880, Osborne Reynolds, ingeniero británico, estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de un tubo, y fue el primero en demostrar que un flujo laminar o turbulento puede ser predicho si se conoce la magnitud de un número adimensional, conocido ahora como Número de Reynolds:
Re
v d
donde:
cos
densidad del fluido
v velocidad promediode flujo d diámetro
vis idad del fluido
Fig.: Osborne Reynolds (1842-1912). Nació en Irlanda, pero fue profesor en la Universidad de Manchester.
Para aplicaciones prácticas en flujos de conductos, tenemos que: Si el N Repara el flujo es menor que 2000, el flujo será laminar.
Si el N Rees mayor que 4000, se puede suponer que el flujo es turbulento.
En el intervalo de números de Reynolds comprendido entre 2000 y 4000, es imposible predecir que tipo de flujo existe; por consiguiente, este intervalo se conoce como región crítica. Las aplicaciones típicas involucran flujos que se encuentran bien colocados en el intervalo de los flujos laminares o en el intervalo de los flujos turbulentos, de modo que la existencia de esta región de incertidumbre no ocasiona gran dificultad.
Si se encuentra que el flujo de un sistema está en la región crítica, la práctica normal consiste en cambiar la rapidez de flujo o el diámetro del conducto para hacer que el flujo sea claramente laminar o turbulento. Entonces se hace posible un
C. Radio hidráulico para secciones transversales no circulares: El radio hidráulico se define como:
A R
PM (43)
Donde:
R: radio hidráulico.
A: Área neta de la sección transversal de una corriente de flujo.
PM: Perímetro mojado, es decir, aquella porción del perímetro de la sección transversal donde hay contacto entre el fluído y el contorno sólido.
Unidades en el Sistema Internacional :
R m
Unidades en el Sistema Británico:
R pies
En las figuras siguientes se presentan secciones transversales típicas no circulares cerradas. Las secciones mostradas podrían representar (a) un intercambiador de calor de casco y tubo, (b) y (c) ductos de distribución y (d) trayectoria de flujo dentro de una máquina.
D d 2 2 4 A D d PM D d (a)
2 A S 4 PM S S S (b) A B H 2 2 PM B H H B (c) S d 2 2 4 A S d 4 PM S d S (d)
D. Número de Reynolds para secciones transversales no circulares cerradas:
Cuando el fluido llena completamente el área de la sección transversal disponible y se encuentra bajo presión, la velocidad promedio del flujo se determina utilizando la rapidez de flujo de volumen y el área neta de flujo en la ecuación de continuidad:
/
v Q A,donde el área es la misma que se utilizó para calcular el radio hidráulico.
El Número de Reynolds para un flujo en secciones no circulares se calcula de manera muy parecida a la usada para conductos y tubos circulares. La única alteración es la sustitución del diámetro, D, con 4R, cuatro veces el radio hidráulico.
Re
4 4
v R v R
N (44)
Problema 1: Determine si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25 ºC
en un conducto cuyo diámetro interior es de 150 mm. La velocidad promedio de fl ujo es de 3,6 m/s.
Solución: El número de Reynolds se calcula de:
Re v d N Donde: 3 1258kg m (del apéndice) 1 9,60 10 Pa s(del apéndice) 3,6m v s 0,15 d m Reemplazando: 3 Re 1 1258 3,6 0,15 708 9,60 10 kg m m m s N Pa s
Debido a que el N Re 2000, el flujo es laminar.
VI. PERDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN:
A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo, ocurren pérdidas de energía debido a la fricción interna en el fluido. Tales pérdidas traen
como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo. A. Ecuación de Darcy-Weisbach: Se define como: 2 2 L L v h f D g (45)
h L: pérdida de energía debido a la fricción.
L: Longitud de la corriente de flujo. D: Diámetro de la tubería.
v: velocidad media del fluido. f : factor de fricción (adimensional) g : gravedad.
Esta ecuación de puede utilizar parta calcular la pérdida de energía en secciones largas y rectas de conductos redondos, tanto para flujo laminar como turbulento. B. Pérdidas de fricción en un flujo laminar:
Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido parece desplazarse en forma de varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas del fluido. La energía se pierde del fluido mediante la acción de vencer a las fuerzas de fricción producidas por la tensión de corte. Puesto que el flujo laminar es tan regular y ordenado, podemos derivar una relación entre la pérdida de energía y los parámetros medibles del sistema de flujo. Esta relación se
conoce como ecuación de Hagen-Poiseuille:
2 32 L L v h D (46) Donde:
h L: pérdida de energía debido a la fricción.
μ:viscosidad.
L: Longitud de la corriente de flujo. D: Diámetro de la tubería.
v: velocidad media del fluido. γ: peso específico del fluido.
Comparando la ecuación de Darcy-Weisbach con la ecuación de Hagen-Poiseuille
se deduce el factor de fricción como:
Re
64 f
N (47)
Para el flujo turbulento de fluidos en conductos circulares resulta más conveniente utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach para calcular la pérdida de energía debido
a la fricción. No podemos determinar el factor de fricción, f , mediante un simple
cálculo como se hizo para un flujo laminar, pues el flujo turbulento no se conforma de movimientos regulares y predecibles2.
Las pruebas han mostrado que el número adimensional f depende de otros dos
números, también adimensionales: El número de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto. Esta última es el cociente del diámetro, D, del conducto entre la
rugosidad promedio, ε, de la pared del conducto.
r
D
La condición de la superficie del conducto depende bastante del material con que está hecho el conducto y el método de fabricación. Para conductos y tuberías disponibles comercialmente, el valor de diseño de la rugosidad de la pared, ε, ha
sido determinada de la forma en que se muestra en la figura anterior. Éstos son solamente valores promedio para conductos nuevos y limpios. Se debe esperar que haya algo de variación. Después de que un conducto ha estado en servicio durante algún tiempo, la rugosidad puede cambiar debido a la formación de depósitos sobre la pared, o debido a la corrosión.
En el anexo III, podemos encontrar una tabla con valores de rugosidad para diversos materiales.
D. Diagrama de Moody:
Se usa para evaluar el factor de fricción. El diagrama muestra el factor de fricción,
El diagrama muestra el factor d fricción, f , graficado contra el número de Reynolds, N RE , con una serie de curvas paramétricas relacionadas con la rugosidad relativa,
/
D .Estas curvas fueron generadas a partir de datos experimentales por L.F.
Moody.
Tanto f como N RE están graficados en escalas logarítmicas, debido al amplio
intervalo de valores encontrados.
E. Ecuaciones del factor de fricción:
Alternativamente al diagrama de Moody, y sobre todo en los casos en que se requiere automatizar la solución haciendo uso de algún ordenador, es necesario tener ecuaciones para encontrar el factor de fricción.
En la bibliografía se pueden encontrar una diversidad de ecuaciones para el cálculo del factor f para diferentes intervalos del N Re y tipos de conductos. Sin embargo, por
fines prácticos, en esta guía se hará uso de lo siguiente:
1. Flujo Laminar:
Re
64 f
N
2. Flujo Turbulento:
Se puede hacer uso de la ecuación desarrollada por P. K. Swamee y A. K. Jain:
2 0,9 Re 0,25 1 5, 74 log 3, 7 / f D N (48)
Esta ecuación se utiliza para intervalos de D/ε comprendidos entre 1 000 y 1×106
y para números de Reynolds que van de 5×103 hasta 1×108.
Problema 1: Un ventilador de flujo axial de marca y modelo dados trabajando a 900
rpm posee la siguiente performance presión – caudal volumétrico provisto por su fabricante: 7 2 30 10 P Q ; 3 2 , pie P pulg de H O Q s
El ventilador toma el aire de la atmósfera en reposo y lo descarga a un recinto a presión atmosférica a través de un tubo de sección rectangular 8 ×16 pulg de chapa lisa, de longitud total 200 pies. Despreciando las pérdidas menores determine que caudal volumétrico de aire entrega en condiciones estándar. Se puede considerar la
energía añadida por el ventilador como: h A P .
Ventilador 8 pulg 1 6p u l g 200 L pies v 0 amb P v amb P Solución: Aplicando la E. G. E. en la entrada y en la descarga:
2 2 1 2 A L v h h g
Pero: h A P , y reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
2 2 2 2 L v P h g
El valor de P se puede calcular a partir de P 30 10 7 Q2, el cual se debe
expresar en función de v2 y convertir sus unidades al S. I.
7 2 7 2 2 2 30 10 30 10 P Q A v 7 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 249,17 249,17 30 10 1 0,0283 1min 1 1 60 pulg H O Pa Pa P pulg H O A v
pulg H O pie m pulg H O
min pie s 2 2 2 7475,1 112 3 P A v 2 0,08258 A m
Las pérdidas por fricción se calculan a partir de la ecuación de Darcy para secciones no circulares: 2 2 4 4 2 L v L h f R g
Donde R, es el diámetro hidráulico:
2 0,08258 0,06773 1, 2192 A m R m PM m
Donde PM , es el perímetro mojado. 0,3048 200 60,96 1 m L pies m pie
Reemplazando en la ecuación (2) y ordenando tenemos:
2 86,4587 5 0, 7638 1 225, 01 2 v f g
Donde el valor de f se calcula a partir de: 2 0,9 Re 0,25 6 1 5, 74 log 3,7 f D N D, es el diámetro hidráulico: 4 D R 0 (rugosidad)
El N Re se calcula a partir de:
2 Re 4 7 v R N
Para el aire a condiciones estándar: 3 1, 225 kg m/ 3 12,01 / N m 5 1,789 10 Pa s
Se realizan las iteraciones partiendo de un supuesto para el valor de v2, obteniéndose
la siguiente tabla: v 2 NRe f Q 1 18550,9782 0,026308769 0,0825805 38,66712503 717312,9934 0,012284312 3,19315052 49,36134214 915701,1819 0,011780574 4,07628431 49,92915853 926234,7315 0,011757743 4,12317488 49,95536102 926720,8133 0,011756697 4,12533869 El caudal volumétrico es Q 4,125 m3 s
Problema 2: Calcule el mínimo diámetro de una tubería de acero comercial
( 0,046 mm ) que debe transportar un caudal de 8 m3 /min de aceite de viscosidad
cinemática 10-5 m2 /s y densidad relativa 0,8 asumiendo que la pérdida de energía mecánica a lo largo de 300 m de tubería no debe superar 25 kg f .m/s.
La pérdida de energía se calcula con la ecuación de Darcy: 2 1 2 L L v h f D g Datos: 5 3 3 2 5 0, 046 4, 6 10 1min 8 0,133 min 60 10 mm m m m Q s s m s 2 0,8 1000 3 800 3 25 245, 25 300 Ac rel H O f L kg kg m m kg m J h s s L m Flujo de peso: 3 3 2 800 kg 0,133 m 9,81 m 1043,78N W Q g m s s s 245, 25 0,235 1043,78 L L J h s h m N W s 2 2 2 4 0,133 4 0,169 Q Q v A D D D Reemplazando en la ecuación (1) 2 2 2 0,169 300 0,235 2 9,81 m D m f m D s 5 0,538 f D 5 2 0,538 f D Además se tiene: Re 4 16 942, 68 v D v D Q N D D , y
2 0,9 Re 0,25 1 5, 74 log 3,7 f D N 5 1 0,538 f D
Se realizan las iteraciones partiendo de un supuesto para el valor de D0, obteniéndose
la siguiente tabla: D0 NRe f D1 1 1,69E+04 0,02703035 0,54981157 0,54981157 3,08E+04 0,02348591 0,53457055 0,53457055 3,17E+04 0,02334256 0,53391638 0,53391638 3,17E+04 0,02333636 0,53388803 0,53388803 3,17E+04 0,0233361 0,5338868 0,5338868 3,17E+04 0,02333608 0,53388675
Se observa que las iteraciones se estabilizan en el diámetro 0,5338 m.
VII. PÉRDIDAS MENORES:
Estás pérdidas generalmente son pequeñas en comparación con las pérdidas debido a la fricción y ocurren cuando hay un cambio en la sección cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo se encuentra obstruida por ejemplo: con una válvula.
A. Primer Método: Ecuación Fundamental de las Pérdidas Menores
Las pérdidas menores de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del fluido a fluir este alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a través de una válvula:
2 2 L v h K g (49) Donde: L
v: velocidad de flujo promedio en el conducto en el lugar donde se presenta la
pérdida menor.
1. Dilatación súbita:
Cuando un fluido fluye a través de una tubería que se ensancha bruscamente, su velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia entre la vena líquida y la pared de la tubería que genera una pérdida de energía.
1 D 2 D Región de turbulencia 1 v
La pérdida menor se calcula mediante:
2 1 2 L v h K g (50) Donde: 1
v , es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que esta delante de la
dilatación.
El valor de K depende tanto de la proporción de los tamaños de los dos conductos
como de la magnitud de la velocidad de flujo como podemos ver en la siguiente tabla:
Tabla: Coeficientes de resistencia-Dilatación súbita Velocidad,v1
D2/D1 0,6 m/s
2 pies/s 4 pies/s1,2 m/s 10 pies/s3 m/s 15 pie/s4,5 m/s 20 pies/s6 m/s 30 pies/s9 m/s 40 pies/s12 m/s
1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,2 0,11 0,10 0,09 0,09 0,09 0,09 0,08 1,4 0,26 0,25 0,23 0,22 0,22 0,21 0,20 1,6 0,40 0,38 0,35 0,34 0,33 0,32 0,32 1,8 0,51 0,48 0,45 0,43 0,42 0,41 0,40 2,0 0,60 0,56 0,52 0,51 0,50 0,48 0,47 2,5 0,74 0,70 0,65 0,63 0,62 0,60 0,58 3,0 0,83 0,78 0,73 0,70 0,69 0,67 0,65 4,0 0,92 0,87 0,80 0,78 0,76 0,74 0,72 5,0 0,96 0,91 0,84 0,82 0,80 0,77 0,75 10,0 1,00 0,96 0,89 0,86 0,84 0,82 0,80 ∞ 1,00 0,98 0,91 0,88 0,86 0,83 0,81
Fuente: H. W. King y E. F. Brater. 1963. Hadbook of Hydraulics, 5ª ed. Nueva York:
McGraw-Hill. (Tabla 6-7. Velocidades convertidas a unidades S.I.)
El valor de K también puede ser calculado analíticamente a partir de la ecuación general de la energía: 2 2 1 1 2 2 1 2 2 A R L 2 P v P v z h h h z g g
En donde se puede suponer que: h A 0, h R 0, P 1 P 2, y z 1 z 2, por lo que
obtenemos: 2 2 1 2 2 L v v h g (51)
Reemplazando en la ecuación (48): 4 2 1 1 2 1 2 L D v D h g (53)
Pero sabemos que:
2 1 2 L v h K g (54)
Igualando las ecuaciones (50) y (51) obtenemos:
4 1 2 1 D K D (55)
Un caso particular de las pérdidas de energía por dilatación súbita sería el de una tubería que abastece un depósito:
1 D 2 D 1 v 2
En este caso D2 es mucho mayor que D1, por lo que de la ecuación (53) se tiene
K=1, quedando la ecuación de la pérdida de energía como:
2 1 1 2 L v h g (56) 2. Dilatación Gradual:
En la dilatación gradual, la transición de un conducto menor a uno mayor es menos abrupta por lo que la pérdida de energía es menor que en la dilatación súbita. Esto se logra colocando una sección cónica entre los dos conductos.
1
D
2
D
Zona de separación para ángulo de cono grande
1
v Ángulo de cono
La pérdida de energía para una dilatación gradual se calcula mediante la ecuación: 2 1 2 L v h K g (57) Donde: 1
v , es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación.
El valor del coeficiente de resistencia, K , depende tanto de la proporción de los
diámetros D2 /D1y del ángulo de cono θ , como podemos ver en la siguiente tabla:
Tabla: Coeficientes de resistencia-Dilatación gradual Ángulo del cono,
D2/D1 2º 6º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 60º 1,1 0,01 0,01 0,03 0,05 0,10 0,13 0,16 0,18 0,19 0,20 0,21 0,23 1,2 0,02 0,02 0,04 0,09 0,16 0,21 0,25 0,29 0,31 0,33 0,35 0,37 1,4 0,02 0,03 0,06 0,12 0,23 0,30 0,36 0,41 0,44 0,47 0,50 0,53 1,6 0,03 0,04 0,07 0,14 0,26 0,35 0,42 0,47 0,51 0,54 0,57 0,61 1,8 0,03 0,04 0,07 0,15 0,28 0,37 0,44 0,50 0,54 0,58 0,61 0,65 2,0 0,03 0,04 0,07 0,16 0,29 0,38 0,46 0,52 0,56 0,60 0,63 0,68 2,5 0,03 0,04 0,08 0,16 0,30 0,39 0,48 0,54 0,58 0,62 0,65 0,70 3,0 0,03 0,04 0,08 0,16 0,31 0,40 0,48 0,55 0,59 0,63 0,66 0,71 ∞ 0,03 0,05 0,08 0,16 0,31 0,40 0,49 0,56 0,60 0,64 0,67 0,72
McGraw-La pérdida de energía calculada con la ecuación (56) no incluye la pérdida debido a la fricción en las paredes de la transición.
A menor ángulo de conicidad (θ), menor pérdida de carga localizada, pero a
cambio se precisa una mayor longitud de la transición, por lo que aumentan las pérdidas de carga debido a la fricción.
Se ha demostrado experimentalmente, tomando en cuenta tanto la pérdida de fricción de la pared como la pérdida debido a la dilatación, que el ángulo óptimo de conicidad en el cual la pérdida de energía es mínima es de aproximadamente 7º.
3. Contracción Súbita:
La pérdida de energía cuando ocurre un estrechamiento brusco de la sección o también llamado contracción súbita, se calcula a partir de la siguiente ecuación:
2 2 2 L v h K g (58) Donde: 2
v , es la velocidad en la corriente hacia abajo del conducto menor a partir de la
contracción. Líneas de trayectoria Flujo 1 2 Vena contracta Zonas de turbulencia
Fig.: Vena contracta en una dilatación súbita
Como se puede observar en la figura, la turbulencia ocasionada por la contracción y la posterior dilatación genera la pérdida de energía.