1. Teoría de Exponentes

(1)

Teoría de Exponentes

Algebra

MELCHOR CAMPOS TICLLA LEYES DE LOS EXPONENTES

1. an_.am_{= a}n+m 2. n m m n

a

_



; a≠0 3.

₍

a

n

₎

m

_

a

n.m 4. (a.b)n_{= a}n_.bn 5. n n n

b

a

b

a















_{; b≠0} 6. a0_{= 1; a≠0} 7. n _n

a





1

; a≠0 8. n m n

_a

m

_

_a

9. n

_a

_.

_b

_

n

_a

_.

n

_b

10. n n n

b

a

b

a

_

11. n m

_a

_

n.m

_a

CASOS ESPECIALES 12. p n m rn p sp t m_xrn _ysp _zt _ . . _x . . _._y . _._z 13. m m n n n radicales m n

_x

n

_x

n

_x

n

_x

1 1 " "

.

 





14. 1 inf

.







n m radicales initos n

_x

m n

_x

m n

_x

m

_x



1. Hallar:

 

1

5

2

5

2

25

3

2

5

 





 

 

_

_



_{ }



_{ }





 

A) 1 B) 2 C)0 D)3 E) 6 2. Calcule: 3 2 1

1

2

4

2

5

7 N

  



_{ }







 

_{ }



 

_{ }



 











a)2 b) 4 c) 8 d) 16 e)

₂

3. Hallar:

 

₈2731

9

 



A) 81 B)9 C)16 D)3 E)1/3 4. Efectuar:

   

 

3 1 2 1 2

40 2

3 2

12 2

22 2

2

x x x x x

M

    







A) 1 B)2 C)3 D)0 E)-2 5. Efectuar: 1 3 8 2

27.81

   A) 3 B) 1 C) 4 D)9 E) 27

6. calcule el valor de:

10 5 1 5 6

(12) .(18) .(16)

(8) .(54)

N





a) 1 b) -1 c) -9 d) 3 e) 9

7. halle el valor de:

6 3 3 4 9 2

21 .35 .80

15 .14 .30

R



(2)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Indique el equivalente de:

6 4 9 4 11 14 4

15 .12 .5 .6

10 .3 .5

E



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Calcular:

   

1 2 4 5 3 6 2 5 2 2 2 15 2 2 2 x x x x x x S           A) 5 B) 7 C) 4 D)8 E) 9 10. Simplificar: 1 1 4 3 2

3

n n n n n n

A

    

 





a)

a

3 b) 3 c)

3

3d)

3

5 e) 5

3

11. Reducir: 1 2 6 1

2 .4 .8

2

n n n n

P

  



a) 128 b) 32 c) 64 d) 16 e) 256

12. halle el valor de:

3 2 3 2

2

n n n n

P

   







a) 16 b) 4 c) 2 d) 32 e) 64 13. calcule: 5 3 1

2

6.2

x x x x

A



_



_





a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 14. si:

₃

n1

_

₂

2n_{. calcule:} 1 2 1 2 3

3

2

3

2

n n n n

W

  







a)

₃

n_b)

₂

2n_{c) 3 d) 1 e) 5} 15. si:

_x

_

2

n2_{; halle:} 2 1 1

2

4

2 4(2 )

n n n n

W



_ 



a) x b) x/10 c) 1/6 d) x/2 e) x/8 16. simplifique: 4 5 1 2 2

2

2.2

x x x x x

W

    







a)

4

1

6

b)

2

3

5

c)

3

5

4

d) 8 e)3/7 17.

18. Calcular el valor de:

6 3 3 4 9 2 21 .35 .80 15 .14 .30 E A) 2 B)4 C) 8 D) 3 E) 5 19. Calcular:

     

 

5 3 1 1 4 2 2 2 2 4 2 6 2 2 36 2 n n n n n n E            A) 1 B)-3 C) 0,2 D) -6 E) 1 20. Calcular el valor de:

 

     

4 2 5 3 1 1 2 36 2 2 2 2 4 2 6 2 x x x x x x E            A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1 21. Hallar “n” 0.5 3 3 2 1 1 1 1 _0,1 4 5 3 2 n      _{ } _ _ _{ } _{ }        _{ } _  _  _{ } _{ }        A) -2 B)4 C) 3 D) 1 E) 5

 

3 4 / 3 2 1 4 8 4 4 n n E          A) 2 B)4 C) 9 D) 6 E) 5 23. Resolver: 1

9

8 .

0,6

4

27

x x

  



_

  



  



)

A) 2 B)3 C) 8 D) 4 E) 5 24. Hallar x:

(3)

Algebra 4 3 2 1

3

x

_

3

x

_

3

x

_

3

x

_{ }

3

x

363

A) 2 B)4 C) 8 D) 3 E) 5 25. Resolver: 4 9 3

27

x



3

x A) 6 B)5 C) 7 D) 4 E) -2

6 3₃ ₃ 3 3 E     _ _ A) 1 B) 2 C) 5 D) 3 E) 6

 

2 1 1 5 1 3 2 E m m m    _ _               A) m-1 B) m C) 2m D) m/2 E) 1 28. Calcular: E = a b c d . _b _c _d _a . _c _d _a _b . d a b c Si abcd = m a) _m b) 3_m7 c) 4_mm d) 16 15_m e) m 29. Calcular: E =

2

a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 8 e) 4 2 30. Simplificar. E =

90

90 90 ....00

6

6 6 ....00





a)5 b) 6 c) 45/2 d) 3 e)15 31. Reducir: E = .... 12 12 13 52    a)5 b) 7 c) 9 d) 12 e) N.A. 32. Calcule:

26

4

6

6 6 ...

E







a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 33. Calcule el valor de:

90

90 90 ...

20

20 20 ...

E





 



 

a) 5/2 b) 9/4 c) 2 d) 9/5 e) 9/2 34. Calcule: 3 4

2

42

42 42 ...

8

56

56 56 ...

P









a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 35. Simplifique:

8 8 8... 8 16 16

S



a) 0 b) 1 c) 8 d) 10 e) 16

36. Calcule el valor aproximado de: 3 3 3

60 60 60...

6

6 6 ...

N





(4)

37. Calcule el valor más simple de: 4

12

12 12 ...

17 17 17...

11

20

20 20 ...

R





 



a) 8 b) 9 c) 10 d) 20 e) 40 ECUACIONES EXPONENCIALES Son aquellas ecuaciones, cuya característica es tener la incógnita en el exponente de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia, para su resolución se utilizará la teoría de exponentes. Principales métodos de resolución SEMEJANZA DE TÉRMINOS a. Igualdad de bases y x

_b

b



x = y; si:



b



0 y

1 

b. Igualdad en el exponente b b

_y

x



x = y; si:



b



0 

c. Igualdad base y exponente x b

_x

b



b = x ; si:



b



0 y

1 

POR CAMBIO DE VARIABLE





x

2

Expresiones con operaciones que se repiten indefinidamente, se siguen los siguientes pasos:

 Asignar a la expresión una variable adecuada.

 Ejecutar la operación contraria a la indicada, con el fin de

obtener la expresión que se tuvo inicialmente que será reemplazada por la variable con la cual se definió a la expresión inicial.

 Despejar la variable con la cual queda resuelto el problema. Las formas más conocidas son: a.

_x



n

_a

m



n

_a

m



n

_a

m

_...



_radical

1 m n x_ a b.

_x



n

_b



n

_b



n

_b



_...



_radical

1 n

x

_



b

c. . ... a_{a a}a a

x



a



x



a

d.

n n



 

1 

n n



  

1 

...

rad

 

n

1

e.

_{n n}



 

₁



_{n n}





_{1 ...}





_rad



_n

f .

n

x

xx





...

_x

_

n

_n

g. ... b_{a b a}a b a

x



b



x



b

PRACTICA 1. Resolver ₁₆x_₈8 a)5 b)3 c)2 d)8 e)6 2. Hallar x ₅x1_₅x2_₅x3_₅x4_₇₈₀ a)0 b)1 c)-1 d)-2 e)-3 3. Hallar a:



2n7



2n73125 a)4 b)7 c)6 d)8 e)3 4. Resolver: x_x_9₃

(5)

Algebra a)27 b)9 c)8 d)3 e)1/3 5. Hallar a _aa2 2 a  a)4 b)8 c)2 d)0 e)1 6. Hallar x x_a2_.3_{a a}_. 2 / 3 _27_a23 a)1 b)3 c)2 d)1/2 e)1/3 7. Hallar n _{135 5} _₄₅n a)1/2 b)3/4 c)5/2 d)2/3 e)3/2 8. Hallar x: _xx2 2

₄

x





a)2 b) 2 c)4 d) 2 2 e)1/2 9. Hallar x ₂x1_₂x3_₂x2_₅₂ a)6 b)4 c)-6 d) 8 e)5 10. Hallar el mayor valor de a

2 2 1 1 8 2 81 27 3 16 a a a a        _{ }             a)1 b)6 c)4 d) 8 e)5 11. Hallar x: 1 243 3 x  _ a)0,25 b)0,20 c)0,50 d) 0,28 e)0,35 12. Hallar n

 

2 8 4 3 . n a a a a a    _     a)12 b)8 c)16 d)10 e)9 13. Resolver:

₈

9x1

₂



a)2 b)3 c)-1/2 d)1/2 e)-2 14. Hallar x: ₅ ₅12 ₅ 2

2

32

x x x



a)1 b)3 c)2 d)1/2 e)2/3 15. Hallar n:

 

5 3n _54 3n _39 a) 2 b)1 c)-2d)-1/2e)-1/2 16. Hallar x:





0,6 3 2 1 2

4

x

_

0, 25

 ) a) 1 b)2 c)4 d)5 e)3 17. Hallar n

 

2 2  ₃2 31 ₃ 3

_.

3

_.

n

x

    





_









a) 1 b)2 c)6 d)12 e)18 18. Resolver: 1 1 3 2

27

36

2

x _ _





a) -1 b)-2 c)-3 d)-6 e)3 19. Resolver:









_0,6 1/ 3

64

x

32

 

2 

_

_{ }



_{ }





a) 1/3 b)-1/3 c)1/2 d)-1/2 e)-2 20. Halla “x” en: 3 3 9

8

x

_

2

x a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 21. Calcula: 5 4 3 2x _2x _2x _28 a) 0 b) – 1 c) 1 d) 2 e) – 2 22. Halla el valor de “x” en la siguiente expresión. 16 7 2 5 5 5 5 5 x x  _  a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 23. Resuelve:

(6)

9 5 ₂₇ ₁ 3

₂

x

_

₈

x a) 1 b) 11 c) 21 d) 31 e) 41 24. Si:₁₆n4_₂₄₃m8 _₂40 ₃_80 Calcula:“m + n” a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 25. Calcula “x” en: 18 ₆

3

x



a) 18₃_b)3

₁₈

_c) ₃ d) 3₄ _e)5₆ POLINOMIOS – GRADOS. 1) Si:

 

2 3 2 3 2 2 3

.

( )

n n n

x

F x

x

  















es un

monomio de tercer grado, el valor de “n” es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5 2) Si la siguiente expresión:



2



6 4





( )

a b a b

M x

_

a b

_



x

_

ab



x

_{ }

b a x

puede reducirse a un monomio, proporcione su valor reducido. A) 6x B) 5x C) 4x D) 3x E) 2x 3) En: 2 4 2 2 3

( ; ) 5

m n

.

m n

3

n m

P x y

_

x

 

y

 

_

x

  el

G A P

. ( ) 39,



GR

x



GR

y



6;

Calcule el valor de m-n. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 4) Calcule el valor de m+n, con la

condición de que el polinomio:

2 4 2 2 3 1 2 2

( ; ) m n m n m n m n m n m n,

P x y _x   y   _x  y   _x  y 

sea de grado absoluto 28 y la diferencia de grados relativos a “x” e “y” sea igual a 6. A) 17 B) 15 C) 13 D) 10

E) 9

5) Dado el polinomio que posee grado absoluto igual a 33.

1 2 3 6 7 2 2

( ; ) 2 a a 5 a a a a 7 a a .

P x y _ x y _ x y _ax y _ x y 

Calcule la diferencia de grados relativos a “x” e “y” respectivamente. A) -13 B) 8 C) 3 D) -1 E) 4 Calcule m.n, si el polinomio: 1 2 2 1 3 2

( ; ) 4

m n

6

m n

6

m n

P x y

_

x



y



_

x



y



_

x



y



es de grado absoluto 20 y grado relativo a “y” igual a 8.

A) 19 B) 9 C) 90 D) 80 E) 81 7) Halle “m+n+p”, si el monomio: 2 2 2 2 3 3 3

( ; ; ) 5

m n p m n p m n p

M x y z



x

 

y

 

z

  es de grado absoluto 240. A) 40 B) 20 C) 10 C) 16 E) 18 8) Calcule “m.p” si el polinomio: 3 2 1 4 1 1 ( ; ) 7 m p p 9 m p p 11 m p p P x y _ x  y  _ x  y _ x  y es de grado absoluto 18 y la

diferencia de grados relativos a “x” e “y” es 8.

A) 9 B) 27 C) 18 D) 54 E) 36 9) Calcule el número de variables que

debe tener el monomio: 3 5 7

_...

M



xy z w

para que el G.A

(7)

Algebra A) 40 B) 36 C) 16 D) 30

E) 24

10) El grado absoluto de: 2 6 12

_...

240

M



x y z

w

es: A) 1 260 B) 1 600 C) 1 360 D) 2 000 E) 1 770

11) Dados los polinomios: P(x) y Q(x) donde los grados de:

P x Q x

2

( ). ( )

y

3

_{( )}

( )

P x

Q x

son 27 y 23 respectivamente.

Halle el grado absoluto de: 2

_{( )}

.

( )

Q x

P x













A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 12) Si el polinomio: 2 4 2 2 3 1

( ; ) 4

m n m n

7

m n m n

P x y

_

x

 

y

 

_

x

 

y

 

_

2m n 2 m n

x

 

y

 es de grado absoluto 28 y la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” es 14. Halle (m-n). A) 12 B) 24 C) 28 D) 30 E) 18 13) En el siguiente polinomio: 2 2 2 1 1

( ; )

m n

7

m n

P x y

_

x y



_

x



y



_

2 2 2 3 1

9 _x

m

_y

n

_

8 _x

m

_y

n

.

_El G.R(x)=18; además su grado absoluto es 24. Halle el G.R (y). A) 3 B) 9 C) 27 D) 12 E) 19 14) ¿Para qué valor de “n”, la

expresión:

 

3 2 2 3 4 2 2 ₄ . ( ) n n n x x x P x x x                sea de segundo grado: A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E) 15 (EX. AD. UNC - 2004)

15) Determine el grado del polinomio P(x), sabiendo que el grado de

2

_{( ). ( )}

3

P x Q x









es igual a 21; además el grado de



 

4



3

( ) . ( )

P x

Q x

es igual a 22. A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 (EX. AD. UNC - 2005)

16) Dados los polinomios:

1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

( ; ) 2

3

7 ( ; ) 5

7

6

a b b a a b a b b a a b

P x y

x y

x

y

Q x y

x

y

x

y

x y

           









Si el grado absoluto de “P” es 8 y el grado absoluto de “Q” es 7. Dar la suma del grado relativo de “x” en el polinomio “P” con el grado relativo de “y” en el polinomio “Q”. A) 11 B) 16 C) 12 D) 28 E) 14 17) Calcule relativo a “y” en el

monomio: 5 1 2 2 3 3 3 5 4 2

.

( ; ; )

,

.

a a a a a a

x

y

z

M x y z

x

y

z

     



si el grado relativo a “z” es 34. A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 E) 14 18) En los polinomios: 7 1 8 1 1 2 1 3 2

( ; ) 4

6

5 ( ; ) 4

7

6 ,

n m n m n m m n m n m n

P x y

x

y

x

y

x y

Q x y

x

y

x

y

x

y

        









se cumple que el grado absoluto de “P” es 20 y el mayor exponente de “y” en “Q” es 10. Halle el grado absoluto de “Q”. A) 12 B) 17 C) 15 D) 14 E) 21 19) Calcule el grado absoluto de:

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 6

( ; ; )

a b

.

b c

.

a c

;

M x y z

_

x



y



z

 si se cumple que:

a b b c

   

4.

A) 8 B) 10 C) 16 D) 14 E) 18 20) Halle el número de variables que

debe tener el monomio:

2 3 4

( )( )( )(

)...,

M



x y

z

w

para que

su grado absoluto sea 231. A) 23 B) 22 C) 21 D) 20 E) 24

(8)

Halle el grado absoluto del monomio: 2 2

( ; )

;

b a b a

x

M x y

y



si se cumple que: a-b=8 y a.b=4. A) 38 B) 48 C) 20 D) 16 E) 12 23) Halle el grado absoluto del

monomio:

26 4 6 6 6 ...

7 .

M



x

      A) 4 B) 3 C) 2 E) 3 E) 6 24) Halle el grado absoluto de:

1 2 1 2 1 2 1...

5 .

M



x

        A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 25) Calcule (m+n), si el polinomio: 1 2 2 1 3 2 ( ; ) 4 m n 6 m n 6 m n ; P x y _ x y _ x  y _ x  y

es de grado absoluto 20 y de grado relativo a “y” igual a 8. A) 14 B) 18 C) 19 D) 16 E) 15 26) Halle “m”, si:



 



(2

1)

5

1

m

2

1

m

2 1;

P x

 

x





x





x



es un polinomio donde se cumple que:

3 .

24 2 .

2

m m

T I



coef





 

_{ }



 



A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 27) Si el polinomio cuadrático:





5 3

( )

13

2 5,

4

m

n

P x



x





p



x



p



tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término

independiente es el triple del coeficiente del término lineal. Calcule:

E



m n p

  

2.

A) 10 B) 9 C) 7 D) 8 E) 11 28) Halle el grado del producto:



₂

 

3 ₂

 

5 ₃



( )

6

1

1 8 .

P x



x



x

 

x



A) 15 B) 7 C) 20 D) 17 E) 19

PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio al cubo









2 2 2 2 2 2 2 2 Trinomiocuadrado perfecto a b a ab b a b a ab b       _{1 442 4 43}  2. Diferencia de cuadrados



 



2 2 a b  a b a b  3. Trinomio la cuadrado



_{a b c}_{ }



2__a2_{  }_b2 _c2 ₂_ab_₂_ac_₂_bc 4. Producto de binomios



a b m n

 





am an bm bn  

5. Productos de binomios con un término común



_{x a x b}_

 

_{ }



_x2__{x a b}



_{ }



_ab 6. Binomio al cubo

























3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b a a b ab b a b a ab a b b a b a a b ab b a b a ab a b b                    

7. Suma y diferencia de cubos

















3 3 2 2 3 3 2 2 a b a b a ab b a b a b a ab b           8. Trinomio al cubo

(9)

Algebra







 















3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b b c a c a b c a b c a b c ab bc ac abc                     9. Identidad de Lagendre    





    2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b ab          10. Identidad de Argan’d



_x2n__xn_₁

 

_x2n_{  }_xn ₁



_x4n__x2n_₁ 11. identidad de lagendre



_a2__b2

 

_x2__y2



__{ax by}_  2__{ay bx}_ 2 PRACTICA

1.

a)6 b)7 c)8 d)9 e) 10

2.

a)6 b)7 c)8 d)9 e) 10

3.

a) 76 b)77 c)80 d)90 e) 100

4.

a)50 b)36 c)52 d)26 e) 40

5.

a)60 b)68 c)62 d)66 e) 45

6.

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160

7.

a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5

8.

a)1 b)a c)2a d)3a e) 6a

9.

a)32 b)36 c)34 d)38 e) 40

10.

a) 76 b)77 c)80 d)90 e) 30

11.

2 2 : 4 3 : Si a b ab Hallar a b     2 2 1 : 2 3 : Si x x Hallar x x    3 3 : 5 3 : Sabiendo que a b ab Hallar a b    

  

 

3



3 : 1 1

Marca el resultado despues de efectuar

F a  a  a 3 3 3 : 571 491 240.571.491 Simplificar S  



2

 

4

 

8



8 : 35 6 1 6 1 6 1 1 Simplificar N     3 3 2 2 : 8 8 2 4 2 4 Simplificar a a S a a a a         3 3 3 : 6 2 2 3 3 6 : Si x y z x y z calcualr N xyz         



 



2 2 2 2 2 2 : 10 40 : Si a b c a b c Hallar M a b a c b c             2 2 2 : 12 8 : Si a b c a b c Hallar ab bc ac         2 3 3 : 4 1 : Sabiendo que x x Hallar x_x 

(10)

a) a b)-a c)1 d)0 e) 2(3a2₊₁₎

12.

a) a2_+b2_{b) a}2_-b2_{c) ab d)a}2_b2_e) 2

13.

a)2 b)4 c)8 d)16 e) N.A

14.

a)4 b)2 c)1 d)a2_+b2_e)2

a2_+b2

15.

a)1 b)a+b c)a-b d) (a-b)-1_{e) (a-b)} -1

16.

a)20 b)40 c)60 d)80 e) 90

17.

Si a)3 b) 100 c) 300 d)500 e)700

18.

Si a)-1 b)2 c) ₃ d)- ₃ e)0

19. Reducir:

E =

(x + 3)2_{+ (x + 5)}2_{– 2(x + 10) (x – 2)}

a) 36 b) 74 c) 26x d) 37x e) 0

20. Calcular el producto:

P = (1 +



2 +



3 +



6) (1 -



2 -



3 +



6)

a) 2

b)



2 c)



3 d)



6 e) 4

21. SI: a + b + c = 8 :a

2

_{+ b}

2

_{+ c}

2

_{= 36}

Calcular:

E = (a + b)

2

_{+ (b + c)}

2

_{+ (a + c)}

2

a) 80 b) 72 c) 100 d) 120 e)

144

22. Si

x

2

y

2

₃

_

_{x y}

_

y



x





Hallar el

valor de la siguiente expresión:









2 2 2

x

xy y

x y





8

 

4

 

2



 

8 : 1 2 1 2 1 2 1 3 Calcular E     6 6 2 2 2 2 : simplificar a b S a b a b    







3 3









3 3



4 4 : Simplificar a b a b a b a b a b       3 3 3 3 4 2 2 4 : Simplificar a b a b a b a b M a a b b      _  _        3 3 : 6 7 : Si se cumple que x y xy Hallar el valor de x y    



 



2 2 2 2 2 2 20 300 : a b c a b c Hallar a b a c b c            3 3 1 3 : x x calcular E x x    

(11)

Algebra

a) 1 b) 2 c) ¾ d) 1 e) ¼

23. Si





2



 



4 a b c d

  



a b c d



Calcular el valor de:

3



a b



₈

c d

a) 1 b) 2 c)

3

₃

_{d)3 e)}

3

₂

24. Si

_x

4n

_

_x

4n

_

₃₄

Calcular

n n

D x





x



a) 1 b) 2 c)4 d) 1 e) 15

MÉTODOS PARA DIVIDIR 1. Dividir:

 

4 3 2 4 3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 7 7 7 13 2 2 4 2 3 9 3 7 3 6 7 2 9 13 9 18 5 2 3 9 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x q x x x x r x                           RUFINI 4 3 2 2 7 7 7 13 2 x x x x x      MÉTODO DE HORNER 5 2 2 3 5 12 10 2 2 x x x x x     

TEOREMA DEL RESTO

6 2 10 80 1 x x x    1. Calcule el cociente 4 3 2 2 2 13 26 50 15 2 3 5 x x x x x x       a)_x2_₅_x_₃ _b)_x2_₃_x_₂ c) _x2_{ }_x ₁ _d)_x2_{ }_x ₁ e) _x2_₂_x_₁ 2. Calcular: P y Q, si la división:

2

3

5

3

2 2 4



x

Q

Px

x

es exacta: a) 2; 2 b) 2; 4 c) 3; 4 d) 3; 3 e) 4; 4

3. Hallar el término independiente del cociente de dividir:

(4x4_{+ 2x}3_{– 12x}2_{+ 35x – 25) : (2x}2

+ 4x – 5)

a)7 b)6 c) 5 d)4 e)3

4. Hallar el valor de “m” sabiendo que:

P(x) = 3x4_{+ (2m+1) x}2_{+ 31x –}

21es divisible entre (x-1)

a) – 1 b) – 3 c)– 5 d)– 7 e)– 9 5. Si el resto de dividir: 10x5_{– x}4_{+ 17x}2_{+ 3x}3_{+ Ax +} 7entre (5x+2) es 9 Calcular la suma de los coeficientes del cociente.

a)3 b)4 c)10 d)15 e)20

6. Hallar la suma de los coeficientes del dividendo y divisor, en el esquema: 2 a -b c -d e m 6 -4 -n 0 0 -3 2 2 0 -1 -4 3 a)1 b)2 c)–2 d)0 e)3 7. 6 5 4 3 2 2 : 8 6 13 19 27 16 33 2 3

Hallar el residuo de dividir

x x x x x x

x x

     

(12)

A)-x B)2x C)-2x D)x E)0 8. A)77 B)78 C)36 D)37 E)24 9. A)37 B)28 C)26 D)27 E)22 10. A)1 B)x C)2 D)3 E)0 11. A)1 B)n-1 C)n-2 D)0 E)n 12. 13. A)37 B)28 C)26 D)27 E)22 14. A)2x+7 B)2x+5 C)2x+6 D)2x+7 E)2x+8 15. En la siguiente división: Determine el cociente: A) 2x2_{+ 3x + 4} B) 2x2_{+ 3x - 4} C) 2x2_{- 3x - 4} D) 2X2_{- 3x + 4} E) x2_{+ 3x - 4} 16. En la siguiente división:

Se obtiene como resto: 13x + 3 ; Indicar A + B

A) 15 B)30 C)45 D)15 E)-30

17. Señale la suma de coeficientes del cociente y residuo, al dividir:

A)-9 B}13 C)10 D)14 E)1

18. Hallar la suma del cociente y residuo al dividir: A) x3_{+ 4x - 7} B) x3_{- 6x + 2}



5 4 3 2







¿ ? 3 2 3 2 1 2

cual es el residuo de dividir a  a  a  a    a a 8 4 2 2 ¿ ? 2 7 5 2

cual es el residuo de dividir

x x x x     4 3 2 : 15 8 9 7 1 5 1

Hallar el residuo de dividir

x x x x x     





4 2 ₁ 3 2 2 2 ₇ 1

se observa que la suma algebraica de los coeficientes del cociente y del resto es cero.

Hallar el valor del resto

Al efectuar la división nx n n x x n x n x n         





5 4 3 2 : 2 2 1 2 2 8 2 12 2 1 A)12 2 B)x C)0 D)1 E)-12 2 Dividir x x x x x x        



₅

 

302 ₅



123 ₅ 5 2 5 6 2 5 4 4 10 18 2 5 5

Calcular el resto dela división

x x x x x x x x          





26





17



 

6



3 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 2

Hallar el resto dela siguiente division

x x x x x x           4 3 2 2 8 6 23 4 3 1 x x x Mx N x x       4 3 2 2 2 7 16 2 3 4 x x x Ax B x x       4 3 2 2 13 30 15 3 5 x x x x x x      





5 4 3 2 2 5 2 4 4 1 1 x x x x x x      

(13)

Algebra C) x3_{-3x + 9}

D) x3_{+ 5x-1}

E) x3_{-7x + 8}

19. Calcule A + B si la división:

tiene por resto (3x + 14) .

A) 5 B)7 C)8 D)9 E) 11

20. Hallar a/b si la división:

Es exacta.

A)1 B)-1 C)2 D)-2 E)-1/9

21. Indicar el resto en:

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E)-2

22. Hallar la suma de los coeficientes del cociente de:

A) 6 B)8 C)10 D)15 E) 20

Es el proceso de transformación sucesiva de un polinomio en una

multiplicación indicada de

polinomios primos, denominados factores primos, dentro de un conjunto numérico.

Ejemplo: Sea el polinomio

 





 







4 2 2 2 2 2 169 13 13 13 primos en f x x

Factorizandoenel conjunto racionales

f x x x x

Existen dos factores primos en 

         ¤ 1 4 44 2 4 4 43 ¤ CONTEO DE FACTORES. En general se tienes:

#factores primos mónicos: f. p. m=n #factores algebraicos mónicos:



1

 

2

 



. . 1 2 ... n 1 1

f a m a  a  a  

Ejemplos:

Sea el polinomio factorizado

 







 





 



2 2 3 2 3 4 1 1 1 # cos 3 # lg cos cos 3 1 2 1 2 1 1 35 P x x x x x x

factores primos moni factores a ebrai moni

     

 



     

CRITERIOS PARA FACTORIZAR 1. factor común y/o agrupación

de términos

* Se extrae el factor común de cada una de las expresiones pero elevados a su menor exponente tratando en lo posible que la

expresión se encuentre

expresada en sus factores primos.

* La agrupación consiste en tomar términos adecuadamente a fin de obtener factores comunes. Ejemplo: factorizar





2 ₃ 3 p a a p a a 

2. criterios del aspa simple. Ejemplo: factorizar 4 3 2 2 2 5 2 x x x Ax B x x       4 3 2 2 2 3 3 x x x ax b x x       4 3 2 2 5 4 3 1 3 x x x x x      4 3 2 2 3 4 5 6 2 1 x x x x x          2 2 3 20 12 3 2 2 6 18 20 : 3 2 6 x xy y x y xy x y xy xy Factores son x y x y       

(14)

3. Aspa doble Ejemplo:

4. Divisores binómicos

Se aplica para factorizar polinomios que admiten por lo menos un factor lineal.

Raíz de un polinomio.

 

:

º 1

sea p x un polinomiotal que P x      Ejemplo:

 

3 : 7 8 : 1 1 0 "1" sea P x x x si x P luego es raiz de P x      

Posibles raíces racionales (PRR)

 

1 0 1 1 : n n ... n n sea P x a x a x a x a       Ejemplo:

 

3 2 : 2 5 4 3 sea P x  x  x  x 1,3 1 3 1 3 1, ,3, 1, 3, 1,2 2 2 PRR 2 2          _  _        Ejemplo: EJERCICIOS 1. Marque la alternativa

correcta donde haya un polinomio factor izado.

a)



_x ₂



2 _x   b) x x



 1



2 c) _x



_x ₁



2   d) x x



  1



x 2 e)



x3

 

x4



2. Marque la alternativa donde este un polinomio definido sobre

¤ a) ₂_x2_ ₂ b) 3 1 2 x c) x 3 d) _3x2___x e) 3 1 2 x_ 3. Sea P x

  

x x2

 

x1



¿En cuál de las alternativas no es un factor algebraico de P(x)? a) _x2_₂_x b) _x2_₁ c) _x2__x d) x2 e) _x2_₃_x_₂

4. Sea P x

 

x34x ¿En cuál de las alternativas hay un factor algebraico de P(x)? a) _x2_₂ b) _x2_₂ c) _x2_₂_x d) _x2_₄_x

 

  

 



2 2 , 2 3 3 4 4 1 , 4 1 p x y x xy y x y x y x y p x y x y x y             

 

" "

a es raiz de P x



P a



0

0 n

Divisores dea

PRR

Divisores dea







 









3

2 Divisores de

PRR

Divisores de





 







 





  

 



3 2 : 6 11 6 6 1,2,3,6 1 1 1,2,3,6 : 2,3 1 6 11 6 2 2 8 6 1 4 3 0 3 3 3 1 1 0 2 3 1 Factorizar P x x x x Divisores de PRR Divisores Raices ruffini P x x x x                                

(15)

Algebra e) _x2_₄ 5. Respecto al polinomio

  

3 2

 

9



P x  x x indique + I. 3 no es factor de P(x) II. x+2 es factor de P(x) III. P(x) tiene 3 factores

algebraicos IV. (x2_{+7x+10) no factor de} P(x) a)VFVF b) FVVF c) VVVF d) VVVV e) VFVV

6. Cuantos factores algebraicos

tiene el polinomio

  

2

 

1



P x x x x a) 10 b)3 c)8 d)7 e)9 7. Sea

 

96 ₁ P x x  marque la alternativa donde no haya un factor algebraico P(x) a) _x16_₁ b) _x48_₁ c) _x24_₁ d) _x12_₁ e) _x32_₁ 8. Si x+3 es factor de x2+bx-3, indique el otro factor

a)x2 b) x1 c) x1 d) 2x1 e) 2 1x

9. Marque la alternativa donde haya un polinomio primo y uno no primo respectivamente. a)_x2__4;_x2_₁ b) ₂_x2__2;2_x2_₃ c) ₄_x2__1;_x2_₄ d) _x2__1;_x2_₂ e)_x2__3;_x2 10. Sea P x

 

x33x22x1 De las siguentes proposiciones

I. P(x) es primo II. P(x)no es primo

III. P(x) tiene un factor lineal Son verdaderas. a)I y II b) II y III c) solo I d) solo II e)I y III 11. Factorizar: ax a bx b   a)



x1

 

a b



b)



x1

 

a b



c)



x1

 

a b



d)



x a x b

 





e)



ax1

 

bx2



12. Factorizar: ax x a  1 a)



x1

 

a1



b)



x1

 

a1



c)



x1

 

a1



d)



1a x

 

2



e)



x1

 

x2



13. Indique un factor primo de:

2 bx ab x  ax a) x a b) x a c) x b d) x2a e) x

(16)

14. señale un factor primo de:



1

 

1



1 x a y a  a a) x y b) x y 1 c) x y 1 d) x y 1 e) x y 1 15. Hallar la suma de

coeficientes de uno de los factores primos:

  

2

 

2

 

3

 

1

 

2



P x    x x x  x x

a)1 b)2 c) 5 d)4 e) 6

16. luego de factorizar señale un factor 2 2 2 2 ab ac bc a b a) b c b) _{a c}_ 2 c) _{b c}_ 2 d) a b c  e) _{ab c}_ 2

17. señale la suma de los términos independientes: 2am2an2a m n  1 a)0 b)1 c) 2 d)-1 e) -2 18. Factorizar: x24xy4y2 a)



x2y x

 

2y



b)



_x ₂_y



2  c)



_{2x y}



2  d)



_x ₂_y



2  e)



x2

 

y2



19. Hallar la suma de los factores primos de:



_{a b}_



2__c2 a) 2 a b c



 



b) 2 a b c



 



c) 2 a b







d) 2a b e) 2a2b c

20. Señale uno de los factores de:



_{a b}_

 

2 _{c d}_



2_₂_{ab c d}



_



2_₂_{cd a}



2__b2



a)_a2__b2_b)_a2__c2_c)_a2__d2

d) _b2__c2_e)_b2__d2

21. Uno de los factores de:

 

3 3 2 2 2 2 2 2 ; : A x a x a x b a x c a x d abcx abdx acdx bcd es       a) x a b) x b c) x c d) ax b e) cx d 22. Factorizar:

  

1

 

2

 

3

 

4



1 P x  x x x x  a)



_x2_₅_x_₅



2_b)



_x2_₅_x_₅



2 c)



_x2_₅_x_₅



2_d)



_x2_₅_x_₄



2 e)



_x2_₅_x_₄



2

23. Dar la suma de coeficientes de uno de los factores primos al factorizar.

12 ₆ 8 ₅ 4 ₂ 6 ₆ 2 ₁

x  x  x  x  x 

a)0 b)-2 c) -3 d)3 e) 2

24. Sumar todos sus factores primos

 

5 ₄ 4 ₁₀ 2 ₆ P x x  x  x  x a)x1 b) 3x2 c) 4x2 d) 5x4 e) 4x5 MCD y MCM MAXIMO COMUN DIVISOR: (M.C.D)

Para calcular el MCD se factoriza estas expresiones y el MCD estará formado por los

factores primos comunes con su menor exponente.

(17)

Algebra MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M)

Para calcular el MCM se factoriza estas expresiones y el MCM se formara con los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo: 1.- Hallar el M.C.D y el M.C.M de: 2 2 2

;

A x

xy

B x

y









2.- Hallar el M.C.D y el M.C.M 2 2 3

5

6

4

3

2 A x

x

B x

C

x











  

Propiedad: para dos polinomios P y Q se cumple: MCD (P; Q).MCM (P; Q)=P.Q RESOLUCION DE EJERCICIOS 1. Calcular MCD de:

 

5 4 4 5 4 3 2 2 3 ( ) A x x ax a x a B x x ax a x a x         a)



x a



 

2

x a





b)

_x

2



_a

c)



x a x a



 





d) 1 e)



x

2



a



2. Calcular el M.C.D. de: A(x) = x3_{+ 5x}2_{+ 8x + 4} B(x) = x3_{+ 3x}2_{– 4} C(x) = x3_{+ 6x}2_{+ 12x + 8} a) (x + 1) b) (x + 2) 3_{c) x – 2} d) (x – 2) 2_{e) x – 1} 3. Indica el M.C.D. de: F(x) = x2_{(x + 1)} G(x) = x(x + 2) a) 1/x b) x c) x d) x e) x + 2 4. Determinar el grado absoluto del MCM de los polinomios P y Q donde.











 



5 4 2 2 4 4

;

P x y

x

xy

Q x y

x

y

x

y









a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 5. Dar el M.C.M. de: P(x) = x2_{– x- 6} Q(x) = x2_{– 3x – 10} a) (x +2) (x – 3) (x –5) b) (x-2) (x + 3) (x + 5) c) (x +2) (x + 3) (x + 5) d) (x –2) (x –3) (x- 5) e) N.A.

6. Sean los polinomios:

 





 

9 2 10 5 6 4 3 2 2 8 2 7 4 3 3 5 2 3

,

2 ,

3 ,

A x y

x y

xy

x y

B x y

x y x

y

x y x y

C x y

x y x y

xy

x y

















7.Calcular el M.C.D de A, B, C: a)



x



1  

2

y



3 

b)



xy



1 

2 c)

xy x



2



y

2



d)



xy



2  

xy



1 

2 e)



x



3  

2

x



1 

8. Encuentre el MCD de los siguientes polinomios:

 

4 3 2 4 3

1 ( )

5

5 ( )

2

1 F x

x

G x

x

H x

x









 







a)

x



1

b)

_x

2



₁

c)

x



1

d) 1 e)

_x

2



₁

9. Si

 



 



 





2 2 2 2 2

2

5

6 ( )

1

2

3 P x

x

Q x

x



 

 

 

 

Encuentre el MCD de los siguientes polinomios: a)



x



1  

2

x



3 

b)



x



1 

2

c)



x2

 

2 x1



d)



x2

 

x1



2

e)



x



3  

2

x



1 

10. Determinar el MCD de los polinomios P y Q donde.

(18)

 

4 3 2 3 2

2

3

9

10

9

17

6 P x

x

Q x

x

















a)

x



1

b)

₂

_x

2

 

_x

₃

c)

₂

_x

2



₂

_x



₁

d)

₂

_x

2



₂

_x



₁

e)

_x

2



₂

_x



₁

11. Hallar el número de factores primos del M.C.M. de los polinomios.

 

3 2 5 2

11

31

21

1 P x

x

Q x

x













 

a) 5 b) 7 c) 2 d) 9 e) 3

COCIENTES NOTABLES

EJERCICIOS 1. Hallar n si el cocientes es notables   5 6 5 3 1 2 n n n n x a x a       a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 2. Al desarrollarse: mn n m x y x y   El término cuarto es de

grado 19 y los grados absolutos de los términos disminuyen de 2 en 2. Calcular el t8.

a) x8_y7 _{b) x}8_y6 _{c) x}6_y8

d) x6_y6 _{e) x}7_y7

3. Sabiendo que uno de los términos del desarrollo notable de

4 10 2 , : a b x y _{es x y calcular ab} x y  _  A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 50

4. Se desea saber el número de términos del cociente

30 15 20 25 1 ; : 1 a x si secumple que T T T x x  _  A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20

5. Calcular el número de términos del desarrollo de : ₃ a b c x y y y   Siendo uno de sus términos x4b_y27 A) 14 B) 15 C) 17 D) 12 E) 21

6. Sabiendo que un término del desarrollo de: 73 135 100 200 236 n m n m x y es x y x y  _  Hallar «m» A) 5 B)3 C)4 D)2 E) 0 7. Al efectuar: 10 5 2 1 ; n n x y _{n N} x y    _ 

Se obtiene una expresión con trece términos racionales fraccionarios. Hallar «n» A) 8 B)5 C)3 D)2 E) 0 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 : . # min 1) ... 2) ... 3) ... min " " m n p q n n n n n n n n n n n n n n n n n n n k x a Forma general x a m n

Condicon deC N ter os

n q Casos x a x x a x a a x a x a x x a x a a x a x a x x a x a a x a

Calculo del ter o genral k

t x                   _ _ _ _{ }   _ _ _ _{ }   _ _ _ _{ }    k_._ak1

(19)

Algebra 8. Calcular el término idéntico de los

desarrollos de: 75 100 5 102 68 3 3 3 2 n a b y _ya b a b a b      A) a40 _b35_{B) a}45_b36_{C) a}39 b37 D) a38_b40_{E) N.A.}

9. Si un término del desarrollo de:

12 3 3 2 a a b a a x y es x x y y      Hallar (a-b) A) 11 B) 10 C)9 D) 12 E) N.A.

10. Calcule el

15

avotérmino del CN: 70 2

1 .

1 x

x



A)

_x

30_B)

_x

40_C)

_

_x

40 D)

_

_x

30_E)

_x

15

11. Calcule el vigésimo término del CN: 150 100 3 100

.

x

a

x

a





A)

_{x a}

75 48_B)

_{x a}

25 24_C)

_{x a}

75 56 D)

_

_{x a}

75 4_E) 75 56

x a



12. Determine el grado del

8

vo término del cociente notable:

20 30 2 3

x

m

x

a



A) 24 B) 18 C) 21 D) 25 E) N.A 13. Determine el grado del

7

mo

término del CN. 48 32 3 2

x

y

x

y



A) 35 B) 38 C) 37 D) 36 E) 39

14. Halle el cociente del cuarto término del CN: 5 5

32

243 .

2

3 x

y

x

y





A) -108 B) -27 C) -54 D) -81 E) -81 15. Halle el cociente del quinto

término del CN: 6 12

64

729 .

2

3 x

y

x

y



A) 162 B) 108 C) -162 D) -108 E) 72

16. Si el quinto término del desarrollo del cociente notable

14 35 2 5

x

y

x

y



es 9 a 12b

_.

x



y

 _{Halle a+b.} A) 7 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17 17. Si en el desarrollo del cociente

notable 3 3

,

n

x

y

x

y



el término de

lugar 8 contado a partir del extremo final tiene grado absoluto 38, halle el séptimo término. A)

x y

51 6 B)

x y

54 6 C)

x y

58 5 D)

x y

51 5 E)

x y

50 5 18. Si en el cociente notable: 5 2 4 1 1

,

m n m n m n

x

y

x

y

   



tiene 7 sumandos, hallar 2m+n. A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 19. Sabiendo que: 24 a