MECÁNICA DE FLUIDOS II / Capa límite

(1)

ETSIA ETSIA INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ETSIA ETSIA 

 En un movimiento a altos números de Reynolds, los efectos viscosos En un movimiento a altos números de Reynolds, los efectos viscosos

son despreciables. La presencia de un obstáculo obliga a imponer la son despreciables. La presencia de un obstáculo obliga a imponer la condición de velocidad nula en el mismo, pero esto no es posible si no condición de velocidad nula en el mismo, pero esto no es posible si no condición de velocidad nula en el mismo, pero esto no es posible si no condición de velocidad nula en el mismo, pero esto no es posible si no cuentan los efectos viscosos en una región cercana a la pared, de

cuentan los efectos viscosos en una región cercana a la pared, de espesor pequeño frente a la longitud del obstáculo, denominada

espesor pequeño frente a la longitud del obstáculo, denominada ““capa capa límite”

límite”..



 En cuerpos fuselados con la corriente alineada convenientemente, la En cuerpos fuselados con la corriente alineada convenientemente, la

capa límite no se desprende, pero en cuerpos romos (y fuselados con capa límite no se desprende, pero en cuerpos romos (y fuselados con la corriente no alineada) la capa límite se desprende y la resistencia la corriente no alineada) la capa límite se desprende y la resistencia la corriente no alineada) la capa límite se desprende y la resistencia la corriente no alineada) la capa límite se desprende y la resistencia aerodinámica del cuerpo aumenta considerablemente

aerodinámica del cuerpo aumenta considerablemente..

UPM UPM UPM UPM

(2)

ETSIA ETSIA ÓRDENES DE MAGNITUD ÓRDENES DE MAGNITUD ETSIA ETSIA

(3)

ETSIA

ETSIA _ÍÍ

ETSIA

ETSIA _{ECUACIONES de la CAPA LÍMITE LAMINAR INCOMPRESIBLE}_{ECUACIONES de la CAPA LÍMITE LAMINAR INCOMPRESIBLE}

Condiciones de contorno e “inicial” Condiciones de contorno e “inicial”

Relación entre la presión y velocidad exterior Relación entre la presión y velocidad exterior

UPM UPM UPM UPM

(4)

ETSIA

ETSIA Variables adimensionalesVariables adimensionales ETSIA

ETSIA

Ecuaciones en forma adimensional Ecuaciones en forma adimensional

Las ecuaciones no dependen del número de Reynolds Las ecuaciones no dependen del número de Reynolds

Las dos ecuaciones se pueden reducir a una única utilizando Las dos ecuaciones se pueden reducir a una única utilizando la función de corriente

la función de corriente la función de corriente la función de corriente

(5)

ETSIA

ETSIA _ÍÍ

ETSIA

ETSIA _{ESPESORES DE LA CAPA LÍMITE}_{ESPESORES DE LA CAPA LÍMITE} Espesor de desplazamiento

Espesor de desplazamiento

Espesor de cantidad de movimiento Espesor de cantidad de movimientopp

Caso compresible Caso compresible UPM UPM UPM UPM

(6)

ETSIA ETSIA ETSIA ETSIA

(7)

ETSIA

ETSIA _Ó_Ó

ETSIA

ETSIA _{RESISTENCIA DE FRICCIÓN}_{RESISTENCIA DE FRICCIÓN}

RESISTENCIA DE FORMA RESISTENCIA DE FORMA

Resistencia Dp de un perfil aerodinámico (sólo de fricción) y Resistencia Dp de un perfil aerodinámico (sólo de fricción) y Relación entre ambas

Relación entre ambas

Resistencia, Dp, de un perfil aerodinámico (sólo de fricción) y Resistencia, Dp, de un perfil aerodinámico (sólo de fricción) y de un cilindro circular , Dc, (solo de forma)

de un cilindro circular , Dc, (solo de forma)

UPM UPM

Para que tengan la misma resistencia es necesario que c/R Para que tengan la misma resistencia es necesario que c/R

l í d l R ld d i >>R l í d l R ld d i >>R UPM

(8)

ETSIA ETSIA

EFECTO DE LA SUCCIÓN Y EL SOPLADO EFECTO DE LA SUCCIÓN Y EL SOPLADO ETSIA

(9)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA (1908). Solución de CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA (1908). Solución de BLASIUS (1883

BLASIUS (1883 1970)1970) ETSIA

ETSIA BLASIUS (1883BLASIUS (1883--1970)1970)

Ecuaciones de la capa límite de BLASIUS Ecuaciones de la capa límite de BLASIUS

Condiciones de contorno Condiciones de contorno Condiciones de contorno Condiciones de contorno UPM UPM Análisis dimensional Análisis dimensional UPM UPM

(10)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de BLASIUS (Cont )

BLASIUS (Cont ) ETSIA

ETSIA BLASIUS (Cont.)BLASIUS (Cont.)

Ecuación a resolver y condiciones de contorno Ecuación a resolver y condiciones de contorno

Resultados Resultados Resultados Resultados

(11)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de BLASIUS (Cont )

BLASIUS (Cont ) ETSIA

ETSIA BLASIUS (Cont.)BLASIUS (Cont.)

UPM UPM UPM UPM

(12)

ETSIA ETSIA

SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER

SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER--SKANSKAN ETSIA

(13)

ETSIA ETSIA

SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER--SKAN (Cont.)SKAN (Cont.) ETSIA ETSIA UPM UPM UPM UPM

(14)

ETSIA ETSIA

SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER--SKAN (Cont.)SKAN (Cont.) ETSIA

ETSIA

 

(15)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE TÉRMICA. Ecuación de la energía (incompresible) CAPA LIMITE TÉRMICA. Ecuación de la energía (incompresible) ETSIA ETSIA Órdenes de magnitud Órdenes de magnitud Órdenes de magnitud Órdenes de magnitud Pr >> 1 Pr >> 1 Di i ió i d i bl Di i ió i d i bl UPM UPM

Disipación viscosa despreciable Disipación viscosa despreciable

UPM UPM

(16)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor ETSIA ETSIA Número de NUSSELT Número de NUSSELT Pr >> 1 Pr >> 1

Forma final de la ecuación de la energía (flujo incompresible) Forma final de la ecuación de la energía (flujo incompresible) Forma final de la ecuación de la energía (flujo incompresible) Forma final de la ecuación de la energía (flujo incompresible)

Placa plana (Blasius) Placa plana (Blasius)

(17)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor ETSIA

ETSIA _{Placa plana (Blasius)}_{Placa plana (Blasius)}

Aproximación del Nusselt: Aproximación del Nusselt: Solución exacta Solución exacta UPM UPM UPM UPM

(18)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE TÉRMICA. CAPA LIMITE TÉRMICA. ETSIA

(19)

ETSIA ETSIA

CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. ETSIA

ETSIA _Ecuaciones_Ecuaciones

UPM UPM UPM UPM

(20)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Ecuación de cantidad de movimiento}_{Ecuación de cantidad de movimiento}

Condiciones de contorno Condiciones de contorno

Corriente exterior Corriente exterior

(21)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Importancia relativa de las fuerzas de flotabilidad}_{Importancia relativa de las fuerzas de flotabilidad}

Convección forzada Convección forzada

Convección natural o libre Convección natural o libre

UPM UPM

Convección natural o libre Convección natural o libre

Velocidad característica de la convección libre Velocidad característica de la convección libre UPM

UPM

Espesor de la capa límite viscosa con convección libre Espesor de la capa límite viscosa con convección libre

(22)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección forzada. Los efectos de flotabilidad son}_{Convección forzada. Los efectos de flotabilidad son} despreciables porque

despreciables porque

Convección forzada Temperatura de recuperación Convección forzada Temperatura de recuperación Convección forzada. Temperatura de recuperación Convección forzada. Temperatura de recuperación

Si el

Si el PrandtlPrandtl es Pr = 1es Pr = 1

Si la pared está aislada, la solución de la ecuación anterior con las Si la pared está aislada, la solución de la ecuación anterior con las condiciones es , esto es condiciones es , esto es

(23)

ETSIA ETSIA

ETSIA

Convección forzada. Temperatura de recuperación Convección forzada. Temperatura de recuperación (continuación)

(continuación)

Para una capa límite laminar sin gradiente de presiones Para una capa límite laminar sin gradiente de presiones Si la capa límite es turbulenta (sin gradiente de presiones) Si la capa límite es turbulenta (sin gradiente de presiones)

UPM UPM p ( g p ) p ( g p ) UPM UPM

(24)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección forzada. Analogía de Reynolds}_{Convección forzada. Analogía de Reynolds}

La ecuación de cantidad de movimiento es La ecuación de cantidad de movimiento es

Las ecuaciones y condiciones de contorno para y para son Las ecuaciones y condiciones de contorno para y para son yy pp y py p idénticas, de modo que la solución también lo es

(25)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección forzada. Analogía de Reynolds (continuación)}_{Convección forzada. Analogía de Reynolds (continuación)}

D l i ld d d b d i d d d D l i ld d d b d i d d d

UPM UPM

De la igualdad de ambas derivadas se deduce De la igualdad de ambas derivadas se deduce

UPM UPM

(26)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección libre}_{Convección libre}

Espesor de la capa límite térmica Espesor de la capa límite térmica

Número de

(27)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección libre}_{Convección libre}

Flujo de calor cuando Pr >> 1 Flujo de calor cuando Pr >> 1

Número de

Número de PrandtlPrandtl Pr << 1Pr << 1

UPM UPM Flujo de calor Pr << 1 Flujo de calor Pr << 1 UPM UPM

(28)

ETSIA ETSIA

ETSIA _{Convección libre}_{Convección libre} Número de

Número de PrandtlPrandtl ~ 1~ 1

Ecuaciones para la convección libre Ecuaciones para la convección libre

Donde se ha supuesto que la disipación viscosa, el trabajo de las fuerzas másicas y el Donde se ha supuesto que la disipación viscosa, el trabajo de las fuerzas másicas y el

(29)

ETSIA ETSIA ETSIA

ETSIA _Continuidad_Continuidad

Cantidad de movimiento Cantidad de movimiento UPM UPM UPM UPM

(30)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Cantidad de movimiento (Ecuación integral de Karman) Cantidad de movimiento (Ecuación integral de Karman)

Energía Energía

(31)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Energía (continuación) Energía (continuación)

UPM

UPM EnergíaEnergía UPM

(32)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Solución para el caso de fluidos incompresibles Solución para el caso de fluidos incompresibles

Se aproxima la velocidad

Se aproxima la velocidad uu por una función que cumpla las por una función que cumpla las condiciones:

condiciones: condiciones: condiciones:

(33)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Método de Pohlhausen Método de Pohlhausen

Se elige una cuártica para el perfil de velocidades en la forma Se elige una cuártica para el perfil de velocidades en la forma

Placa plana a ángulo de ataque nulo Placa plana a ángulo de ataque nulo

UPM UPM UPM UPM

(34)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Placa plana a ángulo de ataque nulo (continuación) Placa plana a ángulo de ataque nulo (continuación)

(35)

ETSIA

Métodos integrales en la capa límite

ETSIA

g

p

Placa plana a ángulo de ataque nulo (ejemplo con Placa plana a ángulo de ataque nulo (ejemplo con perfil lineal de velocidades)

perfil lineal de velocidades)

UPM UPM UPM UPM

(36)

ETSIA

ETSIA 

Introducción al movimiento turbulento

ETSIA

ETSIA __ _{Experimento de Reynolds}_{Experimento de Reynolds} 

 Estabilidad. La ecuación de OrrEstabilidad. La ecuación de Orr--SommerfeldSommerfeld



_



_  _ ___ _ __ _  _  _ 2__ * 2 2 2 * 4 4 2 * 2 2 * * * k d k 2 d i U d k d c U





_        *2 4 * * 2 * * dy k Re dy dy dy        1 0 dy d 0 dy d 1 0 * *        y y k* Estable Inestable Inestable

(37)

ETSIA

ETSIA 

Introducción al movimiento turbulento (continuación)

ETSIA



 Escala de Kolmogorov, Escala de Kolmogorov,



, escala de torbellinos en los que se , escala de torbellinos en los que se

disipa la energía disipa la energía UPM UPM UPM UPM

(38)

ETSIA

ETSIA 

Valores medios

ETSIA

(39)

ETSIA

ETSIA 

Ecuaciones de Reynolds.

ETSIA ETSIA UPM UPM UPM UPM

(40)

ETSIA ETSIA



Modelos de turbulencia

ETSIA ETSIA



 Viscosidad turbulentaViscosidad turbulenta



 Teoría de mezcla de PrantlTeoría de mezcla de Prantl



 Teoría de semejanza de von KármánTeoría de semejanza de von Kármán 

 Teoría de semejanza de von KármánTeoría de semejanza de von Kármán



 Modelos algebráicos basados en la teoría de mezcla de Prandtl. El más utilizado Modelos algebráicos basados en la teoría de mezcla de Prandtl. El más utilizado

l d B ld i l d B ld i LL es el de Baldwin

es el de Baldwin--Lomax.Lomax.



(41)

ETSIA ETSIA



Flujos turbulentos esbeltos

ETSIA ETSIA



Turbulencia libre

UPM UPM UPM UPM

(42)

ETSIA ETSIA



Estela bidimensional lejana

ETSIA ETSIA

(43)

ETSIA ETSIA



Estela bidimensional lejana (continuación)

(44)

ETSIA ETSIA



Chorro bidimensional lejano

ETSIA ETSIA

(45)

ETSIA ETSIA



Chorro bidimensional lejano (continuación)

(46)

ETSIA ETSIA



Movimiento turbulento en tubos

ETSIA ETSIA

(47)

ETSIA ETSIA



Movimiento turbulento en tubos. Regiones del

i i

t

i i

t

ETSIA

movimiento

Ley del defecto de velocidades Ley del defecto de velocidades

UPM UPM UPM UPM

(48)

ETSIA ETSIA



Movimiento turbulento en tubos. Regiones del

i i

t (

ti

ió )

i i

t (

ti

ió )

ETSIA

movimiento (continuación)

–– Zona cercana a la paredZona cercana a la pared

(49)

ETSIA ETSIA



Movimiento turbulento en tubos. Regiones del

i i

t (

ti

ió )

i i

t (

ti

ió )

ETSIA

movimiento (continuación)

–– Región intermedia (zona logarítmica)Región intermedia (zona logarítmica)

Solución exterior Solución exterior



 Solución exteriorSolución exterior



 Solución interiorSolución interior

  EmpalmeEmpalme UPM UPM UPM UPM

(50)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

_Ecuaciones

Capa límite turbulenta

Continuidad   Cantidad de movimiento 0 U V dx dy  _  _ ´ ´ e e dU U U U U V U u v x y dx y



y          _  _    _  _

T

i

d

t l i

ld d

T

i

d

t l i

ld d







 



e e dU dU U U U  V  U   _U U U _  _V U U _ U U

Teniendo en cuenta la igualdad

a t0







 



e e e e U V U U U U V U U U U x  y dx  x   y   dx    

Se llega a la relación (cantidad de movimiento)

 

   

Se eg

e c ó (c

d d de

ov

e o)

(51)

ETSIA ETSIA ETSIA

ETSIA

_{Multiplicando por dy e integrando transversalmente}









2 * f e

dU

d

U U

U

dy

U

dy



u

 







 



Se obtiene la ecuación integral de Kármán









* 0

U U

U

e

dy

0

U

e

dy

u

dx





dx









g









2 * 0 0 e e e

dU

d

U U

U dy

U

U dy

u

dx

 











Espesor normalizado







*

U

U d

U













*

U

e



*

8

UPM UPM





* ₀ e e

u

 



U



U dy



U



* e

u





 



2   



Transformación útil Transformación útil UPM UPM

_

_

_

_

_

_

_

_

_

2 * e e e e e e e

U U

U

dy

U

dy

U u

U

dy

  







_









_



 





(52)

Región próxima a la pared

2 * * *

;

U

~

u

;

u

'

v

'

~

u

~

y





Se caracteriza por esfuerzos de Reynolds y viscosos del mismo orden

u

U

2 u _*



_*



En primera aproximación la E. de C.M. Se reduce a

1 ~

u

~

u

y

U

~

'

v

'

u

_*2 u * * * *









_







p

2 *

´ ´

U

0 ´ ´

U

u v

u

y



y



y













 











y

_





y

_





y

Los térinos despreciados del primer miembro son del orden de por lo que se admite Los térinos despreciados del primer miembro son del orden de por lo que se admiteU2 

(53)

Región próxima a la pared

La ecuación de cantidad de movimiento se puede escribir como







*



* 1

 

*2 1

 

2

´ ´

1 ;

´ ´

U u

u v

U

u F y



u v

u G

y







_

_

_

_

_

_







1

 

1

 

2 * *

y

yu

u





Siendo

y





yu

_*





y



_*

_En

_{En yy}

_yy

++

₌₀

_{=0 debe ser}

_{debe ser U=0}

_{U=0 y}

_y



u v

´ ´



0 Región Exterior

Región Exterior

e * 2 * * e

U

~

u

;

u

'

v

'

~

u

;

con

u

U

;

~

y







UPM UPM

Ecuación de la continuidad

dU

y

V

dU

U

V

_

_



_

_

_e

_

_

_

_e



UPM UPM

dx

y

V

dx

x

y



















(54)

Región Exterior

Ecuación de la cantidad de movimiento









2





U U U U U U 



 

 















2 * _* 2 2 ´ ´ U u_e _u _u e e e e e e e U U dU dU U U U U y d U U U x u v x dx y y _y 



   _ _ _   _  _ _     _ _{  }_   * 2 * * * 1 1 1 ₁ Re e _u e e U U O u u _u    _  _  _     

Los términos despreciados en la región cercana a la pared eran del

orden relativo

2   1 1 ~ U ~ U ~ U ~ U_e 2 _* _e _* _e _* _e _               

(55)

ETSIA ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA ETSIA

Región Exterior

La ecuación de la cantidad de movimiento queda



_{ }

_





_

_

´ ´

e e e e e

dU

U

dU

U

u v

x

dx

y

dx

y









_











La forma de la solución es (Ley del defecto de velocidades)

 

2

 

* 2

,

;

´ ´

* 2

,

;

e

y

U



U

_e



u F

_{* 2}

_



 

,

 

x



_

;



u v



u G

_* ₂



_

 

,

 

x

_



;





U

u F



_

 

x

_



u v

u G



_

 

x

_







Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica)

UPM UPM

La ecuación de la cantidad de movimiento cerca de la pared

para y en la región exterior para

para y en la región exterior para y/

_y



_*  

se reduce a



´ ´





UPM UPM



_{´ ´}



0 u v

 



(56)

Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica)

Existe una zona de validez común donde ambas soluciones coinciden.

En esta región se tiene

En esta región se tiene y/

_*

>>1 pero

pero y/

<<1.. Allí debe ser

Allí debe ser

; U U U U ;    EXT INT EXT INT U U y y    

De la segunda condición se obtiene

1 * 1 * INT U dF y u dF u y y _dy y y _dy       _  _  _  _   1 dF₁ dF₂ 1 , Constante de Karman 0.41 dF dF y d dy





    

(57)

Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica)

De la igualdad de velocidades se obtiene

* 1 * 1 1 ln ln e U u



C u y B



    



 

* 1 * 1 ln ; e U u C C C x B C x u







      _ _ _ _   _  _    

De la relación anterior se tiene

    2 UPM UPM

 

dx u d u 1 U u ~ U u dx d _* * 2 e * e *



            UPM UPM

que se utilizará más adelante.

(58)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Regiones del movimiento

Corriente exterior: U = U

_e

(x)

y

Región exterior (defecto de velocidades)

Zona logarítmica

1   ln e U U y C x  _  _    

g

(

)

2 * * e U ~ u ; u'v' ~ u U  

Zona logarítmica

1  * _* * * ln Determina 8 1 ln e C x u _u U U y B u  _    _{ } _    _     _  _ _ _   





_*

 y



Región interior

 _ _   1_ _ 2 * 1 u U * y G u ' v ' u ; y F ; ~ y *   

(59)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Capas límites en equilibrio

Las capas límites en equilibrio son aquellas en las que F

₂₂

y G

₂₂

sólo

dependen de y/



 Escribiendo

Escribiendo

 

₂

 

y

 





; u'v' u G , con y F u U U  _e  _* ₂   _*2 ₂ 

La ecuación de cantidad de movimiento queda

ecu c ó de c

d d de

ov

e o qued



_{  }













d

dG

d

dF

dx

U

d

u

1 F

dx

u

U

d

u

2 2 e * 2 * e 2 *





























UPM UPM



d

dx

u

dx

u

_*

_



_*





Donde los términos entre corchetes deben ser constantes, en caso

i l

lí i

í d

ilib i

i l

lí i

í d

ilib i

UPM

(60)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Capas límites en equilibrio

C d

d

é

i

d

ibi

l f

C d

d

é

i

d

ibi

l f

Cada uno de estos términos puede escribirse en la forma





d

dU

2 U

u

d

U

d

dU

2 d

u

U

d

_e _* _e _e 2 _* _e 2



_





























dx

u

U

dx

u

dx

u

dx

u

_*2 _*





_*









_e





_*

Como se muestra con el orden de magnitud dado anteriormente para

 

dx u d u 1 U u ~ U u dx d _* * 2 e * e *



           

Del mismo modo se tiene

(61)

Capas límites en equilibrio

La ecuación de cantidad de movimiento resultante es

 









d

dG

d

dF

dx

u

d

u

U

F

dx

dU

u

2

_* ₂ ₂ 2 * e 2 e *





























Llamando

constante dx dU u e *     

La ecuación de Kármán proporciona

 



_

2

1 u

d

U

_e _* UPM UPM

 

_

2

1 dx

u

* 2 * e





De modo que se obtiene

UPM UPM

  









(62)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Capas límites en equilibrio

P

l

i

P

l

i

Para ver lo anterior primero vemos que













 * e 0 2 e u U * e 0 U Ue U dy U u  U U dy U u  



___ __{ }_ _{ }_          1 ~ u U U 1 U u u 1 O u U * * e * 2 e e * 2 * * e     

De modo que









d u U d dy U U U d d _e _* 0 e



 



 _dx dx



0

quedando

(63)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Capas límites en equilibrio

L

ió d Ká

á

L

ió d Ká

á

constante dx dU u e *     

La ecuación de Kármán

 



_

2 1 dx u d u U _* 2 * e  

junto con

 

_              1 ln u  C  U_e _*         u_*

permiten determinar

UPM UPM

 

(deresultadosexperimentales) conoce se si y     C u 8 U u _* e *  UPM UPM

(64)

ETSIA

Capa límite turbulenta

ETSIA

Capa límite turbulenta

Capas límites en equilibrio

P

l

i

P

l

i

Para una placa plana se tiene



 0

      e U Re ; 2 . 7 8 Re ln 44 . 2 8 _ _          _ 8 _