Ejercicios Selecionados - El Cálculo - Louis Leithold - 7ed

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El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5 Ejercicios de repaso para el capítulo 1. Ejercicio 1, página 95.

Dada f (x) = 4 x2, determine: (a) f (1); (b) f ( 2); (c) f (3); (d) f (x 1); (e) f x2 ; (f) f (x + h) f (x)

h con h 6= 0. Solución: (a) f (1) = 4 (1)2= 4 1 = 3 (b) f ( 2) = 4 ( 2)2= 4 4 = 0 (c) f (3) = 4 (3)2= 4 9 = 5 (d) f (x 1) = 4 (x 1)2= 4 x2 _{2x + 1 = 4} _x2_{+ 2x} _{1 = 3 + 2x} _x2 (e) f x2 _{= 4} _x2 2_{= 4} _x4 _{= 4} _x4 (f) f (x + h) f (x) h = 4 (x + h)2 4 + x2 h = 4 x2 _2hx _h2 _{4 + x}2 h = 2hx h2 h = h ( 2x h) h = 2x h

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(3)

Calcula la deriva de la función

f (x) = 5x3 _7x2_{+ 2x} ₃

Solución:

Usamos primero que la derivada de una suma es la suma de las derivadas; es decir, df (x) dx = d 5x3 7x2+ 2x 3 dx = d 5x3 dx + d 7x2 dx + d (2x) dx + d ( 3) dx Usamos ahora la propiedad

d [cF (x)] dx = c dF (x) dx para escribir df (x) dx = d 5x3 dx + d 7x2 dx + d (2x) dx + d ( 3) dx = 5 d x3 dx 7 d x2 dx + 2 d (x) dx 3 d (1) dx Ahora usamos dxn dx = nx n 1 y obtenemos df (x) dx = 5 d x3 dx 7 d x2 dx + 2 d (x) dx 3 d (1) dx = 5 3x 2 _{7 (2x) + 2 (1)} _{3 (0)}

que …nalmente se reduce a df (x) dx = d 5x3 _7x2_{+ 2x} ₃ dx = 15x 2 _{14x + 2}

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(4)

(a) Dibuja la grá…ca de la función f (x) =p5 + x _{en el intervalo [ 5; +1)}

(b) Encuentra los extremos absolutos de la función en dicho intervalo, si existe alguno, y determina los valores de x para los cuales ocurren los extremos absolutos.

Solución:

(a) La grá…ca de la función

f (x) =p5 + x en el intervalo [ 5; +1) es -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4

x

f(x)

(b)

Primeramente recordemos la de…nición de máximo absoluto y de mínimo absoluto: 3.1.5 De…nición de valor máximo absoluto en un intervalo (página 201).

La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal

que f (c) f (x) para toda x del intervalo. El número f (c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo.

y

3.1.6 De…nición de valor mínimo absoluto en un intervalo (página 201).

La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal

que f (c) f (x) para toda x del intervalo. El número f (c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo.

(5)

Dadas las funciones f (x) =px + 2 y g (x) = x2 _{4, determina las siguientes funciones y determina los dominios de}

las funciones resultantes: (a) f + g; (b) f g; (c) f g; (d) f =g; (e) g=f ; (f) f g; (f) g f .

Solución:

Función f (x) =px + 2.

Examinemos primero la función f (x) =px + 2.

Es claro que el dominio de la función consiste de todos los números reales que hacen que x + 2 0. Eso quiere decir

que el dominio de f es el conjunto de números reales x tales que x 2.

Función g (x) = x2 _4.

Examinemos ahora la función g (x) = x2 4.

Es claro que el dominio de la función consiste de todos los números reales.

a) f + g

La suma f + g queda de…nida como

(f + g) (x) =px + 2 + x2 ₄

Es claro que el dominio de la función es el intervalo [ 2; +1).

b) f g

La resta f g queda de…nida como

(f g) (x) =px + 2 x2_{+ 4}

Es claro que el dominio de la función es el intervalo [ 2; +1).

c) f g

El producto f g queda de…nida como

(f g) (x) = x2 ₄ p_{x + 2}

El dominio de la función es el intervalo [ 2; +1).

d) f

g

El cociente f

g queda de…nida como

f g (x) = p x + 2 x2 ₄ El dominio es el conjunto ( 2; +2) [ (+2; +1). e) g f

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(6)

El cociente g

f queda de…nida como

g

f (x) =

x2 4

p x + 2

El dominio de la función es el intervalo ( 2; +1).

f) f g

La composición f g queda de…nida como

(f g) (x) =px2 _{4 + 2 =}p_x2 ₂

El dominio es el conjunto ( 1; p2] [ [p2; +1).

g) g f

(g f ) (x) = px + 2 2 4 = x + 2 4 = x 2

El dominio de la función es el intervalo [ 2; +1).

(7)

g (x) = x 2 4 + 4 x2 Solución:

Usamos primero que la derivada de una suma es la suma de las derivadas; es decir,

dg (x) dx = d x 2 4 + 4 x2 dx = d dx x2 4 + d dx 4 x2

Usamos ahora la propiedad d [cF (x)] dx = c dF (x) dx para escribir dg (x) dx = d x 2 4 + 4 x2 dx = d dx x2 4 + d dx 4 x2 = 1 4 d dx x 2 _{+ 4} d dx 1 x2

Ahora usamos la derivada de una potencia,

dxn dx = nx n 1 y obtenemos dg (x) dx = d x 2 4 + 4 x2 dx = d dx x2 4 + d dx 4 x2 = 1 4 d dx x 2 _{+ 4} d dx 1 x2 = 1 4(2x) + 4 2 x3

que …nalmente se reduce a dg (x) dx = 1 4(2x) + 4 2 x3 = x 2 8 x3

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(8)

(a) Dibuja la grá…ca de la función f (x) = 9 x2 en el intervalo [ 2; 4].

Solución:

(a) Para construir la grá…ca de la función

f (x) = 9 x2

notemos primero que si x 2 ( 3; 3) tenemos que 9 x2_{> 0, y podemos escribir la función como}

f (x) = 9 x2

Si x =_{2 ( 3; 3) tenemos que 9} x2_{< 0 y la función se espresa como}

f (x) = x2 _9.

Por tanto, tenemos resumiendo,

f (x) = 9 x

2 ₂ _x ₃

x2 ₉ ₃ _x ₄

El primer segmento de la curva es una parábola con vértice en (0; 9), con eje el eje Y y que crece hacia abajo. El

segundo segmento es una parábola con vértice en (0; 9), con eje el eje Y y que crece hacia arriba.

A continuación presentamos la grá…ca

-2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

f(x)

(b)

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(9)

y

3.1.6 De…nición de valor mínimo absoluto en un intervalo (página 201).

La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número c en el intervalo tal

que f (c) f (x) para toda x del intervalo. El número f (c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo.

Con estas de…niciones y estudiando la grá…ca es claro que x = 0 es un máximo absoluto, con un valor f (0) = 9, porque

f (0) = 9 f (x) para cualquier otro x en el intervalo [ 2; 4].

Igualmente es claro de la grá…ca que en todo el intervalo el menor valor que toma la función es 0 en x = 3. Así que tenemos un mínimo absoluto en x = 3 con un valor de 0.

(10)

Dadas las funciones f (x) = 1

x2 y g (x) =

p

x, determina las siguientes funciones y determina los dominios de las

funciones resultantes: (a) f + g; (b) f g; (c) f g; (d) f =g; (e) g=f ; (f) f g; (f) g f .

Solución:

Función f (x) = 1

x2.

Examinemos primero la función f (x) = 1

x2.

Es claro que el dominio de la función consiste de todos los números reales, excepto el 0 donde no está de…nida la

función (f (0) sería 1

02 =

1

0 que no está de…nido). Dominio= ( 1; +1) f0g.

El rango de la función consta de los números reales positivos, (0; +1).

Función g (x) =px.

Examinemos ahora la función g (x) =px.

Es claro que el dominio de la función consiste únicamente de los números reales positivos y el 0. Los números reales negativos no pueden estar en el dominio de la función, porque no existe, en los números reales, la raiz cuadrada de un

número real negativo. Dominio= [0; _1).

El rango de la función consta de todos los números reales, ( 1; +1).

a) f + g

La suma f + g queda de…nida como

(f + g) (x) = 1

x2+

p x

Es claro que el dominio consiste únicamente de los números reales positivos, (0; +1).

b) f g

La resta f g queda de…nida como

(f g) (x) = 1

x2

p_x

c) f g

El producto f g queda de…nida como

(f g) (x) =

p x

(11)

El cociente f

g queda de…nida como

f

g (x) =

1

x2p_x

e) g

f

El cociente g

f queda de…nida como

g

f (x) = x

2p_x

Es claro que el dominio consiste únicamente de los números reales positivos y el 0, [0; +1).

f) f g

(f g) (x) = 1

(px)2

g) g f

(g f ) (x) =

r 1

x2

Es claro que el dominio de la función consiste de todos los números reales, excepto el 0 donde no está de…nida la

función. Dominio= ( 1; +1) f0g.

(12)

F (x) = 2x1=2 1

2x

1=2

Solución:

Usamos primero que la derivada de una suma es la suma de las derivadas; es decir,

dF (x) dx = d 2x1=2 1 2x 1=2 dx = d 2x1=2 dx d 1 2x 1=2 dx

Usamos ahora que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función, d [c (x)] dx = c d (x) dx para escribir dF (x) dx = d 2x1=2 1 2x 1=2 dx = 2 d x1=2 dx 1 2 d x 1=2 dx Ahora usamos dxn dx = nx n 1 y obtenemos dF (x) dx = d 2x1=2 1 2x 1=2 dx = 2 d x1=2 dx 1 2 d x 1=2 dx = 2 1 2x 1=2 1 2 1 2 x 3=2

que …nalmente se reduce a dF (x) dx = 2 1 2x 1=2 1 2 1 2 x 3=2_{= x} 1=2₊1 4x 3=2₌ _p1 x 1 + 1 4x Resumiendo, dF (x) dx = 1 p_x 1 + 1 4x

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(13)

(a) Dibuja la grá…ca de la función f (x) = 3

x 2 en el intervalo [0; 4].

Solución:

(a) La grá…ca de la función

f (x) = 3 x 2 en el intervalo [0; 4] es 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 -20 -10 0 10

x

f(x)

(b) Es claro que la función f no tiene extremos absolutos en el intervalo [0; 4]. La función crece y decrece sin límite al acercarnos a x = 2.

(14)

Solución: (a) f (x) = 2x3 _3x La gra…ca de la función es -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -200 -100 100 200

x

f(x)

y vemos que la función es impar.

Efectivamente, si en la ecuación f (x) = 2x3 _{3x sustituimos x por} _{x, tenemos}

f ( x) = 2x3_{+ 3x =} _{f (x). La función es impar.}

(b) g (x) = 5x4+ 2x2 1

La gra…ca de la función es

(15)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1000 2000 3000

x

g(x)

y se ve claramente que la función es par.

Para probarlo vemos que f ( x) = 5x4_{+ 2x}2 _{1 = f (x); es decir, la función es par.}

(c) h (x) = 3x5 _2x3_{+ x}2 _x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

x

h(x)

Se nota, de la grá…ca, que la función no es par ni impar.

Analíticamente tenemos h ( x) = 3x5_{+ 2x}3_{+ x}2_{+ x 6= h (x), lo que con…rma que la función no es par ni impar.}

(d) F (x) = x

2_{+ 1}

x3 _x

La grá…ca de esta función es

(16)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -4 -2 2 4 6

x

F(x)

y vemos que es impar. Analíticamente tenemos F ( x) = ( x) 2 + 1 ( x)3 ( x)= x2_{+ 1} x3_{+ x} = x2_{+ 1} x3 _x = F (x)

que es la de…nición de que una función es impar.

(17)

(a) Dibuja la grá…ca de la función f (x) = 2 sin 3x en el intervalo h

3;3

i .

Solución:

(a) La grá…ca de la función f (x) = 2 sin 3x en el intervaloh

3;3 i es -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 -1 1 2

x

f(x)

(b)

Es claro que la función f tiene un mínimo absoluto en el intervaloh

3;3

i . El valor mínimo absoluto que toma la función es -2.

El mínimo absoluto ocurre aproximadamente en 0:5. Para determinar este valor con más presición presentamos la

(18)

-0.60 -0.59 -0.58 -0.57 -0.56 -0.55 -0.54 -0.53 -0.52 -0.51 -0.50 -2.00 -1.99 -1.98 -1.97 -1.96 -1.95

x

f(x)

Vemos que efectivamente el valor de la función es -2 y que la x para lo cual ocurre este valor es x 0:52.

Vemos también que existe un máximo absoluto, alrededor de 0.5, con un valor de 2. Haciendo una grá…ca más detallada tenemos

0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 1.975 1.980 1.985 1.990 1.995 2.000

x

f(x)

y concluimos que el valor del máximo absoluto es 2 y ocurre en x 0:52.

(19)

Trace la grá…ca de las siguientes funciones y determine su dominio y su contradominio:

(a) f (x) = 4 2x (b) g (x) = x2 ₄

(c) h (x) =px2 ₁₆ _{(d) F (x) =}p₁₆ _x2

(e) f (x) = j5 xj (f) g (x) = 5 _jxj

Solución:

(a) f (x) = 4 2x

El dominio de esta función son todos los números reales. Su contradominio son todos los números reales.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

x

f(x)

(b) g (x) = x2 ₄

El dominio de esta función son todos los números reales. Su contradominio es el intervalo [ 4; +1).

(20)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

x

g(x)

(c) h (x) =px2 ₁₆

El dominio de esta función es el conjunto ( 1; 4] [ [4; +1).

Su contradominio son todos los números reales positivos y el cero; es decir, [0; +1).

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

h(x)

(d) F (x) =p16 x2

El dominio de esta función es el intervalo [ 4; 4]. Su contradominio es el intervalo [0; 4].

(21)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4

x

F(x)

(e) f (x) = j5 xj

El dominio de esta función son todos los números reales.

Su contradominio son todos los números reales positivos y el cero; es decir, [0; +1).

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14

x

f(x)

(f) g (x) = 5 _jxj

El dominio de esta función son todos los números reales. Su contradominio es el intervalo ( 1; 5].

(22)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 -10 -8 -6 -4 -2 2 4

x

g(x)

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(23)

Dibuja la grá…ca de la función, determina su dominio y su contradominio.

(a) g (x) = x 2 ₁₆ x + 4 (b) G (x) = x 4 _{si x 6= 4} 3 si x = 4 Solución: (a) g (x) = x 2 ₁₆ x + 4

Como podemos factorizar x2 _{16 = (x + 4) (x} _{4) y}

g (x) = x

2 ₁₆

x + 4 =

(x + 4) (x 4)

x + 4 = x 4

Su grá…ca es la de una línea recta con pendiente 1 y ordenada al origen -4,

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

_x

y

Su dominio son todos los números reales menos el 4:

Su contradominio son todos los números reales.

(b) G (x) = x 4 si x 6= 4

3 si x = 4

Es claro que el dominio de la función son todos los números reales. Su contradominio son también todos los números reales.

Cuando x = 4 la función toma el valor 3, y en todos los demás números reales correponde a una línea recta de pendiente 1 y ordenada al origen -4, como vemos a continuación

(24)

x 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 2

x

y

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(25)

Calcula la derivada de la función f (s) = 2s3 _{3s + 7} 4

Solución:

Utilizaremos la regla de la cadena (2.8.1 Teorema Regla de la cadena. Página 164):

Si la función G es diferenciable en x y la función F es diferenciable en G (x), entonces la función compuesta F G es

diferenciable en x, y (F G)0 = F0(G (x)) G0(x).

En este caso tenemos, aplicando la regla de la cadena, df (s)

ds = 4 2s

3 _{3s + 7} 3d 2s

3 _{3s + 7}

ds

Ahora usamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y obtenemos df (s) ds = 4 2s 3 _{3s + 7} 3d 2s 3 _{3s + 7} ds = 4 2s 3 _{3s + 7} 3 " d 2s3 ds + d ( 3s) ds + d (7) ds #

Usamos ahora la propiedad d [cF (x)] dx = c dF (x) dx para escribir df (s) ds = 4 2s 3 _{3s + 7} 3 " 2d s 3 ds 3 d (s) ds + 7 d (1) ds # Ahora usamos dxn dx = nx n 1 y obtenemos df (s) ds = 4 2s 3 _{3s + 7} 3 " 2d s 3 ds 3 d (s) ds + 7 d (1) ds # = 4 2s3 _{3s + 7} 3 _{2 3s}2 _{3 (1) + 7 (0)} y df (s) ds = 4 2s 3 _{3s + 7} 3 _{2 3s}2 _{3 (1) + 7 (0) = 4 2s}3 _{3s + 7} 3 _6s2 ₃

que nos lleva al resultado …nal df (s)

ds = 12 2s

2 ₁ _2s3 _{3s + 7} 3

(26)

Para las dos siguientes funciones

(a) f (x) = x4 _12x2_{+ 36} _con _{x 2 [ 2; 3]}

(b) f (x) = x4 12x2+ 36 con _{x 2 [ 4; 2]}

(i) Determina mediante una grá…ca los extremos absolutos de la función en el intervalo indicado. (ii) Con…rma las respuestas analíticamente.

Solución: (a) f (x) = x4 _12x2_{+ 36} _con _{x 2 [ 2; 3]} (i) De la grá…ca de la función -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 10 20 30

x

f(x)

es claro que en el intervalo [ 2; 3] la función tiene un máximo absoluto de 36 en 0 y un mínimo absoluto de 0 en 2.5

(ii) Para comprobar analíticamente estos resultados debemos seguir los siguientes pasos (página 204 del libro): 1. Determine los valores de la función en los números críticos de f en (a; b).

2. Determine los valores de f (a) y f (b).

3. El mayor de los valores determinados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor de los valores es el valor mínimo absoluto.

Debemos entonces determinar primeramente los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x donde la derivada se anula o no existe. Sacamos la derivada de la función

(27)

df (x)

dx = 4x x

2 _{6 = 0}

encontramos dos valores de x en los que se anula la derivada, x = 0 y x = p6 = 2:45.

El valor x = p6 está fuera del intervalo que estamos considerando y lo desechamos.

Para x = 0 tenemos que la función toma el valor 36. Para saber si es un máximo relativo o un mínimo relativo utilizamos el criterio de la segunda derivada. Tenemos

d2_{f (x)} dx2 = d2 dx2 x 4 _12x2_{+ 36 = 12x}2 ₂₄ que evaluada en x = 0 da d2f (x) dx2 x=0 = 12x2 ₂₄ x=0= 24 < 0

y por lo tanto x = 0 es un máximo relativo.

Para x = +p6 tenemos que la función toma el valor 0. Para saber si es un máximo relativo o un mínimo relativo

utilizamos el criterio de la segunda derivada. Tenemos

d2_{f (x)} dx2 = d2 dx2 x 4 _12x2_{+ 36 = 12x}2 ₂₄ que evaluada en x =p6 da d2f (x) dx2 x=p6 = 12x2 ₂₄ x=p6= 12 6 24 = 48 > 0

y por lo tanto x =p6 es un mínimo relativo.

Calculamos ahora el valor de la función en los extremos del intervalo. Se tiene f ( 2) = 4

y f (3) = 9

Comparando con f (0) = 36 y f p6 = 0, vemos que:

El máximo absoluto de la función ocurre en x = 0 con un valor de 36.

El mínimo absoluto de la función ocurre en x =p6 con un valor de 0.

(a) f (x) = x4 _12x2_{+ 36} _{con x 2 [ 4; 2]}

(i)

De la grá…ca de la función

(28)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

f(x)

es claro que en el intervalo [ 4; 2] la función tiene un máximo absoluto de 100 en -4 y un mínimo absoluto de 0 en -2.5

(en realidad este mínimo ocurre enp6 = 2: 449 5 pero con la resolución de la grá…ca no es posible determinarlo con esa

precisión. Esta determinación la hacemos analíticamente más abajo).

Debemos entonces determinar primeramente los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x donde la derivada se anula o no existe. Sacamos la derivada de la función

df (x) dx = d dx x 4 _12x2_{+ 36 = 4x}3 _{24x = 4x x}2 ₆ Igualandola a cero df (x) dx = 4x x 2 _{6 = 0}

encontramos dos valores de x en los que se anula la derivada, x = 0 y x = p6 = 2:45.

El valor x = +p6 está fuera del intervalo que estamos considerando y lo desechamos.

Para x = 0 tenemos que la función toma el valor 36. Para saber si es un máximo relativo o un mínimo relativo utilizamos el criterio de la segunda derivada. Tenemos

d2_{f (x)} dx2 = d2 dx2 x 4 _12x2_{+ 36 = 12x}2 ₂₄ que evaluada en x = 0 da

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(29)

Para x = p6 tenemos que la función toma el valor 0. Para saber si es un máximo relativo o un mínimo relativo utilizamos el criterio de la segunda derivada. Tenemos

d2f (x) dx2 = d2 dx2 x 4 _12x2_{+ 36 = 12x}2 ₂₄ que evaluada en x =p6 da d2_{f (x)} dx2 x= p6 = 12x2 24 _x= p 6= 12 6 24 = 48 > 0

y por lo tanto x = p6 es un mínimo relativo.

Calculamos ahora el valor de la función en los extremos del intervalo. Se tiene f ( 4) = 100

y f (2) = 4

Comparando con f (0) = 36 y f p6 = 0, vemos que:

El máximo absoluto de la función ocurre en x = 4 con un valor de 100.

El mínimo absoluto de la función ocurre en x = p6 con un valor de 0.

Nota: El objetivo de este problema es mostrar que la misma función tiene diferentes extremos en diferentes intervalos.

(30)

Dibuja la grá…ca de la función, determina su dominio y su contradominio.

(a) F (x) = 3 x x < 0 3 + 2x 0 x (b) G (x) = x2 ₁ _{si x} ₀ x 1 si x > 0 Solución: (a) F (x) = 3 x x < 0 3 + 2x 0 x

Su grá…ca es la de una línea recta con pendiente -1 y ordenada al origen 3 para las x negativas y es una línea recta con pendiente 2 y ordenada al origen 3 para las x positivas y el cero. La grá…ca se ve como sigue:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 12

x

F(x)

Su dominio son todos los números reales.

Su contradominio son los números reales mayores o iguales a 3; es decir, es [3; +1).

(b) G (x) = x

2 ₁ _{si x} ₀

x 1 si x > 0

Es claro que el dominio de la función son todos los números reales; es decir, ( 1; +1). Su contradominio es [ 1; +1).

Para x 0 tenemos una parábola con su eje coincidente con el eje Y y que crece hacia arriba. Para x > 0 tenemos

una recta con pendiente 1 y ordenada al origen -1. La grá…ca se ve como sigue

(31)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x

G(x)

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(32)

Calcula la derivada de la función F (x) = x2 1 3=2 x2 4 1=2.

Solución:

Lo primero que notamos es que la función es un producto; por lo tanto, necesitamos el teorema que nos da dicha derivada:

2.4.6 Teorema Regla de diferenciación para el producto (página 126). Si f y g son funciónes y h es la función de…nida por

h (x) = f (x) g (x) y si f0(x) y g0(x) existen, entonces h0_{(x) = f (x) g}0_{(x) + f}0_{(x) g (x).} Así que dF (x) dx = d dx h x2 ₁ 3=2 _x2 ₄ 1=2i_{= x}2 ₁ 3=2 d dx h x2 ₄ 1=2i_{+ x}2 ₄ 1=2 d dx h x2 ₁ 3=2i

Para derivar cada uno de los factores utilizamos ahora la regla de diferenciación de una potencia racional, 2.9.1 Teorema Regla de diferenciación de la función potencia (para exponentes racionales)

Si f es la función potencia, de…nida por f (x) = xr_{, donde r es cualquier número racional, entonces f es diferenciable}

y

f0_{(x) = rx}r 1

Usando este teorema tenemos, más la regla de la cadena, (2.8.1 Teorema Regla de la cadena. Página 164),

diferenciable en x, y (F G)0 = F0_{(G (x)) G}0_(x) tenemos d dx h x2 ₄ 1=2i₌ 1 2 x 2 ₄ 1=2 d dx x 2 _{4 =} 1 2 x 2 ₄ 1=2_{(2x) =} _p x x2 ₄ y d dx h x2 ₁ 3=2i₌ 3 2 x 2 ₁ 1=2 d dx x 2 _{1 =} 3 2 x 2 ₁ 1=2_{(2x) = 3x}p_x2 ₁

que susttuyendo en la expresión para la derivada, nos da dF (x) dx = d dx h x2 ₁ 3=2 _x2 ₄ 1=2i_{= x}2 ₁ 3=2 d dx h x2 ₄ 1=2i_{+ x}2 ₄ 1=2 d dx h x2 ₁ 3=2i₌ = x2 ₁ 3=2_p x x2 ₄+ x 2 ₄ 1=2_3xp_x2 _{1 = x 4x}2 ₁₃ r x2 ₁ x2 ₄

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(33)

Para la siguiente función

f (x) = sin x + cos x con _{x 2 [ 1; 1]}

(i) Determina mediante una grá…ca los extremos absolutos de la función en el intervalo indicado. (ii) Con…rma las respuestas analíticamente.

Solución:

(a) f (x) = sin x + cos x con _{x 2 [ 1; 1]}

(i) De la grá…ca de la función -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

x

f(x)

es claro que en el intervalo [ 1; 1] la función f tiene un máximo absoluto de 1.4 en 0.8 y un mínimo absoluto de -0.3 en -1.

Sacamos la derivada de la función

f0_{(x) = cos x} _{sin x}

Igualandola a cero

cos x sin x = 0, Solution is: 1

4 + k j k 2 Z

(34)

encontramos una in…nidad de soluciones, dadas como

xk=

4 + k

donde k es cualquier numero entero (k 2 Z).

En el intervalo [ 1; 1] sólo tenemos una de estas soluciones, y es =4 = 0:785

En este punto el valor de la función es f 4 = p 2 La segunda derivada f00_{(x) =} _{cos x} _{sin x} tiene en x = 4 un valor f00 4 = p 2

que es negativo. Por lo tanto, el punto

4;

p

2 es un máximo relativo.

Calculamos ahora el valor de la función en los extremos del intervalo. Tenemos

f ( 1) = cos 1 sin 1 = 0:301 17

y

f (1) = cos 1 + sin 1 = 1: 381 8

Así que comparando los tres números obtenidos f

4 =

p

2 = 1: 414 2, f ( 1) = cos 1 sin 1 = 0:301 17 y f (1) =

cos 1 + sin 1 = 1: 381 8 concluimos que:

El máximo absoluto de la función ocurre en x =

4 con un valor de

p 2.

El mínimo absoluto de la función ocurre en x = 1 con un valor de cos 1 sin 1.

(35)

Dados f (x) = 2x 5, a = 3, L = 1 y " = 0:05,

(a) Utiliza argumentos semejantes a los de los ejemplos 1 y 3 de la sección 1.4 del Leithold para determinar una > 0

tal que

si _{0 < jx} _{aj <} entonces _{jf (x)} _{Lj < "}

(b) Apoya tu elección de del inciso (a) mediante una grá…ca precisa,

(c) Con…rma analíticamente, empleando las propiedades de las desigualdades, la elección de del inciso (a).

Solución:

(a) Queremos los valores de x que hacen que f (x) esté a una distancia " de L; es decir, buscamos x tal que

f (x) L = ", lo que en este problema nos da la ecuación

2x 5 1 = 0:05

que se resuelve como x = 3:025.

Ahora "hacia abajo" ponemos, L f (x) = " que nos da la ecuación

1 (2x 5) = 0:05

cuya solución es x = 2:975

Por lo tanto, si x 2 (2:975; 3:025) entonces f (x) 2 (0:95; 1:05).

Así que si tomamos = 0:025, los valores de f (x) estarán más cerca del límite L = 1 que " = 0:05.

(b) Haciendo una grá…ca tenemos

(36)

de donde es claro que = 0:025.

(c)

Demostraremos ahora analíticamente que dado " = 0:05, la que necesitamos es 0.025:

Tenemos que

jf (x) Lj = j2x 5 _{1j = j2x} _{6j = 2 jx} _{3j < "}

por tanto,

jx 3j < "

2 =

y tal como queríamos demostrar,

=0:05

2 = 0:025

(37)

Determina la derivada

Dx[(x + 1) sin x x cos x]

Solución:

Para calcular esta derivada, hacemos primero uso de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas,

Dx[(x + 1) sin x x cos x] = Dx[(x + 1) sin x] Dx[x cos x]

Para calcular cada una de las derivadas que hemos obtenido, hacemos uso de la propiedad de la derivada que dice que la derivada de un producto de dos funciones, es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera, así

Dx[(x + 1) sin x x cos x] = Dx[(x + 1) sin x] Dx[x cos x] = (x + 1) Dxsin x + sin xDx(x + 1) xDxcos x cos xDxx

Ahora usamos que

Dxsin x = cos x y Dxcos x = sin x

para obtener

Dx[(x + 1) sin x x cos x] = (x + 1) Dxsin x + sin xDx(x + 1) xDxcos x cos xDxx = (x + 1) cos x + sin x + x sin x

cos x =

= sin x + x cos x + x sin x Resumiendo

Dx[(x + 1) sin x x cos x] = (1 + x) sin x + x cos x

(38)

Veri…ca que la función

f (x) = x3 _x2 _{4x + 4}

satisface las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [ 2; 1]. Después encuentra una valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle. Apoya grá…camente la elección de c trazando en el mismo rectángulo de inspección las grá…cas de f y de la recta tangente horizontal en (c; f (c)).

Solución:

El teorema de Rolle (3.3.1 Teorema de Rolle, página 216) establece que dada una función F tal que (i) es continua en el intervalo cerrado [a; b];

(ii) es diferenciable en el intervalo abierto (a; b); (iii) F (a) = 0 y F (b) = 0.

Entonces existe un número real c en el intervalo abierto (a; b) tal que F0_{(c) = 0.}

Debemos veri…car que la función f (x) = x3 _x2 _{4x + 4 satisface las tres condiciones de la hipótesis del teorema de}

Rolle en el intervalo [ 2; 1].

(i) ¿es la función f continua en el intervalo cerrado [ 2; 1]?

Dado que la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en toda la recta real (1.8.3 Teorema, página 71), la función f es continua en todo el intervalo [ 2; 1].

(ii) ¿es diferenciable f en el intervalo abierto ( 2; 1)? La derivada de f es

f0_{(x) = 3x}2 _2x ₄

que es un polinomio de grado 2 y que está de…nido en toda la recta real, en particular en el intervalo abierto ( 2; 1). Es decir, la derivada existe en todo el intervalo abierto ( 2; 1).

(iii) ¿f ( 2) = 0 y f (1) = 0?

Tenemos f ( 2) = ( 2)3 ( 2)2 4 ( 2) + 4 = 8 4 + 8 + 4 = 0; es decir, f ( 2) = 0.

Además f (1) = (1)3 (1)2 4 (1) + 4 = 1 1 4 + 4 = 0; es decir, f (1) = 0.

Como se satisfacen las condiciones del teorema de Rolle, debe existir un número real c 2 (a; b) tal que f0_{(c) = 0.}

Para encontrar ese valor c, calculamos la derivada

f0(x) = 3x2 2x 4,

la igualamos a cero,

(39)

El primer valor está fuera del intervalo, así que c es el segundo, c = 1 3 1 3 p 13 = 0:87.

En la siguiente grá…ca tenemos en rojo la función f (x) = x3 _x2 _{4x + 4 y en azul la recta tangente en el punto}

(c; f (c)). -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6

x

f(x)

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(40)

Dados f (x) = x

2 ₂₅

x 5 , a = 5, L = 10 y " = 0:1,

tal que

Solución:

x2 ₂₅

x 5 10 = 0:1

que reescribimos como

(x 5) (x + 5)

x 5 10 = x + 5 10 = x 5 = 0:1

que se resuelve como x = 5:1.

10 x

2 ₂₅

x 5 = 0:1

Factorizando y cancelando factores

10 x 2 ₂₅ x 5 = 10 (x 5) (x + 5) x 5 = 10 (x + 5) = 5 x = 0:1 cuya solución es x = 4:9

(b) Haciendo una grá…ca en la vecindad de x = 5 tenemos

(41)

4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

x

y

(c)

Demostraremos ahora analíticamente que dado " = 0:1, la que necesitamos es 0.1.

Tenemos que jf (x) Lj = x 2 ₂₅ x 5 10 = jx + 5 10j = jx 5j < " por tanto, jx 5j < " =

y tal como queríamos demostrar, = " = 0:1

(42)

Veri…ca que la función

f (x) =p3 x

satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [ 6; 1]. Después encuentra una valor adecuado para

c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio. Apoya grá…camente la elección de c trazando en el mismo

rectángulo de inspección las grá…ca de f en el intervalo cerrado [ 6; 1], la recta tangente en (c; f (c)) y la recta secante

que pasa por los puntos (a; f (a)) y (b; f (b)) y mostrando que las rectas tangente y secante son paralelas. Solución:

Primero enunciamos el teorema del valor medio: 3.3.2 Teorema del valor medio (página 217). Sea f una función tal que

(i) es continua en el intervalo cerrado [a; b]; (ii) es diferenciable en el intervalo abierto (a; b).

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a; b) tal que

f0_{(c) =} f (b) f (a)

b a

Debemos veri…car que la función f (x) =p3 x satisface las dos condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle en

el intervalo [ 6; 1].

(i) ¿es la función f continua en el intervalo cerrado [ 6; 1]?

La función f (x) = p3 x es la composición de la función h (x) = 3 x y de la función g (x) = px. Es decir,

f (x) =p3 x = [g h] (x).

Además sabemos que

1.9.2 Teorema Continuidad de una función compuesta

Si la función G es continua en a y la función F es continua en G (a), entonces la función compuesta F G

es continua en a.

Dado que la función es una composición, basta ahora demostrar que h (x) = 3 x es continua en el intervalo [ 6; 1]

y que g (x) =px es continua en el intervalo [4; 9].

Que h (x) = 3 x es continua en el intervalo [ 6; 1] está garantizado por el teorema

1.8.3 Teorema (página 71)

Una función polinomial es continua en todo número real.

Que g (x) =px es continua en el intervalo [4; 9] está garantizado por el teorema

(43)

La función f (x) =p3 x es continua en todo el intervalo cerrado [ 6; 1].

(ii) ¿es f (x) =p3 x diferenciable en el intervalo abierto (a; b)?

La derivada de f (x) es f0_{(x) =} 1 2 1 p 3 x

que está correctamente de…nida en todo el intervalo ( 6; 1).

Por tanto, la función f sí es diferenciable en el intervalo abierto ( 6; 1).

Como si satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio, entonces existe un número c en el intervalo abierto

( 6; 1) tal que f0_{(c) =} f ( 1) f ( 6) 1 ( 6) = p 3 ( 1) p3 ( 6) 5 = p 4 p9 5 = 2 3 5 = 1 5.

Para hallar ese valor hacemos

[f0_(x)] x=c= 1 2 1 p 3 x _x=c= 1 2 1 p 3 c = 1 5 que nos da c = 13 4 = 3: 25

Por lo tanto, la recta tangente en (c; f (c)) tiene por ecuación,

y f 13 4 = 1 5 x 13 4 o sea

4x + 20y 37 = 0, Solution is: 37

20 1

5x

y la ecuación de la recta secante que pasa por ( 6; f ( 6)) y ( 1; f ( 1)) es

y f ( 1) = f ( 1) f ( 6) 1 ( 6) (x ( 1)) o sea x + 5y 9 = 0, Solution is: 9 5 1 5x

Gra…cando la función y construyendo las líneas rectas tangente y secante, tenemos

(44)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

x

f(x)

La línea azul es la tangente y la línea recta verde es la secante. Vemos que sí son paralelas.

(45)

Dados f (x) = x2_{+ 4,} _{a = 2,} _{L = 8} _y _{" = 0:3,}

tal que

Solución:

x2_{+ 4} _{8 = 0:3}

que reescribimos como

x2 4 = 0:3

que se resuelve como

x = p4:3 = 2:07.

8 x2 _{4 = 0:3}

Factorizando y cancelando factores

3:7 x2_{= 0,}

cuya solución es

x = 1:92

(b) Haciendo una grá…ca en la vecindad de x = 5 tenemos

(46)

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

x

f(x)

(c)

La demostración analítica es idéntica a la del ejemplo 4, de la sección 1.4, página 34.

(47)

Demuestra que lim

x!3(2x 5) = 1

Solución:

Debemos demostrar que dado " > 0 existe _{> 0 tal que si jx} _{3j < entonces j2x} 5 _{1j < ".}

Como

j2x 5 _{1j = j2x} _{6j = 2 jx} _{3j < "}

basta tomar

="

2

para que se cumpla la condición y efectivamente lim

x!3(2x 5) = 1

(48)

Calcula la derivada de la función

f (x) = 2x

x2_{+ 1}

2

y apoya tu respuesta trazando las grá…cas de la respuesta y la derivada numérica en x en el mismo rectángulo de inspección.

Solución:

Para derivar esta función debemos utilizar primeramente la regla de la cadena (2.8.1 Teorema Regla de la cadena. Página 164), que dice:

diferenciable en x, y (F G)0 = F0(G (x)) G0(x).

En este caso tenemos df (x) dx = d dx 2x x2_{+ 1} 2 = 2 2x x2_{+ 1} d dx 2x x2_{+ 1}

Debemos sacar ahora la derivada de un cociente, y para ello utilizamos el teorema 2.4.7 Regla de diferenciación para el cociente que establece:

Si F y G son funciones y H es lafunción de…nida por

H (x) = F (x)

G (x), donde G (x) 6= 0

y si F0(x) y G0(x) existen, entonces

H0_{(x) =}G (x) F0(x) F (x) G0(x)

G2_(x)

Aplicando esta regla obtenemos d dx 2x x2_{+ 1} = x2+ 1 d (2x) dx (2x) d dx x 2_{+ 1} (x2_{+ 1)}2

Ahora aplicamos el teorema 2.4.3 Regla de diferenciación para el producto de una función por una constante, que establece que:

Si F es una función, c es una constante y G es la función de…nida como G (x) = cF (x)

y si F0_{(x) existe, entonces}

G0_{(x) = cF}0_(x)

por lo que

(49)

obtenemos d (2x) dx = 2 dx dx = 2 (1) x 1 1_{= 2x}0_{= 2} Para el término d dx x

2_{+ 1 aplicamos primero el teorema 2.4.4 Regla de diferenciación para la suma de funciones que}

dice:

Si F y G son funciones y H es la función de…nida por H (x) = F (x) + G (x) y si F0_{(x) y G}0_{(x) existen, entonces} H0(x) = F0(x) + G0(x) para obtener d dx x 2_{+ 1 =} dx2 dx + d1 dx

y usando el teorema 2.4.2 Regla de diferenciación de potencias que establece que:

Si n es un número entero positivo y si F (x) = xn_{, entonces F}0_{(x) = nx}n 1

y el hecho que la derivada de una constante es cero, tenemos d dx x 2_{+ 1 =} dx2 dx + d1 dx = 2x + 0 = 2x Así que d dx 2x x2_{+ 1} = x2_{+ 1} d (2x) dx (2x) d dx x 2_{+ 1} (x2_{+ 1)}2 = x2_{+ 1 2} _{(2x) (2x)} (x2_{+ 1)}2 = 2x2 ₂ (x2_{+ 1)}2 = 2 x2 ₁ (x2_{+ 1)}2

Como teníamos que df (x) dx = d dx 2x x2_{+ 1} 2 = 2 2x x2_{+ 1} d dx 2x x2_{+ 1} y d dx 2x x2_{+ 1} = 2 x2 ₁ (x2_{+ 1)}2

llegamos …nalmente a que df (x) dx = 2 2x x2_{+ 1} d dx 2x x2_{+ 1} = 2 2x x2_{+ 1} 2 x2 ₁ (x2_{+ 1)}2 ! = 8x x 2 ₁ (x2_{+ 1)}3 Resumiendo df (x) dx = d dx 2x x2_{+ 1} 2 = 8x x 2 ₁ (x2_{+ 1)}3

Calcularemos ahora la derivada numérica.

Por de…nición (2.3.1 De…nición de la derivada numérica, página 119) la derivada numérica de F en el número real a, está dada como

(50)

NDER(F (x) ; a) = F (a + x) F (a x) 2 x

donde la elección de x depende de la aproximación deseada de NDER(F (x) ; a) a F0_(a).

En nuestro libro de texto se recomienda utilizar x = 0:001.

En nuestro ejemplo particular tenemos

NDER(f (x) ; ) = f ( + 0:001) f ( 0:001) 0:002 = 2 ( + 0:001) ( + 0:001)2+ 1 !2 2 ( 0:001) ( 0:001)2+ 1 !2 0:002 Realizando toda el álgebra

NDER(f (x) ; ) = 2 ( + 0:001) ( + 0:001)2+ 1 !2 2 ( 0:001) ( 0:001)2+ 1 !2 0:002 = 5:000 1 2 0:625 6+ 1:875 4+ 1:875 2+ 0:625

En la grá…ca siguiente podemos ver, en azul la derivada exacta, y en rojo la derivada numérica. Es notable que practicamente no se pueden distinguir; es decir, en la aproximación en la cual la computadora hizo la grá…ca, la derivada y la derivada numérica coinciden

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

x

y

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(51)

Solución: (a)

El teorema de Rolle (3.3.1 Teorema de Rolle, página 216) establece que dada una función F tal que (i) es continua en el intervalo cerrado [a; b];

(ii) es diferenciable en el intervalo abierto (a; b); (iii) F (a) = 0 y F (b) = 0

Entonces existe un número real c en el intervalo abierto (a; b) tal que F0_{(c) = 0}

La función f satisface las condiciones del teorema de Rolle. Efectivamente (i) al ser una función polinomial es continua en el intervalo cerrado [a; b]; (ii) al ser una función polinomial es diferenciable en el intervalo abierto (a; b); (iii) en el enunciado del problema se establece que f (a) = 0 y f (b) = 0;

Por lo tanto, existe un número real c en el intervalo abierto (a; b) tal que f0(c) = 0

Consideremos ahora la función f0 _{de…nida en el intervalo [a; c]. Está función satisface también las condiciones del}

teorema de Rolle. Efectivamente

(i) al ser la derivada de una función polinomial es también polinomial y es continua en el intervalo cerrado [a; c]; (ii) al ser la derivada de una función polinomial es también polinomial y es diferenciable en el intervalo abierto (a; c);

(iii) en el enunciado del problema se establece que f0_{(a) = 0 y acabamos de demostrar que f}0_{(c) = 0;}

Por lo tanto, existe un número real d1 en el intervalo abierto (a; c) tal que f00(d1) = 0

Lo mismo sucede para la función f0_{de…nida ahora en el intervalo [c; b]. La función satisface las condiciones del teorema}

de Rolle. En efecto, tenemos

(i) al ser la derivada de una función polinomial es también polinomial y es continua en el intervalo cerrado [c; b]; (ii) al ser la derivada de una función polinomial es también polinomial y es diferenciable en el intervalo abierto (c; b);

(iii) en el enunciado del problema se establece que f0_{(b) = 0 y demostramos que f}0_{(c) = 0;}

(52)

Por lo tanto, existe un número real d2 en el intervalo abierto (c; b) tal que f00(d2) = 0

Vemos que efectivamente existen dos valores, d1 y d2, en el intervalo abierto (a; b) en los cuales la función f00 se anula,

tal y como se quería demostrar.

en esencia lo que sucede es que el punto c de la función f divide el intervalo de la función f0 _{en dos en los cuales se}

cumplen las condiciones del teorema de Rolle.

(b) La función f (x) = x2 4 2= x4 8x2+ 16 es efectivamente polinomial. Tenemos que f ( 2) = 0 y f (2) = 0 Su derivada es f0_{(x) = 4x x}2 _{4 = 4x}3 _16x

que tiene los valores

f0( 2) = 0

y

f0_{(2) = 0}

Así que efectivamente satisface las condiciones del inciso (a).

Las grá…cas de esta función (en rojo) y la de su derivada (en azul) son

(53)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

x

En la grá…ca se ve claramente que x2 4 2satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [ 2; 2] y que

tiene un punto donde su derivada se hace cero, que es el cero. Se ve también que la derivada de x2 ₄ 2_{= 4x x}2 ₄

satisface el teorema de Rolle en el intervalo [ 2; 0] y tiene entonces un lugar donde su derivada se hace cero (es decir,

donde f00 _{= 0), que es ahí por -1.25. También se ve que la derivada de x}2 ₄ 2 _{= 4x x}2 _{4 satisface el teorema de}

Rolle en el intervalo [0; 2] y tiene entonces un lugar donde su derivada se hace cero (es decir, donde f00 _{= 0), que es ahí}

por 1.25. Por tanto, la función derivada f0 _{tiene dos lugares en el intervalo en los que su derivada (f}00_{) se anula, que son}

aproximadamente -1.25 y 1.25.

(54)

Demuestra que lim

x! 1(3x + 8) = 5.

Solución:

Debemos demostrar que dado " > 0 existe _{> 0 tal que si jx} _{( 1)j < entonces j3x + 8} _{5j < ".}

Como

j3x + 8 5j = j3x + 3j = 3 jx + 1j < "

basta tomar

="

3

para que se cumpla la condición y efectivamente lim

x! 1(3x + 8) = 5

(55)

Calcula la derivada de la función

g (x) = tan x

1 + x

y apoya tu respuesta trazando las grá…cas de la respuesta y la derivada numérica en x en el mismo rectángulo de inspección.

Solución:

Notemos, primeramente, que la función está de…nida por un cociente. Para derivarla necesitamos entonces 2.4.7 Teorema Regla de diferenciación para el cociente (página 128)

Si f y g son funciones y h es la función de…nida por

h (x) = f (x)

g (x), donde g (x) 6= 0

y si f0_{(x) y g}0_{(x) existen, entonces}

h0_{(x) =} g (x) f0(x) f (x) g0(x)

[g (x)]2

Aplicando este teorema tenemos d dx tan x 1 + x = (1 + x)d tan x dx tan x d (1 + x) dx (1 + x)2

pero sabemos que d tan x dx = tan 2_{x + 1 = sec}2_x y d (1 + x) dx = d1 dx+ dx dx = 0 + 1 = 1 así que d dx tan x 1 + x = (1 + x)d tan x dx tan x d (1 + x) dx (1 + x)2 = (1 + x) sec2x tan x (1 + x)2 = sec2x 1 + x tan x (1 + x)2 Resumiendo d dx tan x 1 + x = sec2_x 1 + x tan x (1 + x)2

Calcularemos ahora la derivada numérica.

Por de…nición (2.3.1 De…nición de la derivada numérica, página 119) la derivada numérica de F en el número real a, está dada como

NDER(F (x) ; a) = F (a + x) F (a x)

2 x

donde la elección de x depende de la aproximación deseada de NDER(F (x) ; a) a F0_(a).

(56)

En nuestro libro de texto se recomienda utilizar x = 0:001. En nuestro ejemplo particular tenemos

NDER(g (x) ; ) = g ( + 0:001) g ( 0:001) 0:002 = tan ( + 0:001) 1 + + 0:001 tan ( 0:001) 1 + 0:001 0:002 Realizando el álgebra NDER(f (x) ; ) = tan ( + 0:001) + 1:001 tan ( 0:001) + 0:999 0:002 = ( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan ( 0:001) ( + 1:001) ( + 0:999) 0:002 = = ( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan ( 0:001) 0:002 ( + 1:001) ( + 0:999) = ( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan ( 0:001) 0:002 2+ 0:004 + 0:002 pero

tan (a b) = tan a tan b

1 tan a tan b

así que

NDER(f (x) ; ) = ( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan ( 0:001)

0:002 2+ 0:004 + 0:002 = ( + 0:999) tan + tan (0:001) 1 tan tan (0:001) ( + 1:001) tan tan (0:001) 1 + tan tan (0:001) 0:002 2+ 0:004 + 0:002

Pero tan (0:001) = 0:001, y por tanto,

NDER(f (x) ; ) = ( + 0:999) tan + tan (0:001) 1 tan tan (0:001) ( + 1:001) tan tan (0:001) 1 + tan tan (0:001) 0:002 2+ 0:004 + 0:002 = ( + 0:999) tan + 0:001 1 0:001 tan ( + 1:001) tan 0:001 1 + 0:001 tan 0:002 2+ 0:004 + 0:002 ( + 0:999) tan + 0:001 1 0:001 tan ( + 1:001) tan 0:001 1 + 0:001 tan 0:002 2+ 0:004 + 0:002 =

0:002 0:002 tan + 0:002 tan2 + 0:002 tan2 + 0:002

1 1:0 10 6_tan2 _0:002 2

+ 0:004 + 0:002 Resumiendo,

NDER(f (x) ; ) = 0:002 0:002 tan + 0:002 tan

2 _{+ 0:002 tan}2 _{+ 0:002}

1 1:0 10 6_tan2 _0:002 2_{+ 0:004 + 0:002}

En la grá…ca siguiente podemos ver, en azul continuo la derivada exacta, y en rojo punteado la derivada numérica. Es notable que practicamente no se pueden distinguir; es decir, en la aproximación en la cual la computadora hizo la grá…ca, la derivada y la derivada numérica coinciden.

(57)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

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(58)

Para la función

f (x) = 4 x

2 _{x < 1}

6 3x x 1

no existe ningún número c en el intervalo abierto (0; 3) que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio. Determine qué condición de la hipótesis del teorema del valor medio no se cumple. Dibuje la grá…ca de f y la recta que pasa por los puntos (a; f (a)) y (b; f (b)).

Solución:

Primeramente enunciamos el teorema del valor medio: 3.3.2 Teorema del valor medio (página 217).

Sea f una función tal que

(i) es continua en el intervalo cerrado [a; b]; (ii) es diferenciable en el intervalo abierto (a; b).

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a; b) tal que

f0_{(c) =} f (b) f (a)

b a

Analicemos el cumplimiento de las condiciones.

¿(i) es continua la función f en el intervalo cerrado [0; 3]?

La función está de…nida por dos segmentos, y cada segmento es un polinomio. Sabemos que los polinomios son continuos en toda la recta real, así que el único lugar en que la función puede no ser continua es en la frontera entre los segmentos, es decir, en x = 1. En el punto x = 1 tenemos lim x!1 f (x) = limx!1 4 x 2 _{= lim} x!1 4 xlim!1 x 2_{= 4} _lim x!1 x 2 = 4 (1)2= 4 1 = 3 y lim

x!1+f (x) = lim_x_!1+(6 3x) = lim_x_!1+6 _xlim_!1+(3x) = lim_x_!1+6 3 lim_x_!1+x = 6 3 (1) = 6 3 = 3

Por lo tanto, el límite existe y es lim

x!1f (x) = 3

Además, el valor de la función f en el punto x = 1 es f (1) = 6 3 (1) = 3, o sea

lim

x!1f (x) = 3 = f (1).

Como, primero, la función está de…nida en x = 1, segundo, el límite en x = 1 existe, y, …nalmente, el límite es el valor

(59)

Nuevamente usamos el argumento que la función está de…nida por dos segmentos, y cada segmento es un polinomio. Sabemos que los polinomios son diferenciables en toda la recta real, así que el único lugar en que la función puede no ser diferenciable es en la frontera entre los segmentos, es decir, en x = 1.

En este punto tenemos para la derivada por la izquierda

f0 (1) = lim x!0 f (1 + x) f (1) x = xlim!0 4 (1 + x)2 3 x = xlim!0 4 1 2 x + x2 3 x = xlim!0 ( 2 + x) = 2

y la derivada por la derecha

f0 +(1) = lim x!0+ f (1 + x) f (1) x = xlim!0+ 6 3 (1 + x) 3 x = xlim!0+ 3 x x = xlim!0+( 3) = 3 Así que f0 +(1) 6= f0 (1) y la función no es diferenciable en x = 1.

La condición (ii) no se satisface. La función f no satisface las hipótesis del teorema del valor medio y por eso no existe ningún número c en el intervalo abierto (0; 3) tal que

f0(c) = f (b) f (a)

b a

De hecho, la derivada de la función

f (x) = 4 x 2 _{x < 1} 6 3x x 1 es f0_{(x) =} 2x x < 1 3 x 1

y es claro que en x = 1 no es continua.

A continuación presentamos la grá…ca de la función (en rojo) y de su derivada (en azul).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f(x)

Claramente vemos que la derivada no es continua en x = 1.

(60)

(0; f (0)) = (0; 4)

(3; f (3)) = (3; 3)

Dibuje la grá…ca de f y la recta que pasa por los puntos (0; f (0)) y (3; f (3)).

La grá…ca de f ya la presentamos. Ahora debemos de calcular la grá…ca de la línea recta que pasa por (0; f (0)) y (3; f (3)).

Como f (0) = 4 y f (3) = 3, tenemos que encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos (0; 4) y

(3; 3). Esa ecuación es y 4 = 4 ( 3) 0 3 x que se reduce a y = 7 3x + 4

La grá…ca de la función la presentamos en rojo y la grá…ca de la línea recta que pasa por los puntos (0; f (0)) y (3; f (3)) la presentamos en azul: 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

Al ver las dos grá…cas nos damos cuenta que efectivamente no existe ningún punto en el intervalo en el cual la recta tangente a la curva tenga la misma pendiente que la recta que une los extremos de la curva.

(61)

Demuestra que lim

x! 3=4

16x2 9

4x + 3 = 6

Solución:

Debemos demostrar que dado " > 0 existe _{> 0 tal que si jx} _{3j < entonces j2x} 5 _{1j < ".}

Primero notemos que 16x2 9 = (4x + 3) (4x 3), así que

16x2 ₉ 4x + 3 = (4x + 3) (4x 3) 4x + 3 = 4x 3 y 16x2 9 4x + 3 ( 6) =j4x 3 + 6j = j4x + 3j = 4 x + 3 4 < "

esto implica que

x + 3

4 <

" 4

y por tanto si tomamos = "=4

16x2 ₉

4x + 3 ( 6)

será menor que " siempre que x + 3

4 <

"

4, que es lo que se quería demostrar.

A continuación presentamos una grá…ca de la función y del punto límite,

-2 -1 1 -10 -8 -6 -4 -2

x

f(x)

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(62)

Dada la ecuación

4x2_{+ 4y}2 _y3_{= 0}

obten dy

dx.

Solución:

Se trata de utilizar la técnica de derivar implicitamente una función. En este caso es muy complicado despejar a y como función de x, asi que derivamos implicitamente.

Tenemos

Dx 4x2+ 4y2 y3 = 0

que nos da

8x + 8yDxy 3y2Dxy = 0

Factorizando la derivada de y respecto a x, encontramos

8x + 8y 3y2 _D

xy = 0

y …nalmente despejamos para obtener el resultado …nal

Dxy =

8x

3y2 _8y

(63)

(a) Traza la grá…ca de la función f (x) = x3+ 3x2 4

(b) A partir de la grá…ca determina los extremos relativos de la función.

(c) A partir de la grá…ca determina los valores de x en los que ocurren los extremos relativos. (d) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es creciente.

(e) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es decreciente. Con…rma analíticamente la información obtenida grá…camente.

Solución:

(a) Traza la grá…ca de la función;

f (x) = x3_{+ 3x}2 ₄ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

f(x)

De la grá…ca vemos claramente que hay dos extremos relativos, un máximo relativo con un valor de cero y un mínimo relativo con un valor de -4:

(c) A partir de la grá…ca determina los valores de x en los que ocurren los extremos relativos. De la grá…ca vemos claramente que hay dos extremos relativos, -2 y 0.

(d) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es creciente.

La función f (x) = x3_{+ 3x}2 _{4 es creciente en el intervalo ( 1; 2) y en el intervalo (0; +1).}

(e) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es decreciente.

La función f (x) = x3_{+ 3x}2 _{4 es decreciente únicamente en el intervalo ( 2; 0).}

(64)

Con…rma analíticamente la información obtenida grá…camente.

Analíticamente los extremos relativos se obtienen derivando la función e igualando la derivada a cero. Tenemos

f (x) = x3_{+ 3x}2 ₄

y

f0(x) = 3x2+ 6x

Los ceros de la derivada son los puntos en los cuales

3x2_{+ 6x = 0}

es decir, x1= 2 y x2= 0.

Con lo cual con…rmamos que los puntos críticos son 2 y 0.

El valor de la función en esos dos puntos críticos es

f ( 2) = 0 y f (0) = 4

que con…rma también la aseveración hecha a partir de la grá…ca.

Para saber si estos puntos críticos son máximos o mínimos relativos, acudimos a la segunda derivada de la función

f00(x) = 6x + 6

y la evaluamos en los puntos críticos

f00_{( 2) =} ₆ _y _f00_{(0) = 6.}

El punto x = 2 tiene una segunda derivada negativa y por lo tanto se trata de un máximo relativo.

El punto x = 0 tiene una segunda derivada positiva y por lo tanto se trata de un mínimo relativo.

La función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva y es decreciente si su derivada es negativa. La derivada

es f0_{(x) = 3x}2_{+ 6x, por tanto f será creciente donde 3x}2_{+ 6x > 0 y f será decreciente cuando 3x}2_{+ 6x < 0.}

Tenemos

3x2+ 6x > 0

o bien

3 x2_{+ 2x > 0}

Completando un trinomio cuadrado perfecto

3 x2_{+ 2x + 1 > 3}

Dividiendo entre 3

x2_{+ 2x + 1 > 1}

Factorizando

(65)

o bien

x > 0 ó x < 2

Así que la deriva es positiva en ( 1; 2)[(0; +1), que es donde la función es creciente, tal y como lo vimos claramente de la grá…ca.

La función es decreciente en la región donde

3x2+ 6x < 0

ó sea

3 x2_{+ 2x < 0}

Completando un trinomio cuadrado perfecto

3 x2_{+ 2x + 1 < 3} Dividiendo entre 3 x2_{+ 2x + 1 < 1} Factorizando (x + 1)2< 1 que es equivalente a 1 < x + 1 < 1 o bien 2 < x < 0

Así que la deriva es negativa en ( 2; 0), que es donde la función es decreciente, tal y como lo vimos claramente de la grá…ca.

Las anteriores desigualdades quedan fácilmente con…rmadas mediante una grá…ca de la derivada

-3 -2 -1 1 2 3 10 20 30 40

x

f'(x)

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(66)

Calcula el límite lim

x!2 3x

2 _{4x + 5} _{e indica los teoremas de límites empleados.}

Solución:

Para calcular este límite utilizamos, para empezar, el teorema siguiente:

1.5.6 Teorema 5 de límites (página 41). Límite de la suma y de la diferencia de n funciones. Si lim

x!af1(x) = L1, limx!af2(x) = L1,..., y limx!afn(x) = Ln, entonces

lim x!a[f1(x) f2(x) ::: fn(x)] = L1 L2 ::: Ln así que lim x!2 3x 2 _{4x + 5 = lim} x!2 3x 2 _lim x!2(4x) + limx!2(5)

A continuación utilizamos el teorema

1.5.7 Teorema 6 de límites (página 42). Límite del producto de dos funciones. Si lim x!af (x) = L y xlim!ag (x) = M , entonces lim x!a[f (x) g (x)] = L M . y escribimos entonces lim x!2 3x 2 _{4x + 5 = lim} x!2 3x 2 _lim

x!2(4x) + limx!2(5) = limx!2(3) limx!2 x

2 _lim

x!2(4) limx!2(x) + limx!2(5)

Usando ahora que

1.5.3 Teorema 2 de límites. Límite de una función constante. Si c es una constante, entonces para cualquier número real a;

lim x!ac = c. tenemos lim x!2 3x 2 _{4x + 5 = lim} x!2 3x 2 _lim

2 _lim x!2(4) limx!2(x) + limx!2(5) = = 3 lim x!2 x 2 _{4 lim} x!2(x) + 5 Ahora usamos

1.5.9 Teorema 8 de límites. Límite de la n-enesima potencia de una función. Si lim

x!af (x) = L y n es cualquier número entero positivo, entonces

(67)

= 3 lim x!2 x 2 _{4 lim} x!2(x) + 5 = 3 limx!2x 2 4 lim x!2x + 5

Finalmente utilizamos el teorema

1.5.4 Teorema 3 de límites Límite de la función identidad (página 41). lim x!ax = a para obtener lim x!2 3x 2 _{4x + 5 = lim} x!2 3x 2 _lim

2 _lim x!2(4) limx!2(x) + limx!2(5) = = 3 lim x!2 x 2 _{4 lim} x!2(x) + 5 = 3 limx!2x 2 4 lim x!2x + 5 = 3 (2) 2 4 (2) + 5 = 9 Resumiendo lim x!2 3x 2 _{4x + 5 = 9}

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(68)

(a) Traza la grá…ca de la función f (x) = (x 3)5=3+ 1

(c) A partir de la grá…ca determina los valores de x en los que ocurren los extremos relativos. (d) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es creciente.

(e) A partir de la grá…ca determina los intervalos en los que f es decreciente. Con…rma analíticamente la información obtenida grá…camente.

Solución:

(a) Traza la grá…ca de la función f (x) = (x 3)5=3+ 1

He aqui la grá…ca: -80.00 -60.00 -40.00 -20.00 0.00 20.00 40.00 -10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

(b) A partir de la grá…ca determina los extremos relativos de la función. Es claro que la función no tiene extremos relativos.

(c) A partir de la grá…ca determina los valores de x en los que ocurren los extremos relativos.