ÁREA O ASIGNATURA Matemáticas
ACTIVIDADES EN CASA
1.
MOMENTO DE EXPLORACIÓN 1. Saludo2. Recodar horario de asesorías y de acceso a la plataforma 3. Actividad de abordaje de presaberes:
¿ Que son expresiones algebraicas? ¿Qué compone una expresión algebraica? ¿ podemos realizar operaciones matemáticas con este tipo de expresiones? ¿ cómo aplico una expresión algebraica a la vida cotidiana?
2. MOMENTO ESTRUCTURACION Y MOMENTO DE TRANSFERENCIA SEMANA 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Uno de los propósitos que tiene el lenguaje matemático es expresar en forma general, enunciados o propiedades que se cumplen para todos los elementos de un conjunto.
Una expresión algebraica es una expresión formada por números y letras relacionadas por una o más operaciones matemáticas. Son útiles para describir una propiedad, una relación numérica, para representar modelos matemáticos de situaciones concretas o un proceso descrito verbalmente.
Recuerde:
✓ En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal.
✓ A los números conocidos se les denomina constantes o termino independiente y a los desconocidos cuyo valor puede variar, se le denomina
variables.
✓ Para sumar o restar expresiones algebraicas se asocian los términos semejantes y luego se suman o se restan sus coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
✓ Cada expresión separada por los signos + o – en una expresión recibe el nombre de termino y en cada termino se identifica un signo, un coeficiente y una parte literal.
✓ Entre las expresiones algebraicas se distinguen los monomios y polinomios.
Ejemplos:
Expresión Verbal Algebraica Expresión Términos Coeficientes Literal Parte Un numero incrementado en su tercera parte. x+𝑋
3 x, 𝑥 3 1, 1 3 x Actividad 1
1. Escribo una expresión algebraica y sus elementos (Tabla anterior) para cada una de las siguientes expresiones matemáticas: a. Un número par
b. Un múltiplo de 3 c. Un número impar
d. Las tres cuartas partes de un numero e. La raíz cuadrada de un numero
f. Tres veces el cuadrado de la suma de dos números g. La cuarta parte de la diferencia de dos números h. Un número desconocido
i. La mitad de un numero j. Un numero disminuido en 6
NOMBRE DOCENTE: ANA CARMELA RINCON MARTINEZ METODOLOGIA: Tradicional
GRADO: Octavo
FECHA: 27 de Julio de 2020 JORNADA: AMNIVEL: Básica Secundaria SEDE: A DURACIÓN: Cuatro (4) semanas
COMPETENCIAS A DESARROLLAR
Propone situaciones geométricas para representaciones con polinomios, formula y resuelve situaciones de la vida real que involucren polinomios, resuelve operaciones entre polinomios, explica el procedimiento de la división sintética .
SITUACION DE APRENDIZAJE O PREGUNTA PROBLEMATIZADORA
¿Cómo puedo utilizar expresiones algebraicas del tipo monomios y polinomios para resolver situaciones cotidianas? APRENDIZAJES ESPERADOS POR AREA INTEGRADA
Que la totalidad de los estudiantes logren adquirir los conocimientos y destrezas matemáticas de una forma óptima.
Desarrollar el gusto por las matemáticas y sean capaces de resolver situaciones de su entorno diario con solvencia basado en la aplicación de las matemáticas. Despertar la curiosidad por el área y logren desarrollar sus habilidades matemáticas.
AMBITO CONCEPTUAL
Expresiones algebraicas, Monomios y Polinomios, Adición y sustracción de monomios y polinomios, Multiplicación de expresiones algebraicas, División de expresiones algebraicas, División de monomios, División de polinomio entre monomio, División entre polinomios y División sintética.
METODOLOGIA
Las guías están estructuradas con la información de tipo teoría, ejemplo y ejercicios abordando los tres momentos del aprendizaje; el estudiante debe sacar anotaciones para su libreta de apuntes con fecha y titulo. Se acompaña la guía con clase virtual una vez a la semana con duración de una hora y media en la cual se explica el tema y se desarrollan ejercicios en clase. Se les hace llegar diapositiva con ejemplos, ejercicios y video. El estudiante hace llegar sus evidencias en formato Pdf debidamente marcadas. Tema -grado- nombre del estudiante.
Un Monomio es una expresión algebraica que tiene un solo termino. Ejemplo 15x3yz y a3b2c son monomios.
Los monomios tienen varios elementos: coeficiente, parte literal y grado.
Coeficiente: es la constante que acompaña el monomio. En 15x3yz el coeficiente es 15.
Parte literal: es la variable o conjunto de variables con sus respectivos exponentes. En 15x3yz su parte literal es x3yz.
Grado: el grado de un monomio hace referencia al exponente que contienen las variables. Puede ser de grado relativo si se refiere específicamente al exponente de una variable y grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables del monomio. Ejemplo en la expresión 15x3yz el grado relativo para la x es 3, para la y es 1 al igual que la z, y el grado absoluto de la expresión es 3+1+1=5.
Actividad 2
1. Completa las tablas teniendo en cuenta las características de los monomios. Monomio Coeficiente Grado absoluto m Grado relativo n x y
-12m5n8 −4 5𝑛7 3,5m3n3 2m?n?x? 9 7,9m?n?x?y? 15 4 3 1 -m?n?y? 10 3 6 2 4 6 1
Un Polinomio son expresiones formadas por dos o más monomios relacionados por medio de la suma o la resta.
En particular, dentro de los polinomios se encuentran los formados por dos monomios se denomina binomio y un polinomio que consta de tres términos se denomina trinomio.
Ejemplo: 9x2+2x-1 es un trinomio, 32xy2z+xy es un binomio y -4x2 es un monomio.
El grado de un polinomio al igual que los monomios puede ser relativo que es respecto a una variable y grado absoluto.
Grado relativo se define como el mayor exponente que tiene la variable en el polinomio. Por ejemplo, 47a5b3c2- 58a6b2 -39ab5c tiene 3 términos
por lo que es un trinomio. Su grado relativo respecto a la variable a es 6, respecto a b es 5 y respecto a c es 2.
El grado absoluto de un polinomio es el grado mayor entre los grados absolutos de los términos que forman el polinomio. Así en el polinomio 56m3n2p+ 77mnp5 -148mn2p2+ 2m2n2ptiene grado absoluto 7, porque es el grado del término 77mnp5.
Polinomio ordenado, polinomio completo y polinomio opuesto
Los términos de un polinomio se pueden ordenar de forma creciente o decreciente respecto a una variable. Si los términos de un polinomio se escriben de tal forma que el grado de sus variables vayan creciendo o decreciendo se dice que el polinomio es ordenado. Por ejemplo, el polinomio 3z4b3 + ½ z3 – z2b- zb5 +12 esta ordenad respecto a las potencias decreciente de z.
Si al ordenar un polinomio con respecto a una de sus variables, aparecen los exponentes consecutivos entre cero y el mayor exponente de dicha variable, el polinomio se denomina completo. El polinomio 3z4b3 + ½ z3 – z2b- zb5 +12 es completo respecto a la variable z y respecto a la variable
b no es completo.
El opuesto de un polinomio está formado por los mismos coeficientes y partes literales del polinomio original, con los signos opuestos. Así -3z4b3
- ½ z3 + z2b +zb5 -12 es el polinomio opuesto.
Valor numérico de un polinomio
Para hallara el valor numérico de un polinomio, se reemplazan las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas. Actividad 3
1. Identifica y justifica si las respuestas son verdaderas o falsas.
a. El grado absoluto de un polinomio es el mayor exponente que tienen las variables de un polinomio.(__)
b. El grado relativo de un polinomio respecto a una variable corresponde a la suma de los exponentes de esa variable. (__) c. En un polinomio dos o más términos son semejantes cuando su parte literal es la misma. (__)
d. El opuesto de un polinomio se obtiene al cambiar los signos y determinar los valores recíprocos de los coeficientes. (__) e. El termino independiente de un polinomio s el termino de grado cero en el polinomio. (__)
2. Señala cuales de los siguientes polinomios están organizados de forma decreciente y organice los que no lo están señalando la variable que uso como guía:
a. -8x7y2 + x5y4 – 6x4y5 + 3x3y5 – 3x2y
b. -a4b5 - a5b5 – a7b2 – a9b3 + a11b4
c. 7a9x7 - 7a5x9 + 3a3x5 – 5a2x2 - ax10
d. 5a10b4 + 3a9b7 + 6a8b3 – 2a7b5 + a6b6
3. Completa las afirmaciones:
a. El opuesto del polinomio-4x2y+ z5 es ____.
b. El polinomio 4 5 x
9 + 5x6 -x3 + 2x +4 esta ____pero no es un polinomio completo.
c. El polinomio 5x3y6 + 3x6y3-4x9x3 + 2x6y3 los términos semejantes son ___ y ___.
d. En el polinomio 7x2 – 3xy + x5y4 el grado absoluto es___ y el relativo respecto a la variable ___ es ___.
SEMANA 2: OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS
Entre las expresiones algebraicas podemos realizar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Para desarrollarlas es importante tener en cuenta reconocer monomios semejantes para la suma y resta y las propiedades de las potencias en los otros casos. Adición y Sustracción de Monomios
Para adicionar o sustraer dos o más monomios estos deben ser semejantes. Para ellos sumamos o restamos los respectivos coeficientes de cada monomio y se conserva la parte literal. A este proceso denominados reducción de términos semejantes.
Ejemplo: hallar el perímetro de un triángulo escaleno cuyos lados miden 17a2b3, 23a2b3, 31a2b3.
Para hallar el perímetro de un triángulo basta con sumar sus tres lados PT= 17a2b3 + 23a2b3 + 31a2b3= (17+23+31)a2b3= 71a2b3 Unidades.
La adición de dos o más polinomios da como resultado un polinomio formado por la suma de los términos de cada polinomio. Cuando hay términos semejantes se hace la reducción de términos ayudándonos de propiedades como la conmutativa y asociativa a la hora de reorganizar los términos. Ejemplo: Calcular el perímetro de un cuadrilátero como se observa en la figura.
Pc=(31x2+y)+(16x2- 3y)+(23x2+5y)+(14x2-y)
Pc=31x2+y+16x2 - 3y+23x2+5y+14x2 -y
Usando las propiedades conmutativa y asociativa tenemos: Pc= (31x2+16x2 +23x2+14x2 )+(5y- 3y +y -y)
Sumamos los monomios de cada paréntesis y obtenemos: Pc=84x2+2y Unidades
Signos de agrupación
Los signos de agrupación indican que las expresiones contenidos en ellos deben considerarse como una sola cantidad.
Los signos más utilizados son: • Paréntesis ( ) • Corchetes [ ] • Llaves { }
Los signos se suprimen de adentro hacia afuera y cumpliendo las siguientes propiedades:
• Si el signo de agrupación que esta precedido por un signo (+), las cantidades que están dentro permanecen con su mismo signo. • Si el signo de agrupación que esta precedido por un signo (-), las cantidades que están dentro cambian de signo.
Ejemplo: 3xy+(4x2- 2x)= 3xy + 4x2- 2x
3xy -(4x2- 2x)= 3xy - 4x2+ 2x
Actividad 4
1. Realizo las siguientes adiciones y encuentro los resultados en el cuadro
2. Del siguiente listado de operaciones escoge una operación que involucre 2 términos, uno de 3 términos y uno de 4 y realiza las operaciones con los polinomios si se sabe que : P(y)= 7y3 + 5y2 – y + 2 Q(y)= 10y – 5 - 6y4 + 3y2 Z(y)= 20y2 – 15 - 8y4 + 7y
3. Dados los polinomios A= a2 + 2ab + b2 B= a2 - 2ab + b2 C= a2 - b2 , calculo:
a. A+B-C b. C-A c. A-(B+C) d. A-(B+C) e. A-C f. C-A-B
SEMANA 3 : OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS Multiplicación entre monomios y polinomio
Para realizar multiplicaciones y divisiones entre polinomios es necesario tener en cuenta las propiedades de la potenciación.
El producto de dos o más monomios se obtiene multiplicando los coeficientes entre sí y luego se multiplican los literales aplicando la ley de los exponentes para potencias con igual base.
Para multiplicar expresiones algebraicas puedes considerar lo siguiente:
Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes numéricos de los términos y los factores literales, según corresponda. Ejemplo: 2a2. 3a =
6a3
Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada término del polinomio aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: 3m(4x + 2 – y) = (3m . 4x) + (3m . 2) + ((3m .(-y))= 12mx + 6m – 3my
Polinomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y luego, de ser posible, se reducen
términos semejantes. Ejemplo: (a + 2)(3b + c) = a (3b + c) + 2(3b + c) = 3ab + ac + 6b + 2c. ósea se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio y finalmente reducimos términos semejantes. Otra forma de efectuar el producto entre polinomios es colocar uno debajo del otro después de ordenarlos, luego se multiplican término a término, se escribe cada producto de tal manera que quede debajo de la columna semejante y finalmente se reducen los términos.
Propiedad Definición Generalización
Producto de potencias de igual
base Para multiplicar dos o más potencias de igual base se deja la misma base y se suman los exponentes. am . an = am+n Cociente de potencias de igual
base Para dividir potencias de igual base se deja la misma base y se restan los exponentes.
𝑎𝑚 𝑎𝑛 = am-n
Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican os exponentes. (am )n = am.n
Potencia de un producto La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada uno de sus factores. ( a.b)m = am . bm
Potencia de un cociente La potencia de un cociente es el cociente de las potencias de cada uno de sus factores. ( 𝑎 𝑏)
𝑚=𝑎𝑚 𝑏𝑚, con
Exponente negativo Todo número elevado a un exponente negativo es una fracción cuyo numerador es 1 y su denominador es la misma potencia con exponente
positivo. a
-m=1
𝑎𝑚 , con a≠0
Actividad 5
1. Completo la tabla realizando las multiplicaciones entre monomios.
2. Encuentra el camino que debe recorre la nave espacial para llegar al planeta , si debe por cada uno de los productos indicados:
a. 3x2y3.4xy b. 5x2yz2 . (-2xyz) c. xyz . xy2z3
e. ½ x2y2z . ¾ xyz3 e. -5/4xy . 3/7xz2 f. 5xy2 . (- ¼ x3y2)
3. Dados los polinomios P= 2x2 + 3xy – 5y2
Q = -3xy2 + xy – 5x2
R= 8x + 5 – 3y2 – 8x2
4. Consulta la formula del perímetro y del área del cuadrado y del rectángulo y llena la tabla según se le pida.
División de expresiones algebraicas
Monomio entre monomio: El cociente entre dos monomios da como resultado un monomio formado por los cocientes de los coeficientes y los cocientes de las partes literales aplicando la división de potencias de igual base.
Ejemplo: hallemos la medida de la altura del rectángulo si se sabe que su base está representada por el monomio 8x2z y su área es 104x7z3.
El para calcular la altura del rectángulo debemos hallar el cociente entre el área y la medida de la base: 104x7𝑧3
8𝑥2𝑧
Al realizar el cociente entre los coeficientes y el de la parte literal se obtiene: (104 ÷ 8) x(7−2)𝑧(3−1)
Así encontramos la expresión para la altura que es igual a 13x5z2
Polinomio entre monomio: para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio y se tienen en cuenta las leyes para la división de monomios.
Ejemplo: vamos a buscar el cociente entre un polinomio y un monomio resolviendo la siguiente situación: el paralelogramo presenta los datos que se ven de medida de base y área. La medida de la base es un monomio y el área es un polinomio. La medida de la altura será el resultado del cociente entre el área y la base así: m3-2m2n + mn2 = 2m . h
Área del paralelogramo A= b . h, entonces al reemplazar los valores conocidos despejamos el valor de la altura 𝑚3−2𝑚2𝑛 + 𝑚𝑛2
2𝑚 = h Dividimos cada término del polinomio entre el monomio: 𝑚3
2𝑚 - 2𝑚2𝑛
2𝑚 + 𝑚𝑛2
2𝑚 = h Aplicamos las propiedades de la división de potencias de igual base: : 𝑚2
2 - mn + 𝑛2
2 = h Actividad 6
1. completa el término que falta en cada expresión: 2. completa la tabla con las operaciones indicadas entre filas y columnas. x -9y3 12x3y3 8x4 3x2y3 -15x2 -xy 7x3 Perímetro Área
Cuadrado de lado 2a2b – 3ab
3. Alicia cometió algunos errores al realizar la operación y al darse cuenta elimino algunos de los datos. Completa la operación.
4. Realizo las 3 divisiones de polinomios entre monomios
División entre dos polinomios: al dividir dos expresiones algébricas y el divisor es un polinomio, es necesario seguir ciertos pasos que se describen a continuación.
Paso 1: Ordenamos el polinomio de manera descendente con respecto a la variable.
Paso 2: Dividimos el primer término del polinomio entre el primer término del polinomio divisor. El resultado será el primer término del cociente. Paso 3: Multiplicamos el término del cociente por cada uno de los términos del divisor. Cada producto se resta de su semejante en el dividendo y se tienen en cuenta los respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene termino semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al orden del dividendo.
Paso 4: Bajamos el siguiente término del dividendo. Dividimos el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor. El resultado será el segundo término del cociente.
Paso 5: Continuamos el proceso hasta que el residuo tenga un menor grado que el del divisor.
Ejemplo: hallemos la altura del rectángulo de la figura, cuya área es 21x + x3 - 8x- 18 y
su base es x-3.
• Planteamos el cociente entre las medidas del rectangulo: 21𝑥 + 𝑥3−8𝑥2−18
𝑥 −3
Ordenamos el polinomio de forma descendente respecto a la variable x, y escribimos la división. Posteriormente dividimos x3 entre x.
Multiplicamos el x2 por cada uno de los terminos del cociente. El resultado se resta del dividendo y se
baja el siguiente termino del dividendo ( 21x)
Multiplicamos por -5x por cada uno de los terminos del cociente. El resultado se resta del dividendo y se baja el siguiente termino el 18.
Dividimos 6x entre x. el resultado será el tercer término del cociente. Seguimos el procedimiento. La división finaliza cuando el grado del residuo es menor que el grado del divisor. Al finalizar el proceso obtenemos que la altura del rectángulo es x2-5x+6.
Actividad 7
Completa la siguiente división
1. 2.
SEMANA 4 : DIVISION SINTETICA
La división sintética es un procedimiento que permite realizar divisiones de manera más sencilla entre polinomios en una sola variable y en donde el divisor es de la forma x+a o x-a, con a un número racional. Es también conocida como la regla de Ruffini. Para ello se siguen los siguientes 7 pasos con un ejemplo:
Calcular el cociente y residuo de 2𝑥5−6𝑥3+4𝑥4+5𝑥2+17𝑥+6
𝑥+3 utilizando el método de división sintética.
Paso 1. Ordenar el polinomio dividendo de manera descendente para que quede de la forma :anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+… +a1x+x0.
2𝑥5+4𝑥4− 6𝑥3+ 5𝑥2+ 17𝑥 + 6
Paso 2. Escribir los coeficientes de los términos del polinomio en forma horizontal. Si alguna potencia de la variable falta su coeficiente es cero.
En el divisor escribimos el valor de a si es de la forma x-a o -a si es de la forma x+a.
Paso 3. Escribimos el coeficiente an(2) del polinomio debajo de la línea inferior.
Paso 4. Multiplicamos an (2)por a que es -3 y escribimos este producto debajo del término an-1(4) y adicionamos estos 2 valores. Este resultado
se escribe debajo de la línea inferior.
Paso 5. El resultado anterior se multiplica nuevamente por a ; este producto se coloca debajo del coeficiente (-6) y adicionados estos valores.
Este resultado se coloca debajo de la línea inferior.
Paso 6. Repetimos los pasos anteriores mientras sea posible.
Paso 7. El último número, en la línea inferior es el residuo; los numero a su izquierda indican los coeficientes del polinomio cociente y, como
estamos dividiendo por un polinomio x+a, el grado del polinomio cociente es una unidad menor que el del polinomio dividendo. El polinomio cociente es 2x4-2x3+5x+2 y el residuo es 0.
Ejemplo 2. Teniendo un prisma pentagonal cuyo volumen está representado por el polinomio a4 + 6a3 -8a -16 y su altura es a+2. Calcular el área
de la base del prisma. Para hallar el área de la base del prisma debemos hallar el cociente entre los dos polinomios:
AB = 𝑎4+6𝑎3−8𝑎−16
𝑎+2
3.
4. 1 4 -8 8 son los coeficientes del cociente y -32 el residuo
5. a3 + 4a2- 8a + 8
Actividad 8
1. Encierre las divisiones que no se pueden realizar por división sintética.
2. Resuelve las divisiones usando la división sintética.
Recuerde:
Para multiplicar expresiones algebraicas puedes considerar lo siguiente:
Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes numéricos de los términos y los factores literales, según corresponda. Ejemplo: 2a2. 3a =
6a3
Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada término del polinomio aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: 3m(4x + 2 – y) = (3m . 4x) + (3m . 2) + ((3m .(-y))= 12mx + 6m – 3my
Polinomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y luego, de ser posible, se reducen términos semejantes. Ejemplo: (a + 2)(3b + c) = a (3b + c) + 2(3b + c) = 3ab + ac + 6b + 2c
La adición de polinomios se realiza escribiendo los polinomios y luego se reducen los términos semejantes.
La sustracción de polinomios se realiza escribiendo la suma del primer polinomio y el opuesto del segundo polinomio y luego reducimos los
términos semejantes.
EVALUACIÓN FORMATIVA
SEÑALE CON UNA “X” EL CRITERIO DE EVALUACIÓN QUE MÁS SE AJUSTE A SU DESEMPEÑO PREGUNTA Autoevaluación (Estudiante)
Coevaluación (Padres/ Familiar
evalúa al estudiante) Heteroevaluación (Docente)
SI NO A VECES SI NO A VECES SI NO A VECES
Me interesé por hacer mi trabajo de manera responsable, organizada, siguiendo las indicaciones presentadas logrando que mi aprendizaje sea significativo.
Trabajo de manera ordenada las actividades de la guía.
Participo de las clases virtuales complementarias a la guía. Me esfuerzo en la realización y entrega de los trabajos en la fecha establecida.
Resuelvo operaciones con polinomios Realizo división sintética entre polinomios
REFERENCIAS Y FUENTES DE INFORMACION Guzmán, Luis Eduardo. Retos matemáticas 8. Grupo Editorial Norma, 2012 ( Impreso).
Pachón Pinilla, Rozo Liliana, Rincón Jorge, Flórez Joan, Tami Jhon. Desafíos Matemáticos 8, Editorial Santillana (Impreso). Torres Claudia y Caroca Mónica. Matemática 8 básico, Editorial Santillana, 2019 ( Digital).
