Introducción al Método de los Elementos Finitos

Alberto Cardona, Víctor Fachinotti

Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

Introducción al Método

de los Elementos Finitos

Parte 7

Elementos curvos e integración numérica.

Elementos infinitos.

v

₂

v

₁ 2 1 5

S

4

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Finitos

2

Elementos curvos

• Hasta aquí se han usado aproximaciones lineales por trozos de la frontera Γ. • En 2D, se aproximó Γ con una línea poligonal, con un error de orden O(h2_). • Aproximemos Γ con curvas descritas por polinomios de grado k ≥ 2, con

error O(hk+1_).

• En una malla de Ω, los elementos adyacentes a Γ tendrán un lado curvo.

• Un elemento “curvo” se obtiene de la siguiente manera: 1. Supongamos el elemento

• es un conj. de gdl de tipo Lagrangiano (i.e., valores de la función en ciertos puntos )

1. Sea un mapeo 1-a-1, con inversa Γ K ˆK ˆ ˆ (K,P , ).Σ ˆ Σ ˆ ˆi _�K, _{i =}1, 2, ,_{� m} a ˆ : K ﾮ K F 1_{: K K.}ˆ − _ﾮ F K x F F −1 x1 x₂ a^i 1 1 ai 0 0 K^ x^2 x^ x^₁

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3

Elementos curvos (cont.)

• Definimos

• Ahora, constituye un elemento finito “curvo”.

• Si en el mapeo F=(F₁, F₂) las funciones son del mismo tipo que en P_K, el elemento se dice isoparamétrico.

• Ejemplo: sea el elemento de ref., con nodos â1_{, â}2_{, â}3 _{(en los vértices),}

â4_{, â}5_{, â}6 _{(en el centro de los lados).}

– – – func. de base en

{

1

}

ˆ K ˆ ˆ _K P = p p: ( )x = p(F− ( )),x x��K, p P

{

}

K valores de la función en ( )),ˆ 1, 2, , i i _{i m} Σ = a = F a = K K (K,P , )Σ K F x₁ x2 a^1 a^4 a^2 a^6 a^5 a^3 a1 a4 a2 a5 a3 a6 K^ x2 ^ x1 ^ ˆ 2 K ˆ P = P (K). ˆK

{

}

ˆK valores en los nodos

Σ =

ˆ ,_i i 1, 2, ,6,

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4

Elementos curvos (cont.)

• Definimos el mapeo • Luego, escribimos

• Se define el Jacobiano de F como

• F es localmente 1-a-1 en una pequeña vecindad de c/punto si

• En gral, esto no garantiza que F sea globalmente 1-a-1, i.e., que

• F será globalmente 1-a-1 si

6 j 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) j ( ), K j ϕ = =

￥

_ﾮ F x a x x ˆ det ( ) 0.J x ﾮ

{

2

}

ˆ _{ˆ ˆ} ˆ K = F(K) = x�ﾮ : x F x x= ( ), �K 1 1 1 2 2 2 1 2 F F x x F F x x ﾮ ﾮ � � �_{ﾮ ﾮ} � � � = ﾮ ﾮ � � �_{ﾮ ﾮ} � � � J ˆ ˆ Kﾮ x ˆ ˆ ˆ K, ! K / ( ) ∀x� ∃ x� F x = x ˆ ˆ ˆ det ( ) 0,J x ﾮ ∀xﾮ K.

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5

Elementos curvos (cont.)

• Descompongamos F como

• , que mapea en tiene la forma:

• Analicemos ahora el mapeo , que está definido por

ˆ ˆ ˆ ( ) = ( ( )) F x F F x% , 1, 2,3, j _{j =} a ˆ F bj ﾮ aˆj 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 2 2 ˆ ( ) a a a a a . a a a a a � _{− −} � � � = _{� � � �}+ _ﾮ + − − � � � � F y y By b ˆ det B ﾮ ﾮ0 F es 1-a-1. 5 1 2 ˆ + ˆ ˆ , 4 2, 1, 2. i i i i i F%= x d x x d = b − i = 1 2 ( , )F F = F% % % b1 b4 b2 b6 b5 b3 y2 y1 K x₁ x2 a1 a4 a2 a5 a3 a6 F a^1 a^4 a^2 a^6 a^5 a^3 K^ x^2 x^1 a~5 ~ F ^

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6

Elementos curvos (cont.)

• Analicemos ahora el mapeo , que está definido por

con Jacobiano 5 1 2 ˆ + ˆ ˆ , 4 2, 1, 2 i i i i i F%= x d x x d = b − i = 1 2 ( , )F F = F% % % 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 ˆ ˆ 1 ˆ_{( )ˆ det ( ) 1}ˆ _{ˆ ˆ ˆ} ˆ 1 ˆ d x d x d x d x d x d x �₊ � = _{� �} = + + + � �ﾮ J x J x ˆ _{ˆ ˆ} ˆ _ˆ ˆ ˆ _{ˆ ˆ}

det ( ) lineal en J x x �det ( ) 0 en KJ x > � det ( ) 0 en los vértices ,J x > a j j =1, 2,3.

2 1 1 , ˆ det (0,0) 1 ˆ ˆ ˆ det (1,0) 1 det 0 en K si 1 ˆ det (0,1) 1 2 1 , . 4 i i d d b i d  = ﾮﾮ = + _�� > > − � ﾮ = + _ﾮ > = J J J J b1 b4 b2 b6 b5 b3 y₂ y1 K x1 x₂ a1 a4 a2 a5 a3 a6 F a^1 a^4 a^2 a^6 a^5 a^3 K^ x^₂ x1 ^ a~5 ~ F ^

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Elementos curvos (cont.)

• Luego, es 1-a-1 si b5 _{y a}5 _{caen en las áreas sombreadas, para lo que ã}5 _debe estar suficientemente próximo a a5_.

• El mapeo original F es 1-a-1 bajo las mismas condiciones. • En un elemento K con un lado curvo, la dist. |a5−ã5| es de

• Luego, ã5 _{estará suficientemente cerca de a}5 _{si es suficientemente pequeño.} • En conclusión, el mapeo F será 1-a-1 para mallas suficientemente finas.

% F b1 b4 b2 b6 b5 b3 y₂ y1 K x1 x₂ a1 a4 a2 a5 a3 a6 F a^1 a^4 a^2 a^6 a^5 a^3 K^ x₂ ^ x1 ^ a~5 ~ F ^ 2 K O( ).h K h

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Elementos curvos (cont.)

• Error de interpolación: Dada una función v sobre K, definimos el

interpolante πv∈P_K requiriendo que πv(ai₎=_v(ai_{), i=1,...,6. Si K es un triángulo}

común (como el visto anteriormente), entonces

• Esto también vale para triángulo curvo K, siempre que no sea demasiado curvo. Y esto se verifica en aplicaciones típicas, donde los elementos aproximan una frontera suave.

• Espacio V_h: Sea T_h={K} una malla de Ω, con elementos (K,P_K,Σ_K), que pueden tener uno o más lados curvos. Sea Ω_h la unión de los elementos de T_h, que es una aproximación a Ω con frontera cuadrática a trozos. Se define

• Usando este espacio para el problema de Poisson, tenemos

{

1

}

K K H ( ) : | P , K T h h h V = v� Ω v �� K H (K)s H (K )r , 0 3 r s v −πv ﾮﾮﾮﾮCh − v s r 1 3 3 2 2 3 H ( _h) H ( ) , L ( _h) H ( ) h h u u− _Ω ﾮ Ch u _Ω u u− _Ω ﾮ Ch u _Ω

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Elementos curvos

• Elementos de las formas básicas en 1D, 2D y 3D pueden mapearse a formas distorsionadas. De esta manera, las coord. locales ξηζ o L₁

L₂ L₃L₄ se transforman en

curvilíneas cuando se plotean en el sistema Cartesiano global xyz.

• Ello es posible si existe una correspondencia 1-a-1 entre las coord. Cartesianas y las

curvilíneas, i.e. si se pueden establecer los mapeos:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( , , ) ( , , , ) ( , , ) o ( , , , ) ( , , ) ( , , , ) x x y y z z x f f L L L L y f f L L L L z f f L L L L ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ �� � � � � �� �₌ � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � * F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Elementos curvos: mapeo de elementos 2D

* F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Elementos curvos: mapeo de elementos 3D

* F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Coordenadas curvilíneas paramétricas

• La forma más conveniente de definir mapeos es usando funciones de forma dadas en términos de las coords. locales:

• A c/triada local (_ξ,η,ζ ) en coords. locales debe corresponderle una sola triada (x,y,z) en coords. globales. Sin embargo, elementos muy distorsionados pueden comprometer la unicidad. 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x N x N x y N y N y z N z N z ﾮ ﾮ = + + ﾮ ﾮ = + + ﾮ ﾮ = + + K K K i Nﾮ Pérdida de unicidad en elementos muy distorsionados Requisitos de unicidad en cuadrángulos Fi gu ra s ex tr ai da ts d e [Z T 20 00 ]

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Mapeos admisibles en cuadrángulos

* F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Conformidad geométrica y continuidad

• Teorema 1: Si dos elementos adyacentes son generados a partir de elementos master (o de referencia) donde las funciones de forma son C0-continuas, entonces los elementos serán contiguos (compatibles).

• Teorema 2: Si las funciones de forma garantizan la continuidad C0 de la solución en las coordenadas del elemento master, luego también se satisfará continuidad C0 en las coordenadas del elemento distorsionado.

* F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Elementos isoparamétricos, superparamétricos y subparamétricos

Isoparamétrico

Superparamétrico

Subparamétrico

Punto en el que se especifica gdl Punto en el que se especifica coordenada * F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Elementos infinitos

• En muchos problemas ingenieriles, el dominio es infinito o semi-infinito, y se especifican CB a dist. infinita.

1. Solución usando MEF convencional: se malla una

porción suficientemente grande del dominio, a fin de imponer las CB a una dist. grande, con las sigtes. desventajas.

• Si esa dist. no es lo suficientemente grande, se introduce un error en el modelo.

• Se deben introducir muchos elementos en una región que suele ser de poco interés para el analista.

2. Solución usando elementos infinitos, en los que un

mapeo particular, permite transformar elementos semi-infinitos a los elementos master básicos. Estos elementos se ensamblan luego con los elementos finitos de la malla. * F ig ur a ex tr aí da d e [Z T 20 00 ]

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Elementos infinitos

• Consideremos el mapeo 1D a lo largo de CPQ:

• Se observa que:

• Luego, remplazando x_C por x_P:

• Muchas otras funciones podrían usarse en (1) y (2), siempre que

C 1 Q C C Q Q 1 1 x ξ x ξ x N x N x ξ ξ � � = − + +_{� �} = + − _� − _� C Q P Q R si 1 2 si 0 si 1 x x x x x x x x ξ ξ ξ + ﾮ _{= − = = −} ﾮ ﾮ ﾮ _{= =} ﾮ ﾮ = = ﾮ = ﾮ Q P Q Q P P 2 2 1 1 1 x ξ x ξ x N x N x ξ ξ � � = +_{� �} − = + − − � � C Q P Q 1. N + N = N + N = (2) (1) * Figura extraída de [ZT2000]

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Elementos infinitos (cont.)

• Ahora, si aproximamos la solución por un polinomio:

• Dado

• Obtenemos entonces la solución típica de campo lejano para regiones exteriores:

• El punto C representa el origen de decaimiento. Su correcta ubicación en base a la física del problema permite mejorar la precisión de la solución.

• Equivalentemente, a lo largo de C₁P₁Q₁ tenemos el mapeo

2 0 1 2 u =α α ξ α ξ+ + +K Q C Q C C 1 x x 1 x x x x r ξ = − − = − − � − C 1 Q 1 1 x ξ x ξ x ξ ξ � � = − + +_{� �} − _� − _� 1 2 0 2 u r r β β β = + + +K 1 1 1 1 C 1 Q , C 1 Q 1 1 1 1 x ξ x ξ x y ξ y ξ y ξ ξ ξ ξ � � � � = − + +_{� �} = − + +_{� �} − _� − _� − _� − _� * Figura extraída de [ZT2000]

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Elementos infinitos (cont.)

• El mapeo se completa en la dirección η usando las

funciones de forma lineales standard • Luego:

• En dirección η podrían usarse funciones de mayor

orden, lo que permite ensamblar elementos infinitos con elementos finitos de mayor orden.

1 1 1 C Q 0 C Q ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 x N x x N x x ξ ξ η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ � � � � = _�− + +_{� � �} − _� − _� � � � _{� �} � + _�− + +_{� � �} − _� − _� � � 1 1 1 C Q 0 C Q ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 y N y y N y y ξ ξ η ξ ξ ξ ξ η ξ ξ � � � � = _�− + +_{� � �} − _� − _� � � � � � � + _�− + +_{� � �} − _� − _� � � 1 0 1 1 ( ) , ( ) . 2 2 N η = +η N η = −η * F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Ejemplos de aplicación de elementos infinitos

Problema de Boussinesq: carga puntual en un medio semi-infinito

Flujo irrotacional alrededor de un ala

* F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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Cálculo de la matriz de rigidez

• Las funciones de base locales en K están dadas por

• Para el problema de Poisson, deben calcularse las integrales

• Por la regla de la cadena

donde

(

1

)

ˆ ˆ ( ) ( ) , 1, ,6. j j j ϕ _{x =}ϕ _F− _{x = K} K K , 1, , 6. ij i j a =

ﾮ

���ϕ ϕ dx j = K 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i T i i i i x x x x x x x x x x x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ � � � �� � � �_ﾮ �_{ﾮ ﾮ} �� �_ﾮ � � � �� � = = = � � ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ � � � �� � � �_ﾮ �_{ﾮ ﾮ} �� �_ﾮ � � � � � � J

(

1

)

1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( )ˆ ˆ ˆ i i i j j j j j x x x x x x x x ϕ _{ϕ −} ϕ ϕ ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ = = + ﾮ ﾮ F x ﾮ ﾮ ﾮ ﾮ

(

) (

)

(

)

(

)

K 0 0 ˆ ˆ K K ˆ ˆ ˆ det ˆ ˆ ˆ det T T ij i j i j dx a = − ���ϕ − ϕ dx = �ϕ ϕ ﾮ

�

J J J

�

J � �J J

(

1

) ( )

1 2 2 2 1 0 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 jacobiano de ˆ ˆ det det T T T F x F x F x F x − ₌ − ₌ − ₌ �ﾮ ﾮ −ﾮ ﾮ �₌ �_{−ﾮﾮﾮﾮ} � � � J J F J J J

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Integración numérica (o cuadratura)

• Para evaluar integrales en MEF, se usa frecuentemente la fórmula de cuadratura:

• Si esta fórmula es exacta para el polinomio de grado r >0, luego el error de integración resulta

• Nota: para el elemento isoparamétrico cuadrático visto, calculando la matriz de rigidez por integración numérica exacta para polinomios de grado r =2, luego

1 K

: puntos de integración o de muestreo

( ) ( )

: peso correspondiente al punto

j q j j j j j x f x dx f x w w x = ﾮﾮ ﾮ _ﾮ ﾮ ﾮ

￥

ﾮ

1 1 | | 1 K K ( ) ( ) q j r j j r f x dx f x w Ch D f dxα α + = = + −

�

_ﾮ

�

�

�

1 2 H ( _h) O( ) h u u− _Ω = h

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Integración numérica

• El cálculo analítico de matrices que involucran integrales sobre elementos distorsionados, particularmente en elementos de alto orden o en caso de heterogeneidad del material, puede volverse prácticamente imposible. • En 1D, podemos aproximar tales integrales de la siguiente manera:

• Dados los puntos de muestreo ξ_j, j=0,1,…, n, determinamos el polinomio F_n(ξ) t.q. F_n(ξ_j)=f(ξ_j).

1

0 1

: puntos de integración o de muestreo

( ) ( )

: peso correspondiente al punto

n j j j j j j I f d f H H x ξ ξ ξ ξ = − ﾮ = _{ﾮ ﾮ} ﾮ

￥

ﾮ

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 1) ( ) ( ) 2 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n F F f F f I f d F d n ξ α α ξ α ξ ξ α α ξ α ξ ξ ξ α α ξ α ξ ξ ξ ξ ξ ξ α α + α − − = + + + = + + + = = + + + = − − = _ﾮ = + + + +

�

�

K K M K K

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24

Integración numérica: método de Newton-Cotes

• Ejemplo: para n=1, ξ₀=−1, ξ₁ =1:

• Nota: si n es par, se integra exactamente un polinomio de orden n; si n es impar, se integra exactamente un polinomio de orden n+1.

• Si los puntos de muestreo son equiespaciados, se tiene el método de Newton-Cotes. 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f F I f d F d f f ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − + − = + =

_�

_ﾮ

_�

= +

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25

Integración numérica: método de Gauss-Legendre

• En lugar de definir a priori la posición de los n₊1 puntos de muestreo, se la determinará de manera de obtener el mayor orden de precisión para n dado. • Se busca calcular en forma exacta la integral del polinomio F_p, ( p≥n a

determinar), cuya integral es

lo que da lugar al sistema de ecs.

que tendrá solución si

(

)

1 1 0 1 0 2 0 1 2 1 ( 1) ( ) 2 3 1 p n p p j j p j p j I F d W p ξ ξ α α ξ α ξ α α + α = − − − = = + + + = + + + +

￥

ﾮ

K K 0 1 0 0 1 1 1 _{0 0} 0 0 1 1 2 0 _{1 ecuaciones} 2( 1) incógnitas ( , , , , , ) 1 ( 1) 1 n n n p _{n n} p p p n n W W W W W W _p n W W W W W p ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + + + =  ﾮ + + + = ₊ ﾮ � ₊ ﾮ − − + + + = _ﾮ + K K M K K K 1 2( 1). p+ = n+

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26

Integración numérica: Newton-Cotes vs Gauss Legendre

• Integración exacta de un polinomio de grado 7

Newton-Cotes Gauss-Legendre * F ig ur as e xt ra íd as d e [Z T 20 00 ]

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27

Integración numérica de Gauss-Legendre

* T ab la e xt ra íd a de [ Z T 20 00 ]

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Integración numérica en cuadrados (2D) y cubos (3D)

• Se aplican las reglas de integración numérica 1D en cada dirección.

1 1 2D 0 0 1 1 1 1 1 3D 0 0 0 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) n m i j i j i j p n m i j k i j k i j k I f d d f H H I f d d d f H H H ξ η ξ η ξ η ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ = = − − = = = − − − = _ﾮ = ﾮ

��

��

���

���

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29

Integración numérica en triángulos

1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 2 0 ( , ) ( , ) L n j j j j I f L L dL dL f L L H − = = ﾮ

��

￥

* T ab la e xt ra íd a de [ Z T 20 00 ]

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30

Integración numérica en tetraedros

1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) L L L _n j j j j j I f L L L dL dL dL f L L L H − − − = =

�� �

ﾮ

￥

* T ab la e xt ra íd a de [ Z T 20 00 ]

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Finitos

31

Orden de integración numérica necesario

• Dado el costo computacional que implica un mayor número de puntos de integración, es conveniente determinar:

1. Menor orden de integración que no comprometa la convergencia. 2. Orden de integración necesario para mantener la misma tasa de

convergencia que si se usara integración exacta.

• Mínimo orden de integración para convergencia: en un problema donde habrá convergencia si puede reproducirse cualquier valor constante de la m-ésima derivada. Si m=1, ello requiere que el volumen del elemento sea

calculado de manera exacta.

• Orden de integración para no deteriorar la convergencia: usando MEF standard (Galerkin), con interpolación polinomial de grado p, para

problemas que involucren derivadas de orden m , el error es O(h2(p-m)+1_{). Si el} error de integración es a lo sumo de ese orden, no se perderá convergencia.