Capítulo I. El conjunto de los números reales.

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Capítulo I

El conjunto de los números reales.

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I.1. MARIBEL RAMÍREZ 3

I.1. El cuerpo de los números reales.Axiomatica

En este primer tema introducimos el cuerpoR de los números reales mediante tres grupos de axiomas:

Axioma de Existencia.

Axiomas de Estructura, donde se de…nen las leyes de suma y producto en _R que lo hacen un cuerpo conmutativo junto a un orden total compatible con las anteriores.

Axioma del Supremo, lo que lo hará único frente a otros cuerpos commutativos totalmente ordenados.

Estos tres grupos de desglosan a su vez en 13 axiomas que veremos a conti-nuación.

A. Axioma de existencia.

Existe un conjunto que denotaremos por_{R y a cuyos elementos llamaremos} números reales.

B. Axioma de

estructura.-En IR hay de…nidas dos leyes de composición interna: s y p s :R £ R ¡! R p :R £ R ¡! R s(a; b) = a + b p(a; b) = ab

a las que llamaremos suma y producto y denotaremos por + y por yuxtaposición de elementos, respectivamente, veri…cando los siguientes grupos de axiomas: Con x; y; z 2 R arbitrarios :

B.1.- Conmutatividad : x + y = y + x xy = yx

B.2.- Asociatividad : (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz) B.3.- Existencia de elementos distinguidos:

9 e 2 R tal que x + e = x 8x 2 R 9 u 2 R tal que xu = x 8x 2 R

B.4.- Existencia de elementos simétricos respecto de cada ley: 8x 2 R 9 y 2 R tal que x + y = e

8x 2 R 9 y 2 R -{0} tal que xy = 1 B.5.- Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz

La terna (R ,+,¢), por veri…car los cinco axiomas anteriores, se dice que posee estructura de CUERPO CONMUTATIVO.

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Los elementos e y u son únicos veri…cando tales propiedades. Se denominan respectivamente cero y uno. También son únicos los simétricos de un número real x. Se llama opuesto de a y se representa por -a. El simétrico para el producto de un número x distinto de cero se denomina inverso de a y se denota por x¡1_ó

1=x.

Dados dos núeros reales x e y, acostumbraremos a escribir x-y en lugar de x+(-y). Además si y es distinto de cero, el número real xy¡1 _{se podrá escribir tb de la}

forma x=y:

Consecuencias:

i) ¡(a ¡ b) = b ¡ a 8 a; b 2 R ii) a; b; c 2 R, a + b = b + c ) a = c:

iii) a ¢ 0 = 0 para todo a real y dedúzcase que 0 no tiene inverso. iv) Si ab = 0, con a; b 2 R, entonces o bien a = 0 o bien b = 0.

En _{R asumimos también la existencia de una relación binaria, que notaremos} por ”·” y que leeremos por ”menor o igual”, y que veri…ca

B.6.- Propiedad Re‡exiva a · a 8a 2 R

B.7.- Antisimétrica 8a; b 2 R : a · b y b · a ) a = b B.8.- Transitiva 8a; b; c 2 R : a · b y b · c ) a · c B.9.- Dicotomía 8a; b 2 R )o bien a · b ó bien b · a

Los tres axiomas anteriores, nos dicen que la relación · , es una relación de orden enR. La propiedad B.9 nos dice que este orden es total. Los siguientes axiomas B.10 y B.11, ligan la relación de orden con la estructura de cuerpo.

B.10.- Si a; b 2 R : a · b ) a + c · b + c 8c 2 R .(La relación de orden es compatible con la suma)

B.11.- Si a; b 2 R : a · b ) ac · bc 8c ¸ 0: (La relación de orden es compatible con el producto)

Se dice por todo ello que (_{R ,+,¢; ·) es un CUERPO CONMUTATIVO} TOTAL-MENTE ORDENADO. Además, este orden es compatible con las leyes internas suma y producto según los axiomas B.10-B.11.

Para completar la axiomática del número real queda todavía un último axio-ma. Este axioma, que es sin duda el más importante, se dará más adelante por dos razones:

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ii) Por otra parte, los axiomas de cuerpo ordenado que ya tenemos, permiten deducir una amplia gama de consecuencias sin necesidad del axioma que falta. Las siguientes notaciones son usuales: Si a y b son dos números reales, escribire-mos a < b para indicar a · b y a 6= b: por otra parte, a · b , a ¸ b; a > b , b < a: R+ 0 := f x 2 R : x ¸ 0g Reales no negativos R¡ 0 := f x 2 R : x · 0 g Reales no positivos R+ _:=_{f x 2 R : x > 0 g Reales positivos} R¡ _:= _{f x 2 R : x < 0 g Reales negativos} R¤ _:=_{R ¡ f0g := f x 2 R : x 6= 0 g}

Destacamos ahora algunas consecuencias inmediatas de los axiomas de cuerpo ordenado. La demostración de cada una de ellas es un ejercicio sencillo.

i) a · b , ¡b · ¡a ii) a < b y c · d ) a + c · b + d iii) a · b y c · 0 ) bc · ac iv) Si a < b y c > 0 ) ac < bc v) aa > 0 8a 2 R¡ f0g vi) a 2 R+_{, a}¡1_{2 R}+_: vii) 0 < 1 < 1 + 1 viii) Si a > 0 ) a¡1_{> 0, y si a < 0}_{) a}¡1_{< 0:} ix) Si 0 < a < b =) 0 < b¡1_{< a}¡1_: x) Si 0 · a < b; y 0 · c < d =) ac < bd:

Completamos la axiomática de_{R con el decimotercer axioma que será decisivo} para distinguir _{R de otros cuerpos conmutativos ordenados. Este, precisará de} algunos conceptos, tal y como hemos comentado antes

De…niciones.-Sea A un conjunto no vacío de números reales. Diremos que: ¨ A está acotado superiormente o mayorado, si

9 k 2 R : x · k 8x 2 A . Tal k se llama cota superior o mayorante de A . ¨ A está acotado inferiormente o minorado, si

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A este tal k0_{, se le llama} _{cota inferior o minorante de A .}

¨ A está acotado sii está acotado superiormente e inferiormente a la vez. Notaremos por M (A) y m(A), respectivamente, al conjunto de los mayorantes y de los minorantes de A.

Obsérvese que:

M (A) :=_{f x 2 R : x ¸ a 8a 2 Ag}

m (A) :=_{f x 2 R : x · a 8a 2 Ag} y notemos que A está mayorado si, y sólo si, M (A) 6= ;

Se dice que,

¨ A tiene máximo sii 9 a 2 A tal que x · a 8x 2 A . Lo denotaremos por a = m¶ax (A) :

¨ A tiene mínimo sii 9 a 2 A tal que a · x 8x 2 A. Lo denotaremos por a =min (A).

Es evidente que tales elementos, caso de existir, son únicos.

A modo de ejemplo, el conjunto A := f x 2 R : 0 < x < 1g está acotado, R no está mayorado ni minorado,_R+ _{está minorado no mayorado, y}_R_¡_{está mayorado}

y no minorado.

El siguiente resultado de comprobación inmediata puede ayudar a determinar todos los mayorantes y todos los minorantes de un conjunto dado.

Lema.

Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b + ", para todo "_{2 R}+_{. Entonces a · b.}

Prueba

Dado " 2 R+_{; se tiene que 0 < "=2 < "; y por tanto a} _{· "=2 + b < " + b. Si}

fuese a > b; entonces a ¡ b > 0, y de acuerdo con lo anterior, tomando " = a ¡ b, se tendría que a < b + (a ¡ b) = a, lo cual es una contradicción.

Ejemplo:

El conjunto A := f x 2 R : 0 · x < 1g está acotado, y se ve facilmente por el lema anterior que m(A) = _R¡

0 y que M (A) := f x 2 R : x > 1g. Por tanto,

Inf (A) = 0, y Sup(A) = 1: Dado que 0 2 A, se tiene que 0 = Min(A), pero A no tiene máximo.

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La relación entre supremo y máximo de un conjunto, y la relación entre ín…mo y mínimo s eprecisan a continuación:

Proposición:

Sea A un conjunto no vacío de números reales. Entonces, i) Si A tiene máximo)A tiene supremo y M¶ax(A) = Sup(A) ii) Si A tiene mínimo)A tiene ín…mo y M¶{n(A) = Inf (A) iii) Supongamos que A tiene supremo. Entonces:

-Si Sup(A) 2 A, A tiene máximo y M¶ax(A) = Sup(A) -Si Sup(A) =2 A, A no tiene máximo

iv) Supongamos que A tiene ín…mo. Entonces:

-Si Inf(A) 2 A, A tiene mínimo y M¶{n(A) = Inf(A) -Si Inf(A) =_{2 A, A no tiene mínimo}

De…nición

Dado ; 6= A µ R , si A está mayorado (es decir, M (A) 6= ;) y tal conjunto tiene mínimo, es decir, 9 Min (M (A)), se llama supremo de A; a tal mínimo. Notaremos por Sup (A) a tal elemento. Dicho de otro modo, es la menor de las cotas superiores de A.

Análogamente, se de…ne el concepto de ín…mo para un conjunto no vacío y minorado de números reales, tal que el conjunto de sus minorantes tenga máximo, como Inf (A) = M ¶ax(m(A)); es decir, es el máximo de los minorantes, o sea, es la mayor de las cotas inferiores de A.

Nota.- Obviamente si existe una cota superior (respectivamente inferior) exis-ten in…nitas. En cambio, si existe máximo (respectivamente mínimo, supremo, ín…mo), este es único.

Observemos que la existencia de supremo (o mínimo de las cotas superiores) supone (es condición necesaria) que A es no vacío y mayorado. De modo natural surge la cuestión de si el recíproco es cierto, es decir ¿Admite supremo todo conjunto de números reales no vacío y mayorado?

Durante este curso veremos que existen conjuntos, concretamente, cuerpos conmutativos totalmente ordenados, donde la respuesta a la pregunta anterior es negativa. (Téngase en mente al respecto, al conjuntoQ de los números racionales que será estudiado en el presente tema.)

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Pues bien, aquí está la clave de nuestro objeto en estudio:

«_{R es el único cuerpo conmutativo y totalmente ordenado en el cual todo} subconjunto no vacío y mayorado admite un supremo» [1].

Pero, para _{R, la repuesta satisfactoria que nos dice [1] será consecuencia del} último axioma:

C. Axioma del supremo.- Todo conjunto no vacío de números reales y mayorado tiene supremo.