EL MÉTODO DE HARDY CROSS
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.
Los resultados del análisis de la red
Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados en
la figura 3 y la tabla 1.
Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos
DATOS INICIALES DE LA RED
C = 125; k = 0.15 mm
METODO DE CROSS-
HAZEN & WILLIAMS
METODO DE CROSS-
DARCY & WEISBACH
Circuito
No.
Tramo
Longitud Diámetro Qinicial
No. Circuito
adyacente
QDEF
Hf
V
QDEF
hf
v
m
pulg mm
l/s
l/s
m
m/s
l/s
m
m/s
I
1-1
600
16
400
180
0
195.711
3.526
1.557
196.076
3.094
1.560
*1-2
300
12
300
60
2
76.268
1.251
1.079
76.358
1.077
1.080
*1-3
300
8
200
10
3
25.011
1.144
0.796
25.249
1.004
0.804
*1-4
600
12
300
-70
4
-46.509
-1.001
-0.658
-45.841
-0.809
-0.649
1-5
600
16
400 -250
0
-234.289
-4.919
-1.864
-233.924
-4.367
-1.862
∑
hf = 0.001
∑
hf = -0.001
II
*2-1
300
12
300
-60
1
-76.268
-1.251
-1.079
-76.358
-1.077
-1.080
2-2
300
12
300
70
0
69.443
1.051
0.982
69.718
0.904
0.986
*2-3
300
8
200
-10
3
-11.257
-0.261
-0.358
-11.109
-0.212
-0.354
2-4
300
12
300
45
0
44.443
0.460
0.629
44.718
0.386
0.633
∑
hf = -0.001
∑
hf = -0.001
III
*3-1
300
8
200
-10
1
-25.011
-1.144
-0.796
-25.249
-1.004
-0.804
*3-2
300
8
200
10
2
11.257
0.261
0.358
11.109
0.212
0.354
3-3
300
8
200
25
0
25.700
1.203
0.818
25.827
1.049
0.822
*3-4
300
12
300
-45
4
-36.521
-0.320
-0.517
-36.091
-0.257
-0.511
∑
hf = 0.000
∑
hf = 0.000
IV
*4-1
600
12
300
70
1
46.509
1.001
0.658
45.841
0.809
0.649
4-2
300
12
300
-80
0
-87.779
-1.622
-1.242
-88.082
-1.420
-1.246
*4-3
300
12
300
45
3
36.521
0.320
0.517
36.091
0.257
0.511
4-4
300
8
200
60
0
52.221
4.469
1.662
51.918
4.050
1.653
4-5
900
8
200
-20
0
-27.779
-4.168
-0.884
-28.082
-3.695
-0.894
∑
hf = 0.000
∑
hf = -0.001
EL MÉTODO DE HARDY CROSS
GENERALIDADES
El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o
leyes:
•
Ley de continuidad de masa en los nudos;
•
Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de
energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach.
La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha
sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación
del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la
superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.
La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado
acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la
rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez
depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales
iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige
sucesivamente con un valor particular,
∆
Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o
corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los
tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una
calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por
aproximaciones sucesiva.
Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y
racional de calcular las redes de tuberías.
Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se
presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales
concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS
El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:
1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual
a cero"
(1)
Donde,
Q
ij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.
q
i: Caudal concentrado en el nudo i
m : Número de tramos que confluyen al nudo i.
2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en
los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
(2)
Donde,
h
f ij:
Pérdida de carga por fricción en el tramo T
ij.n : Número de tramos del circuito i
ECUACIONES BÁSICAS
La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:
(3)
Donde,
V : Velocidad del flujo, m/s.
C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.
D : Diámetro de la tubería, m.
S
f: Pérdida unitaria de carga (m/m).
(4)
Por continuidad,
Luego,
(5)
De la cual resulta:
(6)
Donde,
Q : Caudal del flujo en el conducto, m
3/s.
L : Longitud del tramo de tubería, m.
h
f: Pérdida de carga, m.
La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se exprese en pulgadas y el
caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.
(7)
Haciendo
(8)
Resulta:
(9)
La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:
(10)
Donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy
Y en términos del caudal, expresa:
(11)
Haciendo;
(12)
Resulta:
(13)
En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:
(14)
Donde,
r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada para el cálculo.
n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada.
n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams.
n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach.
El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los tramos, con la siguiente
ecuación general:
El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuación de Colebrook & White, que
expresa lo siguiente:
(16)
Donde:
k : El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm.
D : Diámetro de la tubería, mm.
R : El número de Reynolds del flujo, adimensional.
Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional.
A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:
(17)
Donde,
v : Velocidad del flujo, m/s.
ρ
: Densidad del fluido (agua), kg/m
3.
µ
: Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s.
ν
: Viscosidad cinemática del fluido, m
2/s.
D : Diámetro del conducto, m.
Q : Caudal del flujo en el conducto, m
3/s.
La ecuación (16) es una ecuación implícita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la
subrutina 400, aplicando el Método de Newton & Raphson. Nótese que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se
emplea un valor inicial de f = X
0, calculado con la siguiente fórmula:
(18)
CONVENCIONES
•
Los caudales Q
ijy sus correspondientes pérdidas de carga, hf
ij, y velocidades, v
ijserán positivos si fluyen en
sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario.
•
La nomenclatura de los tramos T
ijsólo requiere que el primer subíndice represente el número de circuito al cual
pertenece. El subíndice j es un número consecutivo que inicia en 1 y termina en el número de tramos del circuito
considerado. Ejemplo, el tramo T
2.4es el cuarto tramo del circuito No.2
•
En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como
tampoco un sentido horario o antihorario.
•
Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos, simultáneamente. En el primer caso,
el número del circuito adyacente, solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrará el número
del otro circuito que lo camparte con el actual.
LISTADOS DE LOS PROGRAMAS EN LENGUAJE BASIC
LISTADO No. 1 DEL PROGRAMA DE CALCULO
5 ‘MÉTODO DE HARDY CROSS: EC. HAZEN & WILLIAMS 15 INPUT "COEFICIENTE DE HAZEN & WILLIAMS = "; C 20 INPUT "NÚMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = "; NC
25 INPUT "NÚMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NÚMERO DE TRAMOS = "; N 30 NIT = 0
35 DIM L(NC,N), D(NC,N), Q(NC,N), A(NC,N), hf(NC,N), NT(NC), DELTAQ(NC) 40 FOR I = 1 TO NC
45 PRINT "NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRUITO No. N" ; I; 50 INPUT NT(I) 55 NEXT I 60 FOR I = 1 TO NC 65 FOR J = 1 TO NT(I) 70 PRINT "L ( "; I;" , ", J; " ) " ; "m" ; 75 INPUT L(I,J)
80’ PRINT "D (";I;" ; ";J;")"; "pulg" ; 85 INPUT D(I,J)
90 PRINT "ENTRE EL CAUDAL CON SIGNO (+/-)" ; "Q (";I;2;" , ";J;")" ; "1/s" ; 95 INPUT Q(I,J)
100 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL"; 105 INPUT A(I,J)
110 NEXT J 120 NEXT I 125 NIT = NIT + 1
130 BEEP: BEEP: BEEP 1: BEEP 1 135 FOR I = 1 TO NC
140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0 145 FOR J = TO NT(I)
150 Q = ABS(Q(I,J))^1.851*Q(I,J)/ABS(Q(I,J)) 155 hf(I,J) = ((56.23/C^1.851)*(L(I,J)/D(I,J)^4.87)*Q 160 SUMAPER = SUMAPER + hf(I,J)
165 SUMARELQ = SUMARELQ + hf(I,J)/Q(I,J) 170 NEXT J 175 DELTAQ(I) = - SUMAPER/(1.851*SUMARELQ) 180 NEXT I 185 FOR I = 1 TO NC 190 FOR J = 1 TO NT(I) 195 U = A(I,J) 200 IF U = 0 THEN GO TO 210
205 Q(I,J) = Q(I,J) + DELTAQ(I) – DELTAQ(U): GO TO 215 210 Q(I,J) = Q(I,J) + DELTAQ(I)
215 NEXT J 220 NEXT I
225 FOR I = 1 TO NC 230 FOR J = 1 NT(I)
235 IF ABS(DELTAQ(I)/Q(I,J)) <=0.00001 THEN GO TO 240 ELSE GO TO 125 240 NEXT J
245 NEXT I
250 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1
255 PRINT "NÚMERO DE ITERACIONES = " ; NIT 260 FOR I = 1 TO NC
265 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I 270 PRINT "DELTAQ (";(I) " ) = " ; DELTAQ(I) 275 FOR J = 1 TO NT(I)
280 PRINT "Q ( ";I;" , " ;J;" ) =" ; INT(Q(I,J)*1000+.5)/1000; " l / s" 285 PRINT "hf (";I ;" , ";J;") = "INT(hf(I,J)*1000+.5)/1000; " m"
290 PRINT "V(";I;",";J;")= ";INT(4*Q(I,J)*0.001/(PI*(D(I,J)*0.0254)^2)*1000+.5)/1000;" m/s" 295 NEXT J
300 NEXT I
305 IMPUT "DESEA OBSERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$ 310 IF R$ = "S" THEN GO TO 250
315 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CÁLCULO DE LA RED (S/N) " ; M$ 320 IF M$ = "S" THEN GO TO 15
325 PRINT "ENCANTADO DE SERVIRLE HASTA PRONTO" : GO TO 330 330 END
LISTADO No. 2 DEL PROGRAMA DE CÁLCULO
5 ‘MÉTODO DE HARDY CROSS: EC. DE DARCY & WWISBACH 15 INPUT "COEFICIENTE DE RUGOSIDAD ABSOLUTA (mm) =" ;K 20 INPUT "NÚMERO TOTAL DE CIRCUITOS DE LA RED = " ;NC
25 INPUT "NÚMERO DE TRAMOS DEL CIRCUITO CON MAYOR NÚMERO DE TRAMOS = " ; N 30 NI = 0 : G = 9.81: NU = 1.00 E-6:C0 =4/(PI*NU): C1 = K/3.7
35 DIM L(NC,N), D(NC,N), Q(NC,N), A(NC,N), A(NC,N), f(NC,N), R(NC,N), hf(NC,N) 40 DIM NT(NC), DELTAQ(NC)
45 FOR I = 1 TO NC
50 PRINT "NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE EL CIRCUITO No." ; I ; 55 INPUT NT(I) 60 NEXT I 65 FOR I = 1 TO NC 70 FOR J = 1 TO NT(I) 75 PRINT "L ( " ;I; " , " ;J; " ) " ; "m" ; 80 INPUT L(I,J) 85 PRINT "D (" ;I ;" , " ;J; " ) " ; " mm" ; 90 INPUT D(I,J)
95 PRINT "Q (" ;I; " , " ;J; " ) " ; " I/s " ; 100 INPUT Q(I,J)
105 PRINT "No. DEL CIRCUITO ADYACENTE AL TRAMO ACTUAL" ; 110 INPUT A(I,J)
115 NEXT J 120 NEXT I 125 NI = NI + 1
130 BEEP: BEEP: BEEP 1 135 FOR I = 1 T0 NC
140 SUMAPER = 0 : SUMARELQ = 0 145 FOR J = 1 TO NT(I)
150 GOSUB 400
155 hf(I,J) = 8*f(I,J)*L(I,J)*(Q(I,J)*0.001)^2/(PI^2*G*(D(I,J)*0.001)^5) 160 IF Q(I,J) <0 THEN hf(I;J) = -hf(I,J)
165 SUMAPER = SUMAPER + hf(I,J)
170 SUMARELQ = SUMARELQ + hf(I,J)/Q(I,J) 175 NEXT J
180 DELTAQ(I) = -SUMAPER / (2*SUMARELQ) 185 NEXT I
190 FOR I = 1 TO NC 195 FOR J = 1 TO NT(I) 200 U = A(I,J)
205 IF U = 0 THEN GO TO 220
210 Q(I,J) = Q(I,J) + DELTAQ(I)-DELTAQ(U) 215 GO TO 225
220 Q(I,J) = Q(I,J) + DELTAQ(I) 225 NEXT J 230 NEXT I 235 FOR I = 1 TO NC 240 FOR J = 1 TO NT(I) 245 IF ABS(DELTAQ(I)/Q(I,J) <= 0.000001 THEN GO TO 255 250 GO TO 125 255 NEXT J 260 NEXT I 265 BEEP:BEEP:BEEP1:BEEP1
270 PRIN " NÚMERO DE ITERACIONES = " ; NI 275 FOR I = 1 TO NC
280 PRINT "RESULTADOS DEL CIRCUITO No." ; I 285 FOR J = 1 TO NT(I)
290 PRINT "Q ( ";I;" , ";J;" ) = " ; INT(Q(I,J)*1000+0.5)/1000 ; "l/s" 295 PRINT "hf (";I;" , ";J;" ) = " ; INT(hf(I,J)*1000+0.5)/1000 ; "m"
300 PRINT "V (";I;" , ";J;" ) = " ; INT(4*Q(I,J)*0.001/(PI*(D(I,J)*0.001)^2)*1000 +0.5)/1000; "m/s" 305 NEXT J
310 NEXT I
315 IMPUT "DESEA OBERVAR NUEVAMENTE LOS RESULTADOS (S/N) " ; R$ 320 IF R$ "S" THEN GO TO 265
325 INPUT "DESEA REALIZAR UN NUEVO CÁLCULO DE REDES"; M$ 330 IF M$ = "S" THEN GO TO 15
400 ‘SUBRUTINA EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN, f, CON LA ECUACIÓN DE COLEBROOK & WHITE 405 R(I,J) = CO * ABS(Q(I,J)/D(I,J)) : X0 = -2*LOG(C1/D(I,J)+5.1286/R(I,J)^0.89)
410 X = X0:C2 = LOG(C1/D(I,J)+2.51*X/R(I,J)) 420 NIT = 0
430 FN = X + 2*C2: DF = 1+5.02/(C2*R(I,J)) 440 X1 = X – FN/DF
450 IF ABS(X1-X) > 1E-6 THEN X = X1 : NIT = NIT + 1: GOTO 430 460 f(I,J) = (1/X)^2: beep1: RETURN
470 END
