Razonam
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Matemát
.
CESAR´S
SECUNDARIA
MATEMÁTICA – 5to. año
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 9
La isla de Perutize como todos sabemos, está habitada solamente por dos tribus de aspecto idéntico, pero de temperamentos muy distintos: Los habitantes trilciousse, que dicen siempre la verdad, y los de Labraille que saben únicamente mentir.
Desembarco, y tres aborígenes se aproximan hacia mi. Ignoro el origen preciso de cada uno.
PERUTIZE
TRILCIOUSSE
LA BRAILLE
Por favor, señor ¿Cuántos trilcianos hay entre ustedes? Cra, cra, croncha croncha Perdone, pero no comprendo su lengua .. Ha dicho que solamente hay uno
No crea lo que dice dos plumas : miente. Pero venga a mi casa, porque no soy caníbal .
Venga mejor a mi casa porque yo no
soy caníbal.
¿Qué invitación acepto: la del
indio con dos plumas, o la del
indio con tres plumas? AYUDADME ,
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 1
QUINTO AÑO
LÓGICA RECREATIVA
En este primer capítulo del curso, las situaciones quese presentan son problemas comunes de la vida diaria, en muchos de los cuales no hay matemática que sirva para resolverlos. Se trata de resolverlos de manera lógica empleando el razonamiento para tal fin.
RECUERDA :
“Sólo necesitas algo
de ingenio y
habilidad.
2. DE 1 AL 8 D IST R IB U C I ÓN
Distribuir los números del 1 al 8 en las ocho marcas (x) de la figura con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en lugares adyacentes.
Hemos distribuido los problemas en 4 grupos: I. Ubicación numérica
II. Test de fósforos III. Lazos familiares IV. Días de la Semana
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I. UBICACIÓN NUMÉRICA
Ahora tenemos el siguiente reto. Completar los cuadros y figuras mágicas.
x
x
x
x
x
x
x
x
3. EL CU B O D E P R IMOS
En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dos de cada arista sea un número primo.
¡Tu puedes ….
Sólo necesitas
constancia e
imaginación
4. EL MARAVIL LOSO 26 1. C U A D R A DO M ÁG I COColocando los números del 1 al 9 en cada uno de los cuadraditos. Hacer que la suma horizontal y vertical y diagonal de cada fila de 15.
Coloque los números del 1 al 12 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los que ocupan cada una de las seis líneas sea igual a 26.
5. TRIÁNG U LO MÁG I C O
Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20.
6. La figura mostrada es un famoso: “Templo griego” que está hecho con once cerillas. Cambia de lugar 4 cerillas de manera que obtengas 5 cuadrados.
S
o l u c i ón .- Observamos que ya tenemos 2
cuadrados formados consecutivamente de manera horizontal; ahora deslicemos hacia abajo las 2 cerillas verticales dentro de los 2 cuadrados mencionados, y completando adecuadamente con las 2 cerillas de afuera (encima), tendremos:
¡Desafió! Ahora tu logra que los números situados en las esquinas sumen 15 y uno de ellos sea el 5.
Habrás,
notado lo
fácil que es ….
II. TEST DE FÓSFOROS
Los fósforos, tienen 2 propiedades que las hacen idóneas para divertimentos matemáticos. Pueden servir de “cuentas” y también de segmentos de longitud unitaria.
En esta parte nos fijaremos en los trucos, juegos y acertijos, que se pueden realizar con fósforos...
7. La llave está hecha con diez cerillas, cambiar de lugar cuatro de tal forma que resulten tres cuadrados.
8. Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio, es preciso cambiar la posición de 5 cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.
9. En la figura apreciamos una flecha construida con dieciséis cerillas.
a) Mueve 7 cerillas, de tal manera que se formen 5 figuras iguales de 4 lados.
So
l u c i ó n
.-Podemos establecer el siguiente diagrama : b) Mueve 8 cerillas de la flecha de manera que se
formen 8 triángulos iguales. De suegra aNuera
Mamá del hombre del
cuadro
De esposos
10. Un cangrejo de cerillas camina hacia arriba (ver figura) cambiar la posición de tres de tal forma que el cangrejo camine hacia abajo.
Mamá de Karina
Karina
∴ Karina concluye : “Este hombre es mi padre” 12. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es
la hija de la esposa del único vástago de mi madre?.
III. LAZOS FAMILIARES
A continuación nos presentan situaciones de relaciones familiares (parentescos) en los cuales se debe tener en cuenta al momento de realizar la solución que c/u de los integrantes puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes.
Rpta : ... 13. Si el hijo de Daniel es el padre de mi hijo, ¿Qué
parentesco tengo con Daniel?.
Rpta : ... 14. En una cena familiar se encuentran 2 padres, 2
hijos y 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena?.
11.
RECUERDA
¡! La clave esta en
esquematizar el problema con un número mínimo de integrantes….. no lo olvides!!
Veamos algunas situaciones diversas.
La madre de ese hombre, que no es mí tío, era la suegra de mí madre.
Mamá … ¿Quién es ese hombre
Rpta : ... 15. En una familia están presentes 2 abuelos, 2
abuelas, 3 padres, 3 madres, 3 hijos, 3 hijas, 2 suegras, 2 suegros, 1 yerno , 1 nuera, 2 hermanos y 2 hermanas.
¿Cuántas personas se encuentran presentes como mínimo?.
Rpta : ... IV. DÍAS DE LA SEMANA
Para este tipo de problemas se sugiere tener en cuenta que para el análisis; se debe partir de la parte final y seguir un procedimiento regresivo
Como veras hasta ahora sólo hemos recurrido al razonamiento para hallar la solución a los problemas … continua desarrollando tu ingenio y habilidad.
20. Si ayer hubiera sido como mañana, faltarían 2 días para domingo. ¿Qué día es hoy?.
Rpta : ...
TAREA
DOMICILIARIA
Observemos el siguiente ejemplo :
16. Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿Qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana?.
Sol u c i ó n
.-Ubicamos de manera lineal (horizontal) los datos : ayer
ayer hoy mañana Pasado mañana El pasado mañana de ayer = miércoles
∴ Hoy = martes
Ahora daremos respuesta a la pregunta con los datos obtenidos :
¡¡ Ahora todo depende de ti!! Sólo aplica todo lo aprendido
¡ Tú puedes
!
I. Completa las siguientes figuras mágicas.
1. C U BO MÁGI C O EN P E RSPE C TI V A
Un cubo mirado en perspectiva, nos muestra sólo tres de sus caras y siete vértices. En ellos es posible acomodar los números de 1 al 7, uno por vértice, de modo que los cuatro vértices de cada una de las caras sumen 15. ¿Sabrás tu colocarlos?. 1º pasado mañana
ayer hoy mañana Pasado mañana
Lunes Martes Mierc. Jueves 3º mañana de
anteayer de pasado mañana 2º anteayer de pasado
mañana 2. LA RUE DA N UMÉ RICA
∴ El día será = miércoles
17. Si hoy es miércoles. ¿Qué día será el mañana de anteayer?
Rpta : ... 18. Si el ayer de pasado mañana es lunes. ¿Qué día
será el mañana de ayer de anteayer?.
Rpta : ... 19. El ayer de mañana es jueves, ¿Qué día será el
ayer de pasado mañana?.
Rpta : ...
Ubique las cifras de 1 al 9 en los círculos pequeños de modo que la suma de las tres cifras de cada línea sea 15.
3. C U A D R A DO M ÁG I CO
Distribuir los números del 1 al 25, tal que la suma de las filas sea la misma (45)
II. Dado el siguiente grupo de “cerillos”, se pide que: 4. En la figura mover sólo 3 palitos para que el
pez nade en sentido contrario.
5. Desplazando 4 palitos forme sólo 2 cuadrados.
6. ¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para formar la figura de la posición 10?.
1º 2º 3º
7. ¿Cuántos fósforos debemos mover para formar siete triángulos?.
III. Responde correctamente a las siguientes situaciones sobre relaciones familiares (parentescos):
8. La única hija del abuelo de mi padres es mi : a) prima b) abuela c) tía d) madre e) tía abuela
9. Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena?
a) cuñados b) hermanos c) concuñados d) esposos e) primos 10. En una reunión hay 3 hermanos, 3 hermanas ,
2 hijos, 2 hijas, 2 primos, 2 primas, 2 sobrinos y 2 sobrinas. ¿Cuántas personas como mínimo hay en la reunión?.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 16 e) 14
11. En una reunión familiar se observa que hay 1 abuelo, 1 abuela, 1 yerno, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra, 4 hijos, 2 hijas, 2 tíos, 2 tías, 3 primos, 1 prima, 2 hermanos, 3 nietos y 1 nieta. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en la reunión?.
a) 18 b) 16 c) 21
d) 10 e) 12
IV. A continuación problemas sobre relación de tiempos :
12. Siendo lunes el mañana del día anterior al pasado mañana de ayer, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?.
a) Lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
13. ¿Cuál es el día que está inmediatamente después del día que subsigue al posterior día del que precede al anterior día de hoy, si el pasado mañana de mañana es viernes?.
a) Miércoles b) Jueves c) Lunes d) Sábado e) Martes
14. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue ayer?.
a) Viernes b) Jueves c) Martes d) Miércoles e) Lunes
15. ayer tenía 24 años y el próximo año cumpliré 25 años. Si el día de mañana cumplo años, ¿Qué fecha será?
a) 01 de enero d) 30 de diciembre b) 31 de diciembre e) 29 de diciembre c) 02 de enero
CUADRADOS MÁGICOS
Existe un libro chino muy antiguo llamado Yih King. Nadie sabe quién lo escribió. En el libro se cuenta la historia de una gran tortuga que apareció un día en el río Amarillo. En el dorso de su caparazón había extrañas marcas. Las marcas eran puntos que indicaban los números del 1 al 9. Estaban dispuestos de tal forma que, no importaba en que dirección sumaran los números, la respuesta era siempre 15. Era un cuadrado mágico. Supongamos ahora que tenemos un tablero cuadrado que comprende 5 casillas por lado o sea 25 casillas en total; inscribamos en cada casilla uno de los números 1, 2, 3, … 25, de forma que la suma de los números de una línea cualquiera, la de los números de una columna cualquiera o de una de las dos diagonales sean iguales. Un cuadrado así, se denomina cuadrado mágico de 5º orden (es un cuadrado de orden impar, puesto que 5 es un número impar),de forma general un cuadrado mágico de “n” casillas por línea comprenderá “n” casillas en total, y se llamará par o impar según la paridad de “n” ; en cada casilla estará (una sola vez) uno de los números de la sucesión 1, 2, 3, …. n. La construcción de un cuadrado mágico es un problema teórico bastante difícil, los primeros estudios se remontan al bizantino Emanuel Moschopoulos en el siglo XIII, Damos, aquí, el método dado por Bachet de Meziriac en 1612, en su libro; problemas placenteros y deleitables , este método es sólo válido para un cuadrado de orden impar (que supondremos de 5 casillas por línea, para simplificar la explicación).1. Dibujar el cuadrado, trazando líneas paralelas a los lados. 2. Alargar las paralelas más allá de cada lado, y construir así,
fuera del cuadrado unos pequeños cuadrados semejantes a los primeros y que vayan decreciendo siempre en número de dos hasta que terminen en un solo cuadradito de arriba” (ver la figura).
3. Inscribir la cifra 1 en “el cuadradito de arriba” después en diagonal inscribir los números en su orden natural: 1, 2, 3, 4, …..
Se sitúan así dentro del gran cuadrado leyéndolos línea a línea los números 11, 7, 3 para la primera línea (separados por dos casillas blancas). Los números 12 y 8 para la segunda línea, etc. 4. Para terminar pasamos los números que “rebasan”, dentro del cuadrado grande según lo siguiente : los de arriba van abajo, los de abajo van arriba, los de la derecha van a la izquierda y los de la izquierda van a la derecha, señalando que hay que llevar el número que se halla fuera del cuadrado a la misma fila donde se encuentra tantos lugares más adelante como unidades hay en el lado del cuadrado. En nuestro ejemplo , la cifra 1 debe bajarse 5 casillas puesto que el cuadrado tiene un lado de 5 unidades.
El número secreto en un cuadrado mágico de orden impar es el del centro. Multiplica este número por cinco para obtener los totales de las líneas. En este cuadrado mágico dicho total es 65
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 2
QUINTO AÑO
INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN
¿Cuántos palitos de fósforos conforman el siguiente castillo?. Casos Particulares Inducción CASO GENERAL (conclusión)
Veamos las siguientes situaciones:
1. Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre. 1 2 3 28 29 30 ¿Cómo resuelvo este problema? 1 2 3 28 29 30 So l u c i ó n
.-Entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples que se puedan encontrar.
En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados (como el anterior) pero que con un poco de habilidad e intuición llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción.
¡¡Entonces analicemos juntos lo que estos métodos implican!!
I. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión (caso general).
Caso 1 : 1 2 Caso 2 : 1 2 Nº de p a l i t o s 3 ⇒ 2 2 - 1 8 ⇒ 2 - 1
Caso 3 :
∴ Suma de cifras = 15 ⇒ 2 - 1
1 2 3
En el problema :
¡No olvides! Es muy importante el análisis de lo particular a lo general, recuerda la clave radica en darle una forma más cómoda a los resultados de los casos que se van distribuyendo .. 2 - 1 = 1 2 3 28 29 ∴ Nº de palitos = 3. Calcular el valor de : M = 97.98.99.100 + 1 Generalmente es necesario y suficiente analizar convenientemente 3 casos particulares, y sencillos, manteniendo la forma inicial (general) en que se presenta el
ejercicio … ¡No lo olvides! 2. Calcular el valor de “E” y dar como respuesta la
suma de sus cifras.
E = (333 …. 334)2 101 cifras S o l u c i ón .-(34)2 = 1156 ⇛ Suma de cifras = 13 ⇨ 6(2) + 1 2 cifras (334)2 = …………. ⇛ Suma de cifras = …….. ⇨ ………… 3 cifras (3334)2 = ………… ⇛ Suma de cifras = …….. ⇨ ………… 4 cifras Rpta : ……… 4. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al
saludarse 40 personas asistentes a una reunión?. Rpta : ……… 5. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la
siguiente figura?.
100 bolitas
Rpta : ……… 6. ¿Cuántos asteriscos hay en total?
F1 F2 F3 F50 (333 …. 334)2 = ……….. ⇛ Suma de cifras = ………. ⇨ ……… Rpta : ……… 101 cifras
7. Según el esquema mostrado, ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “TRILCE”?.
T R R I I I L L L L C C C C C E E E E E E 1 + 3 + 5 = 9 (3)2 3 términos # de términos 1 + 3 + 5 + 7 = ( )2 4 términos # de términos En general Rpta : ……… 8. Dado el esquema : S1 : S2 : S3 : S4
¿Cuántas bolitas habrá en S12?
Caso particular : n2 = 1600 ………… (Dato) ∴ n = ……….
10. Calcular el resultado de operar :
M = (a – n) (b – n) (c – n) (d – n) ………. (x – n) Rpta : ……… Rpta : ………
II. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares método por el cual se procede de manera lógica de lo general (universal) a lo particular.
• Como habrás notado es necesario recordar criterios básicos (de las operaciones). • La deducción e inducción se relacionan y se complementan. ¡No lo olvides! 11. Calcular : 24 cifras Caso General Deducción Casos Particulares E = 35 12 +35351212 +353535121212 + K K+353535K 35121212K 12 24 cifras
Analicemos los siguientes casos :
9. La suma de los “n” primeros números impares es 1600 por lo tanto, ¿Cuál es el valor de “n”?.
S
o l u c i ó n .
-Para resolver este problema hay que conocer a que es igual la suma de los “n” primeros números impares (caso general) y luego verificar el valor de “n” cuando la suma sea igual a 1600 (caso particular).
1 + 3 = 4 (2)2
Rpta : ……… 12. Hallar : a + b ; si :
(1 . 3 . 5 . 7 . 9 … )2 = K ab Rpta : ……… 13. Hallar las tres últimas cifras de “n”, si :
n . 18 = ……… 8428 ……… (1) n . 28 = ……… 0888 ……… (2)
14. Hallar la suma de cifras de : P = (1040 + 1) (1040 – 1) Rpta : ……… a) 10521 b) 12562 c) 10648 d) 12167 e) 13824 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 15. Si : (+)(+) = (-) (-) Hallar : K = suma sumeno amor + moreno
5. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto.
P = (22000 + 1) (21999 + 1) (21998 + 1) (21997 + 1) … (22 + 1) Rpta : ………
TAREA DOMICILIARIA
Ya te has dado cuenta que no hay problema complicado o
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 2
6. Calcular la cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangular.
a) 4950 b) 5000 c) 4850 d) 5050 e) 5151 difícil, sólo tienes que
ayudarte con el uso de la inducción y deducción
1. Relacionar correctamente :
a) Inducción ( ) De lo general a lo particular b) Deducción ( ) De lo particular a lo general. ( ) Se analizan 3 casos sencillos ( ) Se relacionan y complementan. ( ) Es necesario redactar criterios
básicos.
( ) Tenemos que darle una forma cómoda a los resultados.
1 2 3 98 99 100
7. En qué cifra termina :
P = (10 + 1) (102 + 3) (103 + 5) ….. (10500 + 999) + 4
a) 6 b) 9 c) 5
d) 4 e) 3
8. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :
999 …. 992 x 999 … 998
40 cifras 40 cifras
a) 421 b) 375 c) 413
d) 398 e) 367
2. Calcular la suma de cifras del resultado: 9. Hallar : 4 3(22+ 1)(2 4
+ 1)(28+ 1) + 1 E = (9999 ….. 999)2 27 cifras a) 250 b) 243 c) 246 d) 329 e) 789 a) 25 b) 21 c) 18 d) 16 e) 12
10. ¿Cuántos puntos en contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? 3. Calcular : (135)2 + (85)2 + (65)2 + (145)2 a) 1305 b) 1218 a) 12167 b) 10090 c) 50700 d) 65200 e) 12850
4. Calcular la suma de términos de la fíla 23.
c) 1425 d) 1740
11. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?.
a) 1000 b) 10100 c) 10500 d) 101100 e) 100100
12. Según el esquema mostrado. ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “inducción”?.
I
14. Si : a + b + c + d + e +f = 27
Hallar la suma de cifras del resultado de sumar los números.
abcdef , bcdefa , fabcde , cdefab , efabcd y defabc
a) 65 b) 48 c) 56
d) 72 e) 54
15. Cuántos palitos hay en la siguiente figura. a) 325 b) 256 c) 304 d) 272 e) 282 N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N a) 720 b) 610 c) 850 d) 960 13. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de sus
cifras. E = (333 …. 333)2 200 cifras a) 900 b) 1200 c) 1800 d) 2700 e) 9990 e) 560 1 2 19 20
Los Huesos de Napier
¿Tienes algún problema en multiplicar números grandes? ¿No puedes recordar las tablas? ¿Has perdido la calculadora? ¡Socorro! John Napier inventó un sistema de multiplicación en el siglo XVII. Fue conocido como los huesos de Napier, ¡porque los números originales estaban tallados en huesos!.Éste es el hueso para el número 6.
Los dos números en cada fila tiene una línea inclinada que los separa. Los números de la izquierda son decenas y los de la derecha unidades. Así, por ejemplo, la primera fila no tiene decenas y sí 6 unidades, por lo tanto es 6. El segundo tiene 1 decena y 2 unidades, lo cual hace 12, y así
sucesivamente. Cada fila tiene 6 más que la anterior.
¡Es fácil!
Pero ¿Qué ocurre si quieres multiplicar 64 x 4? Primero, haz una nueva tira y llénala con números para 4. Colócala a continuación de la tira del 6 para hacer 64. Alinéalas con la tira x (veces) fig. 2
Ahora escribe los números de las filas que se alinean con el número 4 de la tira x (veces), como indica la flecha de líneas punteadas, (el aspecto será el de la figura, de la derecha) ahora escribe los números debajo, sumando los números unidos por la raya inclinada. La respuesta es 256
Fig. 1
Fig.
2
Intenta multiplicar 64 x 8 La respuesta es 512Utilizando una hoja de papel cuadriculado, dibuja y corta 2 tiras. Haz que una de ellas sea la fila x (veces), la otra será la tira 6. Para saber cuántos es 3 x 6, encuentra el 3 en la tira x (veces) y mira la fila del 6. ¡Ésa es la respuesta 18!.
La columna del centro suma ahora más de 10, así que se traslada el 1 a la siguiente columna de la izquierda.!.
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 3
QUINTO AÑO
CRIPTOARITMÉTICA
Ahora sí, teniendo en cuenta lo aprendido desarrollemos el ejemplo anterior.
Se demuestra que : D A M E
+ M AS
Donde : O = cero
Piden : máximo valor de D A M E + M AS AM O R S o l u c i ón- . “ A M O R ” AM O R Donde : O = cero
Hallar : el máximo valor de la palabra “ A M O R ”. Problemas de este tipo se encuentran dentro de lo que se conoce como “Criptoaritmética” .. conozcamos lo que esto significa y luego encontremos esos números
Se deduce : E + S < 10
Unidades : E + S = R Se deduce que : Decenas : M + A = 10 M = 1
Centenas : 1 + M + A = … M A = 9 Millares : 1 + D = A = 9 D = 8
Como AM O R debe ser máximo, entonces; R = 7
escondidos. Luego : AM O R = 9107 1. CRIPTOARITMÉTICA ... ... ... 2. T i p o s de e n u nc ia d o s c ript o ar i t méti c os
¡Fácil verdad! …. Practiquemos con los siguientes problemas! :
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A B + B C B C B C I N C O -T R E S D O S 8 7 + 5 6 9 1 3 3 61. Si cada letra diferente representa a un dígito diferente, el valor de U + N + I en la siguiente
(I) (II) (III)
3. Norma Principal (consideraciones) :
3.1 ... ... ... 3.2 ... ... suma es : a) 20 b) 18 c) 15 d) 13 e) 12 U U + N N I I U N I ... N O T A :
Hay que utilizar las reglas matemáticas conocidas en cuanto se refiere a las operaciones básicas.
2. El producto de un entero positivo “x” de 3 dígitos por 3 es un número que termina en 721. La suma de los dígitos de “x” es:
a) 13 b) 12 c) 16
3. En la siguiente multiplicación, calcular la suma de las cifras del producto total (cada punto representa un dígito).
10. Hallar la suma de las cifras del producto abc x 27. Si los productos parciales suman 2862.
a) 23 b) 24 c) 25 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 x 3 0 4 1 5 d) 26 e) 27
11. Hallar : a + b + c + d, sabiendo que : a4b8 + 3c5d = 8a90
4. En la división solo intervienen tres dígitos : p, q, r. Hallar el valor de 2p + 3q + 5r a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 a) 38 b) 43 c) 30 d) 49 e) 47
p q q
r
r
p p
p q
r
p
12. Si se cumple que : abc + bca + cab = 1cc6 Hallar : a + b – c
a) 6 b) 3 c) 1
d) 2 e) 7
5. En la siguiente suma las letras A, B, C representa dígitos. Calcular la suma de BA más AC .
a) 111
A B +
13. Si : EVA + AVE = 645 ; Hallar : V + E + A
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
b) 120 c) 102 d) 121
e) Hay más de una solución C A
1 1 1 14. Hallar : abc + bca + cab ; si : a + b + c = 18
a) 1990 b) 1992 c) 1994
6. Reconstruir la siguiente suma y dar como resultado el valor de: MAS + SAL
d) 1998 e) 1999 15. p + q = 12 ; r + s = 16 a) 1331 b) 2442 S A L + M A S qqss + rrpq + pprp + ssqr = addbc Calcular : (a + b + c – d)2 c) 1441 d) 1551 e) 2332 A L L A a) 9 b) 16 c) 25 d) 36 e) 100
7. Si a un número entero de seis cifras que comienza con (1) se le traslada este uno a la derecha de la última cifra, se obtiene otro número que es el triple del primero, el número inicial es:
a) 142867 b) 142857 c) 114957 d) 155497 e) 134575
8. En esta operación una de las cifras vale: a) 1
TAREA DOMICILIARIA
Ya haz practicado lo
suficiente, ahora puedes
hacerlo sólo …
b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Se sabe que : A B + B C B C B abc x m = 2312 abc x n = 1734Tú puedes, sólo aplica todo
lo aprendido.
1. Criptoaritmética es el de encontrar
¿Cuánto es abc x mn ? a) 9652 b) 24854 c) 21954
representadas con letras en una _.
2. Colocar : “F” o “V” según corresponda : 9. Si : AA + LL + OO = ALO ; O ≠ cero 1. Cada letra de un numeral ( )
Representa una cifra.
2. Letras diferentes son dígitos ( ) diferentes.
3. Donde se repiten los () son ( ) Dígitos iguales.
4. Debemos utilizar los conceptos ( ) básicos de las operaciones
Calcular el valor de la suma de las cifras de : OLLA + LOLA
a) 25 b) 26 c) 24
d) 27 e) 22
10. Si : AABB = CC 3. Sabiendo que : m ≠ n ≠ p y además:
mmm + nnn + ppp = 2664 Calcular : a) El valor de m, n y p : b) m . n . p : c) m2 + p2 : Hallar : A + B + C a) 15 b) 19 c) 21 d) 24 e) 20
11. En la multiplicación, el mayor dígito que aparece en el producto es :
4. Hallar :
abc + acb + bac + bca + cba + cab
a) 5 b) 6 c) 7 N I G M A E x 5 Sabiendo que : a + b + c = 9 a) 1445 b) 1998 c) 1886 d) 1776 e) N.A. d) 8 e) 9 E N I G M A
5. El Producto de los dígitos : a, b y c que aparecen en la suma es: 12. Si : ABC x CBA = 39483 Hallar : A + B + C a) 4 b) 5 c) 6 a) 24 b) 48 a 7 c +c 6 a d) 7 e) 9 c) 72 d) 96 5 b 9 1 c 2 6 13. Si : A PEZ = A e) 126
6. En la siguiente resta O = cero. Determinar el valor de : a + b + c
a) 11
Hallar : P + A + Z + E
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) N.A.
14. Si cada letra diferente representa un dígito b) 12 7 a b 4 - diferente y sabiendo que :
c) 14 c d O b QUE + QUE = ESOS (0 ≠ cero) d) 15
e) 16 a 7 c 8
Hallar : Q + U + E + S + O
a) 21 b) 22 c) 20
7. En la siguiente resta, hallar : abc − cba . a) 297 d) 19 e) 23 15. Si : b) 594 c) 495 d) 369 e) 396 a b c -b c a 3 1 6 C E R O + C E R O C E R O C E R O C E R O Con : O ≠ cero
Hallar la suma de valores de “X”
X = D + O + C + E + N + A 8. Calcular : x . y . z; si se cumple que :
x74y + z7y + 5yx2 = yyx64
a) 24 b) 32 c) 45
d) 30 e) N.A.
N A D A
a) 28 b) 34 c) 62
MENOS POR MENOS ES MÁS
Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente. Sin embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII usaban los números negativos para indicar deudas y los representaban con un circuito sobre el número: admitían soluciones negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la gente no aprueba las raíces negativas”.
Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falso”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.
John Wallis (1616 – 1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655) “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.
Leonardo Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Álgebra (1770) trata de “demostrar” que (-1) (-1) ) = +1; argumenta que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1) (-1), tendrá que ser : (-1)(-1) = +1.
Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases matemáticas es ¿P or qué m e nos por m e n os e s m
ás ?.
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla e puramente arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables:
Equivalente lingüístico: “la doble negativa equivale a una información”: No es cierto que Pepito no tenga el libro = Pepito tiene el libro.
Un ejemplo fácil de visualizar es el de isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos a los que se asignan el signo + y, ciudadanos “malos” a los que se da el signo -.También se acuerda que : “salir” de la isla equivale al signo -, y “entrar” a la isla equivale al signo +.
Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+) Si un ciudadano malo (-) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es positivo (-) (-) = (+) Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-) Si un ciudadano malo (-) entra (+) a barataria, el resultado para la isla es negativo: (-) (+) = (-)
Ciudadano bueno + Ciudadano Malo -Entra a la isla
+
+
-Sale de la isla-+
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 4
QUINTO AÑO
MÉTODOS OPERATIVOS - I
Los Métodos Operativos(Técnicas/artificios). Nos ayudan a simplificar los problemas, abreviando planteamientos tediosos y cálculos saturados.
Ahora desarrollaremos juntos las siguientes situaciones, aplicando operaciones inversas. (Método del cangrejo) …
Hemos clasificado los métodos operativos en:
I. Método de operaciones inversas (cangrejo) Ejemplo : Completa el siguiente cuadro : II. Método del rombo (Falsa su suposición)
III. Método de diferencias (Comparación de Cantidad) IV. Método de la regla conjunta (Equivalencia)
La clave para la resolución de los problemas radica en saber reconocer en que caso aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución.. ¡He ahí nuestro desafío!
Enunciado Interpretación (Op. Directas) Duplicó su dinero Gastó 4 soles Triplico lo que tenía Gastó la mitad más 1 Cangrejo (Op. Inversas)
I. MÉTODO DE OPERACIONES INVERSAS
Se aplica en aquellos problemas donde la variación inicial se desconoce, hay una serie de operaciones y nos dan como dato el valor final (resultado). El procedimiento de solución consiste en invertir el sentido de las operaciones.
La idea queda resumida en el siguiente esquema:
Valor Inicial Valor Final
En la última línea : “gasto la mitad más uno”, no se puede traducir como ÷2, +1 por que ese “mas uno” es un gasto y debe ir con signo negativo, dado que la operación final es una sustracción .. ‘No lo olvides!!
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Una persona ingreso aun restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina,
Proceso
Directo x OperacionesDirectas Dato quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía
inicialmente?.
Valor Final Valor Inicial a) 12 solesd) 14 b) 16e) 18 c) 10 Proceso
Inverso Dato OperacionesInversas x So l u c i ó n : sus gastos fueron :
En el restaurante : ……….. En la heladería : ………..
Las operaciones directas son :
x → (÷2, -3, ÷ 2, -2) → 0
restaurante heladería
Las operaciones inversas tenían : 0 → (………)→x ∴ x =
2. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agrego 10, al resultado se le multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número?.
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 14
3. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vació el pozo luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?.
a) 144cm b) 120 c) 80
d) 72 e) 90
4. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Uno de sus feligreses resultó favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus ofrendas, pero que al final quedó poseedor de nada. ¿Cuánto tenía inicialmente?.
7. Lili, cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20; si gastó todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo día?.
a) 100 b) 110 c) 160
d) 130 e) 140
8. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo que cada día su nivel desciende en 4 metros por debajo de su mitad, quedando vació al cabo del cuarto día.
a) 110m b) 120 c) 130
d) 140 e) 150
II. MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN
Se aplica cuando en un problema existen 4 datos como mínimo
1. 2. 3. 4. El procedimiento de solución radica en realizar una falsa suposición (asumiendo que todos los elementos son de una sola clase).
El presente diagrama resume estas apreciaciones. Clase
“A” a) 90 monedas b) 120 c) 70
d) 80 e) 160
5. Dos jugadores; acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero de otra. Después de dos partidas, que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?. #total de elementos (Conjunto)
÷
Clase “B” Valor real (Total) a) S/.16 b) 128 c) 96 d) 112 e) 326. Jorge le dice a Rosa : “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo
Lo que despejamos al realizar estas operaciones es la cantidad de elementos que no fueron tomados en cuenta en la suposición (Clase “B”)
multiplico por 6, para quitarle a continuación 24 soles. Y si a este resultado le extraigo la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8 soles, lo que tengo al inicio es”.
a) S/.92 b) 24 c) 80 d) 576 e) 352 # de elementos = de "B" # de elementos = de "A" (conjunto x A) − TOTAL A − B
Ya conociendo la fórmula y el procedimiento de solución… apliquemos esté método de los siguientes problemas….
9. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total de $560. Si sólo habían billetes de $50 y $10. ¿Cuántas eran de cada clase?.
a) 14 y 10 b) 16 y 8 c) 12 y 12 d) 15 y 19 e) N.A.
S
o l u c i ó n :
* Identificar los 4 datos :
1. Conjunto : ... 2. Clase “A” : ... 3. Clase “B” : ... 4. Total : ... * * Ahora con los datos elabore el rombo:
algunos de:
a) 5L b) 4 c) 9
d) 13 e) 11
13. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto todas?.
a) 42 b) 36 c) 38
d) 34 e) 32
14. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u un billetes. ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.100?.
a) 30 b) 18 c) 27
d) 15 e) N.A.
15. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando entre los dos 100 pasos. Si cada paso del segundo mide 50 cm. y cada paso del primero mide 70 cm. ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?.
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
TAREA DOMICILIARIA
# Billetes Dinero Total
otros de:
Ya conoces los métodos operativos – I, ahora práctica con los siguientes ejercicios … y recuerda: “Mucha habilidad y # billetes de $10 = =
10. En un examen, cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si un alumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo 80 puntos. ¿En cuántas se equivocó?.
a) 7 b) 9 c) 8
d) 6 e) 10
11. En un zoológico, entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. Determinar el número de alas.
a) 14 b) 28 c) 16
d) 12 e) 30
12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega.
1. Los métodos operativos nos ayudan a los problemas abreviando: y . 2. Relacionar correctamente :
a) Se aplica operaciones ( ) Met. Rombo inversas
b) Generamos un ( ) Met. Cangrejo valor supuesto
c) Es dato el valor final ( ) Met. Rombo d) Existen 4 datos ( ) Met. Cangrejo 3. En el siguiente problema :
Tres jugadores : A, B y C convienen en que el que pierda duplicará el dinero a los demás si pierden en ese orden quedando al final c/u con 32 soles. Responder :
a) ¿Cuánto tenía c/u inicialmente?
b) ¿Quién ganó mas y cuánto?. c) ¿Quién perdió y cuánto?
d) ¿Quién tuvo más dinero en las diferentes etapas del juego?.
4. Juan le dice a Luis : “Si el doble de mi edad, lo multiplicas por 8, luego divides por 10, al cociente lo multiplicamos por 3, agregas 36 y por último, ivides el resultado entre 6, obtendrías 30 años. ¿Cuántos años tienen Juan?.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
5. Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar una a continuación de otra hasta alcanzar la longitud de un metro. Si los diámetros de las monedas son de 20 y 30mm respectivamente, el # de monedas de 5 pesos es:
a) 20 b) 32 c) 18
d) 30 e) 2
6. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en blanco de un cuaderno más 5 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?.
a) 200 b) 175 c) 225
d) 120 e) 150
7. En un concurso de admisión, la prueba de R.M. tenía 100 preguntas, por cada respuesta correcta se le asigna un punto y cada incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿Cuántas erró?
a) 10 b) 50 c) 30
d) 25 e) 40
8. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24 soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió “A”?.
a) 8 b) 10 c) 12
d) 16 e) 18
9. Martín trabaja en una compañía en la cual, por cada día de trabajo le pagan 300 soles y por cada día que falta le descuentan 100 soles de sus sueldos. ¿Cuántos días ha trabajado si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de 2000 soles?.
a) 12 b) 13 c) 18
d) 5 e) 10
10. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra vez se queda sin dinero, ¿Cuánto tenía al comienzo?. a) S/.48 b) 15,6 c) 28,5 d) 22,5 e) 17,5
11. A Jorgito, por cada día que asiste al colegio, le dan 4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno. ¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió 12 caramelos?.
a) 24 b) 20 c) 25
d) 12 e) 4
12. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40 soles semanales; en cambió, la semana que no trabaja el día lunes, debe quitar 20 soles. De sus ahorros. Si durante 10 semanas se logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en esas 10 semanas?.
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 8
13. Con un cierto número se hacen estas operaciones : se eleva al cubo, al resultado se suma 9 y se extrae raíz cuadrada; al número resultante se divide entre 3 para luego restarle 1 y por último elevarlo al cuadrado, obteniéndose 16. ¿De qué número se trata?.
a) 4 b) 6 c) 9
d) 12 e) N.A.
14. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150 km. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles por km y los de 2da clase pagan 2 soles por km. ¿Cuántos pasajeros iban en el de 1ra clase, si en ese viaje se ha recaudado : 129 600 por concepto de pasajes?.
a) 125 b) 218 c) 99
d) 145 e) 107
15. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm. Por debajo de su mitad y luego de 4 horas se desagua toda la piscina. ¿Qué profundidad tenía el agua actualmente?.
a) 80cm b) 90 cm c) 96 cm d) 108 cm e) 120 cm
1. PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRAS.
Los siguientes productos tienen la curiosa particularidad de expresarse con igualdades en las que entran sólo una vez cada una de las nueve primeras cifras significativas; no se pone como problema encontrar estos productos, puesto que no hay principios generales, para ello. Se les puede encontrar consultando pacientemente. Tablas como la de CRELLE, que presentan los productos de dos factores hasta 999 x 999. Por ejemplo :
483 x 12 = 5 796 157 x 28 = 4 396 159 x 48 = 7 632 297 x 18 = 5 346 186 x 39 = 7 254 1 738 x 4 = 6 952 198 x 27 = 5 346 138 x 42 = 5 796 1 963 x 4 = 7 852 (Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora).
2. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA.
12 345 679 x 9 = 111 111 111
a. Una propiedad muy conocida del número.
12 345 679, es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111 111 111. Por lo tanto, al multiplicarlo por 18 (que e 9 x 2), por 2 (que es 9 x 3), por 36, etc. Se obtienen también productos notables, a saber:
12 345 679 x 18 = 222 222 222 12 345 679 x 27 = 333 333 333 12 345 679 x 81 = 999 999 999
b. De no conocer este multiplicando, podríamos, haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 1111 … bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fue exacta. Del mismo modo vamos ahora a investigar cuál es el número que multiplicado por 7. Da un producto escrito con sólo las cifras 1:
Por consiguiente, resultará :
15 873 x 7 = 111 111 15 873 x 14 = 222 222 15 873 x 21 = 333 333 ... ... 15873 x 63 = 999 999 1 1 7 4 1 15873 6 1 5 1 2 1 0
c. Requiere ya más paciencia, contestar a esta pregunta. ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1?.
En efecto, procediendo como antes, se encuentra: nada menos.
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 5
QUINTO AÑO
MÉTODOS OPERATIVOS II
Hoy terminaremos esta parte de los métodos operativos, estudiando los métodos del rectángulo y de la regla conjunta.
MÉTODO DE DIFERENCIAS
Dado el siguiente problema:
“Un vendedor ofrece un lote de camisas a 24 soles c/u para ganar 60 soles respecto a su inversión pero si decide venderlo a 18 soles cada camisa, pierde 30 soles. ¿Cuántas camisas tienen el lote? Podeos observar :
Un # desconocido de elementos (n) de una misma que cambia su valor y esto genera una variación en el valor de los (n) elementos.
Para hallar este # desconocido (n) se aplica la siguiente fórmula.
A la aplicación de la fórmula y del gráfico se le conoce como : .
Ahora si c o no c i d a l a teorí a ,
practiquemos con los siguientes problemas
…
1. En el problema anterior:
So
l u c i ó n : La incógnita principal (n) es #
de camisas. La comparación, se observa en el siguiente gráfico.
pierde gana
La diferencia total es: La diferencia unitaria (cambio de precio)
Entonces : n =
D.T
n = = =
D.U Lo mas importante es reconocer
correctamente ambas diferencias y esto puede lograrse con la ayuda del siguiente gráfico.
Valor Total ( ) Referencia (x)
∴ El lote tenía :
2. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquet. Su c/u colaborase con 3 soles faltarían 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?.
A B pierde C gana D a) 150 b) 170 c) 180
d) 120 e) 125
3. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer
comprar entradas de 65 soles. Observa que le falta Se resuelven verificando que el segundo miembro de cada sea de la misma para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 que el primero de la soles. Es así que entran todos y le sobra 10 soles.
¿Cuántos hijos llevó al concierto?.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
4. Se requiere rifar una computadora con cierto # de boletos si se vende cada boleta a 10 soles se pierde 1000 y si se vende a 15 soles se gana 1500 soles. Determinar el # de boletos y el precio de la computadora.
a) 500; 6400 b) 600 ; 1200 c) 400 ; 5000 d) 500 ; 6000 e) 300 ; 7000
5. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto # de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles y si se vende cada boleto a S/.0,80. Se gana 50 soles. El precio del reloj en soles es:
a) 90 b) 220 c) 720
d) 670 e) 120
6. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltaría S/.12 y si adquiere entradas a S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?.
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
7. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles, dar la suma del # de ayudantes y el # total de soles?.
a) 10 b) 47 c) 57
d) 67 e) 48
8. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. Determine el precio del reloj?.
a) S/.400 b) 450 c) 500
d) 550 e) 600
IV. MÉTODOS DE LA REGLA CONJUNTA
Se aplica en aquellos problemas donde se dan una serie de .
siguiente y así sucesivamente, para finalmente multiplicar estas .
Para su mejor comprensión veamos algunos
problemas…
9. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas?
a) 500 b) 400 c) 600 d) 800 e) N.A. Formamos las equivalencias y apliquemos regla conjunta de acuerdo a lo aprendido … Así tendremos : 6 varas = 5 metros 2 metros = S/. 300 S/. x = 4 varas Multiplicando 6 . 2 x = 5 . 300 . 4 5 . 300 . 4 x = = 6 . 2 ∴ x = S/. Rpta : clave
10. Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles?.
a) S/.63 b) 24 c) 36
d) 48 e) N.A.
11. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
12. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz?.
a) 2 b) 4 c) 5
d) 8 e) 12
13. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos, 5 monos cuestan 150 dólares. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?.
a) $50 b) 80 c) 60
d) 65 e) N.A.
14. Si 2 triángulos pueden cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados pueden ser cambiados por 9 triángulos?.
a) 32 b) 31 c) 36
d) 28 e) 30
15. En un bazar 4 pantalones equivalen al precio de 5 camisas; 4 chompas cuestan tanto como 6 camisas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 12 pantalones?.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) N.A.
TAREA
DOMICILIARIA
Ya has aprendido “Métodos Operativos” Recuerda el desafió radica en saber reconocer cuando aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución.. Aplica lo aprendido en la solución de los
siguientes problemas.
1. Los métodos operativos, se han clasificado en : , , y
2. Relacionar correctamente:
a) Operaciones ( ) Regla Conjunta Inversas
b) Valor supuesto ( ) Cangrejo c) Diferencia
total y unitaria ( ) Rombo d) Equivalencias ( ) Rectángulo. 3. En el método del rectángulo, hallamos el #
desconocido de elementos (n) dividiendo : entre _. 4. Colocar V ó F según corresponda :
1. Regla conjunta se aplica en equivalencias. ( ) 2. El 1er miembro debe ser de la misma especie
que el 2º. ( )
3. n = diferencia/unitaria diferente total. ( ) 4. Rombo y rectángulo se efectúan gráficos.
( ) 5. Una persona quiere repartir cierto número de
caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?.
a) 237 b) 327 c) 273
d) 723 e) 372
6. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. ¿Cuántos niños son?.
a) 72 b) 61 c) 68
d) 116 e) 12
7. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. ¿Cuántos eran los hijos?.
a) 5 b) 8 c) 7
d) 6 e) 9
8. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar 4 más, pero si sólo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es:
a) 750 b) 425 c) 525
9. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se osara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. ¿Cuál es la cantidad de postes?
a) 6 b) 7 c) 10
d) 8 e) 9
10. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. ¿Cuánto dinero tenía?.
a) 80 b) 75 c) 48
d) 90 e) 65
11. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. ¿Cuántos son el grupo?.
a) 5 b) 8 c) 6
d) 7 e) N.A.
12. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: - 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. - 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. - 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. ¿Cuántos sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca?.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 1
13. Si por 2 cuadrados dan 5 círculos, por 3 círculos dan 12 triángulos. ¿Cuántos triángulos dan por 2 cuadrados?.
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
14. En una joyería 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata, 9 de plata equivalen a 3 de diamante, 24 de acero equivalen a 6 de diamante, además por 36000 soles me dan 4 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro dan por 60000 soles?.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e) 8
15. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?.
a) 36 b) 42 c) 60
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº6
QUINTO AÑO
REPASO
Haremos un repaso general de todos los temas tratados en
este 1er bimestre preparándonos así para el Ex. Bimestral. Sólo debes recordar
todo lo que se ha enseñado.
EJERCICOS DE APLICACIÓN
1. Distribuir los dígitos del 1 al 7 usándolos una sola vez para conseguir que la suma de los números que ocupan cada fila sea 12.
2. Las t res aros má g i c o s .- Coloque los números del 1 al 6 en los pequeños círculos de modo que cada aro sume lo mismo. Hay 3 aros, cada uno engarza 4 círculos. ¡Es preferible pensar a tantear!
4. Mueve “x” cerillas y transforma “el hacha en 3 triángulos iguales. Calcular “x”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. La mamá de Jessica es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo del mellizo de Jessica?
a) Mi hermano b) Mi sobrino c) Mi tío d) Mi abuelo e) Mi hijo
6. La familia Álvarez consta de dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, una abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia?.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
7. Si hoy es domingo, ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de hace 2 días?.
a) Jueves b) Viernes c) Sábado d) Domingo e) Martes.
8. si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy?
a) Sábado b) Viernes c) Domingo d) Jueves e) Miércoles
3. Cambia la posición de “x” cerillas de tal modo que resulten tres cuadrados. Sin dejar cabos sueltos (Obs. “x” es la menor cantidad impar de cerillas).
9. Si : A = (333 … 333)2 y B = (666 … 666)2 61 cifras 31 cifras a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1
Calcular la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B.
a) 279 b) 549 c) 270
10. ¿Cuántas “cerillas” conforman la torre-mostrada?.
TAREA DOMICILIARIA
1 2 3 4 18 19 20 21
a) 20 b) 21 c) 210
d) 200 e) 420
11. Calcular la suma de cifras del resultado de: E = 10305050301 2040604020
Recuerda que para el curso solo necesitas conocimiento de matemática básica (todo lo que haz aprendido) y una buena dosis de lógica (Tu habilidad y razonamiento)
1. La suma en la r u eda : Ponga las cifras del 1 al 8 en las casillas de la rueda de modo que :
- Los números vecinos del cuatro sumen 9. - Los números vecinos del 5 sumen 11. - Los números vecinos del 6 sumen 10. - Los números vecinos del 7 sumen 8.
a) 10 b) 9 c) 12 d) 6 e) 8 12. Determinar : “P + U + C” , si : PUC CUP = 888 Además : P – C = 4 a) 10 b) 14 c) 11 d) 13 e) 18
13. Tres jugadores A, B y C acuerdan jugar tres partidas donde el que pierda en cada turno, duplicará el dinero de los otros dos. Si cada uno perdió una partida en el orden representación y al final el primero tiene 48 soles. ¿Cuánto tenía “A” al inicio del juego?.
a) S/.72 b) 64 c) 96
d) 84 e) N.A.
14. Los pasajes en bús valen S/.2,5 y S/.1,3, para adultos y universitarios, respectivamente. Luego de una vuelta en que viajaron 255 personas, se recaudó, se S/. 523,5. ¿Cuántos universitarios viajaron?.
a) 95 b) 80 c) 90
d) 100 e) 98
15. Un pastor que llevaba carneros a la feria decía: “Si vendo mis carneros a S/.20 c/u podré comprar un caballo y tener 90 soles de sobra; pero si los vendo a S/.18 c/u comprando el caballo no me sobran más que 6 soles. ¿Cuánto suma el precio del caballo y la cantidad de carneros que tenía el pastor?.
a) 795 b) 784 c) 692
d) 792 e) No vendió los carneros
2. Mueve “x” cerillas para obtener 5 cuadrados iguales. Calcular “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Una familia está compuesta por 4 parejas de hermanos, 4 tíos, 2 padres, 2 madres, 2 sobrinos, 2 sobrinas, 2 primos, 2 primas. ¿Cuál es el mínimo número de personas que la conforman?.
a) 8 b) 7 c) 9
d) 10 e) 11
4. Si el anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día de la semana será el mañana de anteayer?.
a) lunes b) martes c) domingo d) sábado e) miércoles
5. Calcular la suma de cifras del resultado de “A” A = (999 … 9995)2
101 cifras
a) 900 b) 925 c) 625
d) 90 e) 907
6. ¿Cuántos “palitos” se trazaron para construir el siguiente arreglo? a) 3600 b) 3675 c) 2550 d) 3720 e) 3625 1 2 3 4 5 47 48 49 50 7. Efectuar la siguiente suma y hallar:
m + n + p + q 7 + 77 + 777 + 7777 + ….. + 777 .. 77 = K mnpq 36 sumandos a) 7 b) 5 c) 25 d) 12 e) 14 8. Si : SIETE TRES = 100 000
Hallar : SEIS , además : I = E y T = R
a) 8128 b) 8118 c) 9229 d) 9339 e) 9119 A2 9. Si : = 3 1A Calcular : E = 2(A + 3) + 7 a) 4 b) 7 c) 14 d) 21 e) 20
10. Cuatro jugadores A, B C y D acuerdan que después de cada juego, el que gane recibirá la mirad del dinero que tengan cada uno de los otros tres. Sabiendo que c/u ganó una partida en el orden indicado (ABCD) y que al final quedaron: A con 80 soles, B con 120 soles; C con 250 y D con 480 soles. ¿Cuánto tenía A al principio?.
a) 240 b) 160 c) 480
d) 350 e) 300
11. María cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.2; si después de 3 días le queda S/.30 ¿Cuánto tenía al inicio?.
a) 256 b) 268 c) 144
d) 320 e) 450
12. María gasta 180 soles en comprar 100 frutas entre manzanas, peras y duraznos . Las manzanas y las peras cuestan 2 soles c/u, y los duraznos 1 sol c/u. Si en su compra llevo 10 manzanas más que peras. ¿Cuántas manzanas más que duraznos compró?.
a) 15 b) 25 c) 30
d) 40 e) 50
13. Un litro de leche pura debe pesar 1030 gramos; cierta mañana se reciben 6 litros que pesan 6120 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene la leche recibida?.
a) 3 b) 1,5 c) 2
d) 1,8 e) N.A.
14. Una persona quiere rifar una calculadora aun precio determinado emitiendo para esto cierto número de boletos. Si vende a S/.2 cada boleto perderá S/.30 y vendiendo en S/.3 cada boleto ganará S/.70. ¿Cuánto vale la calculadora?
a) 230 b) 180 c) 160
d) 270 e) 320
15. A un criado se le ha prometido la suma de : $1000 en efectivo, más una moto, como pago anual. Al cabo de 7 meses el empleado se va y recibe como pago total la moto y $200. ¿Cuál es el valor de la moto?.
a) $800 b) 840 c) 920
II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 9
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 1
QUINTO AÑO
PLANTEO DE ECUACIONES
La
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Hasta el año 1200 después de Cristo se uso en Europa la numeración romana, por esa época, un mercader de Pisa, Leonardo Pisano, al volver de un largo viaje por África y el Medio Oriente escribió un libro titulado Liber Abaci, donde exponía y proponía emplear la Matemática usada por los árabes, que a su vez la habían aprendido de los hindúes y que no significa otra cosa que nada.
Si bien la obra de Leonardo Pisano fue un hecho revolucionario, debido a que no estaba inventada la imprenta, debieron transcurrir tres siglos para que fuera conocida en toda Europa.
Es interesante señalar que en la América precolombina, más precisamente entre los mayas, existía la noción de "cero", número que ellos empleaban en su sistema de numeración vigesimal.
Este número es una de las más grandes invenciones del genio humano ya que gracias a él se abandono la numeración romana, adaptándose la decimal vigente aún en nuestros días y facilitó la ejecución de las operaciones aritméticas.
Hace 5 mil años, en una ciudad existía un rey muy cruel y temido por los escribanos. Así, cuando el rey preguntaba al escriba encargado de llevar las cuentas del granero:
¿Cuántos sacos de grano queda?, el escriba respondía siempre: "no queda ninguno y además debemos sacos al reyno vecino". Irritado por esta situación, el rey decidió condenar a muerte a todo escriba que le dijera que tenía deudas. Por este motivo murieron varios escribas, y nadie quería ejercer tan peligrosa función. Sin embargo, se presentó un candidato muy hábil que estaba seguro no iba a ser condenado.
Una vez en el cargo recibió la visita del rey, que le hizo la pregunta fatal: ¿Cuántos sacos quedan en el granero?, si me respondes que tenemos deudas morirás, y si mientes también" . El escriba respondió: "poderoso rey, tres veces el número de sacos que hay en el granero, más siete sacos, dan el mismo resultado
que si se añadieran quince sacos al número de sacos de este granero multiplicado por cinco.
¡Esto es lo que posees!". El rey no comprendió lo dicho e ingresó al granero observando que estaba vació y además en el libro de cuentas aparecía una deuda de cuatro sacos. Si el escriba no mintió y salvó su vida, ¿Qué
II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 10
PLANTEO DE ECUACIONES
¿Qué es plantear una ecuación?
A. De
la
Fo
r m
a Verbal
a la
F
o rma
Matemática
Plantear una ecuación es traducir en forma clara y completa todo lo que se expresa en forma verbal a la forma matemática.
Un número cualquiera
Forma Verbal
Forma Matemática
Tres números consecutivos. El exceso de A sobre B
Ana tiene 5 soles más que María. El duplo de un número
El triple de un número 2 veces un número
La quinta parte de un número
La mitad de la quinta parte de un número A es dos veces B
A es dos veces más que B M es “x” veces más que “N” Dos números proporcionales a 2 y 3 P es a q como 3 es a 5
La suma de 3 números consecutivos es 30
La edad de Pedro es tanto como la suma de las edades de José y Luis.
El número de carpetas excede en 10 al número de sillas El triple de un número disminuido en 10
El triple de un número, disminuido en 10 El cuadrado de un número aumentado en 3 El cuadrado de un número, aumentado en 3 La cuarta parte de un número aumentado en 5 La cuarta parte de un número, aumentado en 5
La quinta parte de la raíz cuadrada de un número aumentado en 3 La quinta parte de la raíz cuadrada de un número, aumentado en 3
B. De
la
F
o rma M
a tem
á tica
a la
F
o rm
a Ve
r b al
Forma Matemática
Forma Verbal
x + y a – 1 + a + a + 1 x – y Juana: x + 10 Lucia : x Mi edad = E Entonces: 4E “ES”
a
=
3
b 4
a = b + c Caballeros: C Damas : D Entonces : C – D = 10 2(x + 5) Si “x” es un número 2x + 5 Si “x” es un número X3 + 3 Si “x” es un número (x + 3)3 Si “x” es un número 1 x +3 5 Si “x” es un número 1 (x +3) 5 Si “x” es un número 1 x +3 5 Si “x” es un númerox
+
5
C. Resolución
d e Ecuaciones
1. 21 – 6x = 27 – 8x 2. 5y + 6y – 81 = 7y + x + 14 3. 8x – 15x – 30x – 51x = 53x + 31x – 172 4. 2x + 3 + 3x + 5 = 10x + 2 – 5x + 1 5. 15x – 10 = 6x(x + 2) + (-x + 24) 6. x – [5 + 3x – {5x – (6 + x)}] = -3 7. 71 + [-5x + (-2x+3)] = 25 – [-(3x + 4) – (4x + 3)] 8. Resolver: -7x + 11y = 47 … (1) x + y = 1 … (2) indicando el valor de “x” 9. Resolver: -2x + 5y = 12 … (1) 2x + 3y = 14 … (2)10. Resolver: x + y = 6. Indicar el valor de y. y + z = 2
D. P
lant
e o d e Ecuaciones
1. Un número es menor que 60 en la misma medida que es mayor que 50. ¿Cuántas veces mayor es el número con respecto a 11?
2. El producto de dos números impares positivos consecutivos es cuatro veces el menor, más 15 ¿Cuál es el producto?
3. Al salir del "Bingo" Alex le comenta a Emilio, "perdí el doble de lo que aún tengo, de no ser así, cuando compré un libro de S/.32 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta". ¿Cuánto tenía Alex?
4. Si compro 2 camisetas gastaría S/.20 más que si comprara 3 polos; pero si compro 5 polos gastaría S/.20 más que si comprará dos camisetas. ¿Cuánto cuesta la docena de camisetas?
5. En un cilindro donde sólo hay aceite y agua; se sabe que : "los 3/4 del cilindro más 7 litros son de aceite y 1/3 menos 20 litros son de agua". ¿ Cuántos litros son de aceite?
6. Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle S/. 700 más un televisor; pero al cumplir los siete meses se despide pagándole S/. 250 más el televisor. El precio del televisor es.
7. En una reunión habían tantas chicas por cada chico, como chicos habían. Si en total hay 420 personas entre chicos y chicas. ¿ Cuántas chicas quedaron luego que cada uno de la mitad de chicos se retiran acompañados de 4 chicas?
8. Cuando Sebastián sube una escalera de 5 en 5 da 4 pasos más que subiendo de 6 en 6 ¿Cuántos escalones tiene la escalera que Sebastián sube?
9. En una prueba de 30 preguntas cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta (-1). Si un estudiante obtuvo 82 puntos y observó por cada respuesta en blanco tenía 3 respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas contesto?
10. Un estudiante gasta ''a'' soles en pasajes cuando va a clases. Si en "b" días ha gastado "c" soles. ¿Cuántos días no asistió a clases durante los "b" días?
