U N I
U N IV E R S IV E R S ID AD AD P R ID P R IV AV AD A D A AAN T E N O R O R R E G O N T E N O R O R R E G O
FA
FACULCULTATAD DE D DE IINGENIERINGENIERIAA
ESCUEL
ESCUELA A PROFESIONAPROFESIONAL DE INGENIL DE INGENIERIERIA CA CIIVIVILL
CURSO
CURSO
:
:
TOPOGRAFÍA
TOPOGRAFÍA
I
I
“CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA” “CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA”
DOCENTE
DOCENTE
:
:
Ing.
Ing.
Ms.
Ms.
Sc.
Sc.
ANAXIMANDRO
ANAXIMANDRO
VELÁSQUEZ
VELÁSQUEZ
DIAZ
DIAZ
TRUJILLO - PERÚ
TRUJILLO - PERÚ
2013-1
2013-1
EJEMPLO DE CALCULO
EJEMPLO DE CALCULO
DE UNA POLIGONAL
DE UNA POLIGONAL
CERRADA
CERRADA
Tipos de Precisión de la Poligonal
1’ 30”
Espec.
1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden
Error angular 15” 30” 1´ 1´30” Error relativo No debe exceder de 1/10,000 No debe exceder de 1/5,000 No debe exceder de 1/3,000 No debe exceder de 1/1,000 Área: Máxima Mayores de 500 has. 100-500 (Ha) 100 Has. 100 Ha. lectura de aprox. 30” 30” Al minuto Al minuto Se desprecia las pendientes menores de Se observa m menores de 1%. Se observa m menores del 2%. 2% 3% Usos Plano de población. -Plano de población. -Líneas jurisdiccio nales Trazo de carreteras. Vías férreas. Ante proyectos. n n n n
ANGULOS IINTERNOS:
Norte
LONGITUD DE LOS LADOS, (m):
Fig. Nº 1
Azimut A B = 126º 12’ 30” Croquis Fig. Nº 1
Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00)
Se desea: calcular las coordenadas de los vértices restantes, debiendo realizar la compensación de proyecciones por la regla de la brújula.
EJEMPLO:
En la medición de una poligonal cerrada, se ha obtenido los siguientes
datos:
Vértice 1ra Medición 4ta Medición A 85º 12’ 35” 340º 51’ 20”
B 119º 34’ 10” 118º 17’ 12” C 75º 35’ 00” 302º 20’ 20” D 79º 38’ 20” 318º 33’ 32”
Lado 1ra Medición 2da Medición 3ra Medición A B 238.11 238.16 238.15 B C 375.78 375.72 375.69 C D 401.23 401.30 401.25 D A 433.40 433.42 433.44 Z = 126º 12’ 30” A B C D
SOLUCION:
1º.- Calculo de los ángulos promedios:
A = 340º 51’ 20”
= 85º 12’ 50”
4
B = 360º+118º17’12” = 119º 34’ 18”
4
C = 302º 20’ 20”
= 75º 35’ 05”
4
D = 318º 33’ 32”
= 79º 38’ 23”
4
_________
Suma 360º 00’ 36”
2º.- Compensación de ángulos:
A = 85º 12’ 50” – 9” = 85º 12’ 41”
B = 119º 34’ 18” – 9” = 119º 34’ 09”
C = 75º 35’ 05” – 9” = 75º 34’ 56”
D = 79º 38’ 23” – 9” = 79º 38’ 14”
______________ = __________
360º 00’ 36” – 36”
360º 00’ 00”
3º.- Calculo de longitud promedio de los lados:
A B = 238.00 + _1_ (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m
3
B C = 375.00 + _1_ (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m
3
C D = 401.00 + _1_ (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m
3
D A = 433.00 + _1_ (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m
3
_______
1,448.55 m
4º.- Calculo del azimut y rumbo: Z A B = 126° 12’ 30” + R A B = S 53°47’30” E 180° Z B A = 306° 12’ 30” + B = 119° 34’ 09” 425° 46’ 39” – 360° Z B C = 65° 46’ 39” + R B C = N 65°46’39” E 180° Z C B = 245° 46’ 39” + C = 75° 34’ 56” Z C D = 321° 21’ 35” + R C D = N 38°38’25” O 180° Z D C = 141° 21’ 35” + D = 79° 38’ 14” Z D A = 220° 59’ 49” + R DA = S 40°59’49” O 180° Z A D = 40° 59’ 49” + A = 85° 12’ 41” Z A B = 126° 12’ 30” (Comprobación)
5º.- Calculo de las proyecciones de los lados:
Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones
en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo,
puede llegarse al siguiente cuadro:
Lado Longitud(m)
Rumbo lado
proyecc. X
Proyecc. Y
A B
238.14
S 53º47’30” E
+ 192.15 m
- 140.67 m
B C
375.73
N 65º46’39” E
+ 342.65 m
+ 154.15 m
C D
401.26
N 38º38’25” O
- 250.56 m
+ 313.42 m
D A
433.42
S 40º59’49” O
- 284.33 m
- 327.12 m
__________
__________
Suma - 0.09 m
- 0.22 m
Proyección en X = Lado x Sen Rumbo
Proyección en Y = Lado x Cos Rumbo
6º.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:
Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las
proyecciones, siendo para el caso, los siguientes :
Ex = - 0.09 m
Ey = - 0.22 m
error de cierre o error absoluto, será
el error relativo, será
Er = 0.25
=
1
, tomándose 1/5,500
1,448.55
5,794
7º.- Calculo de las correcciones de las proyecciones:
Lado
Corrección en eje X
Corrección en eje Y
A B
0.09 x 238.14 = + 0.01m
0.22 x 238.14 = + 0.04 m
1,448.55
1,448.55
B C
0.09 x 375.73 = + 0.02 m
0.222x 375.73 = + 0.05 m
1,448.55
1,448.55
C D
0.09 x 401.26 = + 0.03 m
0.22 x 401.26 = + 0.06 m
1,448.55
1,448.55
D A
0.09 x 433.42 = + 0.03 m
0.22 x 433.42 = + 0.06 m
1,448.55
1,448.55
_______
________
+ 0.09 m
+ 0.22 m
8º.- Calculo de las proyecciones compensadas:
Eje
X
Eje
Y
A B: + 192.15 + 0.01 = + 192.16
- 140.67 + 0.04 = - 140.63
B C: + 342.65 + 0.02 = + 342.67
+ 154.15 + 0.06 = + 154.21
C D: - 250.56 + 0.03 = - 250.53
+ 313.42 + 0.06 = + 313.46
D A: - 248.33 + 0.03 = - 284.30
- 327.12 + 0.06 = - 327.06
_______
_______
0.00
0.00
9º.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:
Estaciones
x
y
A
5,000.00 +
10,000.00
-192.16
140.63
B
5,192.16 +
9,859.37 +
342.67
154.21
C
5,534.83 -
10,013.58 +
250.83
313.48
D
5,284.30 -
10,327.06
-284.30
327.06
A
5,000.00
10,000.00
EJEMPLO DE CALCULO
DE UNA POLIGONAL
CERRADA
1º CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO
Lado Longitud n Rumbo
A B 195.62 N 75º 16’ 30” O
B C 290.15 N 45º 30’ 28” E
C D 252.47 S 32º 17’ 45” E
D A No medido Desconocido
Ejemplo:
Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada.
SOLUCIÓN:
Con los datos, puede calcularse:
Lado Proyección X Proyección Y
AB - 189.20 m + 49.72 m
BC + 206.98 m + 203.34 m
CD + 134.89 m - 213.41 m
Suma: + 152.67 m + 39.65 n
En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendrá que:
(D A)x = - 152.67m y (D A)y = -39.65 m Entonces:
Rumbo D A = Arc Tg =
= Arc Tg = Arc Tg 3.8504413
Rumbo D A = Sur 75º 26’ 29” Costo Observación:
Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo. y x A) (D A) (D 39.65 -152.67
-2º CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos
o no)
Ejemplo:
Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. Nº 31, siendo los datos:
Lado Longitud n Rumbo
A B 248.16 N 29º 30’ 15” O BC No medida N 76º 54’ 13” O CD 250.32 S 36º 13’ 24” O
DE No medida S 21º 18’ 30” E EA 389.77 N 70º 04’ 43” E
Lado Longitud n Rumbo A B 248.16 N 29º 30’ 15” O BC No medida N 76º 54’ 13” O CD 250.32 S 36º 13’ 24” O DE No medida S 21º 18’ 30” E EA 389.77 N 70º 04’ 43” E Gráfico: Fig. Nº 31 A D B C FIG. Nº 31 E SOLUCIÓN:
Lado Proyección X Proyección Y A B - 122.22 m + 215.98 m C D - 147.92 m - 201.94 m E A + 366.45 m + 132.81 m Suma: + 96.31 m + 146.85 m
En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones:
- B C Sen 76º 54’ 13” + D E Sen 21º 18’ 30” = - 96.31 m + B C Cos 76º 54’ 13” - D E Cos 21º 18’ 30” = - 146.85 m
Tomando los valores de las funciones trigonométricas, se tendrá: - B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 m
+ B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 m
Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores: B C = 173.43 m
3º CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL
RUMBO DEL LADO CONSECUTIVO
Lado Longitu d Rumbo A B 91.82 S 34º 30’ 15” E B C 103.54 S 82º 51’ 18” E C D 133.68 N 30º 10’ 20” E D A No med. N 62º 43’ 37” O E A 146.55 Desconocido
Este caso es posible resolverlo cuando una línea auxiliar de cálculo tal como se observa en el ejemplo que a continuación se detalla.
A D B E’ C E Lado auxiliar Ángulo interno en E: mayor que 90º
SOLUCIÓN:
Como se observa en la Fig. Nº 32, este caso tiene dos posibilidades de
solución, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ángulo interno en el vértice es mayor que 90º, lo cual concretiza el caso.
Con los datos, es posible calcular:
Lado Proyección X Proyección Y
A B + 52.01 m - 75.67 m
B C + 102.74 m - 12.88 m
C D + 67.19 m + 115.57 m
Entonces:
(D A) x n – 221.94 n y (D A) y n – 27.02 m Valores con los cuales puede calcularse:
D A = 223.58 <m>
Rumbo D A = Sur 83” 03’ 31” Oeste Azimut D A = 263º 03’ 31”
Tomando el triángulo: A D E, puede calcularse:
Ángulo D = Z D E – Z D A = 297º 16’ 23” – 263º 03’ 31” = 34º 12’ 52” Son E = = 0.8578451 Ángulo E = 120º 55’ 28” Ángulo A = 180º - (34º 12’ 52” + 120º 55’ 28”) = 24º 51’ 40” 146.55 52" 12' 34º Sen 233.58
Entonces:
Azimut B A = Z B D + Ángulo D = 117º 16’ 23” + 120º 55’ 28” = 238º 11’ 51”
Rumbo E A = Sur 58º 11’ 51” Oeste
Asimismo: D E = = 109.57m 52" 12' 34º Sen 40" 51' 24º Sen 146.55
4º CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS
CONSECUTIVOS
Este caso, con el anterior, se soluciona tomando una línea auxiliar de cálculo. Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe
tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso. Ejemplo:
Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. Nº 33, si:
Lado Longitud n Rumbo
A B 89.15 S 49º 35’ 00” E
B C 91.92 N 78º 10’ 30” E
C D 89.98 N 18º 24’ 10” O
D A 75.57 Desconocido
A D B B’ C E
El ángulo interno de la poligonal en el vértice E es mayor que 180º
SOLUCIÓN:
Lado Proyección X Proyección Y
A B + 67.87 m - 57.80 m B C + 89.97 m + 18.84 m C D - 28.41 m + 85.38 m Suma: + 129.43 m + 46.42 m Entonces: (D A)x = – 129.43 <m> (D A)y = – 46.42 <m>
Valores con los cuales se puede obtener:
D A = 137.50 m
Rumbo D A = Sur 70º 16’ 11” Oeste Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:
Cos E = = - 0.7762886 E = 140º 55’ 19” Cos D = = + 0.946608 D = 18º 48’ 26” Cos A = = + 0.9380663 A = 20º 16’ 15”
Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A
Azimut D E = Azimut D A – Ángulo D
= 250º 16’ 11” – 18º 48’ 26” = 231º 27’ 45”
Rumbo D E = Sur 51º 27’ 45” Oeste
Azimut E A = Azimut E D + Ángulo E (poligonal)
= 51º 27’ 45” + 219º 04’ 41” = 270º 32’ 26”
Rumbo E A = Norte 89º 27’ 34” Oeste
70.32) x 75.57 x (2 -75.57 70.32 137.502 2 2 75.67) x 137.50 x (2 -75.57 137.50 70.322 2 2 70.32) x 137.50 x (2 -70.32 137.50 -75.572 2 2
