100412_189_Trabajo_Fase2

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Ecuaciones Diferenciales

Fase 2: Diseño y Construcción. Trabajo Colaborativo Unidad 2

Diego Alejandro Campo Cód.

Sergio Andrés Bermeo Lozano Cód. 1.081.409.168 Mahira Alejandra Cerquera Perdomo Cód. 1.079.411.237

Andrea Jimena Cotacio Cód. 28.544.413

100412_189

Presentado a Robeiro Beltrán Tovar

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI)

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INTRODUCCIÓN

En esta actividad se abordaran los temas relacionados en la fase dos del curso de ecuaciones diferenciales, la cual el ejercicio o trabajo consiste en tres puntos. La primera es la actividad individual, donde se generaliza la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada uno de los participantes selecciona dos y de igual forma seleccionan la

respuesta correcta justificándola con todo su procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general.

El segundo y tercer punto corresponden al trabajo colaborativo; en el segundo se propone un problema el cual se debe desarrollar empleando el método más apropiado para dar tal solución, y el tercer y último punto se propone un problema junto con su solución, y de forma colaborativa se evalúa y analiza toda la solución a la situación planteada, si se considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, se debe realizar aportes en cuanto al procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución; si se considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe efectuar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución,

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DESARROLLO ACTIVIDAD INDIVIDUAL

 Ejercicio N° 1

Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación y''−4 y'+4=2 ex−1 , Un estudiante propone:

A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh = C1e2 x +

C2x e2 x

B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh = C1e−2 x +

C2xe−2 x

C. Hacer las sustituciones y=xm, y'=mxm −1, y ' '=m(m−1) xm −2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh = C1x

2

+ C2x 2

D. Hacer las sustituciones y=xm, y'=mxm −1, y ' '=m(m−1) xm −2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh = C1x−2 + C2x−2

Solución Y -4ý+4 = {e} ^ {x} -1

Y - 4ý +4 =0 m2_{−4 m+4=0}

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M 1=2m 2=2−m1=m2 yh=C1e 2 x +C2x e 2 x  Ejercicio N° 2

Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

En la intención de resolver la ecuación diferencial Y +2ý+1= senx, un

estudiante propone hacer las sustituciones Y = Xm, ý =m xm−1,Y =m(m-1) {X} ^ {m-2} y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yn=c 1 x−1+C 2 xx−1 El proceso anterior es:

A. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación

m2

+_{2m+1=0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1.}

B. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1.

C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da Yn=C 1ex+c 2ex .

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D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da Yn=c 1e−x+c 2 x e−x

Solución Y”+ 2ý+1= senx Y =xm, ý=m xm −1Y =m(m-1) {x} ^ {m-2} Y +2y+1=0 m2+2m+1=( m+1) (m+ 2)−1 m1=−1, m2=−1=m1=m2=−1 Yn=c 1 e−x +c 2 x e−x  Ejercicio N° 3

Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir

y=xm, y'=m xm−1, y ' '=m( m−1) xm−2 _{y luego se encuentran las raíces de la ecuación} de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:

yh=c1xm+c2xn, si mes distinto de n

yh=c1xm+c2xmlnx , sim=n

yh=x ∝

(

c1cos(βlnx)+c2sen(βlnx)

)

, sim y n son complejos de forma ∞+iβ .

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x2_y’’

+ xy’ +y=2x es:

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B. yh=c1x−c2lnx

C. yh=c1+c2lnx

D. yh=c1x+c2x −1

Solución x2_{y’’ + xy’ +y=2x}

Tenemos que x=et entonces t=Lnx Además dy dx=e −tdy dt d2y d t2=e −2 td2 y d t2− dy dt

Reemplazando la ecuación diferencial e2te−2 td 2 y dt2 − dy dt+e t e−tdy dt+y =2 x Simplificando d2y dt2 − dy dt+ dy dt+y=2 x

Es una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, por lo tanto: El polinomio característico es:

P (r)=r2

+1=2 x r₁=i ;r₂=2 x

Luego la solución general

(7)

y=C₁cos t ( Lnx)+C₂sen(Lnx )

La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma a2D 2 y ( x )+a1Dy (x )+a0y ( x )=g(x ) Es y=r₁u₁+r₂u₂ En donde:

u₁y u₂son las soluciones de la ecuaciónhomogénea asociada y r₁=w1 w , r2=

w₂ w Para ello, los wronskianos

Con base en lo anterior, la solución de la ecuación y''−5 y'+4 y=1 es: A. y=c1e −4 x_+c 2e −x − 1 12 B. y=c1e 4 x +c2e x +1 4 C. y=c1e 4 x +c₂ex−15 12 D. y=c1x −4 +c2x −1 −1 3 Solución y''_{−5 y}' +4 y=1

(8)

Solución las raíces de la ecuación auxiliar o característica m2_{−5 m+4=1}

Que tiene por soluciones a m=1 y m=4 ambas de multiplicidad 1 por lo tantola solucion complementaria es :

y=C₁e4 x

+C₂ex

+1 4

Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma a2(x ) D

2

y ( x )+a1(x ) Dy ( x )+a0(x ) y ( x )=g(x) . Se

procede sustituir y=xm, y'=m xm−1, y =m(m−1) xm−2 Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma

y_h=c₁u₁+c₂u₂

Se procede a encontrar la solución particular.

Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2_{y’’ + xy’ =}

x son: 1 yh=c1+c2lnx 2 yh=c1x−c2lnx 3 yp= 1 9x 3 4 yp= −1 9 x 3

(9)

Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas.

Solución 2 x2_{y +xy' =x}

x2_{y +x {y} ^ {'} =0}

Comprobamos las homogéneas: yh=c1+c2lnx y'_=c 2 1 x y =- {c} rsub {2} {1} over {{x} ^ {2}} x2y + xy' {=} ^ {?} 0 x2

(

−c₂ 1 x2

)

+xc2 1 x=−c2+c2=0

Anunciamos que si cumple.

x2y ' '+xy '=x Tenemos entonces

y=xm ,_{y '=m x}m−1_{, y ' '=m(m−1)x}m−2

y= y_h+y_p Tenemos yh la reemplazamos por y ' , y ' ' y se obtiene

(10)

x2

(m(m−1) x(m−2)

)+x (mx(m−1)

)=f (x )donde f ( x)=x → xm(m(m−1))+xmm=f (x )

Se obtiene el factor común xm y resulta xm(m2−m+m)=f (x )

El polinomio polinomiom2−m+m=0 es igual que m2=0 → m=0 y se calcula entonces yh=C1u1+C2u2

y_h=C₁+C₂ln x

Ahora se calcula nuestro yp y se calcula el wronskiano

w (u₁,u₂)=(u₁∗u '₂)−(u '₁∗u₂)→w (1, ln x)=(1∗1

x )−(0∗ln x)→ w(1, ln x)= 1 x Ahora calcularemos yp _{y demos calcular un u y un v}

u=−

∫

ln x ( x ) 1 x dx=−1 9 x 3 (3 ln x −1) v =

∫

1 ( x ) 1 x dx=x 3 3

Los valores los sustituimos en yh y obtenemos la expresión:

y_p=−1 9 x

3_{(3 ln x−1)+}x3

3 ln x se simplifica la ecuación y el resultado es

y_p=1 9x

3

(11)

Una ecuación lineal de orden n es de la forma: yn_{(x )+a}

n−1yn−1(x )+…+a1y ´ ( x )+a0y ( x )=f ( x ) esto es, todos los coeficientes son

solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión anDn+an−1Dn−1+…+a1yD+a0

Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma P (D ) y=g (x)

Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’ + 5y =senx se puede afirmar que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables

2. El operador diferencial que anula a g(x) es

(

D2+1

) (

2 D2+5

)

y =0 3. El operador diferencial que anula a g(x) es ( D−1)

(

D2+5

)

y=0 4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes

Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas.

Solución

Claramente podemos observar que se trata de una ecuación diferencial con

coeficientes constantes (2y” + 5y ;2 y 5 no dependen de x). Por lo tanto, es lineal, las derivadas no están elevadas a ninguna potencia. Y es de segundo Orden ya que la mayor es la segunda derivada y”. ===> (4)

Pare esto aplicamos el operador diferencial de (2) para ver si anula para y=senx: y=sinx

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y =-sinx y ' ' '=−cosx

(

D2+1

) (

2 D2+5

)

Y¿?0 2 D (¿¿4 +5 D2 +2 D2 +5)Y¿?0 ¿ (2 D4_{+7 D}2_{+5 Y )} ¿?0

2 sinx+7 (−sinx)+5 sinx=7 sinx−7 sinx=0 Concluimos que si cumple. Solución 2 y 4

Ejercicio N° 7

Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con

coeficientes variables de la forma a2(x ) D2y ( x )+a1(x ) Dy ( x )+a0(x ) y ( x )=f ( x ) se procede

sustituir y=xm. y'=m xm−1, y ' '=m(m−1 ) xm−2 Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma yh=c1u1+c2u2 y

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación ecuación diferencial: x y' '−y'=x son:

1. w1=2 x

2. w1=−x3

(13)

4. w2=x

Solución

Solucionar la ecuación } - {y} ^ {'} =x_{x y}¿

Entonces sea u= y' Y por tanto } u' =y¿

Transponiendo términos xdu_dx−x=u

Factorizando x (x−1)du_dx=u Apartando Variable du_u =_{x −1}dx Integrando ln|u|=ln|x−1|+ln|c| Propiedades de ln ln

|

u

|

=ln

|

c ( x−1)

|

Inyectividad de ln u=c ( x−1) Ya que u= y' dy_dx=c ( x−1) Separando variable dx=c ( x−1) dx Integrando

(14)

y=cx

2

2 −cx +C1

Luego la solución indagada es y=c1x

2

−c2x

Ahora podemos ver qué y1=x

2

, y2=x

Luego, la solución buscada es:

det

|

x2 x 2 x 1

|

Luego: x2(1)−(2 x ) x x2−(2 x ) x x2−2 x2 ¿x2−2 x2=−x2  Ejercicio N° 8

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La solución particular de la ecuación 3 y''−11 y'+5 y=0 es y=c₁e 11+√61 6 x₊_c 2e 11−√61

6 x _{PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias.}

A. La afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación.

B. La afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación.

C. La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. D. La afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Solución 3 y''_{−11 y}'

+5 y=0

61 6

Para dos raíces reales y 1 ≠ y 2 obtenemos la solución y=c 1 ey1 x+c 2 ey2 x y=c 1 e 11+√61 6 x +c 2 e 11−√61 6 x  Ejercicio N° 9

Un operador anulador para la función f ( x )=5 e3 x−6 x e2 x es ( D+3) ( D+2)2 porque la función f(x) es no lineal.

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Hallando cada operador por separado: Para 5 e3 x

Aplicamos la definición:

xn_e∝ n_{su operador es ( D−∝)}n+1

Para este proceso: 5 e3 x

(D−3 )0 +1=(D−3) Para 6 x e2 x

Aplicamos la definición:

xn_e∝ n_{su operador es ( D−∝)}n+1

Para este caso: 6 x e2 x

(D−2)1+ 1

=(D−2)2

Así el operador de toda la función seria: (D−3 )( D−2)2_{f ( x )=0}

La solución del problema de valor inicial y''−3 y'−10 y =0, y (0 )=1, y'(0)=12 es c1=2 c2=−1 PORQUE la solución particular de la ecuación es

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Solución y''−3 y'−10 y =0

Una ecuación de la forma a y' '+b y'+cy =0 adopta solución de la forma y=ey . x

(−3) 2 −4 (1 )(−10) 2(1) =5 y 2=−(−3)−

√

(−3) 2 −4 (1)(−10) 2(1) =−2

Para dos raíces reales y 1 ≠ y 2 Obtenemos la solución y=c 1 ey1 x+c 2 ey2 x y=c 1 e5 x+c 2 e−2 x

Al reemplazar los valores c1=2 y c2=-1 logramos como solución particular y=2 e5 x−e−2 x

PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha

planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.

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Solución

Podremos llamar y(t) a la función, siendo un movimiento vertical es lo más apropiado llamarla así, Sobre la persona actúan dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza elástica de la goma, de la resultante de ambas fuerzas tendremos la masa por la aceleración.

La fuerza elástica es: Fe=−ky=−350 y N

La de la gravedad

fg=mg=−70 kg∗9.81 m/s2_{=−686.7 N}

Fe+Fg=ma

La aceleración es la derivada segunda de y, luego −350 y −686.7=75 . y' ' 75 y''+350 y=−686.7 y''+350 y 75 = 686.7 75 y''+4.6 y=−9.156

La solución de la ecuación característica es: k2+4.6=0

k2=−4.6 k =±

√

4.6i k =±2.1602469 i

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La solución general de la ecuación diferencial homogénea es: y_G(t)=C₁cos (2.1602469 t)+C₂sen(2.1602469 t)

La solución particular será de la forma: y_P(t )= A

0+ 4.6 A=−9.156

A=−9.156

4.6 =−1.962

Luego la solución general completa es:

y (t )=C₁cos (2.1602469t )+C₂sen (2.1602469t )−1.962

Las condiciones iniciales son: y (0)=−8 C₁−1.962=−8 C₁=−6.038 y'(0 )=30 2.1602469C₂=30 C₂=13.8873015

Luego la solución es:

y (t )=−6.038 cos (2.1602469 t )+13.8873015 sen (2.1602469t )−1.962

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Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a

procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.

Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura.

Se suelta desde el reposo a 1_{2 unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es}

de 1₅ Kg y la constante elástica es k=2N_m. El movimiento es amortiguado (

β=1,2¿ _{y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa}

(

T =π 2s

)

Comenzando en t=0. Dicha fuerza está definida como f (t )=5 cos 4 t . Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento.

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En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:

∑

F=ma

De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:

md 2 x dt2=−kx−β dx dt+f (t)

Donde la aceleración y la velocidad están dadas por a=d

2_x

dt2 y v =

dx dt

Transponiendo términos en la ecuación md 2 x dt2 +β dx dt+kx=f (t)

Y reemplazando los valores dados en esta se tiene 1 5 d2x dt2 +1,2 dx dt+2 x=5 cos 4 t x (0 )= 1 2 x ´₍ 0)=0 Equivalente a: d2x dt2 +4 dx dt+5 x=25 cos 4 t

Se hace f ( x )=0 para convertir la ecuación a una homogénea: d2x

dt2 +4 dx

dt+5 x=0

Se escribe la ecuación característica y se resuelve: m2+4 m+5=0

(24)

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: m₁=−_{2+i , m}₂=−2−i

Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como: yc=e−2 t

(

C1cos t+C2sin t

)

Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: y_p=A cos 4 t+B sin 4 t 4 t+¿4 B cos 4 t y_p´_{=−4 A sin} ¿ yp´ ´=−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t Sustituyendo en la ED d2x dt2 +4 dx dt+5 x=0

−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t +4 (−4 A sin 4 t +4 B cos 4 t )+5 ( A cos 4 t +B sin 4 t )=25 cos 4 t

Operando

−16 A cos 4 t−16 B sin 4 t−16 A sin 4 t+16 B cos 4 t+5 A cos 4 t+5 B sin 4 t

¿25 cos 4 t

Reuniendo términos semejantes

−11 A cos 4 t−11 B sin 4 t−16 A sin 4 t+16 B cos 4 t=25 cos 4 t

Factorizando

(25)

El sistema de ecuaciones resultante −11 A+16 B=25 −16 A−11 B=0 Se cumple que A=−25 102 y B= 50 51 Reescribiendo y_p=A cos 4 t+B sin 4 t y_p=−25 102cos 4 t+ 50 51sin 4 t La solución sería y= y_c+y_p y=e−2 t

(

C₁cos t +C₂sin t

)

− 25 102cos 4 t+ 50 51sin 4 t Haciendo t=0

y (0)=e−2(0)

_[

C₁cos (0)+C₂sin(0)

_]

− 25

102cos 4(0)+ 50 51sin 4(0) 1 2=e −2 (0 )

[

C₁cos (0)+C₂sin(0)

_]

− 25 102cos 4 (0)+ 50 51sin 4 (0) C₁=1 2+ 25 102 C₁=38 51

(26)

C₂=−86 51

Por lo tanto la ecuación de movimiento es: y=e−2 t

(

38 51cos t− 86 51sin t

)

− 25 102cos 4 t + 50 51sin 4 t Conclusiones

Se resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior, problemas que pueden plantearse de muchas formas en el ejercicio cotidiano y que gracias a la solución de situaciones problemas con ecuaciones diferenciales de orden superior son identificados y se logran resolver.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Recuperado de:

http://www.monografias.com/trabajos97/ecuaciones-diferenciales-segundo-orden/ecuaciones-diferenciales-segundo-orden.shtml

Definición de ecuación diferencial de orden n. Recuperado de:

http://mitecnologico.com/sistemas/Main/DefinicionDeEcuacionDiferencialDeOrdenN

UNAD. Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Recuperado de:

(28)

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/modulo_exe/leccin_27_aplicaciones_de_las _ecuaciones_diferenciales_de_orden_superior.html

UNAD. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Recuperado de:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/modulo_exe/leccin_26_aplicaciones_de_las _ecuaciones_diferenciales_de_segundo_orden.html

Unidad 1, Modulo ecuaciones diferenciales UNAD. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Recuperado de: