2.
2.
Interés Compuesto.
Interés Compuesto.
3.
3.
Teoría de las Rentas.
Teoría de las Rentas.
4.
1.1
DEFINICIONES PREVIAS
Capital
Es toda cantidad de unidades monetarias (Dinero) invertida en una operación financiera y, por tanto, capaz de sufrir una variación cuantitativa. Al capital también se le conoce con el nombre de
Principal
, además puede estar expresado en moneda nacional o extranjera.Tiempo
Conoceremos como tiempo al plazo total de la operación durante el cual está depositado, prestado o invertido el capital. El tiempo trae consigo un número determinado de periodos que pueden corresponder a días, meses, bimestres, años, etc.
Tasa de interés
Es un indicador, que nos da la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias en un periodo de tiempo determinado; suele expresarse en tanto por ciento (%) y trabajarse, en las fórmulas financieras, en tanto por uno.
Interés
Es un beneficio generado por un capital; que ha sido depositado, prestado o invertido
en forma productiva, durante un determinado plazo (tiempo) y bajo ciertas condiciones financieras (tasa de interés).
Es la suma total de los intereses periódicos o parciales que se obtienen en cada unidad
de tiempo.
El interés es función del capital, de la tasa de interés, del tiempo, del riesgo inherente a
la operación además de otras variables de carácter económico, político y social; es decir:
I = f (
capital,
tasa,
tiempo,
riesgo,
otras variables)
Monto
Es la suma del Principal más el Interés generado hasta determinado momento. Monto = Principal + Interés
1
P R I N C I P A L P R I N C I P A L I N T E R É S C A P I T A L M O N T OTIEMPO
Momento
de Apertura
Momento
de Cierre
Definición
Es cuando el interés generado, por unidad de tiempo, es constante y no se acumula al capital, sino hasta el final de todo el proceso de inversión, depósito o préstamo del capital.
Fórmulas
S = P + I I = Pin S = P(1 + in)
Donde:
P
: Principal, capital, valor actual o stock inicial de efectivo.I
: Interés, rédito, beneficio, utilidad, ganancia o renta.n
: Tiempo, horizonte temporal, plazo o número de periodos.i
: Tasa de interés (anual, semestral, trimestral, etc.)S
: Monto, capital final, valor futuro o stock final de efectivo.Observaciones
Para el buen uso de las fórmulas, el tiempo (
n
) y la tasa de interés (i
) deben expresarseen las
mismas unidades temporales
. Cuando no se especifique el periodo de tiempo referido a una tasa de interés, se
asumirá que ésta es una tasa anual. Por ejemplo:
13%
< >13% anual
En S = P(1+in) el término (1+in) es llamado
Factor de acumulación a interés simple
. Si de la fórmula: S = P (1 + in) despejamos P, obtenemos: in 1 1 S P entonces el término in 1 1 es llamado
Factor de actualización a interés Simple
. La tasa de interés simple
i,
también se le conoce comotasa nominal
, y se designarácon las siguientes siglas:
Tasa Nominal
SIGLAS
A
nual TNAS
emestral TNSC
uatrimestral TNCT
rimestral TNTB
imestral TNBM
ensual TNMQ
uincenal TNQD
iaria TND1.3
AÑO BANCARIO
De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú (BCRP), el año bancario consta de 360 días; de esta manera, se harán referencia a los siguientes periodos bancarios:
Periodo Bancario
Número de días
Año 360 Semestre 180 Cuatrimestre 120 Trimestre 90 Bimestre 60 Mes 30 Quincena 15 Día 1
PROBLEMAS DE APLICACIÓN I
1)
La financiera CREDIMAX otorgó a uno de sus clientes un préstamo de S/. 6 500 para devolverlo dentro de dos años, cobrando una tasa de interés simple del 13,8%. ¿Cuál será el interés que pagará el cliente al vencimiento del plazo?Rpta.
S/. 1 7942)
Un capital de S/. 1 540 se coloca en una Cooperativa de Ahorro y Crédito, durante un periodo de 7 bimestres, a una TNM de 3%. ¿Cuál es el monto generado?Rpta.
S/. 2 186,83)
Hallar el capital que impuesto a una tasa nominal de 6,25% semestral, durante un horizonte temporal de 8 meses y 14 días, genera un monto de S/. 3 090.Rpta.
S/. 2 839,574)
El día de hoy, 6 de marzo, se abre una cuenta de ahorros con un capital de 870 u.m. Si dicha cuenta se cancelará el 1 de noviembre, recibiendo un interés de 145 u.m, entonces ¿Cuál es la tasa nominal bimestral que se aplica en esta operación?Rpta.
TNB 4,17%5)
¿Durante cuántos días estuvo colocado un principal de S/. 5 000, el cual generó un interés simple de S/. 350 sujeto a una TNC de 0,08?Rpta:
105 días6)
¿En cuántos años podrá quintuplicarse un capital a una tasa de interés del 12,5% trimestral?Rpta.
8 años7)
Calcule el interés que generó un capital de S/. 2 000 colocado durante medio año, sabiendo que para los dos primeros meses se aplica una tasa del 4% mensual, para los tres meses siguientes una tasa del 13,5% trimestral y para el último mes una tasa del 0,6% anual.Rpta.
S/. 4318)
El día 2 de junio una persona abre una cuenta de ahorros en la Caja Municipal del Sur, con un importe de S/. 2 000, impuesto a una tasa nominal anual de 28%. A partir de esa fecha se efectuaron los siguientes movimientos:Fecha
Operación
Importe
02/06 Depósito S/. 2 000
08/06 Depósito S/. 500
16/06 Depósito S/. 300
26/06 Retiro S/. 200
01/07 Cancelación
Si el día 16 la tasa inicial cambia a una tasa de 26% anual, entonces ¿Cuál es el interés simple acumulado y el saldo disponible al 1 de julio?
Rptas.
S/. 54,5 y S/. 2 654,51.4
INTERÉS ORDINARIO E INTERÉS EXACTO
Cuando el tiempo está expresado en días, es posible distinguir dos tipos de interés simple:
Interés Simple Ordinario
: Se calcula aplicando el año bancario (360 días).Interés Simple Exacto
: Se calcula aplicando el año común (365 días).El primer tipo de interés simple es el más usado en las operaciones financieras, porque es mayor que el segundo tipo.
Aplicación.
Un capital de S/.2 190 se coloca en una institución financiera desde el 19 de julio al 02 de octubre del mismo año, a una tasa nominal del 12%. Hallar el interés simple ordinario y
Dos o más importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son iguales. Si dichos importes coinciden cronológicamente y están expresados en la misma unidad monetaria, entonces en ese punto del tiempo podrán sumarse o restarse.
Ejemplo:
Determinar si los importes de S/.540 y S/.570 al final de los meses 4 y 7, respectivamente, son equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple del 24%. En las operaciones financieras y mercantiles suelen presentarse situaciones en las cuales deudores y acreedores se ponen de acuerdo para cambiar las condiciones pactadas originalmente, por un conjunto equivalente de nuevas relaciones contractuales; como sucede en: Refinanciación de deudas.
Sustitución de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un sólo pago. Pagos anticipados con relación a una o varias fechas de vencimiento prefijadas. Prórroga de vencimientos de plazos pactados, etc.
Para poder efectuar los cálculos, se dibuja un diagrama de tiempo y se sitúan en la parte superior las condiciones originales; en la parte inferior se sitúan las nuevas condiciones. Luego todas las condiciones se trasladan a una fecha común, llamada “
fecha focal
”, paraplantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad las condiciones originales y las nuevas, y posteriormente despejar la incógnita planteada. En el interés simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN II
1)
Una deuda de S/. 2000 con interés del 5% vence en un año; el deudor paga S/. 600 en 5 meses, y cuatro meses más tarde S/. 800. Hallar la cantidad necesaria para cancelar ladeuda en la fecha de vencimiento.
Rpta.
S/. 672,52)
El señor Rodríguez debe S/. 450 con vencimiento en cuatro meses, y S/.600 dentro de seis meses. Si desea saldar sus deudas mediante un pago único inmediato. ¿Cuál será el importe de dicho pago, suponiendo un rendimiento de 1,8% mensual?Rpta.
S/. 961,293)
Hoy día, una persona debe S/. 500 a una TNM del 4% pagadero dentro de 3 meses, y S/. 1500 con vencimiento en 11 meses a una TNB del 6%. ¿Cuál será el importe del pago único que tendrá que hacer, con vencimiento dentro de 6 meses, para liquidar la deuda suponiendo un rendimiento del 4,5% quincenal?Rpta.
S/. 2 087,064)
En el proceso de adquisición de un torno, la empresa El Trueno S.A. recibe de sus proveedores las siguientes propuestas:Proveedor
Cuota inicial
Cuotas mensuales
1°
2°
A S/. 6 500 S/. 3 000 S/. 3 000 B S/. 7 500 S/. 2 500 S/. 2 500 ¿Cuál es la mejor oferta, asumiendo que el costo del dinero es del 2% mensual?
5)
Una persona debe $ 250 con vencimiento a tres meses y $ 320 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar sus deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento a 6 meses y el otro a un año. Determinar el valor de los nuevos pagarés con el 36% bimestral.1.6
TASAS EQUIVALENTES
Dará lo mismo colocar nuestro dinero en un banco que nos ofrece el 8% mensual que en otro que nos ofrece el 16% bimestral; pues en ambos, si pasa un determinado tiempo, se obtendrá el mismo interés. Por lo tanto: 8% mensual < > 16% bimestral
Luego, dos o más tasas son equivalentes si colocadas ambas durante el mismo tiempo y para un mismo capital, se obtiene el mismo interés.
Aplicación 1
Hallar las tasas equivalentes que se indican:
48% anual < > mensual 26% anual < > trimestral 15% anual < > cuatrimestral 12,3% semestral < > bimestral 37% mensual < > quincenal 7,5% trimestral < > anual 10% bimestral < > cuatrimestral 3 % mensual < > semestral 45% anual < > bianual 6 % trimestral < > cuatrimestral
Aplicación 2
En los bancos de una ciudad sólo se paga interés simple para los depósitos a mediano plazo. A continuación se muestra las tasas nominales que ofrecen los tres principales bancos de esta ciudad:
Banco Agroindustrial : TNS 2,14 %
Banco de Fomento : TNC 1,43 %
Banco del Exterior : TNQ 0,18 % ¿Qué banco elegiría usted?, ¿Porqué?
1) Si un capital de S/. 1 846,25 produce un interés de S/. 320,75 entonces ¿Cuál es el monto generado?
Rpta.
S/. 2 167 2) Se deposita en un banco $ 2500 a una TNQde 0,6%. ¿Qué interés habrá producido en
5 quincenas?
Rpta.
$ 753) Se deposita en una cuenta $ 12 000 al 4% bimestral durante 10 meses. ¿Cuál es el monto generado?
Rpta.
$. 14 400 4) Calcular el interés que produce S/. 9 000 al 12% anual en 20 días.Rpta.
S/. 60 5) ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, si percibe una tasa nominal mensual de 3% y su depósito inicial de 2 500 u.m realizado el 4 de octubre se canceló el 16 del mismo mes?Rpta.
2 530 u.m 6) Hallar el interés que produce un capital deS/.2 590 impuesto a una tasa de 20% durante 1 trimestre.
Rpta.
S/. 129,5 7) El 20 de marzo se abrió en el Banco del Oriente una cuenta con 8 000 u.m sujeto a una tasa nominal anual de 0,18. ¿Cuál es el interés simple que generó la cuenta hasta el 15 de abril?Rpta.
104 u.m 8) ¿Qué capital se debe depositar al 9% para quegenere un interés simple de S/. 1 035 dentro de 2 años?
Rpta.
S/. 5 750 9) ¿Qué principal debe invertirse a una tasa nominal cuatrimestral de 8%, para formar un monto de S/.5 000 dentro de 3 quincenas?Rpta.
S/.4 854,37 10)¿Qué monto habrá acumulado Alicia Vega en una cuenta de ahorros, durante 2 años y 5 meses percibiendo una TNB de 3,2%; si el depósito inicial fue de S/.1 000?Rpta.
S/.1 4645
11)Hallar el interés que se obtiene al prestar un capital de S/. 10 800 al 13% trimestral durante 2 años, 3 meses y 20 días.
Rpta.
S/. 12 948 12)¿Cuál es el capital que impuesto al 2% trimestral durante 12 cuatrimestres genera un interés de S/. 300?Rpta.
S/. 937,5 13)Si en 10 meses el interés producido, por un capital de $900, es igual a $450; entonces ¿cuál es la tasa trimestral establecida en esta operación?Rpta.
TNT 15%14) ¿Cuántos días estuvo impuesto un capital de S/. 144 000 al 25%, si ha producido un interés de S/. 200?
Rpta.
2 días 15) ¿En cuántos bimestres podrá duplicarse undeterminado capital a una TNS de 30%?
Rpta.
10 bimestres 16) En la tienda MUNDO HOGAR, el precio alcontado de un televisor es de S/.1 270. Alicia acude a esta tienda comercial y para adquirir el artefacto cancela S/.278 como cuota inicial; si el resto lo paga en 9 meses con un recargo de S/.186. ¿Qué tasa nominal anual se aplicó en dicho crédito?
Rpta.
TNA 25% 17) Hallar el interés y el monto generado por un capital de 7 000 u.m colocado del 11 de julio al 24 de setiembre, a una tasa semestral de 12%, la cual varió el 28 de agosto a una tasa de 11% semestral?Rptas.
339,5 u.m y 7 339,5 u.m 18) ¿Qué monto habrá generado una inversiónde 2000 u.m colocado del 3 de marzo al 28 de junio, a una tasa mensual del 3%; la cual varió el 16 de abril al 2,8% mensual y posteriormente al 2,6% mensual el 16 de junio?
Rpta.
2 222,67 u.m 19) Una deuda de S/. 2 000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una tasa de 24%, sufre variaciones a partir de las siguientes fechas: Día 12 de junio: 2,5% mensual Día 24 de junio: 9% trimestral Día 03 de julio : 21% semestral
¿Qué interés se pagará al vencimiento?
Rpta.
S/. 55 20) Una cuenta de ahorro, abierta el 20 de julio, secanceló el 30 de noviembre. En ese plazo se efectuaron las siguientes variaciones:
Fecha Operación Importe Tasa Nominal
20/07 Depósito 1000 u.m 6% trimestral 27/08 Cambio de tasa 23% anual 30/09 Depósito /
Cambio de tasa 500 u.m 3,6% bimestral 31/10 Retiro / Cambio
de Tasa 300 u.m 1,7% mensual 30/11 Cancelación
Calcular el interés acumulado en dicha cuenta, al 30 de noviembre.
1) Una deuda de S/. 7 000 con interés del 9%, vence en 8 meses. Se paga S/. 2 000 a los 3 meses y 2 meses más tarde se paga S/. 3 000. Calcular el saldo por pagar en la fecha de vencimiento.
Rpta.
S/. 2 277,5 2) Una persona debe S/. 2 000 para pagar enun año con intereses del 42%. El deudor paga S/. 500 al transcurrir 6 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final, para liquidar el resto de la deuda, suponiendo un rendimiento del 3,5% mensual?
Rpta.
S/. 2235 3) Julio contrae una deuda de S/. 50 000 para pagarla dentro de 1 semestre al 20% trimestral; pero una vez trascurridos 3 meses decide adelantar S/. 30 000 para disminuir la carga al final del plazo. Hallar la cantidad necesaria para cancelar la deuda al final del plazo.Rpta.
S/. 34 000 4) Una deuda de S/. 12 000 con interés del 2,5% semestral vence en 6 bimestres; el deudor paga S/. 8 000 en 7 meses y S/.3 000 en 9 meses. Hallar el saldo por pagar en la fecha de vencimiento.Rpta.
S/. 1 395,83 5) El día de hoy una empresa tiene una deuda de S/. 8 000 con vencimiento dentro de 36 días y otra deuda de S/. 12 000, la misma que vencerá dentro de 58 días. Propone a su acreedor cancelarlas con dos pagos iguales dentro de 45 y 90 días, respectivamente. ¿Cuál será el importe de cada pago, si el acreedor requiere una tasa anual de interés simple del 24%?Rpta.
S/. 10 120,20 6) El Sr. Carlos Cervantes solicitó enpréstamo 5000 u.m, que se registra en una cuenta a interés simple del 2,5% mensual, para cancelarlo dentro de 180 días. Si el señor Cervantes se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza 2 000 u.m el día 35 y 1 000 u.m el día 98. ¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda?
Rpta.
2440 u.m7) El 26 de mayo la empresa TODO RICO solicitó un préstamo de S/. 5 000 para cancelarlo dentro de 90 días, a una tasa de interés simple anual del 24%. El 16 de junio amortizó S/. 2 000 y el 11 de julio amortizó S/. 1 500. ¿Cuál es la fecha de vencimiento y qué importe deberá cancelar para saldar su deuda?
Rpta.
24 de agosto – S/. 1 664 8) El día 29 de setiembre la empresa Lidel SRL tiene con el Banco del Exterior una deuda de 4000 u.m que vence el 15 de octubre y otra deuda de 5000 u.m con vencimiento el 15 de noviembre. Lidel renegoció con el Banco del Exterior y consolidó sus deudas, en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 30 de diciembre del mismo año, a una tasa anual del 24%. Se desea saber el monto que cancelará Lidel el 30 de diciembre.Rpta.
9 352,67 u.m 9) Un departamento ubicado en Av. Sucre de Pueblo Libre es ofertado para su venta con las siguientes alternativas:a) $17 500 al contado.
b) $10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $7 700.
c) $8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $6 000 a 30 días y otra de $3 680 a 60 días.
d) $6 000 al contado y el saldo con tres letras de $4 000 con vencimiento a 30, 60 y 90 días cada una respectivamente Si un cliente dispone del efectivo para realizar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple del 24%. ¿Cuál es la oferta más conveniente?
10) El 20 de agosto del 2011 se deposita un capital en el Banco del Sur que paga el 4% mensual de interés. El 8 de noviembre del mismo año, se depositará otra suma que es S/ 1 500 más que el anterior. Si el 17 de marzo del siguiente año, se retirará un monto total de S/ 7 280. ¿Cuál será el valor del segundo capital depositado?
