MA 1116 Tercer Parcial 2006 Sep Dic Tipo B pdf

Texto completo

(1)Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas MA1116 Tercer Examen Parcial (Agosto-Septiembre 2006) Turno 10:30. Nombre:____________________ Carnet:_____________________. 1.- Sea T : IR5 → IR4 la función que a cada (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ IR5 asigna por imagen el vector (x1 - x2 + x3 - x4 + x5, x2 - x3 +2x4, -x1 + x2 - x3 + x4 - x5, 3x1- 3x2 + 3x3 – 3x4 + 3x5,) ∈ IR4 Encuentre una matriz A4x5 que satisfaga T(u) = Au ∀ u ∈ IR5, pruebe que T es una transformación lineal y calcule r(T) y n(T) (12 puntos) Respuesta:.  x1   x1       x1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5    x2   x2   x − x + 2 x   2 3 4 ∀  x 3  ∈ IR5 T  x 3  =  =     − x1 + x 2 − x 3 + x 4 − x 5    x4   x 4         3 x 1 − 3 x 2 + 3x 3 − 3 x 4 + 3 x 5   x5   x5   1   -1   1   -1   1           0   1   -1   2   0 x1  + x2  + x3  + x4  + x5      1 1 −1 −1 −1           3   -3   3   -3   3         .     =   .  x1  1    x2  1 −1 2 0   x 3 , de donde la matriz pedida es: 1 −1 1 −1      x4  -3 3 3 3     x5  -1 1 -1 1  1   1 −1 2 0  0 A = −1 1 −1 1 −1     3 -3 3 3 3  .  1   0  −1   3 . -1. 1. -1. Dado que ∀ u∈ IR5 T(u) = Au, se sigue que ∀∈ u1, u2 ∈ IR5 y r∈ IR, T(u1 + ru2) = A(u1 + ru2) = Au1 + r Au2 = T(u1) + rT(u2) y T es una transformación lineal. (Resulta A = AT) r(t) = dim(IM(T)), pero IM(T) = IM(A), de donde r(T) = r(A) = dim (IM(A)) = dim(CA) = dim(FA). Ahora bien, las dos primeras filas de A son l.i. (ninguna es múltiplo de la otra) pero el resto de las filas son todas múltiplos de la primera, así que r(T) = dim (FA) = 2. De r(T) + n(T) = dim(IR5) = 5 y r(T) = 2, se sigue que n(T) = 3.

(2)  6 −2 −2 2    6 −2 2  −2 2.- Sea A =  −2 −2 6 2    2 2 2 6  . i).  1   −1 Verifique que  0   0 .    ,   .  1  1      0 0  - 1  y  0  son vectores propios de A estableciendo      0   1    . el valor propio al que están asociados.. ii).  1   −1 Encuentre un vector ortogonal a  0   0 .    ,   .  1  1      0 0  - 1  y  0  y compruebe que éste      0   1    . es un vector propio de A, estableciendo el valor propio al que está asociado. Decida qué tipo de diagonalización admite A (ortogonal o no) y Diagonalice A, ortogonalmente, si es que A admite este tipo de diagonalización. iv) Escriba el polinomio característico de A. (14 puntos) Respuesta: iii).  6 −2 −2 2   1   6 − 2 2  −1 −2 i) De  −2 −2 6 2 0    2  0 2 2 6  . 1 0 −1 0. 1  1   0 −1 = 8  0 0    0 1  . 1 0 −1 0. 1  0 , se sigue que los 0  1 . vectores en cuestión son vectores propios de A asociados al valor propio α1 = 8..  1   1  1  x           −1   0   0   y  ii) Un vector ortogonal a  , y , es uno  ortogonal a cada uno de 0   -1   0  z           0   0   1  w           1  x       −1   y  los dados. Para que  y sean ortogonales, debe ser x = y y z y w pueden 0  z       0  w      tomar cualquier valor..

(3)  1  x       0  y  Para que  y -1   z       0  w         valor, así que para que    . sean ortogonales, x = z e y y w pueden tomar cualquier. x   y  sea ortogonal a z   w .  1  1      −1   0  0  y  - 1  , debe ser x = y = z y w      0  0      x   1      y  0 puede tomar cualquier valor. Finalmente, para que  sea ortogonal a   , debe  z 0      w   1      x   1   1  1          y   −1   0   0  ser x = -w (o w = -x). Así que para que  sea ortogonal a  , y , z  0   -1   0           w   0   0   1         debe ser y = z = x y w = -x, de donde una base del complemento ortogonal de.     y dado que vectores propios asociados a     1     1  valores propios diferentes de una matriz simétrica son ortogonales, el vector  1    −1     1   −1  0   0 .    ,   .  1    0  -1  ,    0  .  1   0 0    1  .  1   1 es:   1  − 1 . debe ser un vector propio de A y basta multiplicarlo por A para determinar el valor propio:.  6 −2 −2 2   1   0   1         6 −2 2   1   0  −2  1  = = 0 , con lo cual se da respuesta a la parte −2 −2 6 2 1   0  1          2 −1  2 2 6   − 1   0      1   1   1  1          1   −1   0   0  ii):  es ortogonnal a  , y y es un vector propio de A asociado 1  0   -1   0          −1   0   0   1         al valor propio α2 = 0..

(4) iii) A es simétrica, luego ortogonalmente diagonalizable. Para encontrar la matriz ortogonal Q, se debe primero ortonormalizar según G.-Sch. la base de vectores de E8.  1  1  1        −1   0 0 , u2 =  y u3 =   . formada por los vectores u1 =    0 -1 0        0  0  1       1      −1  v1 = u1 =  0    0    1  1  12  1           u2 ⋅ v 1   0  1  −1   1 2   1  v 1 =  v2 = u2 -  = , se puede tomar v2 =  -1  2  0   -1  -2   v1 ⋅ v1           0  0  0  0          1 1 3 1 1                  u3 ⋅ v 1   u3 ⋅ v 2   0  1  − 1  1  1  1 3  v 1 -  v 2 =   -  v3 = u3 -  = , se puede 0 0  6  - 2  1 3  2  v1 ⋅ v1   v2 ⋅ v2           1  0  0   1           1   1   1   1   1            1   − 1   1   1   1 , ,  ,   una base ortogonal de IR4 tomar v3 =   , resulta     1  1   0   - 2   1    3  − 1   0   0   3      compuesta por vectores propios de A y dividiendo cada vector de esta base entre su norma se obtiene una base ortonormal de IR4 compuesta por vectores propios de A:.  1 2   1 2   1 2  − 1 2.   1 2     −1 2 ,  0     0  . construye la matriz. 0  0 t Q AQ =  0  0 . 0 8 0 0. 0 0 8 0.    ,   .  1 6   1 6  - 2 6  0 .  12   12 Q=   12  −1 2  0  0 0  8 .    ,   . 1  1  1 3 . 2 2 2 2. 1 2 -1 2 0 0. 3   3   , tomando los vectores de esta base se 3  3  1 6 1 6 -2 6 0. 12 12 12 3 2. 3  3  y con ésta 3 3 .

(5) iv) Por varias razones el polinomio característico de A es pA(x) = x (x-8)3. Quizás la más simple es que hemos encontrado una base de IR4 compuesta por un vector propio de A asociado al valor propio α1 = 0 y tres vectores propios de A asociados al valor propio α2 = 8. 3.- Sean H = { (x, y, z) ∈ IR3 / x = r, y = -r , z = 2r, r ∈ IR }, u = (-1, 1, 1) y v = (1, -1, -2) vectores de IR3. i) Calcule Pr oy H⊥ v ii). Exprese u = Pr oy Hu + Pr oy H⊥ u (10 puntos). Respuesta:.  1  −1  2 .   ⊥ H =  . Como dim (H) = 1 y dim(H ) = 2, es siempre más fácil proyectar sobre   H y despejar Pr oy H⊥ u de la igualdad u = Pr oy Hu + Pr oy H⊥ u cuando sea necesario..  1  i) Pr oy H⊥ v = v - Pr oy H v y, denotando al generador de H con la letra h =  − 1  2 .   ,  .  1   −1 3     −2  v ⋅h  se tiene Pr oy H v =  h =  − 1  =  1 3  y Pr oy H⊥ v = v - Pr oy H v = 6  h⋅h      2  − 2 3   1   −1 3   4 3        −1  -  1 3  = − 4 3  − 2  − 2 3  − 4 3         1    ii) u⋅(1, -1, 2) = (-1 1 1)⋅  − 1  = 0, de donde u ∈ H⊥, Pr oy Hu = 03x1 y  2    Pr oy H⊥ u = u - Pr oy Hu = u y la descomposición u = Pr oy Hu + Pr oy H⊥ u , no es otra sino u = 03x1 + u. 4.- Sea A una matriz nxn. Pruebe que las siguientes proposiciones son equivalentes: i) Cero no es valor propio de A. ii) El sistema A x = 0nx1 tiene sólo la solución trivial. (4 puntos) Respuesta: Primero recordamos la definición de valor propio de una matriz: Un escalar α es valor propio de una matriz cuadrada Anxn , si existe un vector no nulo en IRn tal que Av = αv. Cero no es valor propio de A ⇔ ∀ v ∈ IRn \ {0nx1} Av ≠ 0v = 0nx1 ⇔ El sistema Ax = 0nx1 tiene sólo la solución trivial..

(6)