Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3.-

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IMA

Primera Prueba de Cátedra de Cálculo II

4 de Septiembre de 2012, a dos semanas del día nacional de Chile. Cada Pregunta vale 20 puntos, conteste sólo tres

Pregunta 1 Se sabe que todo rayo de luz paralelo al eje de simetría, ES, de la parábola

se refleja en un solo punto situado en el eje (ES) llamado foco. Pruebe o refute que:

“todo rayo que sale de uno de los focos de una elipse se refleja en la elipse regresando al otro foco.”

Pregunta 2 Sea una función continua y diferenciable en el intervalo abierto

( ) ( )

a.- Pruebe una versión apropiada del teorema del Valor Medio para este caso, donde L y M son números reales.

b. ¿Qué puede decir de la función (en relación al teorema) si y

Pregunta 3.- Considere la función ( ) , parte entera de x definida en los reales

positivos.

Determine la función A(x)= área bajo la gráfica de ( ) desde el punto 0 hasta el punto (En figuras abajo representamos ( ) y ( ).

a) Pruebe o refute (es decir pruebe o de un contraejemplo): G es continua en su dominio.

b) Pruebe o refute: G es diferenciable en su dominio.

c) Repita el proceso de la función área bajo la gráfica usando ahora la función ( ) en los reales positivos.

Pregunta Comodín: Esta pregunta es para reemplazar cualquiera de las preguntas anteriores.

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IMA PUCV

Segunda Prueba de Cátedra

28 días de la navidad de 2012. Profesor Jaime Mena

Instrucciones: Sea muy claro en sus desarrollos y justificaciones.

1. (30 puntos) Pregunta de demostración. Aquí usted debe dejar claro los pasos de su

demostración, debe decir donde usó las hipótesis del teorema y debe dejar claro que resultados previos está utilizando.

Pregunta: Sean y funciones integrables en el intervalo [-3,5]. Demuestre que la función también es riemann integrable.

Nota: Al inicio o al final escriba y enumere los resultados y definición de riemann que usará o usó en la demostración, de tal forma que cuando los requiera le bastará con sólo citar el numeral.

2. Método de integración y aplicación de la derivada

a. (15 puntos) Sea ( ) representada por la gráfica y explicación de ella dada más

abajo. Calcule ∫ ( ) ( )

b. (15 puntos) Calcular el volumen que queda al rotar, respecto al eje OY, el área bajo

la gráfica de ( ) definida en el intervalo [1,3]

En la gráfica tenemos triángulos equiláteros de altura 1 y base respectivamente. La gráfica de ( ) entonces consiste en infinitos triángulos isósceles construidos en [0,1] y que en este caso se graficaron claramente sólo 5.

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MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2007 PRUEBA Nº 2

1. Sea { }

( ) {

Demuestre que es integrable en [0,1] y calcule ∫ ( ) 2. Considere la región R del plano bajo las curvas ; y sobre el eje OX en el primer cuadrante.

a) Calcule el área de R

b) Calcule el volumen de revolución al girar en torno a OX c) Calcule la abscisa del centro de gravedad de este cuerpo de revolución, suponiendo densidad constante.

3. Encuentre los máximos y mínimos de la función:

( ) ∫ ( )

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MAT 157: Cálculo 2 Segundo Semestre 2010 PRUEBA Nº 2 1. Sea ( ) {  Demuestre que  Calcule ∫ ( )

 ¿En qué puntos vale ( ) ( ), si ( ) ∫ ( ) ? 2. Calcule, si es posible, el área bajo la curva

√ en el

intervalo ]0,1] , en el primer cuadrante.

 Calcule, si es posible, el volumen de revolución de esta misma región al rotar en torno al eje OY.

 ¿Qué ocurre si se rota en torno al eje OX?

3. Sea ( ) ∫ . Demuestre que esta función tiene un punto de inflexión en

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EXAMEN : CÁLCULO 2 (MAT 157)

Plan Común de Matemáticas Segundo Semestre 2004 1.- Analice la función

( ) ( )

considerando dominio, recorrido, zonas de crecimiento, decreci-miento, concavidad, máximos y mínimos, asíntotas y gráfica.

2.- Calcule, si es posible, el área de la figura plana limitada superiormente por la curva

√ , por los lados por las rectas y

, y por abajo por la recta .

3.- Una barra de cobre sale del horno de reverbero a 3500° C y se enfría en un medio ambiente a 15°C. Si al cabo de tres horas la barra está a 20°C, ¿qué temperatura tendrá a las dos horas?

4.- Analice la función definida por: ( ) ∫

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MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2010 PRUEBA Nº 1

1. Sea ( ) { √

Encuentre los números reales tales que sea derivable en . ¿Cuánto vale esa derivada?

2. Un granjero ha comprado 2000[m] de alambre de púas para cercar un potrero rectangular. Debido a la pendiente del

terreno ha decidido poner 3 hebras de alambre en los lados Norte y Sur pero 4 en los lados Este y Oeste. ¿Cuál es la forma y tamaño del potrero que abarca mayor superficie? 3. Demuestre que la función ( )

no tiene

asíntotas de ningún tipo.

4. Analice la función ( )

indicando: dominio,

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MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2007 PRUEBA Nº 1

1. Sea ( ) { ( ) ( )

donde ( ) ( ) Demuestre que es derivable en y encuentre su valor.

2. Considere un depósito de agua de forma de un cono invertido de base circular de radio R y altura H, al cual se vierte agua a razón de Q litros por minuto. ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando éste se encuentra a una altura de

3. Calcule la distancia al origen del punto en que, la tangente a la curva

en el punto de abscisa , corta al eje OX.

4. Determine las zonas de crecimiento, decrecimiento y las asíntotas verticales y oblicuas de la función

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PRUEBA N°1 : CÁLCULO 2 (MAT 157)

Plan Común de Matemáticas Segundo Semestre 2004

1.- Sea una función con derivada continua de segundo orden en cero, ( ) ( ) ( ) . Demuestre que la función:

( ) {

( )

es derivable en cero y encuentre su valor. (indicación: L’Hopital) 2.- Encuentre las coordenadas del punto de la curva

donde la recta tangente corta al eje OY en la máxima altura. ¿Cuál es esa máxima altura?

3.- Se desea construir una pileta de base cuadrada que contenga un volumen B de agua. Si el costo del material del fondo (por metro cuadrado) es el doble que el de los lados, ¿cuál es la relación entre el lado de la base y la altura que produce el mínimo costo?

4.- Encuentre dominio, recorrido, máximos, mínimos locales y globales, zonas de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la función:

( )

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MAT 157: Cálculo 2 Segundo Semestre 2011 PRUEBA Nº 2

1. Considere la función “serrucho” (ver figura)

donde ( ) {

Fundamente la existencia de la integral ∫ y encuentre su valor. 2. Encuentre máximos y mínimos de la función

( ) ∫

3. Calcule explícitamente la función

( ) ∫ 4. Calcule el área bajo ambas curvas:

√ e y sobre el eje

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