IMA
Primera Prueba de Cátedra de Cálculo II
4 de Septiembre de 2012, a dos semanas del día nacional de Chile. Cada Pregunta vale 20 puntos, conteste sólo tres
Pregunta 1 Se sabe que todo rayo de luz paralelo al eje de simetría, ES, de la parábola
se refleja en un solo punto situado en el eje (ES) llamado foco. Pruebe o refute que:
“todo rayo que sale de uno de los focos de una elipse se refleja en la elipse regresando al otro foco.”
Pregunta 2 Sea una función continua y diferenciable en el intervalo abierto
( ) ( )
a.- Pruebe una versión apropiada del teorema del Valor Medio para este caso, donde L y M son números reales.
b. ¿Qué puede decir de la función (en relación al teorema) si y
Pregunta 3.- Considere la función ( ) , parte entera de x definida en los reales
positivos.
Determine la función A(x)= área bajo la gráfica de ( ) desde el punto 0 hasta el punto (En figuras abajo representamos ( ) y ( ).
a) Pruebe o refute (es decir pruebe o de un contraejemplo): G es continua en su dominio.
b) Pruebe o refute: G es diferenciable en su dominio.
c) Repita el proceso de la función área bajo la gráfica usando ahora la función ( ) en los reales positivos.
Pregunta Comodín: Esta pregunta es para reemplazar cualquiera de las preguntas anteriores.
IMA PUCV
Segunda Prueba de Cátedra
28 días de la navidad de 2012. Profesor Jaime Mena
Instrucciones: Sea muy claro en sus desarrollos y justificaciones.
1. (30 puntos) Pregunta de demostración. Aquí usted debe dejar claro los pasos de su
demostración, debe decir donde usó las hipótesis del teorema y debe dejar claro que resultados previos está utilizando.
Pregunta: Sean y funciones integrables en el intervalo [-3,5]. Demuestre que la función también es riemann integrable.
Nota: Al inicio o al final escriba y enumere los resultados y definición de riemann que usará o usó en la demostración, de tal forma que cuando los requiera le bastará con sólo citar el numeral.
2. Método de integración y aplicación de la derivada
a. (15 puntos) Sea ( ) representada por la gráfica y explicación de ella dada más
abajo. Calcule ∫ ( ) ( )
b. (15 puntos) Calcular el volumen que queda al rotar, respecto al eje OY, el área bajo
la gráfica de ( ) definida en el intervalo [1,3]
En la gráfica tenemos triángulos equiláteros de altura 1 y base respectivamente. La gráfica de ( ) entonces consiste en infinitos triángulos isósceles construidos en [0,1] y que en este caso se graficaron claramente sólo 5.
MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2007 PRUEBA Nº 2
1. Sea { }
( ) {
Demuestre que es integrable en [0,1] y calcule ∫ ( ) 2. Considere la región R del plano bajo las curvas ; y sobre el eje OX en el primer cuadrante.
a) Calcule el área de R
b) Calcule el volumen de revolución al girar en torno a OX c) Calcule la abscisa del centro de gravedad de este cuerpo de revolución, suponiendo densidad constante.
3. Encuentre los máximos y mínimos de la función:
( ) ∫ ( )
MAT 157: Cálculo 2 Segundo Semestre 2010 PRUEBA Nº 2 1. Sea ( ) { Demuestre que Calcule ∫ ( )
¿En qué puntos vale ( ) ( ), si ( ) ∫ ( ) ? 2. Calcule, si es posible, el área bajo la curva
√ en el
intervalo ]0,1] , en el primer cuadrante.
Calcule, si es posible, el volumen de revolución de esta misma región al rotar en torno al eje OY.
¿Qué ocurre si se rota en torno al eje OX?
3. Sea ( ) ∫ . Demuestre que esta función tiene un punto de inflexión en
EXAMEN : CÁLCULO 2 (MAT 157)
Plan Común de Matemáticas Segundo Semestre 2004 1.- Analice la función
( ) ( )
considerando dominio, recorrido, zonas de crecimiento, decreci-miento, concavidad, máximos y mínimos, asíntotas y gráfica.
2.- Calcule, si es posible, el área de la figura plana limitada superiormente por la curva
√ , por los lados por las rectas y
, y por abajo por la recta .
3.- Una barra de cobre sale del horno de reverbero a 3500° C y se enfría en un medio ambiente a 15°C. Si al cabo de tres horas la barra está a 20°C, ¿qué temperatura tendrá a las dos horas?
4.- Analice la función definida por: ( ) ∫
MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2010 PRUEBA Nº 1
1. Sea ( ) { √
Encuentre los números reales tales que sea derivable en . ¿Cuánto vale esa derivada?
2. Un granjero ha comprado 2000[m] de alambre de púas para cercar un potrero rectangular. Debido a la pendiente del
terreno ha decidido poner 3 hebras de alambre en los lados Norte y Sur pero 4 en los lados Este y Oeste. ¿Cuál es la forma y tamaño del potrero que abarca mayor superficie? 3. Demuestre que la función ( )
no tiene
asíntotas de ningún tipo.
4. Analice la función ( )
indicando: dominio,
MAT 157: Cálculo 2 Primer Semestre 2007 PRUEBA Nº 1
1. Sea ( ) { ( ) ( )
donde ( ) ( ) Demuestre que es derivable en y encuentre su valor.
2. Considere un depósito de agua de forma de un cono invertido de base circular de radio R y altura H, al cual se vierte agua a razón de Q litros por minuto. ¿con qué velocidad sube el nivel del agua cuando éste se encuentra a una altura de
3. Calcule la distancia al origen del punto en que, la tangente a la curva
en el punto de abscisa , corta al eje OX.
4. Determine las zonas de crecimiento, decrecimiento y las asíntotas verticales y oblicuas de la función
PRUEBA N°1 : CÁLCULO 2 (MAT 157)
Plan Común de Matemáticas Segundo Semestre 2004
1.- Sea una función con derivada continua de segundo orden en cero, ( ) ( ) ( ) . Demuestre que la función:
( ) {
( )
es derivable en cero y encuentre su valor. (indicación: L’Hopital) 2.- Encuentre las coordenadas del punto de la curva
donde la recta tangente corta al eje OY en la máxima altura. ¿Cuál es esa máxima altura?
3.- Se desea construir una pileta de base cuadrada que contenga un volumen B de agua. Si el costo del material del fondo (por metro cuadrado) es el doble que el de los lados, ¿cuál es la relación entre el lado de la base y la altura que produce el mínimo costo?
4.- Encuentre dominio, recorrido, máximos, mínimos locales y globales, zonas de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas de la función:
( )
MAT 157: Cálculo 2 Segundo Semestre 2011 PRUEBA Nº 2
1. Considere la función “serrucho” (ver figura)
donde ( ) {
Fundamente la existencia de la integral ∫ y encuentre su valor. 2. Encuentre máximos y mínimos de la función
( ) ∫
3. Calcule explícitamente la función
( ) ∫ 4. Calcule el área bajo ambas curvas:
√ e y sobre el eje
