Unitat 5. Treball i energia

Unitat 5. Treball i energia

5.1 Treball

Expliquem-ho

És instructiu mostrar als alumnes que el treball és un índex de l’esforç realitzat. Si pensem, per exemple, que hem d’elevar una galleda d’aigua dins un pou, sembla lògic quantificar l’esforç que cal realitzar mitjançant el producte de la força que cal aplicar pel recorregut que ha de realitzar la galleda. Fixem-nos que la fórmula del treball no és més que l’expressió del producte del mòdul del vector desplaçament per la projecció de la força en la direcció del desplaçament. Recordem que ja vam estudiar el concepte de projecció d’una magnitud vectorial en la unitat 0 del llibre de text. D’aquesta manera, passem de dues magnituds vectorials (força i desplaçament) a una magnitud escalar, el valor de la qual és proporcional als mòduls de les dues magnituds.

Cal insistir en que el treball és una magnitud escalar. El seu valor pot ser positiu, negatiu o nul. La seva unitat en el SI és el joule (J). Tot i que el joule equival al producte d’un newton per un metre (1 J = 1 N·m), el treball sempre s’expressa en joules, per distingir-lo del moment fet per una força que s’expressa en newtons per metre.

També cal explicar bé que el concepte de treball és aplicable a qualsevol força que tingui el punt d’aplicació en moviment.

En cas que els alumnes dominin el càlcul vectorial, els podem mostrar que l’expressió del llibre no és més que l’expressió desenvolupada del producte escalar del vector força i el vector desplaçament:

Cal anar amb compte perquè l’expressió anterior només és vàlida quan la força es manté constant al llarg del desplaçament De manera rigorosa, caldria definir el treball elemental d W com:

El curs vinent, quan els alumnes ja hagin estudiat el càlcul integral, veurem que el treball total és la integració de treball elemental al llarg del recorregut del cos. Aquest curs, però ens limitarem a casos en què la força sigui constant o en què el treball total es pugui calcular a partir de l’àrea del diagrama F-x, tal com veurem més endavant.

De fet, si volem ser rigorosos, l’expressió de treball W del llibre de text s’hauria de substituir per DW que és, de fet, la utilitzada en la definició de potència mitjana i instantània de l’apartat 5.2:

Per tal que els alumnes acabin de comprendre bé el concepte de treball, cal explicar-los el significat del cosinus de l’angle que apareix en la definició del treball. Serveix per calcular quina «porció» de la força aplicada és realment efectiva en el desplaçament del cos. És clar que, per a valors fixats de mòduls de força i desplaçament, el treball serà màxim quan l’angle entre la força i el desplaçament sigui zero.

També cal que els alumnes comprenguin que la suma de treballs fets per diferents forces que actuen sobre un cos puntual o perfectament rígid amb moviments de translació coincideix amb el treball fet per la força resultant sobre el cos.

D’interès

Apliquem el concepte de treball en moltes situacions quotidianes sense adonar-nos-en. Si volem aixecar un pes amb una palanca, ja sabem que podem fer-ho amb diferents valors de forces aplicades, sempre i quant variem la distància recorreguda per la força.

Un altre cas és el del joc dels parcs infantils que consta d’una barra recolzada a terra pel seu punt mig i en els dos extrems de la qual s’asseuen un o més nens. Si només se situen nens en un extrem de la barra, l’adult que els ajuda haurà d’aplicar des de l’altre extrem de la barra una força

F1 determinada cap avall aproximadament igual a la del pes dels nens. Si vol que els nens arribin

a la màxima altura possible, l’adult haurà d’aplicar la força durant un recorregut h1 de l’extrem lliure

(en què no hi ha els nens), fins que toqui a terra. Si, en canvi, l’adult s’allunya de l’extrem lliure i s’acosta al centre de la barra, haurà d’aplicar una força F2 més gran que abans, però, en canvi, el

recorregut h2 d’aquesta força serà més curt. Sempre es compleix que el treball fet per l’adult és el

mateix que el treball associat al producte del pes dels nens per el seu recorregut en la direcció vertical:

Per tant, les màquines simples com els plans inclinats, els sistemes de politges, les premses hidràuliques, etc., transformen les forces en altres de diferent valor i direcció però sempre conservant el valor del treball, exceptuant, com veurem en la propera unitat, les pèrdues energètiques que hi pugui haver a causa del fregament entre les diferents parts mòbils.

Errors freqüents

La dificultat principal per comprendre el concepte de treball físic és dissociar-lo del concepte quotidià de treball. També és bo insistir que el valor de la magnitud treball s’ha d’expressar amb el signe i les unitats adients. Els alumnes sovint s’equivoquen amb el signe del treball perquè no tenen en compte el valor correcte de l’angle entre la força i el desplaçament. Cal insistir que quan la força té un component oposat al desplaçament, el treball resultant sempre és negatiu.

Un error comú és pensar que qualsevol força aplicada sobre un cos fa treball. Però, si el cos no es desplaça, cap força que actuï sobre ell no fa treball. I si sobre un cos que s’està desplaçant actua una força tal que la força i el desplaçament del cos són perpendiculars al llarg de tot el desplaçament, aquesta força no efectua treball.

De vegades els alumnes pensen erròniament que si hi ha moviment, hi ha d’haver treball. En el cas d’un cos amb MRU, poden estar actuant sobre ell forces oposades cada una de les quals efectuarà un treball sobre el cos. Ara bé, els treballs respectius seran de valors oposats entre si. Per tant, el treball resultant en un cos amb MRU és nul.

Curiositats

La paraula treball fou introduïda en la bibliografia científica com al producte de la força pel desplaçament, pel matemàtic i enginyer Jean-Victor Poncelet (1788-1867), l’any 1826 al Cours de

mécanique appliqué aux machines a proposta del físic i matemàtic francès Gaspard de Coriolis

treball i de l’energia cinètica. Poncelet, que es va dedicar àmpliament a l’estudi de la geometria projectiva, també va introduir el terme fatiga de materials.

Durant un temps, a França es va utilitzar una unitat de potència anomenada poncelet, en el seu honor. Un poncelet equivalia a la potència desenvolupada per elevar un cos de 100 kg de massa a una velocitat d’1 m/s.

Expliquem-ho

En els exemples 1 i 2 s’aplica la definició de treball. És bo posar l’èmfasi en què quan les forces que actuen sobre un cos són perpendiculars al desplaçament d’aquest cos, aleshores no realitzen treball. En l’exemple 3 es presenta el cas en què hi ha alguna força que no actua en la mateixa direcció del desplaçament ni en la direcció perpendicular al desplaçament, sinó en una direcció intermèdia. Per tant, cal que descomponem aquesta força en dos components: un en la direcció del desplaçament i l’altre en la direcció perpendicular a ell.

Els alumnes ja han treballat aquest procediment de descomposició, en el pla, de magnituds vectorials, tant cinemàtiques com dinàmiques. Ho han practicat en la descomposició del vector de posició i del vector velocitat en l’estudi de la composició de moviments a la unitat 2. També ho han desenvolupat a la unitat 3, en l’estudi de les forces. Ara cal repetir el mateix procediment de la unitat 3, no pas amb la intenció d’aplicar les lleis de Newton, sinó amb la de calcular el treball. En l’exemple 3 els alumnes aprenen a calcular el treball fet per diferents forces sobre un cos puntual o perfectament rígid que té un moviment de translació. En l’apartat b) de l’exemple 3, els alumnes comproven que la suma de treballs fets per diferents forces coincideix amb el treball fet per la força resultant sobre el cos. Recomanem explicar-los que aquest fet és conseqüència de la llei de composició de forces vista a la unitat 3, és a dir, l’efecte de varies forces actuant sobre un cos és equivalent a l’efecte de la força resultant de totes les forces. I, a més, quan el cos és puntual o perfectament rígid i només té moviment de translació, el desplaçament del punt d’aplicació de cada una de les forces és el mateix. Per tant, el treball resultant serà igual al producte d’aquest desplaçament comú a totes les forces per la força resultant.

Aquests primers exemples de la unitat volen ajudar els alumnes en la comprensió del concepte de treball que per alguns d’ells és nou. Aquest concepte és bàsic per a moltes àrees de la física apart de la mecànica, i també per a la tecnologia. Tanmateix, cal insistir en aspectes procedimentals: el dibuix d’un esquema representatiu de la situació plantejada en l’enunciat i del diagrama de forces, així com l’expressió dels resultats amb els signes i unitats correctes.

Expliquem-ho

El càlcul del treball a partir de l’àrea en els diagrames F-x és molt útil perquè permet calcular el treball total sense haver d’aplicar el càlcul integral.

Recomanem mostrar als alumnes el paral·lelisme existent entre el càlcul de l’àrea en els diagrames F-t de la unitat anterior per al càlcul de l’impuls d’una força i el d’aquesta unitat per al càlcul del treball d’una força. Així, mentre que l’impuls aplicat a un cos es tradueix en una variació de la seva quantitat de moviment, el treball realitzat sobre un cos es tradueix en una variació de la seva energia cinètica, tal com veurem més endavant.

El llibre de text presenta la força elàstica com un cas típic de força que varia amb el desplaçament i la força pes com a cas típic de força constant. De fet, el curs vinent veurem que la força pes no és constant, sinó que varia de forma inversament proporcional al quadrat de la distància al centre de forces. En aquest curs, però, considerarem només casos en què els mòbils són propers a la superfície terrestre amb un pes que es pot considerar constant.

si la deformació de la molla es produeix en la direcció Y.

Cal entendre bé el significat d’aquestes expressions que tornarem a estudiar en l’apartat de l’energia potencial. Aquí, però, cal remarcar que el treball depèn de la deformació de la molla al quadrat i que el que s’ha calculat és el treball de la força aplicada a l’extrem lliure de la molla. El treball depèn de la deformació de la molla i no pas de la seva posició. Aquest fet és conseqüència que la força elàstica depèn també de la deformació de la molla i no pas únicament de la posició de l’extrem lliure de la molla.

Errors freqüents

L’error més freqüent a l’hora de calcular el treball a partir de diagrames en què es representa la força a l’eix d’ordenades és el de no fixar-se en quina variable es representa en l’eix d’abscisses. Cal no oblidar que el treball és el producte del component de la força en la direcció del desplaçament. Per tant, en el càlcul del treball quan un cos es mou en una direcció determinada, al que a l’eix d’abscisses es representi la posició del cos en aquella direcció. Així, cada increment infinitesimal de la posició representa el desplaçament. Si a l’eix d’abscisses hi ha representat el temps, l’àrea obtinguda indica l’impuls associat a la força durant un cert període de temps i no pas el treball.

També cal parar atenció en representar correctament la força elàstica, o bé la força externa oposada a la força elàstica, en funció de la variable x o y, tal com expliquem en l’activitat 1 de la guia.

5.2 Potència

Expliquem-ho

És molt probable que els alumnes ja coneguin, de cursos anteriors, el concepte de potència i les seves unitats en el SI. És bo, però, refrescar-lo i presentar la potència com una magnitud que ens serveix per valorar quina força és més efectiva a l’hora de fer un treball. Òbviament serà la que faci el mateix treball en menys temps.

A més, també cal assegurar-se que els alumnes saben diferenciar els conceptes de potència mitjana i potència instantània. És bo recordar la diferència entre velocitat mitjana i velocitat instantània i, també, entre acceleració mitjana i acceleració instantània. Ara, però, s’ha d’insistir que la potència és una magnitud escalar ja que resulta del quocient entre dues magnituds escalars: el treball i l’interval de temps.

Així, si els alumnes tenen un bon domini del càlcul vectorial, els podem presentar una definició més general de potència instantània i deduir la seva equivalència amb el producte de força instantània per velocitat instantània:

Curiositats

La unitat de potència en el SI és el watt (1 W = 1 J·s-1), però també es fan servir altres unitats, principalment en la indústria, que varien segons els països.

Als països anglosaxons utilitzen aquestes unitats de potència:

• El cavall de potència (horsepower), també anomenat cavall de vapor anglès o

mechanical horsepower, equival a 745,69987 W, que s’aproxima a 746 W. El va descriure

l’inventor James Watt, que necessitava una unitat per caracteritzar la potència de les noves màquines de vapor. D’acord amb la història, Watt va definir el cavall de potència com la potència màxima que podia desenvolupar un cavall dels que es feien servir aleshores per moldre llavors o tallar fusta. Va considerar que un cavall recorria una circumferència de 75,4 peus de longitud fent una força de 180 lliures i que en una hora era capaç de fer 144 voltes. Amb aquests valors, va agafar una velocitat mitjana de 181 peus per minut que, multiplicada per una força de 180 lliures, va resultar en un valor d’uns 33 peus per lliures dividit per minut. Si passem la unitat de massa a pes multiplicant-la pel valor de la gravetat i expressem totes les unitats en el SI, obtenim el valor de 746 W.

• El cavall de potència elèctric (electrical horsepower) equival exactament a 746 W i és molt utilitzat en la indústria elèctrica.

• El boiler horsepower equival a 98 095 kW o 8 400 cal/h i és molt utilitzat per caracteritzar les calderes (boilers) en plantes energètiques. Es defineix com la potència necessària per evaporar 15,65 kg (o 34,5 lliures) d’aigua a 100 ºC (212 ºF) en una hora.

• El cavall de vapor (metric horsepower) equival a 735,49875 W i s’aproxima a 735 W. Correspon a les unitats dels diferents països que veurem tot seguit.

A Espanya, en la indústria automobilística, s’utilitza el cavall de vapor, que s’abrevia CV i equival a 735 W. Es defineix com la potència desenvolupada per una força de 75 quiloponds a una velocitat d’un metre per segon. Així, podem comprovar que un cavall de vapor equival a 735 watts:

Aquesta mateixa unitat és la que s’utilitza a França (cheval-vapeur, CV), a Itàlia (cavallo vapore, CV), a Portugal (cavalos a vapor, CV), Alemanya (Pferdestärke, PS), als Països Baixos (paardenkracht, pk), a Suècia (hästkraft) i a Dinamarca (hesterkraft, hk).

D’interès

En les màquines tèrmiques (màquines de vapor, turbines, motors d’explosió, motors diesel, etc.) no es pot aconseguir la transformació íntegra de calor en treball. Això és equivalent a dir que el rendiment d’una màquina tèrmica és sempre menor que 1, o que mai s’assoleix un rendiment del 100 %.

Les màquines tèrmiques funcionen cíclicament: absorbeixen calor d’una font tèrmica externa, transformen aquesta calor en treball i cedeixen la part de calor que no s’ha transformat en treball a una altra font tèrmica externa, de temperatura més baixa que la de la primera font. El seu rendiment mai és 1, és a dir, el calor cedit mai és nul.

baixa a un focus de temperatura més alta. El procés espontani és l’invers: flux de calor des de zones de temperatura alta a zones de temperatura baixa, i per a invertir-lo cal aplicar un treball. El fet que el rendiment de les màquines tèrmiques sigui sempre menor que la unitat no es deu a defectes tecnològics (de disseny o de muntatge de components) sinó que és conseqüència de l’anomenat segon principi de la termodinàmica. Segons aquest principi de la física, la calor és una forma d’energia que no és convertible al cent per cent en treball físic.

Tot i les consideracions anteriors, sempre s’ha d’intentar optimitzar el funcionament de les màquines i sistemes, per assolir el màxim rendiment possible, per consumir la menor energia possible. És a dir, tot i que no puguem obtenir η = 1, hauríem d’apropar-nos-hi al màxim. Això és el que es coneix com a eficiència.

5.3 Energia

Expliquem-ho

En la propera unitat veurem com hi ha diferents tipus d’energia segons l’origen i també parlarem de les transformacions entre aquests diferents tipus d’energies. De tota manera, si ho creiem oportú, podem explicar aquí l’apartat 6.1 del llibre de text.

Cal insistir, a l’hora d’introduir el concepte d’energia que, tal com es defineix al llibre, és la capacitat per realitzar un treball. Per tant, realment l’energia d’un cos o d’una partícula es mesura o es calcula a partir del treball que és capaç de dur a terme, o bé a partir del treball que s’ha realitzat per tal que un cos o partícula determinada estigui en un estat determinat. Així, si un cos està deformat, el valor de la seva energia es calcula a partir del treball que s’ha hagut de fer sobre el cos per deformar-lo.

Més endavant farem servir la idea que l’energia d’una configuració determinada es pot calcular a partir del treball necessari per construir-la, en calcular l’energia potencial gravitatòria i l’energia potencial electrostàtica per un sistema de masses o càrregues puntuals. De moment, però, també cal tenir present aquesta idea perquè permet que els alumnes relacionin el concepte d’energia que estudien en altres assignatures.

Així, la calor latent en els canvis de fase, és l’energia alliberada per un cos quan canvia d’estat o fase. Pot ser, per exemple, un mineral que canvia d’una estructura cristal·logràfica a una altra, o bé una substància que passa de líquida a sòlida. També, la calor de combustió o l’energia de reacció que apareixen en les assignatures de química i de biologia són les energies absorbides o alliberades en les reaccions químiques.

5.4 Energia cinètica

Expliquem-ho

Tal com explica el llibre, l’energia cinètica és l’energia que té un cos només pel fet d’estar en moviment. Evidentment, s’entén que és l’energia que té un cos amb massa pel fet d’estar en moviment, ja que en l’expressió de l’energia cinètica també apareix la massa del cos. En la propera unitat estudiarem que un cos en repòs, pel sol fet de tenir massa, també té energia segons la física relativista. De moment, però, ens ocupem només de cossos que es mouen a velocitats petites comparades amb la velocitat de la llum.

En aquest cas, és un MRU amb un valor determinat de la velocitat. Òbviament, assignem arbitràriament el valor nul d’energia cinètica a l’estat de repòs.

Si estenem el càlcul anterior al cas que vulguem canviar el valor de la velocitat d’un cos que ja està en moviment, resulta que el treball que hem de realitzar sobre el cos és exactament igual a la variació de l’energia cinètica que experimenta el cos. Aquesta és una forma alternativa d’explicar el teorema del treball i de l’energia cinètica de la forma que presenta el llibre.

Ja vam veure en la primera unitat de dinàmica que les forces poden provocar canvis en el moviment dels cossos i també deformacions. Per tant, quan deduïm el teorema del treball i de l’energia cinètica, hauríem d’explicar bé als alumnes que suposem que el treball aplicat només provoca canvis en el moviment dels cossos. És a dir, no considerem forces que provoquin deformacions. Ens ocuparem d’aquest supòsit quan estudiem l’energia potencial elàstica.

De fet, podem deduir el teorema del treball i de l’energia cinètica d’una manera més general a com la presenta el llibre de text fent servir la forma més general de la segona llei de Newton i el càlcul integral:

Si la massa és constant, tenim:

D’interès

Si un cos té un moviment de rotació podem definir l’energia cinètica de rotació com la meitat del producte del moment d’inèrcia del cos per la velocitat angular de gir al quadrat. El moment d’inèrcia juga en la rotació el mateix paper que juga la massa en la translació. Representa tant la resistència del cos a girar entorn un eix determinat com la inèrcia del cos a mantenir el seu gir un cop iniciat. El moment d’inèrcia depèn tant de la geometria del cos com de la seva distribució de massa i de la posició relativa del cos i de l’eix de gir. La seva unitat en el SI és el quilogram per metre al quadrat.

L’estudi dels moviments de rotació no entra en el currículum de batxillerat. De tota manera, com que són moviments molt freqüents en la nostra vida quotidiana, els podem comentar de passada si els alumnes s’hi interessen. Els podem dir que tots els moviments d’un sòlid rígid, per complicats que siguin, es poden descompondre en un moviment de translació del seu centre de masses (CM) i un moviment de rotació del cos entorn d’aquest centre de masses CM.

Pel que fa al moviment de translació del CM d’un cos, cal dir que és el que ens ha ocupat des de la primera unitat d’aquest primer curs i que continuarem en la propera unitat. Ja sabem que podem considerar els sòlids rígids com cossos puntuals amb tota la seva massa concentrada al CM, i que tenen el moviment regit per les lleis de Newton. A més, l’impuls que els podem aplicar els provocarà un canvi en la seva quantitat de moviment. I qualsevol treball fet sobre un cos amb massa li causarà una variació de l’energia cinètica, tal com acabem d’estudiar en aquest apartat.

Errors freqüents

depèn de la velocitat al quadrat i de la massa, que són sempre quantitats positives o nul·les, l’energia cinètica també ho serà.

El valor nul de l’energia cinètica, que anomenarem origen quan estudiem l’energia potencial, no és arbitrari ja que, per definició, depèn de la velocitat del mòbil al quadrat. Ara bé, com que el valor de la velocitat és diferent segons el sistema de referència inercial des del qual el mesurem, hem de tenir en compte aquest fet. Així, dos observadors inercials que s’estiguin movent l’un respecte de l’altre, mesuraran diferents valors d’energia cinètica d’un mòbil determinat. Els dos valors són correctes, però cal ser coherent i especificar quina referència fem servir. De tota manera, en la majoria de situacions treballarem amb el sistema laboratori i no hi haurà possibilitat de confusió.

Curiositats

El teorema del treball i l’energia cinètica també es coneix amb el nom de teorema de les forces

vives. Això és degut a que G. W. Leibniz (1646-1716) va definir la magnitud vis viva (en plural, vire vivae) com el producte de la massa pel quadrat de la velocitat d’un cos. Fixem-nos que aquesta

magnitud coincideix amb la meitat de l’energia cinètica. Tot seguit, reproduïm l’explicació donada per C. Sánchez del Río d’aquesta definició i del seu context històric.

Per a Leibniz, la vis viva era una mesura millor per caracteritzar el moviment d’un cos que no pas la magnitud quantitat de moviment (motu) que havia definit R. Descartes (1596-1650) com a producte de la massa d’un cos per la seva velocitat. L’argument de Leibniz és que un cos en moviment té prou força per elevar-se de nou a una certa altura, tal com s’observa, per exemple, en el moviment d’un pèndol. D’altra banda, la força necessària per elevar un cos és igual al seu pes per a l’altura a què es vol elevar. Aquesta última afirmació prové de la llei de la palanca, coneguda pels grecs antics. A més, Leibniz utilitza la demostració de Galileu que el quadrat de la velocitat de caiguda d’un cos és proporcional a l’altura des d’on es deixa caure. Veiem que, en l’argument de Leibniz, el concepte de força es confon amb el d’energia i també el concepte de pes es confon amb el concepte de massa. Va ser Newton qui va establir la diferència entre aquests conceptes i va aclarir la controvèrsia entre els partidaris de Leibniz i els de Descartes. Ambdós tenien raó però no de forma exclusiva: com hem estudiat en aquesta unitat i la precedent: l’impuls d’un força provoca un canvi en la quantitat de moviment d’un cos, mentre que el treball d’una força provoca un canvi en la seva energia cinètica.

D’interès

Ja hem explicat en aquesta guia com deduir el teorema del treball i l’energia cinètica, mitjançant el càlcul integral, per al cas d’una força variable en mòdul. En aquesta demostració matemàtica, comprovem que apareix el factor 1/2 en la definició de l’energia cinètica.

És important insistir que el teorema del treball i l’energia cinètica també és vàlid per al cas d’una força variable en direcció, no només en mòdul, tal com estudiarem més endavant.

Un cas interessant és el del moviment circular uniforme (MCU). En el MCU la velocitat es manté constant en mòdul, és a dir, l’energia cinètica és constant. Això significa que la força que actua sobre el mòbil en MCU fent que la seva velocitat canviï constantment de direcció és una força perpendicular al desplaçament del mòbil. És a dir, la força en el MCU és perpendicular a la direcció del vector velocitat instantània del mòbil. Per tant, la força que manté un cos en MCU té la direcció radial a cada punt de la circumferència que constitueix la trajectòria del mòbil. Tots aquests conceptes es treballaran en detall al proper curs. Aquí els podem comentar de passada o bé plantejar-los com a qüestions a classe per a fer pensar els alumnes.

Expliquem-ho

En l’exemple 8, a partir de les equacions de moviment i de velocitat del MRUA es pot deduir l’expressió per a l’acceleració de frenada (a) en termes de l’espai recorregut abans que el cotxe s’aturi completament (x) i de la velocitat inicial (v0). I substituint les dades, trobem el seu valor

numèric:

Ara, aplicant la segona llei de Newton trobem el valor de la força que ens demana l’enunciat:

El resultat del llibre de text és lleugerament diferent degut a què s’han pres menys xifres significatives en el càlcul de l’energia cinètica.

En l’exemple 9, suposem que la força del vent és constant, és a dir, que l’acceleració del cotxe és constant. Com en l’exemple 8, a partir de les equacions del moviment i de la velocitat podem deduir l’expressió següent per al desplaçament (x) en termes de la velocitat inicial (v0), de la

velocitat fi nal (vf) i de l’acceleració (a):

A diferència de l’exemple anterior, aquí cal conèixer la definició de treball i la seva expressió matemàtica. Aleshores, tenint en compte la segona llei de Newton i l’expressió del desplaçament i substituint els corresponents valors, trobem el valor del treball que ens demana l’enunciat:

Fixem-nos que hem arribat, per una altra via, al teorema del treball i l’energia cinètica.

En l’exemple 10, com que ens demanen la força mitjana que fa la fusta sobre el clau, podem suposar una força constant i, per tant, una acceleració constant. La velocitat final és nul·la, per tant, tenim la mateixa expressió que a l’exemple 8 per a l’acceleració en termes del desplaçament

i de la velocitat inicial:

En aquests tres casos, el teorema del treball i de l’energia cinètica aporta una simplificació en els càlculs, però no una forma de resolució totalment nova. Dit d’una altra manera, tots els exemples anteriors són perfectament resolubles sense necessitat d’aplicar el teorema del treball i de l’energia cinètica. Quina utilitat té, doncs, aquest teorema? La resposta la trobem en situacions on la força no sigui uniforme. Aleshores és imprescindible aplicar aquest teorema. Ho podem veure en l’activitat següent proposada que els alumnes ja poden resoldre coneixent la llei de Hooke i el càlcul del treball a partir del diagrama F-x.

5.5 Forces conservatives i forces no conservatives

Expliquem-ho

La utilitat de distingir entre forces conservatives i no conservatives és que, com veurem en l’apartat següent, per a les forces conservatives podem definir la magnitud energia potencial. es forces conservatives es defineixen com les forces que realitzen un treball que depèn només de la posició inicial i fi nal del mòbil, independentment del recorregut que facin. Aquesta definició, en general, és difícil d’entendre per alguns alumnes. Sense ser-ne conscients, de vegades confonen el treball d’un recorregut amb el producte de la longitud recorreguda per la força que actua. Així, no comprenen com hi pot haver un treball independent del recorregut seguit. En altres paraules, alguns alumnes no són conscients que, en realitat, el treball ve donat per la suma de molts treballs elementals, cadascun d’ells igual al producte de la força pel desplaçament elemental. En conseqüència, globalment pot resultar que el treball no depengui directament de la longitud recorreguda. Evidentment, el fet que el treball depengui de les posicions inicials i fi nals, té en compte el recorregut del cos, però de forma indirecta. Podem dir, doncs, que el treball d’una força conservativa depèn del desplaçament mínim necessari per moure’s de la posició inicial a la posició fi nal, tant si aquest desplaçament coincideix amb el recorregut real com si no.

Com a ampliació, podem dir que la definició de força conservativa du implícit el concepte de camp de forces. És a dir, en cada punt de l’espai associem un valor de la força. Així, quan diem que el treball d’una força conservativa depèn només de les posicions inicials i finals del recorregut del cos, ja tenim en compte el valor de la força perquè cada posició del cos en un camp de forces té associat un valor de la força. El curs vinent estudiarem detingudament el concepte de camp de forces i també el de camp conservatiu.

Si una força és constant en mòdul i direcció i és independent del sentit del moviment del cos, aquesta força serà evidentment conservativa. És el cas de la força pes per a cossos propers a la superfície de la Terra. En el llibre, demostrem que el treball fet per la força pes, quan un cos cau verticalment fins a terra, coincideix amb el treball fet per aquesta força quan aquest mateix cos llisca sobre un pla inclinat sense fregament i després es desplaça horitzontalment. Cal dir que aquest resultat es manté quan hi ha fregament, sempre i quan el fregament no sigui suficient per evitar que el cos llisqui pel pla. Quan hi ha fregament, el component del pes en la direcció del pla és el mateix que quan no hi ha fregament i, per tant, el treball resultant és el mateix.

Encara que els alumnes no dominin el càlcul vectorial els podem demostrar que el pes és una força conservativa. En un recorregut arbitrari, podem descompondre cada desplaçament elemental en un desplaçament infinitesimal en la direcció X i un desplaçament infinitesimal en la direcció Y. Així, cada treball elemental de la força pes s’expressa mitjançant dW = mg dy, ja que el pes només té component en la direcció Y. Per tant, el treball global de la força pes, que serà la suma d’aquests treballs elementals, només dependrà dels valors de les coordenades y inicial i final, de la massa del cos i de l’acceleració de la gravetat. Així demostrem que la força pes és conservativa per a qualsevol trajectòria del cos.

aquesta direcció contribuiran en el treball. Si anomenem ∆l un desplaçament elemental de

l’extrem lliure de la molla (suposem que l’altre extrem està fixat a una paret o a qualsevol superfície immòbil), com que la força de la molla ve donada per F = k ∆l, resulta que el treball total

depèn de la constant elàstica i dels valors inicial i final de l, que són assimilables a les posicions inicial i final de l’extrem de la molla. Per tant, la força elàstica és conservativa.

Com explica el llibre, la força de fregament és una força no conservativa. Sempre s’oposa al moviment relatiu de les superfícies en contacte. Per tant, sempre és oposada al desplaçament, amb la qual cosa el treball que realitza és sempre negatiu i és impossible que s’anul·li en una trajectòria tancada, ja que no hi ha un tram en què el treball sigui positiu i pugui compensar el treball realitzat en l’altre tram.

La força normal, la tensió i la força muscular, també són forces no conservatives, com demostrem en l’exemple següent:

5.6 Energia potencial

Expliquem-ho

La utilitat de definir l’energia potencial és la de no haver de calcular el treball que realitza una força conservativa a partir de la definició de treball, sinó a partir de la variació de l’energia potencial associada a la força conservativa. Així, en cada situació particular, no és necessari el càlcul del treball a partir del producte de la força pel desplaçament, sinó que es pot fer ús de l’expressió de l’energia potencial i únicament cal substituir-hi els valors de les posicions inicial i final del cos. Aplicant la definició de variació d’energia potencial en cada força conservativa s’obté l’expressió corresponent de l’energia potencial associada. Així ho fem en els dos subapartats d’aquest apartat per al cas de la força pes i per a la força elàstica.

És bo que els alumnes s’adonin que la definició de variació d’energia potencial coincideix amb la variació d’energia cinètica que s’obté a partir del teorema del treball i de l’energia cinètica, però canviada de signe. Veurem el motiu d’aquest canvi de signe que, de fet, és arbitrari, en la propera unitat, quan estudiem la conservació de l’energia mecànica en un sistema sotmès només a forces conservatives o a forces que no realitzen treball. Ara, però, ja podem dir que en sistemes físics en què només forces conservatives realitzen treball es compleix que la variació d’energia potencial té el valor oposat a la variació de l’energia cinètica. De fet, la pèrdua d’energia potencial es transforma en un augment de l’energia cinètica i viceversa.

Cal insistir també, altra vegada, que el teorema del treball i de l’energia cinètica és vàlid sempre, tant si actuen forces conservatives com no conservatives. És a dir, la seva validesa no depèn que es pugui definir o no una energia potencial. El fet que es pugui definir una energia potencial implica únicament que la variació d’energia cinètica és més fàcil de calcular a partir de la variació de l’energia potencial canviada de signe. Però, en qualsevol cas, la variació de l’energia cinètica d’un cos sempre serà deguda al treball realitzat per les forces que actuen sobre el cos.

D’interès

L’energia interna d’un sistema físic o químic es defineix com el conjunt de totes les energies cinètiques i potencials dels seus constituents (àtoms, molècules o partícules). L’anomenem així perquè no es manifesta macroscòpicament. Pensem, per exemple, en les vibracions internes de les molècules. De fet, no és fàcil separar l’energia cinètica de la potencial en àmbits no macroscòpics i tampoc no és necessari fer-ho. Es diu que l’energia interna en part és energia tèrmica o calor i en part és energia química.

Expliquem-ho

mgh per a l’energia potencial gravitatòria, és g = 9,8 m/s2, sense el signe negatiu que utilitzàvem en les unitats 1 i 2 de cinemàtica. A més, triem com a origen d’energia potencial gravitatòria el punt d’altura zero. Per tant, si el cos se situa a una altura negativa, la seva energia potencial gravitatòria també serà negativa. L’altura s’ha d’entendre com la diferència de valors de les coordenades y, no com una distància matemàtica que sempre és positiva per definició. És a dir, l’altura h és la diferència entre l’ordenada del punt en què calculem l’energia potencial gravitatòria i l’ordenada on es fi xa el valor zero de l’energia potencial gravitatòria.

Recordem que aquest curs sempre considerem cossos propers a la superfície terrestre. En aquests casos acostumem a prendre el terra com a origen de l’energia potencial gravitatòria, és a dir, just a la superfície de la Terra. El curs vinent veurem que la força gravitatòria depèn de la distància i que en l’expressió rigorosa de l’energia potencial gravitatòria terrestre prenem l’origen de l’energia potencial a una distància infinita de la massa. No ens hem de preocupar per això perquè a prop de la superfície de la Terra l’expressió mgh és perfectament vàlida, com hem deduït en el llibre. Aquesta expressió és la del treball necessari per elevar el cos des del terra fins a l’altura h.

Una expressió també vàlida per a l’energia potencial gravitatòria és:

on g = -9,8 m/s2i on es pren el sentit positiu de Y convencional.

D’interès

Com ja sabem, els cossos deixats lliures a una certa altura per sobre del terra tendeixen a caure. També, si hi ha un forat o un pou i es deixa anar un cos sobre la boca del forat o del pou, el cos caurà. Aquests fets es poden interpretar com que els cossos tendeixen a situar-se en posicions en què l’energia potencial gravitatòria té el valor més petit possible. Evidentment, quan un cos cau sobre el terra ja no pot avançar més. En aquest cas el valor mínim possible és el d’energia potencial zero. En el cas d’un pou o d’un forat, el cos pot caure fins al punt més baix del pou i l’energia potencial gravitatòria serà negativa i la més petita possible.

També diem que quan el cos es troba en un estat d’energia potencial mínima, el cos està en equilibri estable. En el cas de la força pes, correspon a la situació en què el centre de gravetat del cos (el punt on actua la força pes) es troba en la posició més baixa possible.

Expliquem-ho

És bo explicar als alumnes que quan calculem l’energia potencial elàstica d’una molla (fig. 4) en el llibre de text, el que calculem és el treball de la força elàstica aplicada a l’extrem lliure de la molla. Aquesta força és oposada a la força externa aplicada per deformar la molla. Fixem-nos

que la força elàstica que actua a l’altre extrem de la molla, és a dir, a l’extrem que està subjecte a la paret i que és oposada a la força de contacte que fa la paret sobre la molla no fa treball

perquè el seu punt d’aplicació no es desplaça. Per tant, la força elàstica a l’extrem fix és necessària per poder deformar la molla, però no realitza treball i no la tenim en compte en el càlcul de l’energia potencial elàstica.

És important remarcar que l’origen de l’energia potencial no és arbitrari. Això s’explica perquè la força elàstica no és una força constant com el pes ni una força que depèn de la posició, sinó que és una força que depèn del desplaçament de l’extrem lliure de la molla. Com ja sabem, definim la variació de l’energia potencial a partir del treball amb el signe canviat; alhora, el treball depèn del desplaçament. Per tant, podem canviar l’origen de coordenades de la direcció longitudinal de la molla, ja sigui l’eix X o bé l’eix Y, però no podem fixar arbitràriament un desplaçament zero en aquesta direcció.

sempre és positiva.

S’interpreta com que tant si la molla està comprimida com si està estirada, té capacitat de fer treball perquè sempre tendeix a recuperar la seva longitud natural i, en fer-ho, pot comunicar energia cinètica a un cos d’una massa determinada que estigui unit a l’extrem lliure de la molla. Veurem en la propera unitat que l’expressió de l’energia potencial elàstica que hem deduït correspon a la del treball realitzat en un procés reversible, en què la força aplicada és exactament igual a la força elàstica.

Errors freqüents

De vegades els alumnes no comprenen del tot l’expressió de l’energia potencial elàstica i pensen que únicament és aplicable en situacions en què la molla és en la direcció horitzontal. En cas que la molla estigui col·locada en la direcció perpendicular al terra, hem d’utilitzar l’expressió següent:

Un altre error freqüent és no considerar el sistema cos-molla com un tot. Recordem que sempre suposem que la massa de la molla és negligible respecte de la del cos a què està unida i que, així, la massa del conjunt molla-cos és la massa del cos.

Tampoc no s’ha de caure en l’error de pensar que podem canviar l’origen de l’energia potencial elàstica arbitràriament com passa en el cas de l’energia potencial gravitatòria. L’origen de l’energia potencial elàstica sempre s’ha de prendre en la situació en què la molla no està deformada.

5.7 Energia mecànica

Expliquem-ho

En aquest breu apartat fi nal definim l’energia mecànica d’un cos com la suma de les seves energies cinètica i potencials. Es tracta de preparar els alumnes per al principi de conservació de l’energia que estudiarem en la propera unitat.

lliure el cos, el treball que fa el component del pes en la direcció del pla provoca un augment d’energia cinètica en el cos, que es transforma totalment en treball de deformació de la molla i, per tant, en energia potencial elàstica, quan el cos s’atura. Podem explicar que, un cop assolida la deformació màxima, la molla tendeix a recuperar la posició d’equilibri i, per tant, el cos és impulsat de nou cap amunt pel pla inclinat. El procés s’aniria repetint i no s’aturaria mai si no hi hagués fregament. En la realitat hi ha pèrdues d’energia pel fregament tant durant el moviment del cos com durant el moviment de la molla i, al final, el cos s’atura.

Expliquem-ho

El muntatge d’aquesta pràctica és senzill i es pot dur a terme fins i tot a la mateixa aula. En ella els alumnes apliquen les fórmules de l’energia potencial i cinètica i observen experimentalment la transformació d’energia potencial gravitatòria en cinètica (i en calor degut al fregament). Per tant, es tracta també d’una experiència preparatòria per a la propera unitat dedicada a la conservació de l’energia.

Creiem interessant puntualitzar els fonaments d’aquesta pràctica. Primer, cal tenir molt clar els conceptes de treball i energia. Els alumnes ja han estudiat l’energia potencial gravitatòria i solen conèixer bé la seva expressió matemàtica. Els podem plantejar la següent qüestió:

—Com es pot veure la capacitat de fer treball que té un cos amb una determinada energia potencial gravitatòria?

Evidentment, aquesta capacitat s’observa quan deixem anar el cos. Si hi hagués un altre cos en el seu recorregut, el cos pot fer un treball sobre ell (ja que li fa una força mentre es desplaça). Si el cos té una velocitat, té energia cinètica i pot «empènyer» o deformar altres cossos. I en el cas que el cos s’aturi, la diferència entre l’energia potencial inicial i final s’ha transformat en treball de les forces de contacte (normal i fregament) entre ell i el carril o entre ell i altres cossos.

Una altra qüestió per a reflexionar és aquesta: —Qui fa el treball per «fer baixar» el cos?

Els alumnes haurien de contestar que és la força pes i que només el component tangencial d’aquesta fa treball. Això es pot discutir des del punt de vista de treball i energia, o bé des del punt de vista de forces: el component perpendicular del pes és compensat per la normal i no contribueix a «fer baixar» el cos. En qualsevol cas, sempre hi ha la força de fregament que s’oposa al lliscament del cos i que realitza un treball negatiu.

Un fet a considerar és la importància d’escollir un cos que llisqui sense rodar. En el cas que el cos rodés, a més d’energia cinètica associada al moviment de translació del seu CM, es produiria una energia cinètica de rotació entorn d’ell. Així, per exemple, si es tenen boletes o bales

(«caniques») massisses que rodolen, l’energia cinètica de rotació val: Per

tant, l’energia cinètica total és:

Pel que fa al procediment d’aquesta pràctica, tots els seus passos són fàcils de realitzar. Primer cal assegurar-se que el muntatge és ferm i el carril està ben fi xat i roman immòbil al llarg de l’experiència.

cos. Si al laboratori es tenen cronòmetres activats amb cel.les fotoelèctriques, es poden acoblar als extrems del pla inclinat.

També cal ser molt precisos en les mesures de la longitud del carril i de l’altura. I, òbviament, cal deixar anar el cos sense empènyer-lo perquè no adquireixi una velocitat inicial i perquè no xoqui amb les parets laterals del carril. Si hi ha temps, es pot repetir la pràctica utilitzant carrils de diferents materials, per tal d’avaluar quin presenta més fregament.

Creiem interessant unes reflexions a l’hora d’analitzar els resultats. En primer lloc, caldria que els alumnes busquessin els valors dels errors instrumentals (de la balança, la cinta mètrica i el cronòmetre) i dels errors de mesura i que expressessin els resultats amb les corresponents xifres significatives.

A la qüestió 1 demanem als alumnes que dedueixin l’expressió que relaciona el desplaçament sobre el carril amb el temps de baixada i la velocitat final: v = 2 x/t. Els alumnes no haurien de tenir cap problema en deduir aquesta expressió aïllant l’acceleració de l’equació de la velocitat del MRUA i introduint-la en l’equació del moviment. Podem recordar-los que, en el MRUA que es parteix del repòs, l’expressió de la distància recorreguda pel cos és equivalent a la del MRU prenent com a velocitat el valor mitjà entre zero i la velocitat fi nal:

Pel que fa a la qüestió 2, evidentment quan s’augmenta la inclinació del pla el cos té una altura inicial més gran i, per tant, augmenta la velocitat del cos en arribar a l’extrem fi nal del carril. Se’ls pot fer buscar la representació gràfica de l’altura inicial enfront la velocitat final. El gràfic obtingut és semblant a una paràbola.

Una variant a la qüestió 3 és fer representar als alumnes el gràfic de l’ altura enfront el quadrat de la velocitat. Aleshores, la dependència és lineal.