MODELAMIENTO DE REACTORES DE LECHO FIJO
Luis Carrasco Venegas1 Luz Castañeda Perez2
1: Docente Principal de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao
2: Docente Asociado de la Facultad de Ciencias Naturales de la Universidad Nacional Federico Villarreal
Palabras claves: reactor, lecho fijo, modelamiento, simulación
RESUMEN
Se presenta las ecuaciones de conservación de materia y energía, para reacciones “simples”, considerando los términos de difusión axial y radial, en régimen estacionario, considerando los siguientes casos:
1. Se desprecia los efectos de difusión de masa y calor, tanto en la dirección axial como en la dirección radial, por lo cual el proceso en el reactor se lleva a cabo como si fuese un sistema homogéneo (pseudo homogéneo).
2. Se desprecia los efectos de difusión de masa y calor en la dirección axial, con lo cual se obtiene un modelo que consiste de dos ecuaciones diferenciales parciales que dependen del radio y la longitud.
3. Se desprecia los efectos de difusión de masa y calor en la dirección radial.
4. No se desprecian los efectos de difusión axial ni radial. Las ecuaciones de conservación de materia y energía en este caso, conducen a la obtención de dos ecuaciones diferenciales parciales.
Finalmente, estos modelos serán aplicados a la resolución de problemas específicos, que serán presentados en los siguientes artículos.
I.- INTRODUCCION
Dentro de todos los reactores existentes en la industria, los reactores de lecho fijo son uno de los tipos de reactores más utilizados para reacciones en fase gas, catalizadas por sólidos convenientemente preparados, denominados catalizadores.
En estos reactores químicos, se llevan a cabo procesos de transporte de masa, energía y reacciones químicas, todas ellas de gran complejidad, haciendo que su diseño y/o simulación sean muy complejas. Los modelos más usados para la simulación, son los homogéneos y heterogéneos, según que se consideren o no las mismas propiedades en el fluido que en las partículas de catalizador; y unidimensionales y bidimensionales, según se tenga en cuenta la variación de las propiedades ya sea en la dirección radial o axial.
En los modelos unidimensionales podemos considerar dos casos
Como un sistema homogéneo flujo pistón, donde se considera el transporte de masa y calor solo debido al flujo y el termino de generación de masa y calor debido a la reacción química
Como un sistema heterogéneo, flujo pistón, donde el transporte de masa y calor se debe al flujo y a la difusión radial y/o axial y el término de generación de masa y calor debido a la reacción química.
El desarrollo del presente trabajo tiene gran interés no solo académico, sino también un interés aplicativo a la industria, ya que nos permite manejar de forma adecuada las condiciones de operación del reactor, para una óptima conversión de reactantes a productos, al mismo tiempo tener un control de la temperatura, pues una temperatura extrema ocasionaría la desactivación del catalizador.
Los modelos en cada caso nos permiten desarrollar lo siguiente:
- Dado el diámetro del reactor, se podrá calcular la longitud del mismo.
- Obtener los perfiles de conversión y temperatura.
- Calcular el peso del catalizador.
- Dado el flujo de materia prima, es posible calcular el número de reactores necesarios para satisfacer los requerimientos de proceso.
- Conocer la influencia de los diversos parámetros físicos, la geometría y las condiciones de operación de un reactor de lecho fijo para un proceso específico.
II.- PLANTEAMIENTO DE LOS MODELOS
Considerando el esquema de la Figura 1, se plantea y desarrolla las ecuaciones de conservación de materia y energía.
Figura 1: Esquema del reactor tubular de lecho fijo
Ecuación de conservación de materia en régimen estacionario
2 2
A A A A
er 2 eZ 2 S b A A
C 1 C C C
D D U . r( x ,T ) 0
r r z
r z
…….(1)
Ecuación de conservación de energía en régimen estacionario
2 2
er 2 ez 2 S g P g b A
T 1 T T T
k k U C ( Hr ) ( x ,T ) 0
r z z r
r r
..(2)
Estas son dos ecuaciones diferenciales parciales acopladas por la concentración y la temperatura, de los cuales se pueden obtener tres modelos diferentes, los cuales se ilustran a continuación.
1.- Despreciando los efectos de difusión axial y radial.
Balance de materia
A
S b A A
U C . r( x ,T ) 0
z
(3)
Balance de energía.
S g P g b A
U C T ( Hr ) ( x ,T ) 0
z r
(4)
A A0
C C ( 1x ) (5)
x: Conversión del reactivo limitante
Diferenciando:
A A0
dC dx
dz C dz
(6)
Reemplazando se obtiene:
b A A
A0 S
. . ( X ,T )
dX .
dz C
r .U
(7)
b A
Pg
. HR . ( X ,T )
dT r
dz G.C
(8)
g s
G U (9)
Las ecuaciones (7) y (8), resultan ser dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas (acopladas por la conversión y la temperatura), las cuales se resuelven por los métodos explícitos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, tales como Runge-Kutta, Runge-Kutta-Fehlberg u otros.
2.- Despreciando los efectos de difusión axial
2
A A A
A
er 2 S b A
C 1 C C
D U . r( x ,T ) 0
r r z
r
(10)
2
er 2 S g P g b A
T 1 T T
k U C ( Hr ) r( x ,T) 0
r r z
r
(11)
Las ecuaciones (10) y (11), resultan ser dos ecuaciones diferenciales parciales acopladas por la concentración y la temperatura. Se resuelve por el método de Lines, que consiste transformar las ecuaciones diferenciales parciales en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, por discretizacion parcial de los términos que son funciones del radio. De esta manera, el sistema EDO, resulta ser función de z. Este sistema resulta ser un problema de valor inicial, lo cual se resuelve por los métodos explícitos antes indicados.
2
er b A
A A A A
2
S S
D . ( x ,T )
C C 1 C
z U r r r U
r
(12)
p s
M r
er
d U
Pe D
(13)
2
p b A
2
A A
M r S 0
d . ( x ,T )
x x 1 x
z Pe r r r U
r C
(14)
2
er b
2
S g P g S
A
g P g
k T ( Hr ) ( x ,T )
T 1 T
z U C r r U
r C r
(15)
p pg
Hr
er
d G C
Pe k
(16)
2
p b r
2
H r S g p g
d G . ( H ) A( x ,T )
T T 1 T
z Pe r r U C
r r
(17)
Haciendo el siguiente cambio de variables:
p b A
1 2
M r S A0
d .
Pe U C
(18)
p b r
3 4
H r S g p g
d G . ( H )
Pe U C
(19)
Con la ayuda de las ecuaciones (18) y (19), las ecuaciones (14) y (17), se convierten en:
2
1 2 2 A
x x 1 x
. ( x ,T )
z r r r
r (20)
2
3 2 4. A
T T 1 T
( x ,T )
z r r
r r
(21)
Las ecuaciones (20) y (21) deben ser resueltas por el método de Lines, para todos los puntos.
En el eje del tubo (r=0), las ecuaciones anteriores, se hacen indeterminadas, pero con la ayuda del Teorema de Hospital, se levanta dicha indeterminación.
Para r=0 (i=0)
2
r 0 2
1 x x
lim r r r
2
r 0 2
1 T T
lim r r r
Las ecuaciones (20) y (21), se transforman en:
2
1 2 2 rA
x x
2 . ( x ,T )
z r
(22)
2
3 2 4. Ar
T T
2 ( x ,T )
z r
(23)
Discretizando las ecuaciones (22) y (23)
i i 1 i i 1
1 2 2 A i i
x x 2 x x
2 r x ,T
z r
(24)
i i 1 i i 1
3 2 4 A i i
T T 2T T
2 r x ,T
z r
(25)
0 1 0 1
1 2 2 A 0 0
x x 2 x x
2 r x ,T
z r
(26)
0 1 0 1
3 2 4 A 0 0
T T 2T T
2 r x ,T
z r
(27)
Las ecuaciones (26) y (27) se aplica en el eje del tubo y para cualquier valor de z, es decir a todo lo largo del tubo.
Para r ≠0 (i=1,2,3,4,5)
Se discretizan las ecuaciones (20) y (21)
i i 1 i i 1 i i 1
1 2 2 A i i
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r i r r
(28)
i i 1 i i 1 i i 1
3 2 4 A i i
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r i r r
(29)
Se expanden las ecuaciones (28) y (29) i=1
2 1 0 1 0
1
1 2 2 A 1 1
x 2 x x x x
x 1
2 r x ,T
z r 1 r r
(30)
2 1 0 1 0
1
3 2 4 A 1 1
T 2T T T T
T 1
2 r x ,T
z r 1 r r
(31) i=2
3 2 1
2 2 1
1 2 2 A 2 2
x 2 x x
x 1 x x
2 r x ,T
z r 2 r r
(32)
3 2 1
2 2 1
3 2 4 A 2 2
T 2T T
T 1 T T
2 r x ,T
z r 2 r r
(33) i=3
3 4 3 2 3 2
1 2 2 A 3 3
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 3 r r
(34)
3 4 3 2 3 2
3 2 4 A 3 3
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 3 r r
(35) i=4
5 4 3 4 3
4
1 2 2 A 4 4
x 2 x x x x
x 1
2 r x ,T
z r 4 r r
(36)
5 4 3 4 3
4
3 2 4 A 4 4
T 2T T T T
T 1
2 r x ,T
z r 4 r r
(37) i=5
5 6 5 4 5 4
1 2 2 A 5 5
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 5 r r
(38)
5 6 5 4 5 4
3 2 4 A 5 5
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 5 r r
(39)
i=6
6 7 6 5 6 5
1 2 2 A 6 6
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 6 r r
(40)
6 7 6 5 6 5
3 2 4 A 6 6
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 6 r r
(41) i=7
8 7 6 7 6
7
1 2 2 A 7 7
x 2 x x x x
x 1
2 r x ,T
z r 7 r r
(42)
8 7 6 7 6
7
3 2 4 A 7 7
T 2T T T T
T 1
2 r x ,T
z r 7 r r
(43) i=8
8 9 8 7 8 7
1 2 2 A 8 8
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 8 r r
(44)
8 9 8 7 8 7
3 2 4 A 8 8
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 8 r r
(45) i=9
9 10 9 8 9 8
1 2 2 A 9 9
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 9 r r
(46)
9 10 9 8 9 8
3 2 4 A 9 9
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 9 r r
(47) i=10
10 11 10 9 10 9
1 2 2 A 10 10
x x 2 x x 1 x x
2 r x ,T
z r 10 r r
(48)
10 11 10 9 10 9
3 2 4 A 10 10
T T 2T T 1 T T
2 r x ,T
z r 10 r r
(49)
Condiciones de Frontera:
Para el balance de materia:
A
i i 1 1 0
C x
r 0 0 o 0 x x , Si i 0 x x
r r
A
i 1 i 11 10
C x
r R 0 o 0 x x , Si i 10 x x
r r
Para el Balance de Energía:
i i 1 1 0
r 0 o T 0 T T , Si i 0 T T
r
i 1 i
w w i w
T T
T T h h
r R k h T T T T , T T
r r k r k
w w
R h i r h r h Bi
Bi i 10
k k k 10
w w
11 10 w
Bi Bi
T 1 T T
10 10
3.- Despreciando los efectos de difusión radial
2
A A
eZ 2 S b A A
C C
D U . ( x ,T ) 0
z r
z
(50)
p s
M z
e z
d U
Pe D
(51)
2
M z A b M z A
2
p A A
s p
Pe . Pe ( x ,T )
C C
r 0
d z U d
z
(52)
2 2
A A
A A0 A 0 2 A 0 2
dC dx d C d x
C C ( 1 X ) C C
dz dz dz dz
2 M z b M z A
2
p s p A0
Pe . Pe A( x ,T )
x x
d z U d C 0
z
r
(53)
2
ez 2 S g P g b A
T T
k U C ( Hr ) ( x ,T ) 0
z z r
(54)
p p g
Hz
e z
d G C
Pe k
(55)
2 H z b H z
2
p pg
A p
Pe Pe ( Hr ) ( x ,T )
T T
d z d G C 0
z
r
(56)
Haciendo el siguiente cambio de variables
M z 1
p
Pe d
b A M z
2
S p A0
. Pe
U d C
(57)
H z 3
p
Pe d
b r H z
4
p p g
. ( H ) Pe
d G C
(58)
2
1 2
2 A
x x
( x ,T ) 0
z r
z
(59)
2
3 4
2 A
T T
( x ,T ) 0
z r
z
(60)
Con las condiciones de frontera
z 0 x 0 y T Tent
i 1 i i 1 i
dx dT
z L 0 y 0 x x T T
dz dz
Discretizando las ecuaciones (59) y (60)
i 1 i i 1 i i 1
1 2 i i
2
x 2 x x x x
r( x ,T ) z z
(61)
i 1 i i 1 i i 1
3 4 i i
2
T 2T T T T
r( x ,T ) z
z
(62)
Las ecuaciones (61) y (62) resultan ser dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas por la conversión y la temperatura. Es un sistema de valor en la frontera, el cual se resuelve por el método de diferencias finitas o por el método de disparo lineal.
4.- No se desprecian los efectos de difusión axial ni radial.
En este caso se resuelve simultáneamente las ecuaciones de balance de masa y energía dadas por las ecuaciones (1) y (2), las cuales al modificarlas, resultan ser las siguientes:
2 2
M r M r b M r A
A A A A
2 2
M z p s
A p
Pe Pe .Pe ( x ,T )
C 1 C C C
r r Pe d z d 0
r
r z U
(63)
2 2
H r H r b H r
2 2
H z p p p g
Pe Pe Pe ( Hr ) A( x ,T )
T 1 T T T
r r Pe d z d G C 0
r z
r
..(64)
Las ecuaciones (63) y (64) son ecuaciones diferenciales parciales acopladas por la concentración y la temperatura. También es un sistema de valor en la frontera, que se resuelve por el método de diferencias finitas explicitas o implícitas o por el método de Cranck-Nicholson.
