Ejercicios resueltos. Bloque II. Aproximación Numérica. Tema 2. Integración Numérica. Solución

(1)

Bloque II. Aproximación Numérica Tema 2 Integración Numérica Ejercicios resueltos

II.2

-1

Aproxima el valor de las siguientes integrales definidas por los mét odos del rectángul o, del punt o medi o, del trapecio y de Simpson, t omando para todos los casos el mismo valor de h = 0.1. Calcula el error que se comete en cada caso en relación con el valor exacto que se proporciona.

2 2

) 30 8

a



x dx  ^b)



0¹^e^xdx 1.71828

 

1 2 3 4

) 1 2 5 3.3333

c x x x x dx

    



2³

) 0.8284271

d 1dx

x 





2 1 2

2 1

) x 1.09861

e dx

x x

 



_^ ^



0¹ ²

) 1 0.785398

f 1 dx

x 





Solución

2 2

) 30 8

a



x dx  ^{b a}^{ }^nh ^{ }² ^0.1ⁿ ^ⁿ ^²⁰

Rectángulo: ^{ } ¹

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









       

2 2 2 2 2 2

0 3x dx 0.1 3 0 3 0.1  3 1.8 3 1.9  7.41



^

8 7.41 0.59

ERROR   

Punto medio: ^{ } ¹ ₀

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  





  



       

2 2 2 2 2 2

0 3x dx 0.1 3 0.05 3 0.15  3 1.85 3 1.95  7.995



^

8 7.995 0.005

ERROR   

Trapecio: ^{ }



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximación Numérica. Tema 2. Integración Numérica MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

(2)

           

2 2 2 2 2 2 2 2

0

3 0.1 3 0 3 2 0.1 3 0.1 3 0.2 3 1.8 3 1.9 8.01

x dx  2          



^

8 8.01 0.01

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









           

       

2 2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 2

0.1 0.2

3 3 0 3 2 3 0.2 3 0.4 3 1.6 3 1.8

3 3

0.4 3 0.1 3 0.3 3 1.7 3 1.9 8

3

x dx         

 

       



^



2 

8 8 0

ERROR   

1

) 0 ^x 1.71828

b



e dx  ^{b a}^{ }^nh ^{ }¹ ^0.1ⁿ ^{ }ⁿ ¹⁰

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









1 0 0.1 0.8 0.9

0e dx^x 0.1e e  e e  1.6337994



^

1.71828 1.6337994 0.0844806

ERROR   

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  

   

 

 

1 0.05 0.15 0.85 0.95

0e dx^x 0.1e e  e e  1.717566086



^

1.71828 1.717566086 0.000713914

ERROR   



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





1 0 1 0.1 0.2 0.8 0.9

0

0.1 0.1 1.6337994

2

e dxx  e e  e e  e e  



^

1.71828 1.6337994 0.0844806

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









(3)

1 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8 0

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

0.1 0.2

3 3

0.4 1.661006721

3

e dxx e e e e e e

e e e e e

        

       



1.71828 1.661006721 0.0572733

ERROR   

 

1 2 3 4

) 1 2 5 3.3333

c x x x x dx

    



^{b a}^{ }^nh ^{ }² ^0.1ⁿ ^ⁿ ^²⁰

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









  

^{ } ^ ^ ^ ^ ^ ^



1 2 3 4

1 x 2x x 5x dx 0.1 f 1 f 0.9 f 0.8 f 0.9 3.3733

           



^

3.3733 3.3333 0.04

ERROR   

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  





  



  

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^



1 2 3 4

1 2 5 0.1 0.95 0.85 0.85 0.95

3.3133625

x x x x dx f f f f

          





^ ^

3.3333333 3.3133625 0.0199708

ERROR   



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





  

^{ } ^{ }



       

 

1 2 3 4

1

2 5 0.1 1 1

2

0.1 0.9 0.8 0.8 0.9 3.3733

x x x x dx f f

f f f f

      

       







3.3733 3.3333 0.04

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









  

^{ } ^{ }



       

 

       

 

1 2 3 4

1

2 5 0.1 1 1

3

0.2 0.8 0.6 0.6 0.8

3

0.4 0.9 0.7 0.7 0.9 3.333466667

3

x x x x dx f f

f f f f

       

       

       





(4)

3.333466667 3.333333333 0.000133334

ERROR   

3 2

) 0.8284271

d 1dx

x 



 ^{b a}^{ }^nh ^{ }¹ ^0.1ⁿ ^{ }ⁿ ¹⁰ Rectángulo: ^{ } ¹

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









       

 

3 2

1 0.1 2 2.1 2.8 2.9 0.843340902

1dx f f f f

x      



 ^

0.843340902 0.828427 0.014913902

ERROR   

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  





  



       

 

3 2

1 0.1 2.05 2.15 2.85 2.95

1

0.828292655

dx f f f f

x     







^ ^

0.828292655 0.828427 0.000134345

ERROR   



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





   

 

       

 

3 2

1 0.1

2 3

1 2

0.1 2.1 2.2 2.8 2.9 0.828696241

dx f f

x

f f f f

  



     





0.828696241 0.88427 0.000269241

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









   

 

       

 

         

 

3 2

1 0.1

2 3

1 3

0.2 2.2 2.4 2.6 2.8

3

0.4 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 0.828428056

3

dx f f

x

f f f f

f f f f f

  



    

     



0.828428056 0.828427 0.00000105593

ERROR   

(5)

2 1 2

2 1

) x 1.09861

e dx

x x

 



 ^{b a}^{ }^nh ^{ }¹ ^0.1ⁿ ^ⁿ ^¹⁰ Rectángulo: ^{ } ¹

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









       

 

2 1 2

2 1

0.1 1 1.1 1.8 1.9 1.132685544

x dx f f f f

x x

      



 ^

1.132685544 1.09861 0.034075544

ERROR   

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  

   

 

 

       

 

2 1 2

2 1

0.1 1.05 1.15 1.85 1.95

1.098242635

x dx f f f f

x x

     

 



^ ^

1.098242635 1.09861 0.000367365

ERROR   



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





   

 

       

 

2 1 2

2 1 0.1

1 2

2

0.1 1.1 1.2 1.8 1.9 1.09935221

x dx f f

x x

f f f f

   



     





1.09935221 1.09861 0.00074221

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









   

 

       

 

         

 

2 1 2

2 1 0.1

1 2

3

0.2 1.2 1.4 1.6 1.8

3

0.4 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 1.098615505 3

x dx f f

x x

f f f f

f f f f f

   



    

     



1.098615505 1.09861 0.00000550486

ERROR   

(6)

1 0 2

) 1 0.785398

f 1 dx

x 



 ^{b a}^{ }^nh ^{ }¹ ^0.1ⁿ ^ⁿ ^¹⁰ Rectángulo: ^{ } ¹

 

0 b n

a i

i

f x dx h ^ f x









       

 

1 0 2

1 0.1 0 0.1 0.8 0.9 0.809981497

1 dx f f f f

x      



 ^

0.809981497 0.785398 0.024583497

ERROR   

0

2 1 2

b n

a i

f x dx h ^ f x i h



  

   

 

 

       

 

1 0 2

1 0.1 0.05 0.15 0.85 0.95

1

0.785606496

dx f f f f

x     

 





^

0.785606496 0.785398 0.000208496

ERROR   



^{ }  



¹

 

2 1 b n

a i

i

f x dx h f a f b h ^ f x



  





   

 

       

 

1 0 2

1 0.1

0 1

1 2

0.1 0.1 0.2 0.8 0.9 0.784981497

dx f f

x

f f f f

  



     





0.784981497 0.785398 0.000416503

ERROR   

Simpson: ^{ }



^{ }  



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









   

 

       

 

         

 

1 0 2

1 0.1

0 1

1 3

0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

3

0.4 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.785398153 3

dx f f

x

f f f f

f f f f f

  



    

     



0.785398153 0.785398 0.000000153485

ERROR   

(7)

II.2

-2

Calcula el área de la región li mitada po r las sigui entes gráficas utilizando el método de Simpson con h = 0.01 para obtener la integral definida correspondiente.

) 1

0 ( )

0 1 a y x

y EJE OX

x x

  

 

 

 

) 2 1

0 ( )

1 2 b y x

y EJE OX

x x

  

 

 

 

Solución

) 1

0 ( )

0 1 a y x

y EJE OX

x x

  

 

 

 

3

 

1

0 1

A 



x  dx ₂

1 0.01 100

b a nh   n n 

Simpson:

 



   



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









 



   



       

 

       

 

1 0

1 0.01 0 1

3

0.02 0.02 0.04 0.96 0.98

3

0.04 0.01 0.03 0.97 0.99 1.5

3

x dx f f

f f f f

   

    









-2 -1 1 2 3 4

-2 -1

  1

y x 1 y0



x 0 x1

(8)

) 2 1

0 ( )

1 2 b y x

y EJE OX x

x

  

 

 

 

 

2 2

1 1

A 



x  dx

1 0.01 100

b a nh   n  n

Simpson:

 



   



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









  

^{ } ^{ }



       

 

       

 

2 2

1

1 0.01 1 2

3

0.02 1.02 1.04 1.96 1.98

3

0.04 1.01 1.03 1.97 1.99 3.333333333 3

x dx f f

f f f f

   

     

     





II.2

-3

Calcula el volumen del sólido de rev olución generado al girar alrededor del eje OX las siguientes gráficas. Utiliza el método de Simpson con h = 0.1 para obtener la integral definida correspondiente.

) 1 2

1 1

a y x

x x

  

  

 

1 2

) 2

2 1 2

b y x x

y x

   



 

Solución ) 1 2

1 1

a y x

x x

  

  

 

 

1 1 2 2

V 



1 x dx

-3 -2 -1 1 2 3

-1 1 2 3 4 5

  y x² 1



 x 1 y 0

 x 2

(9)

-1 1

1

y 1 x²

 

x 1 x1

2 0.1 20

b a nh   n  n

Simpson:

 



   



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









  

^{ } ^{ }



       

 

       

 

1 2 2

1

1 0.1 1 1

3

0.2 0.8 0.6 0.6 0.8

3

0.4 0.9 0.7 0.7 0.9 1.066693333

3

x dx f f

f f f f

     

       

       





1.066693333

V  

1 2

) 2

2 1 2

b y x x

y x

   



 

1 2 3 4

-0.5 0.5 1 1.5

2

   y 1 x

²

2 x

2

 y 1 x

2 Puntos de corte:

 

 x    x            ,

x x x x x x x x x

2 2 2 4 2 3 0 3 0 0 3

2 2

Se calcula el volumen generado por la gráfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volume n generado po r la gr áfica de abajo (volumen del agujero):

2 2

2 4

3 3 3 3 2

0 0 0

3 4 3 2

0

2 2 4

2 15

4 4

x x x

V x dx dx x x dx dx

x x x dx

   



     

             

 

    

 

   



3 2

0 4

x 

(10)

3 0.1 30 b a nh   n  n Simpson:

 



   



¹

 

2



2



1 1

2 4

3 3 3

n n

b

i i

a i i

h h h

f x dx f a f b ^ f x f x _₁

 

  









   

 

       

 

       

 

3 4 3 2

0

15 0.1

2 3 0

4 4 3

0.2 0.2 0.4 2.6 2.8

3

0.4 0.1 0.3 2.7 2.9 5.40001

3

x x x dx f f

f f f f

      

 

 

     

     





5.40001

V  