Criterio de Sylvester

Criterio de Sylvester

Objetivos. Aprender a aplicar el criterio de Sylvester para analizar cu´ando una forma cuadr´atica es positiva definida, usando los menores principales de su matriz asociada.

Tambi´en determinar cu´ando una forma cuadr´atica es negativa definida, positiva semi- definida, negativa semidefinida y no definida. Aplicar estos criterios a varios ejemplos num´ericos.

Requisitos. La matriz de una forma cuadr´atica, el m´etodo matricial de diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas, experiencia en el c´alculo de determinantes y menores.

1. Definici´on (menores principales de una matriz cuadrada). Sean A ∈ Mn(R), k ∈ {1, . . . , n}, 1 ≤ i₁ < i₂ < . . . < i_k ≤ n. El menor principal de A ubicado en los renglones y columnas con ´ındices i₁, . . . , i_k se define mediante la siguiente f´ormula:

δ_i1,...,ik(A) := M_A i₁, . . . , i_k i1, . . . , ik



= det A{i₁,...,ik},{i₁,...,ik}
. El n´umero k se denomina el orden o tama˜no de menor.

2. Ejemplo. Consideremos una matriz cuadrada A de orden 5 con entradas diagonales (A ∈ M₅(R)). Escribamos el menor principal de A ubicado en la intersecci´on de los renglones 2, 4, 5 con las columnas 2, 4, 5. Indiquemos en la matriz A las entradas que forman este menor:

A =













A_1,1 A_1,2 A_1,3 A_1,4 A_1,5 A_2,1 A_2,2 A_2,3 A_2,4 A_2,5 A_3,1 A_3,2 A_3,3 A_3,4 A_3,5 A_4,1 A_4,2 A_4,3 A_4,4 A_4,5 A_5,1 A_5,2 A_5,3 A_5,4 A_5,5













, δ_2,4,5(A) =      

A_2,2 A_2,4 A_2,5 A_4,2 A_4,4 A_4,5 A_5,2 A_5,4 A_5,5

      .

3. Definici´on (menores principales l´ıderes de una matriz cuadrada). Sean A ∈ M_n(R), k ∈ {1, . . . , n}. El menor de esquina o sea el menor principal l´ıder de k-´esimo orden de A se define como el menor principal que est´a en la intersecci´on de los primeros k renglones y las primeras k columnas de la matriz A:

∆_k(A) = δ_1,...,k(A) = det A{1,...,k},{1,...,k}
.

4. Observaci´on. Una matriz cuadrada de orden n tiene n menores de esquina de ´ordenes 1, . . . , n. El n´umero de menores principales de orden k es ⁿ_k
. El n´umero total de menores principales de ´ordenes 1, . . . , n es 2ⁿ − 1. Es c´omodo pensar que el conjunto vac´ıo de

´ındices corresponde al menor vac´ıo cuyo valor es 1: ∆₀(A) = δ_∅(A) = 1.

5. Ejemplo. Calculemos los menores principales y, en particular, los menores de esquina, de la matriz

A =





2 −7 1

5 4 8

−1 3 6



. Los menores de esquina son

∆1(A) = 2, ∆2(A) =    

2 −7

5 4

= 43, ∆3(A) = det(A) = 285.

Los menores principales son

δ₁(A) = 2, δ₂(A) = 4, δ₃(A) = 6,

δ_1,2(A) =    

2 −7

5 4

= 43, δ_1,3(A) =    

2 1

−1 6    

= 13, δ_2,3(A) =    

4 8 3 6

= 0, δ_1,2,3(A) = det(A) = 285.

Criterio de Sylvester para que q > 0

6. Teorema (criterio de Sylvester para que una forma cuadr´atica sea positiva definida). Sean V un espacio vectorial real de dimensi´on n, q ∈ Q(V ), B una base de V . Denotamos por q a la matriz asociada a la forma cuadr´atica q respecto a la base B.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) q > 0, esto es, q(x) > 0 para todo x ∈ V \ {0}.

(b) todos los menores principales de q_B son positivos:

∀I ⊆ {1, . . . , n} δ_I(qB) > 0.

(c) todos los menores de esquina de la matriz qB son positivos: para todo k ∈ {1, . . . , n},

∆k(qB) > 0.

Idea de la demostraci´on. Las demostraciones est´an escritas en otro archivo; aqu´ı sola- mente indicamos las ideas. La demostraci´on de la implicaci´on (a)⇒(b) est´a basada en dos lemas. El primer lema dice que si una forma cuadr´atica es positive definida, entonces el determinante de su matriz asociada es positivo. El segundo lema dice que la matriz aso- ciada a la forma cuadr´atica restringida al subespacio generado por los primeros k vectores de la base es la submatriz k × k ubicada en la esquina de la matriz asociada original.

La implicaci´on (b)⇒(c) es trivial, pues todo menor de esquina es un menor principal.

La demostraci´on de la implicaci´on (c)⇒(a) utiliza el m´etodo de Jacobi (o sea el m´etodo matricial) de diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas.

Criterios para que q < 0, q ≥ 0, q ≤ 0, q ≷ 0

En todas las proposiciones que siguen se supone que V es un espacio vectorial real de dimensi´on finita n (n ≥ 1), B es una base de V .

7. Proposici´on (criterio para que q < 0). Sea q ∈ Q(V ). Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) q < 0, esto es, q(x) < 0 para todo x ∈ V \ {0}.

(b) en la matriz qB todos los menores de esquina de ´ordenes impares son negativos y todos los menores de esquina de ´ordenes pares son positivos:

∀k ∈ {1, . . . , n} sgn(∆_k(qB)) = (−1)^k.

(c) en la matriz qB todos los menores principales de ´ordenes impares son negativos y todos los menores de esquina de ´ordenes pares son positivos:

∀I ⊆ {1, . . . , n} sgn(δ_I(q_B)) = (−1)^|I|.

Idea de la demostraci´on. Aplicar el teorema anterior a la forma cuadr´atica −q.

8. Nota. En una matriz cuadrada de ´orden 3 los menores principales de ´ordenes impares son δ₁, δ₂, δ₃, δ_1,2,3, y los menores principales de ´ordenes pares son δ_1,2, δ_1,3, δ_2,3.

9. Proposici´on (criterio para que q ≥ 0). Sea q ∈ Q(V ). Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) q ≥ 0, esto es, q(x) ≥ 0 para todo x ∈ V .

(b) todos los menores principales de la matriz q_B son no negativos:

∀I ⊆ {1, . . . , n} δ_I(qB) ≥ 0.

Idea de la demostraci´on. Todos los menores principales de la matriz qB son no negativos si y s´olo si todos los menores principales de la matriz q_E + δI_n son positivos para δ > 0.

Aplicar el criterio de Sylvestre a qB + δI_n y pasar al l´ımite cuando δ → 0.

10. Ejercicio (q ≤ 0). Enuncie el criterio para que q ≤ 0.

11. Proposici´on (criterio para que q ≷ 0). Sea q ∈ Q(V ). Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) q ≷ 0, esto es, existen vectores x, y ∈ V tales que q(x) > 0, q(y) < 0.

(b) se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

(i) en la matriz qB por lo menos uno de los menores de ´ordenes pares es negativo;

(ii) en la matriz qB entre los menores de los ´ordenes impares hay menores de signos diferentes (uno positivo y otro negativo).

Idea de la demostraci´on. La afirmaci´on q ≷ 0 significa que q 6≥ 0 y q 6≤ 0.

Ejemplos

12. Ejemplo. La forma cuadr´atica q est´a dada por su matriz qE en la base can´onica E . Calcular todos los menores principales de la matriz q_E. Usando los criterios de Sylvester determinar cu´al de las siguientes opciones tiene caso: q > 0, q < 0, q = 0, q 5 0, q ≷ 0.

Para la comprobaci´on diagonalizar q (sin calcular la matriz de cambio) y calcular sus

´ındices de inercia.

qE =





1 −3 −1

−3 12 6

−1 6 4



.

Soluci´on. Calculamos los menores de esquina de la matriz qE:

∆₁ = 1, ∆₂ =    

1 −3

−3 12    

= 3, ∆₃ =      

1 −3 −1

−3 12 6

−1 6 4

= 0.

Las condiciones de los casos q > 0 y q < 0 no se cumplen. Como uno de los menores principales de orden impar es positivo (∆₁ = 1 > 0), podemos rechazar la opci´on q 5 0.

Se quedan dos opciones: q = 0 o q ≷ 0, y hasta ahora no tenemos suficiente informaci´on para elegir una de ellas. Hay que calcular no s´olo los menores de esquina (en otras palabras, los menores principales l´ıderes), sino todos los menores principales de la matriz qE.

∆₁ = δ₁ = 1, δ₂ = 12, δ₃ = 4,

∆2 = δ1,2 = 3, δ1,3 = 3, δ2,3 = 12,

∆₃ = δ_1,2,3 = 0.

Todos los menores principales son no negativos y algunos de ellos son nulos.

Respuesta: q = 0 (q es degenerada no negativa, esto es, pseudopositiva).

Para la comprobaci´on diagonalicemos la forma q y calculemos sus ´ındices de inercia:

q(x) = x²₁+ 12x²₂+ 4x³₃− 6x₁x₂ − 2x₁x₃+ 12x₂x₃

= (x₁− 3x₂ − x₃)²+ 3x²₂+ 3x²₃+ 6x₂x₃

= (x₁− 3x₂ − x₃)²+ 3(x₂+ x₃)²

= y₁²+ 3y₂².

De all´ı r₊(q) = 2, r−(q) = 0, por eso q = 0.

13. Ejemplo.

q_E =





0 1 3 1 0 2 3 2 0



.

Soluci´on. Menores de esquina de la matriz qE:

∆₁ = 0, ∆₂ = 0 1 1 0



= −1, ∆₃ =





0 1 3 1 0 2 3 2 0



= 12.

En este ejemplo es suficiente s´olo calcular los menores de esquina. Ya sabemos que entre los menores principales de ´ordenes pares hay menores negativos (∆₂ = −1 < 0), por eso son imposibles los casos q ≥ 0 ni q ≤ 0.

Respuesta: q ≷ 0 (q es indefinida).

Para la comprobaci´on diagonalicemos la forma q (esta vez usemos el m´etodo matricial) y calculemos sus ´ındices de inercia.





0 1 3 1 0 2 3 2 0





C1+= C2

−−−−−→

R1+= R2





2 1 5 1 0 2 5 2 0





C2+= −¹₂C1

C3+= −⁵₂C1

−−−−−−−→

R2+= −¹₂R1

R3+= −⁵₂R1







2 0 0

0 −¹₂ −¹₂ 0 −¹₂ −²⁵₂







C3+= −C2

−−−−−−→

R3+= −R2







2 0 0

0 −¹₂ 0

0 0 −12





.

De all´ı r₊(q) = 1, r−(q) = 2, q ≷ 0.

14. Ejemplo.

q_E =





−1 2 1

2 −6 −4 1 −4 −3



.

Soluci´on. Primero calculemos los menores de esquina:

∆₁ = −1 < 0, ∆₂ = 2 > 0, ∆₃ = 0.

Como ∆₁ < 0, podemos dejar el caso q ≥ 0. Como ∆₃ = 0, no se cumplen las condiciones para q < 0. Pero se quedan dos casos posibles: q 5 0 y q ≷ 0. Hay que calcular todos los menores principales.

δ₁ = ∆₁ = −1 < 0, δ₂ = −6 < 0, δ₃ = −3 < 0, δ_1,2 = ∆₂ = 2 > 0, δ_1,3 = 2 > 0, δ_2,3 = 2 > 0, δ_1,2,3= ∆₃ = 0.

Todos los menores principales de ´ordenes impares son ≤ 0, y todos los menores principales de ´ordenes pares (de ´orden 2) son ≥ 0. Por uno de los teoremas, q ≤ 0. Como ya sabemos que q ≮ 0, concluimos que q 5 0.

Respuesta: q 5 0 (q es degenerada no positiva).

Para la comprobaci´on diagonalicemos la forma q y calculemos sus ´ındices de inercia.

q(x) = −x²₁ − 6x²₂− 3x²₃+ 4x₁x₂+ 2x₁x₃− 8x₂x₃

= −(x₁− 2x₂− x₃)²− 2x²₂− 2x²₃− 4x₂x₃

= −(x₁− 2x₂− x₃)²− 2(x₂+ x₃)²

= −y₁²− 2y₂². De all´ı r₊(q) = 0, r−(q) = 2, q 5 0.