Derivada de una Función 2

Texto completo

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Derivada de una Función

2Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

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Índice

1 Introducción

El problema de la tangente

Tasa de variación media e instantánea Derivada de una función en un punto Derivadas laterales

Recta tangente y normal Derivabilidad y continuidad

Función derivada. Derivadas sucesivas

2 Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

3 Cálculo de Derivadas

Derivadas de funciones básicas

4 Problemas Propuestos

5 Personajes en la Historia Euler y Lagrange

6 Bibliografía

7 Créditos

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Introducción

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1| Introdu ión

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Introducción El problema de la tangente

Como introducción a este tema vamos a recordar como surge el concepto de derivada, que ya vimos en primero de bachillerato.

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Introducción El problema de la tangente

Como introducción a este tema vamos a recordar como surge el concepto de derivada, que ya vimos en primero de bachillerato.

Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

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Introducción El problema de la tangente

Como introducción a este tema vamos a recordar como surge el concepto de derivada, que ya vimos en primero de bachillerato.

Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.

El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.

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Introducción El problema de la tangente

Como introducción a este tema vamos a recordar como surge el concepto de derivada, que ya vimos en primero de bachillerato.

Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.

El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.

Hubo otros muchos problemas que llevaron al concepto de derivada. Vamos a ver a continuación como resolvieron el problema de la tangente, que en la literatura matemática viene como interpretación geométrica de la derivada.

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Introducción El problema de la tangente

Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

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Introducción El problema de la tangente

Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B

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Introducción El problema de la tangente

Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

Ahora aproximamos B hacia A

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Introducción El problema de la tangente

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h

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Introducción El problema de la tangente

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0

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Introducción El problema de la tangente

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0

La pendiente de la tangente en A

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Introducción El problema de la tangente

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x0) h

Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0

La pendiente de la tangente en A será

h→0limmAB= lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

A este límite le llamamos derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción El problema de la tangente

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Tasa de variación media

Se llamatasa de variación mediade una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente

T.V .M([a, b]) = f(b) − f (a) b− a

Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Tasa de variación media

Se llamatasa de variación mediade una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente

T.V .M([a, b]) = f(b) − f (a) b− a

Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado

Tasa de variación instantánea

Se llamatasa de variación instantáneade una función en un punto de abscisa x0 al límite siguiente

T.V .I .(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h

Como vemos la T.V.I. nos dice, punto a punto, como varía (aumenta o disminuye) la función en ese punto.

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Ejemplo

Dada la función f (x) = x2, determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x0= 1 y en el punto x0= −1 .

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Ejemplo

Dada la función f (x) = x2, determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x0= 1 y en el punto x0= −1 .

Solución.-

T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 02= 0, f (2) = 22= 4, f (−2) = (−2)2= 4, tenemos que

T.V .M([0, 2]) =f(2) − f (0) 2 − 0 =4 − 0

2 − 0 =2

T.V .M([−2, 0]) = f(0) − f (−2) 0 − (−2) =0 − 4

2 =−2

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Ejemplo

Dada la función f (x) = x2, determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x0= 1 y en el punto x0= −1 .

Solución.-

T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 02= 0, f (2) = 22= 4, f (−2) = (−2)2= 4, tenemos que

T.V .M([0, 2]) =f(2) − f (0) 2 − 0 =4 − 0

2 − 0 =2

T.V .M([−2, 0]) = f(0) − f (−2) 0 − (−2) =0 − 4

2 =−2 T.V.I. en x0= 1 y x0= −1: Como f (1 + h) = (1 + h)2= 12+ 2h + h2,

f(−1 + h) = (−1 + h)2= (−1)2− 2h + h2, f (1) = 12y f (−1) = (−1)2, tenemos que

T.V .I .(x0= 1) = lim

h→0

(12+ 2h + h2) − 12

h = lim

h→0

2h + h2

h =2

T.V .I .(x0= −1) = lim

h→0

((−1)2− 2h + h2) − (−1)2

h = lim

h→0

−2h + h2

h =−2

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Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Laderivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos comof(x0), es el límite, si existe y es finito

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h También se usa la definición equivalente

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

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Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Laderivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos comof(x0), es el límite, si existe y es finito

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h También se usa la definición equivalente

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1

x2 en x0= 1.

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Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Laderivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos comof(x0), es el límite, si existe y es finito

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h También se usa la definición equivalente

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1

x2 en x0= 1.

f(1 + h) − f (1) = 1 (1 + h)2 1

12 = −2h − h2 (1 + 2h + h2)

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0)

h = lim

h→0

−2h−h2 (1+2h+h2)

h = lim

h→0

−2 − h 1 + 2h + h2 =−2

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Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Laderivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos comof(x0), es el límite, si existe y es finito

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h También se usa la definición equivalente

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1

x2 en x0= 1.

f(1 + h) − f (1) = 1 (1 + h)2 1

12 = −2h − h2 (1 + 2h + h2)

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0)

h = lim

h→0

−2h−h2 (1+2h+h2)

h = lim

h→0

−2 − h 1 + 2h + h2 =−2

Como vemos el cálculo de derivadas aplicando la definición se hace algo "pesado". Más adelante estudiaremos una tabla de derivadas de funciones elementales, que junto con las operaciones con derivadas, nos permitirán un cálculo rápido de las mismas.

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Introducción Derivadas laterales

Hemos visto en la definición de derivada de una función en un punto que ésta es un límite (de la forma 0/0) y, por tanto, podemos hablar de derivadas laterales (límites laterales).

Derivadas laterales

La derivada por la derecha de f (x) en el punto x0se define como

f(x0+) = lim

h→0+

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0+) = lim

x →x0+

f(x) − f (x0) x− x0

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Introducción Derivadas laterales

Hemos visto en la definición de derivada de una función en un punto que ésta es un límite (de la forma 0/0) y, por tanto, podemos hablar de derivadas laterales (límites laterales).

Derivadas laterales

La derivada por la derecha de f (x) en el punto x0se define como

f(x0+) = lim

h→0+

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0+) = lim

x →x0+

f(x) − f (x0) x− x0

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

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Introducción Derivadas laterales

Hemos visto en la definición de derivada de una función en un punto que ésta es un límite (de la forma 0/0) y, por tanto, podemos hablar de derivadas laterales (límites laterales).

Derivadas laterales

La derivada por la derecha de f (x) en el punto x0se define como

f(x0+) = lim

h→0+

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0+) = lim

x →x0+

f(x) − f (x0) x− x0

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

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Introducción Derivadas laterales

Hemos visto en la definición de derivada de una función en un punto que ésta es un límite (de la forma 0/0) y, por tanto, podemos hablar de derivadas laterales (límites laterales).

Derivadas laterales

La derivada por la derecha de f (x) en el punto x0se define como

f(x0+) = lim

h→0+

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0+) = lim

x →x0+

f(x) − f (x0) x− x0

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x0) h o también

f(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x0) x− x0

Si existen las derivadas laterales en un punto, se dice que la función es derivable en ese punto.

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Introducción Derivadas laterales

Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® x− 1 si x≥ 1

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

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Introducción Derivadas laterales

Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® x− 1 si x≥ 1

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

La derivada por la derecha en x0= 1

f(1+) = lim

h→0+

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

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Introducción Derivadas laterales

Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® x− 1 si x≥ 1

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

La derivada por la derecha en x0= 1

f(1+) = lim

h→0+

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(1) = lim

h→0

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

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Introducción Derivadas laterales

Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® x− 1 si x≥ 1

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

La derivada por la derecha en x0= 1

f(1+) = lim

h→0+

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(1) = lim

h→0

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

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Introducción Derivadas laterales

Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® x− 1 si x≥ 1

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

La derivada por la derecha en x0= 1

f(1+) = lim

h→0+

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f(1) = lim

h→0

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

Como f(1+) 6= f(1), la función no es derivable en x0= 1.

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Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

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Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal

La ecuación de larecta tangentea una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en forma punto-pendiente

y− f (x0) = f(x0) · (x − x0) y larecta normalen el punto P = (x0, f (x0)) es

y− f (x0) = − 1

f(x0)· (x − x0)

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Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal

La ecuación de larecta tangentea una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en forma punto-pendiente

y− f (x0) = f(x0) · (x − x0) y larecta normalen el punto P = (x0, f (x0)) es

y− f (x0) = − 1

f(x0)· (x − x0)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1

x2 en x0= 1.

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Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal

La ecuación de larecta tangentea una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en forma punto-pendiente

y− f (x0) = f(x0) · (x − x0) y larecta normalen el punto P = (x0, f (x0)) es

y− f (x0) = − 1

f(x0)· (x − x0)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1

x2 en x0= 1.

Del ejercicio anterior sabemos que f(1) = −2 y el punto será P = (x0, f (x0)) = (1, 1) Así pues, la recta tangente será

y− 1 = −2 · (x − 1) y la normal

y− 1 = 1 2· (x − 1)

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Introducción Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Toda función f (x) derivable en un punto con derivada finita es continua en ese punto. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porque ser derivable en ese punto.

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Introducción Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Toda función f (x) derivable en un punto con derivada finita es continua en ese punto. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porque ser derivable en ese punto.

Veamos un ejemplo. Sea la función f (x) =

® x2+ x si x≤ 0

−x2+ x si x> 0 Veamos que sucede en x = 0. Es fácil ver que la función es derivable pues

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Introducción Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Toda función f (x) derivable en un punto con derivada finita es continua en ese punto. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porque ser derivable en ese punto.

Veamos un ejemplo. Sea la función f (x) =

® x2+ x si x≤ 0

−x2+ x si x> 0 Veamos que sucede en x = 0. Es fácil ver que la función es derivable pues

f(0+) = f (0) =

( f(0+) = limh→0+ f(0+h)−f (0)

h = limh→0+ h(h+1)

h = 1

f(0) = limh→0

f(0+h)−f (0)

h = limh→0 h(−h+1)

h = 1

y podemos afirmar que la función es continua en x = 0.Compruébalo

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Introducción Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Toda función f (x) derivable en un punto con derivada finita es continua en ese punto. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porque ser derivable en ese punto.

Veamos un ejemplo. Sea la función f (x) =

® x2+ x si x≤ 0

−x2+ x si x> 0 Veamos que sucede en x = 0. Es fácil ver que la función es derivable pues

f(0+) = f (0) =

( f(0+) = limh→0+ f(0+h)−f (0)

h = limh→0+ h(h+1)

h = 1

f(0) = limh→0

f(0+h)−f (0)

h = limh→0 h(−h+1)

h = 1

y podemos afirmar que la función es continua en x = 0.Compruébalo

En cambio la función f (x) =

® x2+ x si x≤ 0

−x2+ 2x si x> 0

es continua en x = 0, pero no es derivable. Compruébalo

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f(x); es decir

f: IR −→ IR x −→ y= f(x) f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f(x); es decir

f: IR −→ IR x −→ y= f(x) f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

Nota I: cuando hablamos dederivada en un puntoestamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos defunción derivadaestamos obteniendo una nueva función.

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f(x); es decir

f: IR −→ IR x −→ y= f(x) f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

Nota I: cuando hablamos dederivada en un puntoestamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos defunción derivadaestamos obteniendo una nueva función.

Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos laderivada segunda de f y lo representamos comof′′(x).

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f(x); es decir

f: IR −→ IR x −→ y= f(x) f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

Nota I: cuando hablamos dederivada en un puntoestamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos defunción derivadaestamos obteniendo una nueva función.

Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos laderivada segunda de f y lo representamos comof′′(x).

Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) = 1 x2 .

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f(x); es decir

f: IR −→ IR x −→ y= f(x) f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x) h

Nota I: cuando hablamos dederivada en un puntoestamos obteniendo un valor numérico (la pendiente), mientras que cuando hablamos defunción derivadaestamos obteniendo una nueva función.

Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos laderivada segunda de f y lo representamos comof′′(x).

Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) = 1 x2 . f(x + h) − f (x) = 1

(x + h)2 1

x2 = −2xh − h2 (x2+ 2xh + h2)x2

f(x) = lim

h→0

f(x + h) − f (x)

h = lim

h→0

−2xh−h2 (x2+2xh+h2)x2

h = lim

h→0

−2x − h

(x2+ 2h + h2)x2 = −2 x3

(55)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

(56)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

De igual forma si derivamos la segunda derivada (que es otra función) obtenemos la tercera derivada y que representamos como

îf′′(x)ó

= f′′′(x)

(57)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

De igual forma si derivamos la segunda derivada (que es otra función) obtenemos la tercera derivada y que representamos como

îf′′(x)ó

= f′′′(x) Para la cuarta derivada tenemos

îf′′′(x)ó

= fIV(x)

Observa que a partir de la cuarta derivada ponemos como superíndice un número romano; así, la quinta, sexta, etc, las representamos como

fV(x) fVI(x)

· · ·

(58)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

De igual forma si derivamos la segunda derivada (que es otra función) obtenemos la tercera derivada y que representamos como

îf′′(x)ó

= f′′′(x) Para la cuarta derivada tenemos

îf′′′(x)ó

= fIV(x)

Observa que a partir de la cuarta derivada ponemos como superíndice un número romano; así, la quinta, sexta, etc, las representamos como

fV(x) fVI(x)

· · ·

Cuando derivamos n veces hablamos de la derivada enésima y la representamos como fn(x) conconcon n∈ IN

(59)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

De igual forma si derivamos la segunda derivada (que es otra función) obtenemos la tercera derivada y que representamos como

îf′′(x)ó

= f′′′(x) Para la cuarta derivada tenemos

îf′′′(x)ó

= fIV(x)

Observa que a partir de la cuarta derivada ponemos como superíndice un número romano; así, la quinta, sexta, etc, las representamos como

fV(x) fVI(x)

· · ·

Cuando derivamos n veces hablamos de la derivada enésima y la representamos como fn(x) conconcon n∈ IN

Como ejemplo, sea la función f (x) = sin x. Tenemos como derivada sucesivas

(60)

Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Hemos visto que la función derivada es una nueva función y que por tanto podíamos derivar esta nueva función

îf(x)ó

= f′′(x) obteniendo la llamada segunda derivada.

De igual forma si derivamos la segunda derivada (que es otra función) obtenemos la tercera derivada y que representamos como

îf′′(x)ó

= f′′′(x) Para la cuarta derivada tenemos

îf′′′(x)ó

= fIV(x)

Observa que a partir de la cuarta derivada ponemos como superíndice un número romano; así, la quinta, sexta, etc, las representamos como

fV(x) fVI(x)

· · ·

Cuando derivamos n veces hablamos de la derivada enésima y la representamos como fn(x) conconcon n∈ IN

Como ejemplo, sea la función f (x) = sin x. Tenemos como derivada sucesivas

′′′

(61)

Operaciones con Derivadas

Ir a Índice

2| Opera iones

on derivadas

(62)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

(63)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones (f ± g)= f± g

(64)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

(f ± g)= f± g Derivada del producto de un número real por una función

(k · f ) = k · f

(65)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

(f ± g)= f± g Derivada del producto de un número real por una función

(k · f ) = k · f Derivada del producto de dos funciones

(f · g)= f· g + f · g

(66)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

(f ± g)= f± g Derivada del producto de un número real por una función

(k · f ) = k · f Derivada del producto de dos funciones

(f · g)= f· g + f · g Derivada del cociente de dos funciones

f

g



=f· g − f · g g2

(67)

Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

Derivadas de las operaciones con funciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

(f ± g)= f± g Derivada del producto de un número real por una función

(k · f ) = k · f Derivada del producto de dos funciones

(f · g)= f· g + f · g Derivada del cociente de dos funciones

f

g



=f· g − f · g g2 Derivada de una función de función. Regla de la cadena

[g (f )]= g(f ) · f

(68)

Cálculo de Derivadas

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3| Cál ulo de

derivadas

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