Derivada de una Función 2

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Derivada de una Función

2^◦Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

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Índice

1 Introducción

El problema de la tangente

Tasa de variación media e instantánea Derivada de una función en un punto Derivadas laterales

Recta tangente y normal Derivabilidad y continuidad

Función derivada. Derivadas sucesivas

2 Operaciones con Derivadas Operaciones. Regla de la cadena

3 Cálculo de Derivadas

Derivadas de funciones básicas

4 Problemas Propuestos

5 Personajes en la Historia Euler y Lagrange

6 Bibliografía

7 Créditos

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Introducción

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1| Introdu ión

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Introducción El problema de la tangente

Como introducción a este tema vamos a recordar como surge el concepto de derivada, que ya vimos en primero de bachillerato.

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Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar la recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con la óptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la misma para poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente era más "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

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Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.

El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.

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Otro problema, que no parece tener relación con el anterior, es el cálculo de máximos y mínimos.

El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficie mínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuya solución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos al final del tema.

Hubo otros muchos problemas que llevaron al concepto de derivada. Vamos a ver a continuación como resolvieron el problema de la tangente, que en la literatura matemática viene como interpretación geométrica de la derivada.

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Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

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Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B

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Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

Para ello, partimos de la recta secante que pasa por los puntos A y B De la trigonometría sabemos que

mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

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mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

Ahora aproximamos B hacia A

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mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

Ahora aproximamos B hacia A Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h

(13)

mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

más pequeño se hace h Estamos haciendo que h → 0

(14)

mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

La pendiente de la tangente en A

(15)

mAB=f(x0+ h) − f (x⁰) h

La pendiente de la tangente en A será

h→0limmAB= lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

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A este límite le llamamos derivada de f (x) en x = x0

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(17)

Veamos la secuencia completa

Derivada de f (x) en x = x0

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(18)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(19)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(20)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(21)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(22)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

(23)

Veamos la secuencia completa

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

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Introducción Tasa de variación media e instantánea

Tasa de variación media

Se llamatasa de variación mediade una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente

T.V .M([a, b]) = f(b) − f (a) b− a

Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado

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Tasa de variación media

Se llamatasa de variación mediade una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente

T.V .M([a, b]) = f(b) − f (a) b− a

Como vemos la T.V.M. mide el aumento o disminución de la función en el intervalo considerado

Tasa de variación instantánea

Se llamatasa de variación instantáneade una función en un punto de abscisa x0 al límite siguiente

T.V .I .(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h

Como vemos la T.V.I. nos dice, punto a punto, como varía (aumenta o disminuye) la función en ese punto.

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Ejemplo

Dada la función f (x) = x², determina la T.V.M. en el intervalo [0, 2] y en el intervalo [−2, 0], y la T.V.I. en el punto x⁰= 1 y en el punto x⁰= −1 .

(27)

Ejemplo

Solución.-

T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 0²= 0, f (2) = 2²= 4, f (−2) = (−2)²= 4, tenemos que

T.V .M([0, 2]) =f(2) − f (0) 2 − 0 =4 − 0

2 − 0 =2

T.V .M([−2, 0]) = f(0) − f (−2) 0 − (−2) =0 − 4

2 =−2

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Ejemplo

Solución.-

T.V.M en [0, 2] y [−2, 0]: como f (0) = 0²= 0, f (2) = 2²= 4, f (−2) = (−2)²= 4, tenemos que

T.V .M([0, 2]) =f(2) − f (0) 2 − 0 =4 − 0

2 − 0 =2

T.V .M([−2, 0]) = f(0) − f (−2) 0 − (−2) =0 − 4

2 =−2 T.V.I. en x⁰= 1 y x⁰= −1: Como f (1 + h) = (1 + h)²= 1²+ 2h + h²,

f(−1 + h) = (−1 + h)²= (−1)²− 2h + h², f (1) = 1²y f (−1) = (−1)², tenemos que

T.V .I .(x⁰= 1) = lim

h→0

(1²+ 2h + h2) − 1²

h = lim

h→0

2h + h2

h =2

T.V .I .(x⁰= −1) = lim

h→0

((−1)²− 2h + h2) − (−1)²

h = lim

h→0

−2h + h2

h =−2

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Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Laderivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos comof^′(x0), es el límite, si existe y es finito

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰) h También se usa la definición equivalente

f^′(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

(30)

f^′(x0) = lim

h→0

f^′(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) = 1

x² en x0= 1.

(31)

f^′(x0) = lim

h→0

f^′(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

x² en x0= 1.

f(1 + h) − f (1) = 1 (1 + h)²− 1

1² = −2h − h² (1 + 2h + h²)

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰)

h = lim

h→0

−2h−h² (1+2h+h²)

h = lim

h→0

−2 − h 1 + 2h + h² =−2

(32)

f^′(x0) = lim

h→0

f^′(x0) = lim

x →x0

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

x² en x0= 1.

f(1 + h) − f (1) = 1 (1 + h)²− 1

1² = −2h − h² (1 + 2h + h²)

f^′(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f (x⁰)

h = lim

h→0

−2h−h² (1+2h+h²)

h = lim

h→0

−2 − h 1 + 2h + h² =−2

Como vemos el cálculo de derivadas aplicando la definición se hace algo "pesado". Más adelante estudiaremos una tabla de derivadas de funciones elementales, que junto con las operaciones con derivadas, nos permitirán un cálculo rápido de las mismas.

(33)

Introducción Derivadas laterales

Hemos visto en la definición de derivada de una función en un punto que ésta es un límite (de la forma 0/0) y, por tanto, podemos hablar de derivadas laterales (límites laterales).

Derivadas laterales

La derivada por la derecha de f (x) en el punto x0se define como

f^′(x₀⁺) = lim

h→0⁺

f(x0+ h) − f (x⁰) h o también

f^′(x₀⁺) = lim

x →x₀⁺

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

(34)

Derivadas laterales

f^′(x₀⁺) = lim

h→0⁺

f^′(x₀⁺) = lim

x →x₀⁺

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

La derivada por la izquierda de f (x) en el punto x0se define como

f^′(x0⁻) = lim

h→0⁻

f^′(x₀⁻) = lim

x →x₀⁻

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

(35)

Derivadas laterales

f^′(x₀⁺) = lim

h→0⁺

f^′(x₀⁺) = lim

x →x₀⁺

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

f^′(x0⁻) = lim

h→0⁻

f^′(x₀⁻) = lim

x →x₀⁻

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

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Derivadas laterales

f^′(x₀⁺) = lim

h→0⁺

f^′(x₀⁺) = lim

x →x₀⁺

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

f^′(x0⁻) = lim

h→0⁻

f^′(x₀⁻) = lim

x →x₀⁻

f(x) − f (x⁰) x− x⁰

Si existen las derivadas laterales en un punto, se dice que la función es derivable en ese punto.

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Como ejemplo, calculemos las derivada laterales de

f(x) = |x − 1| =

® _x_{− 1} _si _x_{≥ 1}

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

(38)

f(x) = |x − 1| =

® _x_{− 1} _si _x_{≥ 1}

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

La derivada por la derecha en x0= 1

f^′(1⁺) = lim

h→0⁺

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

(39)

f(x) = |x − 1| =

® _x_{− 1} _si _x_{≥ 1}

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

f^′(1⁺) = lim

h→0⁺

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

f^′(1⁻) = lim

h→0⁻

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

(40)

f(x) = |x − 1| =

® _x_{− 1} _si _x_{≥ 1}

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

f^′(1⁺) = lim

h→0⁺

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

f^′(1⁻) = lim

h→0⁻

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

(41)

f(x) = |x − 1| =

® _x_{− 1} _si _x_{≥ 1}

−x + 1 si x< 1 en x0= 1.

f^′(1⁺) = lim

h→0⁺

(1 + h − 1) − (1 − 1)

h = 1

f^′(1⁻) = lim

h→0⁻

[−(1 + h) − 1] − (−1 + 1)

h = −1

Como f^′(1⁺) 6= f^′(1⁻), la función no es derivable en x0= 1.

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Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

(43)

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0representaba la pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que Recta tangente y recta normal

La ecuación de larecta tangentea una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en forma punto-pendiente

y− f (x⁰) = f^′(x0) · (x − x⁰) y larecta normalen el punto P = (x0, f (x0)) es

y− f (x⁰) = − 1

f^′(x0)· (x − x⁰)

(44)

y− f (x⁰) = − 1

f^′(x0)· (x − x⁰)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1

x² en x0= 1.

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y− f (x⁰) = − 1

f^′(x0)· (x − x⁰)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) = 1

x² en x0= 1.

Del ejercicio anterior sabemos que f^′(1) = −2 y el punto será P = (x⁰, f (x0)) = (1, 1) Así pues, la recta tangente será

y− 1 = −2 · (x − 1) y la normal

y− 1 = 1 2· (x − 1)

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Introducción Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Toda función f (x) derivable en un punto con derivada finita es continua en ese punto. El reciproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porque ser derivable en ese punto.

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Veamos un ejemplo. Sea la función f (x) =

® _x²_{+ x} _si _x_{≤ 0}

−x²+ x si x> 0 Veamos que sucede en x = 0. Es fácil ver que la función es derivable pues

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® _x²_{+ x} _si _x_{≤ 0}

f(0⁺) = f (0⁻) =

( _f₍₀+) = lim_h→0+ f(0+h)−f (0)

h = lim_h→0+ h(h+1)

h = 1

f(0⁻) = lim_h→0−

f(0+h)−f (0)

h = lim_h→0− h(−h+1)

h = 1

y podemos afirmar que la función es continua en x = 0.Compruébalo

(49)

® _x²_{+ x} _si _x_{≤ 0}

f(0⁺) = f (0⁻) =

( _f₍₀+) = lim_h→0+ f(0+h)−f (0)

h = lim_h→0+ h(h+1)

h = 1

f(0⁻) = lim_h→0−

f(0+h)−f (0)

h = lim_h→0− h(−h+1)

h = 1

y podemos afirmar que la función es continua en x = 0.Compruébalo

En cambio la función f (x) =

® _x²_{+ x} _si _x_{≤ 0}

−x²+ 2x si x> 0

es continua en x = 0, pero no es derivable. Compruébalo

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Introducción Función derivada. Derivadas sucesivas

Función derivada

Lafunción derivadade una función f dada o simplementederivadade f , es una función que asocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f^′(x); es decir