y transformadas simples de la funci´ on

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(1)

Transformada de Fourier

y transformadas simples de la funci´ on

En este tema suponemos que f ∈ L1(R). Denotamos por bf o por F (f ) la transformada de Fourier de f , definida como la funci´on R → C que act´ua mediante la regla

F (f )(ξ) = bf (ξ) = Z

R

e− i 2πξxf (x) dµ(x) (ξ ∈ R).

Proposici´on 1 (la transformada de Fourier es lineal). Sean f1, f2 ∈ L1(R), λ ∈ R.

Entonces

F (f1+ f2) = F (f1) + F (f2), F (λf1) = λF (f1).

Demostraci´on. Sale de la propiedad lineal de la integral.

Proposici´on 2 (la transformada de Fourier y los desplazamientos de la funci´on). Sean f ∈ L1(R), s ∈ R. Definimos g : R → C como g(x) := f (x − s). Entonces

bg(ξ) = e− i 2πξsf (ξ).b

Demostraci´on. En la integral hacemos el cambio de variable y = x − s, luego aplicamos la propiedad principal de la funci´on exponencial y la propiedad homog´enea de la integral:

bg(ξ) = Z

R

f (x − s) e− i 2πξx dµ(x) = Z

R

f (y) e− i 2πξ(y+s) dµ(y)

= e− i 2πξs Z

R

f (y) e− i 2πξy dµ(y) = bf (ξ).

Proposici´on 3 (la transformada de Fourier de la funci´on reflejada). Sea f ∈ L1(R).

Definimos g : R → C como g(x) := f (−x). Entonces

bg(ξ) = bf (−ξ) (ξ ∈ R).

Demostraci´on. En la integral hacemos el cambio de variable y = −x:

bg(ξ) = Z

R

f (−x) e− i 2πξx dµ(x) = Z

R

f (y) e− i 2π(−ξ)y

dµ(y) = bf (−ξ).

Proposici´on 4 (la transformada de Fouriere de la funci´on dilatada). Sean f ∈ L1(R), λ > 0. Definimos g : R → C como g(x) = f (x/λ). Entonces

bg(ξ) = λ bf (λξ).

Transformada de Fouriery transformadas simples de la funci´on, p´agina 1 de 2

(2)

Demostraci´on. En la integral hacemos el cambio de variable y = x/λ:

bg(ξ) = Z

R

f

x λ



e− i 2πξx dµ(x) = λ Z

R

f (y) e− i 2πλξy dµ(y) = λ bf (ξ).

Proposici´on 5 (la transformada de Fourier y la modulaci´on de la funci´on). Sean f ∈ L1(R), η ∈ R, g(x) := ei 2πηxf (x). Entonces

bg(ξ) = bf (ξ − η) (ξ ∈ R).

Demostraci´on.

bg(ξ) = Z

R

e− i 2π(ξ−η)x

f (x) dµ(x) = bf (ξ − η).

Proposici´on 6 (la transformada de Fourier de la funci´on conjugada). Sea f ∈ L1(R).

Pongamos g := f . Entonces

bg(ξ) = bf (−ξ) (ξ ∈ R).

Demostraci´on.

bg(ξ) = Z

R

e− i 2πξx f (x) dµ(x) = Z

R

f (x) e− i 2π(−ξ)x dµ(x) = bf (−ξ).

Proposici´on 7 (la transformada de Fourier de la parte real y de la parte imaginaria de una funci´on). Sea f ∈ L1(R). Pongamos u := Re(f ), v := Im(f ). Entonces

u(ξ) =b 1

2 f (ξ) + bb f (−ξ), bv(ξ) = 1

2 i f (ξ) − bb f (−ξ).

Demostraci´on. Expresamos u y v a trav´es de f y f : u = 1

2 f + f, v = 1

2 i f − f.

Aplicamos la Proposici´on6 y obtenemos el resultado.

Los resultados de este tema se pueden resumir en la siguiente tabla.

par´ametro g(x) bg(ξ) s ∈ R f (x − s) e− i 2πsξf (ξ)b

f (−x) f (−ξ)b λ > 0 f (x/λ) λ bf (λξ) η ∈ R ei 2πηxf (x) f (ξ − η)b

f (x) f (−ξ)b

Transformada de Fouriery transformadas simples de la funci´on, p´agina 2 de 2

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