)8,2())2(,2(f, las ecuaciones de las rectas pedidas son:Ecuación de la recta tangente:

/2 HOJA 8 PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTA

TANGENTE

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por y = x² + 1 en el punto de la curva donde x = 2

Solución: En este problema f(x) = x² + 1.

 Paso # 1. ^{Si x}0 ²^y0 ^f(x0⁾^f(2)⁵

 Paso # 2. ^{f'(x)2xf'(2)4m4}

 Paso # 3. La ecuación buscada es ^{y54(x2)}

2. En el problema anterior, halle la ecuación de la recta normal a la curva en el punto donde X=3

 Paso # 1. Si x₀ 3f(x)x² 1y₀ f(x₀)10

 Paso # 2. La tangente en x0=3 tiene pendiente f’(x0)=f’(3), ya que f’(x)=2x, nos resulta que ^{f'(3)6m6} La pendiente normal debe tener pendiente tal que m.mn=-1. mn=-1/6

 Paso # 3. Las ecuación de la recta normal es, y10 16(x3)

3. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por ^{f(x) x3} en el punto de abscisa x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

3 3 3 2 2 3 3

0 0 0

(2 ) (2) (2 ) 2 (2 3.2 3.2 ) 2

'(2) lím lím lím

h h h

f h f h h h h

f ^ h ^ h ^ h

       

   

2 2 3 2 2

2 2 2

0 0 0

3.2 3.2 .(3.2 3.2 )

lím lím lím(3.2 3.2 ) 3.2 12

h h h

h h h h h h

h h h h

  

   

      

En consecuencia, ^{f'(2)12  mt  f'(2)12 y mN } _f'¹₍₂₎ ^₁₂¹ Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas )

8 , 2 ( )) 2 ( , 2

( f  , las ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente: ^{y812.(x2)  y 2x16} Ecuación de la recta normal:

6 49 12

1 ) 2 12 (

8 1      

 x y x

y 1

/2 HOJA 8 PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTA

TANGENTE

4. Dada la parábola de ecuación ^{y x28x12,} hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

2 2

0 0

( ) ( ) (( ) 8 12) ( 8 12)

'( ) lím lím

h h

f x h f x x h x x x

f x ^ h ^ h

       

  

2 2 2 2

0 0

( 2 8 8 12) ( 8 12) 2 8

lím lím

h h

x xh h x h x x xh h h

h h

 

         

  

0 0

.(2 8)

lím lím(2 8) 2 8

h h

h x h

x h x

h

 

       

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

4 0 8 2 0 ) (

'      

 f x x x

m_t

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función: ^{f(4)42 8.4124}

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, 4).

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